Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости с примерами

Содержание:

Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости:

Плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекающимися.

Из геометрии известно: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Следовательно, на чертеже у параллельных плоскостей должны быть соответственно параллельны одноименные проекции двух пересекающихся прямых, лежащих в каждой из плоскостей. Этот признак параллельных плоскостей используется для определения на чертеже параллельности двух заданных плоскостей и построения параллельных плоскостей.

На рис. 4.1 показано построение плоскости β, проведенной через заданную точку А(A"'A'), параллельно заданной плоскости α(m//n).

Для решения задачи следует выполнить следующие графические действия:

1-е действие. В заданной плоскости α, построить вспомогательную прямую, например, горизонталь h(h"h'), то есть создать в плоскости пересекающиеся прямые.

2-е действие. Через заданную точку А(A"'A') провести две пересекающиеся прямые b и d, параллельные двум пересекающимся прямым m и h заданной плоскости α:

• – прямую b(b",b') параллельно прямой m(m"m') (или n(n"n');
• – прямую d(d",d') параллельно вспомогательной прямой h(h"h').

Построенная плоскость β(b∩d) будет параллельна заданной плоскости α(m//n), так как две пресекающиеся прямые m и h плоскости α соответственно параллельны двум пересекающимся прямым b и d построенной плоскости β.

Параллельность прямой и плоскости

Из геометрии известно: прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, на чертеже (рис. 4.1) прямая, например, b параллельна плоскости α(m//n), так как проекции прямой b проведены параллельно одноименным проекциям прямой m(m",m'), лежащей в этой плоскости.

Плоскости пересекающиеся

Общим элементом пересечения двух плоскостей является прямая линия, принадлежащая обеим плоскостям.

Плоскости, как известно, могут занимать частные и общее положения относительно плоскостей проекций, и поэтому при пересечении двух плоскостей возможны три случая:

1-й случай – обе плоскости занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае искомой линией пересечения является проецирующая прямая, проекция которой, вырожденная в точку, лежит на пересечении вырожденных в прямые проекциях плоскостей.

На рис. 4.2 изображены две пересекающиеся фронтально-проецирующие плоскости α и β, элементом пересечения которых является фронтально-проецирующая прямая m (соответственно, горизонтально-проецирующие плоскости пересекаются по горизонтально-проецирующей прямой). Фронтальная m(m") и вырожденная в точку проекция линии пересечения лежит на пересечении фронтальных, вырожденных в прямые, проекциях (следах) плоскостей, а горизонтальная m(m') проекция линии пересечения – прямая, перпендикулярная оси x.

2-й случай – только одна из плоскостей занимает частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае одна из проекций искомой линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией плоскости частного положения, а другую проекцию линии пересечения требуется построить.

На рис. 4.3 изображены две пересекающиеся плоскости, из которых плоскость α, заданная своим горизонтальным следом α_h, является горизонтально-проецирующей, а другая плоскость, заданная треугольником ABC, – плоскость общего положения. Горизонтальная проекция MN(M'N') искомой линии пересечения плоскостей в этом случае совпадает со следом αh плоскости α, а фронтальная проекция M"N" линии пересечения построена по принадлежности точек M и N сторонам треугольника ABC.

3-й случай – пересечение двух плоскостей общего положения, проекции которых в пределах чертежа накладываются, рассмотрим ниже.

!!! Если пересекаются три плоскости, то элементом их пересечения является точка!

Пересечение прямой с плоскостью

Общим элементом пересечения прямой с плоскостью является точка, принадлежащая и прямой и плоскости. Поскольку и прямая и плоскость могут занимать различные положения относительно плоскостей проекций, то при их пересечении также возможны три случая:

1-й случай – и прямая и плоскость занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае проекции искомой точки пересечения определяются на характерных (вырожденных) проекциях прямой и плоскости.

