Взаимное расположения прямых на плоскости с примерами решения

Содержание:

Взаимное расположения прямых на плоскости:

Бывают два варианта взаимного расположения прямой и точки на плоскости: либо точка лежит на прямой в этом случае говорят, что прямая проходит через точку или точка не лежит на прямой иногда говорят, что точка не принадлежит прямой или прямая не проходит через точку.

Две прямые в плоскости могут пересекаться так как имеют общую точку или быть параллельными не имея общей точки. В пространстве может быть, когда две прямые не пересекаются, но они и не параллельны.

Определения

Два угла, на которые разбивается развернутый угол его внутренним лучом, называются смежными. Сумма мер двух: смежных углов равна 180°.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого угла Вертикальные углы равны.

Если две прямые пересекаются, они образуют четыре угла две пары вертикальных углов. Меньший из них — угол между данными прямыми.

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Отрезки или лучи называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых Две прямые на плоскости называют параллельными, ест они не пересекаются.

Прямая, пересекающая две другие прямые, называется и: секущей. С двумя данными прямыми она образует 8 углов, не которые пары этих углов имеют отдельные названия:

• 1 и 3, 2 и 4 — внутренние накрест лежащие;
• 1 и 4,2 и 3 — внутренние односторонние;
• 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5 — соответственные;
• 5 и 7, 6 и 8 — внешние накрест лежащие;
• 5 и 8, 6 и 7 — внешние односторонние.

Признак параллельности прямых:

Две прямые параллельны, если с секущей они образу ют равные внутренние накрест лежащие углы, или равные соответственные углы, или такие внутренние одно сторонние углы, сумма которых равна 180°.

Свойства параллельных прямых:

Секущая с двумя параллельными прямыми образуя равные внутренние накрест лежащие углы, равные ее ответственные углы, такие внутренние односторонние углы, сумма которых равна 180°.

Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой прямо» Две прямые, перпендикулярные к третьей, параллельны

Смежные и вертикальные углы

Два угла, на которые делится развернутый угол его внутренним лучом, называют смежными.

Одна сторона у смежных углов общая, а две другие — дополнительные лучи. Если точки А, О, В лежат на одной прямой, а С — произвольная точка, не принадлежащая прямой АВ, то углы АОС и СОВ — смежные (рис. 45).

Свойство смежных углов сформулируем в виде теоремы.

В математике теоремой называют каждое утверждение, истинность которого устанавливается путем логических рассуждений. Цепочку таких рассуждений называют доказательством.

В нашем учебнике теоремы напечатаны жирным шрифтом и пронумерованы.

Теорема: Сумма мер двух смежных углов равна 180°

Доказательство:

Объединение двух смежных углов является развернутым углом. Мера развернутого угла равна 180°. Значит, какими бы ни были смежные углы, сумма их мер равна 180°.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного являются дополнительными лучами сторон другого. Например, если прямые АС и BD пересекаются в точке О, то углы AOD и ВОС — вертикальные (рис. 46). Каждый из них — смежный с углом АОВ. Углы АОВ и COD — тоже вертикальные.

Теорема: Вертикальные углы равны.

Доказательство:

Пусть AOD и ВОС — любые вертикальные углы (см. рис. 46). Каждый из них смежный с углом АОВ. По теореме о сумме смежных углов

отсюда 

Правые части этих равенств одинаковые, поэтому Что и следовало доказать 

Для любознательных:

Слово смежные употребляют не только применительно к углам. Смежный—это имеющий общую границу с чем-то или прилегающий к чему-то, соседний. Можно говорить о смежных комнатах, смежных полях и т. п. Относительно углов это понятие имеет особый смысл. Не каждые два угла с общей стороной называют смежными. Например, на рисунке 47 углы АОВ и ВОС имеют общую сторону ОВ, но не являются смежными.

