Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Содержание:

Ранее мы выполняли построения на плоскости при помощи линейки с делениями, чертежного треугольника, транспортира и циркуля.

Математиков всегда интересовали построения геометрических фигур, которые можно выполнить только при помощи циркуля и линейки. В геометрии специально выделяют задачи на построение, которые могут быть решены с помощью этих двух инструментов.

Например, при помощи циркуля и линейки можно построить треугольник, стороны которого равны трем данным отрезкам. Или построить угол, равный данному углу.

Рассмотрим одну из таких задач на построение. На прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Найти точку — это значит построить ее при помощи циркуля и линейки. Если перемещать некоторую точку по прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения (положения К1 К2, К3), то расстояния от этой точки до точек А и В будут меняться. Когда эти расстояния станут равными, точка на прямой будет равноудалена от концов отрезка АВ. Значит, она будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку АВ. Это и есть идея построения: нужно построить серединный перпендикуляр к отрезку АВ и найти точку его пересечения с прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Чтобы построить серединный перпендикуляр, нужно построить две пересекающиеся окружности равных радиусов с центрами в точках А к В (рис. 293, б). Затем провести прямую MN через точки пересечения этих окружностей (ниже мы обоснуем это построение). В пересечении серединного перпендикуляра MN к отрезку АВ и прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения получим искомую точку К.

Рассмотренная задача может иметь и практический смысл. Допустим, есть два населенных пункта и шоссе рядом с ними. На шоссе нужно найти место для остановки, чтобы путь для жителей обоих населенных пунктов до остановки был одинаковым. Все построения будут сделаны на карте населенного пункта.

При решении задач на построение линейка считается односторонней и без делений. При помощи такой линейки нельзя построить две параллельные прямые, проведя линии по краям линейки, нельзя измерять и откладывать отрезки, нельзя строить перпендикуляры, используя прямоугольную форму линейки. Рассмотрим, какие операции можно выполнять линейкой, а какие циркулем.

Операции с линейкой

При помощи линейки можно провести (построить):

а)    произвольную прямую;

б)    прямую, проходящую через две точки (рис. 294).

Операции с циркулем

При помощи циркуля можно:

а)    построить произвольную окружность и окружность (дугу окружности) с данным центром и радиусом, равным данному отрезку (рис. 295);

б)    отложить отрезок, равный данному отрезку, на некоторой прямой.

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Откладывание отрезка

Для откладывания отрезка, равного данному отрезку Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 296, а) на прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 296, б), следует: 1) отметить на прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения точку М; 2) радиусом, равным а, провести дугу окружности с центром в точке М (сделать засечку на прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

В пересечении дуги и прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения получим точку К и отрезок МК, равный Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Операция откладывания отрезка на прямой позволяет построить сумму и разность двух отрезков (рис. 297): в первом случае на произвольной прямой откладывают последовательно два отрезка, во втором — на большем отрезке от любого его конца откладывают меньший отрезок.

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

В дальнейшем при решении задач на построение мы не будем описывать процедуру откладывания отрезка на прямой, считая ее элементарной операцией.

Перечислим 5 основных задач на построение, к которым сводятся другие задачи. Решая сложные задачи, будем ссылаться на эти основные, не описывая ту часть решения, которая связана с одной из основных задач.

  • Задача I. Построение треугольника по трем сторонам.
  • Задача II. Построение угла, равного данному.
  • Задача III. Построение биссектрисы угла.
  • Задача IV. Построение середины отрезка.
  • Задача V. Построение прямой, перпендикулярной данной.

В некотором смысле «линейка» и «циркуль» — это два идеальных робота, которые могут выполнять определенный набор операций. И наша задача — составить алгоритм из последовательности таких операций — команд для этих роботов, который приведет к построению необходимой фигуры. Фактически нужно написать программу для «циркуля» и «линейки».

Замечание. В треугольнике ABC стороны, противолежащие углам А, В и С, будем соответственно обозначать Задачи на построение по геометрии с примерами решения, Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения, а сами эти углы — Задачи на построение по геометрии с примерами решения, Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 298). Медианы, проведенные к сторонам Задачи на построение по геометрии с примерами решения, Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения, — Задачи на построение по геометрии с примерами решения высоты — Задачи на построение по геометрии с примерами решения биссектрисы — Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Построение треугольника по трем сторонам. Построение угла, равного данному 

Задача №1

Построить треугольник со сторонами Задачи на построение по геометрии с примерами решения, Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Решение:

Пусть даны отрезки Задачи на построение по геометрии с примерами решения, Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения. На произвольной прямой откладываем отрезок АВ = Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис.300).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Строим окружность с центром в точке А радиусом Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Строим окружность с центром в точке В радиусом Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Находим точку С пересечения этих окружностей. Проведем отрезки АС и ВС.

