Заказать решение задач по высшей математике

Вам нужна помощь в решении задач по высшей математике? Вы пытаетесь закончить задание, которое начали, но не можете закончить или хотите проверить свои мысли или научиться решать задачи по высшей математике, тогда присылайте мне в чат ваши задания по высшей математике.

Я, Анна Евкова и у меня своя команда преподавателей. Мы умеем всё, и делаем это каждый час, более 28 лет. В дополнение к решениям по высшей математике вы можете воспользоваться любыми другими услугами так как я и моя команда делаем всё, что связано с учёбой. 

Вопросы и ответы:

Почему заказать высшую математику или другой предмет нужно у вас?

Я и моя команда здесь уже 28 лет и за это время мы наработали репутацию и "знания" как оформлять работу и какой "стиль" решения любит каждый Универститет. У меня и моей команды преподавателей университетское образование в области математики. Мы знаем, какое решение нужно именно вам.

Сколько стоит?

Вы получаете подробное решение, и уверенность в результате, любое задание присылайте мне в чат whatsapp и сразу вы получите правильную оценку именно вашего задания + скидку, если большой объём заданий.

Могу ли я понять ваше решение или сможете ли вы обяснить?

Вы получите готовую работу в виде файла Word или фото листа (рукописи), содержащего все условия заданий, полное решение с пояснениями, рисунки и диаграммы, таблицы и т.д. 

Выполните ли вы мою работу в срок?

Все, что вам нужно сделать, это правильно указать дату и время, когда вы хотите, чтобы ваш заказ был доставлен в чат, и я отправлю его в срок или раньше указанной даты вам в чат.

Кто-нибудь уже сделал заказ?

Более 893 000 школьников и студентов уже заказали любые задания по разным предметам у меня. Вы можете прочитать мнения обо мне на странице отзывов.

А если есть ошибки?

Не ошибаются только те, кто ничего не делает. Я и мокая команда преподавателей работает качественно, наши расчеты проверяются (по возможности) с помощью программ, но бывают опечатки и даже ошибки, переделывается около 1% заказов. Я бесплатно вношу все изменения, связанные с неточностями по моей вине.

Высшая математика

Мы познакомимся с основными понятиями важнейшего, как в самой математике, так и в ее приложениях, раздела — высшая математика.

Содержание:

Свойства действительных чисел. Основные подмножества множества действительных чисел

В этом параграфе мы перечислим основные свойства множества R действительных чисел, которыми оно полностью определяется. Многие из этих свойств известны из курса элементарной математики. При изложении мы будем также считать известными простейшие понятия теории множеств и принятые там обозначения.

Сформулируем сначала свойства, касающиеся операций сложения и умножения действительных чисел.

1)Коммутативность: а + b = b + а: аb = bа, где а,

2)Ассоциативность:

3)Существуют числа 0 (нуль) и 1 (единица) такие, что а + 0 = а; а * 1 = а для любого

4)Для любого существует противоположное ему число —а, для которого а+ (—а) = 0. Если, кроме того,  то найдется также число а-1 (обратное данному) такое, что

Число а + (—b) называется разностью действительных чисел a, b и обозначается через а — b. Аналогично, частным от деления чисел a,b, называется число , которое обозначается через а/b.

5)Дистрибутивность:

Теперь остановимся на свойствах упорядоченности множества действительных чисел. Упорядоченность означает, что любые два действительных числа а и b сравнимы, т. е. для них выполняется одно их трех соотношений: а < b, а > b, а = b. Число а > 0 (а < 0) называется положительным (отрицательным).

6)Транзитивность: из неравенств а < b, b < с для действительных чисел а,b,с следует, неравенство а < с.

7)Если а < b, a,, то а + с < b + с для любого числа с.

8)Для любых положительных чисел a, b произведение ab также положительно.

Отсюда и из свойств 5) и 7), в частности, следует, что. если а < b и с > 0, то ас < be.

Укажем еще одно важное свойство множества действительных чисел.

9)Полнота (непрерывность). Пусть А и В - произвольные числовые множества. Если для любых чисел выполняется неравенство а < b, то существует число-разделитель с такое, что а < с < b для всех

Например, если множества А и В составляют рациональные числа, квадраты которых меньше и больше 2, соответственно, то разделителем здесь служит число

Определим теперь основные подмножества множества действительных чисел.

а) Множество натуральных чисел N составляют числа

Такое определение множества натуральных чисел является основой метода математической индукции: если имеется утверждение , зависящее от произвольного натурального номера n, то для его доказательства необходимо проверить его при n = 1, а затем, предположив, что оно верно для всех номеров, не превосходящих n, доказать справедливость утверждения

В качестве примера применения метода математической индукции приведем доказательство неравенства Бернулли

которое мы будем использовать в дальнейшем.

Доказательство. Очевидно, при n = 1 неравенство справедливо. Предположим, что оно верно для номера n. Умножив обе его части на положительное число 1 + а, получим

что и требовалось доказать.

b)Множество целых чисел:

c)Множество рациональных чисел:

d)Множество иррациональных чисел:

Отметим еще некоторые подмножества множества действительных чисел, которые мы часто будем использовать в дальнейшем. Пусть Тогда:

e)интервал числовой оси:

f)отрезок числовой оси:

g)полуинтервалы числовой оси:  Множества е) - g) называются промежутками числовой оси.

Неограниченный в какую-нибудь сторону промежуток числовой оси называется полуосью или бесконечным промежутком.

Числовые множества

Множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует действительное число М (т) такое, что для всех чисел выполняется неравенство

Числа М и m называются, соответственно, мажорантой и минорантой множества А. Ограниченное снизу и сверху множество, называется ограниченным.

Наименьшая из мажорант (наибольшая из минорант) называется верхней (нижней) гранью множества А. Верхняя грань обозначается через sup A (supremum). Для нижней грани используется обозначение inf A (infimum.).

В качестве примера рассмотрим множество

Здесь inf A = 0, sup A = 1.

Докажем теперь теорему о существовании граней множества.

Теорема 1. Ограниченное сверху (снизу) множество имеет верхнюю (нижнюю) грань.

Доказательство. Предположим, для определенности, что множество А ограничено сверху. Обозначим через В множество его мажорант. Тогда для любых чисел a выполняется неравенство  По свойству полноты множества действительных чисел (§1, свойство 9)) существует число-разделитель с такое, что для всех имеет место неравенство

Таким образом, с одной стороны, число с является мажорантой, а, с другой стороны, оно не превосходит любой из мажорант и, следовательно, с = sup Л. Аналогично доказывается существование нижней грани.

Рассмотрим систему вложенных отрезков

т.е,

Принцип вложенных отрезков

Любая система вложенных отрезков имеет непустое пересечение.

Доказательство. Пусть множества А и В состоят из левых и правых концов отрезков, соответственно. Так как для любых справедливо неравенство то по свойству полноты множества действительных чисел найдется разделитель этих множеств и, следовательно, для всех

Таким образом, число с принадлежит всех отрезкам системы. Принцип доказан.

Множества можно сравнивать по количеству элементов, содержащихся в них. Конечные множества считаются равномощными, если они имеют одинаковое число элементов. Если множество содержит бесконечное количество элементов, то можно попытаться сравнить его с другим бесконечным множеством простой структуры, например, с множеством натуральных чисел.

Бесконечное множество называется счетным, если его элементы можно пронумеровать, т.е. каждый элемент множества получает свой, отличный от других номер, выражающийся натуральным числом.

Примерами счетных множеств могут служить, например, множества целых и рациональных чисел. Целые числа молено пересчитать, расположи!! их в ряд:

Для того, чтобы пронумеровать рациональные числа, расположим их в следующей бесконечной матрице:

В строках этой матрицы записаны все несократимые рациональные дроби с фиксированным знаменателем. Ясно, что каждому рациональному числу однозначно найдется место в этой матрице. Занумеруем теперь числа матрицы по диагоналям, начиная с левого верхнего угла, т. е.

где запись означает, что рациональное число r получает номер n. Таким образом, каждое рациональное число будет пронумеровано и, следовательно, множество Q счетно.

На этих примерах мы наблюдаем любопытный парадокс, который является особенностью бесконечных множеств: бесконечное множество может быть равномощно своей части, т. е. содержать столько же элементов, сколько их имеется в собственном подмножестве.

В заключение этого параграфа покажем, что существуют множества, которые являются более мощными, чем счетные.

Теорема 2. Любой отрезок множества действительных чисел является несчетным множеством.

Доказательство. Предположим, наоборот, что отрезок является счетным множеством и пусть

- пронумерованное множество чисел этого отрезка. Выберем внутри данного отрезка отрезок , который не содержит число , внутри отрезка найдется отрезок , не содержащий числовнутри отрезка возьмем отрезок , в котором не содержится число .В результате мы получим систему вложенных отрезков

В соответствии с принципом вложенных отрезков, найдется число с, общее для всех отрезков. Пусть s — номер этого числа, т. е. и, следовательно, .  Полученное противоречие и доказывает утверждение теоремы.

Предел последовательности

Перейдем к изучению предела - важнейшего в математическом анализе понятия. II начнем мы с предела последовательности.

Основные определения:

Последовательностью называется закономерность, по которой каждому натуральному числу ставится в соответствие некоторое действительное число, которое называется элементом последовательности.

Обозначаются последовательности, как правило, строчными латинскими буквами с указанием индекса, например.

Всюду в дальнейшем мы будем считать. что последовательность задана аналитически, т. е. формулой, которая позволяет вычислять по номеру соответствующий элемент последовательности. Например, формула задает последовательность

Наоборот, периодическая последовательность

может быть задана, например, формулой

Определение: Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует номер такой, что при всех выполняется неравенство

Обозначается предел через

Иначе говоря, число А является пределом последовательности , если, какой бы малый интервал с центром в точке А мы не взяли, найдется номер, начиная с которого, все точки попадут в этот интервал.

Простейшим примером может служить постоянная последовательность N. Здесь по определению предела

Замечание. В определении предела число можно считать сколь угодно малым, так как для всех остальных его значений искомый номер заведомо найдется.

Пример 1.

Убедиться по определению, что

Решение. Зафиксируем произвольное малое и подберем номер , после которого выполняется неравенство

В нашем случае

Из неравенства

находим:

Следовательно, в качестве номера пе можно взять число

где [•] обозначает целую часть числа, т. е. наибольшее целое, не превосходящее данное число. Аналогично можно убедиться в том, что

Введем понятие бесконечного предела последовательности  Если для любого (можно считать сколь угодно большого) числа М > 0 существует номер такой, что

то пределом данной последовательности считается бесконечность, т. е.

Пример 2.

Доказать по определению, что

Доказательство. Здесь

Следовательно, если, при заданном М > 0, мы возьмем , то

что и требовалось доказать.

Отметим еще тот очевидный факт, что

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся. Соответственно, расходящейся называется последовательность, предел которой равен бесконечности или не существует.

Свойства пределов последовательностей

Изучим теперь основные свойства пределов сходящихся последовательностей. Последовательность называется подпоследовательностью

последовательности

1)Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к пределу последовательности.

Доказательство очевидным образом следует из определения предела последовательности.

2)Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Действительно, предположим, что у последовательности существуют два различных предела . Выберем число столь малым. чтобы интервалы  ине пересекались. По определению предела найдется номер такой, что

Полученное противоречие и доказывает утверждение.

Это свойство можно использовать для того, чтобы доказать, что последовательность не имеет предела. В качестве примера рассмотрим упоминавшуюся в пункте 1 периодическую последовательность

Рассмотрим две ее подпоследовательности. При n нечетном мы имеем:  Следовательно, . Аналогично, если , то и, стало быть, lim

Таким образом, пределы двух подпоследовательностей данной последовательности различны и. следовательно, она не может быть сходящейся, так как иначе по предыдущему свойству пределы всех подпоследовательностей совпадали бы с пределом последовательности.

