Высшая математика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Здравствуйте, на данной странице я постаралась кратко и доступно изложить весь курс высшей математики который включает темы по линейной алгебре и аналитической геометрии, введению в математический анализ и дифференциальному исчислению функции одной переменной. Основные теоретические положения наглядно проиллюстрированы решением большого числа примеров и задач по предмету высшая математика. Часть заданий и задач подобрана таким образом, чтобы Вы могли сами себя проконтролировать, овладев при этом необходимым пониманием решения задач по высшей математике. Если в ходе усвоения материала у Вас возникнут некоторые вопросы, Вы сможете задать их мне. Я искренне надеюсь, что данный курс лекций по высшей математике поможет Вам самостоятельно выполнить задания и задачи по высшей математике и хорошо сдать экзамен. Желаю Вам успехов!

Содержание:

Элементы линейной алгебры

Одной из основных задач линейной алгебры является решение систем линейных алгебраических уравнений. В связи с изучением этих систем возникли понятия определителя и матрицы.

Определители

В линейной алгебре определитель (или детерминант) — это скалярная величина, которая может быть вычислена и поставлена в однозначное соответствие любой квадратной матрице.

Определители второго и третьего порядков и их свойства

Выражение

                                                        Рис. 1.1

Элементы а₁₁, а₁₂ в определителе (1) и а₁₁, а₂₂, а₃₃ в определителе (2) составляют главную диагональ определителя, а элементы a₁₂, а₂₁ и а₁₃, а₂₂, а₃₁ в тех же определителях — побочную диагональ.
Для вычисления определителя второго порядка нужно от произведения элементов, стоящих на главной диагонали, отнять произведение элементов, размещенных на побочной диагонали.
Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольников (рис. 1.1): первые три слагаемых в правой части формулы (2) являются произведениями элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, в которых одна сторона параллельна главной диагонали. Аналогично образуются слагаемые со знаком минус, где за основу берется побочная диагональ.
Заметим, что элементами определителя могут быть не только числа, но и алгебраические или тригонометрические выражения, функции и т.д.

Пример №1

Вычислить определители:
а) ;   б)  ;   в)  
По формулам (1) и (2) имеем:
а) ; б) 
в)
Рассмотрим (на примере определителей третьего порядка) основные свойства определителей.

1°. Определитель не изменится, если его строки заменить соответствующими
столбцами:

Это свойство доказывается непосредственно проверкой: достаточно раскрыть
оба определителя по формуле (2). Свойство 1° устанавливает равноправие строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства справедливы и для строк, и для столбцов. Доказываются они, как и свойство 1°, проверкой.

2°. Если переставить местами две строки (столбца), то определитель
поменяет знак. Например,

3°. Если одна из строк (столбцов) определителя состоит только из нулей, то определитель равен нулю. Например,

4°. Если определитель имеет две одинаковых строки (столбца), то он равен нулю. Например,

5°. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одной строки (столбца), можно вынести за знак определителя. Например,

6°. Если в определителе элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

7°. Если каждый элемент n-й строки (n-го столбца) является суммой двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, у одного из которых n-я строчка (n-й столбец) состоит из первых слагаемых, а у второго — из вторых; другие элементы всех трех определителей одинаковые.
Например,

8°. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число. Например,

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Пусть задан определитель третьего порядка
                                                     (3)

Минором элемента а_ij определителя называется определитель, который
образуется из данного определителя в результате вычеркивания i-й строки и j-го столбца. Например, для определителя (3) минорами элементов а₂₃ и а₃₂ являются такие определители:

Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij называется его минор, взятый со знаком то есть                             (4)

Например, если:  то 
Теперь сформулируем и докажем теоремы о разложении определителя по элементам строки (столбца).

Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо
строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
 Покажем, что для определителя (3) выполняются следующие равенства:
(5)

Докажем, например, первое из них.
Раскрывая определитель (3) по формуле (2) и группируя слагаемые, содержащих элементы первой строки, имеем

По формуле (4) выражения, стоящие в скобках, соответственно равны алгебраическим дополнениям А₁₁, А₁₂, А₁₃, поэтому

Аналогично доказываются и другие равенства.

Запись определителя по любой из формул (5) называют разложением определителя по элементам соответствующей строки или столбца.

Пример №2

Вычислить определитель   разложив его  по элементам третьей строки.
По третьей из формул (5) имеем

Такой же результат дает формула (2).

Теорема 2. Сумма произведений элементов любой строки (столбца)
определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.
Рассмотрим, например, сумму произведений элементов первой строки
определителя (3) на алгебраические дополнения элементов второй строки:

Понятие об определителях высших порядков

Теорема 1 позволяет ввести определение определителя произвольного порядка. По определению определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Можно доказать, что все рассмотренные выше свойства определителей третьего
порядка выполняются для определителей любого порядка.
Рассмотрим, например, определитель четвертого порядка

Этот определитель можно разложить по элементам любой строки, например первой:
                                                 (6)

Поскольку все алгебраические дополнения А_ij в формуле (6) являются определителями третьего порядка, то этой формулой можно пользоваться для вычисления определителя четвертого порядка. Но такой способ вычисления
громоздкий: если для нахождения определителя четвертого порядка надо вычислять четыре определителя третьего порядка, то для нахождения определителя пятого порядка уже придется вычислять двадцать определителей третьего порядка! Поэтому на практике сначала с помощью свойства 8° преобразовывают определитель так, чтобы в некоторой строке или столбце все элементы, кроме одного, стали нулями. Тогда раскладывая определитель согласно теореме по элементам этой строки, получим только одно слагаемое, потому что все остальные слагаемые являются произведениями алгебраических дополнений на ноль.

Пример №3

Вычислить определители:
1)  ;    2)  .
1) В первой строке превратим все элементы, кроме первого, в нули. Для этого, оставляя первый и второй столбцы без изменений, к третьему добавим первый, а
к четвертому — первый, умноженный на (–2). Тогда
.
Разложив этот определитель по элементам первой строки, получим

2) В первом столбце превратим все элементы, кроме второго, в нули. Для этого, оставляя вторую строчку без изменений, к первой строке добавим вторую, умноженную на (–2), к третьей — первую, к четвертой — первую, умноженную на
(–2), а к пятой — четвертую, умноженную на (–2). Получим

.

Разложим этот определитель по элементам первого столбца и вынесем за знак определителя общий множитель 2 из третьей строки и (–1) с четвертой:

Разложив этот определитель по элементам первой строки, получим

Матрицы

Основные определения:

Прямоугольная таблица чисел а_ij,  i = 1, 2, ..., m;  j = 1, 2, ..., n, состоящая из m строк и n столбцов и записанная в виде

называется матрицей. Понятие матрицы впервые ввели английские математики В. Гамильтон и Д. Келли. Коротко матрицу обозначают так:

где а_ij — элементы матрицы, причем индекс i  в элементе а_ij  означает номер строки, а j — номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Произведение числа строк m на число столбцов n называют размером матрицы и обозначают m х n. Если хотят указать размер m х n матрицы А, то пишут A_mxn.
Матрица, в которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Количество строк (столбцов) квадратной матрицы называется ее порядком. Матрица, у которой всего одна строка, называется матрицей-строкой, а матрица, у которой всего один столбец, матрицей-столбцом. Две матрицы A_mxn = (а_ij) и B_mxn = (b_ij) называются равными, если они одинаковых размеров и имеют равные соответствующие элементы: а_ij = b_ij . Нулевой называется матрица,  у которой все
элементы равны нулю. Обозначается такая матрица буквой О. Как и в определителях (п. 1.1), в квадратных матрицах выделяют главную и побочную диагонали.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме находящихся на главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица, в которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной и обозначается буквой Е. Например, единичная матрица третьего порядка имеет вид
.
Любой квадратной матрице

можно поставить в соответствие определенное число, которое называется определителем (детерминантом) этой матрицы и обозначается символом det А. По определению

Например, если
,  то det А =
Прямоугольная матрица размером m х n определителя не имеет.

Действия над матрицами

1°. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера. Суммой С = А + В двух матриц A_mxn = (а_ij) и B_mxn = (b_ij) называется матрица C_mxn = (c_ij) = (а_ij + b_ij). Например,

2 °. Произведением матрицы A_mxn = (а_ij) на число k (или числа k на матрицу A_mxn ) называется матрица B_mxn = (kа_ij). Например,

3 °. Разница матриц А—В определяется как сумма матрицы А и матрицы В, умноженной на (–1):
A–B = A + (–l) B.

Справедливы такие свойства операций:

• а) А + В = В + А — коммутативность относительно сложения матриц;
• б) А + (В + С) = (А + В) + С — ассоциативность относительно сложения матриц;
• в) А + O = А; А – А = O – роль нулевой матрицы в действиях над матрицами такая, как и числа ноль в действиях над числами;
• г) (А) = () А — ассоциативность относительно умножения чисел;
• д) (А + В) = А + В — дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц;
• е) (+ ) А = А + А – дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел.

4°. Операция умножения двух матриц вводится только для согласованных матриц. Матрица А называется согласованной с матрицей В, если количество столбцов первой матрицы А равно количеству строк второй матрицы В.
Если это условие не выполняется, то есть матрицы несогласованные, то умножения таких матриц невозможно.
Из согласованности матрицы А с В не следует, вообще говоря, согласованность
матрицы В с А.
Квадратные матрицы одного порядка взаимно согласованы.

Произведением С = АВ матрицы A_mxn = (а_ij) на матрицу B_nxk = (b_ij) называется такая матрица, в которой элемент с_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

 i = 1, 2, ..., m;  j = 1, 2, ..., k.
Это определение называют правилом умножения строки на столбец. Например,
чтобы определить элемент с₂₄,  стоящий во второй строке и четвертом столбце матрицы С = АВ, нужно найти сумму произведений элементов второй строки матрицы А на соответствующие элементы четвертого столбца матрицы В.

Пример №4

Найти матрицу С = АВ, если:
а) ;   б) 

а) Матрица А_2х2 согласована с матрицей В_2х3,  поэтому по определению имеем

б) .
Из правила умножения матриц следует, что всегда можно перемножить две квадратные матрицы одного порядка; в результате получим матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат; прямоугольную неквадратную матрицу возвести в квадрат нельзя.
Операция умножения матриц не коммутативная, то есть при умножении матриц нельзя менять местами множители:
AB ВА.
Например (проверьте):

 ; 

 

Для действий и 0°–4° над матрицами выполняются следующие свойства (при условии, что указанные операции имеют смысл):
а) (АВ) С = А (ВС);                          б) (А) В = А (В) = (АВ)
в) (А + В) С = АС + ВС;                  г) С (А + В) = СА + СВ;
д) А · 0 = 0 · А = 0;                  е) АЕ = ЕА = А;                   ж) det (АВ) = det А х det В.

Обратная матрица

Пусть А — квадратная матрица. Матрица А^–1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие
АА^–1 = А^–1 А = Е.
Квадратная матрица А называется вырожденной, если det А = 0, и невырожденной, если det А  0.

Теорема 3. Для существования обратной матрицы А^–1 необходимо и достаточно,
чтобы матрица А была невырожденной.
Необходимость. Пусть обратная матрица А^–1 существует, тогда АА^–1 = Е.  Применяя правило нахождения определителя произведения двух матриц, имеем det А · det А^–1 = 1, поэтому det А 0.
Достаточность. Пусть det А 0, тогда матрица А имеет обратную А^–1 матрицу, причем
 ,                                 (7)
где А_ij — алгебраические дополнения элементов а_ij  определителя матрицы
                                                     (8)
Действительно, произведения АА^–1 и А^–1 А матриц (7) и (8) равны матрице, у которой все элементы главной диагонали равны единице (по теореме 1), а все недиагональные элементы — нулю (по теореме 2). Итак,
АА^–1 = А^–1 А = Е.
Покажем, что А^–1 — единственная обратная матрица. Пусть А"— еще одна обратная матрица, тогда
А^–1 = А^–1Е = А^–1 (АА") = (А^–1 А) А" = ЕА" = А"

Пример №5

Найти матрицу А^–1, обратную к матрице

Вычислим определитель матрицы А:

Матрица А невырожденная, поэтому обратная матрица находится по формуле (7). Находим алгебраические дополнения всех элементов данной матрицы:

Составляем обратную матрицу:

Убеждаемся, что

 .

Ранг матрицы

Пусть задано матрицe А_mхn = А. Выделим в матрице А любые k строк и столько же столбцов, где k — число, не большее чисел m и n, то есть k min (m, n).

Определитель порядка k, состоящий из элементов, находящихся на пересечении
выделенных строк и столбцов, называется минором k-го порядка матрицы А.

Рангом r (А) матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля.
Непосредственно из определения следует, что:

1. Ранг существует для любой матрицы A_mxn, причем  ;
2. r (А) = 0 тогда и только тогда, когда А = В;
3. для квадратной матрицы n-го порядка ранг равен n тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

Ранг матрицы можно найти так. Если все миноры первого порядка (элементы матрицы) равны нулю, то r = 0. Если хоть один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то r = 1. В случае, когда есть минор второго порядка, отличный от нуля, исследуем миноры третьего порядка. Так продолжаем до тех пор, пока не произойдет одно из двух: или все миноры порядка k равны нулю, или миноров порядка k не существует, тогда r = k – 1.

Пример №6

Найти ранг матрицы
 .
Среди миноров первого порядка (то есть элементов матрицы) является отличным от нуля)
поэтому r (А)  1.
Поскольку один из миноров второго порядка
 ,
а все миноры третьего порядка равны нулю, то r (А) = 2.

Указанный метод нахождения ранга матрицы не всегда удобный, потому что связан с вычислением значительного числа определителей. Более простой метод основывается на том, что ран г матрицы не меняется, если над матрицей выполнить так называемые элементарные преобразования, а именно [1]:
а) переставить местами две строки (столбца);
б) умножить каждый элемент строки (столбца) на один и тот же отличный от нуля множитель;
в) добавить к элементам строки (столбца) соответствующие элементы второго
строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Пример №7

Найти ранг матрицы

 Выполняя элементарные преобразования, имеем:

 .

r (А) = 3.
(Знак  между матрицами показывает, что они образуются одна из другой элементарными преобразованиями и, следовательно, имеют один и тот же ранг).

Системы линейных уравнений

Основные определения:

Системой m линейных уравнений с n неизвестными х₁, х₂, ... , х_n  называется система вида
                                                (9)

Числа а_ij,  i = 1, 2, ..., m;  j = 1, 2, ..., n  при неизвестных называются коэффициентами, а числа b_i  — свободными членами системы (9).
Система уравнений (9) называется однородной, если все свободные члены равны нулю, и неоднородной, если хоть один из них отличный от нуля.
Множество чисел а₁, а₂, ... , a_n называется упорядоченным, если указан порядок следования этих чисел, то есть указано, какое из них является первым, какое вторым, какое третьим и т. д. Например, если упорядочена тройка чисел, то в записи а, b, с число а считается первым, b — вторым, с – третьим, а в записи b, а, с первым является число b, вторым — число а, и третьим — число с.

Упорядоченный набор n чисел   называется решением системы (9), если при подстановке этих чисел вместо неизвестных х₁, х₂, ... , x_n все уравнения системы превращаются в тождества. Такую систему чисел называют также n-мерным вектором, или точкой n-мерного пространства.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, то есть существует только один набор n чисел  который превращает все уравнения системы (9) в тождества.
Совместная система называется неопределенной, если она имеет больше одного решения.
Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Эквивалентные системы получают, в частности, в результате элементарных преобразований данной системы.
Элементарные преобразования системы линейных уравнений соответствуют элементарным преобразованиям матрицы (п. 2.4) при условии, что они выполняются только над строками матрицы.

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Пусть задано систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными х и у:
                                                                         (10)
Выполним такие элементарные преобразования системы (10): сначала умножим первое уравнение на а₂₂, второе — на –а₁₂, а потом суммируем их; после этого первое уравнение умножим на а₂₁, а второе — на –а₁₁ и сложим их. Получим систему
                                      (11)

Систему (11) можно записать с помощью определителей:

                                                                                      (12)

где

Определитель , составленный из коэффициентов системы (10), называется определителем системы. Определители  и  образуются из определителя    соответственно заменой столбцов при неизвестных  х  и у свободными членами.

При решении уравнений (12) могут быть следующие случаи:

1) , тогда система (10) имеет единственное решение:

                                  (13)

Формулы (13) впервые вывел К. Крамер и они называются формулами Крамера.
2)  или  , тогда система (10) не имеет решений, то есть является несовместной.
3) ,  тогда система (10) сводится к одному уравнению и имеет множество решений, то есть является неопределенной.
Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
х, у, z:

                                                         (14)

Вычислим определители:

Если определитель системы , то система (14) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:                                   (15)
Докажем, например, вторую из формул (15). Умножим первое, второе и третье уравнения системы (14) на алгебраические дополнения соответствующих
коэффициентов при у, то есть на А₁₁, А₂₁, А₃₂, а затем сложим их:

По теореме 2 выражения в скобках при х и z в этом равенстве равны нулю, а по теореме 1 выражение в скобках при у и правая часть равняются соответственно  и , то есть  .

Аналогично доказывают формулы Крамера для нахождения неизвестных х и z. Если задано n  линейных уравнений с n неизвестными (n > 3)
                                        (16)
и определитель системы, то такая система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера, аналогичным формулам (13) и (15):
 .                             (17)
В случае, когда определитель системы (14) или (16) равен нулю, формулы Крамера (15) и (17) не имеют смысла. Такие системы, а также системы, у которых число неизвестных не равно числу уравнений и к которым, очевидно, формулы Крамера тоже нельзя применить, рассмотрим в п. 3.5.

Пример №8

Решить системы по формулам Крамера:

а)              б) 

Находим определители  :

По формулам (13):

б) Решение получим по формулам (15). Имеем:

х = 1, у = 2, z = 1.

Матричная запись системы линейных уравнений и ее решения

Пусть задано систему (16), которая содержит n линейных уравнений с n неизвестными.
Введем матрицы

Матрицу А, составленную из коэффициентов системы (16), называют матрицей
или основной матрицей системы, матрицу Х— матрицей из неизвестных, а матрицу В  — матрицей из свободных членов. Тогда в соответствии с правилом
умножения матриц систему (16) можно записать одним матричным уравнением с неизвестной матрицей Х:
АХ = В                                                                            (18)
Предположим, что матрица А системы (16) имеет обратную матрицу А^–1; умножим обе части равенства (18) на А^–1 слева:  А^–1АХ = А^–1В.
Поскольку А^–1А = Е и ЕХ = Х, то           

Х = А^–1В.                                                                          (19)
Итак, чтобы решить систему уравнений (16), достаточно найти матрицу, обратную к матрице системы, и умножить ее справа на матрицу из свободных
членов.
Формулу (19) называют матричной записью решения системы (16) или решением матричного уравнения (18).
Заметим, что решение системы уравнений в матричной форме возможно только тогда, когда матрица системы невырожденная.

Пример №9

Решить систему уравнений

Имеем (см. пример п. 2.3)

 .

По формуле (19) находим:

 .

Итак, х = –1, у = 2, z = 1.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса. Этот метод предложен К. Гауссом и основывается на элементарных
преобразованиях системы уравнений (п. 2.1).
Пусть имеем систему (9), которая содержит m уравнений и n неизвестных. Очевидно, среди коэффициентов а_i1 хотя бы один отличный от нуля. Если же а₁₁ = 0, то первым в системе (9) запишем то уравнение, в котором коэффициент при х₁ отличен от нуля. Обозначим этот коэффициент через  . Преобразуем систему (9), исключая х₁ во всех уравнениях, кроме первого. Для этого умножим первое уравнение на   и добавим ко второму, потом умножим первое уравнение на и добавим к третьему и т. д. При этом может произойти так, что второе неизвестное х₂ также не входит во все уравнения с номером i > 1. Пусть x_k — неизвестное с наименьшим номером, которое входит в любое уравнение, не считая первого. Получим систему
       (20)

Применяя ко всем уравнениям, кроме первого, такую ​​же процедуру и выполнив ряд элементарных преобразований, получим систему:

     (21)

Если продолжить этот процесс, то получим систему:

                                    (22)

Такую систему уравнений называют ступенчатой ​​или трапециеподобной.

Исследуем эту систему:

1. Если система содержит уравнения вида 0 = b_t  и  b_t 0, то она очевидно несовместна.

2. Пусть система (22) не содержит уравнений вида 0 = b_t (b_t 0). Назовем неизвестные х₁, х_k, х₁, ..., х_s , с которых начинаются первое, второе, ..., г-е уравнение, основными, а все остальные, если они есть, свободными. Основных неизвестных по определению г. Давая свободным неизвестным произвольные значения и подставляя эти значения в уравнение системы,из г-го уравнения найдем х_s. Подставляя это значение в первые г – 1 уравнений и, поднимаясь вверх по системе, найдем все основные неизвестные. Поскольку свободные неизвестные могут принимать любые значения, система имеет множество решений.

3. Пусть в системе (22) г = n. Тогда свободных неизвестных нет, то есть все неизвестные основные и система (22) имеет так называемый треугольный вид:

Из последнего уравнения системы найдем х_n, и, поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные. Итак, в этом случае система имеет единственное решение.

Замечание 1. Изложенный нами метод последовательного исключения переменных х называют еще методом Гаусса. Он состоит из однотипных операций и легко реализуется на современных ЭВМ.

Замечание 2. При решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к треугольному или трапециевидному виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, то есть матрицу, образованную присоединением к матрице ее коэффициентов столбца свободных членов. Выполняя над строками расширенной матрицы элементарные преобразования, приходим к решению системы.

Пример №10

Решить системы уравнений методом Гаусса:

а)       б)     в) 

а) Проведем элементарные преобразования над строками расширенной матрицы данной системы (обозначим это символом  ): .

Таким образом, система а) эквивалентна системе

В последнем уравнении свободный член равен 2, а коэффициенты при неизвестных равны нулю (то есть 0=2), поэтому система несовместна.

б) Имеем

 .

Итак, система б) эквивалентна системе треугольного вида

     и имеет единственное решение  .

в) Имеем  .

Итак, система в)  эквивалентна системе трапециевидного вида

        и имеет множество решений.

Из последней системе находим 

Таким образом, решение системы имеет вид    где t — произвольное число .
Отметим, что ни одну  из приведенных в этом примере систем нельзя решить ни по формулам Крамера, ни матричных способом.

Однородная система линейных уравнений

Пусть задана однородная система m  линейных уравнений с n неизвестными.
                              (23)
Эта система всегда имеет нулевое решение х₁ = 0, х₂ = 0, ..., х_n = 0, так что подстановка нулей вместо неизвестных в каждое из уравнений (23) превращает их в тождества. Ненулевые решения (если они существуют) системы (23) можно найти методом Гаусса.
Покажем, что для однородной системы трех уравнений с тремя неизвестными можно найти общие формулы, выражающие ненулевые решения через коэффициенты системы.
Рассмотрим систему
                                                         (24)
Если определитель системы то система имеет единственное нулевое
решение. Действительно, определитель   (один столбец в
каждом определителе содержит только нули), поэтому по формулам Крамера
х = 0, у = 0, z = 0
Покажем, что когда определитель  , то система (24) имеет множество
решений. Рассмотрим такие два случая.