Треугольник ABC — искомый, так как у него ВС = Задачи на построение по геометрии с примерами решения, АС = Задачи на построение по геометрии с примерами решения, АВ = Задачи на построение по геометрии с примерами решения по построению.

Задача имеет решение, если для данных отрезков Задачи на построение по геометрии с примерами решения, Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения выполняется неравенство треугольника: Задачи на построение по геометрии с примерами решения < Задачи на построение по геометрии с примерами решения + Задачи на построение по геометрии с примерами решения, Задачи на построение по геометрии с примерами решения < Задачи на построение по геометрии с примерами решения + Задачи на построение по геометрии с примерами решения, Задачи на построение по геометрии с примерами решения < Задачи на построение по геометрии с примерами решения + Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Если решение существует, то оно единственное, так как все построенные треугольники будут равны по 3-му признаку равенства треугольников.

Следствие.

Если для чисел Задачи на построение по геометрии с примерами решения, Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения выполняется неравенство треугольника, то существует, и причем единственный, треугольник со сторонами, равными Задачи на построение по геометрии с примерами решения, Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Замечание. При решении задач на построение под числом решений понимается число фигур разной формы, удовлетворяющих условию. В данном случае решение одно.

Задача №2

Построить угол, равный

Решение:

Пусть дан угол А (рис. 301, а).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Нужно построить угол А1, равный углу А. Идея решения состоит в том, чтобы построить некоторый треугольник ABC с углом А и равный ему треугольник A1B1C1.

Строим произвольный луч А1К (рис. 301, б). Произвольным, но одним и тем же радиусом строим дуги с центрами в точках А и А1. Получаем АВ =АС =А1С1. Строим дугу окружности с центром в точке C1 радиусом, равным СВ, до пересечения ее с уже построенной дугой в точке В1. Строим луч А1В1. Угол A1 — искомый. Действительно, так как Задачи на построение по геометрии с примерами решенияАВС и Задачи на построение по геометрии с примерами решенияА1В1С1 равны по трем сторонам (АВ = А1В1, АС=А1С1, ВС = В1С1 по построению), то Задачи на построение по геометрии с примерами решенияA1 =Задачи на построение по геометрии с примерами решенияA как соответствующие в двух равных треугольниках.

Замечания. Построение угла, равного данному, дает возможность строить сумму и разность двух углов.

Задача №3

Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Решение:

Пусть даны отрезки Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения и угол Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 302).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Нужно построить треугольник со сторонами Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения и углом Задачи на построение по геометрии с примерами решения между ними. Вначале строим угол С, равный данному углу Задачи на построение по геометрии с примерами решения (основная задача). На сторонах угла С откладываем отрезки СВ = Задачи на построение по геометрии с примерами решения и СА = Задачи на построение по геометрии с примерами решения и проводим отрезок АВ. Треугольник ABC — искомый, так как удовлетворяет условию задачи: СВ = Задачи на построение по геометрии с примерами решения, CA = Задачи на построение по геометрии с примерами решения,Задачи на построение по геометрии с примерами решенияC = Задачи на построение по геометрии с примерами решения по построению.

Заметим, что решение существует, если Задачи на построение по геометрии с примерами решения< 180°, и оно единственное, так как все построенные треугольники будут равны по 1-му признаку равенства треугольников.

Задача №4

Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Решение:

Пусть дана сторона Задачи на построение по геометрии с примерами решения и углы Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 303).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Нужно построить треугольник со стороной Задачи на построение по геометрии с примерами решения и прилежащими к ней углами Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

На произвольной прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения откладываем отрезок ВС = Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

От лучей ВС и СВ в одну полуплоскость откладываем углы, равные углу Задачи на построение по геометрии с примерами решения и углу Задачи на построение по геометрии с примерами решения (основная задача). Отмечаем точку А, в которой пересекаются стороны углов В и С. Треугольник ABC — искомый.

Решение существует, если Задачи на построение по геометрии с примерами решения + Задачи на построение по геометрии с примерами решения< 180°, и оно единственное, так как все построенные треугольники будут равны по 2-му признаку равенства треугольников.