3)Сходящаяся последовательность ограничена.

Действительно, пусть . Тогда найдется такое натуральное число , что

Полагая теперь , , будем иметь при всех натуральных n :

т. е. последовательность ограничена.

Последовательность называется возрастающей (не убывающей), или убывающей (не возрастающей). если при всех натуральных n выполняется неравенство , или неравенство . Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.

4)Монотонная, ограниченная последовательность сходится.

Пусть для определенности последовательность ап не убывает и ограничена сверху. По теореме 1, §2 последовательность имеет верхнюю грань . Докажем, что

Зафиксируем произвольное  Так как верхняя грань является минимальной из мажорант,то при всех справедливо неравенство и существует натуральное для которого Поскольку последовательность ап не убывает, то последнее неравенство выполняется и при всех , что и завершает доказательство.

5)Если две последовательности сходятся к общему пределу, то к тому же пределу сходится и заключенная между ними последовательность.

Пусть По заданному  найдется номер , после которого а, следовательно, и . Свойство доказано.

6)Если последовательность сходится и при всех. то 

Пусть, для определенности, . Предположим, что, наоборот, М. Выберем столь малым, чтобы выполнялось неравенство . Тогда, начиная с некоторого номера . Противоречие.

Сформулируем теперь свойства пределов последовательностей, связанные с арифметическими операциями над элементами этих последовательностей.

7)    Если две последовательности сходятся, то сходятся также и последовательности , причем

Если, кроме того, , то последовательностьтакже сходится и

Докажем, например, последнее из этих свойств. Пусть . Так как, то, интервал можно выбрать столь малым. чтобы он не содержал Iгуля. Ввиду сходимости последовательности  для всех имеет место неравенство . Отсюда, учитывая, что все также отличны от нуля, мы заключаем, что последовательность отделена от нуля. т. е. существует положительное число m такое, что . Так как

то, учитывая известное из курса элементарной математики неравенство R и отделенность от iгуля последовательности получим:

Зафиксируем произвольное положительное число Для числа существует номер , начиная с которого. поэтому из неравенства (1) при следует, что

Число e

Используем приведенные в пункте 2 свойства пределов для определения важного в анализе числа е.

Рассмотрим последовательность

и докажем, что она сходится. Заметим, прежде всего, что

Покажем, что последовательность является убывающей. Действительно.

Воспользовавшись неравенством Бернулли (§1), получим:

Таким образом, последовательность убывает. Аналогично проверяется, что последовательность является возрастающей. Последовательность ограничена сверху, а - спичу, так как . Следовательно, по свойству 4) предела последовательности и сходятся, причем сходятся они к общему пределу, так как благодаря свойству 7), b) предела произведения последовательностей

Определение 

Пользуясь неравенством (1). мы можем указать сколь угодно малый интервал, в котором содержится число е и, таким образом, вычислить его с любой точностью. Например, уже при n= 10

 Более точные вычисления показывают, что

Неопределенности, возникающие при вычислении пределов

Мы можем пользоваться свойствами 7) предела последовательности (пункт 2) только для сходящихся последовательностей. Однако при вычислении предела может возникнуть ситуация, когда эти свойства нельзя использовать, по крайней мере непосредственно. Речь здесь

идет о так называемых неопределенностях. Укажем некоторые из них.

Если при вычислении предела частного выяснится, что . то Говорят, что здесь возникает неопределенность вида Аналогично возникает неопределенность вида. Аналогично возникает неопределенность вида .

При вычислении предела произведения возникает неопределенность вида,

Если требуется вычислить предел разности , то Здесь имеет место неопределенность вида .

При вычислении указанных пределов следует раскрыть неопределенность, т. е. данную последовательность с помощью тождественных преобразований необходимо привести к виду, для которого уже применимы свойства 7).

Пример 1.

Вычислить предел

Решение. В данном случае возникает неопределенность вида . Так как числитель и знаменатель содержат степенные выражения переменной n, то раскрыть эту неопределенность мы можем, разделив числитель и знаменатель дроби на общую старшую степень :

Воспользовавшись свойствами 7) предела, получим:

Пример 2.

Найти предел

Решение. Здесь имеем неопределенность вида оо — оо. Преобразуем последовательность под

знаком предела:

Мы получили предел с неопределенностью вида . Разделим числитель и знаменатель последней дроби на n и используем свойства 7) предела:

 

Предел функции

В этом параграфе мы обобщим понятие предела на случай числовой функции одной действительной переменной.

Числовая функция и некоторые ее элементарные свойства

Определение: Числовой функцией действительной переменной (действительного аргумента) называется закономерность, ставящая в соответствие каждому числу (точке) определенное действительное число (значение функции в точке х). Множество D называется областью определения функции.

Обозначения для функции:

где  - область значений функции. Иногда для области значений функции мы будем использовать обозначение.

Частным случаем функции является последовательность:

Всюду в наших дальнейших рассмотрениях мы будем предполагать, что функция задана формулой, позволяющей по определенному алгоритму вычислять ее значения.

Множество точек плоскости называется графиком данной функции.

Функция f(x) называется убывающей (невозрастающей) на множестве D, если для всех выполняется неравенство . Аналогично, если для тех же значений переменной справедливо , то функция называется возрастающей (неубывающей). Возрастающая или убывающая функция называется монотонной.

Функция называется ограниченной, если множество ее значений Е ограничено.

Пусть D и Е - соответственно область определения и область значений функции f(x). Эта функция называется биективной (биекцией) или взаимно однозначной, если различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции. Примером биекции может с луж ить любая монотонная в своей области определения функция.

Пусть / : D —> Е - биекция. Обратной к данной называется функция которая каждому ставит в соответствие такое

Из определения обратной функции следует, что Заметим далее, что. если (х,у) - точка графика функции f(x), то точка (у, х) принадлежит графику обратной функции и, таким образом, графики данной функции и обратной к ней симметричны относительно прямой у = х.

Всякая монотонная в своей области определения функция обратима, поскольку, как уже отмечалось, она является биекцией.

Введем определение композиции функций или сложной функции. Рассмотрим две функции: , причем Тогда функция называется композицией функций или сложной функцией.

Определим теперь класс элементарных функций. Введем сначала основные элементарные функции, известные из курса элементарной математики:

- степенная функция;

- показательная функция, в частности.

- экспонента;

- логарифмическая функция, в частном случае,

- натуральный логарифм;

- тригонометрические функции;

- обратные тригонометрические функции.

Функция, полученная из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических операций и композиций, называется элементарной функцией.

Элементарными функциями являются, например, полином (многочлен) степени :

- коэффициенты полинома и. так называемые, гиперболические функции:

- синус гиперболический;

 - косинус гиперболический;

—тангенс гиперболический,

—котангенс гиперболический.

Предел функции и его свойства

Пусть числовая функция определена в некотором интервале (а, b), содержащем точку кроме, возможно, самой точки

Определение: Действительное число L называется пределом функции при x стремящемся к если для любого (можно считать, сколь угодно малого) положительного числа существует положительное число такое, что при всех

выполняется неравенство

Обозначения для предела:

Проиллюстрируем понятие предела функции на ее графике.

Число L является пределом функции при х стремящемся к если для всякой сколь угодно узкой полосы между горизонтальными прямыми найдется достаточно малый интервал, симметричный относительно точки xq. такой, что для всех чисел х из этого интервала соответствующие точки графика функции попадают в полосу 

Примеры.

Проверить по определению, что

Решение. В первом случае для всех  что и доказывает равенство. Для второго предела

Отсюда следует, что, если по заданному малому выбрать  , то при всех таких , что  справедливо неравенство

которое и доказывает утверждение.

Введем теперь определение конечного предела функции при х стремящемся к бесконечности. Пусть эта функция определена при всех действительных х или вне некоторого интервала. Число считается пределом функции f(x) при , если для всякого положительного  существует такое число , что, как только то

Например,

так как при заданном неравенство выполняется, очевидно, при

Осталось ввести определение бесконечного предела функции. Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем точку .то, исключая, возможно, саму точку (соответственно, вне некоторого интервала). Если для любого (сколь угодно большого) положительного числа А > 0 существует положительное число (соответственно, ) такое, что для любого х из множества

справедливо неравенство

то

Пользуясь этим определением, несложно убедиться, например, в том, что

В определении предела функции при аргумент х приближается к точке с обеих сторон, оставаясь как меньше, так и больше числа . Если же заставить аргумент приближаться к точке только слева (справа), то мы получим односторонний предел. Приведем его точное определение.

Пусть функция определена в некотором интервале (соответственно, ). Число (соответственно, ) называется левосторонним (соответственно, правосторонним) пределом функции f(x) при х стремящемся к  если для любого существует (соответственно, ) такое, что при  (соответственно, ) выполняется неравенство

(соответственно, ).

Обозначается левосторонний (соответственно, правосторонний) предел через

(соответственно, ).

Перейдем теперь к изучению свойств конечных пределов функций.

1)Для того, чтобы существовал конечный предел необходимо и достаточно,

чтобы существовали и были равны оба односторонних предела

Для доказательства достаточно сравнить определения предела функции и односторонних пределов.

2)Предположим, что функция определена в некотором интервале, содержащем точку , кроме, возможно, точки и существует конечный предел , а функцияопределена в некотором интервале, содержащем область значений функции fi(x) и точку , кроме, возможно, точки  и существует предел Тогда существует предел композиции функций

Действительно, по определению предела функции для любого найдется число такое, что при всех у из множества справедливо неравенство  В свою очередь для числа отыщется такое > 0, что при любом х, принадлежащем множеству - выполняется неравенство Отсюда слезет справедливость неравенства при всех х таких, что . Свойство доказано.

Теперь сформулируем свойства пределов функций, которые аналогичны (вместе с доказательствами) соответствующим свойствам пределов последовательностей. Во всех этих свойствах мы будем предполагать, что функции определены некотором интервале  содержащем точку кроме, может быть, самой точки

3)Функция имеет не более одного предела.

4)Если при всех х из интервала (а, b) выполняется неравенство

и существуют равные друг другу пределы , то существует также предел , причем

5)    Если для любого справедливо неравенство и существует конечный предел

Это свойство, очевидно, справедливо и для односторонних пределов.

6)    Если функция монотонна и ограничена в интервале (соответственно, ), то существует левосторонний предел) (соответственно, правосторонний предел )).

7) Если для функций существуют конечные пределы ,

х—>хо    х—¥хо

то существуют также пределы функций , причем

Если, сверх того, u . mo существует также предел дроби

и

Покажем, пользуясь свойствами 2), 6) и 7), что

Прежде всего заметим, что по свойству 6) существуют односторонние пределы этих функций. Так как благодаря свойству 7)

то для проверки этих равенств достаточно доказать, что

Используя свойства 2) и 7) получим:

откуда и следует справедливость утверждений (2), а, значит, и (1).

Предположим, что функции определены в некотором интервале, содержащем точку , кроме, может быть, самой точки и существуют конечные пределы

Найдем, пользуясь пределами (1) и свойством 2) предел функции

Замечание. Свойства 2) - 7) со специальными оговорками, касающимися областей определения и значений функций, справедливы и для конечных пределов функций на бесконечности.

Сделаем еще одно замечание, касающееся алгебраических операций над пределами функций. Если один из пределов конечен, а второй равен бесконечности,

то, как следует из определения предела,

Если оба этих предела равны бесконечности или один из них конечен и не равен нулю, а второй равен бесконечности, то

Наконец, если или наоборот, то х—>хо    х—>хо

В остальных случаях, как и при вычислении пределов последовательностей (§3, пункт 4) могут возникать неопределенности вида

Пример 3.

Найти предел

где

- полиномы степеней m и n соответственно.