1. Допустим, что в определителе  существует по крайней мере один отличный
от нуля минор второго порядка. Пусть, например, 

Возьмем те уравнение системы (24), которые содержат отличный от нуля минор, и запишем их в виде
                                                   (26)
Поскольку определитель (25) системы (26) отличен от нуля, то по формулам Крамера

где
 .                             (27)
Поскольку z может приобретать любых действительных значений, положим z =    = ,  где t — произвольное действительное число, тогда из формул (27)
                     (28)
Подставляя решение (28) в третье уравнение системы (24) и используя теорему 1, убеждаемся, что формулы (28) при любом t определяют решения однородной системы (24). 

2. Пусть теперь определитель системы (24) и все его миноры второго порядка равны нулю. Это значит, что коэффициенты всех трех уравнений (24) пропорциональны, поэтому система сводится к одному уравнению с тремя неизвестными. Предоставляя двум неизвестным произвольные значения, находят соответствующее им третье неизвестное.
Итак, если определитель однородной системы (24) равен нулю, то такая система имеет множество решений.

Пример №11

Решить системы уравнений:
а) ;        6)

а) Определитель системы

поэтому система а) имеет единственное решение х = 0, у = 0, z = 0.
б) Определитель системы

поэтому система б) не определена. Все миноры второго порядка, содержащиеся в первой и второй строках определителя, равны нулю. Возьмем второе и третье уравнения системы:

Эти уравнения содержат отличный от нуля минор второго порядка

поэтому по формулам (28) имеем

Итак, система б) имеет множество решений: x = –t, у = 5t, z = 3t, где t —произвольное действительное число. 

Критерий совместимости системы линейных уравнений

Пусть задано систему m линейных уравнений с n неизвестными:
                                    (29)
Составим основную матрицу А и расширенную матрицу данной системы:
 .
Исчерпывающий ответ на вопрос о существовании решения системы (29) дает теорема Кронекера - Капелли. Приводим ее без доказательства.

Теорема 4. Для того чтобы система линейных уравнений была совместимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы равнялся рангу
расширенной матрицы.
Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, но меньше числа неизвестных, то система имеет множество решений [1, 9].

Пример №12

Исследовать на совместимость систему уравнений

Поскольку ранг основной матрицы r (А) = 2, а ранг расширенной матрицы =
= 3 (проверьте), то заданная система уравнений несовместима.

Элементы векторной алгебры

Векторная алгебра — раздел математики, в котором изучаются действия над векторами. Векторная алгебра возникла и совершенствовалась в связи с потребностями механики и физики. До 19 в. величины, встречавшиеся в механике и физике, задавали числом или несколькими действительными числами. Последующее развитие физики показало, что некоторые из физических величин гораздо целесообразнее характеризовать не только числом, но и направлением, то есть вектором.
Впервые векторы применил К. Вессель в 1799 г. для интерпретации комплексных чисел. Однако настоящее развитие векторной алгебры началось только в середине 19 в. и привело к созданию новой математической дисциплины — векторного анализа.
Аппарат векторного вычисления эффективно используется во многих общенаучных и инженерных дисциплинах (электро- и гидродинамике, теоретической и технической механике, теории механизмов и машин).

Векторы и линейные действия с ними

Вектор – это направленный отрезок прямой для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

Линейными операциями над векторами называются операции сложения (вычитания) векторов и умножения вектора на число.

Скалярные и векторные величины

Многие физические величины полностью определяются своим числовым значением (объем, масса, плотность, температура и т. п.); они называются скалярными. Но есть и такие величины, которые кроме числового значения имеют еще и направление (скорость, сила, напряженность магнитного поля и
тому подобное). Такие величины называются векторными.
Любая упорядоченная пара точек А и В пространства определяет направленный
отрезок, или вектор, то есть отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. (Термин «вектор» (от лат. vector — переносчик) ввел в 1848 г. Гамильтон.) Первую точку А называют началом вектора, а вторую В — концом вектора. Направлением вектора считают направление от его начала к концу.
Вектор, начало которого находится в точке А, а конец — в точке В, обозначается символом  или   Направление вектора на рисунке показывают стрелкой (рис. 2.1). Расстояние между началом вектора   и его концом называется длиной (или модулем) вектора и обозначаются   или   ·
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора называется ортом вектора  и обозначается через  .
Вектор, начало которого совпадает с концом, называется нулевым и обозначается через ; направление нулевого вектора не определено, а его длина равна нулю.

Векторы  и   называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Векторы  и   называются равными (  =  ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины.
В определении равенства векторов не предусмотрено какое-то определенное размещение их, потому,  не нарушая равенства, векторы можно переносить
параллельно самим себе. В связи с этим векторы в аналитической геометрии
называются свободными. Иногда свобода перемещения вектора ограничивается.
В механике, например, рассматриваются скользящие и связанные векторы. Примером скользящего вектора является вектор угловой скорости при вращении тела, потому что он может размещаться только на оси вращения. Примером связанного вектора является сила, приложенная к какой-то точке упругого тела, поскольку результат действия силы зависит от точки приложения.
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. В частности, векторы компланарны, если два из них или все три коллинеарны. Три вектора считаются компланарными также в том случае, когда хотя бы один из них нулевой.

Линейные действия с векторами

К линейных действий с векторами принадлежат добавления и отнимание векторов, умножение вектора на число.

1. Сложение векторов. Сумма    двух векторов  и   по определению

есть вектор направленный из начала вектора в конец вектора  , при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора  (рис. 2.2).
Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (рис. 2.3).
Чтобы построить сумму любого конечного числа векторов, нужно в конце первого вектора построить второй, в конце второго построить третий и т. д. Направленный отрезок, идущий из начала первого вектора в конец последнего и будет суммой данных векторов (рис. 2.4).

2. Отнимание векторов определяется как действие, обратное сложению.
Разницей называется вектор который, будучи добавлен к вектору, дает вектор (рис. 2.5).
Два вектора называются противоположными, если они коллинеарны, их длины одинаковы, а направления противоположны. Вектор, противоположный вектору , обозначается через  Тогда разницу   можно толковать еще и так (рис. 2.6): вычесть из вектора вектор , это все равно, что к вектору  добавить вектор, противоположный вектору , то есть = .

3. Умножение вектора на число. Пусть заданы вектор и число  . Произведением  называется вектор, длина которого равна а направление совпадает с направлением вектора , если  и противоположное ему, если . Если или    то
Геометрическое содержание операции умножения вектора на число таково: умножения вектора на число   можно понимать как «растяжение» вектора
в раз при  и «сжатие» при  причем при  происходит еще и изменение направления. На рис. С. 2. 7 показаны векторы  

Из определения умножения вектора на число следует, что если векторы коллинеарны, то существует единственное число такое, что ; и, наоборот, если , то векторы  и   коллинеарны.

Линейные операции над векторами имеют следующие свойства:

1. Коммутативность относительно сложения векторов:
2. Ассоциативность относительно сложения векторов:
3. Ассоциативность относительно умножения чисел:
4. Дистрибутивность относительно сложения чисел:
5. Дистрибутивность относительно сложения векторов:

Докажем, например, свойство 5°: пусть  и    неколлинеарные векторы и   Построим (рис. 2.8) векторы    Из подобия треугольников ОАВ и ОА₁В₁  следует, что  а из  имеем  то есть   Случай  рассматривается аналогично.
Если  и    коллинеарны и   то вектор можно записать в виде
. Тогда, используя свойства 3° и 4°, имеем:  

Рассмотренные свойства имеют большое значение в векторной алгебре, потому что они дают право делать преобразования в линейных операциях с векторами
так же, как в обычной алгебре: векторные слагаемые можно переставлять местами и соединять их в группы, вводить скобки, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

Разложение вектора по базису

Применяя линейные операции над векторами, можно находить суммы произведений чисел ,  где i = 1, 2, ..., n, на векторы : 
 Выражения такого вида называются линейными комбинациями векторов, а числа , входящих в линейную комбинацию, — ее коэффициентами.
Базисом на прямой называется произвольный ненулевой вектор на этой прямой.
Базисом на плоскости называется произвольная упорядоченная пара неколлинеарных векторов, а базисом в пространстве — произвольная упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Векторы, составляющие базис, называются базисными. Разложить вектор по базису означает изобразить
его в виде линейной комбинации базисных векторов.

Если векторы   составляют базис и вектор разложен по этому базису, то есть   то числа   называются координатами вектора в ​​данном базисе, а векторы — компонентами или составляющими вектора  . Говорят также, что вектор   линейно выражается через векторы  и   или является их линейной комбинацией.

Теорема 1. Каждый вектор, параллельный какой-нибудь прямой, можно
разложить по базису на этой прямой.
Каждый вектор, параллельный какой-нибудь плоскости, можно разложить
по базису на этой плоскости.
Каждый вектор можно разложить по базису в пространстве.
Координаты вектора в каждом случаи определяются однозначно.

Не останавливаясь на доказательстве этой теоремы [4], рассмотрим ее геометрический смысл.
Первое утверждение теоремы означает, что для произвольного вектора ,  коллинеарного ненулевому вектору ; (рис. 2.9, а), найдется такое число , что   Очевидно, что   , если векторы   и   одинаково направлены, и  , если эти векторы противоположно направлены. 
Второе утверждение означает, что для каждого вектора , компланарного с двумя неколлинеарными векторами  и  (рис. 2.9, б), найдутся такие числа и , что
Чтобы указать компоненты   и достаточно разложить вектор на сумму векторов, коллинеарных векторам   и  (вспомните разложение силы в
физике на две составляющие).
Третье утверждение теоремы означает, что для каждого вектора  и некомпланарных векторов ,  и найдутся такие числа ,  и , что   Составляющие   и  показаны на рис. 2.9, в.
 

Таким образом, базис в пространстве позволяет каждому вектору однозначно
сопоставить упорядоченную тройку чисел (координат этого вектора) и, наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел ,  и  с помощью базиса можно сопоставить единственный вектор   где  ,  и — векторы базиса, то есть выбранный базис позволяет установить взаимно однозначное соответствие между векторами и упорядоченными тройками чисел.

Пример №13

Пусть ABCD — параллелограмм. М и N — середины его сторон (рис. 2.10). Разложить вектор по векторами  ,
 

Из треугольников AND и АМВ  имеем:
. 

Если из первого равенства найти вектор и подставить его значение во второе, получим

Итак, если базисными векторами являются векторы и  , то координатами вектора в этом базисе являются числа и  .

Проекция вектора на ось

Осью называется направлена ​​прямая. Направление прямой обозначают стрелкой. Заданное на оси направление считают положительным, а противоположное — отрицательным. 
Проекцией точки А на ось u называется основание А₁ перпендикуляра АА₁, опущенного из точки А на эту ось. Таким образом, проекция А₁ является точкой пересечения оси u с плоскостью, проходящей через точку А, перпендикулярно оси u.

Пусть в пространстве заданы ось u и вектор . обозначим через А₁ и B₁ проекции на ось u соответственно начала А и конца В вектора  и рассмотрим вектор (рис. 2.11).
Проекцией вектора   на ось u называют положительное число , если вектор и ось u  одинаково направлены, и отрицательное число –, если вектор и ось u  противоположно направлены. Проекцию вектора на ось обозначают так:  Если то считают, что
Углом   между вектором   и осью u (или между двумя векторами) называется
меньший из углов, на который нужно повернуть один вектор или ось,  чтобы он совпадал по направлению со вторым вектором или осью: =
В некоторых случаях мы будем указывать, от которого вектора и в каком направлении угол отсчитывается.

Справедливы такие свойства проекций.

1°. Проекция вектора на ось u  равняется произведению длины вектора  на косинус угла  между вектором и осью, то есть

Если (рис. 2.12), то .
Если (рис. 2. 13), то  
Если, то формула (1) справедлива, поскольку

2°. Проекция суммы нескольких векторов на данную ось равна сумме их проекций на эту ось, то есть

Пусть  (рис. 2.14). Имеем: 

3°. При умножении вектора   на число его проекция также умножится на это число:
 

Пусть   и   .  Если , то по формуле (1)

если  , то

Таким образом, основные свойства проекции вектора на ось заключаются в том, что линейные операции над векторами приводят к соответствующим
линейным операциям над проекциями этих векторов.

Системы координат

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

Декартова система координат

Рассмотрим в пространстве точку О и некоторый базис, задаваемый векторами (рис. 2.15).
Совокупность точки и базиса называется декартовой системой координат в пространстве в честь французского математика Р. Декарта. Точка О называется началом координат, а оси, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Первая из них проходит в направлении вектора  и называется осью абсцисс, вторая ось, проходящая в направлении вектора  , — осью ординат и третья — в направлении вектора — осью аппликат.
Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными
плоскостями.
        
Любой точке пространства можно сопоставить вектор ,  начало которого совпадает с началом координат О, а конец — с точкой М. Такой вектор называется радиусом-вектором точки М относительно точки О. Согласно теореме 1 существуют такие действительные числа х₁, х₂, х₃, что
                                          (4)
 Координаты х₁, х₂, х₃ радиуса-вектора точки М относительно начала координат называют декартовымu координатами точки М в данной системе координат и пишут: М (х₁; х₂; х₃). Координата х₁ называется абсциссой точки М, координата х₂ — ординатой и координата х₃ — аппликатой точки М.
Аналогично определяются декартовы координаты точки на плоскости и на прямой. Разница лишь в том, что точка на плоскости имеет две координаты, а точка на прямой — одну. Таким образом, если в пространстве выбрана декартова система координат, то каждой точке пространства соответствует одна упорядоченная тройка действительных чисел — декартовы координаты этой точки. И наоборот, для каждой упорядоченной тройки чисел найдется единственная точка пространства, для которой эти числа являются декартовыми координатами.
Это означает, что выбранная тем или иным способом декартова система координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками чисел.
Система координат на плоскости устанавливает такое ​​же соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел, а на прямой — между точками прямой и действительными числами.

Прямоугольная система координат

Очевидно, декартовых систем координат можно задать сколько угодно. Среди них широко используется прямоугольная декартова система координат. Чтобы определить эту систему, введем такие понятия.
Упорядоченная тройка единичных попарно ортогональных векторов называется ортонормированным базисом. Обозначают ортонормированный базис через  где  ,   
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется
правой (рис. 2.16, а), если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора  до второго вектора видно против часовой стрелки; в  противоположном случае тройка векторов  называется левой (рис. 2.16, б).
Прямоугольной декартовой системой координат (или просто прямоугольной
системой координат) называется декартова система координат, базис которой ортонормированный. Прямоугольная система координат называется правой (левой), если ее ортогональный базис образует правую (левую) тройку векторов. В дальнейшем будем пользоваться правой системой координат, определяется правым ортонормированным базисом: 
Прямоугольную систему координат обозначают (рис. 2.17) через Oxyz (Ох — ось абсцисс, Оу — ось ординат, Oz — ось аппликат), а координатные плоскости — через Оху, Oyz, Ozx. Они делят пространство на восемь октантов. При изображении системы координат, как правило, показывают только оси координат; векторы   не указывают.

Пусть задана прямоугольная система координат Oxyz и произвольная точка М (рис. 2.17). Радиус-вектор   этой точки по формуле (4) записывают в виде
   или                                              (5)
Координаты х, у, z радиуса-вектора точки М называются координатами точки М. Точка М с координатами х, у, z обозначается через М (х; у; z).
Из ортогональности базисных векторов системы Oxyz следует, что координаты точки М равны соответствующим проекциям (п. 1.4) радиуса-вектора этой точки на оси координат, то есть            (6)
и определяются проектированием точки М на координатные оси (рис. 2.18).

Прямоугольные координаты точки на плоскости и на прямой определяются
таким же способом, как и в пространстве.
Прямоугольная система координат Оху на плоскости задается точкой О — началом координат и двумя взаимно перпендикулярными единичными векторами — базисом системы координат; система координат на прямой задается точкой О и единичным вектором . Понятно, что точка М (х; у) на плоскости имеет только две координаты (абсциссу и ординату), а точка М(x) на прямой — одну.

Пример №14

1. На координатной прямой Ох построить точки: А₁(3), А₂(–2).
2. В прямоугольной системе координат Оху построить точки В₁(1; 2), В₂(2; –3), В₃(–3; 0).
3. В прямоугольной системе координат Oxyz построить точки С₁(1; 2; 3), С₂(3; –2; 3), С₃(–1; –3; –5).
Построение точек nоказано на рис. 2.19, а-в.

Полярная система координат

Декартова система координат – не единственный способ определять с помощью
цифр место нахождения точки на плоскости. Для этой цели используют много других координатных систем.
Важнейшей после прямоугольной системы координат является полярная
система координат. Она задается точкой О, которая называется полюсом, и лучом Ор, который выходит из полюса и называется полярной осью. Задаются также единицы масштаба: линейная — для измерения длин отрезков и угловая — для измерения углов.
Рассмотрим полярную систему координат и возьмем на плоскости произвольную точку М (рис. 2.20). Пусть  — расстояние от точки О до точки М  и   — угол, на который надо повернуть полярную ось против часовой стрелки, чтобы совместить ее с вектором . 

Полярными координатами точки М называются числа  и  .  При этом число считается первой координатой и называется полярным радиусом, а число — второй координатой и называется полярным углом. Точка М с полярными координатами и   обозначается так: М (;  ). Очевидно, полярный радиус может принимать произвольные неотрицательные значения: , полярный угол будем считать таким, что изменяется в пределах  Иногда рассматривают углы , больше чем , а также отрицательные углы, то есть такие, которые откладываются от полярной оси по часовой стрелке.
Выразим декартовы координаты точки М через полярные.
Будем считать, что начало прямоугольной системы совпадает с полюсом, а ось Ох — с полярной осью Ор. Если точка М (рис. 2.21) имеет декартовы координаты х и у и полярные и , 
                                                          (7)

  

откуда   

Заметим, что вторая из формул (8) дает два значения угла , поскольку он меняется от 0 до . Из этих двух значений угла надо взять то, для которого удовлетворяются формулы (7). Формулы (7) называют формулами перехода от полярных координат к декартовым, а формулы (8) — формулами перехода от декартовых координат к полярным.

Пример №15

Построить точки с полярными координатами:  . Данные точки показаны на рис. 2.22.

Преобразование прямоугольных координат на плоскости

При решении задач иногда надо переходить от одной прямоугольной системы к другой. Выполняется такой переход с помощью формул преобразования координат.
Рассмотрим преобразования координат на плоскости.

1. 1°. Параллельный перенос осей. Возьмем две прямоугольные декартовы системы координат Оху и О₁ХУ с разными началами координат и одинаково направленными осями.

Пусть точки О₁ и М в системе Оху (рис. 2.23) имеют соответственно координаты
(a; b) и (х; у), тогда координаты точки М в системе О₁ХУ  удовлетворяют равенству
Х = х – а, Y = y – b.                                                                 (9)
Формулы (9) называются формулами преобразования координат при параллельном переносе осей. Они выражают координаты точек в системе О₁ХУ через координаты точек в системе Оху .

2°. Поворот осей координат. Пусть на плоскости заданы две прямоугольные
системы координат Оху и ОХУ, имеющих общее начало координат, причем система ОХУ образована из системы Оху поворотом осей на положительный угол (рис . 2.24).

Найдем формулы, выражающие координаты (х; у) точки М в системе Оху через координаты (Х; У) этой точки в системе ОХУ. Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и ОХ, тогда по формулам (7) имеем

откуда
                       (10)
Формулы (10) называются формулами преобразования координат при
повороте осей.

Пример №16

В системе Оху точка М имеет координаты (2; 4). Найти ее координаты в системе
ОХУ, которая образуется из системы Oху поворотом на угол .

По формулам (10) имеем

Такой же результат можно получить геометрически, построив точку М и системы координат Оху и ОХУ.

Цилиндрическая и сферическая системы координат

В пространстве кроме прямоугольной системы координат часто используются цилиндрическая и сферическая системы координат.

1°. Цилиндрическая система координат. Если в прямоугольной системе координат Oxyz вместо первых двух координат х, у взять полярные координаты , , а третью координату z оставить без изменения, то получим цилиндрическую систему координат (рис. 2.25). Координаты точки М пространства в этой системе записываются в виде .

Зависимости между прямоугольными координатам точки  и ее цилиндрическими координатами  вытекают из формулы (7):                                            (11)

где 

Итак, если  прямоугольная и цилиндрическая системы координат размещены так,  как на рис. 2.25, то связь между прямоугольными и цилиндрическими координатами выражается формулами (11).

2°. Сферическая система координат. В системе Oxyz возьмем точку М и через эту точку и ось Oz проведем плоскость (рис. 2.26). Пусть r — расстояние от начала координат до точки М;   — двугранный угол между плоскостями Ozx и zOM; — угол между осью Oz и лучом ОМ. Упорядоченная тройка чисел  однозначно определяет положение точки М в пространстве. Эти числа называются сферическими координатами точки М.
Найдем зависимость между прямоугольными и сферическими координатами
точки М. Из прямоугольных треугольников ONM и OPN имеем
тогда
                                 (12)
где

Таким образом, если прямоугольная и сферическая системы координат размещены так, как на рис. 2.26, то связь между прямоугольными и сферическими координатами выражается формулами (12).

Понятие о n-мерном пространстве

Как уже указывалось в п. 2.1, между геометрическими векторами и их
координатами в фиксированном базисе существует взаимно однозначное соответствие. При этом каждому вектору пространства сопоставляется упорядоченная тройка чисел, каждому вектору, принадлежащему некоторой плоскости,  — упорядоченная пара чисел, а каждому вектору, принадлежащему
некоторой прямой, — действительное число, и наоборот.

Упорядоченную тройку чисел называют трехмерным вектором, а множество всех трехмерных векторов называют трехмерным пространством и обозначают через R₃.

Упорядоченные пары чисел называют двумерными векторами, а числа —одномерными. Множества двумерных и одномерных векторов называют соответственно двумерными и одномерными пространствами и обозначают через R₂ и R₁.

Обобщая пространства R₁, R₂, R₃, приходим к n-мерному пространству R_n, где n —произвольное натуральное число.

Упорядоченное множество n действительных чисел х₁, х₂, ..., х_n называется
n-мерным вектором  и обозначается так:  = (х₁; х₂; ...; х_n).
Множество всех n-мерных векторов называется n-мерным пространством и обозначается через R_n. Если произвольный вектор  = (х₁; х₂; ...; х_n) пространства R_n рассматривать как радиус-вектор соответствующей точки М относительно начала выбранной системы координат, то координаты точки М
определяются как координаты этого радиуса-вектора. В связи с этим
n-мерное пространство R_n можно толковать также как множество упорядоченных совокупностей  n действительных чисел.

Пространства R₁, R₂, R_з являются частными случаями пространства R_n. Их можно
изобразить геометрически; для n > 3 пространства R_n геометрически уже представить нельзя, однако они играют важную роль в науке и технике.

Примеры:

1. В системе (9) линейных уравнений  каждое уравнение можно рассматривать как (n + 1)-мерный вектор, потому что оно определяется упорядоченной совокупностью (n + 1) чисел. Так, первое уравнения определяется вектором   
2. Решение системы уравнений с n неизвестными является n-мерным вектором.
3. Каждая строка матрицы А  является n-мерным вектором, а каждый столбец — m-мерным. Строки называют горизонтальными, а столбцы —вертикальными векторами матрицы. Итак, произвольное матрицу можно рассматривать как некоторую упорядоченную совокупность ее вертикальных или горизонтальных векторов.

Линейная зависимость векторов

Рассмотрим систему из m n-мерных векторов
                                              (13)
По определению векторы (13) называются линейно зависимыми, если равенство
              (14)
возможно при условии, что хотя бы одно из чисел   где i = 1, 2, ..., m.
Если же равенство (14) возможно только при условии, что
  то векторы (13) называются линейно независимыми.