Построение биссектрисы угла. Построение середины отрезка

Задача:

Построить биссектрису данного угла.

Решение:

Пусть дан угол А (рис. 305).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Нужно построить его биссектрису. Произвольным радиусом строим дугу окружности с центром в точке А, которая пересекает стороны угла А в точках В и С. Далее одинаковым радиусом строим две дуги с центрами в точках В и С до их пересечения в точке D. Строим луч AD, который является искомой биссектрисой. Доказательство следует из того, что Задачи на построение по геометрии с примерами решенияABD =Задачи на построение по геометрии с примерами решенияACD по трем сторонам (АВ = АС,    BD = CD как радиусы, сторона AD — общая), откуда Задачи на построение по геометрии с примерами решенияBAD =Задачи на построение по геометрии с примерами решенияCAD.

Задача №5

Построить середину отрезка (разделить данный отрезок пополам).

Решение:

Пусть АВ — данный отрезок. Произвольным, но одним и тем же радиусом (большим половины отрезка АВ) проводим две дуги с центрами в точках А и В до их пересечения в точках С и D (рис. 306).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Через точки С и D проводим прямую. В пересечении прямых CD и АВ получаем точку М — середину отрезка АВ. Докажем это. Так как точки С и D равноудалены от концов отрезка АВ (СА = СВ = DA = DB как радиусы), то они лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Поскольку две точки задают единственную прямую, то CD — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Следовательно, AM = MB.

Замечание. Указанный способ построения середины отрезка также является и способом построения серединного перпендикуляра к отрезку.

Задача №6

Построить треугольник по стороне Задачи на построение по геометрии с примерами решения, прилежащему углу Задачи на построение по геометрии с примерами решения и биссектрисе Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Решение:

Предположим, что задача решена, и сделаем чертеж искомого треугольника АВС (рис. 307).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Пусть AC = Задачи на построение по геометрии с примерами решения, Задачи на построение по геометрии с примерами решенияA = Задачи на построение по геометрии с примерами решения, биссектриса АК = Задачи на построение по геометрии с примерами решения Так как АК — биссектриса, то Задачи на построение по геометрии с примерами решенияKAC = Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Треугольник АКС можно построить по двум сторонам и углу между ними:

AC = Задачи на построение по геометрии с примерами решения, AK = Задачи на построение по геометрии с примерами решения Задачи на построение по геометрии с примерами решенияKAC=Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Далее треугольник АКС легко достроить до искомого треугольника ABC. Опишем построение (рис. 308).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

1)    Строим Задачи на построение по геометрии с примерами решенияEAF = Задачи на построение по геометрии с примерами решения (основная задача).

2)    Строим биссектрису AG угла EAF (основная задача). Получаем Задачи на построение по геометрии с примерами решенияGAF =Задачи на построение по геометрии с примерами решения

3)    Строим треугольник АКС по двум сторонам и углу между ними: на луче AF откладываем отрезок AC = Задачи на построение по геометрии с примерами решения, на луче AG — отрезок АК = Задачи на построение по геометрии с примерами решения

4)    Находим точку В пересечения луча СК и луча АЕ. Треугольник ABC — искомый.

Задача №7

Построить центр данной окружности.

Решение:

Мы знаем, что серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности. Серединные перпендикуляры к двум хордам окружности будут пересекаться в ее центре. Отсюда построение.

Строим хорду АВ (рис. 309) и к ней серединный перпендикуляр МК (основная задача).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Строим хорду CD (не параллельную АВ) и к ней серединный перпендикуляр EF. Точка О пересечения прямых МК и EF — центр окружности.

Замечание. Вторым способом решения будет построение одного серединного перпендикуляра МК к хорде АВ, нахождение точек Т и Р пересечения МК с окружностью и построение середины О диаметра ТР.

Построение прямой, перпендикулярной данной

Задача:

Построить прямую, перпендикулярную прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения и проходящую через данную точку А.

Решение:

Алгоритм построения одинаков для случая, когда точка А не принадлежит прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 310, а) и когда точка А принадлежит прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 310, б).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Построение.

Проводим дугу с центром в точке А, которая пересекает прямую Задачи на построение по геометрии с примерами решения в точках В и С. Из точек В и С как из центров одним и тем же радиусом проводим дуги до пересечения их в точке D. Строим прямую AD. Получаем ADЗадачи на построение по геометрии с примерами решенияЗадачи на построение по геометрии с примерами решения.