Решение. Здесь возникает неопределенность вида , которую мы раскроем, разделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень. Возможны три случая: m < m. m = n и m > n. Рассмотрим, например, второй из них, разделив числитель и знаменатель дроби на и воспользовавшись свойствами 7) предела:

Аналогично, в случае m < n мы получим , если же m > n , то  .

Таким образом, окончательно,

 

Пример 4.

Вычислить предел

Решение. В этом случае возникает неопределенность вида которую мы раскроем, разложи!! числитель и знаменатель дроби на множители:

 

Два важных в анализе предела 

а) Тригонометрический предел

Найдем двустороннюю оценку для функции. воспользовавшись геометрическими соображениями.

        

Прежде всего заметим, что ввиду четности данной функции мы можем ограничиться лишь малыми положительными значениями х. Обозначим через площади треугольника ОАВ, сектора ОАВ и треугольника ОВС. Так как

то справедливо неравенство:

откуда

Покажем, что . Действительно, из неравенства (1) следует, что 

поэтому, для любого положительного выполняется неравенство, а это и означает, что . Возвращаясь теперь к неравенству (2), замечаем, что к функциям, входящим в него применимо свойство 4) предела функции, и, стало быть.

Из тригонометрического предела следует, что

В самом деле,

Далее, из неравенства (1) мы заключаем, что , откуда , а, значит, и

, так как    Следовательно, воспользовавшись свойством 2) предела композиции функций и тригонометрическим пределом, получим:

Аналогично доказывается последнее из утверждений (3).

Замечание. Как следует из свойства 2) предела композиции функций, во всех приведенных тригонометрических пределах вместо аргумента мы можем использовать фзгнкцию Таким образом,

x->x0 /(®) x-»x0 /(®)    x->x0 /(®) x->x0 j{x)    x-»x0

__arcsinf®2 — я2)

Пример 1.

Найти предел

Решение. Здесь мы имеем неопределенность вида  Используем для ее раскрытия тригонометрические пределы (4):

b) Число

Для проверки данного равенства используем уже найденный нами в параграфе 3, пункт 3 предел:

Ограничимся для определенности положительными значениями аргумента x. Обозначим через целую часть числа x, т. е. наибольшее целое, не превосходящее это число. Так как при любом x > 0 справедливы неравенства

то

Из последнего неравенства, воспользовавшись тем, что

и свойством 4) предела функций, мы и получим, что

Благодаря свойству 2) предела композиции функций

В частности,

Предел (5) используется для раскрытия неопределенностей вида 

Пример 2. 

Вычислить пример .

Решение. В этом случае мы имеем неопределенность вида  Попробуем раскрыть ее с помощью предела (5). Так как

то, использовав предел (5) и тригонометрический предел, получим:

и, следовательно, сославшись на предел (3) из предыдущего пункта, мы заключаем, что

Бесконечно малые (бесконечно большие) функции, их свойства и использование

Функция f(x), определенная в некотором интервале, содержащем точку кроме, возможно, самой этой точки, называется бесконечно малой (бесконечно большой) в точке если существует и равен нулю (бесконечности) предел

х—>хо

Изучим сначала свойства бесконечно малых. Очевидно, прежде всего, что вместе с бесконечно малыми в точке таковыми являются и функции

Произведение будет бесконечно малой и в случае, когда одна из этих функций является бесконечно малой, а вторая ограничена. Действительно, пусть  а

в области определения. Зафиксируем произвольное число. По определению предела для положительного числа найдется положительное число  такое, что  .Тогда при всех таких x

т.е.

Частное  мы будем использовать для сравнения бесконечно малых в точке

Будем говорить, что бесконечно малая имеет порядок малости k относительно бесконечно малой , если существует

В частности, если являются бесконечно малыми одного порядка. Если, сверх того.

то бесконечно малые называются эквивалентными. Для эквивалентных бесконечно малых используется обозначение:

Наконец, если окажется, что

то условимся говорить, что бесконечно малая имеет более высокий порядок малости относительно бесконечно малой и обозначать этот факт через Пример 1. Сравнить бесконечно малые в точке функции.

Решение. Использовав тригонометрический предел (4) из пункта 3, получим:

Таким образом,  т.е. бесконечно малая имеет более

высокий порядок малости относительно бесконечно малой. Найдем этот порядок. По аналогии с предыдущим пределом мы можем убедиться в том, что

и, следовательно, искомый порядок малости равен 3.

Аналогично мы можем сравнивать бесконечно большие. В частности, две бесконечно большие в точке   функции называются эквивалентными, если

Обсудим теперь, как использовать эквивалентные бесконечно малые (бесконечно большие) при вычислении пределов.

Утверждение 1. Пусть - две бесконечно малые (бесконечно большие) в точке и существует предел

Тогда при вычислении этого предела любую из данных функций мы можем заменить на эквивалентную ей.

Действительно, если, например,, то существуем также предел

Аналогично проверяется 

Утверждение 2. Пусть - бесконечно малая и бесконечно большая в точке и существует предел

Тогда любую из этих функций при вычислении предела мы можем заменить на соответствующую эквивалентную.

Эти несложные утверждения иногда упрощают вычисление пределов.

Рассмотрим несколько пар эквивалентных бесконечно малых, которые являются следствиями соответствующих пределов из предыдущего пункта. Во всех нижеследующих соотношениях f(x) - бесконечно малая в точке

Докажем последнее из этих утверждений. В самом деле, использовав пределы (5) и (1) из пунктов 3 и 2 соответственно, получим:

Пример 2.

Вычислить предел:

Решение. Используем эквивалентные бесконечно малые 1) - 3), 5). Так как

то

Замечание. Все сформулированные выше определения и утверждения справедливы, естественно, и для бесконечно малых и бесконечно больших функций на бесконечности.

Непрерывность функции

Познакомимся теперь с таким важнейшим как в самой математике, так и в ее приложениях свойством функции, как непрерывность.

Определение непрерывности функции

Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке если она определена в некотором интервале, содержащем эту точку и существует предел lim /(.г), равный значению функции в точке т. е.

Приведем еще одно определение непрерывности функции, равносильное приведенному. Пусть - приращение аргумента (малое положительное или отрицательное число) в точке Величина

называется приращением функции f(x) в точке Тогда, очевидно, функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда

Если предел не существует или равен бесконечности, либо указанный предел существует и конечен, но не равен значению функции в точке жо или функция неопределена в этой точке, то будем говорить, что функция f(x) разрывна в точке или, иначе, - точка разрыва данной функции.

Перечислим теперь основные свойства непрерывных функций, следующие из соответствующих свойств пределов (§4, пункт 2).

1)Если функциинепрерывны в точке  то в этой же точке непрерывны и функции

Если, кроме того, в области определения то непрерывной является также и функция Наконец, если в области определения то непрерывна и функция

Для доказательства достаточно использовать свойство 7) предела функций и предел (3) из пункта 2, §4.

2)Если функция непрерывна в точке  а функция , в свою очередь, непрерывна в точке , то композиция функций непрерывна в точке

Здесь достаточно сослаться на свойство 2) предела композиции функций (пункт 2, §4).

3)Если функция f(x) непрерывна в точке то в некотором малом интервале, содержащем точку данная функция сохраняет знак значения

Действительно, выбрав число столь малым, чтобы , мы по определению непрерывности можем указать , для которого

что и доказывает данное свойство, так как по выбору имеют знак значения

По аналогии с односторонними пределами мы можем также ввести понятие односторонней непрерывности функции. А именно, функция f(x), определенная в полуинтервале называется непрерывной слева (справа) в точке если существует левосторонний (правосторонний) предел , равный значению функции в точке Из свойства 1) предела функции (§4, пункт 2) следует, что для непрерывности функции f(x) в точке необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной слева и справа в этой точке

Функция называется непрерывной на промежутке числовой оси, если она непрерывна в любой точке этого промежутка, причем, если промежуток содержит граничные точки, то под непрерывностью в них понимается соответствующая односторонняя непрерывность.

Классификация точек разрыва функции

а) Устранимый разрыв.

Если функция f(x) определена в некотором интервале, содержащем точку , кроме, возможно, самой этой точки и существует конечный предел , если функция определена в точке , то по определению - точка устранимого разрыва данной функции.

Из определения непрерывности следует, что, если в этом случае доопределить или переопределить в точке функцию ее предельным значением, то она становится непрерывной в этой точке.

В качестве примера, рассмотрим функцию Она неопределена в нуле, но, как известно (§4, пункт 3)

следовательно, данная функция имеет устранимый разрыв в точке

b) Разрыв первого рода.

Пусть функция f(x) определена в некотором интервале, содержащем точку кроме, возможно, самой этой точки и существуют коночные односторонние, неравные друг другу пределы  Тогда будем говорить, что - точка разрыва первого рода. Разность называется скачком функции f(x) в точке .

Примером разрыва первого рода может служить точка для функции

Действительно, здесь

Скачок функции в точке разрыва равен

 

с) Разрыв второго рода.

Предположим, что функция f(x) определена в некотором интервале, содержащем точку кроме, может быть, самой этой точки и по крайней мере один из односторонних пределов в точке хо не существует или равен бесконечности. В этом случае по определению  - точка разрыва второго рода.

Рассмотрим два примера такого сложного разрыва.

1) Для функции не существует. Действительно, на бесконечно малой последовательности мы имеем:

Аналогично, вдоль другой бесконечно малой последовательности

Отсюда, ввиду единственности предела функции (§4, пункт 2. свойство 3)) и следует, что предел не существует и, таким образом, - точка разрыва второго рода данной функции.

2) Исследуем на непрерывность функцию Для этого вычислим в этой точке односторонние пределы:

Следовательно, в точке функция испытывает разрыв второго рода.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

В этом пункте мы приведем несколько полезных утверждений о функциях, непрерывных на отрезке, которые мы будем использовать в дальнейшем.

Теорема Больцано-Коши (о промежуточных значениях). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке Тогда для любой точки С отрезка, граничными точками которого являются числа А = f(a) и В = f(b), найдется точка такая, что f(c) = C.

Доказательство. Используем для доказательства метод дихотомии (деления отрезка пополам). Пусть для определенности Обозначим через середину отрезка [а, b]. Если окажется, что и теорема доказана. Если же , то обозначим через и отрезок Таким образом Разделим далее отрезок точкой С2 пополам. Если , то искомая точка найдена. В противном случае обозначим через Здесь, очевидно,  Продолжая этот процесс, мы либо через конечное тшсло шагов найдем искомую точку с, либо получим систему вложенных отрезков . для которых

В соответствии с принципом вложенных отрезков (§2) существует общая для всех отрезков точка Из (1) следует, что с ростом n длины стремятся к пулю, поэтому

Ввиду непрерывности фзгнкции в точке с

Отсюда, воспользовавшись (2) и свойством 5) предела последовательности (§3, пункт 2), получим, что f(c) = С. Теорема доказана.

Из теоремы Больцано-Коши вытекает важное в приложениях

Следствие. Если функция f(x) непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то внутри отрезка существует нуль функции, т.е. точка , в которой f(с) = 0.

Это следствие мы можем использовать для приближенного решения уравнения

f(x) = 0.

Чтобы избежать проблемы различения корней, будем считать, что внутри отрезка существует единственный корень данного уравнения. Это последнее будет иметь место, например, если функция монотонна на отрезке. Как следует из доказательства теоремы Больцано-Коши, для приближенного вычисления корня мы должны организовать процесс половинного деления отрезка, выбирая на каждом шаге тот из двух отрезков, на концах которого функция принимает значения противоположных знаков.

Если задана погрешность вычислений , то остановиться мы должны на отрезке. длина которого окажется меньше  т. е.

Из последнего неравенства следует, что

и, следовательно, закончить вычисления достаточно при

В качестве приближенного значения корня данного уравнения с точностью  мы можем взять середину отрезка , т.е. число

Сформулируем без доказательства еще две теоремы о непрерывных на отрезке функциях.