Смежные углы — это два угла, состоящие в определенном отношении. Один угол не может быть смежным. Когда говорим, что какой-то угол смежный, то обязательно должны уточнить: смежный с каким углом? Отношение смежности углов имеет такое свойство: если угол А смежный с углом B, то и угол В смежный с углом А.

Пусть угол А смежный с углом В, а угол B смежный с углом

C. Что можно сказать об углах А и С? Они либо вертикальные, либо угол С — это тот же угол А (рис. 48).

Слово вертикальные также относится не только к углам. В основном вертикально расположенным считают продолговатый предмет, расположенный в направлении отвеса (перпендикулярно к горизонту).

Всегда верно свойство: если угол А вертикальный углу В, то и угол В вертикальный углу А.

Пример №1

Найдите меры смежных углов, если один из них на 50° больше другого.

Решение:

Пусть мера меньшего из смежных углов равна х, тогда мера большего угла х + 50°. По свойству смежных углов х + х + 50° = 180°, откуда х = 65°, а х + 50° = 115°.

Ответ. 65° и 115°.

Пример №2

Один из четырех углов, образованных пересечением двух прямых, вдвое больше другого. Найдите меру каждого из полученных углов.

Решение:

При пересечении двух прямых образуются вертикальные и смежные углы. Поскольку вертикальные углы равны, то они условие задачи не удовлетворяют. Делаем вывод: один из смежных углов вдвое больше другого, их меры х и 2х. По свойству смежных углов х + 2х = 180°, откуда х = 60°, а 2х = 120°. Соответствующие им вертикальные углы равны 60° и 120°.

Ответ. 60°, 120°, 60°, 120°.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Вспомните, как могут располагаться на плоскости две прямые. Если они пересекаются, то образуют четыре угла — две пары вертикальных углов (речь идет об углах меньше развернутого). Меньший из них считается углом между данными прямыми. Например, на рисунке 56 прямые АВ И CD пересекаются под углом 50°. Говорят также, что угол между прямыми АВ и CD равен 50°. Если две прямые, пересекаясь, образуют четыре Прямых угла, говорят, что они пересекаются под прямым углом.

Две прямые, пересекающиеся под Прямым углом, называют перпендикулярными прямыми. Прямые а и б на рисунке 57 перпендикулярны одна Н другой. Записывают так:или 

Отрезки или лучи называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.

Если отрезок АВ лежит на прямой, перпендикулярной к прямой а, говорят, что отрезок АВ перпендикулярен к прямой а. Если при этом точка В принадлежит прямой о, то отрезок АВ называют перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а (рис. 58). Точку В называют основанием перпендикуляра, а длину Перпендикуляра АВ — расстоянием от точки А до прямой а.

Через произвольную точку Р всегда можно провести прямую, перпендикулярную к данной прямой а. Это можно сделать с помощью угольника (рис. 59) или транспортира (рис. 60). Позже вы узнаете, как можно выполнить такое построение с помощью линейки и циркуля. Можно доказать, что существует только одна прямая, перпендикулярная к данной прямой и проходящая через данную точку.

Не каждые две прямые пересекаются. Особого внимания заслуживают прямые, которые не пересекаются и лежат в одной плоскости.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются (рис. 61). Если прямые а и b параллельные, пишут так: а || b.

Представление о параллельных прямых дают линии в тетради, линии нотного стана (рис. 62), ребра бруска.

Два отрезка или луча называют параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Например, если ABCD — прямоугольник, то АВ || DC и ВС || AD.

Через любую точку Р, не лежащую на прямой а, можно провести прямую, параллельную прямой а (рис. 63, а). Для этого можно через точку Р провести прямую с, перпендикулярную к прямой а, а потом прямую Ь, перпендикулярную к прямой с (рис. 63, б). При таком построении всегда b || а. Можно воспользоваться линейкой и угольником.