Доказательство:

Так как точки А и D равноудалены от концов отрезка ВС (АВ=АС, BD = CD как радиусы), то AD — серединный перпендикуляр к отрезку ВС.

Следовательно, ADЗадачи на построение по геометрии с примерами решенияЗадачи на построение по геометрии с примерами решения.

Этапы решения задачи на построение

При решении задачи на построение выделяют 4 этапа.

1.    Анализ.

На этом этапе предполагают, что задача решена, делают чертеж с изображением искомой фигуры и указывают идею решения задачи.

2.    Построение.

На этом этапе дают описание последовательности шагов, приводящих к построению искомой фигуры, то есть алгоритм построения. Иногда на этом этапе проводят и сами операции построения на произвольно взятых отрезках, углах и других фигурах. В сложных задачах обычно указывают лишь шаги построения, ссылаясь на основные и ключевые задачи.

3.    Доказательство.

На этом этапе доказывают, что построенная фигура удовлетворяет требованию задачи. Иногда это следует непосредственно из построения.

4.    Исследование.

На данном этапе определяют, при какой величине заданных в условии отрезков и углов существует решение и число решений.

При записи решения задачи на построение этапы анализа и исследования в школе необязательны, если в условии задачи нет специальных указаний.

Задача №8

Построить прямоугольный треугольник по катету и прилежащему острому углу.

Решение:

Пусть дан катет Задачи на построение по геометрии с примерами решения и прилежащий к нему острый угол Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Нужно построить прямоугольный треугольник с катетом Задачи на построение по геометрии с примерами решения и углом (рис. 311).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Построение.

1) Строим прямой угол. Для этого проводим произвольную прямую Задачи на построение по геометрии с примерами решения и строим перпендикулярную ей прямую, проходящую через произвольно взятую на прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения точку С (основная задача). Получаем прямой угол С.

2)    На одной стороне прямого угла С от его вершины откладываем отрезок СВ = Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

3)    Строим Задачи на построение по геометрии с примерами решенияB = Задачи на построение по геометрии с примерами решения (основная задача).

4)    В пересечении стороны угла В со стороной прямого угла получим точку А.

Доказательство:

Треугольник АВС — искомый, так как по построениюЗадачи на построение по геометрии с примерами решенияC=90°, ВС=Задачи на построение по геометрии с примерами решения — катет,Задачи на построение по геометрии с примерами решенияB=Задачи на построение по геометрии с примерами решения — прилежащий острый угол.

Замечание. Мы не описываем построение прямой, перпендикулярной данной, и построение угла, равного данному, так как это основные задачи. На рисунке 311 построение прямого угла С показано для наглядности.

Задача №9

Построить прямую, параллельную данной прямой, если расстояние между этими прямыми равно заданному отрезку.

Решение:

Пусть дана прямая Задачи на построение по геометрии с примерами решения и отрезок Задачи на построение по геометрии с примерами решения, равный расстоянию между параллельными прямыми Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 312).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Нужно построить прямую Задачи на построение по геометрии с примерами решения, параллельную прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения и находящуюся от прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения на расстоянии Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Воспользуемся теоремой о том, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Построение.

1)    Отмечаем на прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения точку М и строим прямую с, перпендикулярную прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения и проходящую через точку М (основная задача).

2)    Откладываем на прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения перпендикуляр MK = Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

3)    Строим прямую Задачи на построение по геометрии с примерами решения, перпендикулярную прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения и проходящую через точку К (основная задача). Получаем Задачи на построение по геометрии с примерами решения || Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Доказательство:

Так как Задачи на построение по геометрии с примерами решенияЗадачи на построение по геометрии с примерами решенияЗадачи на построение по геометрии с примерами решения, Задачи на построение по геометрии с примерами решенияЗадачи на построение по геометрии с примерами решения Задачи на построение по геометрии с примерами решения и на  плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Задачи на построение по геометрии с примерами решения || Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Расстояние между параллельными прямыми равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую: KMЗадачи на построение по геометрии с примерами решенияa, KM=Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Задача №10

Построить треугольник по основанию Задачи на построение по геометрии с примерами решения, высоте Задачи на построение по геометрии с примерами решения и медиане Задачи на построение по геометрии с примерами решения, проведенным к этому основанию.

Решение:

Анализ. Пусть у треугольника ABC ВС = Задачи на построение по геометрии с примерами решения, высота АН = Задачи на построение по геометрии с примерами решения и медиана AM = Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 313).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Заметим, что треугольник АНМ может быть построен по катету и гипотенузе, а затем достроен до искомого треугольника ABC путем откладывания от точки М влево и вправо отрезков МС = MB = Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Построение.