Теорема Вейерштрасса (о наименьшем и наибольшем значении). Непрерывная на отрезке функция, f(x) ограничена и достигает, на этом отрезке своих нижней и верхней граней, т.е. найдутся точки такие, что

Теорема (о непрерывности обратной функции). Непрерывная и монотонная на отрезке функция f(x) имеет на отрезке, граничными точками которого являются числа непрерывную и монотонную в том же смысле обратную функцию

Непрерывность элементарных функций

Докажем, что любая элементарная функция непрерывна всюду, где она определена. Как следует из общих свойств непрерывности (пункт 1) для этого достаточно доказать. что непрерывными в своей области определения являются основные элементарные функции.

В §4, пункт 2 нами была доказана непрерывность экспоненты и натурального логарифма . Отсюда на основании свойств 1). 2) непрерывности (пункт 1) немедленно следует непрерывность функций

Осталось доказать непрерывность тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Рассмотрим приращение функции в произвольной точке х :

Из неравенства (1), §4, пункт 3 следует, что , поэтому,

Отсюда мы заключаем, что при любом заданном

т. е. что и означает непрерывность функции

Непрерывность остальных тритонометрических функций слезет из соотношений

и уже упоминавшихся общих свойств непрерывности (пункт 1).

Для доказательства непрерывности обратных тригонометрических функций достаточно сослаться на теорему о непрерывности обратной функции из предыдущего пункта.

Пример.

Исследовать на непрерывность функцию

Решение. На полз'осях и интервалах непрерывна, поскольку она является там элементарной. Проверим функцию на непрерывность в точках, где меняется ее аналитическое выражение, т.е. в точках Для этого вычислим односторонние пределы (функции в этих гонках.

Так как , то в точке данная функция непрерывна. В точке имеем:

Здесь , следовательно, - точка разрыва первого рода. Наконец,

и таким образом, в точке функция испытывает разрыв второго рода. График этой функции имеет вид:

Равномерная непрерывность функции

Определение: Функция f(x) называется равномерно непрерывной на некотором промежутке числовой оси (конечном или бесконечном), если она определена на этом промежутке и для любого положительного числа найдется положительное число  обладающее тем свойством, что при всех из данного промежутка, удовлетворяющих неравенству

для соответствующих значений функции выполняется неравенство

Покажем что равномерная непрерывность является более сильным свойством функции, чем ее непрерывность на промежутке. Действительно, если функция равномерно непрерывна на некотором промежутке, то, зафиксировав произвольную точку этого промежутка, мы получим, что для любого отыщется такое, что как только , что и означает непрерывность функции на данном промежутке. Убедимся теперь на примере в том, что из непрерывности функции на промежутке еще не следует., вообще говоря, равномерная непрерывность.

Контрпример. Показать, что функция  не является равномерно непрерывной на промежутке

Решение. Возьмем на промежутке две последовательности

Для этих последовательностей

откуда и следует, что данная функция не может быть равномерно непрерывной на данном промежутке, так как элементы этих двух последовательностей сколь угодно близки, а разность соответствующих значений функции сколь угодно велика.

Сформулируем в заключение этого параграфа теорему, которая утверждает, что для промежутка, содержащего свои граничные точки, т. е. отрезка, свойства непрерывности и равномерной непрерывности равносильны.

Теорема Кантора. Если функция непрерывна на отрезке, то она и равномерно непрерывна на нем.

С доказательством теоремы Кантора можно ознакомиться в первом томе трехтомника Фих-тенгольца Г.М., имеющегося в списке литературы.

Производная. Исследование функции с помощью производной

В этой главе мы изучим такую важнейшую характеристику функции, как ее производная и научимся ее использовать для исследования функции. Важность производной невозможно переоценить, так как она характеризует скорость изменения любого процесса.

Определение производной и дифференциала и их основные свойства

Рассмотрим функцию f(x), определенную в некотором интервале, содержащем точку

Определение: Если существует конечный предел

то он называется производной функции f(x) в точке и обозначается через . Переформулируем определение производной на языке приращений. Пусть

— приращение функции в точке соответствующее приращению аргумента Тогда приведенное выше определение производной равносильно существовать конечного предела

т. е. производная представляет собой предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента бесконечно мало.

Пример 1.

Найти производные функций:

Решение 

b) В этом случае

следовательно,

с) Для этой функции

и, стало быть. . Покажем, что в точке х = 0 производная этой функции не существует. В самом деле,

По аналогии с односторонними пределами можно ввести также определение односторонних производных. Конечный предел (если он существует)

называется левосторонней, соответственно, правосторонней производной функции f(x) в точке xq и обозначается через . Очевидно, для существования производной необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны обе односторонние производные

Разностное отношение представляет собой среднюю скорость изменения функции на отрезке следовательно, производная характеризует скорость изменения функции в точке Например, если точка двигается по прямой и известна зависимость s(t,) пройденного пути от времени, то скорость этой точки в момент времени t равна соответственно, ускорение равно производной от скорости по времени, т.е.

Выясним теперь геометрический смысл производной.

Угловой коэффициент равен

поэтому, если производная существует, то

и таким образом, секущая стремится занять некоторое предельное положение, которое естественно считать касательной к графику функции в точке Угловой коэффициент касательной равен

Следовательно, геометрически, производная представляет, собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке ). Уравнение касательной имеет вид:

В приложениях иногда используется нормальная прямая или нормаль, т. е. прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной. Поскольку вектор является нормальным для касательной, то для нормальной прямой он является направляющим и, следовательно, мы можем записать каноническое уравнение нормальной прямой:

Пример 2.

Найти уравнение касательной, параллельной вектору к графику функции в первой четверти.

Решение. Найдем точку на графике, через которую проходит касательная. Так как угловой коэффициент касательной равен (пример 1, с)), то

Таким образом, касательная проходит через точку графика функции и ее уравнение имеет вид:

Рассмотрим теперь неразрывно связанные с производной понятия дифференцируемости функции и ее дифференциала.

Функция f(х), определенная в некотором, интервале, содержащем точку хо называется дифференцируемой в точке .то, если ее прирагцение в этой точке представляется в виде:

где А - некоторое действительное число, - бесконечно малая более высокого порядка, чем  

Разделив обе части равенства (2) на приращение аргумента в пределе получим:

Таким образом, если функция дифференцируема в точке хо, то существует производная и приращение этой функции мы можем записать в виде:

Покажем, что верно и обратное, т. е. из существования производной следует дифференцируемость (функции в данной точке. Действительно, пусть в точке существует производная . Так как функция

до определенная в нуле нулем, является, очевидно, бесконечно малой при , то

что и означает дифференцируемость функции f(х) в точке Хо.

Таким образом, мы доказали, что существование производной функции эквивалентно ее дифференцируемости. В связи с этим, часто в дальнейшем процесс нахождения производной мы будем называть коротко дифференцированием функции.

Определение: Линейная часть  приращения дифференцируемой в точке xq функции f(х) называется дифференциалом функции в этой точке и обозначается через

Перепишем, учитывая это определение, формулу (3) для приращения функции:

Эту формулу мы можем использовать, в частности, для приближенного вычисления значений функции с помощью дифференциала, так как при малых значениях приращения Да из нее следует, что

Предполагая, что функция у = f(х) дифференцируема в интервале (а, b), т. е. в любой точке этого интервала, и считая по определению, ,  мы можем записать выражение для дифференциала функции в произвольной точке интервала в следующей симметричной форме

Этой формулой оправдывается еще одно обозначение для производной:

Как следует из уравнения (1) касательной к графику функции, дифференциал равен приращению ординаты касательной, которое соответствует приращению аргумента

соотношение можно формально обосновать тем, что, так как (пример 1, b)), то дифференциал функции

Изучим теперь основные свойства производной и дифференциала.

1)Если функция f(x) дифференцируема в точке  то она и непрерывна в этой точке.

Действительно, из формулы (3) следует, что

что и доказывает непрерывность функции в точке хо (глава IV, §5, пyнкт 1).

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Примером может служить функция у = примера 1, с), которая непрерывна в любой точке как элементарная, но не является дифференцируемой в нуле.

2)    Если функция у = f(x) монотонна и непрерывна на отрезке и дифференцируема в некоторой точке . то обратная функцияхдифференцируема в точке и

Доказательство. По теореме о непрерывности обратной функции (глава IV, §5, пункт 3) обратная функция существует, монотонна в том же смысле, что и функция у = f(x) и непрерывна в своей области определения. Заметим далее, что приращение аргумента функции у = f(x) в точке является приращением обратной функции в точке и наоборот, приращение аргумента А у функции в точке является приращением функции у = f(x) в точке , причем, ввиду монотонности этих функций, если , то и и наоборот. Кроме того, из непрерывности данной функции и обратной к ней следует, что приращения бесконечно малы одновременно, т.е.

Следовательно,

Формуле (5) мы можем придать более симметричный вид. если будем использовать следующие обозначения для производных: . Тогда

Сформулируем теперь свойства производной, связанные с арифметическими операциями над функциями (правила дифференцирования).

3) Если функции   дифференцируемы в точке х, то функции

где - действительные числа, и также дифференцируемы в этой точке и

Если, вдобавок, функция отлична от нуля в некотором интервале, содержащем точку x, то дифференцируемой является и функция . причем

Первая из этих формул немедленно следует из определения производной и соответствующих свойств пределов функций (глава IV, §4, пункт 2).

Убедимся в справедливости формулы дифференцирования произведения. Прежде всего заметим, что по свойству 1) функция непрерывна в точке х и, значит.

Преобразуем приращение функции в точке x :

Отсюда, использовав свойства 7). а) и b) пределов функций (глава IV, §4, пункт 2) получим:

Формула дифференцирования частного двух функций доказывается аналогично. Установим, наконец, правило дифференцирования композиции функций.

4) Если функция дифференцируема в точке x, а функция дифференцируема в точке , то композиция функций дифференцируема в точке x и

Для доказательства запишем приращение композиции в точке x, воспользовавшись формулой (4) для функции :

где — бесконечно малая при функция. Отсюда, учитывая непрерывность функции в точке x, получим:

Поскольку дифференциал функции пропорционален дифференциалу аргумента с коэффициентом пропорциональности, равным производной, то правила дифференцирования 3) переносятся и на дифференциал:

Правило дифференцирования композиции функций позволяет установить свойство инвариантности дифференциала. Пусть функция f(x) дифференцируема в некотором интервале. Дифференциал этой функции равен:

Предположим теперь, что аргумент x является, в свою очередь, дифференцируемой функцией переменной z. Найдем дифференциал композиции функций , пользуясь свойством 4) производной:

т.е

Сравнивая формулы (6) и (7). мы можем утверждать, что вид дифференциала функции не зависит от того, является ли ее аргумент независимым или функцией другой переменной. В этом и заключается свойство инвариантности дифференциала, которое мы будем активно использовать при интегрировании функций.

Дифференцирование элементарных функций

Таблица производных основных элементарных функций

Найдем, пользуясь известными из §4, пункт 3 предыдущей главы пределами и правилами дифференцирования из предшествующего параграфа, производные основных элементарных функций.

Сначала найдем производную натурального логарифма, воспользовавшись определением производной, числом е (глава IV, §4, пункт 3, формула (5)) и непрерывностью логарифмической функции (глава IV, §5, пункт 4):

Таким образом, Отсюда сразу же следует, что при любом

Теперь, использовав производную логарифма и правило дифференцирования композиции функций, мы найдем производные степенной и показательной функций. Рассмотрим сначала при  степенную функцию . Последовательно прологарифмируем и продифференцируем обе части последнего равенства:

Стало быть, . В частности, Совершенно аналогично найдем

производную показательной функции

т.е. Отсюда, в частности, слезет, что

Займемся теперь производными тригонометрических функций. Принимая во внимание тригонометрический предел (глава IV, §4, пункт 3, формулы (4)) и непрерывность функции получим:

Отсюда, воспользовавшись правилом дифференцирования композиции функций, найдем:

Найдем, используя правило дифференцирования частного, производные функций :

Аналогично,

Осталось отыскать формулы для производных обратных тригонометрических функций. Для функции Дифференцируя обе пасти последнего равенства, получим:

Отсюда,

Учитывая далее, что при всех находим:

Совершенно аналогично мы можем проверить, что

Приведем здесь еще формулы дифференцирования гиперболических функций, определенных в §4, пункт 1 главы IV.