Для любознательных:

Можно доказать (попытайтесь!),что две прямые одной плоскости,   перпендикулярные к третьей прямой, параллельны. То есть, если

 Но если прямые а и b не принадлежат одной плоскости, то такое утверждение ошибочно. Например,  если — куб, то

но прямые АВ и  не параллельны (рис. 64).

 Слово параллельные происходит от греческого слова  «параллелос», что в переводе означает «идущие рядом». Если говорить, что какая-либо прямая параллельна, то обязательно следует сказать, какой именно прямой она параллельна. Таким образом, параллельность прямых — это своеобразное отношение между двумя прямыми. Отношение  параллельности прямых имеет такое свойство: если а || b, то  и b || а. Другими отношениями являются перпендикулярность прямых, равенство углов и др. Символы этих отношений:

Позже вы узнаете о других отношениях между геометрическими объектами.
 

Как проводить параллельные прямые с помощью линейки и циркуля, вы узнаете позже.

Пример №3

Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны

Решение:

Пример №4

Обозначьте на координатной плоскости точки А (2; 3) и В (-4; -3). Найдите расстояния от этих точек до осей координат, если длина единичного отрезка равна 1 см.

Решение:

Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат (рис. 66). Длина отрезка AM — расстояние от точки А до оси ОХ, а длина отрезка AN — расстояние от точки А до оси OY. По рисунку видим, что AM = 3 см, a AN = = 2 см.

Аналогично определяем, что расстояние от точки В до осей координат равно 3 см и 4 см.

Ответ. От точки А — 3 см и 2 см; От точки В — 3 см и 4 см.

Признаки параллельности прямых

Важную роль в исследовании параллельных прямых играют понятия секущей и некоторых пар углов.

Пусть о и b - две произвольные прямые плоскости. Прямая с, пересекающая их, называется секущей прямых а и b (рис. 73).

Прямые а и b с их секущей с образуют 8 углов. На рисунке 73 они пронумерованы. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

• внутренние накрест лежащие углы: 1 и 3, 2 и 4;
• внутренние односторонние углы: 1 и 4, 2 и 3;
• соответственные углы: 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5.
   

Обратите внимание! Если два каких-либо внутренних накрест лежащих угла равны, то также равны и внутренние накрест лежащие углы другой пары (рис. 74). Если, например,  , потому что углы, смежные с равными, равны.

Случай, когда внутренние накрест лежащие углы равны, заслуживает особого внимания, поскольку именно при этом условии прямые а и b параллельны.

Теорема: (признак    параллельности    прямых).

Две прямые параллельны, если они с секущей образуют равные внутренние накрест лежащие углы.

Доказательство:

Пусть секущая АВ пересекает прямые а и b так, что образовавшиеся при этом внутренние накрест лежащие углы 1 и 3 равны. Тогда, как показано выше, углы 2 и 4 тоже равны. Допустим, что при таком условии прямые а и б пересекаются в какой-то отдаленной точке С. В результате образуется

треугольник ABC (на рисунке 75 он изображен схематически в виде пятиугольника). Представим, что этот треугольник повернули вокруг точки О — середины отрезка АВ — так, что отрезок ОА занял положение ОВ. Тогда, поскольку луч АС совместится с лучом ВК, а луч ВС — с лучом АР. Так как лучи АС и ВС (по предположению) имеют общую точку С, то лучи ВК и АР тоже имеют какую-то общую точку .Это значит, что через две точки С и  проведены две разные прямые. А этого не может быть.

Таким образом, если то прямые а и 6 не могут пересекаться. А поскольку они лежат в одной плоскости и не пересекаются, то они параллельны: а || b. Что и требовалось доказать.

Обратите внимание на способ доказательства теоремы 3. Чтобы доказать, что прямые а и b параллельны, мы показывали, что они не могут пересекаться, то есть допускали противоречащее тому, что требовалось доказать. Такой способ рассуждения называют методом доказательства от противного.