Для выяснения вопрос о линейной зависимости векторов (13) каждый из заданных векторов   и ноль-вектор   (0; 0; ..., 0) запишем как матрицу-столбец, тогда векторное равенство (14) можно записать в матричной форме:
или

                                (15)
Имеем линейную однородную систему уравнений относительно неизвестных  .  Если система (15) имеет только нулевое решение, то векторы
(13) будут линейно независимыми. Если же кроме нулевого система (15) имеет еще и ненулевые решения, то векторы (13) линейно зависимы.
Приводим без доказательства следующие свойства понятия линейной зависимости [1, 4]:
 

1. если среди векторов (13) есть нулевой, то эти векторы линейно зависимы;
2. если векторы (13) линейно зависимы, то после добавления к ним одного или нескольких новых векторов получим линейно зависимую систему векторов;
3. если векторы (13) линейно независимы, то после отнимания одного или нескольких векторов получим снова линейно независимые векторы;
4. векторы (13) линейно зависимые тогда и только тогда, когда один из  них является линейной комбинацией других;
5. если два ненулевые трехмерные векторы линейно зависимы, то они коллинеарны, и наоборот;
6. если три ненулевые трехмерные векторы линейно зависимы, то они компланарны и наоборот.
7. четыре (и более) трехмерных векторов всегда линейно зависимы.

Понятие линейной зависимости имеет достаточно глубокий смысл и широко
используется в математике. Не вдаваясь в подробности, приведем такие применения этого понятия.

1. Всякая упорядоченная совокупность линейно независимых векторов, через которые линейно выражается произвольный вектор пространства, называется базисом этого пространства. Нетрудно убедиться в эквивалентности этого определения и определения базисов в пространствах R₁, R₂, R₃.
2. Максимальное число линейно независимых векторов некоторого пространства называется его размерностью. Размерность пространства равна числу базисных векторов этого пространства. В соответствии с этим определение прямую линию рассматривают как одномерное пространство R₁ с одним базисным вектором; плоскость — это двумерное пространство R₂, базис которого содержит два вектора, и т. д.
3. Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых строк, и это число равно рангу матрицы.

Рассмотрим систему линейных уравнений (9) и зафиксируем
какой-нибудь отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы этой системы. Уравнения, в которых коэффициенты при неизвестных образуют выбранный минор, называют базисными. Тогда из утверждения 3° выплывает такой важный для практики вывод: система линейных уравнений эквивалентна системе своих базисных уравнений.

Пример №17

Доказать, что векторы   линейно независимы.
Решим уравнение   Имеем:

   или   

Поскольку определитель системы отличен от нуля (проверьте), то система имеет единственное решение   Следовательно, заданные векторы линейно независимы.

Векторы в системе координат

Для того чтобы операции над векторами свести к операциям над числами, будем рассматривать векторы в системе координат.

Координаты, длина и направляющие косинусы вектора

1. Координаты вектора. Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz задан вектор . Это означает, что в ортонормированном базисе    который задает выбранную систему координат, вектор  (п. 1 .3), где числа  — координаты вектора  в этом базисе. Но из свойств проекции (п. 1.4) вытекает, что
                                      (16)
Итак, координаты вектора в системе координат Oxyz — это его проекции на оси координат.

2. Длина вектора. Вектор является диагональю прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.27) с измерениями  поэтому длина этого
вектора равна
                                                                           (17)
Если начало вектора (рис. 2.28) находится в точке А (х₁; у₁; z₁), а конец — в точке В (х₂; у₂; z₂), то из формул (2) и (16) следует, что то есть
                                                     (18)
Тогда из формулы (17) находим длину вектора :
                              (19)
Этой формулой пользуются для нахождения расстояния между точками
А и В. 

3. Направляющие косинусы вектора. Направление произвольного вектора   определяется углами , которые образует вектор с осями координат (рис. 2.27): 

Косинусы этих углов называются направляющими косинусами. Формулы
для направляющих косинусов получаем из формул (l) и (16):

                        (20)

Возведя обе части каждого из равенств (20) в квадрат, и подытоживая, с учетом формулы (17) получим
                                                                      (21)
то есть сумма квадратов направляющих косинусов произвольного вектора равна единице.

Пример №18

Заданы точки А (0; –1; 2) и В (–l, 1, 4). Найти координаты, длину и направляющие косинусы вектора

Из формул (18), (19) и (20) имеем: = (–1; 2; 2);   3;

Пример №19

Может ли вектор образовывать с осями координат углы = 60°, = 30°?

поэтому согласно формуле (21) получим на этот вопрос отрицательный ответ.

Линейные действия с векторами. Равенство и коллинеарность векторов

1. Действия с векторами. Если известны координаты векторов, то линейным действиям с векторами отвечают соответствующие арифметические действия над их координатами. Это следует из свойств 2°, 3° проекций (п. 1.4).

Пусть заданы векторы и действительное число ,
тогда

2. Равенство векторов. Пусть векторыравны, то есть имеют одинаковые длины и направление, тогда из формул (1) и (16) следует, что 
                                                                 (22)
и наоборот, если имеют место формулы (22), то . Итак, всякое векторное равенство вида   эквивалентно трем скалярным равенствам (22).

3. Коллинеарность векторов. Необходимым и достаточным условием того, что векторы   и    коллинеарны, является пропорциональность их проекций:
                                                                       (23)
Действительно, если векторы и коллинеарны, то существует такое число , что  , тогда из формул (22) получаем равенства    из которых вытекают формулы (23).

Пример №20

Найти вектор   коллинеарной вектору
Из условий (23) имеем

Пример №21

Доказать, что координаты орта вектора  совпадают с направляющими косинусами данного вектора.

  

Деление отрезка в заданном соотношении. Координаты центра масс

Пусть задан отрезок АВ точками А (х₁; у₁; z₁) и В (х₂; у₂; z₂). Найдем на отрезке такую точку М (х; у; z), которая делит этот отрезок в отношении , то есть .  Введем радиусы-векторы  (рис. 2.29). Поскольку   и по условию   то  откуда .   Приравнивая проекции обеих частей этого равенства на оси координат, согласно формулам (22) имеем 
                             (24)
В частности, координаты точки, которая делит отрезок АВ пополам ,  находят по формулам 
                                                                (25)

Выведем теперь формулы для координат центра масс системы материальных точек М₁ (x₁; у₁; z₁), М₂ (x₂; у₂; z₂), ..., М_n (x_n; у_n; z_n), в которых сосредоточены массы m₁, m₂, ..., m_n. Найдем сначала центр массы  системы двух точек М₁ и М₂. Поскольку центр массы лежит на отрезке М₁М₂ и делит его в отношении , то по формулам (24)

   (26)
Точка, координаты которой вычисляются по формулам (26), называется центром масс двух материальных точек М₁ и М₂.
Рассмотрим теперь систему точек N₁ и М₃, в которых сосредоточены массы
m₁ + m₂ и m₃ и найдем центр массы этих точек. Поскольку , то из формул (24) и (26) имеем
               (27)
Точка, координаты которой вычисляются по формулам (27), называется центром масс трех материальных точек М₁, М₂, М₃.
Методом математической индукции можно доказать, что центр масс системы
n материальных точек находится в точке С (х_с; у_с; z_c), где

Скалярное произведение двух векторов

Определение, геометрический и механический смысл скалярного
произведения:

Скалярным произведением двух векторов и   называется число ,
равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
 ,                                  (28)

где — угол между векторами и .
Если хотя бы один из векторов или   нулевой, то по определению.
Поскольку по формуле (3)  
то из (28) имеем
                                            (29)
Формулы (29) выражают геометрический смысл скалярного произведения: скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного
вектора на проекцию на него второго вектора.

Из физики известно, что работа А силы при перемещении материальной
точки из начала в конец вектора , который образует с вектором угол  (рис. 2.30) равна , или .                          (30)

Итак, работа равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения. В этом суть механического смысла скалярного произведения.

Свойства скалярного произведения

В векторном исчислении величину называют скалярным произведением векторов и  потому, что, во-первых, эта величина является скаляром и, nо-вторых, имеет некоторые алгебраические свойства обычного произведения чисел.

Рассмотрим три алгебраических свойства скалярного произведения.

1°. Коммутативное свойство умножения:

По определению скалярного произведения  и  .

Поскольку    как произведение чисел и  потому что   то  

2°. Ассоциативное свойство относительно умножения на число :
.
Из формул (29) и (3) имеем
. 

3°. Дистрибутивное свойство относительно сложения векторов:
.
В соответствии с формулами (29) и (2) получим
 

Эти три свойства обусловливают глубокую аналогию между векторной алгеброй и алгеброй чисел. Первое свойство позволяет менять местами множители, второе — объединять числовые коэффициенты векторных множителей, а третье — раскрывать или вводить скобки и выносить за них общие скалярные или векторные множители. Однако аналогия между скалярным произведением векторов и произведением чисел является неполной. В частности, не существует скалярного произведения трех и большего числа векторов; равенство   может выполняться и при ненулевых множителях , , если ;  нельзя делать вывод, что из равенства вытекает равенство    даже когда . Равенство   при  означает, что и верно при 
Приведем геометрические свойства скалярного произведения.

4°. Если   и  , то ,  если угол  — острый, и            ,  если угол        — тупой.

5°. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы взаимно перпендикулярны.

6°. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины
  ,                                                                            (31)
откуда
.                                                                         (32)
Свойства 4°–6° непосредственно вытекают из формулы (28).

Пример №22

Найти скалярные произведения векторов    и    если
.
Используясь свойства  1°–3°, имеем

Применяя формулы (28) и (30), находим

Пример №23

Найти длину вектора , если   .
По формуле (32) получим

Выражение скалярного произведения через координаты. Угол между векторами

Пусть заданы два векторы и .  Найдем
их скалярное произведение. Используя свойства 1° и 3° скалярного произведения, получим
 .
Поскольку  — попарно ортогональные орты, то , ,
поэтому
 .                                                       (33)
Итак, скалярное произведение двух векторов, заданных координатами в прямоугольной системе координат, равно сумме произведений их соответствующих координат.
Укажем на ряд важных выводов из формулы (33).

1. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов  
  и    является равенство
                                                                     (34)

2. Длина вектора определяется по формуле
.                                                                      (35)
Формула (35) следует из формул (32) и (33). В п. 3.1 мы доказали эту формулу другим способом.

3. Угол между векторами и  определяется равенством
               (36)
Эта формула является следствием формул (28), (33) и (35).

Пример №24

Вычислить, какую работу выполняет сила , которая прямолинейно перемещает материальную точку из точки М (–1; 0; 3) в точку N (2; –3; 5).
По формулам (18) найдем вектор перемещения , тогда по формулам (30) и (33) работа .

Пример №25

Заданные векторы  и . Найти проекцию вектора
  на вектор .
Найдем координаты вектора 
.
Из формул (29), (33) и (35) получаем
 .
 

Пример №26

Треугольник задан вершинами А (0; –1; 2), В (–1; –2; 7), С (1; –2; 6). Найти его внутренний и угол при вершине А.
Пользуясь формулами (18) и (36), получим   .
.

Векторное произведение двух векторов

Определение и свойства векторного произведения:

Векторным произведением вектора на вектор   называется вектор  который определяется следующими тремя условиями:

1. длина вектора   равна ,   где    ;
2. вектор  перпендикулярный к каждому из векторов и ;
3. если , то векторы   образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение обозначают одним из символов:.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Пусть в точке А (рис. 2.3 1) приложена сила  и О — некоторая фиксированная точка. Как известно из физики, моментом силы   относительно точки О называется вектор , длина которого равна произведению силы на плечо и который направлен по оси вращения так, что если смотреть с его
конца, то вращение тела происходит против движения стрелки часов.
Поскольку 

то момент силы , приложенной в точке А, относительно точки О определяется
векторным произведением
.                                                                  (37)
 

2. Скорость точки Р твердого тела, вращающегося с угловой скоростью вокруг неподвижной оси , определяется по формуле Ейлера   .

3. Если электрон, заряд которого равен е, движется со скоростью   в магнитном поле постоянного напряжения   то на электрон действует сила , которая
определяется по формуле
, 
где с — скорость света.

Рассмотрим алгебраические свойства векторного произведения.

1°. Антикоммутативность умножения:
.
то есть от перестановки множителей векторное произведение меняет знак.
Это следует из того, что векторы   и     имеют одинаковые модули, коллинеарны и тройки векторов и   противоположной
ориентации (рис. 2.32).

2°. Ассоциативность относительно скалярного множителя :
.

3°. Дистрибутивность относительно сложения векторов:
.

Алгебраические свойства векторного произведения позволяют при умножении линейных векторов выполнять действия так же, как с алгебраическими многочленами. Однако при выполнении векторного умножения следует помнить, что оно некоммутативное: при перестановке сомножителей знак векторного произведения меняется на противоположный.

Приведем геометрические свойства векторного произведения.

4°. Векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

5°. Модуль векторного произведения неколлинеарных векторов
равен площади S параллелограмма, построенного на векторах и , отнесенных к общему началу, то есть
.                                                             (38)

6°. Векторные произведения ортов удовлетворяют следующим равенствам:

Пример №27

Вычислить , если  .

Векторное произведение двух векторов, заданных координатами

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы и . Покажем, что векторное произведение вектора  на вектор определяется по формуле

(39)
 Используя свойства и 1°–3° и 6° векторного произведения и теорему о разложении определителя, имеем


 .

Пример №28

Найти площадь треугольника, заданного вершинами А (1; 2; 0), В (0; –2; 1), С (–1; 0; 2).
 Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Поскольку   и по формуле (39)

то по формуле (38) площадь

Пример №29

Найти момент силы приложенной к точке А (1; 2; 3), относительно точки B (3; 2; –1).
Согласно формуле (37) момент силы .  Поскольку = (–2; 0; 4), то

Смешанное произведение векторов

Определение и вычисление смешанного произведения:

При умножении двух векторов и    выше были определены два вида произведений: скалярное, результатом которого является число , и векторное, результатом которого является вектор
Умножение трех векторов , и   можно выполнить разными способами. В частности, можно создать такие произведения:

Первый из этих произведений соответствует умножению скаляра   на
вектор и не рассматривается. То же касается произведений и
 .
Результатом второго произведения является вектор , который называется двойным векторным или векторно-векторным произведением данных трех векторов: 

Для нахождения двойного векторного произведения применяют формулы


Двойной векторное произведение часто встречается в векторном исчислении,
но определенного геометрического смысла не имеет.
Последний из приведенных произведений — это скалярное произведение вектора на вектор , его называют смешанным произведением векторов , и  . Это произведение имеет четкий геометрический смысл и широко используется в задачах.
Найдем смешанное произведение векторов заданных координатами:
 
Координаты вектора определяются по формуле (39):

Умножив вектор   скалярно на вектор , по формуле (33) получим
 .

Свойства смешанного произведения

1°. Если в смешанном произведении поменять местами какие-нибудь два множителя, то смешанное произведение сменит знак, например:

Действительно, если в смешанном произведении поменять местами два множителя, то это то же самое, что в определителе (40) поменять местами две строки, а при этом определитель меняет знак.

2°. При цикличной перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:

Действительно, при цикличной перестановке меняются местами два раза множители, или, что то же, в определителе (40) строка меняется местом два раза, а от этого определитель не меняется.

3°. В смешанном произведении знаки векторного и скалярного произведений
можно менять местами:

Действительно, из свойства 2° и коммутативности скалярного произведения
имеем:

В связи с этим смешанные произведения  (векторно-скалярное произведение) и   (скалярно-векторное произведение) сокращенно обозначают  .

4°. Модуль смешанного произведения   равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и   отнесенных к общему началу:
                                                                            (41)
Возьмем трех некомпланарных вектора , и   и построим на этих векторах параллелепипед (рис. 2.33). Объем этого параллелепипеда V = Sh.
где S — площадь основания, а h — высота. Но

. поэтому

5°. Если смешанное произведение положительное, то векторы , и  образуют правую тройку, а если отрицательное, то левую.
Из формулы (29) следует, что   Если   то   и  угол   острый, то есть векторы образуют правую тройку. Если  то ,  угол     тупой, потому векторы  образуют левую тройку.

6°. Вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
Если  то вектор перпендикулярен вектору   и лежит с векторами ,   в одной плоскости. Это означает, что векторы , и  компланарны. Наоборот. если векторы компланарны, то можно считать, что они лежат в одной плоскости, поэтому    .
Свойства 4°–6° выражают геометрический смысл смешанного произведения
трех векторов.

Пример №30

Найти объем тетраэдра, заданного вершинами А (2; –1; 0), В (5; 5; 3), С (3; 2; –2), D (4; 1; 2).
Известно, что объем тетраэдра V_ABCD , построенного на векторах  равен шестой части объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. Тогда по формуле (41) имеем
 .
Находим векторы
По формуле (40) получим
 
 

Пример №31

Доказать, что точки А (0; 1; 2), В (–2; 0; –1), C (–1; 5; 8), D (1, 6, 11) лежат в одной плоскости.
Точки А, B, С, D лежат в одной плоскости, если векторы компланарные. Находим векторы
Поскольку смешанное произведение

то по свойству 6° векторы   компланарны, поэтому заданные точки лежат в одной плоскости.

Пример №32

Какую тройку образуют векторы, если
?
Поскольку смешанное произведение

то по свойству 5° данные векторы образуют правую тройку.

Элементы аналитической геометрии

Аналитическая геометрия — это раздел математики, в котором свойства геометрических объектов (точек, линий, поверхностей, фигур, тел и т. п.) изучаются средствами алгебры на основе метода координат.
Основоположником аналитической геометрии считают Р. Декарта, который впервые в 1637 г. в своей книге «Геометрия» дал четкое изложение идеи метода координат на плоскости. Р. Декарт предложил положение точки на плоскости относительно заданной системы координат определять с помощью двух чисел — ее координат, а каждую линию на плоскости рассматривать как множество точек, заданных определенным геометрическим условием. Это условие записывается в виде уравнения, которое связывает переменные координаты точки, принадлежащей данной линии, и называется уравнением этой линии. Такой способ исследования геометрических о объектов и называют методом координат.
Следующий важный вклад в аналитическую геометрию сделал французский ученый Ж. Л. Лагранж, который впервые в 1788 г. в своем произведении «Аналитическая механика» предложил положения вектора определять с помощью чисел — его проекций на координатные оси. Развитие идей Лагранжа привело к созданию векторной алгебры.
Метод координат и аппарат векторной алгебры широко используются в современной аналитической геометрии.

Линии на плоскости и  их уравнения

Понятие о линии и ее уравнении:

Рассмотрим равенство
F (x, y) = 0,                                                                           (1)
связывающее переменные величины x и у.
Равенство (1) называют уравнением с двумя переменными х и у, если это равенство выполняется не для всех пар чисел х, у, и тождеством, если оно справедливо для всех значений х и у. Например, равенства х + у = 0 и х² + у² = 9 являются уравнениями, а равенства х + у – (х + у) = 0 и (х + у)² – х² – 2ху – у² = 0 — тождествами.
Уравнения (1) называется уравнением линии l, заданной на плоскости относительно определенной системы координат, если это уравнение удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии l и не удовлетворяют координаты х и у  ни одной точки, не лежащей на этой линии.
Когда уравнение (1) является уравнением линии l, говорится, что это уравнение
определяет (или задает) линию l. Итак, если линия задана уравнением, то
о каждой точке плоскости можно сказать, лежит она на этой линии или не лежит. Если координаты точки удовлетворяют уравнению линии, то точка лежит на ней, если не удовлетворяют, то не лежит.
Линия, которая задана уравнением (1) относительно определенной системы координат в плоскости, есть геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют заданное уравнение.
Переменные х и у в уравнении (1) линии l называются переменными координатами ее точек.
Пусть линия l относительно системы координат Оху определяется уравнением
(1). В аналитической геометрии линии классифицируют в зависимости от свойств этого уравнения. Если выражение F (x, y) в уравнении (1) является многочленом от переменных х и у (то есть сумма конечного числа одночленов
, где а  постоянный коэффициент, а показатели k и m — целые положительные числа или нули), то линия, заданная этим уравнением, называется алгебраической.
Алгебраические линии различают в зависимости от их порядка. Степенью одночлена   называется сумма k + m показателей при переменных.
Степенью уравнения (1) называется самая высокая степень одночлена, входящего в его состав. Алгебраической линией n-го порядка называется линия, выраженная уравнением n-й степени. Порядок алгебраической линии не меняется при замене одной декартовой системы на другую.

Линия, которая не является алгебраической, называется трансцендентной. Мы
будем изучать только линии первого и второго порядков, то есть линии,
задаваемые уравнениями
  и   
Таким образом, линию на плоскости можно задать геометрически как совокупность точек с определенными геометрическими свойствами и аналитически — с помощью уравнения. В связи с этим возникают две типичные для аналитической геометрии задачи: составить уравнение линии, заданной геометрически, и наоборот, установить геометрический образ линии, заданной аналитически. Отметим, что в аналитической геометрии вторая задача решается только для алгебраических линий первого и второго порядков. Общий метод исследования линий, заданных уравнениями, дается в курсе математического анализа.

Примеры:

1. Уравнение у = 2х – 1 показывает на плоскости прямую линию.
2. Уравнения х² – у² = 0 или (х + у) (х – у) = 0  определяют две прямые — биссектрисы координатных углов.
3. Уравнение х² + у² = 0 удовлетворяет только одна точка О (0; 0). В подобных случаях говорят, что уравнение определяет вырожденную линию.
4. Уравнение х² + у² + 1 = 0 не определяет никакого геометрического места точек, поскольку для любых значений х и у  имеем  х² + у² + 1 > 0. ·

Нахождение уравнения линии по ее геометрическими свойствами

Остановимся подробнее на задаче о составлении уравнения линии, заданной геометрически. Для ее решения нужно установить геометрическое свойство, которое удовлетворяют только точки данной линии, и записать это свойство в виде уравнения. Такое уравнение связывает переменные координаты точек данной линии и те известные постоянные величины, которые геометрически
определяют именно эту линию.

Пример №33

Составить уравнение линии, сумма квадратов в расстояний каждой точки которой до точек А (–1; 0) и В (l; 0) равен 4.
Пусть точка М (х; у) лежит на линии, тогда по условию АМ² + ВМ² = 4.
Поскольку АМ² = (х + 1)² + у², ВМ² = (х – 1)² + у², то (х + 1)² + у² +(х – 1)² + у² = 4, откуда после упрощений получаем искомое уравнение:  х²+ у² = 1.

Пример №34

Составить уравнение линии, каждая точка которой находится от точки А (1; 2) в два раза дальше, чем от точки В (–2; 0).
Обозначим переменную точку ​​линии через М (х; у), тогда по условию АМ = 2ВМ,
то есть

Преобразовав это уравнение, имеем

Полярные уравнения линий

Уравнение называется уравнением линии l в полярных координатах, или полярным уравнением, если его удовлетворяют полярные координаты и   любой точки линии l и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии. Чтобы от полярного уравнение линии перейти к уравнению (1), нужно полярные координаты в уравнении выразить через декартовы.

Примеры:
 

1. Спиралью Архимеда называется линия, описанная точкой, равномерно двигающейся по лучу, который сам равномерно вращается вокруг своего начала. Уравнение спирали Архимеда (рис. 3.1) имеет вид    = а,  где а > 0 — постоянная величина.
2. Улиткой Паскаля называют кривую (рис. 3.2), заданную уравнением = .
3. Лемнискатой Бернулли называют кривую, заданную уравнением =   и имеющую вид  восьмерки (рис. 3.3). В прямоугольных координатах уравнения лемниската Бернулли записывается сложнее:
4. Трехлепестковой розой называют кривую (рис. 3.4), заданную уравнением.
5. Координатными линиями называют линии, в которых одна из координат является постоянной величиной. В декартовых координатах координатные линии образуют два семейства прямых, параллельных одной из осей координат (рис. 3.5, а). В полярных координатах линии = const образуют семейство концентрических кругов с центром в полюсе, а линии  = const — семейство лучей, исходящих из полюса (рис. 3.5, б).