1)    Строим прямой угол Н (рис. 314).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

На одной его стороне откладываем отрезок АН = Задачи на построение по геометрии с примерами решения, из точки А как из центра делаем засечку на второй стороне угла радиусом Задачи на построение по геометрии с примерами решения — получаем точку М.

2)    Делим отрезок Задачи на построение по геометрии с примерами решения пополам (основная задача) и на прямой НМ откладываем по разные стороны от точки М отрезки МВ= Задачи на построение по геометрии с примерами решения и МС= Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Проводим отрезки СА и ВА. 

Доказательство:

Задачи на построение по геометрии с примерами решенияABC — искомый, так как у него высота АН=Задачи на построение по геометрии с примерами решения, медиана АМ=Задачи на построение по геометрии с примерами решения, сторона ВС=Задачи на построение по геометрии с примерами решения по построению.

Исследование*. Так как катет меньше гипотенузы, то высота Задачи на построение по геометрии с примерами решения должна быть меньше или равна медиане Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Поэтому решение существует, если Задачи на построение по геометрии с примерами решения < Задачи на построение по геометрии с примерами решения, и оно единственное. Если Задачи на построение по геометрии с примерами решения = Задачи на построение по геометрии с примерами решения, получим равнобедренный треугольник.

Геометрическое место точек

Определение. Геометрическим местом точек (ГМТ) называется множество всех точек, обладающих общим свойством.

Примеры геометрических мест точек на плоскости

1.    Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки.

2.    Серединный перпендикуляр — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка.

3.    Биссектриса — геометрическое место точек внутри угла, равноудаленных от сторон угла.

4.    Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии Задачи на построение по геометрии с примерами решения от данной прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения, — две прямые Задачи на построение по геометрии с примерами решенияи Задачи на построение по геометрии с примерами решения, параллельные данной, находящиеся в разных полуплоскостях от этой прямой на заданном расстоянии от нее (рис. 316).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

5.    Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения, есть параллельная им прямая Задачи на построение по геометрии с примерами решения, проходящая через середину М их общего перпендикуляра АВ (рис. 317).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

В пространстве геометрическим местом точек, равноудаленных от данной точки, является сфера.

Метод геометрических мест точек

Одним из методов решения задач на построение является метод пересечения двух геометрических мест точек. Суть его состоит в следующем. Пусть искомая точка удовлетворяет, например, некоторым двум условиям: геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, — это некоторая фигура F1 (окружность, биссектриса угла, серединный перпендикуляр и т. д.), а геометрическое место точек, удовлетворяющих другому условию, — это фигура F2. Искомая точка, принадлежащая и фигуре F1, и фигуре F2, является точкой их пересечения. В частности, методом пересечения двух геометрических мест точек решена основная задача о построении треугольника по трем сторонам.

Задача №11

Построить внутри данного угла точку, которая равноудалена от сторон угла на данное расстояние Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Решение:

Анализ. Пусть дан угол ВАС и отрезок длиной Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 318).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Все точки, равноудаленные от сторон угла, лежат на биссектрисе угла. Поэтому искомая точка лежит на биссектрисе угла. С другой стороны, все точки, удаленные от стороны угла на расстояние Задачи на построение по геометрии с примерами решения, лежат на двух прямых, параллельных стороне угла и находящихся от нее на расстоянии Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Искомая точка будет находиться на пересечении указанных двух геометрических мест точек.

Построение.

1)    Строим прямую Задачи на построение по геометрии с примерами решения, параллельную прямой АС, с их общим перпендикуляром, равным Задачи на построение по геометрии с примерами решения (ключевая задача 2 § 30).

2)    Строим биссектрису угла ВАС (основная задача).

3)    В пересечении биссектрисы и прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения получаем искомую точку К.

Доказательство:

Расстояние между параллельными прямыми Задачи на построение по геометрии с примерами решения и АС равно Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Значит, и расстояние от точки К до стороны АС угла ВАС равно Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла, в том числе и точка К. Точка К удовлетворяет требованию задачи.

Задача №12

Построить треугольник по двум сторонам Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения и высоте Задачи на построение по геометрии с примерами решения, опущенной на сторону Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Решение:

Заметим, что в общем случае существует два треугольника со сторонами Задачи на построение по геометрии с примерами решения, Задачи на построение по геометрии с примерами решения и высотой Задачи на построение по геометрии с примерами решения, (рис. 319, а, б).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Построение (рис. 320).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

1)    Строим две параллельные прямые Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения с расстоянием между ними (ключевая задача 2 § 30).

