Аксонометрические проекции деталей

Содержание:

Аксонометрическая проекция

— способ изображения геометрических предметов на чертеже при помощи параллельных проекций.

Предмет с системой координат, к которой он отнесён, проецируют на произвольную плоскость (картинная плоскость аксонометрической проекции) таким образом, чтобы эта плоскость не совпадала с его координатной плоскостью. В этом случае получаются две взаимосвязанные проекции одной фигуры на одну плоскость, что позволяет восстановить положение в пространстве, получив наглядное изображение предмета. Так как картинная плоскость не параллельна ни одной из координатных осей, то имеются искажения отрезков по длине параллельных координатным осям. Это искажение может быть равным по всем трём осям — изометрическая проекция, одинаковыми по двум осям — диметрическая проекция и с искажениями разными по всем трём осям — триметрическая проекция.

Стандартизированные аксонометрические проекции.

1.Прямоугольная проекция: аксонометрическая проекция, у которой направление проецирования перпендикулярно к плоскости проецирования.

Изометрическая проекция

 — это разновидность аксонометрической проекции, при которой вотображении трёхмерного объекта на плоскость коэффициент искажения (отношение длиныспроектированного на плоскость отрезка, параллельного координатной оси, к действительной длинеотрезка) по всем трём осям один и тот же. Слово «изометрическая» в названии проекции пришло изгреческого языка и означает «равный размер», отражая тот факт, что в этой проекции масштабы по всемосям равны. В других видах проекций это не так.

Изометрическая проекция используется в машиностроительном черчении и САПР для построениянаглядного изображения детали на чертеже, а также в компьютерных играх для трёхмерных объектов ипанорам.

Необходимо отметить, что параллельные проекции, разновидностью которых являются аксонометрическиеи, в том числе, изометрические проекции, делятся также на ортогональные (перпендикулярные), снаправлением проекции перпендикулярным к плоскости проекции, и косоугольные, с углом междунаправлением и плоскостью, отличным от прямого. По советским стандартам аксонометрическиепроекции могут быть и ортогональными, и косоугольными. По западным же стандартам, аксонометрические проекции являются только ортогональными, а косоугольные проекции рассматриваются отдельно. В результате, по западным стандартам изометрическая проекцияопределяется более узко и, помимо равенства масштабов по осям, включает условие равенства 120° угловмежду проекциями любой пары осей. Во избежание путаницы далее, если не указано иное, подизометрической проекцией будет подразумеваться только прямоугольная изометрическая проекция.

Прямоугольная (ортогональная) изометрическая проекция

В прямоугольной изометрической проекции аксонометрические оси образуют между собой углы в 120°, осьZ' направлена вертикально. Коэффициенты искажения  имеют числовое значение . Как правило, для упрощения построений изометрическую проекциювыполняют без искажений по осям, то есть коэффициент искажения принимают равным 1, в этом случае получают увеличение линейных размеров в раза.

Диметрическая проекция — это аксонометрическая проекция, у которой коэффициенты искажения подвум осям имеют равные значения, а искажение  по третьей оси может принимать иное значение.

Косоугольные проекции - В противоположность ортографическим и аксонометрическим проекциям, для которых проекторы перпендикулярны плоскости проекции, косоугольная проекция формируется параллельными проекторами с центром, лежащим в бесконечности, и расположенными под косым углом к плоскости проекции.

Косоугольные проекции показывают общую трехмерную форму объекта. Однако истинные размер и форма изображаются только для граней объекта, распложенных параллельно плоскости проекции, т.е. углы и длины сохраняются только для таких граней. В самом деле, косоугольная проекция этих граней эквивалентна ортографическому виду спереди. Грани, не параллельные плоскости проекции, подвергаются искажению.

Особый интерес представляют две косоугольные проекции - кавалье и кабине. Проекция кавалье получается, когда угол между проекторами и плоскостью проекции составляет . В этой проекции коэффициенты искажения для всех трех главных направлений одинаковы. Результат этой проекции выглядит неестественно утолщенным. Для «коррекции» этого недостатка используется проекция кабине.

Косоугольная фронтальная изометрическая проекция

Ось Z' направлена вертикально, угол между осью X' и Z' равен 90°, ось Y' с углом наклона 135° (допускается120° и 150°) от оси Z'.

Фронтальная изометрическая проекция выполняется по осям X', Y' и Z' без искажения.

Кривые параллельные фронтальной плоскости проецируются без искажений.

Косоугольная горизонтальная изометрическая проекция

Ось Z' направлена вертикально, между осью Z' и осью Y' угол наклона равен 120° (допускается 135° и 150°), при этом сохраняется угол между осями X' и Y' равным 90°.

Горизонтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям X', Y' и Z'.

Кривые, параллельные горизонтальной плоскости проецируются без искажений.

Визуализация

Изометрический вид объекта можно получить, выбрав направление обзора таким образом, чтобы углымежду проекцией осей x, y, и z были одинаковы и равны 120°. К примеру, если взять куб, это можновыполнить направив взгляд на одну из граней куба, после чего повернув куб на ±45° вокруг вертикальнойоси и на ±arcsin (tan 30°) ≈ 35.264° вокруг горизонтальной оси. Обратите внимание: на иллюстрацииизометрической проекции куба контур проекции образует правильный шестиугольник — все рёбра равнойдлины и все грани равной площади.

Подобным же образом изометрический вид может быть получен, к примеру, в редакторе трёхмерных сцен:начав с камерой, выровненной параллельно полу и координатным осям, её нужно повернуть вниз на≈35.264° вокруг горизонтальной оси и на ±45° вокруг вертикальной оси.

Другой путь визуализации изометрической проекции заключается в рассмотрении вида кубическойкомнаты с верхнего угла с направлением взгляда в противолежащий нижний угол. Ось x здесь направленадиагонально вниз и вправо, ось y — диагонально вниз и влево, ось z — прямо вверх. Глубина такжеотражается высотой картинки. Линии, нарисованные вдоль осей, имеют угол 120° между собой.

Матричные преобразования

Имеется 8 различных вариантов получения изометрической проекции в зависимости от того, в какой октант смотрит наблюдатель. Изометрическое преобразование точки  в трёхмерном пространстве в точку  на плоскости при взгляде в первый октант может быть математически описано с помощью матриц поворота  следующим образом. Вначале, выполняется поворотвокруг горизонтальной оси (здесь x) на α = arcsin (tan 30°) ≈ 35.264° и вокруг вертикальной оси (здесь y) наβ = 45°:

Фронтальная диметрическая проекция

Расположение осей координат в фронтальной диметрической проекции.

Коэффициент искажения по оси Y' равен 0,5, а по осям X' и Z' 1. Допускается применять фронтальныедиметрические проекции с углом наклона оси Y' в 30° и 45°.