На основе доказанной теоремы 3 нетрудно доказать и другие признаки параллельности прямых.

Теорема: Две прямые параллельны, если при пересечении с секущей они образуют внутренние односторонние углы, сумма которых равна 180°.

Доказательство:

Пусть, например, на рисунке 76 сумма внутренних односторонних углов 1 и 4 равна 180°. Сумма смежных углов 3 и 4 тоже равна 180°. Поэтому . Это — внутренние накрест лежащие углы; если они равны, то прямые а и b параллельны. 

Теорема: Две    прямые    параллельны,    если при пересечении с секущей они образуют равные соответственные углы.

Доказательство:

Пусть секущая с пересекает прямые а и b так, что образовавшиеся при этом соответственные углы 1 и 8 равны (рис. 77). Углы 8 и 3 равны, поскольку вертикальны.

Поэтому если

откуда следует, что

Заслуживает внимания такое следствие из теоремы 3.

Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны.

Ведь если каждая из прямых а и b перпендикулярна к с, то образовавшиеся при этом внутренние разносторонние углы равны, поскольку они прямые (рис. 78). Cледовательно, а и b параллельны.

Для любознательных:

 Углы 5 и 7 (а также 6 и 8) называют внешними накрест лежащими, а углы 5 и 8 (а также 6 и 7) — внешними односторонними углами (рис. 79).

Используя эти понятия, попробуйте сформулировать и доказать еще два признака параллельности прямых. Полезно также лучше понять сущность метода доказательства от противного. Если утверждение А противоречит утверждению В, то такие два утверждения называют противоречащими или противными друг другу. Из двух взаимно е противоречащих утверждений всегда одно верно, а другое  ложно. Поэтому если убедимся, что утверждения А и В противоречат друг другу и, например, что утверждение В ложное, то можем быть уверены, что утверждение А верно.

Не следует путать противоречащие утверждения с противоположными. Например, когда речь идет о числовых выражениях и натуральных числах, то утверждения «выражение А положительное» и «выражение А отрицательное» или «число п простое» и «число л сложное» — противоположные, но не противоречащие, ведь каждое из них может быть неправильным. А вот утверждения «выражение А положительное» и «выражение А неположительное» или «число п простое» и «число п непростое» — взаимно противоречащие. Непростое означает составное или равное 1; неположительное — отрицательное или равное нолю.

Доказывая методом от противного, опровергать нужно не противоположное утверждение, а противоречащее данному. Опровергать что-либо — означает показать, что оно ошибочно.

Пример №5

 Как построить параллельные прямые, пользуясь только линейкой и транспортиром?

Решение:

Начертим произвольный луч АВ и отложим равные углы ВАС и АСР, как показано на рисунке 80. Прямые АВ и СР параллельны, ведь углы ВАС и АСР внутренние накрест лежащие, и по построению они равны.

Через концы отрезка АВ с одной стороны от прямой АВ проведены лучи АК и ВС так, что70°. Параллельны ли эти лучи?

Прямую АВ можно считать секущей прямых АК и ВС (рис. 81).

Углы КАВ и ABC — внутренние односторонние. Поскольку их сумма 110° + 70° равна 180°, то прямые АК и ВС — параллельные (теорема 4). Поэтому и лучи АК и ВС — параллельные.

Ответ. Лучи АК и ВС параллельны.

Свойства параллельности прямых

Задача:

 Даны прямая а и точка Р, не принадлежащая этой прямой. Проведите через точку Р прямую, параллельную прямой а.

Решение:

С помощью линейки и угольника построение можно выполнить, как показано на рисунке 90.

Можно ли через точку Р провести две разные прямые, параллельные прямой а? Геометры издавна считали истинным такое утверждение

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Древнегреческий геометр Евклид это утверждение принял без доказательства. Его назвали аксиомой Евклида, потому что все утверждения, принимаемые без доказательств, называют аксиомами. (Подробнее об аксиомах и теоремах — в следующем параграфе.)