Параметрические уравнения линии

Пусть зависимость между переменными х и у выраженная через третью переменную t, т.е.
х = х (t), у = у (t).                                                                     (2)
Переменная t называется параметром и определяет положение точки (х; у) на плоскости. Например, если х = 2t + 1, у = t² , то значению параметра t = 3 отвечает на плоскости точка (7; 9), потому что  х = 2·3 + 1 = 7, у = 3² = 9.

Если t меняется, то точка на плоскости перемещается, описывая некоторую линию l. Такой способ задания линии называется параметрическим, а уравнение (2) — параметрическим уравнением линии l. Чтобы от уравнения (2) перейти к уравнению (1), нужно любым способом из двух уравнений (2) исключить параметр t (например, из первого уравнения выразить через х и результат подставить во второе уравнение). Но такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен, поэтому приходится пользоваться параметрическими уравнениями (2).

Пример №35

Рассмотрим траекторию точки окружности, которая катится без скольжения вдоль неподвижной прямой. Если вдоль оси Ох катится без скольжения окружность радиуса R, то любая неподвижная точка окружности описывает кривую, которая называется циклоидой (рис. 3.6) и задается уравнением

Если параметр t  изменяется от 0 до  , то данные уравнения определяют первую арку циклоиды, если < t < — то вторую арку и т. д.
Циклоида является самой простейшей из кривых, которые описывает в неподвижной плоскости точка одной линии, катящейся без скольжения по второй линии.

Пример №36

Гипоциклоидами (рис. 3.7, а) и эпициклоидамы (рис. 3.7, б) называются кривые, которые описывает точка окружности, которая катится по неподвижной окружности внутри и снаружи. Вид и уравнение кривых зависят от отношения радиусов окружностей.
Гипоциклоида при отношении радиусов 1 : 4 называется астроидой (рис. 3.8, а), а эпициклоида при отношении радиусов 1 : 1 называется кардиоидой (рис. 3.8, б). Параметрические уравнения астроиды имеют такой вид:
  
Кардиоида задается параметрическими уравнениями

Проще записывается полярное уравнение кардиоиды:

Все эти кривые широко применяются в теории механизмов.

Пример №37

Эвольвентной разверткой круга (от латинского evolvo — разворачивать) называется кривая, заданная уравнениями

Механический чертеж  эвольвенты выполняется так: на круг туго наматывают гибкую и нерастяжимой нитку, закрепленную в точке А (рис. 3.9), и со свободным концом М в этой точке. Оттягивая нить за свободный конец, сматывают ее с круга; точка М при этом описывает дугу эвольвенты круга, то есть, если М — произвольная точка эвольвенты, то длина дуги АВ равна длине отрезка МВ.
Профили подавляющего большинства зубцов зубчатых колес очерчены по бокам дугами эвольвенты круга.

Векторное уравнение и линии

Линию можно задать также векторным уравнением ,  где t — скалярный переменный параметр. Каждому значению  соответствует полностью определенный вектор  плоскости. Таким образом, если параметр t приобретает определенное множество некоторых значений, то уравнение  задает некоторое множество векторов. Если от точки О (рис. 3.10) плоскости отложить векторы  , то геометрическое место точек, которые совпадают с концами этих векторов (при условии, что все векторы компланарны), определит на плоскости некоторую линию l.

Векторному параметрическому уравнению в прямоугольной системе координат Оху  соответствуют два скалярных уравнения:
x = x(t), y = y(t),
то есть проекциями на оси координат векторного уравнения линии являются ее
параметрические уравнения.

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют такой
механический смысл: если точка движется на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения точки, а линия l — траекторией
точки; параметром t при этом является время.

О зависимости уравнения линии от выбора системы координат

В предыдущих примерах указывалось, что одну и ту же линию можно задать различными уравнениями. Таким образом, вид уравнения линии зависит от выбора системы координат или, что то же, от размещения линии относительно системы координат. Уравнение линии меняется как при переходе от одной декартовой системы к другой, то есть при преобразовании координат, так и при переходе от декартовых к любым другим координатам.
В связи с этим возникают следующие задачи: как выбрать такую ​​систему
координат, в которой уравнение линии, заданной геометрически, было бы самым простым, или как заменить систему координат, чтобы заданное уравнение линии упростилось? Подобные задачи мы будем рассматривать при изучении линий второго порядка.
Все сказанное здесь о зависимости уравнения линии на плоскости от выбора
системы координат так же касается  и уравнений поверхностей и линий в пространстве.

Поверхности и линии в пространстве и их уравнения

Поверхность и ее уравнение:

Рассмотрим соотношение
F (x, y, z) = 0                                                                                      (3)
между тремя переменными величинами х, у, z.
Равенство (3) называют уравнением с тремя переменными х, у, z, если это равенство не выполняется для всех троек чисел х, у, z, и тождеством, если оно подтверждается при любых значениях х, у, z.
Предположим, парой значений х = х₀ и у = у₀ из уравнения (3) определяется
единственное значение z = z₀. Упорядоченная тройка чисел х₀, у₀, z₀ в заданной прямоугольной системе координат определяет точку М (х₀; у₀; z₀). 
Совокупность всех решений z уравнения (3), которые соответствуют определенным значениям х и у, определяет в пространстве некоторое геометрическое место точек М (х; у; z), которое называется поверхностью (рис. З.14), а уравнение (З) — уравнением этой поверхности.

Следовательно, уравнение (3) называется уравнением поверхности относительно заданной системы координат, если это уравнение удовлетворяют координаты х, у, z каждой точки данной поверхности и не удовлетворяют координаты х, у, z ни одной точки, не лежащей на этой поверхности.
Поверхностью, заданной уравнением (3) относительно определенной системы координат, называется геометрическое место точек М (х; у; z), координаты х, у, z которых удовлетворяют данное уравнение.
Если выражение F(х; у; z) в уравнении (3) является многочленом от х, у, z , то есть суммой конечного числа одночленов   с постоянными коэффициентами а и неотрицательными целыми показателями k, m, р, то поверхность, которая задается этим уравнением, называется алгебраической.
Неалгебраические поверхности называются трансцендентными. Порядком
алгебраической поверхности называется степень многочлена, которым задается данная поверхность.
Мы будем рассматривать только алгебраические поверхности первого порядка и некоторые алгебраические поверхности второго порядка. Итак, как и линию на плоскости, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Если поверхность задана геометрически, то возникает задача о составлении уравнения этой поверхности и, наоборот, если поверхность задана
уравнением, то возникает задача о ее геометрическом свойстве.

Пример №38

Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точек А (1; –1; 2) и В (0; –2; 3).

Пусть точка М (х; у; z) лежит на заданной поверхности. Тогда по условию АМ = ВМ, т.е.

откуда после упрощения получаем искомое уравнение
2х + 2у – 2z + 7 = 0.

Уравнение линии в пространстве

Линию l в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, или геометрическое место точек, находящихся одновременно
на двух поверхностях; следовательно, если F₁ (х, у, z) = 0 и F₂ (х, у, z) = 0  уравнения двух поверхностей, которые определяют линию l (рис. 3.15), то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:
                                      (4)

Уравнения системы (4) совместно определяют линию l и называются
уравнениями линии в пространстве.
Линию в пространстве можно рассматривать также как траекторию подвижной
точки. При таком подходе линию в пространстве задают векторным параметрическим  уравнением .                                      (5)
Векторном параметрическому уравнению (5) соответствуют скалярные
параметрические уравнения
х = х (t), у = у (t), z = z (t)
– проекции вектора (5) на оси координат. Таким образом, векторные уравнения
линии на плоскости и в пространстве имеют одинаковый вид и одинаковую
суть, а соответствующие параметрические уравнения отличаются только количеством уравнений, которое зависит от числа базисных векторов на плоскости и в пространстве.

Пример №39

Если некоторая точка М равномерно движется по образующей кругового цилиндра, а сам цилиндр равномерно вращается вокруг своей оси, то точка М описывает кривую, которая называется винтовой линией.
Радиусом винтовой линии называют радиус цилиндра, а ее осью — ось цилиндра.
Расстояние, на которое сместится точка вдоль образующей при полном обороте цилиндра, называется шагом винта и обозначается через h. Чтобы вывести уравнение винтовой линии, возьмем ось цилиндра за ось Oz, а плоскость Oxz — за начало отсчета угла поворота цилиндра (рис. 3.16, а).
Пусть   и М (х; у; z) — произвольная точка винтовой линии. Координаты
х и у точки М совпадают с координатами точки В (рис. 3.16, 6): х = R cos t, у= R sin t, где R — радиус цилиндра. Чтобы определить координату z, построим раскладку цилиндра NN₁D₁D (рис. 3.16, б), в которой NN₁ = R, N₁D₁ = ND = h, NB = Rt, ВМ = z. Из подобия треугольников NMB и ND₁N₁ получим

Таким образом, параметрические уравнения винтовой линии имеют вид

или в векторной форме      

Пример №40

Линия, которая задается уравнениями

образуется при пересечении цилиндрической и сферической поверхностей и называется линией Вивиани (рис. 3.17).

Прямая на плоскости

Различные виды уравнений прямой на плоскости:

Прямая на плоскости геометрически может быть задана различными способами: точкой и вектором, параллельным данной прямой; двумя точками;
точкой и вектором, перпендикулярным к данной прямой, и тому подобное. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат различные виды ее уравнений.
Пусть прямая (на плоскости или в пространстве) проходит через заданную точку М₀ параллельно заданному ненулевому вектору который называется направляющим вектором прямой. Прямая имеет множество направляющих векторов, их соответствующие координаты пропорциональны. Точка М₀ и ее направляющий вектор полностью определяют прямую, так как через точку М₀ можно провести только одну прямую, параллельную вектору . Составим уравнение этой прямой. Обозначим через М (рис. 3.18) произвольную точку прямой и рассмотрим радиусы-векторы и   точек М₀ и М и вектор , лежащей на данной прямой. 
Поскольку векторы   и  коллинеарны, то откуда                                                                                 (6)
Переменная t в формуле (6) может принимать произвольные действительные значения и называется параметром, а уравнение (6) называется векторным параметрическим уравнением прямой.
Векторное параметрическое уравнение прямой имеет одинаковый вид и на плоскости, и в пространстве.
Если прямая l рассматривается на плоскости и задается точкой М₀ (х₀; у₀) и направляющим вектором ,  то, приравнивая соответствующие
координаты векторов и    по формуле (6), имеем

                                           (7)
откуда
                                                               (8)
Уравнения (7) называются параметрическими уравнениями прямой, а уравнения (8) — ее каноническими уравнениями.
В частности, если прямая проходит через точку М₀ (х₀; у₀) параллельно оси Ох, то ее направляющий вектор ,  поэтому уравнение (8) принимает вид .

Как известно, произведение средних членов пропорции равно произведению крайних членов. Поэтому имеем (у – у₀) m = (х – х₀) • 0, откуда у = у₀.
Это и есть уравнение прямой, параллельной оси Ох.
Аналогично, если прямая проходит через точку М₀ (х₀; у₀) параллельно оси Оу, то ее уравнением является х = х₀.
Выведем уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если прямая не перпендикулярна к оси Ох, то уравнение (8) можно записать в виде
.
Обозначив   получим
                                                       (9)
или
.                                                                         (10)
Отношение ,  где — угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ох (рис. 3.19), называется угловым коэффициентом прямой, а величина   — ордината точки пересечения прямой с осью Оу. Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и уравнения такой прямой имеет вид
у = kx.                                                                                        (11)
Уравнение (9) называется уравнением прямой, проходящей через
заданную точку, и имеет заданный угловой коэффициент, а уравнения (10) —
уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М₁ (х₁; y₁) и М₂ (х₂; у₂), получим из уравнения прямой, проходящей через точку М₁ и имеющую направляющий вектор  

                                                          (12)

           

Уравнение (12) называется уравнением прямой, проходящей через две
заданные точки.
В частности, если прямая проходит через точки А (а; 0) и В (0; b), то есть отсекает на осях отрезки а и b (рис. 3.20), то из уравнения (11) имеем
    или                            (13)

Уравнение (13) называется уравнением прямой в отрезках на осях.
Рассмотрим уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₁ (х₁; у₁) перпендикулярно заданного ненулевого вектора = (А; В).
Возьмем на прямой l произвольную точку (рис. 3.21) М (х; у) и введем вектор = (х – х₁; y –y₁). Поскольку векторы    и   перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, то есть
                                                     (14)

Уравнение (14) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
Вектор   (А; В) называется нормальным вектором прямой. Прямая имеет множество нормальных векторов. Все они параллельны, следовательно, их соответствующие координаты пропорциональны.

Общее уравнение прямой и его исследование

Все полученные выше уравнения прямой линии являются уравнениями первой
степени относительно переменных х и у, то есть линейными уравнениями. Итак,
уравнение любой прямой, лежащей в плоскости Оху, является линейным уравнением относительно х и у.
Покажем, что правильным будет и обратное утверждение: каждое линейное уравнение
Ах + Ву + С = 0                                                                    (15)
с двумя переменными х и у определяет на плоскости в прямоугольной системе
координат прямую линию.
Действительно, если (x₁, у₁) — любое решение уравнения (15), то
Ах₁ + Ву₁ + С = 0.                                                                 (16)
Вычитая почленно из уравнения (15) равенство (16), получаем
А (х – х₁) + В (у – у₁) = 0.                                                   (17)

Уравнение (17) эквивалентно уравнению (15) и по формуле (14) определяет на плоскости Оху прямую, которая проходит через точку М₁ (х₁; у₁) перпендикулярно вектору   = (А; В), то есть уравнение (15) также определяет прямую и называется общим уравнением прямой. Коэффициенты А и В при неизвестных х и у общего уравнения являются координатами ее нормального вектора.
Каждое из уравнений (7) – (14) сводится к уравнению (15), следовательно, каждая
прямая линия задается уравнением (15), и наоборот, каждое уравнение (15) определяет на плоскости Оху прямую. Это означает, что каждая прямая — это линия первого порядка, и наоборот, каждая линия первого порядка — прямая.

Исследуем общее уравнение, то есть рассмотрим отдельные случаи размещения прямой в системе координат Оху в зависимости от значений коэффициентов
А, В и С.

1. Если   то уравнение (15) сводится к уравнению прямой в отрезках на осях  то есть прямая пересекает оси координат в точках с координатами  и ·
2. Если А = 0, то прямая Ву + С = 0 параллельная оси Ох и проходит через точку  ,  поскольку нормальный вектор  прямой перпендикулярный к оси Ох, а координаты данной точки удовлетворяют уравнению прямой.
3. Аналогично предыдущему, если В = 0, то прямая Ах + С = 0 параллельная оси Оу и проходит через точку ·
4. Если С = О, то прямая Ах + Ву = 0 проходит через начало координат, потому что координаты точки О (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой.
5. Если А = С = 0, то согласно предыдущему уравнение Ву = 0 или у = 0 определяет ось Ох.
6. Если В = С = 0, то уравнение Ах = 0 или х = 0 определяет ось Оу.

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Угол между двумя прямыми измеряется углом между их направляющими
векторами. При этом следует отметить, что, выбрав на одной из прямых
направляющий вектор, направленный в противоположную сторону, получим
второй угол, который дополняет первый до .
а) Пусть прямые l₁ и l₂ задан каноническими уравнениями

и — угол между этими прямыми ,  . Поскольку векторы   и     являются направляющими векторами данных прямых (рис. 3.22) и    то по формуле (36)  имеем
 .                                 (18)
Если прямые l₁ и l₂ параллельны, то векторы и тоже параллельны, так
их координаты пропорциональны, то есть
                                                                                                      (19)
— условие параллельности двух прямых. Если прямые l₁ и l₂ перпендикулярны, то векторы и  тоже перпендикулярны и их скалярное произведение
равно нулю, следовательно,
m₁m₂ + n₁n₂ = 0                                                                                              (20)
— условие перпендикулярности двух прямых.
б) Пусть теперь прямые l₁ и l₂ заданы общими уравнениями А₁х + B₁y + С₁ = 0 и А₂х+  В₂y + С₂ = 0, тогда угол между ними  (рис. 3.23) равен углу между их нормальными векторами   и  = ;  поэтому аналогично случаю а) получим:

1) формулу для угла между прямыми l₁ и l₂:
                                                      (21)

2) условие параллельности прямых l₁ и l₂
                                                                                              (22)

3) условие перпендикулярности прямых l₁ и l₂:
А₁ • А₂ + В₁ • В₂ = 0.                                                                                  (23)

Пусть прямые l₁ и l₂  заданные уравнениями с угловыми коэффициентами
у = k₁x + b₁, у = k₂x + b₂, где — угловые коэффициенты,
то из рис. 3.24 видно, что

                                                                      (24)
Заметим, что формула (24) определяет угол, на который надо повернуть прямую l₁ (против часовой стрелки), чтобы она совпала с прямой l₂. Если прямые l₁ и l₂ параллельны, то = 0 и tg = 0, поэтому из формулы (24) имеем k₂ – k₁ = 0. Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:
k_l = k₂.                                                                                                 (25)
Если прямые l₁ и l₂  перпендикулярны, то = 90° и tg не существует, потому что знаменатель дроби (24) равен нулю. Таким образом, условие перпендикулярности прямых имеет вид:
 k₁k₂ + 1 = 0       или     ·                                       (26)
Формулы (18), (21) и (24) позволяют определить один из двух смежных углов, которые образуются при пересечении двух прямых. Второй угол равен . Иногда выражения справа в этих формулах записывают по модулю, тогда определяется острый угол между прямыми.

Пример №41

Найти угол между прямыми    Зх – 4у + 1 = 0    и      5х – 12у + 3 = 0
По формуле (21) имеем


 

Пример №42

Составить уравнение прямой, проходящей через точку (—8; 1) параллельно прямой 2х – у + 7 = 0.
Приведем заданное уравнение к виду (10): у = 2х — 7, следовательно, угловой коэффициент прямой k = 2.
Поскольку искомая и задана прямые параллельны, то по условию (25) их угловые коэффициенты равны между собой, поэтому, воспользовавшись уравнением (9). получим у  – 1 = 2 (х + 8)  или  у – 2х – 17 = 0.

Пример №43

Медианы ВМ  и  CN (рис. З.25) треугольника АВС лежат на прямых х + у = 3 и 2х + Зу = 1, а точка А (1; 1) — вершина треугольника. Составить уравнение прямой BC.
Решая систему уравнения

находим точку пересечения медиан: В (8; –5). Из соотношения    и формул (24) получим координаты точки Р   Поскольку точки В и С лежат на заданных прямых, то их координаты удовлетворяют заданным уравнениям. Точка Р делит отрезок ВС пополам, следовательно, имеем систему уравнений

откуда   Прямая ВС проходит через точки Р и С (11; –7), поэтому по формуле (12) получим или 2х + у — 15 = 0. 

Расстояние от точки до прямой

Пусть задано прямую l уравнением Ах + Ву + С = 0 и точку М₀ (х₀; у₀). Расстояние d (рис. 3.26) точки М₀ от прямой l равна модулю проекции вектора , где М₁ (х₁; у₁) — произвольная точка прямой l, на направление нормального вектора .  Итак, 


Поскольку Аx₁ + Вy₁ + С = 0, то –Аx₁ – Вy₁ = С, поэтому
 .                                                          (27)

Замечание. Число d всегда положительное, потому что это расстояние. Отклонением  точки М₀ (х₀; у₀) от прямой Аx + Вy + С = 0 называется положительное число = d, если точки М₀ и О(0; 0) лежат по разные стороны от прямой, и отрицательное число = –d, если эти точки лежат по одну сторону от нее. Из формулы (27) вытекает, что отклонение
,
где знак знаменателя должно быть противоположный знаку С.

Пример №44

Найти площадь квадрата, две стороны которого лежат на прямых 4х – 3y – 10 = 0
и 8х – 6y + 15 = 0.
Поскольку заданные прямые параллельны, то длину d стороны квадрата можно
найти как расстояние от произвольной точки одной прямой до второй прямой.
Найдем какую-нибудь точку на первой прямой. Пусть, например, х = 1, тогда
4 · 1 – Зу – 10 = 0, откуда у = –2. Следовательно, точка М₀ (1; –2) принадлежит первой прямой.
По формуле (27) найдем расстояние от точки М₀ до второй прямой:
.
Площадь квадрата .

Плоскость в пространстве

Плоскость — это поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки.

Общее уравнение плоскости и его исследования

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz задан плоскость П (рис. 3.27) точкой М₀ (х₀; у₀; z₀) и вектором = (А; В; С), перпендикулярным к этой плоскости. Возьмем на плоскости точку М (х; у; z) и найдем вектор = (х – х₀; у – у₀; z –z₀). При любом положении точки М на плоскости П векторы и взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю, то есть
А(х – х₀) + В(у – у₀) + С(z –z₀₎ = 0                                   (28)
или
Ах  + Ву  + Сz  + D = 0,                                                           (29)
где D = –Ах₀ – Ву₀ – Cz₀.

Уравнение (28) называется уравнением плоскости, проходящей через точку М₀ (х₀; у₀; z₀) перпендикулярно вектору = (А; В; С), а уравнения (29) — общим уравнением плоскости.
Вектор = (А; В; С) называется нормальным вектором плоскости. Каждая плоскость имеет множество нормальных векторов. Все они параллельны между собой, а их координаты пропорциональны. Итак, любая плоскость в прямоугольной системе координат определяется уравнением первой степени.
Покажем теперь справедливость обратного утверждение: всякое уравнение первой степени
Ах + Ву + Cz + D = 0                                                                          (30)
с тремя переменными х, у и z задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость.
Пусть задано произвольное уравнение (30) и (х₀, у₀, z₀) — любой решение этого уравнения, то есть
Ах₀+ Ву₀ + Cz₀ + D = 0                                                                        (31)
Отняв от уравнения (30) равенство (31), получим
А (х – х₀) + В (у – у₀) + С (z – z₀) = 0.                                                (32)
Уравнение (32) эквивалентно уравнению (30) и по формуле (28) определяет в пространстве плоскость, которая проходит через точку М₀ (х₀; у₀; z₀) перпендикулярно вектору = (А; В; С). Следовательно, уравнение (30) также определяет плоскость.
Таким образом, каждое алгебраическое уравнение первой степени с переменными х, у и z является уравнением плоскости.

Исследуем общее уравнение плоскости:

1. Если в уравнении (30) D = 0, то оно принимает вид Ах + Ву + Cz = 0. Этому уравнению удовлетворяет точка О (0; 0; 0). Итак, если в общем уравнении плоскости отсутствует свободный член, то такая плоскость проходит через начало координат.

2. Если А = 0, то уравнение (30) принимает вид Ву + Cz + D = 0 и определяет плоскость, нормальный вектор которой = (0; В; С) перпендикулярен оси Ох. Итак, если в общем уравнении плоскости коэффициент при переменной х равен нулю, тогда уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох. 
Аналогично уравнение Ах + Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную
оси Оу, а уравнение Ах + Ву + С = 0 — плоскость, параллельную Oz.

