Системы счисления. Двоичная система счисления как основа компьютерной техники.

Содержание:

Введение

Система счисления — это способ записи (представления) чисел.

Что под этим подразумевается? Например, вы видите перед собой несколько деревьев. Ваша задача — их посчитать. Для этого можно — загибать пальцы, делать зарубки на камне (одно дерево — один палец\зарубка) или сопоставить 10 деревьям какой-нибудь предмет, например, камень, а единичному экземпляру — палочку и выкладывать их на землю по мере подсчета. В первом случае число представляется, как строка из загнутых пальцев или зарубок, во втором — композиция камней и палочек, где слева — камни, а справа — палочки

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные, а позиционные, в свою очередь, — на однородные и смешанные.

Двоичная система счисления имеет прямое отношение к математической теории чисел. Необходимость изучения данной темы связана с тем, что в нашей современной жизни трудно обойтись без компьютера, а все числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления. Данная тема вносит вклад в фундаментальное математическое школьное образование. Различные системы счисления используются тогда, когда появляется потребность в числовых расчетах, начиная с вычислений в начальной школе на бумаге и заканчивая вычислениями на суперкомпьютерах.

Теоретический раздел

Нашу жизнь нельзя представить без цифр. Температура воздуха, цены на продукты, номера телефонов, время и прочее. Везде мы используем цифры даже не замечая этого.

Число – это одно из фундаментальных и самых древних понятий математики. Первые числа появились вместе с речью. В древние времена счет считался математической деятельностью. Одним из первых существенных открытий являются представления о самом числе и изобретение основных четырех действий: сложение, вычитание, умножение и деление. Возникновение и развитие математики проходило благодаря египтянам и вавилонянам, примерно 3000 лет до нашей эры.

Счет был необходим для занятия торговлей и даже скотоводством, чтобы следить за количеством животных. Вначале для счета использовали части тела, например, пальцы рук. Число появилось сначала в связи со счетом отдельных предметов, а затем стало обозначать количественную меру. Это привело к идее о бесконечности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4… и т.д. Для обычных обывателей такого определения достаточно, но математиками были разработаны и другие числа. В 19 веке была разработана теория действительных чисел. Новый импульс эта теория получила в связи с развитием компьютерных технологий.

Числовая ось бесконечна, потому что к каждому числу можно прибавить еще одну единицу и получить следующее число, с которым можно поступить так же. При этом придумывать какие-либо специальные обозначения (цифры) для любого элемента (числа) бесконечной числовой оси нереально. Поэтому для записи произвольного числа бесконечной числовой оси прибегают к помощи одной или нескольким систем счисления.

Понятие системы счисления и их виды

Система счисления – это способ представления любых чисел с помощью определенного количества знаков (цифр) по позиционному принципу. Количество знаков, которые обычно именуют «цифрами», всегда ограничено. И с помощью такого, ограниченного количества цифр (мы используем десять цифр) удается записывать произвольные числа, например, 23 456 или 1 000 123 456 789. Чтобы преодолеть это ограничение, используется особый способ записи, который называется «позиционным».

Позиционная система счисления состоит в использовании ограниченного числа цифр, при этом позиция каждой цифры в числе обеспечивает значимость (вес) этой цифры. Позиция цифры на математическом языке называется разрядом. Значение цифры «переменчиво» и зависит от ее позиции в числе. Например, в числе «11» две единицы имеют разное значение, это относится и к другим сочетаниям «единиц» - «111», «1111», «11 111» и далее. Не всякие числовые системы используют именно такой позиционный способ записи.

Выбор количества цифр диктуется какими-либо потребностями реальной жизни, науки или удобствами обработки. Исторически этот выбор определялся привычками или традициями конкретного народа.

Непозиционная — самая древняя, в ней каждая цифра числа имеет величину, не зависящую от её позиции (разряда). То есть, если у вас 5 черточек — то число тоже равно 5, поскольку каждой черточке, независимо от её места в строке, соответствует всего 1 один предмет.