Аналогично мы можем убедиться в том, что

Сведем теперь все найденные производные в таблицу.

Таблица производных

Используя эту таблицу и доказанные в предыдущем параграфе правила дифференцирования, мы можем найти производную любой элементарной функции, причем эта производная также будет элементарной функцией.

Пример 1.

Найти производную функции

Решение. Воспользовавшись таблицей и правилом дифференцирования композиции функций, получим:

Таким образом,

Замечание. При вычислении производной степенного выражения где  дифференцируемые в некотором интервале функции, причем в этом интервале , удобно предварительно прологарифмировать обе части данного равенства.

Пример 2.

Найти производную функции  

Решение. Так как

или

Отсюда

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически

а) Производная неявно заданной функции.

Иногда бывает трудно или невозможно установить явную, т. е. прямую зависимость между переменными x и у. однако сравнительно несложно найти связь между ними в виде уравнения

где F(x, у) — известная функция своих аргументов.

Функция у = у(x) (или х = х(у)), для которой в некотором интервале

называется неявной функцией, определяемой уравнением 

В общем случае неявная функция определяется из уравнения (1) неоднозначно, так как график неявной функции представляет собой, вообще говоря, лишь часть кривой, заданной уравнением (1). Например, из уравнения гиперболы

мы находим:

Таким образом, это уравнение определяет две неявные функции, определенные при

Предположим теперь, что неявная функция у = у(х), определяемая уравнением (1) дифференцируема в интервале, где она определена. Поскольку при всех х из интервала определения неявной функции F(x,y(x)) = 0, то формально ее производная может быть найдена из уравнения

в котором F(x, у) рассматривается как сложная дифференцируемая функция аргумента х. Выполнив дифференцирование в уравнении (2), мы получим линейное относительно искомой производной уравнение, из которого она и определяется.

Пример 1.

Найти производную функции, заданной неявно уравнением

Решение. Найдем производную по переменной х от обеих частей данного уравнения:

Следовательно.

Пример 2.

Найти уравнение касательной в любой точке эллипса

Решение. Воспользуемся уравнением касательной (1) из предыдущего параграфа. Найдем сначала производного неявной функции, определяемой уравнением эллипса:

Запишем теперь уравнение касательной в точке эллипса с координатами , учитывая,что угловой коэффициент этой касательной равен

Отсюда

и, таким образом, искомое уравнение касательной имеет вид:

b) Производная функции, заданной параметрически.

Предположим, что переменные x и у являются функциями аргумента t, который мы будем называть параметром, т. е.

причем функцию x(t) мы будем считать монотонной и дифференцируемой с ненулевой производной в указанном интервале, а функцию y(t) мы будем предполагать дифференцируемой в интервале . Благодаря свойству 2) предыдущего параграфа в некотором интервале (а, b) существует дифференцируемая обратная для x(t) функция t = t(x) и, стало быть, в интервале (а, b) определена функция у = y(t(x)) аргумента x, которую мы будем называть функцией, заданной параметрически уравнениями (3). Найдем выражение для производной этой функции в любой точке х интервала (а, b) через параметр t. воспользовавшись правилом дифференцирования композиции функций и связью между производными взаимно обратных функций (свойство 4) и формула (5) предыдущего параграфа):

Следовательно, производная параметрически заданной функции может быть найдена по формуле:

 

Пример 3.

Найти уравнения касательных в точке , линии, которая задана параметрически уравнениями

Решение. Так как для этой линии , то она представляет собой совокупность двух симметричных относительно оси Оу спиралей.

Через точку эти спирали проходят при Найдем угловые коэффициенты касательных, соответствующих этим значениям параметра. Так как

то

и, следовательно,

Осталось записать уравнения двух касательных в данной точке:

Производные и дифференциалы высших порядков

Определим в заключение этого параграфа понятия производной и дифференциала высших порядков.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в интервале (а, b) и, таким образом, в этом интервале определена функция . Если в точке существует производная функции, то она называется второй производной функции f(x) (производной второго порядка) и обозначается через . Таким образом,

.

В этом случае функцию f(x) будем называть дважды дифференцируемой в точке х.

Вторым дифференциалом (дифференциалом второго порядка) в точке в которой существует вторая производная , называется дифференциал от первого дифференциала. Для второго дифференциала используется обозначение . Учитывая, что и дифференциал аргумента не зависит от х, получим:

Следовательно.

Аналогично находятся производные и дифференциалы более высоких порядков:

Из последней формулы следует, в частности, что для производной n-го порядка функции у = f(x) можно использовать обозначение

Если требуется явно указать переменную, по которой ведется дифференцирование, то производную n-го порядка функции у = у(х) мы будем обозначать через

Пример 1.

Найти производную n-го порядка функции

Решение. Чтобы заметить общую закономерность, найдем несколько первых производных данной функции:

Исходя из структуры этих производных мы можем предположить, что производная n-го порядка данной функции имеет вид:

Проверим эту гипотезу по индукции. При п = 1 утверждение справедливо. Предположим, что оно верно для номера п и докажем, что оно имеет место также и для следующего номера n+ 1. Действительно.

в чем и требовалось убедиться.

По индукции несложно убедиться в том, что производную n-го порядка произведения n раз дифференцируемых функций  мы можем найти по формуле Лейбница-.

где

и по определению считается, что

Если функция задана неявно или параметрически (пункт 2). то повторным дифференцированием мы также можем находить производные высших порядков этой функции. Остановимся чуть подробнее на повторном дифференцировании параметрически заданной функции. Пусть функция задана параметрически уравнениями

причем функции х(t), y(t) удовлетворяют всем условиям, перечисленным в пункте 2, b) и, сверх того, они дважды дифференцируемы в интервале Тогда

и. таким образом,

Аналогично мы можем найти и производные более высоких порядков параметрически заданной функции.

Пример 2.

Найти вторые производные функций:

Решение. а) Найдем первую производную данной неявно заданной функции. Так как

то

и, следовательно,

Дифференцируя повторно, получим:

b) Для этой параметрически заданной функции

Следовательно

Тогда

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

В математическом анализе большое значение имеет группа теорем о существовании внутри интервала, где функция дифференцируема, точки, в которой производная обладает определенными свойствами.

Теорема Ролля. Пусть функция f(x) дифференцируема в интервале (а, b). непрерывна на отрезке [а, b] и на кони,ах этого отрезка принимает равные значения. Тогда внутри отрезка существует точка  

Доказательство. По теореме Вейерштрасса (глава IV, §5, пункт 3) функция достигает на отрезке [а, b] своих наименьшего m и наибольшего М значений. Если m = М, то и в качестве точки с мы можем взять любое число интервала (а, b), так как . Если же m < М, то по крайней мере одно из этих значений достигается внутри отрезка. Для определенности предположим, что и докажем, что точка с—искомая. Действительно, при малых приращениях аргумента в точке с имеет место неравенство , следовательно, и

Отсюда, использовав дифференцируемость функции в точке с и свойство 5) предела функции (глава IV, §4, пункт 2), получим:

Таким образом,, что и требовалось доказать.

Геометрически доказанное утверждение означает, что на графике дифференцируемой функции между граничными точками, имеющими равные ординаты, найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

 

Теорема Лагранжа. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и дифференцируема в интервале (а, b). Тогда найдется точка , для которой

Для доказательства этой теоремы рассмотрим функцию

которая удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, так как она, очевидно, непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема внутри его и . Тогда существует точка . Так как

то

Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что между граничными точками графтка дифференцируемой в интервале функции всегда можно найти точку, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей граничные точки графика.

 

Теорема Коши. Предположим, что функции непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы в интервале (а, b), причем . Тогда существует точка . для которой

Теорема Коши может быть доказана совершенно аналогично предыдущей теореме, если ввести в рассмотрение функцию

Теорема Коши имеет тот же геометрический смысл, что и теорема Лагранжа, если мы рассмотрим параметрически заданную функцию

аргумента z. Графиком этой функции является линия в плоскости Oyz. Хорда, соединяющая точки ) имеет угловой коэффициент, а угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке ) равен (§2, пункт 2). Тогда теорема Коши утверждает, что касательная к графику этой паралетрически заданной функции в точке С параллельна хорде, соединяющей точки графика А и В.

Пример.

Убедиться в том, что для функции -попарно различные действительные числа, уравнение  имеет два различных действительных корня.

Решение. Для определенности будем считать, что  . Так как, то по теореме Ролля в интервалах существуют различные корни уравнения . Так как это уравнение является квадратным, то других корней оно иметь не может.

Правило Лопиталя

В этом параграфе мы докажем утверждение, которое может оказаться полезным при вычислении пределов функций, которые приводят к неопределенностям вида.

Теорема. Пусть функции определены и дифференцируемы в некотором интервале, содержащем точку , кроме, может быть, самой этой точки, и в этом интервале. Предположим также, что

Тогда, если существует предел (конечный или бесконечный)

то существует также предел

и

(правило Лопиталя) 

Доказательство проведем для неопределенности . До определим функции в точке нулевыми значениями и применим теорему Коши к строчку :

Из последнего равенства и следует утверждение теоремы, так как при

Замечание 1. Правило Лопиталя сохраняет также свою силу и в случае неопределенностей вида

Замечание 2. В некоторых случаях правило Лопиталя целесообразно применять повторно. При нахождении сложных пределов имеет смысл комбинировать свойства пределов (глава IV, §4, пункты 2 - 4) и правило Лопиталя.

Пример 1.

Вычислить пределы:

Решение, а) Здесь мы имеем неопределенность вида  Так как

(глава IV, §4, пункт 4, формула 2)), то

К последнему пределу применим правило Лопиталя:

b) В этом случае возникает неопределенность вида которую мы раскроем с помощью правила Лопиталя:

Мы пришли к неопределенности вида jy. Используем правило Лопиталя повторно:

Замечание 3. Если при вычислении предела возникает неопределенность другого вида, то ее следует предварительно преобразовать к неопределенности вида и вслед за этим ужо применить правило Лопиталя. В случае одной из степенных неопределенностей, воспользовавшись непрерывностью логарифма, мы можем сначала вычислить предел логарифма функции, а затем найти экспоненту от этого предела.

Пример 2.

Найти предел:

Решение. В этом случае возникает неопределенность вида  Найдем предел логарифма этой функции. Так как

то появившуюся здесь неопределенность вида — мы можем раскрыть по правилу Лопиталя:

так как  В последнем пределе имеется неопределенность вида которую мы также раскрываем по правилу Лопиталя

Следовательно,

Замечание 4. Использовать правило Лопиталя необходимо с известной осторожностью, так как предел

может существовать, в то время как предела

может и не быть. Например, предел

с неопределенностью существует и равен

так как функцияявляется бесконечно малой на бесконечности, как произведение бесконечно малой и ограниченной функции (глава IV, §4, пункт 4). В то же время воспользоваться правилом Лопиталя мы здесь не можем, так как

а предел не существует. Действительно, на бесконечно большой последовательности

а на другой бесконечно большой последовательности

следовательно, ввиду свойства единственности предела (глава IV, §4, пункт 2, свойство 3)) не существует.