2)    Строим дугу с центром в точке С и радиусом Задачи на построение по геометрии с примерами решения, которая пересекает прямую Задачи на построение по геометрии с примерами решения в точках В и В1.

3)    Строим дугу с центром в точке С радиусом Задачи на построение по геометрии с примерами решения, которая пересечет прямую Задачи на построение по геометрии с примерами решения в точке А. Треугольники ABC и АВ1С — искомые.    

Доказательство:

Следует из построения и теоремы о расстоянии между параллельными прямыми.

Исследование. Так как перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой, то задача может иметь решение, только если Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения Если Задачи на построение по геометрии с примерами решения Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения то задача имеет два решения. Если Задачи на построение по геометрии с примерами решения то треугольник прямоугольный, и задача имеет одно решение. Если Задачи на построение по геометрии с примерами решения то задача имеет одно решение — равнобедренный треугольник. Если Задачи на построение по геометрии с примерами решения или Задачи на построение по геометрии с примерами решения задача не имеет решения.

Задачи на построение с решением

С помощью линейки с делениями, циркуля, угольника, транспортира, шаблонов (рис. 312) вам не раз приходилось проводить различные геометрические построения.

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

А можно ли обходиться меньшим количеством чертежных инструментов? Оказывается, что во многих случаях достаточно использовать только циркуль и линейку без делений. Например, чтобы провести биссектрису угла, совсем не обязательно иметь транспортир, а разделить отрезок пополам можно и тогда, когда на линейку не нанесена шкала.

А стоит ли в наше время, когда созданы точнейшие приборы и совершенные компьютерные программы, позволяющие выполнять сложнейшие измерения и построения, обходиться такими «скудными» средствами, как циркуль и линейка? На практике, конечно, нет. Поэтому, например, конструкторы, строители, архитекторы, дизайнеры не ограничивают себя в выборе инструментов.

Однако при изучении геометрии очень полезно принять участие в игре по таким правилам:

  1. все построения выполняются только с помощью циркуля и линейки без делений;
  2. с помощью линейки можно через заданную точку Задачи на построение по геометрии с примерами решения провести прямую, а также через заданные две точки Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения провести прямую Задачи на построение по геометрии с примерами решения;
  3. с помощью циркуля можно построить окружность с данным центром и радиусом, равным заданному отрезку Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Итак, договоримся, что если в задаче требуется построить какую-то фигуру, то построение выполняется по описанным выше правилам.

Решить задачу на построение — это значит составить план (алгоритм) построения фигуры; реализовать план, выполнив построение; доказать, что полученная фигура является искомой.

Рассмотрим основные задачи на построение.

Задача №13

Постройте угол, равный данному, одна из сторон которого является данным лучом.

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Решение:

На рисунке 313 изображены угол Задачи на построение по геометрии с примерами решения и луч Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Надо построить угол, равный углу Задачи на построение по геометрии с примерами решения, одной из сторон которого является луч Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Точки пересечения этой окружности со сторонами угла Задачи на построение по геометрии с примерами решения обозначим Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 314).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Пусть Задачи на построение по геометрии с примерами решения Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Проведем окружность радиуса Задачи на построение по геометрии с примерами решения с центром в точке Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 315). Она пересекает луч Задачи на построение по геометрии с примерами решения в точке Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Затем с центром в точке Задачи на построение по геометрии с примерами решения проведем окружность, радиус которой равен Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Пусть Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения — точки пересечения окружностей с центрами Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Покажем, что каждый из углов Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения — искомый. Докажем, например, что Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Рассмотрим треугольники Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Имеем: Задачи на построение по геометрии с примерами решенияЗадачи на построение по геометрии с примерами решения. Кроме того, по построению Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Следовательно, Задачи на построение по геометрии с примерами решения по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Аналогично можно показать, что Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Задача №14

Постройте серединный перпендикуляр данного отрезка.