Позиционная система — значение каждой цифры зависит от её позиции (разряда) в числе. Например, привычная для нас 10-я система счисления — позиционная. Рассмотрим число 453. Цифра 4 обозначает количество сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десяток и аналогично значению 50, а 3 — единиц и значению 3. Как видим — чем больше разряд — тем значение выше. Итоговое число можно представить, как сумму 400+50+3=453.

Однородная система — для всех разрядов (позиций) числа набор допустимых символов (цифр) одинаков. В качестве примера возьмем упомянутую ранее 10-ю систему. При записи числа в однородной 10-й системе вы можете использовать в каждом разряде исключительно одну цифру от 0 до 9, таким образом, допускается число 450 (1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, поскольку символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.

Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов других разрядов. Яркий пример — система измерения времени. В разряде секунд и минут возможно 60 различных символов (от «00» до «59»), в разряде часов – 24 разных символа (от «00» до «23»), в разряде суток – 365 и т. д.

Непозиционные системы

Как только люди научились считать — возникла потребность записи чисел. В начале все было просто — зарубка или черточка на какой-нибудь поверхности соответствовала одному предмету, например, одному фрукту. Так появилась первая система счисления — единичная.

Единичная система счисления

Число в этой системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.

Но эта система обладает явными неудобствами — чем больше число — тем длиннее строка из палочек. Помимо этого, можно легко ошибиться при записи числа, добавив случайно лишнюю палочку или, наоборот, не дописав.

Для удобства, люди стали группировать палочки по 3, 5, 10 штук. При этом, каждой группе соответствовал определенный знак или предмет. Изначально для подсчета использовались пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.

Группы систем счисления:

Анатомического происхождения:

Пятеричная система была распространена у некоторых африканских племен.

Десятичная система оказалась общепринятой по причине того, что десять пальцев рук - это самый первый аппарат для счета, которым человек пользовался с доисторических времен. По пальцам удобно считать от 1 до 10. Сосчитав до 10, естественно принять само число 10 за новую, более крупную единицу – единицу следующего разряда и т.д. Именно счет по пальцам рук положил начало той системе, которая кажется нам самой привычной.

Десятичная система счисления представляет собой систему, в которой, каждое целое положительное число представляется в виде суммы различных степеней числа 10 с коэффициентами, которые могут принимать значения от 0 до 9 включительно. Например, запись числа 3 756 означает, что рассматриваемое число содержит 6 единиц, 5 десятков, 7 сотен и 3 тысячи.

Десятичная система счисления не сразу заняла господствующее положение. В разные исторические периоды разные народы мира пользовались другими система счисления.

Двенадцатеричная система.

Широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Ее происхождение тоже связано со счетом пальцев рук. Так как четыре пальца руки (кроме большого) имеют 12 фаланг, то по этим фалангам, перебирая их по очереди большим пальцем, и ведут счет от 1 до 12. Потом 12 принимается за единицу следующего разряда и т.д. Остатки двенадцатеричной системы сохранились до наших дней: вместо «двенадцать» говорят «дюжина». Многие предметы часто считают именно дюжинами (вилки, тарелки, ножи, носовые платки). А также число месяцев в году - 12. Остатки двенадцатеричной системы счисления имеются у англичан, например, в системе мер 1 фут = 12 дюймам или в денежной системе 1 шиллинг = 12 пенсам.

С математической точки зрения, двенадцатеричная система имела некоторые преимущества перед десятичной, потому что число 12 делится на 2, 3, 4, 6 и 12, а число 10 только на 2, 5 и 10. А больший запас делителей у числа, служащего основанием системы счисления создает удобства в ее использовании.

Двадцатеричная система.

У ацтеков и майя - народов, населявших в течении многих столетий обширные области американского континента и создавших там высокую культуру – была принята двадцатеричная система. Она же была принята у кельтов, населявших Западную Европу, начиная со второго тысячелетия до нашей эры. Следы двадцатеричной системы кельтов сохранились и в современном французском языке, например, «восемьдесят» по-французски будет как «четырежды двадцать». Число 20 встречалось и во французской денежной системе: франк делится на 20 су.