Формула Тейлора

Сравнительно простыми и хорошо изученными функциями являются полиномы. Найдем формулу, которая позволяет приближенно представить дифференцируемую вблизи некоторой точки функцию в виде полинома по степеням

Полином Тейлора. Формулы Тейлора и Маклорена

Пусть функция f(x) определена и n + 1 раз дифференцируема в некотором интервале, содержащем точку . Найдем полином степени n, который вместе со своими производными до п—ой включительно, совпадает с соответствующими значениями функции и ее производных в точке (полином Тейлора в точке ). Этот полином нам удобно искать в виде:

Вычислим коэффициенты полинома Тейлора. С одной стороны, , с другой -, поэтому. Далее будем последовательно дифференцировать полином и приравнивать его производные в точке соответствующим производным функции

Таким образом.

и, следовательно,

полином Тейлора в точке

Найдем разность  т.е. величину ошибки, которую мы совершаем, заменив функцию ее полиномом Тейлора. Рассмотрим функции

Заметим, прежде всего, что для них

Применим последовательно теорему Коши (§3) к функциям и их производным до n—ой включительно на соответствующих отрезках:

где

Отсюда, учитывая, что

получим:

Таким образом.

т.е. данная n + 1 раз дифференцируемая в интервале, содержащем точку функция f(x) представляется в этом интервале в виде суммы своего полинома Тейлора и погрешности :

где

Найденное представление называется формулой Тейлора порядка n для функции f(x) в точке с остатком в форме Лагранжа. В частном случае при из (1) следует формула Маклорена:

Если потребовать. чтобы функция f(x) была n — 1 раз дифференцируема в некотором интервале. содержащем точку раз дифференцируема в точке то для этой функции имеет место формула Тейлора с остатком в форме Пеано:

в которой

Замечание 1. Из определения полинома Тейлора следует, что он для функции находится однозначно и полином Тейлора для суммы (разности) функций равен сумме (разности) их полиномов Тейлора.

Замечание 2. Подстановка сводит задачу разложения функции f(x) по формуле Тейлора к задаче представления функции с помощью формулы Маклорена.

Так как величина представляет собой приращение аргумента в точке  то мы можем переписать формулу Тейлора (3) в дифференциалах (§2, пункт 3):

Из многочисленных приложений формулы Тейлора отметим здесь возможность приближенного вычисления значений функции с любой точностью. Действительно, если задана точность вычисления , то в качестве приближенного значения функции мы можем взять значение ее полинома Тейлора, подобрав n таким, чтобы остаток формулы Тейлора был меньше по абсолютной величине, чем точность  Более удобной в этом отношении является формула (1), так как мы можем оценить величину ее остатка.

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

Приведем примеры разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена (2) предыдущего пункта.

Для этой функции при любом натуральном n и, значит,

2)

Здесь

Поэтому,

Следовательно, формула Маклорена порядка для этой функции имеет вид:

3)

По аналогии с предыдущей функцией в этом случае при любом натуральном n

и, стало быть, формула Маклорена порядка для данной функции выглядит следующим образом:

4)

Производные этой функции равны:

Значит, и, стало

быть,

5) Для данной функции

Отсюда

Запишем формулу Маклорена порядка n для этой функции:

В частности, при получим:

Замечание. Если мы можем записать функцию f(x) в некотором интервале, содержащем точку  как алгебраическую сумму с действительными коэффициентами функций вида , где - одна из функций, рассмотренных в примерах 1) - 5). то, использовав разложения (1) - (5), мы получим представление функции f(x) по формуле Тейлора в точке

Пример.

Записать формулу Тейлора (3), пункт 1 произвольного порядка в точке = 1 для функции

Решение. Так как

то достаточно найти разложения по формуле Тейлора для каждой из дробей

Выполнив подстановку  мы сведем тем самым задачу представления дробей по формуле Тейлора к задаче их разложения по формуле Маклорена. Для первой дроби

поэтому, воспользовавшись формулой (G) при х = —у, получим:

Следовательно,

Аналогично,

Воспользовавшись, наконец, предыдущим замечанием, получим:

Графики данной функции и ее полинома Тейлора

вблизи точки имеют вид:

Исследование функции с помощью производной

В этом параграфе мы научимся использовать производную для исследования геометрических свойств функции, таких как монотонность и выпуклость, а также для нахождения экстремумов и точек перегиба функции.

Монотонность. Точки экстремума

Теорема 1 (признак монотонности). Для того, чтобы функция f(x), определенная и дифференцируемая в некотором, интервале (а, b) была невозрастающей (неубывающей) в этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неположительной (неотрицателъной) в этом интервале, т.е. . Если же , то функция убывает (возрастает) в интервале (а, b).

Доказательство. Предположим, для определенности, что данная функция является невозрастающей. Тогда для любой точки при малом приращении аргумента в точке х

Воспользовавшись теперь дифференцируемостью функции в точке x и свойством 5) предела функции (глава IV, §4, пункт 2). заключаем:

Наоборот, пусть . Возьмем произвольные точки и применим к отрезку теорему Лагранжа (§3). В результате получим:

откуда следует, что , т.е. функция f(x) не возрастает.

Из рассуждений предыдущего абзаца при следует, что). Теорема доказана.

Геометрически последнее утверждение теоремы означает, что, если во всех точках графика функции касательная образует тупой (острый) угол с положительным направлением оси Ох, то эта функция является убывающей (возрастающей).

Всюду в дальнейшем в этом пункте мы будем предполагать, что функция f(x) определена в некотором интервале, содержащем точку .

Точка называется точкой локального минимума (максимума) данной функции, если при всех x из достаточно малого интервала, включающего точку , выполняется неравенство

Если, кроме того, , то будем говорить, что в точке функция имеет строгий локальный минимум (максимум).

Точки локального минимума или максимума функции называются точками ее локального экстремума, соответственно, точками ее строгого локального экстремума.

Теорема 2 (необходимый признак экстремума). В точке экстремума производная функции обращается в нуль или не существует.

Действительно, если  точка экстремума функции f(x), то в случае, когда производная существует, повторяя рассуждения, которые мы использовали при доказательстве теоремы Ролля (§3), получим, что = 0.

Обратное, вообще говоря, неверно, т.е. из того, что производная не существует или равна нулю, еще не следует, что - точка экстремума функции f(x), в нем мы убедимся на примерах. Рассмотрим функции

Для первой из них и, следовательно,, а производная  не существует, так как не существует предел

(глава IV, §5, пункт 2, с)). В то же время точка не является точкой экстремума данных функций, так как первая из них возрастает, а вторая меняет знак в любом сколь угодно малом интервале, содержащем эту точку.

Точка, в которой производная данной функции равна нулю или не существует, называется критической точкой функции. Теорема 2 утверждает, что каждая точка экстремума является критической точкой, а приведенные выше примеры убеждают нас в том, что не всякая критическая точка является точкой экстремума. Сформулируем условия, при которых в критической точке функция будет иметь экстремум.

Теорема 3 (достаточный признак экстремума I). Предположим, что функция f(x) дифференцируема в некотором малом интервале, содержащем критическую точку , кроме, возможно, самой этой точки. Тогда, если при или наоборот, то - точка локального минимума или, наоборот, локального максимума данной функции. Если указанные выше неравенства для производной строгие, то и соответствующий экстремум является строгим, иначе говоря, в критической точке функция имеет строгий экстремум, если при переходе через эту критическую точку производная функции меняет знак на противоположный.

Доказательство этой теоремы очевидным образом следует из теоремы 1.

Замечание 1. Из теоремы 1 также следует, что, если при переходе через критическую точку производная функции не меняет знак на противоположный, то функция не имеет экстремума в этой точке.

Теорема 4 (достаточный признак экстремума II). Пусть функция f(x) дифференцируема в некотором малом интервале, содержащем критическую точку и дважды дифференцируема в точке . Тогда, если. то функция имеет строгий экстремум в точке хо, а именно, если, то , - точка строгого локального минимума, если же , то - точка строгого локального максимума данной функции.

Доказательство. Поскольку функция дифференцируема в критической точке . Запишем для данной функции формулу Тейлора второго порядка в точке остатком в форме Пеано (§5, пункт 1):

Отсюда

Выберем положительное число так, чтобы . Поскольку

то существует число такое, что при всех х из интервала выполняется неравенство

откуда,

Если за счет выбора и, следовательно.

при и поэтому для всех таких х справедливо неравенство

т. е. — точка строгого минимума функции f(x). Аналогично, если и поэтому

для всех - Следовательно,

и, значит, — точка строгого максимума данной функции. Теорема доказана.

Замечание 2. Если , то экстремум в критической точке хо может как быть, так и отсутствовать. Рассмотрим, например, функции. Здесь

следовательно, для обеих этих функций точка является критической и в ней однако первая функция имеет минимум в точке хо = 0, а вторая экстремума не имеет.

Из вышеизложенного следует, что для исследования функции на экстремум необходимо найти критические точки этой функции и проверить каждую из них на экстремум с помощью одного из достаточных признаков.

Пример 1.

Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции

Решение. Функция определена на множестве Найдем ее производную:

Определим критические точки функции:

Производная сохраняет знак в интервалах, на которые область определения функции разбивается критическими точками и точкой х = 1.

Таким образом, в интервалах функция возрастает и, следовательно, в точке экстремума нет. В интервалах функция убывает и возрастает соответственно, поэтому - точка строгого минимума данной функции и

В заключение этого пункта обсудим как находить с помощью производной так называемые глобальные экстремумы функции на отрезке, т. е. ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке, которые мы будем обозначать через  соответственно.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b]. По теореме Вейерштрасса (глава IV, §5, пункт 3) функция достигает на отрезке [а, b] своих наименьшего и наибольшего значений. Если какое-то из них достигается внутри отрезка, то это происходит непременно в критической точке функции. Отсюда следует, что для нахождения глобальных экстремумов непрерывной на отрезке функции необходимо найти ее критические точки, попадающие на отрезок, вычислить значения функции в этих точках и на кони,ах отрезка и среди всех этих значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Пример 2.

Найти глобальные экстремумы функции

на отрезке

Решение. Решим сначала эту задачу для функции Так как , то критическими точками функции являются числa и . Поскольку то

Отсюда, учитывая, что мы окончательно находим:

Выпуклость функции. Точки перегиба

Валяной Геометрической характеристикой функции и кривой, являющейся графиком этой функции, служит выпуклость.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна в некотором интервале (а, b). Возьмем точки и обозначим через  уравнение прямой, проходящей через точки ) графика функции.

Функция f(x) (соответственно, кривая у = f(x)) называется выпуклой (вогнутой) в интервале (а, b), если для любых чисел выполняется неравенство

Если последние неравенства строгие для всех , то и функция называется строго выпуклой (строго вогнутой).

Геометрически выпуклость (вогнутость) означает, что любой фрагмент графика функции расположен не выше (не ниже), чем хорда соединяющая, граничные точки этого фрагмента.

Найдем теперь условия, при которых функция является выпуклой (вогнутой).

Теорема 1 (критерий выпуклости I). Если функция дифференцируема в интервале (а, b), то для того, чтобы она была выпуклой (вогнутой), необходимо и достаточно, чтобы производная была неубывающей (невозрастающей). Если производная возрастает (убывает), то функция f(x) строго выпукла (строго вогнута).

Доказательство. Убедимся сначала в необходимости условия теоремы. Предположим для определенности, что функция является выпуклой. Возьмем произвольные точки  Так как уравнение хорды, соединяющей точки мы можем записать в виде

то по определению выпуклости

или

Устремляя в последнем неравенстве переменную х сначала к , а затем к , получим:

т.е. производная не убывает.

Докажем теперь, наоборот, что неубывания производной и достаточно для выпуклости функции. Действительно, применив к обеим частям неравенства (2) теорему Лагранжа (§3), получим:

Так как и, следовательно, . Поэтому неравенство (2), а вслед за ним и неравенство (1) выполняются, т.е. функция выпукла.