Не все ученые считают аксиому Евклида верной. Геометрию, в которой аксиому Евклида признают верной, называют евклидовой геометрией. Вы изучаете евклидову геометрию.

Теорема: (обратная теореме 3). Если прямые параллельны, то внутренние накрест лежащие углы, образованные ими с секущей, равны.

Доказательство:

Пусть прямые АВ и CD параллельны, а КС — их секущая, проходящая через точку А (рис. 91). Докажем, что

Допустим что Проведем прямую АВХ так, чтобы выполнялось равенство . По признаку параллельности прямых , а по условию АВ || CD. Получается, что через точку А проведены две разные прямые, параллельные прямой CD. Это противоречит аксиоме Евклида. Таким образом, сделанное нами допущение приводит к противоречию. Поэтому

Следствие:

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой прямой.

Действительно, если, , то естьСформулируйте и докажите теоремы. Рис. 92    обратные    теоремам 4 и 5.

Теорема: Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Доказательство:

Пусть каждая из прямых а и b параллельна прямой с. Докажем, что а || b.

Допустим, что прямые а и b не параллельны (рис. 93), а пересекаются в некоторой точке Р. Получается, что через точку Р проходят две разные прямые а и Ь, параллельные с. Это противоречит аксиоме Евклида. Поскольку прямые а и b не могут пересекаться, они параллельны. 

 

Примечание:

Доказательство теоремы верно и в случае, если прямая с лежит между а и b.

Для любознательных:

Последнюю теорему называют теоремой о транзитивности  параллельности прямых (лат. transitivus — переходной),  поскольку она утверждает, что параллельность двух пар параллельных прямых переходит на третью пару:

Чтобы это утверждение было верным всегда, договорились считать, что каждая прямая параллельна сама себе, то есть а || а. Ведь если

а || b и b || а, то а || а.

Отрезки одной прямой тоже считают параллельными. Например, если А, В, С, К — точки одной прямой, то каждый из отрезков АВ, АС, АК, ВС, ВК, СК параллелен любому из них (рис. 94). В целесообразности такой договоренности вы убедитесь позже, изучая параллельные переносы, параллельное проектирование и т. п. А в седьмом классе основное внимание будет обращаться на параллельность отрезков и лучей, не лежащих на одной прямой.

Существуют геометрии, в которых аксиома Евклида не считается верной. Их называют неевклидовыми геометриями. Такова, например, геометрия Лобачевского (см. с. 195).

Пример №6

Докажите, что прямые, перпендикулярные к непараллельным прямым, пересекаются.

Решение:

Пусть прямые а и b пересекаются, а прямые шип перпендикулярны к ним: (рис. 95). Тогда . Допустим, что m || п, то естьТогда и , откуда следует, что а || b. Это противоречит условию задачи. Значит, прямые не могут быть параллельными, они пересекаются.

Теоремы и аксиомы

Вы уже имеете представление о теоремах. Теорема — это утверждение, в истинности которого убеждаются с помощью логических рассуждений, доказательств.

Обычно теорема содержит условие (то, что дано) и заключение (что требуется доказать). Чтобы вычленить условйе и заключение теоремы, ее удобно подать в форме «Если... , то...». Например: «Если углы вертикальные, то они равны». Здесь слова перед запятой содержат условие теоремы, а после запятой — заключение.

Часто условие теоремы записывают после слова «дано», а заключение — после слова «доказать». Например, теорему о вертикальных углах можно оформить так.

Поменяв условие и заключение теоремы местами, получим новое утверждение (истинное или ложное). Если полученное таким способом утверждение истинное, его называют обратной теоремой.

Примеры:

1. «Если углы вертикальные, то они равны» — данная теорема. «Если углы равны, то они вертикальные» — обратное утверждение (ложное).
2. «Если соответственные утлы равны, то прямые параллельные» — данная теорема. «Если прямые параллельные, то соответственные углы равны» — обратная теорема. Важнейшие теоремы, в которых даются критерии чего- либо, называют признаками.