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Решение:

Пусть Задачи на построение по геометрии с примерами решения — данный отрезок. Проведем две окружности с центрами Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения радиуса Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 316). Точки пересечения этих окружностей обозначим Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Из построения следует, что Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Следовательно, точки Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения принадлежат серединному перпендикуляру отрезка Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Прямая Задачи на построение по геометрии с примерами решения и является серединным перпендикуляром отрезка Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Замечание. Поскольку прямая Задачи на построение по геометрии с примерами решения пересекает отрезок Задачи на построение по геометрии с примерами решения в его середине, точке Задачи на построение по геометрии с примерами решения, то тем самым решена

Задача №15

Даны прямая и не принадлежащая ей точка. Через эту точку проведите прямую, перпендикулярную данной.

Решение:

Пусть Задачи на построение по геометрии с примерами решения — данная прямая, Задачи на построение по геометрии с примерами решения — не принадлежащая ей точка. Проведем окружность с центром в точке Задачи на построение по геометрии с примерами решения так, чтобы она пересекла прямую Задачи на построение по геометрии с примерами решения в двух точках. Обозначим эти точки Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 317).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Поскольку Задачи на построение по геометрии с примерами решения, то точка Задачи на построение по геометрии с примерами решения принадлежит серединному перпендикуляру отрезка Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Построив этот серединный перпендикуляр (см. задачу 2), мы тем самым решим задачу.

Задача №16

Даны прямая и принадлежащая ей точка. Через эту точку проведите прямую, перпендикулярную данной.

Решение:

Пусть Задачи на построение по геометрии с примерами решения — данная прямая, Задачи на построение по геометрии с примерами решения — принадлежащая ей точка. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Она пересекает прямую Задачи на построение по геометрии с примерами решения в точках Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 318).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Поскольку Задачи на построение по геометрии с примерами решения, то задача опять-таки свелась к построению серединного перпендикуляра отрезка Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Задача №17

Постройте биссектрису данного угла.

Решение:

Пусть Задачи на построение по геометрии с примерами решения — данный угол. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Эта окружность пересекает стороны угла в точках Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 319). Тем же радиусом проведем окружности с центрами Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Эти окружности пересекаются в точках Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Докажем, что луч Задачи на построение по геометрии с примерами решения — искомая биссектриса. Действительно, Задачи на построение по геометрии с примерами решения по трем сторонам. Следовательно, Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Задача №18

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Решение:

Проведем две перпендикулярные прямые Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения, Задачи на построение по геометрии с примерами решения — точка их пересечения (рис. 320). На прямой отложим отрезок Задачи на построение по геометрии с примерами решения, равный данному катету. С центром в точке Задачи на построение по геометрии с примерами решения проведем окружность радиусом, равным данной гипотенузе. Эта окружность пересечет прямую Задачи на построение по геометрии с примерами решения в двух точках Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 321). Каждый из треугольников Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения — искомый.

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Задача №19

Постройте треугольник по стороне и высотам, проведенным к двум другим сторонам.

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Решение:

На рисунке 322 изображен треугольник Задачи на построение по геометрии с примерами решения, Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения — его высоты. Если известны отрезки Задачи на построение по геометрии с примерами решения, Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения то можно построить прямоугольные треугольники Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения по гипотенузе и катету. Проведенный анализ подсказывает план построения.

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Построим прямоугольный треугольник Задачи на построение по геометрии с примерами решения, в котором гипотенуза Задачи на построение по геометрии с примерами решения равна данной стороне, а катет Задачи на построение по геометрии с примерами решения — одной из данных высот (рис. 323). В построенном треугольнике угол Задачи на построение по геометрии с примерами решения равен одному из углов, прилежащих к заданной стороне искомого треугольника. С помощью аналогичного построения можно получить другой прилежащий к данной стороне угол (рис. 324).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Теперь осталось построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам. Выполните это построение самостоятельно.

Задача №20

Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведенным из вершины этого угла.

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Решение:

На рисунке 325 изображен треугольник Задачи на построение по геометрии с примерами решения, в котором отрезок Задачи на построение по геометрии с примерами решения — высота, отрезок Задачи на построение по геометрии с примерами решения — биссектриса.

Если известны длины отрезков Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения, то прямоугольный треугольник Задачи на построение по геометрии с примерами решения можно построить по гипотенузе и катету. Также отметим, что если известен угол Задачи на построение по геометрии с примерами решения, то можно построить углы Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения, каждый из которых равен Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Отсюда получаем план построения.

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Строим прямоугольный треугольник Задачи на построение по геометрии с примерами решения, в котором гипотенуза Задачи на построение по геометрии с примерами решения равна данной биссектрисе, а катет Задачи на построение по геометрии с примерами решения — данной высоте (рис. 326). Строим два угла, каждый из которых равен половине данного, так, чтобы луч Задачи на построение по геометрии с примерами решения был их общей стороной. На рисунке 326 это углы Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Треугольник Задачи на построение по геометрии с примерами решения — искомый.