3. Если А = 0, В = 0,   то уравнение (30) принимает вид Cz + D = 0 или   Из случая 2 следует, что это уравнение определяет плоскость, параллельную осям Ох и Оу (коэффициенты при х и у равны 0), то есть плоскость, параллельную плоскости Оху.
Аналогично плоскость Ву + D = 0 параллельна плоскости Oxz, а плоскость Ах +D=0 параллельна плоскости Oyz.

4. Если в уравнении (30) А = D = 0, то плоскость Ву + Cz = 0 проходит через ось Ох. Действительно, согласно предыдущему, при D = 0 плоскость проходит через начало координат, а при А = 0 — параллельно оси Ох, следовательно, проходит через ось Ох.
Аналогично плоскость Ах + Cz = 0 проходит через ось Оу, а плоскость Ах + Ву = 0 —через ось Oz.

5. Если в уравнении плоскости А = В = D = 0, то плоскость Cz =0 или z = 0 совпадает с плоскостью Оху. Аналогично плоскость Ах = 0 или х = 0 совпадает с плоскостью Oyz, а плоскость у = 0 — с плоскостью Oxz.

Пример №45

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1; 2; 3) перпендикулярно вектору = (–1; –3; 1),

Искомое уравнение находим по формуле (28):
—1 · (х — 1) + (—3) · (у — 2) + 1 · (z — 3) = 0,
х + Зу  — z  — 4 = 0.

Пример №46

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (—3; 4; 5) перпендикулярно к оси Оу.
 Орт = (0; 1; 0) перпендикулярно плоскости, поэтому его можно рассматривать как нормальный вектор. Итак, искомое уравнение имеет вид
0 · (х + 3) + 1 · (у — 4) + 0 · (z — 5) = 0  или  у = 4.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение
плоскости в отрезках на осях

Пусть на плоскости П заданы три точки: М₁ (х₁; у₁; z₁), М₂ (х₂; у₂; z₂), М₃ (х₃; у₃; z₃), не лежащие на одной прямой. Эти точки однозначно определяют плоскость. Найдем ее уравнение.
Возьмем на плоскости произвольную точку М (х; у; z) и найдем векторы       .
Эти векторы лежат в плоскости П, то есть они компланарны. Поскольку смешанное произведение компланарных векторов равно нулю, то = 0  или
                          (33)
Получаем уравнение плоскости, проходящей через три точки. В частности,
пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу, Oz отрезки а, b, с, то есть проходит через точки А (а; 0; 0), В ( 0; b; 0) и С (0; 0; с). Подставляя координаты этих точек в формулу (33) и раскрывая определитель, получим
хbс + уас + zab – аbс = 0 или
              (34)
Уравнение (34) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.
Им удобно пользоваться при построении плоскости.

Пример №47

Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точки М₁ (1; 2; 3), М₂ (–1; 0; 2), М₃ (–2; 1; 0).
Подставим координаты точек в уравнение (33):

Разложим определитель по элементам первой строки:

Вычисляя определители второго порядка, находим искомое уравнение:
(х – 1) 5 – (у – 2) 3 + (z – 3) (–4) = 0 или 5х – 3у – 4z + 13 = 0.

Пример №48

Построить плоскость Зх – 2у + 4z – 12 = 0.
Запишем заданное уравнение в отрезках на осях. Для этого перенесем в правую
часть свободный член и поделим на него обе части уравнения:

Откуда а = 4, b = –6, с = 3.
Зная отрезки, которые отсекает плоскость на осях координат, легко построить
плоскость (рис. З.28).

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Пусть заданы две nлощины П₁ и П₂ соответственно уравнениями
А₁х + В₁у + C₁z + D₁ = 0,            А₂х + В₂у + C₂z + D₂ = 0.
Двугранный угол между плоскостями измеряется линейным углом, который равен углу между нормальными векторами = (А₁; В₁; C₁) и = (А₂; В₂; C₂) этих плоскостей (рис. З.29). Итак, из формулы (36) имеем:
                 (35)
Если плоскости П₁ и П₂ перпендикулярны, то скалярное произведение их
нормальных векторов равно нулю, то есть равенство
А₁ А₂ + В₁ В₂ + C₁C₂ = 0                                                                                    (36)
является условием перпендикулярности плоскостей.
Если nлощины П₁ и П₂ параллельны, то координаты нормальных векторов пропорциональны, то есть условием параллельности плоскостей является равенство отношений:
                                                                                      (37)

Пример №49

Найти угол между плоскостями 2х + у + Зz – 1 = 0 и  х + у – z + 5 = 0.
По формуле (35) имеем

следовательно, данные плоскости перпендикулярны.

Расстояние от точки до плоскости

Если задано уравнение Ах + Ву + Cz + D = 0 плоскости П и точка М₀ (х₀; у₀; z₀), не лежащая на этой плоскости, то расстояние d от точки М₀ до плоскости П находится по формуле
                                                    (38)
Доказательство формулы (38) такое же, как и формулы (27).

Пример №50

Найти высоту АН пирамиды, заданной своими вершинами А (–1; 2; –1), В (1; 0; 2), С (0; 1; –1), D (2; 0; –1).
По формуле (33) находим уравнение плоскости, проходящей через точки В, С, D:

откуда 3х + 6у + z – 5 = 0.
Высоту АН найдем как расстояние точки А (–1; 2; –1) от плоскости BCD по формуле
(38):

             

Прямая линия в пространстве

Прямая линия в пространстве - это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.

Различные виды уравнений nрямои в пространстве

Как уже отмечалось, когда прямая задана точкой и направляющим вектором, то ее векторное параметрическое уравнение (как на плоскости, так и в пространстве) имеет вид (6):  ,  где  — радиус-вектор переменной точки М прямой; — радиус-вектор заданной точки М₀; — ненулевой
направляющий вектор прямой; t — параметр.
Пусть в пространстве в прямоугольной системе координат задана прямая
точкой М₀ (х₀; у₀; z₀) и направляющим вектором = (m; n; p). Возьмем произвольную точку М (х; у; z) этой прямой (рис. 3.30).

 

Тогда аналогично тому, как были найдены формулы (7), (8) и (12), получаем:

1. параметрические уравнения прямой в пространстве: х = х₀ + mt,   у = у₀ + nt,   z = z₀ + pt;                                 (39)
2. канонические уравнения прямой в пространстве:;                                      (40)
3. уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки М₁ (х₁; у₁; z₁) и М₂ (х₂; у₂; z₂):.                               (41)

В уравнениях (39) — (41) одна или две координаты направляющего вектора
могут равняться нулю (случаи m = n = p = 0 и  х₂ — х₁ = у₂ – у₁ = z₂ – z₁ = 0 невозможны, поскольку по определению ).
Если m = 0, n 0, р 0, то направляющий вектор перпендикулярен оси Ох, поэтому уравнение

определяет прямую, перпендикулярную оси Ох. Аналогично уравнения, в которых только n = 0 или p = 0, определяют прямые, перпендикулярные к оси Оу
или Oz.
Если m = n = 0, р 0, или m = р = 0, n  0, или n = р = 0, m 0, то уравнение (40) определяют прямые, соответственно параллельные осям Oz, Оу, Ох.

Рассмотрим теnер случай, когда прямая в пространстве задается пересечением двух плоскостей. Известно, что две непараллельные плоскости пересекаются по прямой линии.
Итак, система уравнений двух плоскостей
                                           (42)
нормальные векторы которых = (А₁; В₁; С₁) и   = (А₂; В₂; С₂) не коллинеарны,
определяет в пространстве прямую линию.
Уравнение (42) называются общими уравнениями прямой в пространстве.
Чтобы от общих уравнений (42) перейти к каноническим уравнениям (40), нужно найти точку М₀ (х₀; у₀; z₀) на прямой и ее направляющий вектор = (m; n; p). Для нахождения точки М₀ одну из ее координат, например, х = х₀ берут произвольной, а две другие определяют из системы

Эта система будет иметь решение при условии, что: . Если это условие
нарушается, то в системе (42) произвольное значение придают переменной
y или переменной z.

Для нахождения направляющего вектора учтем, что нормальные векторы и   данных плоскостей перпендикулярны к прямой (рис. 3.31).
Поэтому за вектор    можно взять их векторное произведение:

 

Пример №51

Привести уравнения прямой  к каноническому виду.
Найдем какую-нибудь точку М₀ (х₀; у₀; z₀) на данной прямой. Для этого положим в обоих уравнениях х = 0 и решим систему

откуда z = –2, у = –1. Следовательно, точка М₀ (0; –1; –2) принадлежит данной прямой.
Направляющий вектор находим по формуле (43):
Канонические уравнения заданной прямой имеют вид  

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть прямые l₁ и l₂ заданs уравнениями
 .
Угол между этими прямыми (рис. 3.32) равен углу   между их направляющими векторами = (m₁; n₁; p₁) и = (m₂; n₂; p₂), поэтому аналогично
со случаем а) ​​п. 3.3 получим:
1) формулу для угла между прямыми l₁ и l₂:
         (44)
2) условие параллельности прямых l₁ и l₂:

;                                                                                    (45)
3) условие перпендикулярности прямых l₁ и l₂:
m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂ = 0.

Пример №52

Найти угол между прямыми
   и   
По формулам (43) и (39) находим направляющие векторы данных прямых: = (2; –8; –4) и  = (2; –1; 3). Поскольку • = 0, то = 90°. 

Пример №53

При каких значениях m₁ и n₂ прямые
и  
параллельные?
Из условия (45) имеем

откуда m₁ = 2, n₂ = –1.

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Углом между прямой l и плоскостью П по определению является угол между прямой l и ее проекцией на плоскость П.
Пусть плоскость П и прямая l заданы уравнениями
Ах + Ву + Cz + D = 0   и   .
Обозначим острый угол между прямою l (рис. 3.33) и ее проекцией l₁ на плоскость П через  , а угол между нормальным вектором = (А; В; С) плоскости П и направляющим вектором = (m; n; p) прямой l — через  .
Если 90°, то = 90° – , поэтому sin = cos ; если же  > 90°, то = – 90° и sin = –cos .

Итак, в любом случае  . Но  , поэтому угол между прямой и плоскостью находится по формуле:                          (47)

Если прямая l параллельна плоскости П, то векторы  и  перпендикулярны,
поэтому · = 0, то есть       

Аm + Bn + Ср = 0                                                                                                   (48)
— условие параллельности прямой и плоскости.
Если прямая l  перпендикулярна к плоскости П, то векторы  и  параллельны, поэтому соотношение
                                                                                                (49)
является условием перпендикулярности прямой и плоскости.

Пример №54

Через заданную точку М₀ (х₀; у₀; z₀) провести прямую l, перпендикулярную
плоскости П, заданной уравнением Ах + Ву + Cz + D = 0.
Поскольку прямая l перпендикулярна к плоскости П, то направляющим вектором прямой l можно взять нормальный вектор плоскости П: (рис. 3.34): = =  = (А; В; С).
Поэтому по формуле (40) уравнение прямой l имеет вид
 .

Пример №55

В заданную точку М₀ (х₀; у₀; z₀) провести плоскость П, перпендикулярную
прямой l, заданной уравнениями
 .
Нормальным вектором плоскости П может быть направляющий (рис. 3.35) вектор прямой l:   = = (m; n; р), поэтому по формуле (28) уравнение плоскости П имеет вид
m (х – х₀) + n (y – y₀) + р (z – z₀) = 0.

Пример №56

Через заданную точку М₀ (х₀; у₀; z₀) и прямую l, заданную уравнениями
, провести плоскость П.

Пусть М (х; у; z) — произвольная точка плоскости П (рис. 3.36), а М₁ (х₁; у₁; z₁) — заданная точка прямой l. Тогда векторы = (х₀ – х₁; y₀ – y₁; z₀ – z₁), ​​= 
= (х – х₁; y – y₁; z – z₁) и направляющий вектор = (m; n; р) прямой компланарны,
поэтому уравнение плоскости П имеет вид

Пример №57

Как размещена прямая l, заданная уравнениями

относительно плоскости П, заданной уравнением Ах + Ву + Cz + D = 0?
Подставив в уравнение плоскости П вместо х, у, z их значения из уравнений
прямой l, получим уравнение
А (х₀ + mt) + В (у₀ + nt) + С (z₀ + pt) + D = 0,
из которого можно определить значение параметра t, соответствующее искомой точке пересечения. Если это уравнение имеет единственное решение, то прямая l пересекает плоскость П, если же множество решений — прямая l лежит в плоскости П, если полученное уравнение не имеет решений, то прямая l параллельна плоскости П.

Пример №58

Найти точку пересечения прямых l₁ и l₂ заданных уравнениями
  и  
Пусть М₀ (х₀; у₀; z₀) — точка пересечения заданных прямых. При каком-то значении t₁ параметра t ее координаты удовлетворять уравнение прямой l₁, а при определенном значении t₂ — уравнению прямой l₂,  т.е.

       

Приравнивая правые части этих систем, получаем систему трех линейных уравнений с двумя неизвестными t₁ и t₂, которую можно решить, например, методом Гаусса. Если эта система имеет одно решение, то прямые пересекаются, если множество решений — прямые совпадают, если система не имеет решений, то прямые скрещивающиеся.

Пример №59

Найти расстояние заданной точки М₀ (х₀; у₀; z₀) от прямой l, заданной уравнениями

Расстояние d от точки М₀ (рис. 3.37) до прямой l равно расстоянию между точкой М₀ и ее проекцией Р на эту прямую: d = М₀Р. Чтобы найти точку Р, достаточно
через точку М₀ провести плоскость П, перпендикулярную к прямой l (пример 3), и найти точку ее пересечения с прямой l (пример 4).

Пример №60

Как размещены прямые
  и   ?
Прямые l₁ и l₂ совпадают, если векторы, и коллинеарны (рис. 3.38, а).
Условием параллельности данных прямых является коллинеарность векторов  и   (рис. 3.38, б), то есть  
Прямые l₁ и l₂  пересекаются, если векторы и  не коллинеарны, а векторы ,   и   компланарные (рис. 3.38, в), то есть  

Итак, условие    эквивалентно тому, что прямые l₁ и l₂ — скрещивающиеся.

Пример №61

Доказать, что расстояние d точки М₀ (рис. 3.39) с радиусом-вектором от прямой l, заданной уравнением , определяется по формуле

Расстояние d равно одной из высот параллелограмма, построенного на векторах и  .

Пример №62

Доказать, что расстояние (рис. 3.40) между скрещивающимися прямыми (длина общего перпендикуляра) l₁ и l₂, заданными уравнениями и , находится по формуле  

Расстояние d равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых лежат прямые l₁ и l₂ . Это расстояние, в свою очередь, равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах s ,   и   .

Линии второго порядка

Понятие линии второго порядка:

Как отмечалось в п. 1.1, линия второго порядка — это множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению вида
                                              (50)
где коэффициенты а, b, с, d, е, f  — действительные числа, причем хотя бы одно из
чисел а, b, с отличное от нуля, то есть . В частности, к линиям второго порядка относятся такие линии: окружность, эллипс, гипербола и
парабола. Оказывается, что множеством точек (х; у) с действительными координатами, удовлетворяющими уравнению (50), может быть не только одна
из названных линий. Уравнение (50) может определять на плоскости Оху также
две прямые, одну прямую, точку или не определять никакой точки.
Итак, окружность, эллипс, парабола и гипербола задаются уравнениями второй степени, но, в отличие от прямой линии, обратное утверждение неверное.
Чтобы ответить на вопрос, какое геометрическое место точек определяется уравнением (50), надо подобрать такую ​​систему координат, в которой это уравнение упростилось бы. Известно [1], для всякой линии второго порядка существует прямоугольная система координат (ее называют канонической), в которой уравнение (50) имеет самый простой или канонический вид.
Мы не будем заниматься здесь приведением общего уравнения (50) к каноническому виду, а установим и исследуем только отдельные канонические
уравнения.
Линии второго порядка называют также коническими сечениями из-за того, что их можно получить как линии пересечения кругового конуса с плоскостью. Окружность образуется как линия пересечения плоскостью, перпендикулярной
к оси конуса и не проходящей через его вершину (рис. 3.41, а);  эллипс — линия пересечения плоскости, которая пересекает все образующие конуса, не перпендикулярна оси конуса и не проходит через его вершину (рис. 3.41, б); если пересечь двуполостной конус плоскостью, параллельной двум образующим, получим гиперболу (3.41, в), а одной образующей — параболу (рис. 3.41, г).

Линии второго порядка широко применяются в науке и технике.

Примеры:
 

1. Планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, имеющим общий фокус, в котором расположено Солнце.
2. Если в фокусе параболы разместить источник света, то лучи, отразившись от параболы, пойдут параллельно ее оси. На цНи свойстве основано построение прожектора.
3. В динамике космических полетов используются понятия трех космических скоростей: = 7,9 км/с, = 11,2 км/с, = 16,7 км/с. Пусть  — начальная скорость, с которой искусственный спутник запускается с поверхности Земли. При недостаточной начальной скорости < спутник вращаться вокруг Земли не будет. Если = , то спутник будет вращаться по круговой орбите, центр которой находится в центре Земли. Если <  < , то вращение спутника будет происходить по эллипсу, причем центр Земли будет находиться в одном из фокусов эллипса. При < спутник преодолевает земное притяжение и становится искусственным спутником Солнца, двигаясь при этом по параболе (при = ) или по гиперболе (при < < ) относительно Земли. Если  , то спутник сначала преодолевает земное, а затем и солнечное притяжения и покидает Солнечную систему.
4. Движение материальной точки под действием центрального поля силы тяжести происходит по одной из линий второго порядка.

Окружность

Окружностью называют множество точек плоскости, расстояние которых от заданной точки плоскости (центра окружности) равны постоянному числу (радиус).
Чтобы вывести уравнение окружности, используем прямоугольную систему
координат Оху; обозначим через О₁ (а; b) — центр окружности, через М (х; y) — произвольную точку плоскости и через R — радиус окружности (рис. 3.42).
Точка М лежит на окружности тогда и только тогда, когда О₁М = R или
                                               (51)
Уравнение (51) и является искомым уравнением окружности. Но удобнее пользоваться уравнением, которое получим при возведении обеих частей уравнения (51) в квадрат:
                                                      (52)
Поскольку уравнение (52) следует из уравнения (51), то координаты любой точки, удовлетворяющие уравнению (51), удовлетворят также уравнение (52). Однако при возведении любого уравнения в квадрат, как известно, могут появиться посторонние корни, то есть уравнение (51) и (52) могут оказаться неэквивалентными. Покажем, что в этом случае так не будет. Действительно, вычислив корень из обеих частей уравнения (52), получим  Но в правой части знак минус надо отбросить, так как расстояние R > 0. Следовательно, уравнения (51) и (52) эквивалентны, то есть определяют одну и ту же кривую — окружность.

Если центр окружности находится в начале координат, то а = b = 0 и уравнение (52) принимает вид
.                                                                          (53)
Уравнение (53) называется каноническим уравнением окружности. Если в уравнении раскрыть скобки, то получим общее уравнение окружности
х² + у² + Ах + Ву + С = 0,                                                           (54)
где А = –2а, В = –2b, С = а² + b² — R² . Итак, окружность — линия второго порядка.

Уравнение окружности имеет следующие свойства.

• 1°. Коэффициенты при х² и у² равны между собой.
• 2°. В уравнении отсутствует член с произведением ху.

Обратное утверждение неверно: не всякое уравнение второй степени, которое удовлетворяет условиям 1° и 2°, является уравнением окружности, то есть не всякое уравнение вида (54) определяет окружность.

Пример №63

Написать уравнение окружности, если точки А (–1; 4) и В (3; 2) являются концами его диаметра.
Пусть О₁ (а; b) — центр окружности. Тогда АО₁ = О₁В, поэтому по формулам (25)
 имеем

Поскольку радиус окружности R = АО₁ = , то по формуле (52) получаем искомое уравнение:
(x – 1)² + (у – 3)² = 5.

Пример №64

Найти центр и радиус окружности х² + у² + 4х – 6у – 2З = 0.
Сгруппируем слагаемые с переменной х  и переменной у и дополним полученные выражения до полных квадратов: 
х² + 4х + у² – 6у – 2З = 0,
или
(х² + 4х + 4) — 4 + (у² – 6у + 9) – 9 – 2З = 0,
откуда
(х + 2)² + (у – 3)² = 36.
Следовательно, точка (–2; 3) – центр окружности, а R = 6 — его радиус.

Пример №65

Показать, что уравнение х² + у² + 6х – 6у + 19 = 0 не определяет никакого
геометрического объекта.
Преобразуем уравнение
(х² + 6х + 9) – 9 + (у² – 6у + 9) – 9 + 19 = 0
или
(х + 3)² + (у – 3)² = –1.
Поскольку сумма неотрицательных чисел не может быть отрицательным числом, то заданному уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости Оху.

Пример №66

Арка имеет форму дуги окружности. Найти длину l дуги арки, если ее пролет и
подъем соответственно равны 2а и b (подъем арки равен отношению ее высоты
к пролету).
 Введем систему координат Оху так, как показано на рис. 3.43, где арка МРN —
дуга окружности, МО = ON, ОР = h = 2аb. В выбранной системе координат точки М, Р и N имеют координаты М (–а; 0), Р (0; 2аb), N (а; 0). Пусть О₁ (0; у₀) и R соответственно центр и радиус окружности, тогда его уравнение имеет вид
х² + (y – y₀)² = R².
Поскольку окружность проходит через точки Р и N, то

откуда

Найдем центральный угол , на который опирается дуга арки. Имеем:
 поэтому  ,
следовательно,

Эллипс

Эллипсом называют множество всех точек плоскости, сумма расстояний
которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами,
есть величина постоянная и больше расстояния между фокусами. Чтобы вывести уравнение эллипса, возьмем на плоскости две точки F₁ и F₂ – фокусы эллипса и разместим прямоугольную систему координат так, чтобы ось Ох проходила через фокусы, а начало координат делил отрезок F₁F₂ пополам
(рис. 3.44).
Обозначим расстояние между фокусами, которое называют фокальным, через 2с: F₁F₂ = 2с, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов — через 2а. Тогда фокусы имеют такие координаты: F₁ (–с; 0) и F₂ (с; 0). По определению 2а > 2с,  т.е. а > с.
Пусть М (х; у) — произвольная точка плоскости. Эта точка лежит на эллипсе тогда, когда F₁M + F₂M = 2а или
                                          (55)
Это, по сути, уравнение эллипса. Чтобы упростить его, перенесем один радикал в правую часть, возведем обе части в квадрат и приведем подобные. Получим:

Возведя обе части этого уравнения еще раз к квадрату и упростив выражение, получим х² (а² – с²) + а²у² = а² (а² – с²).
Поскольку а > с, то а² – с² > 0, поэтому можно обозначить
а² – с² = b².                                                                    (56)
Тогда уравнение (55) примет вид
х²b² + а²у² = а²b²
или
                                                            (57)
Можно доказать, что уравнение (55) и (57) эквивалентны. Уравнение (57)
называется каноническим уравнением эллипса. Итак, эллипс — кривая второго
порядке.

Определим некоторые свойства и исследуем форму эллипса.

1°. Уравнение (57) содержит переменные х и у только в парных степенях, поэтому, если точка (х; у) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (–х; у), (х; –у) и (–х; –у). Поэтому эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки О (0; 0), которую называют центром эллипса. Следовательно, для установления формы эллипса достаточно исследовать ту его часть, которая находится в одном, например, в первом, координатном углу.