На рис. 4.4, а изображена горизонтальная плоскость уровня α(m//n), пересекающаяся с горизонтально-проецирующей прямой k(k"k'). Фронтальная проекция O(О") точки их пересечения совпадает с фронтальным следом плоскости α_V, а горизонтальная проекция O(O') точки их пересечения совпадает с вырожденной в точку горизонтальной k(k') проекцией прямой.

2-й случай – только один элемент (или прямая или плоскость) занимает частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае одна из проекций точки пересечения совпадает с характерной (вырожденной) проекцией элемента частного положения, а другую проекцию точки пересечения требуется построить.

На рис. 4.4, б изображены пересекающиеся фронтально-проецирующая прямая k(k",k') и плоскость общего положения, заданная треугольником АВС. В этом случае фронтальная проекция точки пересечения O(O") совпадает с вырожденной в точку проекцией прямой, а горизонтальная проекция O(O') точки пересечения построена по принадлежности точки О плоскости АВС с помощью вспомогательной прямой m.

3-й случай – оба пересекающихся элемента занимают общее положение относительно плоскостей проекций, то есть пересекается плоскость общего положения с прямой общего положения. В этом самом сложном для решения случае для построения точки пересечения элементов следует применить вспомогательные построения, чтобы привести условие задачи к более легкому для решения 2-му случаю (см. рис. 4.4), то есть прямую общего положения заменить элементом частного положения, «заключив» эту прямую в плоскость частного положения (см. рис. 3.12 б, в).

На рис. 4.5 показана наглядная картина этого действия. Прямая общего положения k пересекается с плоскостью общего положения α(ABC). Для решения задачи через прямую проведена некоторая вспомогательная плоскость β, то есть прямая «заключена» в плоскость β.

Определяется вспомогательная линия 1-2 пересечения двух плоскостей – заданной и вспомогательной. Искомая точка О лежит на пересечении заданной прямой k и вспомогательной линии пересечения 1-2.

На рис. 4.6 показано построение на ч е р т е ж е точки пересечения O(O",O') плоскости общего положения, заданной треугольником CDE, c прямой общего положения k(k",k').

Для решения задачи в этом случае выполняется следующий графический алгоритм (графические действия):

1-е действие. Заключить прямую k во вспомогательную, например горизонтально-проецирующую плоскость α, задав ее горизонтальным следом α_H(kα(α_H)).

2-е действие. Построить проекции вспомогательной линии пересечения 1-2(1"-2",1'-2') заданной плоскости CDE со вспомогательной плоскостью α(α∩β(∆CDE)):

– 1'-2' совпадает со следом вспомогательной плоскости α(α_H);

– 1"-2" строится по принадлежности точек 1 и 2 сторонам CE и DE плоскости β(∆CDE).

3-е действие. Определить проекции искомой точки пересечения O(O",O') заданных элементов: – фронтальная проекция O" определяется на пересечении фронтальной проекции заданной прямой k(k") и построенной фронтальной проекции 1"-2" вспомогательной линии пересечения ((1"-2")∩ k");

– горизонтальная проекция O' определяется на горизонтальной проекции k(k') заданной прямой по линии связи (O' k').

4-е действие. Определить на проекциях относительную видимость прямой и плоскости по конкурирующим точкам 1-3 и 4-5.

На рис. 4.6 показано определение относительной видимости заданной прямой k и плоскости CDE с помощью конкурирующих точек, лежащих на скрещивающихся прямых. На горизонтальную проекцию наблюдатель смотрит сверху вниз по стрелке H. Чтобы определить, какой из элементов – прямая или плоскость – находится ближе к наблюдателю, рассмотрим проекции конкурирующих точек 1 и 3, лежащих на одном проецирующем луче, но на скрещивающихся прямых – точка 1 лежит на прямой СЕ, а точка 3 лежит на прямой k. Видно, что ближе к наблюдателю находится точка 1 на прямой СЕ, а точка 3 на прямой k расположена ниже. Это значит, что на горизонтальной проекции прямая k(k') вниз от точки пересечения (О') «уходит» плоскость CDE.