Метод геометрических мест точек в задачах на построение

Известно, что если смешать синий и желтый цвета, то получим зеленый. Пусть на плоскости надо найти точки, обладающие какими-то двумя свойствами одновременно. Если синим цветом покрасить точки, обладающие первым свойством, а желтым — обладающие вторым свойством, то понятно, что «зеленые» точки будут обладать сразу двумя свойствами. В этом и состоит идея метода ГМТ, которую проиллюстрируем следующими задачами.

Задача №21

Постройте треугольник по трем данным его сторонам.

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Решение:

Пусть даны три отрезка, длины которых равны Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 327). Надо построить треугольник Задачи на построение по геометрии с примерами решения, в котором Задачи на построение по геометрии с примерами решения, Задачи на построение по геометрии с примерами решения, Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Проведем произвольную прямую. С помощью циркуля отложим на ней отрезок Задачи на построение по геометрии с примерами решения, равный Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 328). Понятно, что задача свелась к построению третьей вершины треугольника, точки Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Воспользуемся тем, что точка Задачи на построение по геометрии с примерами решения обладает сразу двумя свойствами:

  1. принадлежит геометрическому месту точек, равноудаленных от точки Задачи на построение по геометрии с примерами решения на расстояние Задачи на построение по геометрии с примерами решенияс, т. е. «синей» окружности (рис. 328);
  2. принадлежит геометрическому месту точек, равноудаленных от точки Задачи на построение по геометрии с примерами решения на расстояние Задачи на построение по геометрии с примерами решения, т. е. «желтой» окружности (рис. 328).

В качестве точки Задачи на построение по геометрии с примерами решения можно выбрать любую из двух образовавшихся «зеленых» точек. Полученный треугольник Задачи на построение по геометрии с примерами решения является искомым, так как в нем Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Из описанного построения следует, что если каждый из трех данных отрезков меньше суммы двух других, то эти отрезки могут служить сторонами треугольника.

Задача №22

Постройте фигуру, все точки которой принадлежат данному углу, равноудалены от его сторон и находятся на заданном расстоянии а от его вершины.

Решение:

Искомые точки принадлежат сразу двум геометрическим местам точек: биссектрисе данного угла и окружности с центром в его вершине и радиусом, равным Задачи на построение по геометрии с примерами решенияа. Построим биссектрису угла и указанную окружность (рис. 329). Их пересечением является искомая точка Задачи на построение по геометрии с примерами решения .

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Задача №23

Постройте центр окружности радиуса Задачи на построение по геометрии с примерами решения, проходящей через данную точку Задачи на построение по геометрии с примерами решения и касающуюся данной прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения.

Решение:

Поскольку окружность касается прямой Задачи на построение по геометрии с примерами решения, то ее центр находится на расстоянии Задачи на построение по геометрии с примерами решения от нее. Геометрическим местом точек, удаленных от данной прямой на данное расстояние, являются две параллельные прямые (см. задачу 500). Следовательно, центр окружности надо искать на «желтых» прямых (рис. 330).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Геометрическое место точек, являющихся центрами окружностей радиуса Задачи на построение по геометрии с примерами решения, проходящих через точку Задачи на построение по геометрии с примерами решения, — это окружность данного радиуса с центром в точке Задачи на построение по геометрии с примерами решения. Поэтому в качестве центра искомой окружности можно выбрать любую из точек пересечения «синей» окружности с одной из «желтых» прямых (рис. 331).

Задачи на построение по геометрии с примерами решения

Построение для случая, когда данная точка принадлежит данной прямой, рассмотрите самостоятельно.

Задача №24

Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и радиусу описанной окружности.

Решение:

Построим окружность данного радиуса и проведем хорду Задачи на построение по геометрии с примерами решения, равную стороне искомого треугольника. Тогда концы хорды являются двумя вершинами искомого треугольника. Понятно, что третья вершина принадлежит одновременно построенной окружности («желтая» окружность) и окружности Рис 332 с центром в точке Задачи на построение по геометрии с примерами решения, являющейся серединой хорды Задачи на построение по геометрии с примерами решения, и радиусом, равным данной медиане («синяя» окружность). Каждый из треугольников Задачи на построение по геометрии с примерами решения и Задачи на построение по геометрии с примерами решения (рис. 332) является искомым.

Задачи на построение по геометрии с примерами решения