2°. В первом координатном углу х 0, у 0, поэтому из равенства (57) имеем
                                                    (58)
откуда следует, что точки А₁ (а; 0) и В₀ (0; b) принадлежат эллипсу, причем,
если х увеличивается от 0 до а то y уменьшается от b до 0.  Кроме того, не существует точек эллипса, в которых х > а, потому выражение (58) при х > а не имеет смысла. Таким образом, часть эллипса, размещенная в первом координатном углу, имеет форму дуги А₁В₁ (рис. 3.45). Отразив эту дугу симметрично относительно осей Ох и Оу, получим весь эллипс. Он помещается
в прямоугольник со сторонами 2а  и 2b. Стороны прямоугольника касаются эллипса в точках пересечения его с осями Ох и Оу.
Эллипс пересекает оси координат в точках А₁(а; 0), А2(–а; 0), B₁(0; b), B2(0; –b). Эти точки называются вершинами эллипса. Величины А₁А2 = 2а и B₁B2 = 2b называют соответственно большой  и малой осями эллипса.
Таким образом, из свойств 1° и 2° следует, что всякий эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Точки, в которых эллипс пересекает главные оси, ограничивают на главных осях отрезки длинами 2а и 2b, которые называются большой и малой осями эллипса, а числа а и b — большой и малой полуосями эллипса. Весь эллипс помещается в прямоугольник со сторонами 2а и 2b. Стороны прямоугольника касаются с эллипса в его вершинах.

3°. Если а = b, то уравнение (57) принимает вид
х² + y² = а²,
то есть получаем уравнение окружности. Итак, окружность является частным случаем эллипса. Из формулы (56) следует, что при а = b  значение с = 0, то есть окружность — это эллипс, у которого фокусы совпадают с центром. Мера отклонения эллипса от окружности характеризуется величиной , которая называется эксцентриситетом эллипса и равна отношению половины его фокального расстояния к длине большей полуоси:

причем  , поскольку  .
Из формул (56) и (59) получаем
  .                     (59)
Итак, если = 0, то b = а, то есть эллипс превращается в окружность; если
приближается к единице, то отношение осей b/а уменьшается, то есть
эллипс все больше растягивается вдоль оси Ох.

4°. Пусть М (х; у) — произвольная точка эллипса с фокусами F₁  и F₂  (рис. 3.46). Расстояния F₁M = r₁ и F₂ M = r₂ называются фокальными радиусами точки М. Очевидно, r₁ + r₂ = 2а. Прямые   называются директрисами эллипса.
Отношение фокальных радиусов произвольной точки эллипса к расстоянию этой точки от соответствующих директрис есть величина постоянная и равна эксцентриситету эллипса, то есть
.                                                                    (60)

Пример №67

Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М₁ (3; 2)
и М₂ , если его фокусы лежат на оси Ох симметрично началу координат.
По условию координаты заданных точек удовлетворяют уравнению (57):
Решая эту систему уравнений, находим а² = 18 и b² = 8. Итак, искомое уравнение
имеет вид  .

Пример №68

Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох симметрично началу координат, если расстояние между фокусами равно 14, а эксцентриситет равен 7/9.
Поскольку 2с = 14, то с = 7. Из формул (59) и (56) получаем, что а = 9 и b² = 32.
Итак, искомое уравнение имеет вид
.

Пример №69

Доказать, что полярное уравнения определяет эллипс. Найти
полуоси этого эллипса.
Используя формулы (7), (8), перейдем от заданного уравнения к уравнению в прямоугольной системе координат:

Далее имеем


Учитывая формулы параллельного переноса делаем вывод, что последнее уравнение определяет эллипс с центром в точке (3; 0) и полуосями а = 5 и b = 4.

Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и она меньше расстояния между фокусами.
Обозначим через F₁  и F₂ фокусы гиперболы, расстояние между ними — через 2с, а модуль разности расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов —через 2а. По определению а < с. Чтобы вывести уравнение гиперболы, возьмем на плоскости прямоугольную систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокусы, а начало координат поделило отрезок F₁F₂ пополам (рис. 3.44). Точка М (х; у) плоскости лежит на гиперболе тогда и только тогда, когда или

Выполнив те же преобразования, что и при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы
,                                                                                (61)
где
b² = с² – а²                                                                                        (62)
Итак, гипербола является линией второго порядка.

Определим некоторые свойства и исследуем форму гиперболы:

1°. Гипербола симметрична осям Ох, Оу и началу координат.

2°. Для части гиперболы, которая лежит в первом координатном угле, из уравнения (61) получим
                                                                     (63)
Из равенства (63) следует, что .
Точка А₁ (а; 0) принадлежит гиперболе и является точкой пересечения гиперболы
с осью Ох. Гипербола не пересекал ось Оу. Если х > а, то y > 0, причем если х увеличивается, то y также увеличивается, то есть если   то .
Покажем, что, удаляясь в бесконечность, переменная точка М (х; y) гиперболы неограниченно приближается к прямой
.                                                                                    (64)
Такая прямая называется асимптотой гиперболы. Для этого возьмем точку N, лежащую на асимптоте и имеющую ту же абсциссу х, что и точка М (х; у), и найдем разницу MN между ординатами линий (63) и (64) (рис. 3.47):

Отсюда, если , то знаменатель тоже стремится к , а MN  0, так как числитель является постоянной величиной. Итак, точки М гиперболы, удаляясь от точки А₁ (а; 0) в бесконечность, неограниченно приближаются к прямой (64), то есть эта прямая является асимптотой.
Таким образом, часть гиперболы, размещенная в первом координатном угле, имеет вид дуги, которая показана на рис. 3.47. Отразив эту дугу симметрично относительно координатных осей, получим вид всей гиперболы.
Гипербола состоит из двух веток (левой и правой) и имеет две асимптоты:

Оси симметрии называются осями гиперболы, а точка пересечения осей — ее
центром. Ось Ох пересекает гиперболу в двух точках А₁(а; 0) и А₂ (–а; 0), которые называются вершинами гиперболы. Эта ось называется действительной осью гиперболы, а ось, не имеющая общих точек с гиперболой, — мнимой осью.
Действительной осью называют также отрезок А₁А₂ , который соединяет вершины гиперболы и его длину А₁А₂ = 2а. Отрезок B₁B₂, соединяющий точки B₁(0; b) и B₂ (0; –b), а также его длину, называют мнимой осью. Величины а и b соответственно называются действительной и мнимой полуосями гиперболы.
Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.
При построении гиперболы (61) целесообразно сначала построить основной
прямоугольник C₁D₁DC (рис. 3.48), провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника — асимптоты гиперболы
и определить вершины А₁ и А₂ гиперболы.
Уравнение
                                                                    (65)

также определяет гиперболу, которая называется сопряженной к гиперболе (61). Гипербола (65) показана на рис. 3.48 штриховой линией. Вершины этой гиперболы лежат в точках В1 (0; b) и 2 августа (0; -Ь), а ии асимптоты
совпадают с асимптотами гиперболы (6 \).

Гипербола с равными полуосями (а = b) называется равносторонней, ее каноническое уравнение имеет вид
х^₂ – y² = а².
Основным прямоугольником равносторонний гиперболы является квадрат со
стороной 2а, а ее асимптотами — биссектрисы координатных углов.

3°. Эксцентриситет гиперболы определяется как отношение половины фокального расстояния к длине ее действительной полуоси:
.                                                                   (66)
Поскольку с > а, то  > 1. Кроме того, из формул (62) и (66) следует, что
.
Итак, эксцентриситет гиперболы характеризует ее форму: чем больше эксцентриситет, тем больше отношение , то есть тем больше основной
прямоугольник растягивается в направлении оси Оу, а гипербола отклоняется
от оси Ох; чем ближе эксцентриситет к единице, тем больше основной прямоугольник растягивается в направлении оси Ох, а гипербола приближается
к этой оси.

4°. Прямые  ,  где а — действительная полуось гиперболы, а — ее
эксцентриситет, называются директрисами гиперболы. Директрисы гиперболы имеют то же свойство (60), что и директрисы эллипса.

Пример №70

Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси Ох симметрично начала координат, если действительно ось равна 6, а эксцентриситет = ·
Поскольку 2а = 6, то а = 3. Из формул (62) и (66) находим, что b = 4.
Искомый е уравнение имеет вид .

Пример №71

Найти расстояние фокуса гиперболы    от ее асимптоты.
Запишем каноническое уравнение данной гиперболы:
,
откуда  b = 1 — полуоси гиперболы, поэтому согласно формуле (64) уравнение асимптоты имеет вид
Из формулы (62) находим, что с = 3, поэтому F₁ (–3; 0) и F₂ (3; 0) — фокусы гиперболы.
По формуле (27) вычисляем расстояние d от фокуса F₁ (или, что то же самое, фокуса F₂) до найденной асимптоты: d = 1.

Пример №72

На прямолинейном отрезке железной дороги расположены станции А и В, расстояние между которыми l. От завода N идут прямые автомагистрали NA и NB, причем NB < NА. Груз с завода N на станцию ​​А можно транспортировать или по автомагистрали NB, а оттуда по железной дороге (первый путь), или непосредственно по автомагистрали NA (второй путь). При этом тариф (стоимость перевозки 1 т груза на 1 км) железной дорогой и автотранспортом составляет соответственно m и n (n> m), а разгрузка-погрузка одной тонны стоит k. Определить зону влияния станции В, то есть множество точек, из которых дешевле доставить груз в А первым путем, чем вторым.

Введем систему координат Оху так, как показано на рис. 3.49, где АО = ОВ. Найдем уравнение множества точек М (х; у), для которых оба пути «одинаково выгодны», то есть таких, что стоимость доставки груза S₁ = r₂n + k + lm первым путем равна стоимости S₂ = r₁n доставки груза вторым путем.
r₂n + k + lm = r₁n ,   (АМ = r₁,  ВМ = r₂).
Из этого условия получим

Следовательно, множеством точек, в которых S₁ = S₂, является правая ветка гиперболы

где а = ,  b = . Для точек плоскости, которые лежат справа от этой ветки, S₁ < S₂, то есть выгоднее первый путь, а для точек, лежащих слева, — второй путь.
Таким образом, правая ветка гиперболы ограничивает зону влияния станции В, а левая — станции А.

Пример №73

Установить, что уравнения 16х² – 9у² – 64х – 54у – 161 = 0 определяет
гиперболу. Найти ее центр и полуоси.

Выделим полные квадраты относительно х и у:

• 16 (х² – 4х) – 9 (у² + 6у) – 161 = 0;
• 16 (х² – 4х + 4 – 4) – 9 (у² + 6у + 9 – 9) – 161 = 0;
• 16 (х – 2)² – 64 – 9 (у + 3)² + 81 – 161 = 0;
• 16 (х – 2)² – 9 (у + 3)² = 144;      .

Учитывая формулы параллельного переноса, придем к заключению, что данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке О₁ (2; –3) и полуосями а = 3; b = 4 (рис. 3.50). 

Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей  через фокус.

Найдем уравнение параболы. Пусть на плоскости заданы фокус F и директриса, причем расстояние фокуса от директрисы равно р. Возьмем прямоугольную систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус, перпендикулярно к директрисе, а ось Оу делила расстояние между фокусом F и директрисой пополам (рис. 3.51). Тогда фокус имеет координаты F , а уравнение директрисы имеет вид  .
Пусть М (х; у) — произвольная точка плоскости, а отрезки МВ и MF — расстояния этой точки от директрисы и фокуса. Точка М тогда лежит на параболе, когда МВ = = MF  или
                                    (67)
Это и есть уравнение параболы. Чтобы упростить его, возведем обе части равенства (67) в квадрат:

то есть
у² = 2рх.                                                                                              (68)
Можно доказать, что уравнение (67) и (68) равносильны.
Уравнение (68) называется каноническим уравнением параболы. Итак, парабола является линией второго порядка.
Исследуем форму параболы. Поскольку уравнение (68) содержит переменную
у в четной степени, то парабола симметрична относительно оси Ох. Поэтому
достаточно рассмотреть только ту ее ​​часть, которая лежит в верхней полуплоскости.
Для этой части у  О, поэтому из уравнения (68) получим
                                                                        (69)
Из этого равенства следует, что парабола расположена справа от оси Оу, так как при х < 0 выражение (69) не имеет смысла. Значения х = 0, у = 0 удовлетворяют уравнение (69), то есть парабола проходит через начало координат. С ростом х значение у также растет. Итак, переменная точка М (х; у) параболы, выходя из начала координат, с ростом х, движется по ней вправо и вверх.
Выполнив симметричное отображение рассматриваемой части параболы
относительно оси Ох, получим всю параболу (рис. 3.52).

Ось симметрии параболы называется ее осью; точка пересечения оси с параболой — вершиной параболы; число, которое равно расстоянию фокуса от директрисы, — параметром параболы. Осью параболы, заданной уравнением (68), является ось Ох, вершиной — точка О (0; 0) и параметром — число р.

Выясним влияние параметра р на форму параболы. Если в уравнении (68) положить , то соответствующие значения ординаты , то есть имеем на параболе две симметричные относительно оси Ох точки и
. Расстояние между этими точками равна 2р и увеличивается с
увеличением р. Итак, параметр р характеризует «ширину» области, которую
ограничивает парабола.
Уравнения у² = –2рх,   х² = 2ру,   х² = –2ру, в которых параметр р > 0, определяют параболы, изображенные на рис. 3.53.

Замечание. Используя свойство 4° эллипса и гиперболы и определение параболы, можно дать следующее общее определение кривой второго порядка (кроме окружности): множество точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до соответствующей директрисы есть величина  постоянная, — это эллипс (при 0<  <1), или парабола (при = 1), или гипербола (при  > l).

Пример №74

Исследовать взаимное расположение параболы у² = х  и прямой х +у  – 2 = 0.
Решая систему уравнений находим решение (4; –2) и (1; 1). Это означает, что прямая пересекает параболу в точках М₁(4; –2), М₂(1; 1).

Пример №75

В параболу   вписан равносторонний треугольник так, что одна из
вершин его совпадает с вершиной параболы. Найти сторону треугольника.

Пусть точка А(х₀; у₀) — одна из вершин треугольника. Тогда другими его вершинами будут точки В (–х₀; у₀) и О(0; 0). Поскольку треугольник равносторонний, то АВ = АО = ВО, откуда · Решая это уравнение вместе с уравнением   находим х₀ = 3. Следовательно, сторона треугольника равна 2х₀ = 6.

Пример №76

Струя воды вытекает из конической насадки со скоростью   под углом  к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, составить уравнение струи относительно прямоугольной системы координат Оху, считая, что струя находится в плоскости Оху, точка О совпадает с выходным отверстием насадки, а ось Ох проходит горизонтально в направлении полета струи (рис. 3.54). Найти дальность полета l, высоту подъема h и угол, при котором дальность полета наибольшая.

Выделим в струе воды частичку единичной массы. Если бы на нее не действовала сила тяжести, то за время t  она прошла бы путь, равный модулю вектора  где — начальная скорость частицы.
Под действием силы тяжести частица за то же время t  пройдет путь, равный длине дуги ОМ. Поскольку сила тяжести направлена вертикально вниз, то радиус-вектор частицы имеет вид , где  —ускорение силы тяжести. Уравнения

— это параметрические уравнения траектории полета частицы. Исключив параметр t, получим у = ах – bх²,  где
 .
Таким образом, траектория движения частицы, а следовательно, и вcей струи имеют форму параболы. Дальность полета струи получим из ее уравнения при у = 0, а высоту подъема — при :

Дальность полета наибольшая, если .

Полярные и параметрические уравнения кривых второго порядка

1. Пусть в прямоугольной системе координат уравнением (53) задана окружность. Если ввести полярные координаты и так, как указано в п. 2.3), то уравнение (53) запишется в виде
;    или      р = R.                                  (70)
Это и есть полярное уравнение окружности с центром в полюсе и радиусом R. Чтобы вывести параметрические уравнения, обозначим через t угол между осью Ох и радиусом-вектором произвольной точки М (х; у) окружности (рис. 3.55).
Точка М (х; у) лежит на окружности тогда и только тогда, когда
                                (71)
Уравнения (71) называются параметрическими уравнениями окружности.

 

2. Рассмотрим теnер кривую l, которая может быть эллипсом, параболой
или правой веткой гиперболы (рис. 3.56).
Пусть F — фокус кривой l (если l — эллипс, то F — его левый фокус), d — соответствующая этому фокусу директриса, 2p — длина хорды, которая проходит через фокус параллельно директрисе, и — эксцентриситет кривой l. Введем полярную систему координат так, чтобы ее полюс совпадал с F, а полярная ось F_x была перпендикулярной к директрисе d и направлена в сторону, противоположную от нее. Тогда согласно общему определению кривой второго порядка (замечание п. 6.5)
имеем: 

                                                            (72)

Поскольку MF = , то

и из равенства (72) получим
                                                    (73)
Это и есть  общее полярное уравнение кривой l. При 0 < < 1 уравнение (73) определяет эллипс, пр и = 1 — параболу, а при  > 1 — правую ветку гиперболы. Уравнение левой ветки гиперболы в выбранной полярной системе
имеет вид
.
Число p в полярных уравнениях называется полярным параметром кривой. Для того чтобы выразить p через параметры канонических уравнений (57), (61) и (68) кривой l, достаточно в это уравнение подставить координаты точки N₁: х = с, у =
= p — для эллипса и гиперболы и  — для параболы. Тогда для эллипса и гиперболы имеем:  ,  а для параболы полярный параметр равен параметру p и ее каноническому уравнению (68). Уравнение (73) применяется в механике.

Пример №77

Какую кривую определяет полярное уравнение ?
Приведя данное уравнение к виду  , получим:
 . Итак, заданная линия является эллипсом. Найдем его полуоси. Поскольку 
   и    то

Приведем без доказательства параметрические уравнения эллипса и гиперболы
[9]. Параметрические уравнения

задают эллипс с центром в точке (х₀; у₀) и с полуосями а и b.
Параметрические уравнения гиперболы с центром в точке (х₀; у₀) и с полуосями а и b имеют вид

где ch t и sh t — гиперболический косинус и гиперболический синус.

Пример №78

Кривошип ОА (рис. 3.57) вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью  и приводит в движение ползун В с помощью шатуна АВ, причем ОА  = АВ = а. Составить уравнение траектории средней точки М шатуна.

Пусть М (х; у) — средняя точка шатуна АВ,  , тогда

Поскольку   то

где t — время. Итак, траекторией средней точки шатуна является эллипс. Освободившись от параметра t, получим его каноническое уравнение:

Поверхности второго порядка

Понятие поверхности второго порядка:

Поверхностью второго порядка называется множество точек, прямоугольные
координаты которых удовлетворяют уравнению вида
ах² + bу² + cz² + dxy + exz + fyz + gx + hy + kz + l = 0,                             (74)
где хотя бы один из коэффициентов а, b, с, d, е, f отличен от нуля.
Уравнение (74) называется общим уравнением поверхности второго порядка.
Поверхность второго порядка как геометрический объект не изменяется,
если от заданной прямоугольной системы координат перейти к другой.
При этом уравнения (74) и уравнения, найденное после преобразования координат, будут эквивалентными.
Можно доказать [14], что существует система координат, в которой уравнение
(74) имеет самый простой (или канонический) вид.
К поверхностям второго порядка относятся, в частности, цилиндрические
и конические поверхности, поверхности вращения, сфера, эллипсоид, однополосной и двуполостной гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды. Рассмотрим эти поверхности и их канонические уравнения.

Цилиндрические поверхности

Цилиндрической поверхностью называют поверхность , образовавшуюся множеством прямых (образующих), пересекающих заданную линию L (направляющую) и параллельных заданной прямой l (рис. 3.58). Будем изучать только такие цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельные координатной оси, перпендикулярной к этой плоскости.

   

Рассмотрим случай, когда образующие цилиндрической поверхности параллельны оси Oz, а направляющая лежит в плоскости Оху.
Пусть задано уравнение
f (x, y) = 0,                                                                                (75)
которое в плоскости Оху определяет (рис. 3.59) некоторую линию L — множество
точек М (х; у), координаты которых удовлетворяют это уравнение. Данное уравнение удовлетворяют также координаты всех точек N (х; у; z) пространства, у которых две первые координаты х и у совпадают с координатами любой точки линии L, а третья координата z — произвольная, то есть тех точек пространства, которые проецируются на плоскость Оху в точки линии L.
Все такие точки лежат на прямой, параллельной оси Oz и пересекающей линию L в точке М (х; у). Совокупность таких прямых и является цилиндрической поверхностью .
Если точка не лежит на поверхности , то она не может проецироваться в точку линии L, то есть координаты такой точки уравнение (75) не удовлетворяют.
Следовательно, уравнение (75) определяет поверхность . Таким образом, уравнение f (x, y) = 0 определяет в пространстве цилиндрическую поверхность,
образующие которой параллельны оси Oz, а направляющая L в плоскости Оху задается тем самым уравнением f (x, y) = 0. Эта же линия в пространстве Oxyz задается двумя уравнениями:

Аналогично уравнение f (x, z) = 0, в котором отсутствует переменная y, определяет в пространстве цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны оси Оу, а направляющая L в плоскости Oxz задается тем самым уравнением f (x, z) = 0; уравнение f (x, z) = 0 определяет в пространстве цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны оси Ох.

Примеры:

1. Поверхность, которая определяется уравнением х² + у² = R², является цилиндрической и называется прямым круговым цилиндром. Ее образующие параллельны оси Oz, а направляющей в плоскости Оху является окружность х² + у² = R² (рис. 3.60, а).
2. Поверхность, которая определяется уравнением , является цилиндрической  и называется эллиптическим цилиндром (рис. 3.60, б).
3. Цилиндрическая поверхность, которая определяется уравнением , называется гиперболическим цилиндром (рис. 3.60, в).
4. Цилиндрическая поверхность, которая определяется уравнением у² = 2рх, называется параболическим цилиндром (рис. 3.60, г).
5. Уравнение z² = 1 – у определяет в пространстве параболический цилиндр, направляющей которого в плоскости Oyz является парабола z² = 1 – у, а образующие параллельны оси Ох (рис. 3.60, д).

Поверхности вращения

Поверхность, образованную вращением заданной плоской кривой l вокруг
заданной прямой (оси вращения), которая лежит в плоскости кривой l, называют
поверхностью вращения.
Пусть линия l, лежащая в плоскости Oyz, задана уравнениями

(Х, Y, Z — переменные координаты точек линии l, а х, у, z —переменные координаты точек поверхности).
Рассмотрим поверхность, образованную вращением этой линии вокруг оси Oz (рис. 3.61), и найдем уравнение поверхности вращения.
Проведем через произвольную точку М (х; у; z) поверхности вращения плоскость,
перпендикулярную к оси Oz, и обозначим через К и N точки пересечения этой плоскости с осью Oz и линией l. Поскольку отрезки , KN и КМ равны между собой как радиусы, КР = у, РМ = х, то Y =   кроме того, Z = z. Поскольку координаты точки N удовлетворяют уравнению F (Х, Z) = 0, то, подставляя в это уравнение вместо Y, Z равные им величины  получим уравнение
                                                                          (76)
которое удовлетворяет произвольная точка М (х; у; z) поверхности вращения. Можно показать, что координаты точек, не лежащих на этой поверхности,
уравнение (76) не удовлетворяют. Следовательно, уравнение (76) является уравнением поверхности вращения.

Аналогично можно составить уравнение поверхности вращения вокруг осей Ох и Оу. Таким образом, чтобы получить уравнение поверхности вращения кривой
вокруг какой-либо координатной оси, надо в уравнении кривой оставить без изменений координату, соответствующую оси вращения, а вторую координату заменить на квадратный корень из суммы квадратов двух других координат, взятый со знаком + или –.