Аналогичными рассуждениями, рассмотрев конкурирующие точки 4 и 5 по стрелке V, определяем относительную видимость прямой и плоскости на фронтальной проекции чертежа – прямая k(k") находится над плоскостью CDE вверх от точки О(О").

Пересечение двух плоскостей общего положения (3-й случай)

При задании пересекающихся плоскостей на чертеже возможны два варианта:

• а) проекции плоскостей в пределах чертежа не накладываются;
• б) проекции плоскостей накладываются.

Для каждого варианта есть разные рациональные способы построения линии пересечения. Для варианта «а» рационально использовать две произвольные плоскости частного положения.

На рис. 4.7 показан пример построения линии пересечения плоскостей общего положения – α(k∩l) и β(m//n), проекции которых на чертеже не накладываются.

Линия пересечения заданных плоскостей построена по точкам N и M пересечения между собой вспомогательных линий пересечения этих плоскостей произвольными вспомогательными фронтально-проецирующими плоскостями γ₁ и γ₂ в соответствии со следующим графическим алгоритмом:

I. Построить точку N(N",N') пересечения заданных плоскостей α(k∩l) и β(m//n) вспомогательной горизонтальной плоскостью уровня γ₁:

1-е действие. Пересечь плоскости α(k∩l) и β(m//n) вспомогательной фронтально-проецирующей плоскостью уровня γ₁, обозначив ее фронтальный след γ_V1.

2-е действие. Построить проекции 1-2(1"-2", 1'-2') и 3-4(3"-4", 3'-4') вспомогательных линий пересечения заданных плоскостей α(k∩l) и β(m//n) вспомогательной плоскостью γ₁(γ_V1).

3-е действие. Определить проекции точки N(N",N') пересечения между собой вспомогательных линий 1-2(1"-2", 1'-2') и 3-4(3"-4", 3'-4').

II. Построить точку M(M",M') пересечения заданных плоскостей α(k∩l) и β(m//n) вспомогательной фронтально-проецирующей плоскостью γ₂(γ_V2), повторив графические действия 1, 2 и 3, и соединить прямой линией построенные точки N и M. Если при этом плоскость γ₂(γ_V2) задавать параллельно ранее заданной плоскости γ₁(γ_V1), то построения можно упростить и использовать не четыре, а только две точки 5 и 6, так как пересечение параллельными плоскостями будет давать параллельные вспомогательные линии.

Рассмотрим наиболее часто встречающийся в различных задачах вариант «б» – проекции плоскостей накладываются. Построение проекций линии пересечения сводится здесь к построению точек пересечения двух любых прямых одной плоскости с другой плоскостью, то есть к выполнению дважды графического алгоритма построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения, изложенного выше (см. рис. 4.6).

На рис. 4.8 показан пример построения линии пересечения плоскостей общего положения – α(ABC) и β(m//n), проекции которых на чертеже накладываются.

Линия пересечения построена по точкам K и M пересечения прямых m и n, которыми задана плоскость β(m//n), с плоскостью α(∆ABC), то есть дважды выполнен вышеприведенный графический алгоритм.

I. Построить точку K(K",K') пересечения прямой m с плоскостью α(∆ABC):

1-е действие. «Заключить» прямую m во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость γ и обозначить ее фронтальный след γ_V.

2-е действие. Построить проекции 1-2(1"-2", 1'-2') вспомогательной линии пересечения плоскостей – заданной α(∆ABC) со вспомогательной γ.

3-е действие. Определить проекции точки K(K",K') пересечения прямой m с плоскостью α.

II. Построить проекции точки M(M",M') пересечения прямой n с плоскостью α, повторив графические действия 1, 2 и 3 и соединить прямой линией построенные точки K и M.