Доказывая теорему, ссылаются на другие истинные утверждения. Но в самом начале изучения геометрии еще никаких других истинных утверждений» нет. Поэтому некоторые Пермью утверждения обычно принимают без доказательств. Называют их аксиомами.

Некоторые аксиомы вам уже известны. Сформулируем их еще раз.

 Какой бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, ей не принадлежащие.

• Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
• Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
• Каждый отрезок имеет определенную длину.
• Каждый угол имеет определенную меру.
• Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

От теорем и аксиом следует отличать определения, в которых рйокрывается содержание понятия. Например: «Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками» — определение отрезка; «Острым углом называется угол, который "меньше прямого» — определение острого угла.

В определениях, аксиомах и теоремах — основное содержание геометрии. Их нужно знать, но формулировать (правильно!) можно и своими словами. Например, определение отрезка можно сформулировать так: «Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя ее точками», или так: «Часть прямой, ограниченная двумя ее точками, называется отрезком».

Для любознательных:

 Слово аксиома греческого происхождения; сначала это слово обозначало: уважение, авторитет, неоспоримость; впоследствии словом «аксиома» начали называть утверждение, принимаемое без доказательства.

Слово теорема тоже греческого происхождения. Сначала теоремой называли зрелище, театральное представление. Первым геометрам доказанные ими теоремы казались довольно неожиданными, удивительными, словно интересные зрелища. И в самом деле удивительно: из немногих примитивных утверждений, принимаемых без доказательств, путем одних рассуждений человек может получить миллионы не очевидных следствий. Даже таких, которых в природе нигде не наблюдается. И таких, о существовании которых не догадывался ни один мыслитель.

Чтобы и вы поняли, какое удовлетворение ощущали первые геометры, открывая и доказывая все новые и новые свойства геометрических фигур с помощью одних лишь рассуждений, попробуйте ответить на один из таких вопросов.

Посмотрите на рисунок 108. На нем выделены 6 точек: середины сторон треугольника ABC и основания его высот. Кажется, все эти точки лежат на одной окружности. Действительно ли это так? В каждом треугольнике? Кто первым обнаруживал подобные закономерности и обосновывал их, тот испытывал огромное удовлетворение, словно путешественник, пришедший первым туда, где еще никто не бывал, или спортсмен, побивший мировой рекорд.
 

Пример №7

Биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных секущей с двумя параллельными прямыми, параллельны. Докажите. Сформулируйте обратное утверждение.

Решение:

Пусть ВС — секущая прямых АВ и CD, углы ABC и BCD — внутренние накрест лежащие, а ВК и СР — их биссектрисы (рис. 109). Покажем, что если АВ || CD, то ВК || СР.

Если АВ || CD, то как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых. Половины равных углов равны, поэтому Эти углы — внутренние накрест лежащие для прямых КВ и СР и секущей ВС. Поскольку эти углы равны, то прямые КВ и СР параллельны. А это и требовалось доказать.

Обратное утверждение: если биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных двумя прямыми с их секущей, параллельны, то параллельны и данные прямые.

Пример №8

 Два луча называют сонаправленными, если один из них является частью другого или если они параллельны и расположены по одну сторону от прямой, проходящей через их начала. Приведите примеры.

Решение:

Лучи АК и ВК (рис. 110), а также лучи АК и ВТ (рис. 111).

Пример №9

Докажите, что углы с сонаправленными сторонами равны.

Решение:

Докажем, что если лучи ВА и РК, ВС и РТ сонаправленные, то углы 1 и 2 равны.

Если данные углы расположены, как показано на рисунке 112,

Если данные углы расположены, как показано на рисунке 113, то луч РТ составляет часть луча ВС. В этом случае, как соответственные углы при параллельных прямых ВА и РК.