Пример №79

Найти уравнение поверхности вращения эллипса х² + 4у² = 4, z = 0 вокруг оси Ох,

В уравнении эллипса надо оставить без изменения координату х, а вместо координаты у подставить в уравнение  :
  или   . 

Конические поверхности

Конической поверхностью называется поверхность, образованная множеством
прямых, проходящих через заданную точку Р и пересекающую заданную линию
L. При этом линия L называется направляющей конической поверхности, точка Р — ее вершиной, а каждая из прямых, образующих коническую поверхность, — образующей.
Пусть направляющая L задана в прямоугольной системе координат уравнениями
                                          (77)
а точка Р (х₀; у₀; z₀) — вершина конической поверхности (рис. 3.62). Чтобы составить уравнение конической поверхности, возьмем на поверхности произвольную точку М (х; у; z) и обозначим точку пересечения образующей РМ с направляющей L через N (Х; Y; Z).
Канонические уравнения образующих, проходящих через точки N и Р, имеют вид
 .                                                       (78)
Исключая Х, Y и Z из уравнений (77) и (78), получим искомое уравнение конической поверхности.

Примеры:
1. Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке О (0; 0; 0) и с направляющей L, заданной уравнениями
.

Пусть М (х; у; z) — произвольная точка конической поверхности, а N (Х; Y; Z) — точка пересечения образующей ОМ и линии L. Канонические уравнения образующей ОМ имеют вид
. Поскольку Z = с,  тo   , . Подставляя эти значения Х и Y в первое из уравнений направляющей ​​L, получим искомое уравнение:

При а = b направляющей L является окружность Х² + Y² = а², Z = с, а уравнение конической поверхности имеет вид

Эта поверхность называется прямым круговым конусом (рис. 3.63).

2. Уравнение конической поверхности, вершиной которой является точка О (0; 0; 0), а направляющей — эллипс (рис. 3.64)

имеет вид     

Сфера

Сферой называют множество всех точек пространства, равноудаленных от заданной точки, которая называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр сферы с ее произвольной точкой, называется радиусом сферы.
Возьмем в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Чтобы составить уравнение сферы с центром в точке О₁ (а; b; с) и радиусом R (рис. 3.65), возьмем в пространстве произвольную точку М (х; у; z).
Точка принадлежит сфере тогда и только тогда, когда O₁М = R или    Это и есть уравнение сферы. Для удобства его записывают в таком виде:
                                                           (79)


В частности, если центр сферы совпадает с началом координат, то есть а = b =с =0, то уравнение такой сферы имеет вид
х² + у² + z² = R².
Если в уравнении (79) раскроем скобки, то получим общее уравнение сферы
х² + у² + z² + Ах + Ву + Cz + D = 0,                                                              (80)
где А = –2а, В = –2b, С = –2с, D = а² + b² + с² – R².
Это уравнение имеет такие свойства.

• 1°. Уравнение (80) является уравнением второй степени относительно х, у и z, итак, сфера — поверхность второго порядка.
• 2°. Коэффициенты при x², у², z² равны между собой.
• 3°. В уравнении отсутствуют члены с произведениями ху, xz, yz.

Однако не всякое уравнение вида (80), которое соответствует условиям и 1°–3°,
изображает сферу.

Примеры:

1. Найти центр и радиус сферы, заданной уравнением
х² + у² + z² + 2х + 4у – 6z – 11 = 0.

Выделяя полные квадраты по х, у и z, запишем заданное уравнение в виде
(х + 1)² + (у + 2)² + (z – 3)² = 25. Следовательно, точка О₁(–1; –2; 3) — центр сферы
и R = 5 — ее радиус.

2. Уравнение х² + у² + z² + 2x + 4y – 6z + 15 = О₁ или (х + 1)² + (у + 2)² + (z – 3)² = –1 не определяет никакого геометрического объекта.

Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

                                                   (81)

Уравнение (81) называется каноническим уравнением эллипсоида. Исследование формы эллипсоида проведем методом параллельных сечений. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Оху. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением
z = h, где h — произвольное действительное число, а линия, которая образуется в сечении, определяется уравнениями
                                                      (82)
Исследуем уравнения (82) при различных значениях h.

1. Если и   то    и уравнения (82) никакой линии не определяют, то есть точек пересечения плоскости z = h  с эллипсоидом не существует.

2. Если h = ± с, то    и линия (82) вырождается в точки (0; 0; с)  и    (0; 0; –с), то есть плоскости z = с  и  z = –с  касаются эллипсоида.

3. Если   то   где , 
то есть плоскость z = h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями а₁ и b₁. При уменьшении h значения а₁ и b₁  увеличиваются и достигают своих наибольших значений при h = 0, то есть в сечении эллипсоида плоскостью Оху  получим наибольший эллипс с полуосями а₁ = а,  b₁ = b.

Аналогичные результаты получим, если будем рассматривать сечения эллипсоида плоскостями х = h и у = h.
Таким образом, рассмотренные сечения дают возможность изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 3.66). Величины а, b, с называются полуосями эллипсоида. Если любые две полуоси равны между собой, то трехосный эллипсоид преобразуется в эллипсоид вращения, а если все три полуоси равны между собой — в сферу.

Пример №80

Найти центр и полуоси эллипсоида, заданного уравнением
Зх² + 4у² + 6z² – 6х + 16у – 36z + 49 = 0.

Выделяя полные квадраты относительно х, у, z, получим
3 (х – 1)² + 4 (у + 2)² + 6 (z – 3)² = 36
или .
Следовательно, данный эллипсоид имеет полуоси:  его
центр находится в точке О (1; –2; 3).

Однополостный гиперболоид

Однополостным гиперболоидом называется  поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
.                                                                        (83)
Уравнение (83) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.
Исследуют уравнения (83), как и в предыдущем пункте, методом параллельных сечений.

 

Пересекая однополостной гиперболоид плоскостями, параллельными плоскости Оху, получим в сечении эллипсы. Если поверхность (83) пересекать плоскостями х = h или у = h, то в сечении получим гиперболы.
Детальный анализ этих сечений показывает, что однополостной гиперболоид имеет форму бесконечной трубки, которая неограниченно расширяется в обе стороны от наименьшего эллипса, по которому однополостной гиперболоид пересекает плоскость Оху (рис. 3.67).

Пример №81

Найти линию пересечения однополостного гиперболоида 1
плоскостями:  а) Oxz;     б) Оху;         в) х = 4.
а) Линией пересечения плоскости Oxz с данным гиперболоидом является гипербола
  или
б) Линией пересечения плоскости Оху с данным гиперболоидом является эллипс:
   или 
в) Линия пересечения плоскости х = 4 с данным гиперболоидом является гиперболой:
   или 

Двуполостные гиперболоид

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
                                        (84)
Уравнение (84) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Метод параллельных сечений позволяет изобразить двуполостной гиперболоид как поверхность, состоящую из двух отдельных полостей (отсюда название двуполостной), каждая из которых пересекает ось Oz и имеет форму выпуклой бесконечной чаши (рис. 3.68).

Пример №82

Составить уравнение поверхности вращения, созданной вращением гиперболы ,  z = 0  вокруг оси абсцисс, и определить вид поверхности.

Подставив в уравнение гиперболы вместо у выражение , имеем
 ,  или  .
Это уравнение двуполостного гиперболоида, который пересекает ось Ох в точках (2; 0; 0) и (–2; 0; 0) (рис. 3.69).

Эллиптический параболоид

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
                                                                       (85)
которое является каноническим уравнением эллиптического параболоида. Он имеет форму бесконечной выпуклой чаши (рис. 3.70). Линиями параллельных сечений эллиптического параболоида являются параболы или эллипсы.

Пример №83

Найти точки пересечения эллиптического параболоида

с прямой   

Запишем параметрические уравнения данной прямой:
х = 2t + 2,  у = –t – 1,   z = 4t + 10.
Подставим выражения для х, у, z в уравнение параболоида и найдем те значения параметра, которые соответствуют точкам пересечения:
 ;    .
Подставляя найденные значения параметра в параметрические уравнения прямой, найдем точки пересечения: М₁ (–2; 1; 2) и М2 (6; –3; 18).

Гиперболический параболоид

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
                                                                     (86)
являющимся каноническим уравнением гиперболического параболоида. Эта поверхность имеет форму седла (рис. 3.71).
Линиями параллельных сечений гиперболического параболоида являются гиперболы или параболы.

Линейчатые поверхности

Поверхности, образующие которых прямые линии, называются линейчатыми.
Такими поверхностями являются цилиндрические и конические поверхности. Рассмотрим уравнения однополостного гиперболоида (83) и запишем его в виде
                                (87)
Составим систему уравнений: 
                                                                      (88)
где k — произвольный, отличный от нуля, параметр.

При определенном значении параметра k каждое из уравнений системы (88)
определяет плоскость, а каждая из систем определяет прямую линию как пересечение плоскостей.
Если перемножить уравнения (88) почленно, то получим уравнение (87). Поэтому произвольная точка (х, у; z), удовлетворяющая систему (88), лежит на поверхности (87). Это означает, что каждая из прямых (88) полностью лежит на поверхности однополосного гиперболоида (рис. 3.72).
Итак, однополостной гиперболоид — линейчатая поверхность. Это же касается и гиперболического параболоида (86).
Отметим, что однополостные гиперболоиды применяются в строительстве. Сооружения различных высотных башен с использованием прямолинейных образующих однополостного гиперболоида соединяет в себе прочность конструкции и простоту ее исполнения. Идея использования однополостного гиперболоида в строительстве принадлежит русскому ученому В. Г. Шухову. По проекту Шухова построена телевизионная башня на Шаболовке в Москве. Она состоит из секций однополостных гиперболоидов вращения.

Пример №84

Найти те прямолинейные образующие гиперболического параболы  , которые проходят через точку А .

Запишем заданное уравнение в виде .
Составим систему уравнений  Подставив координаты точки А в первое уравнение системы, найдем .

 

Следовательно, прямая
  или   
является одной из тех образующих заданного параболоида, которая проходит через точку А. Вторую образующую находим аналогично из системы

Вступление в математический анализ

Математический анализ — это совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций методами бесконечно малых. Основы
даны в работах И. Ньютона, Г. Лейбница, Л. Эйлера и других математиков 17-18 в.в. Обоснование математического анализа с помощью понятия границы принадлежит О. Л. Коши.
Курс математического анализа содержит следующие разделы: вступление в анализ, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление и теория рядов.
В 19 – 20 в.в. методами математического анализа начали изучать более сложные
математические объекты, чем функции. Это привело к созданию функционального анализа и многих других математических дисциплин.

Действительные числа

Действительные числа — это числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной, периодической или непериодической десятичной дроби.

Множества. Логические символы

Понятие множества является одним из фундаментальных в математике. Оно
принадлежит к понятиям, которым нельзя дать строгое определение, то есть к
так называемым первичным, которые нельзя выразить через более простые понятия. Интуитивно множество понимают как совокупность (семейство, набор, собрание) некоторых объектов, объединенных по определенному признаку или свойству.
Примерами множеств может быть множество деталей, из которых состоит
данный механизм, множество школ данного города, множество звезд
определенного созвездия, множество решений данного уравнения, множество всех целых чисел и тому подобное.
Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, а их элементы — маленькими. Если элемент х принадлежит множеству Х, то пишут ; запись или означает, что элемент х не принадлежит множеству Х.
Множество считается заданным, если известна характеристика его элементов, когда о каждом элементе можно сказать, принадлежит он этому множеству или нет. Так, множеству целых чисел принадлежит число 7, но не принадлежит число 0,7.
Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. Запись   означает, что множество А конечно и содержит m элементов. Множество , содержащее бесконечное количество элементов, называется бесконечным. Так, множество слушателей в данной аудитории — конечно, а множество треугольников, которые можно вписать в данный круг, – бесконечно.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом . Примером пустого множества является множество действительных корней уравнения х² + 1 = 0. Пусть задано два множества А и В. Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то множество А называют подмножеством множества В и пишут  или («А содержится в В » или «В содержит А»). Например, множество натуральных чисел является подмножеством целых чисел. Очевидно, что каждое множество является своим подмножеством и пустое множество является подмножеством любого множества. Если множества А и В содержат одни и те же элементы, то есть   и , то их называют равными и пишут А = В.

Определим некоторые операции, которые можно выполнять над множествами.
Множество С, содержащее элементы, каждый из которых принадлежит множеству А или множеству В, называют объединением (суммой) множеств А, В
и обозначают С = А U В (рис. 4.1, а). Итак,      или  .
Множество D, состоящее из элементов, каждый из которых одновременно принадлежит множествам А и В, называют пересечением (произведением) множеств А и В и обозначают (рис. 4.1, б). Итак,
и   .
Множество Е, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит
множеству А и не принадлежит множеству В, называют частным множеств
А и В и обозначают . (рис. 4.1, в). Итак,    и
.
Например, если

то

Пусть Р (х) — некоторое свойство числа х, тогда запись  означает множество всех чисел х, для которых выполняется свойство Р (х). Например,

Множество действительных чисел

В курсе высшей математики часто используют множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Назовем некоторые из них:

1. множество натуральных чисел N = {l; 2; ...; n; ...};
2. множество целых неотрицательных чисел Z₀ = {0; 1; 2; ...; n; ...};
3. множество целых чисел Z = {0; ± 1, ± 2 ...; ±n ...};
4. множество рациональных чисел ;
5. множество действительных чисел  , где  — цифры десятичной системы счисления.

Между этими множествами существует связь:
 .
Множество действительных чисел содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число является или целым числом, или конечной или периодичной десятичной дробью. Иррациональное число — это бесконечная непериодичная десятичная дробь. Так,   —
рациональные числа;   — иррациональные
числа.
Не вдаваясь в теорию действительных чисел [11], отметим, что на множестве действительных чисел всегда выполняются операции сложения, вычитания,
умножения и деления (кроме деления на 0). Корень нечетной степени из любого действительного числа имеет одно действительное значение. Корень четной степени из положительного числа имеет два значения, которые отличаются
только знаком. Корень четной степени из отрицательного числа на множестве
действительных чисел смысла не имеет.
Действительные числа изображают точками  на координатной
оси или числовой прямой.
Таким образом, между множеством действительных чисел R и множеством всех
точек прямой можно установить взаимно однозначное соответствие. Это означает, что каждому числу соответствует определенная точка прямой
и, наоборот, каждой точке прямой соответствует определенное число.

Числовые промежутки. Окрестность точки

Пусть а и b — действительные числа, причем а < b. Рассмотрим числовые
множества:

Все эти множества называются числовыми промежутками, причем [a; b]  — отрезок (сегмент) (а; b),  — интервалы, (а; b], [а; b), — полуинтервалы.
Промежутки [а; b], (а; b), (а; b], [а; b) называются конечными и обозначаются общим символом ; точки а и b называют соответственно левым и правым концами этих промежутков.
Последние из приведенных промежутков называются бесконечными. Символы
  и    в этих промежутках не следует рассматривать как числа; это
символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от ее начала влево и вправо. Арифметические операции над символами   и   недопустимы. Считают, что любое действительное
число х больше, чем  , и меньше, чем  : < х  < .
Введем интервалы, называемые окрестностями точки. Пусть х₀ — произвольное действительное число. Окрестностью точки х₀ называют любой интервал
, содержащий эту точку, то есть  . Так, окрестностями точки
х₀ = 1 является интервалы (–0,5; 1,5), (0; 2) и т. д.
Интервью  где , называют -окрестностью точки х₀, причем точку х₀ называют центром, а число — радиусом окрестности.
Эту окрестность называют достаточно малой, если число достаточно мало.

Модуль (абсолютная величина) действительного числа

Модулем действительного числа х называют число , определяемое
по формуле

Так,

Геометрически число определяет расстояние от начала отсчета 0 до точки, соответствующей числу х на числовой оси.
Рассмотрим арифметическое значение корня  , где а — произвольное
действительное число. Очевидно, что

Итак, .

Сформулируем свойства модуля действительного числа:

1. Равны между собой числа имеют равные между собой модули:
2. Модуль числа есть число неотрицательное:
3. Число не больше своего модуля: 
4. Противоположные числа имеют равные между собой модули:.
5. Модуль суммы двух чисел не больше суммы их модулей:
6. Модуль разности двух чисел не меньше разницы их модулей: 
7. Модуль произведения двух чисел равен произведению их модулей: 
8. Модуль частного  равняется частному модулей делимого и делителя:
9. Если а > О, то неравенства   и  равносильны: 
10. Для произвольного числа а > 0  неравенства  и    или
      или  

 равносильные:

Пользуясь понятием модуля, некоторые из приведенных выше промежутков можно записать в виде


В частности, -окрестность точки х₀ записывается в виде
;  это окрестность с выколотой
точкой х₀ записывается так:
.

Пример №85

Решить неравенства: а) ;         б) .
а) По свойству 9° имеем:
–5 < 2х – 3 < 5, или –2 < 2х < 8, или –1 < х < 4.
Следовательно, данное неравенство выполняется для значений х, принадлежащих интервалу (–1; 4).
б) Поскольку ,  то    и по свойству 10° имеем
х – 2 С или  х – 2 –3   или х  –1. Таким образом, данное неравенство
справедливо для всех х значений  .

Функция

Функция — в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Постоянные и переменные величины

Величина — одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики менялся и обобщался. Это понятие настолько широкое и всеобъемлющее, что его трудно определить. Масса, сила, давление, напряжение, длина, объем, действительное число, вектор — все это примеры величин. На первой стадии под величиной понимали то, что, выражаясь в определенных единицах (например, длина в метрах, масса — в граммах и т. д.), характеризуется своим числовым значением.
Впоследствии величинами стали и такие понятия, как число, вектор и другие.
Величины в некотором процессе могут принимать различные или одинаковые
числовые значения. В первом случае величина называется переменной, во втором — постоянной.

Примеры:

1. Отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная для всех окружностей и равна числу .
2. Величина х, которая удовлетворяет условию , является переменной величиной.
3. Если в разных местах и ​​на разных глубинах озера измерять одновременно давление воды и ее плотность, то окажется, что давление — переменная величина, а плотность можно считать величиной постоянной.

В первых двух случаях постоянная и переменная величины определяются точно. В третьем случае плотность воды, хоть и незначительно, но меняется, поэтому она постоянна только с определенной точностью. Во многих реальных явлениях можно указать величины, которые только условно будут постоянными.

Предметом высшей математики является изучение переменных величин. Постоянная величина считается частным случаем переменной: постоянная — это такая переменная, все значения которой равны между собой.
Если величина приобретает свои значения дискретно (прерывно), то ее называют последовательностью (п. 3. 1). Если же переменная величина приобретает непрерывные значения, то ее просто называют переменной.

Понятие функции

Изучая те или иные явления, мы, как правило, оперируем несколькими величинами, которые связаны между собой так, что изменение некоторых из них приводит к изменению других.
Такая взаимосвязь в математике выражается с помощью функции. Этот термин впервые ввел Г. Лейбниц.

Примеры:

1. Пусть электрическая цепь состоит из источника постоянного напряжения U и реостата R. При изменении сопротивления R меняться сила тока. Напряжение U — величина постоянная (в данной цепи), а сопротивление R и ток I — переменные, причем I меняется в зависимости от изменения R по закону Ома:  , то есть сила тока I является функцией сопротивления R.

2. Во время свободного падения тела пройденный путь S зависит от изменения времени t. Связь между переменными величинами S и t задается формулой
,
где g — ускорение свободного падения (постоянная величина). Величина S зависит от изменения величины t, то есть путь S является функцией времени t.

3. Согласно закону Бойля–Мариотта объем газа V и давление Р при постоянной температуре связаны формулой PV = с, где с — некоторая постоянная. Отсюда
 ,
то есть переменная величина V изменяется в зависимости от изменения Р, поэтому объем V является функция давления Р.

4. Длина l окружности диаметра d определяется по формуле l = d, где  — постоянная величина. Переменная l зависит от переменной величины d, то есть длина окружности l является функцией диаметра d.

Общим в этих примерах является то, что связь между переменными величинами описывается определенным правилом (зависимостью, законом, соответствием) так, что каждому значению одной величины (R, Р, t, d) соответствует единственное значение второй (I , V, S, l ).
Дадим теперь определение функции. Если каждому числу х из некоторого
числового множества Х по определенному правилу поставлено в соответствие
единственное число у, то говорят, что у есть функция от х, и пишут у = f (x),
. Это определение принадлежит Н. И. Лобачевскому и Л. Дирихле.
Переменная х называется независимой переменной, или аргументом, а переменная у — зависимой переменной, или функцией; под символом f  понимают то правило, по которому каждому х соответствует у, или те операции,
которые надо выполнить над аргументом, чтобы получить соответствующее значение функции.
Множество Х называется областью определения функции. МножествоY всех чисел у, таких, что у = f (x) для каждого называется множество значений функции, то есть

 .

Иногда в определении функции предполагают, что одному значению аргумента
соответствует не одно, а несколько значений у или даже бесконечное множество значений у. В этом случае функцию называют многозначной, в отличие от указанной выше однозначной функции. Примерами многозначных функций .  В дальнейшем мы будем рассматривать только однозначные функции.
В более широком смысле понятие функции употребляется как синоним понятия отображения множества на множество.
Пусть заданы два непустых множества Х и Y с элементами  и  и пусть преобразование f  переводить х в у. Тогда это преобразование f (правило, закон, соответствие, отображение, зависимость) называют функцией и пишут
или   
(Х и Y  — множества некоторых элементов, не обязательно числовые).
В этом случае, как и в случае числовых множеств Х и Y , эти множества называют областью определения и множеством значений функции. В зависимости от природы множества Х и Y, для функции f употребляют разные
названия. Так, если Х и Y — множества действительных чисел, то говорят, что
f — действительная функция действительного аргумента; если Х — множество комплексных чисел а Y — множество действительных чисел, то f  —действительная функция комплексного аргумента; если Х — множество функций,
а Y — числовое множество, то f называется функционалом.
Сравнивая определение функции, видим, что в первом из них под функцией у = =f(x) понимают ее значение — число у. По второму определению функция — это закон или правило f, по которому каждому элемента ставится в соответствие единственный элемент . Таким образом, по первому определению понятие функции сводится к понятию переменной величины, а по второму — к понятию соответствия. Иногда понятие функции выражается и через другие понятия (например, множество). В дальнейшем будем пользоваться первым определением функции.
В курсе математического анализа рассматривают функции, для которых область определения X и множество значений Y состоят из действительных чисел. Поэтому под понятием «число», если не оговорено, будем понимать действительное число.
Из определения функции не следует, что разным значениям аргумента
соответствуют разные значения функции. Функция может во всей области
определение приобретать несколько или даже одно значение. В частности, если множество значений функции состоит лишь из одного числа с, то такую ​​функцию называют постоянной и пишут у = с.

Способы задания функции

Чтобы задать функцию у = f (x), надо указать ее область определения Х, множество значений Y и правило f, по которому для произвольного числа
можно найти соответствующее ему число .

Основные способы задания функции: аналитический, графический и табличный.
При аналитическом способе задания функции соответствие между аргументом
и функцией задается формулой (аналитическим выражением), где указано, какие действия нужно выполнить над значением аргумента и постоянными числами, чтобы получить соответствующее значение функции. Если при этом область определения не указывается, то под последней понимают область существования функции — множество всех действительных значений аргумента, для которых аналитическое выражение имеет смысл.