Шестидесятеричная система.

В древнем Вавилоне существовала сложная шестидесятеричная система. Мнения историков по поводу происхождения данной системы расходятся. Но не смотря на недоказанность гипотез возникновения шестидесятеричной системы, сам факт её существования и широкого распространения в древнем Вавилоне установлен. Эта система сохранилась до наших дней, например, в часе 60 минут, а в минуте 60 секунд или в системе измерения углов: градус = 60 минутам, минута = 60 секундам.

Алфавитные:

Древнеармянская, древнегрузинская, древнегреческая, славянская.

Машинные:

Двоичная система – это позиционная система с основанием 2.

Двоичная система встречалась у некоторых племен Австралии и Полинезии.

Восьмеричная система - это позиционная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до 7.

Восьмеричная система чаще всего используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно. Широко использовалась в программировании и компьютерной документации, однако позднее была почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.

Шестнадцатеричная система - это позиционная система счисления по основанию 16. В качестве цифр этой системы счисления обычно используются цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F. Буквы A, B, C, D, E, F имеют значения 1010, 1110, 1210, 1310, 1410, 1510 соответственно.

Шестнадцатеричная система широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной адресуемой единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами.

Прочие системы счисления:

Римская система

Способ записи чисел с помощью римских цифр такой: если цифра расположена справа, то ее значение прибавляется к предыдущей, например, число «XI» означает «одиннадцать», а если слева, то значение вычитается, например, число «IX», состоящее из тех же цифр, уже означает «девять». Кроме того, в римской системе счисления в числе вес цифры X в любой позиции равен десяти, например, число XXXII (тридцать два). Римская система счисления не прижилась, потому что римские числа трудно складывать или умножать, не говоря уже о более сложных функциях.

Вавилонская, Египетская, Китайская и другие.

Неколичественная система счета (качество выступает в роли количества: «много», «мало») была у эскимосов.

Из всех вышеперечисленных систем счисления меня очень заинтересовала двоичная система счисления.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления основание равно двум. В этой системе счисления используются всего два знака, две цифры – «0» и «1».

Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами от 0 до 9. Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то появляется третий разряд – сотни.

Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела, т.е. единицы, появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

В двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Необходимо уметь переводить двоичные числа в десятичные.

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д.

пример:

1365 = 1000 + 300 + 60 + 5 или

1365 = 1 * 103 + 3 * 102 + 6 * 101 + 5 * 100

Если посмотреть на эту запись внимательно мы увидим здесь цифры 1, 3, 6 и 5 - это набор цифр из которых состоит число 1365. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.

Аналогично можно разложить и любое двоичное число, только основание здесь будет 2.

Сложение в двоичной системе счисления

При сложении чисел в двоичной системе важно помнить, что она имеет всего два символа - 0 и 1. Никаких других символов в ней быть не может! Поэтому сложение двух единиц 1 + 1 дает не 2, как в десятичной системе, а 10, так как 10 – это следующее за единицей число в двоичной системе.

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10

Эти правила необходимы, чтобы складывать числа в двоичной системе в столбик. В случае прибавления единицы к единице, единица идет в следующий разряд. Прибавление нуля к любому двоичному числу не изменит это число. Большие двоичные числа удобно складывать в столбик. Правила в двоичной системе аналогичны сложению правилам сложения в столбик в десятичной системе.

Вычитание в двоичной системе счисления

Вычитать двоичные числа несколько сложнее, чем складывать, для этой цели есть два метода: вычитание с использованием дополнительного кода числа и вычитание в столбик.

Метод вычитания с использованием дополнительного кода приводит поставленную задачу к операции сложения путем преобразований над вычитаемым числом. Это преобразование называется дополнительным кодом (ДК). Определить его можно по следующему алгоритму: сначала значения всех позиций вычитаемого числа меняются на противоположные: нули на единицы, а единицы на нули. Потом к получившемуся промежуточному результату прибавляется двоичная единица, т.е. число, которое увеличивает его младший разряд на 1 в степени 4.