Если в рассуждениях предыдущего абзаца считать производную возрастающей, то неравенство (1) будет строгим и, таким образом, функция будет строго выпуклой.

Теорема доказана.

Привлекая вторую производную, сформулируем еще один признак выпуклости.

Теорема 2 (критерий выпуклости II). Для того, чтобы функция , определенная и дважды дифференцируемая в некотором интервале (а, b) была выпуклой (вогнутой) в этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее вторая производная была неотрицательной (неположительной) в этом интервале, т.е. . Если же , то функция строго выпукла (строго вогнута) в интервале (а, b).

Доказательство этой теоремы немедленно следует из предыдущей теоремы и признака монотонности, доказанного в пункте 1.

Пусть функция f(х) непрерывна в интервале (а, b). Точка называется точкой (строгого) перегиба данной функции, если в интервалах эта функция имеет противоположный характер (строгой) выпуклости. Иначе говоря, точка перегиба является границей двух интервалов, в одном из которых функция выпукла, а в другом - вогнута.

Если функция f(x) дифференцируема в интервале (а, b), то, как следует из теоремы 1, в точке перегиба производная имеет экстремум. Следовательно, пользуясь признаками экстремума, мы можем сформулировать как необходимый, так и достаточный признаки точки перегиба.

Теорема 3 (необходимый признак точки перегиба). В точке перегиба вторая производная не существует или равна нулю.

Таким образом, точка перегиба является критической точкой для производной

Теорема 4 (достаточный признак точки перегиба). Пусть функция f(x) дифференцируема в интервале (а, b) и точка является критической для производной. Предположим также, что функция f(x) дважды дифференцируема в интервале (а, b) за исключением, возможно, точки Тогда, если в одном из интервалов вторая производная неотрицательна (положительна), а в другом - неположительна (отрицательна), то - точка перегиба (строгого перегиба) функции f(x).

Из приведенных теорем следует, что для нахождения точек перегиба функции необходимо найти сначала критические точки ее производной и затем исследовать на перегиб каждую из них с помощью достаточного признака.

Пример.

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции

из примера 1 предыдущего пункта.

Решение. Так как

то

Производная имеет единственную критическую точку . Очевидно, и . Следовательно, - точка перегиба функции, так как слева от нее функция вогнута, а справа - выпукла.

Асимптоты функции. Алгоритм полного исследования функции

Научимся разыскивать прямые, к которым в определенном смысле близок график функции. Такие прямые называются асимптотами.

a)Вертикальные асимптоты.

Пусть функция f(x) определена в некотором интервале Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, т. е.

то прямая называется вертикальной асимптотой функции

b)Наклонные асимптоты.

Пусть функция f(x) определена на полуоси . Прямая

называется левосторонней (правосторонней) наклонной асимптотой функции f(x), если существует предел

Если существует предел

то наклонная асимптота является двусторонней.

Предположим, что наклонная асимптота существует. Найдем ее угловой коэффициент к и величину b. Так как

то

Тогда

Верно, очевидно, и обратное, а именно, если существуют пределы (1) и (2), то существует также и предел

и, таким образом, прямая у = kх + b — наклонная асимптота функции f(x).

Если хотя бы один из пределов (1) или (2) не существует или равен бесконечности, то функция не имеет наклонной асимптоты. В качестве примера, рассмотрим функцию

из предыдущего пункта. Для нее

и, следовательно, прямая х = 1 — вертикальная асимптота данной функции. Выясним, обладает ли эта функция наклонной асимптотой. Для этого вычислим пределы (1) и (2).

Таким образом, данная функция имеет двустороннюю наклонную асимптоту

Сведем, наконец, воедино все наши изыскания этого параграфа и формулируем

Алгоритм исследования функции

1. Находим область определения функции, проверяем ее на четность (нечетность) и периодичность.
2. Исследуем функцию на непрерывность, находим ее точки разрыва и асимптоты.
3. Определяем интервалы монотонности функции и ее точки экстремума.
4. Находим интервалы выпуклости (вогнутости) функции и ее точки перегиба.

Результаты этого исследования дают нам достаточно полное геометрическое представление

о поведении данной функции, которое мы можем реализовать в ее графике. Однако строить график "вручную" при наличии таких превосходных программ компьютерной математики, как Mathematica, Maple, Mathcad, было бы весьма архаично. Использование этих программ мы и рекомендуем для исследования функции и построения ее графика. Завершим этот параграф построением графика функции

полное исследование которой мы провели в этом параграфе.

График функции построен в среде компьютерной алгебры Mathematica.

Векторная функция действительного аргумента

Зависимость, по которой каждому действительному числу t из некоторого интервала ставится в соответствие определенный вектор на плоскости или в пространстве, называется векторной функцией действительного аргумента.

Для определенности всюду в этом параграфе векторную функцию мы будем рассматривать в пространстве. Пусть в нем выбрана декартова система координат Oxyz. Поскольку вектор в пространстве однозначно определяется своими координатами в ортонормированном базисе и наоборот, то задание векторной функции

равносильно заданию трех ее функций-координат

Если зафиксировать начало вектора в начале координат, то его конечная точка при изменении параметра t будет перемещаться по кривой L. имеющей параметрические уравнения (2). Эту кривую мы будем называть траекторией векторной функции

 

Замечание 1. В физике и механике уравнение представляет собой векторное уравнение движения материальной точки, а траектория движения этой точки представляет собой линию в пространстве с параметрическими уравнениями (2).

Введем теперь определение предельного вектора для векторной функции , определенной в интервале , содержащем точку за исключением, возможно, этой точки.

Определение: Вектор называется предельным для векторной функции при t стремящемся если для любого положительного числа найдется положительное число такое, что

Обозначается этот предельный вектор через 

Пусть

Теорема. Предельный вектор существует тогда и только тогда, когда существуют пределы координат (2) векторной функции (1) и

Для доказательства заметим прежде всего, что для любых действительных чисел

справедливо двойное неравенство

которое мы можем доказать возведением в квадрат всех трех его частей. Теперь, чтобы убедиться в справедливости приведенного выше утверждения, достаточно воспользоваться определением предельного вектора векторной функции и неравенством (3), благодаря которому

Действительно, из первых трех неравенств (4) следует, что как только

то и

для тех же значений t. Таким образом,

Наоборот, если имеют место последние равенства, то, выбрав по заданному положительное число так, чтобы

для , мы, воспользовавшись последним из неравенств (4), получим, что

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы и свойств предела функции (глава IV, §4, пункт 2) следует, что, если существуют предельные векторы  то

Использовав, кроме того, формулы для вычисления скалярного и векторного произведений (глава II, §§3, 4), получим:

Если, вдобавок, существует еще и предельный вектор  то по формуле для представления смешанного произведения в координатах (глава II, §5) будем иметь:

Пример 1.

Найти предельный вектор

Решение. Найдем пределы координат данной векторной функции.

Здесь мы использовали правило Лопиталя (§4 настоящей главы) и непрерывность элементарных функций (глава IV, §5, пункт 4). Для вычисления предела второй координаты векторной функции используем эквивалентные бесконечно малые в нуле функции , и (глава IV, §4, пункт 4):

Предел третьей координаты мы найдем с помощью пределов (5) и (3) (глава IV, §4, пункты 3 и 2 соответственно):

Применив теперь доказанную выше теорему, окончательно получим:

т. е. предельным для данной векторной функции является вектор

Как и для числовой функции, мы можем ввести понятие непрерывности для векторной функции. Пусть векторная функция определена в интервале , содержащем точку Она называется непрерывной в точке , если существует и

Из доказанной выше теоремы следует, что для непрерывности векторной функции необходимо и достаточно, чтобы были непрерывными ее координаты.

Если векторная функция непрерывна в любой точке интервала  то она называется непрерывной в этом интервале.

Если векторные функции непрерывны, то, как следует из определения непрерывности и свойств предельного вектора, сформулированных выше, непрерывными являются векторные функции , а также числовые функции

Векторная функция считается разрывной в некоторой точке, если она не является непрерывной в ней.

Введем теперь определение вектора, производной векторной функции. Предположим, что векторная функция определена в интервале . Обозначим через  - приращение векторной функции в точке соответствующее приращению аргумента

Определение: Если существует предельный вектор

то он называется вектором производной векторной функции и обозначается через

Как и в случае числовой функции, если для векторной функции существует вектор производной в некоторой точке, то будем говорить, что векторная функция дифференцируема в этой точке.

Из доказанной в этом параграфе теоремы следует, что векторная функция (1) дифференцируема тогда и только тогда, когда дифференцируемы ее координаты и координатами вектора производной являются производные координат векторной функции, т. е.

Выясним геометрический смысл вектора производной дифференцируемой в точке to векторной функции

Вектор является направляющим для секущей и направлен он в сторону перемещения вдоль траектории L векторной функции. В пределе при секущая будет занимать некоторое предельное положение, соответствующее касательной к траектории в точке , и направляющим вектором касательной будет служить как раз вектор производной .

Таким образом, вектор производной представляет, собой направляющий вектор касательной к траектории векторной функции в соответствующей точке, направленный в сторону перемещения по траектории.

Запишем, учитывая (5), канонические уравнения касательной к траектории дифференцируемой векторной функции (1) (или к кривой, заданной параметрическими уравнениями (2)) в точке :

Плоскость, проходящая через точку перпендикулярно касательной, называется нормальной плоскостью к траектории дифференцируемой векторной функции (или к кривой, заданной параметрическими уравнениями). Поскольку вектор является нормальным для нормальной плоскости, то ее общее уравнение имеет вид:

Пример 2.

Найти уравнения касательной и нормальной плоскости к траектории векторной функции

в точке

Решение. Найдем производную этой векторной функции:

Точке соответствует значение параметра , поэтому направляющим для касательной является вектор: Следовательно, искомые уравнения касательной и нормальной плоскости имеют вид

и

соответственно.

Если векторные функции определены в интервале и дифференцируемы в точке , то

Первая из этих формул очевидна, а остальные доказываются с помощью представления этих произведений векторных функций в координатах (глава II. §§3—5) и правил дифференцирования суммы и произведения функций (§1 настоящей главы). Например, если

тo

Замечание 2. Аналогично мы можем определить векторную функцию действительного аргумента и линию в n-мерном евклидовом пространстве

Комплексные числа и операции над ними

Разложение полинома на множители

Для решения некоторых задач действительных чисел может оказаться недостаточно и поэтому возникает необходимость в расширении множества действительных чисел. Попробуем, например, решить уравнение

Действительных решений оно не имеет, однако формально мы можем найти его корни, если введем в рассмотрение символ

который мы назовем мнимой единицей. Тогда из данного уравнения следует, что

Введем теперь следующее важное

Определение: Комплексным числом называется выражение вида

где х, у - действительные числа, - мнимая единица.

Множество всех комплексных чисел мы обозначим через С.

Для комплексного числа z = х + уi действительные числа х и у называются, соответственно, его действительной и мнимой частями. Обозначаются действительная и мнимая части, соответственно, через. Комплексные числа называются, соответственно, противоположным и сопряженным к комплексному числу 2. Используя эту терминологию можно сказать, что приведенное выше квадратное уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней

Комплексное число, мнимая часть которого равна нулю, т. е. число вида х + 0i. которое мы будем обозначать через х, отождествляется с действительным числом х и, таким образом, множество действительных чисел R является подмножеством множества комплексных чисел С или, иначе, множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел. Здесь уместно отметить, что сформулированная идея расширения множества действительных чисел до комплексных оказалась чрезвычайно плодотворной как в самой математике, так и в ее приложениях, например, в физике, механике, электротехнике, где аппарат комплексных чисел очень активно используется.

Комплексное число с нулевой действительной частью, а именно, число 0 + уi, которое мы будем записывать как уi, называется чисто мнимым.