4-е действие. Определить видимость плоскостей относительно построенной линии пересечения K–M, рассмотрев пары конкурирующих точек:

• – точки 1 и 5 – для определения относительной видимости на фронтальной проекции;
• – точки 6 и 7 – для определения относительной видимости на горизонтальной проекции.

Структуризация материала четвертой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 4.9 (лист 1). На последующих листах 2–4 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления основной части изученного материала при повторении (рис. 4.10–4.12).

Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости:

Прямая, параллельная плоскости

Требуется: провести через т.К (К',К") прямую, параллельную плоскости.

Решение: прямая а//α (m∩n), так как а∩m.

а

Параллельные плоскости

Требуется: провести через т.К (К',К") плоскость β, параллельную заданной плоскости α(АВС).

Решение: плоскость β(m∩n) // α(АВС), так как m//АВ, а n//ВС.

б

Параллельные плоскости

Требуется: провести через т.К (К',К") плоскость β, параллельную заданной плоскости α(а//b).

Решение: плоскость β(m∩n)//α(а//b), так как m//а//b, а n//c (c - вспомогательная прямая).

в

Пересечение плоскостей частного положения

α(α_v) ∩β(β_v) →МN(V) - линия пересечения (фронтально-проецирующая прямая)

г

α(α_H) ∩β(β_H) →МN(V) - линия пересечения (фронтально-проецирующая прямая)

д

≡ - знак совпадения

∩ - пересечение элементов

// - параллельность элементов

∈ - знак принадлежности

 - знак "заключить"

Пересечение плоскости частного положения с плоскостью общего положения

α(АВС) - общего положения
β_V - фронтально-проецирующая
α(АВС) β( β_Н) →МN - линия пересечения (прямая общего положения)

е

Пересечение прямой частного положения с плоскостью частного положения

Пересечение прямой частного положения с плоскостью общего положения

Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

Графический алгоритм:

1. Заключить прямую m в плоскость частного положения  β: m β(β_V).
2. Построить линию MN пересечения заданной плоскости α(а//b) со вспомогательной β(β_V) α(а//b) ∩β →MN.
3. Определить проекции К(К',К") искомой точки пересечения прямой m с плоскостью α(а b): MN ∩m →К(К',К").
4. Определить относительную видимость прямой и плоскости по конкурирующим точкам.

Пересечение плоскостей общего положения, проекции которых не накладываются (способ вспомогательных секущих плоскостей частного положения)

Графический алгоритм:

1. Пересечь заданные плоскости α(а//b) и β(АВС) вспомогательной горизонтальной плоскостью уровня γ₁(γ_V1)
 

2. Построить линии пересечения заданных плоскостей со вспомогательной:

• 1-2 → α (а//b) ∩ γ₁
• 3-4 → β(АВС) ∩γ₁

3. Определить общую точку М(М',М"), принадлежащую искомой линии пересечения М→1-2∩3-4

4. Повторить алгоритм и построить вторую точку N(N',N"), принадлежащую искомой линии пересечения МN.

Пересечение плоскостей общего положения, проекции которых накладываются

Линия пересечения плоскостей строится по двум точкам пересечения прямых общего положения с плоскостью общего положения по алгоритму, приведённому для рис. 4.8.

Графический алгоритм:

1. Заключить прямую AB во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость γ₁(γ_V1).

2. Построить линию пересечения 1-2 заданной плоскости α(∆ABC) со вспомогательной плоскостью γ₁.

3. Определить первую общую точку M(M',M") линии пересечения заданных плоскостей.

4. Повторить алгоритм, заключив прямую α заданной плоскости β (d//e) во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость  γ₂(γ_h2) и определить вторую общую точку N(N",N').

5. Соединить построенные точки - MN - искомая линия пересечения: α(∆ABC) ∩ β(d//e) →MN.

6. Определить относительную видимость плоскостей по конкурирующим точкам: 1 и 5, 6 и 3.