пример: найти разность чисел: 11001 – 1101

а) меняем значения всех позиций вычитаемого числа на

противоположные:

1 1 0 1 на

0 0 1 0

б) к получившемуся промежуточному результату прибавляем

двоичную единицу:

0 0 1 0

+ 0 0 0 1

= 0 0 1 1

в) складываем уменьшаемое число и число, полученное из 2-го

действия:

1 1 0 0 1

+ 0 0 1 1

= 1 1 1 0 0

г) завершающий этап данного метода – необходимо отбросить единицу,

стоящую в старшей позиции, т.е. 1 1 1 0 0 = 1 1 0 0.

Преимущества двоичной системы счисления:

- простота математических действий;

- возможность производить автоматическую обработку информации, используя только два состояния элементов компьютера;

- применение двоичной системы счисления для обработки информации на ЭВМ позволяет упростить построение аппаратуры и облегчить проектирование машин.

Недостатки двоичной системы счисления:

- быстрый рост числа разрядов в записи, представляющее двоичное число;

- трудность чтения значения числа, требующее определенного навыка;

- затруднительны расчеты, связанные с двоичным кодированием.

Применение двоичной системы счисления

Мы используем двоичную систему счисления в повседневной жизни. Такие значения как: да или нет, черное или белое, мужчина или женщина, правда или ложь можно описать двумя знаками – единица и ноль. Единица – это истина, ноль – это ложь.

На различных выключателях также присутствует двоичная система, 1 –включено, 0 – выключено. С помощью единиц и нулей можно описать любую ситуацию. В электронике также: есть сигнал – единица, нет сигнала – ноль.

В современной технике примером применения двоичного кодирования является штрих-код. Его можно увидеть в любом магазине, на любом товаре. Он нужен для автоматического занесения информации о товаре в кассовый аппарат. Штрих-код состоит из 30 черных полос переменной толщины, разделенной промежутками переменной толщины. Толщина полос может принимать 4 значения, такую же толщину могут иметь и промежутки.

В век компьютерных технологий десятичная система счисления оказалась не удобной. Для вычисления одной десятичной операции необходимо иметь 10 различных потенциалов в цепи. Поэтому пришлось перейти на двоичную систему. В компьютерах все виды информации кодируются на машинном языке, в виде логических последовательностей нулей и единиц, потому что удалось создать надежно работающие технические устройства, которые могут со 100 процентной надежностью сохранять и распознавать не более двух различных состояний.

Один символ в двоичной системе называется бит (разряд). С помощью одного бита можно зашифровать две информации: ДА или НЕТ. Четыре бита – это полубайт, 8 бит – 1 байт, 16 бит – слово, 32 бита – двойное слово.

Сколько информации можно показать с помощью двух бит? Два бита – это два знака вместе в двоичной системе счисления. Простой пример:

У нас две руки – 2 бита. Сколько комбинаций рук мы можем применить:

Подняты две руки (11)

Обе руки опущены (00)

Правая рука поднята, левая опущена (01)

Левая рука поднята, правая опущена (10)

В итоге с помощью двух рук (2 битов) мы можем закодировать 4 информации. А теперь посмотрим сколько информации можно закодировать с помощью 3 битов.

Остались дома, играем, без друга (110)

Остались дома, делаем уроки, без друга (100)

Пошли в школу, играем, без друга (010)

Пошли в школу, делаем уроки, без друга (000)

Остались дома, играем, с другом (111)

Остались дома, делаем уроки, с другом (101)

Пошли в школу, играем, с другом (011)

Пошли в школу, делаем уроки, с другом (001)

Получается, что 000,001,011 и т.д. – это 3-х битная запись информации.

А сколько информации можно закодировать, используя 4 или более бит. Для этого есть простая формула:

Возможные варианты информации = 2 в степени N, где N – количество бит.