Два комплексных числа считаются равными, если действительная и мнимая части одного из них равны, соответственно, действительной и мнимой частям другого.

Чтобы иметь возможность использовать комплексные числа, следует определить алгебраические операции над ними. Этим мы сейчас и займемся.

Пусть - два комплексных числа.

Суммой комплексных чисел называется комплексное число , которое находится сложением соответствующих выражений:

Тогда разностью этих комплексных чисел называется число

Произведением комплексных чисел называется комплексное число , которое мы можем найти, перемножив выражения для данных комплексных чисел и учитывая при этом, что. В результате получим:

Прямой проверкой мы можем убедиться в том, что операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, сформулированными для действительных чисел (глава IV, §1, свойства 1). 2), 5)). Роль комплексных единицы и нуля выполняют действительные числа и

Чтобы определить операцию деления комплексных чисел, покажем сначала, что для любого существует единственное обратное комплексное число , т.е. число, для которого выполняется равенство . Для этого умножим обе части последнего равенства на сопряженное к z комплексное число В результате получим:

Так как , следовательно,

Частным от деления числа называется комплексное число

Учитывая приведенное выше представление для обратного комплексного числа, мы можем записать также следующую формулу для вычисления частного:

Целая степень комплексного числа определяется точно также, как и целая степень действительного числа.

Пример 1.

Вычислить сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел а также степень

Решение. Воспользовавшись определением алгебраических операций, получим:

Для вычисления степени, заметим сначала, что

Тогда

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию комплексного числа, которая даст нам возможность представить комплексное число в так называемой тригонометрической форме.

Выберем на плоскости декартову систему координат Оху. Тогда на этой плоскости комплексное число z = х + yi мы можем представлять себе как точку М(х, у) или радиус-вектор

и, наоборот, точку или ее радиус-вектор считать соответствующим комплексным числом.

Таким образом заполненную комплексными числами плоскость мы будем называть комплексной плоскостью. Действительные числа располагаются на оси Ох, поэтому ее называют действительной осью комплексной плоскости, чисто мнимые - на оси Оу, которая называется мнимой осью комплексной плоскости.

На комплексной плоскости сложение и вычитание комплексных чисел равносильно этим же операциям над соответствующими радиусами-векторами.

Длина r радиуса-вектора называется модулем комплексного числа z, угол , который образует этот радиус-вектор с положительным направлением оси Ох, называется аргументом данного комплексного числа (для модуля и аргумента иногда используются обозначения  и соответственно). Очевидно, что. если аргумент найден, то любой из углов также является аргументом. Чтобы однозначно зафиксировать аргумент, будем выбирать его значение в пределах полного угла, например, из промежутка Из прямоугольного треугольника O M N следует, что, с одной стороны,

а, с другой,

(мы здесь, естественно, подразумеваем, что . Если z = 0, то r = 0, а аргумент не определен). Тогда

Таким образом, комплексное число z = х + yi мы можем записать в виде

где модуль г и аргумент ip находятся по формулам (1). Это представление называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если складывать и вычитать комплексные числа удобно, когда они представлены в своей первоначальной, алгебраической форме, то при умножении, делении и возведении в степень гораздо удобнее использовать тригонометрическую форму. Действительно, пусть

— два комплексных числа, представленные в тригонометрической форме. Тогда

Таким образом.

т. е. при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы складываются. Аналогично, если , то

и. таким образом, деление комплексных чисел приводит к делению их модулей и вычитанию аргументов. Из последних двух формул следует, что, если . то для любого целого n

- формула Муавра.

Научимся теперь извлекать корни из комплексных чисел. По определению, для произвольного натурального n > 1 корнем n-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число , для которого . В отличие от степени корень из комплексного числа находится неоднозначно. Для вычисления корня также удобно использовать тригонометрическую форму. Пусть

Воспользовавшись определением корня и формулой Муавра, получим:

Отсюда, или

Полагая целое число m равным n последовательным значениям, например, мы получим n различных значений аргумента, а, значит, и n различных значений корня. Все остальные аргументы будут отличаться от указанных на угол, кратный  и поэтому новых значений корня они не добавят.

Таким образом, корень n-ой степени из комплексного числа имеет n различных значений и все они вычисляются по формуле

Заметим еще, что, как видно из формулы, переход от одного значения корня к соседнему происходит поворотом на один и тот же угол . поэтому все корни n-ой степени из комплексного числа z находятся на окружности радиуса с центром в начале координат в вершинах правильного n-угольника.

Пример 2.

Решить уравнение

Решение. Из данного уравнения следует, что Представим комплексное число в тригонометрической форме. По формулам (1)

Тогда  и, следовательно, искомые корни могут быть вычислены по формуле (2):

Таким образом, данное уравнение имеет три различных комплексных корня

которые располагаются на окружности радиуса с центром в начале координат в вершинах равностороннего треугольника.

Рассмотрим еще одну форму представления комплексного числа - показательную. Положим по определению

Поясним (нестрого!) эту формулу, использовав разложение экспоненты по формуле Маклорена произвольного порядка для аргумента (§5, пункт 2, формула (1)):

Отсюда формально и следует соотношение (3), так как выражения в скобках в последней формуле представляют собой разложения функций по формуле Маклорена (§5, пункт 2, формулы (3) и (2) соответственно).

Использовав (3) и формулы умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, мы можем убедиться в справедливости следующих свойств экспоненты , которые повторяют соответствующие свойства показательной функции действительного аргумента:

С учетом (3) тритонометрическая форма представления комплексного числа

превращается в показательную

Показательная форма позволяет, учитывая приведенные выше свойства экспоненты , компактно записать операции умножения, деления, а также возведения в степень и извлечения корня для комплексных чисел. Действительно, если  то

Формула (3) дает возможность определить комплексную экспоненту. Действительно, для произвольного комплексного числа z = х + уi положим по определению

Свойства этой функции совершенно аналогичны приведенным выше соответствующим свойствам функции 

Покажем, что операция комплексного сопряжения над результатом любой алгебраической операции приводит к точно такой же операции над сопряженными комплексными числами. Для сложения и вычитания это очевидным образом следует из определения этих операций, т.е 

Далее, так как операция комплексного сопряжения не меняет модуля комплексного числа, но меняет знак его аргумента на противоположный, т. е. . то, использовав формулы (4), мы можем записать:

Если действительная и мнимая части комплексного числа зависят от некоторой действительной переменной, го мы вправе говорить о комплексной функции действительного аргумента.

Определение: Закономерность, по которой каждому действительному числу t из некоторого интервала ставится в соответствие определенное комплексное число z(t), называется комплексной функцией действительного аргумента. Пусть  Тогда

Значения комплексной функции заполняют на плоскости Оху некоторую кривую L. которая является траекторией векторной функции

Комплексным уравнением кривой L является уравнение

Поскольку задание комплексной функции z(t) равносильно заданию соответствующей векторной функции f(t). то введенные для векторной функции в предыдущем параграфе понятия предела, непрерывности и производной автоматически переносятся и на комплексную функцию. В частности, если функция z(t) дифференцируема в точке , то ее действительная и мнимая части также дифференцируемы в этой точке и

Производная является направляющим вектором касательной к кривой L в точке . Использовав векторное уравнение прямой на плоскости (глава III. §3), мы можем записать комплексное уравнение касательной:

Пример 3.

Построить кривую L. заданную комплексным уравнением

и найти комплексное уравнение касательной к этой кривой в точке  Решение. Кривая L задана параметрическими уравнениями

Из свойств функций sin t и cos t следует, что эта кривая симметрична относительно осей координат и биссектрис координатных углов, поэтому достаточно построить ее в первой четверти и затем отразить относительно координатных осей. Найдем первую и вторую производные функции

 заданной параметрически (§2, пункты 2 и 3). Так как

то

Далее.

Так как , то в первой четверти кривая L является графиком убывающей выпуклой функции. Построим эту кривую.

Она называется астроидой.

Точке соответствует значение параметра . Направляющим вектором касательной

к кривой L в точке является вектор    Тогда комплексное уравнение

касательной имеет вид:

В следующем семестре при изучении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами нам придется рассматривать комплексную функцию

действительного аргумента х. Покажем, что как и для действительной функции

В самом деле, если то

и, следовательно,

Вернемся теперь к исходному пункту этого параграфа, а именно, к задаче решения алгебраического уравнения. Рассмотрим полином степени комплексной переменной  с комплексными коэффициентами

На вопрос о разрешимости уравнения

отвечает сформулированная ниже теорема, которую называют иногда основной теоремой алгебры.

Теорема Гаусса. Уравнение (7) имеет комплексный

Пусть — корень уравнения (7), существование которого гарантирует теорема Гаусса. Тогда, учитывая, что при любом натуральном k

получим:

где - некоторый полином степени n—1. Если, далее, — корень уравнения

где — полином степени n — 2, и, таким образом,

Продолжая этот процесс, мы через , шагов придем к следующему представлению для полинома  :

где — полином степени , причем . Число . называется кратностью корня , то уравнение по теореме Гаусса имеет корень. Для этого корня мы по аналогии с (8) можем записать разложение

в котором — полином степени . Следовательно,

Повторяя эту процедуру для всех оставшихся корней уравнения (7), мы придем к следующему разложению полинома на множители:

где все корни кратностей , соответственно, различны. В частном случае уравнение может иметь n различных и, значит, простых, т.е. кратностей 1, корней. Тогда

Обсудим теперь один важный частный случай, когда все коэффициенты полинома действительного аргумента х действительны. Для этого полинома также справедливо представление (9), однако в нем могут быть комплексные множители. Поставим себе целью найти разложение этого полинома на действительные множители. Для этого заметим, что в данном случае

для любого комплексного числа z. В самом деле, воспользовавшись свойствами (5) и (6) комплексного сопряжения и тем, что коэффициенты полинома действительны, получим:

Из (10) сразу же следует, что, если уравнение

имеет комплексный корень  то и сопряженное к нему число zq также является корнем этого уравнения. Так как квадратичное выражение

имеет действительные коэффициенты , то полином мы можем представить в виде

,

где полином степени n — 2 также имеет действительные коэффициенты. Если уравнение также имеет пару комплексно сопряженных корней , то из полинома

мы, в свою очередь, можем выделить квадратичный множитель и, следовательно,

где  - полином степени n — 4 с действительными коэффициентами. Повторяя эту процедуру, мы через r шагов, где r - общая кратность пары комплексно сопряженных корней уравнения (11), придем к равенству

Здесь полином степени имеет действительные коэффициенты и

Таким образом, мы можем утверждать, что. если уравнение (11) имеет к действительных корней с кратностями соответственно, и пар комплексно сопряженных корней кратностей, соответственно, то полином имеет следующее разложение по степеням действительных линейных и квадратичных множителей:

где

В заключение этого параграфа научимся находить кратность корня уравнения (11) с помощью производной.

Корень уравнения (11) имеет кратность тогда и только тогда, когда

Действительно, предположим сначала, что -кратный корень уравнения (11). Тогда ввиду (8)

Отсюда и следует утверждение, так как первые s— 1 производных будут содержать множитель и, следовательно, они равны нулю в точке , а

Где полином степени n — s — 1, и поэтому

Обратно, пусть имеют место соотношения (13). Запишем для полинома формулу Тейлора порядка n в точке с остатком в форме Лагранжа (§5, пункт 1, формула (1)):

так как здесь

Из формулы Тейлора и соотношений (13) следует, что

где

Следовательно, , что и означает, что — корень кратности s уравнения (11).

Замечание. Сформулированное утверждение справедливо и для кратных комплексных корней уравнения (11).

Пример 4.

Разложить на множители полином

Решение. Найдем кратности корней Так как

то Далее.

следовательно, Отсюда следует, что - трехкратный, а -двукратный корень уравнения и. таким образом,