Замечание. Не следует отождествлять функцию и формулу, с помощью которой эта функция задана. Одной и той же формулой можно задавать различные функции, и наоборот, одна и та же функция на разных участках ее области определения может задаваться различными формулами. Так, функции у = х³,   и  у = х³,   — различные, потому что они имеют различные области определения; функция

определена на промежутке  , но для неположительных и положительных значений аргумента ее задано различными формулами.

Пример №86

Найти области определения функции:
а) ;  б)  ;  в) ;
г) ;    д) у = n!.

а) ;
б) ;
в)
г) ;
д) формула у = n! ставит в соответствие каждому натуральному числу n число у = n!. Например, если n = 3, то у = 3! = 1 · 2 · 3 = 6, если n = 5, то у = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 Итак, Х = Z₀ (считают, что 0! = 1).

Эти примеры показывают, что областью существования функции могут быть весьма разнообразные множества: отрезок, несколько или даже бесконечное
количество отрезков, дискретное множество точек и тому подобное.
Отметим, что задача нахождения множества Y значений аналитически
заданной функции намного сложнее и связана с задачей об экстремумах функции.

При графическом способе задания функции у = f (х) соответствие между переменными х и у задается графиком — множеством точек (х; у) плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют равенство у = f (х). В зависимости от того, какую задано функцию, ее график может состоять из одной сплошной линии, нескольких линий, дискретного множества точек плоскости и тому подобное.
Графическим способом задания функции широко пользуются при исследованиях, связанных с использованием таких самопишущих приборов, как барограф (для записи изменений атмосферного давления), осциллограф (для записи изменений электрического тока или напряжения), электрокардиограф (для записи электрических явлений, связанных с деятельностью сердца), термограф (для записи изменений температуры воздуха) и др. Кривые (их
называют соответственно барограмма, осциллограмма, электрокардиограмма,
термограмма),  выписываемые приборами, задают вполне определенную функцию, свойства которой характеризуют ход того или иного процесса.

Графики функций можно наблюдать на дисплеях компьютеров. В математике графиками широко пользуются для геометрического изображения функций, даже тогда, когда эти функции заданы аналитически. Если функция у = f (x) задана на некотором множестве Х формулой, то всегда можно считать, что ей соответствует определенный график, который определяет эту функцию геометрически. А если функция задана произвольным графику, то можно ли задать ее некоторой формулой? Это очень сложный вопрос. Чтобы ответить на него, нужно выяснить, какой смысл имеет понятие формулы. Если функция у = f(x) задана формулой, то пока считаем, что функция у образовывается с помощью конечного числа таких операций над х, как сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корня, логарифмирование, взятие sin, arcsin и тому подобное. Математический анализ позволяет значительно расширить понятие формулы. В частности, формулой считается также и бесконечный ряд, членами
которого являются те или иные функции, то есть допускается бесконечное число операций над этими функциями. С помощью таких формул большинство кривых, встречающихся на практике, можно задать аналитически.

Примеры:

1. Графиком функции у = 2n – 3,   есть бесконечное множество изолированных точек (рис. 4.2), которые лежат на прямой у = 2х – 3.

2. Графиком функции есть совокупность биссектрис первого и второго координатных углов (рис. 4.3).

3. Графиком функции

заданной различными аналитическими выражениями на разных частях области изменения х, является совокупность параболы и прямой (рис. 4.4). Стрелка на графике означает, что точка М (2; 2) не принадлежит прямой.

4. Функция

(читается «сиrнум икс») определена на всей числовой оси и приобретает три значения: –1; 0; 1; Х =, Y = {–1, 0; 1). График этой функции изображен на
рис. 4.5.

5. Функция (рис. 4.6) определена при    и приобретает два значения:
–1; 1;  .

Заметим, что в прямоугольной системе координат Оху (рис. 4. 7) функцию задает только такая кривая l₂, которую каждая прямая, проходящая через точку параллельно оси Оу, пересекает только в одной точке. Область определения этой функции — отрезок [а; b], который является проекцией кривой на ось Ох. Чтобы найти значение функции у₀ = f (x₀) , соответствующую значению аргумента x₀, нужно через точку [а; b] провести перпендикуляр к оси Ох. Длина этого перпендикуляра от оси Ох к точке М₀ (x₀; у₀) пересечения с кривой, взятая с надлежащим знаком, и является значением функции в точке x₀, то есть у₀ = f (x₀). Кривая l₁ не задает функцию.

Табличный способ задания функции у = f (x) состоит в том, что соответствие между переменными х и у задается в виде таблицы.
Табличный способ достаточно часто используется при проведении экспериментов, когда задают определенную совокупность х₁, х₂, ..., х_n значений аргумента и опытным путем находят соответствующие значения функции:
у₁, у₂, ..., у_n .

Если функция задана аналитически, то для нее можно построить таблицу, то есть табулировать функцию. Табулируются, как правило, функции, которые выражаются сложной формулой, но часто встречаются в практике. Таковы, например, таблицы логарифмов, тригонометрические таблицы и т. д. И здесь, как и при графическом задании функции, возникает обратный вопрос: всегда ли можно от табличного задания функции перейти к аналитическому, то есть можно ли функцию, заданную таблицей, задать формулой? Чтобы ответить на него, заметим, что таблица дает не все значения функции. Промежуточные ее значения, которые не входят в заданную таблицу, можно найти приближенно с помощью так называемой операции интерполяции функции. Поэтому в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по ее таблице невозможно. Однако можно построить формулу, причем не одну, которая для значений х_i, присутствующих в таблице, будет давать соответствующие значения у_i функции. Такие формулы называются интерполяционными.

В последнее время табличный способ широко применяется в связи с использованием электронно-вычислительных машин (ЭВМ), потому что исходную информацию ЭВМ выдает в виде числовых массивов (таблиц). В связи с этим все больше распространяется и становится одним из основных четвертый способ задания функции — с помощью компьютерных программ. Как правило, этим способом задаются такие функции, которые являются решениями сложных математических задач. Ни одним из предыдущих способов подобные функции задать нельзя.
Кроме рассмотренных существуют и другие способы задания функции. Так,
функцию можно задать словесным описанием зависимости между переменными.

Примеры:

1. Функцию у задано условием: каждому действительному числу х ставится в соответствие наибольшее целое число, не превышающее х (рис. 4.8). Эта функция, определенная на множестве действительных чисел, называется целой частью х и обозначается у = [х] или у = Е (х) (Е — первая буква французского слова entier — целый). Например, [0, 2] = 0, [–2, 5] = –3, [5] = 5 и т. д.
2. Каждому рациональному числу ставится в соответствие число 1, а иррациональному — число 0. Эта функция тоже определена на множестве R. Она обозначается через D (х) и называется функцией Дирихле: 

График функции D (x) практически изобразить нельзя, потому что он состоит из точек прямой у = 1, имеющих абсциссами рациональные числа, и из точек прямой у = 0, в которых абсциссы — иррациональные числа.

Классификация элементарных функций

Основными элементарными функциями называются следующие:

1. Степенная функция  Область определения и графики этой функции зависят от значения (рис. 4.9, а–е).
2. Показательная функция  (рис. 4. 10).
3. Логарифмическая функция (рис. 4.11).
4. Тригонометрические функции: у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х (рис. 4.12, а–г).
5. Обратные тригонометрические функции: у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х (рис. 4.13, а-г).

Графики основных элементарных функций надо помнить. Преобразовывая их, можно получить графики многих других функций. Пусть график функции y = f (x) известен, рассмотрим некоторые преобразования этого графика.

1. График функции у = f (x) + b получим из графика функции у = f (x) параллельным переносом последнего вдоль оси Оу на величину, равную b (рис. 4.14).
2. График функции у = f (х + а) получаем из графика функции у = f (x) параллельным переносом последнего вдоль оси Ох на величину, равную а (рис. 4.15).
3. График функции у = cf (x),   (рис. 4.16) получаем из графика функции у = f(x) при 0 < с < 1 с помощью сжатия в раз ординат последнего, а при с > 1 с помощью растягивания в с раз его ординат с сохранением соответствующих абсцисс. Если < с < 0, то график у = cf (x) является зеркальным отражением графика у = –cf (x) относительно оси Ох (согласно случаев –1 < с < 0 и с < –1).

4. График функции    получаем из графика функции у = f (x) при О < k < 1 увеличением в    раз абсцисс его точек, а при 1 < k <   уменьшением в k раз абсцисс его точек с сохранением их ординат (рис. 4.17).
Если < k < 0, то график у = f (kx) является зеркальным отражением графика f (–kx) относительно оси Оу.

Введем арифметические операции над функциями. Пусть функция у = f (x) определена на множестве А, а   — на множестве В, причем сечение этих множеств . Тогда на множестве С  можно определить сумму функций . Значение суммы в точке х = Х₀  — это число, равное сумме . Аналогично можно определить разницу , произведение и частное   этих функций (последнее при условии, что ).

Над функциями выполняют и так называемую операцию суперпозиции, или
наложения. Пусть функция у = f (u) определена на множестве А, а функция u =  — на множестве В, причем для каждого значения  соответствующее значение  . Тогда на множестве В  определена функция , которую называют составленной функцией от х, или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции.
Переменную   функции у = f (u)  называют промежуточным аргументом, или внутренней функцией, а переменную у = f (u) — внешней функцией.
Например, функция   является суперпозицией двух основных
элементарных функций — степенной и тригонометрической: у = 
.  Составленные функции можно создавать с помощью суперпозиции не только двух, но и большего количества функций.
Например, функцию  можно рассматривать как суперпозицию
трех функций:

Основные элементарные функции, а также функции, образованные с помощью
формул, в которых над основными элементарными функциями производится только конечное число арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и суперпозиций, называются элементарными.
Так, функция   есть элементарная функция,
а функции

не являются элементарными. Неэлементарными являются также функции n!, sign х, Е (х), D (х).

Элементарные функции делятся на следующие классы:

1) Функция вида , где
 — действительные числа — коэффициенты (), называется целой рациональной функцией, или многочленом (полиномом)
степени n. Многочлен первой степени называется также линейной функцией, а второй — квадратичной.

2) Функция, являющаяся отношением двух многочленов 

называется дробной рациональной функцией, или рациональной дробью.
Совокупность многочленов и рациональных дробей образует класс рациональных функций.

3) Функция, образованная с помощью конечного числа суперпозиций и арифметических операций над рациональными функциями и над степенными функциями с дробными показателями, и которая не является рациональной,
называется иррациональной функцией.
Например, функции  ;    — иррациональные.

4) Элементарная функция, которая не является рациональной или иррациональной, называется трансцендентной функцией. Это, например, функции   и другие.

Ограниченные функции

Функцию f (x), определенную на множестве А, называют ограниченной на этом множестве, когда существует такое число М > 0, что для всех  выполняется
неравенство .  Таким образом, значения ограниченной функции не выходят за пределы отрезка [–М; М]. Поэтому ее график лежит между прямыми у= –М и у = М (рис. 4.18). Например, функции у = sin х   и   у = cos х ограничены на всей числовой оси, так как  .
Если для функций f (x) или ,  определенных на множестве А, существует
такое число N, выполняется неравенство   или  N, то функцию f(x) называют ограниченной сверху, а   — ограниченной снизу. Например, функция на интервале   ограничена снизу прямой у = 0, но не ограничена сверху; функция (рис. 4.19) ограничена сверху прямой у = 1, но не ограничена снизу; функция   — неограниченная.
Рассматривая ограниченность функции f (x), мы тем самым характеризуем
множество значений этой функции.

Монотонная функция

Пусть функция f (x) определена на множестве А. Если для двух произвольных различных значений х₁ и х₂ аргумента, взятых из множества А, из неравенства х₁ < х₂ следует, что:

• а) ,  то функция называется возрастающей;
• б) , то функция называется неубывающей;
• в) , то функция называется убывающей;
• г) , то функция называется невозрастающей.

Например, функция (рис. 4.10) является возрастающей при а > 1 и убывающей при 0 < а < 1 в интервале (;  ) функция у = –х² + 4х – 3 (рис. 4.19) является возрастающей на интервале ( ;  2) и убывающей на интервале (2; ) функция Е (х) (рис. 4.8) — неубывающая.
Растущие, невозрастающая, нисходящие и неубывающей функции на множестве
А называются монотонными на этом множестве, а растущие и нисходящие —строго монотонными.
Пусть функция не является монотонной во всей своей области определения, но эту область можно разбить на некоторое (конечное или бесконечное) число промежутков, которые не пересекаются, и на каждом из которых функция
монотонна. Такие промежутки называются промежутками монотонности
функции.
Так, функция у = х² не является монотонной на всей числовой оси, но имеет два промежутка монотонности: (; 0) и (0; );  на первом из них функция убывает, а на втором — растет.
Функции у = sin х и у = cos х имеют бесконечное количество промежутков
монотонности.

Четные и нечетные функции

Пусть функция f (x) определена на множестве А точек оси Ох, размещенных
симметрично относительно точки х = 0, то есть если , то и . 
Функцию f (x) называют четной, если f (—х) = f (x), , и нечетной, если f (–х) = –f (x),  .

Примеры:

1. Функция    не является четной и не является нечетной, поскольку ее область определения не симметрична относительно точки х = 0: в точке х = 2 функция определена, а в точке х = –2 — не определена.

2. Функция   имеет область определения (; 0) U (0; ), симметричную относительно точки х = 0, но не является ни четной, ни нечетной, поскольку
 
.

3. Область определения функции   симметрична относительно точки , и эта функция четная, поскольку
.

4. Функции у = sin х, у = tg х, у = ctg х — нечетные, а у = cos х — четная.
График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной —относительно начала координат. Кроме того, если четная или нечетная функция имеет определенное свойство для положительных значений х, то можно определить соответствующее свойство для отрицательных значений х. Например, если для х > 0 парная функция возрастает, то для х < 0 эта функция убывает.

Периодические функции

Функция f (x), определенная на всей числовой прямой, называется периодической, если существует такое число Т, f (x + T) = f (х). Число Т называется периодом функции. Если Т — период функции, то ее периодами также являются числа kT, где k равняется  ± 1, 2, .... Наименьшим из положительных периодов функции, если такой существует, называется основным периодом функции. 
Мы определили периодическую функцию, заданную на всей числовой прямой.
Более общим является следующее определение.
Функция f (x), определенная на множестве Х, называется периодической на этом множестве, если существует такое число ,  что  и 
.
Из определения следует, что для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно построить ее график на произвольном промежутке длины Т, а потом продолжить этот график на всю область определения, повторяя его через каждый промежуток длины Т.

Пpuмеры:

1. Основным периодом  функций у = sin х,  у = cos х есть число Т = .
2. Функции у = tg х  и  у = ctg х  имеют основной период Т = .
3. Периодом функции у = С (С — постоянная) является произвольное, отличное от нуля число; эта функция не имеет основного периода.
4. Найти период функции у = sin (ах + b),   .

Если эта функция периодическая, то существует такое число  , что
sin (ах + b) = sin (а (х + Т) + b),                  откуда:

Итак, основным периодом данной функции является число  .
Периодические функции играют важную роль для математического описания периодических явлений, наблюдаемых в природе. Характерной особенностью этих явлений является периодическое повторение их через определенные промежутки времени. Примерами могут быть движение маятника вокруг оси, движение небесных тел (планеты движутся по эллиптическим орбитам), работа
почти всех машин и механизмов связана с периодическим движением (движение поршней, шатунов и т. д.).

Неявно заданные функции

Если функция задана уравнением у = f (x), решенным относительно зависимой переменной у, говорится, что функция задана в явной форме или является явной.
Под неявным заданием функции понимают задания функции в виде уравнения F(x, y) = 0, не решенного относительно зависимой переменной.
Это уравнение задает функцию только тогда, когда множество упорядоченных
пар чисел (x, y), являющиеся решением данного уравнения, такое, что любому числу х₀ в этом множестве соответствует не более одной пары (х₀; у₀) с первым элементом х₀. Так, уравнение 2х + Зу — 1 = 0 задает функцию, а уравнение х² + y² = 4 не задает, потому что значению  соответствуют две пары чисел .
Произвольную явно заданную функцию у = f (x) можно записать как неявно
заданную уравнением f (x) – у = 0, но не наоборот. Например, функцию   явно записать нельзя, потому что это уравнение нельзя решить относительно у. Поэтому неявная форма записи функции более общая, чем очевидна. Неявно заданную функцию называют неявной.
Заметим, что термины «явная функция» и «неявная функция» характеризуют
не природу функции, а аналитический способ ее задания.

Обратные функции

Пусть задана функция у = f (x) с областью определения X и множеством значений Y. Функция f (x) каждому значению ставит в соответствие единственное значение (рис. 4.20). При этом может оказаться, что разным значениям аргумента х₁ и х₂ соответствует одно и то же значение функции у₁ (рис. 4.21).

Дополнительно требуем, чтобы функция f (x) различным значением х ставила в соответствие разные значения у. Тогда каждому значению  будет соответствовать единственно значение , то есть можно определить функцию  с областью определения Y  и множеством значений Х. Эта функция называется обратной функцией данной. Итак, функцией является обратной к функции у = f (х), если:

• 1) областью определения функции   является множество значений функции f;
• 2) множество значений функции   является областью определения функции f;
• 3) каждому значению переменной   соответствует единственное значение переменной .

Из этого следует, что каждая из двух функций у = f (х) и х = (у) может быть названа прямой или обратной, то есть эти функции взаимно обратные.
Чтобы найти функцию х = (у), обратную к функции y = f (x), достаточно решить уравнение f (x) = у  относительно переменной х (если это возможно). Поскольку каждая точка (х, у) кривой у = f (x) является одновременно точкой кривой х = (у), то графики взаимно обратных функций у = f (х) и х = (у) совпадают. Если же дополнительно потребовать, чтобы, как обычно, независимая переменная обозначалась через х, а зависимая — через у, то вместо функции х = (у) получим функцию у = (х). Это означает, что каждая точка М₁ (х₀; у₀) кривой у = f (x) станет точкой М₂ (у₀; х₀) кривой у = (х). Поскольку в системе координат Оху точки М₁ и М₂ симметричны относительно прямой у = х, то графики взаимно обратных функций у = f (х) и у = (x) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 4.22).

Из определения обратной функции следует, что функция у = (x), ,   имеет обратную тогда и только тогда, когда эта функция задает взаимно однозначное соответствие между множествами Х и Y. Такое свойство имеют, в частности, растущие функции, поскольку для них , и нисходящие функции, так как для них  .  Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную функцию. При этом, если прямая функция строго возрастает (убывает), то обратная ей функция также строго возрастает (убывает). 

Отметим без доказательства, что когда функция у = f (x) возрастает (падает) и непрерывная на отрезке [а; b], то она имеет обратную функцию, которая растет (падает) и непрерывная на отрезке [f (а); f (b)] и ([f (b); f (а)])      [12].

Примеры:

1. Функция у = 2х – 1 имеет обратную функцию (рис. 4.23).

2. Функция у = х² на множестве  не имеет обратной, так как она не является монотонной; на множестве    она имеет обратную функцию  (рис. 4.24).

3. Функция    (рис. 4.10) имеет обратную функцию у =   (рис. 4.11).

4. Функция (рис. 4.12, а) не имеет обратной; функция у = sin х,
  имеет обратную функцию (рис. 4.13, а).

5. Функция у = cos х, (рис. 4.12, 6) имеет обратную функцию у = arccos х, ,   (рис. 4. 13, б).

6. Функция    (рис. 4.13, в) обратная функции у =
= (рис. 4.12, в).

7. Функция (рис. 4.13, г) обратная функции  ,
  (рис. 4.12, г).

Параметрически заданные функции

Пусть заданы две функции
                                                                (1)
одной независимой переменной t, определенные на одном и том же промежутке.
Если функциях строго монотонна, то согласно предыдущему пункту она имеет обратную функцию . Поэтому переменную у можно рассматривать как составную функцию от х: .
Задание функциональной зависимости между х и у в виде двух функций (1) называют параметрическим заданием функций. Вспомогательная переменная t при этом называется параметром. Всякая параметрически заданная функция (1) определяет на плоскости Оху некоторую кривую, однако не всякая параметрически заданная кривая определяет функцию.

Примеры:

1. Уравнение    определяют функцию, поскольку
переменная     строго монотонна. Заданные функции определяет полуокружность   размещенную в верхней полуплоскости, так как при  значение
2. Уравнения   определяют функцию, графиком которой является дуга астроиды, находящейся в первом координатном углу (рис. З.8).

Пределы

Предел — одно из основных понятий математического анализа, на него опираются такие фундаментальные разделы анализа, как непрерывность, производная, интеграл, бесконечные ряды и др. Различают предел последовательности и предел функции.

Числовая последовательность

С понятием числовой последовательности мы встречались во время изучения
школьного курса алгебры и геометрии. В частности, числовыми последовательностями являются арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, последовательность периметров и площадей правильных n-угольников, вписанных в окружность, последовательность площадей поверхностей и объемов правильных n-гранных призм, вписанных в цилиндр, и тому подобное.
Сформулируем определение числовой последовательности в общем виде: если каждому натуральному числу   по определенному правилу ставится в соответствие число x_n, то множество чисел называют числовой последовательностью (или коротко последовательностью) и обозначают символом {x_n}.
Отдельные числа х₁, х₂, ..., x_n, ... называют членами или элементами последовательности: х₁ — первый член последовательности, х₂ — второй и т. д.,
x_n — n-й, или общий член последовательности.
По определению последовательность содержит бесконечное количество членов,
причем любые два из них отличаются, по крайней мере, номерами. Итак, элементы x_n и x_m,  при ,  считаются разными, хотя как числа они могут быть равны между собой. Если все элементы последовательности {x_n} равны одному и тому же числу, то ее называют постоянной.
Геометрически последовательность изображается на числовой оси в виде последовательности точек, координаты которых равны соответствующим
членам последовательности. Можно изображать последовательность точками
координатной плоскости Оху, откладывая на оси Ох номера членов последовательности, а на оси Оу — соответствующие члены.

Последовательность считается заданной, если указан способ нахождения ее общего члена. Чаще всего последовательность задается формулой ее общего члена.
Очевидно, что всякая функция у = у_n, заданная на множестве натуральных чисел N, определяет некоторую числовую последовательность {у_n} с общим
членом у_n = у_n.

Числовые последовательности можно задавать и так называемым рекуррентным (от латинского recurrens — обратный) способом. Суть его заключается в том, что задают несколько членов последовательности и указывают правило, по которому можно найти следующий ее член. 
Иногда числовые последовательности задают словесным описанием. Отметим,
что в общем случае задача написания формулы общего члена последовательности не решается, то есть нельзя утверждать, что для произвольной последовательности можно найти формулу ее общего члена.

Пример №87

Написать первые пять членов последовательности, заданной общим членом:
а) ;   б) .

Подставляя в формулу n-го члена последовательно числа 1, 2, 3, 4, 5, получим:
а) ;
б). 

Пример №88

Записать первые пять членов последовательности {an.}, заданной рекуррентным соотношением ,  где n = 3, 4, ..., если а₁ = 1, а₂ = 2.
В соответствии с рекуррентной формулой, имеем:
 ,
следовательно,
.

Кстати:

Евклид доказал, что множество простых чисел
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...}
бесконечна, то есть простые числа образуют последовательность. Формула общего члена этой последовательности до сих пор не найдена, и даже неизвестно, существует ли такая формула.

Предел последовательности. Предел переменной величины. Объединение пределов

Пусть переменная x_n  пробегает значения последовательности {x_n}, то есть
дискретной переменной.
Число х₀ называется пределом последовательности {x_n}, если для произвольного
числа > 0 существует такой номер N = N (), что при всех n > N выполняется неравенство  .                                                                (2)

Если число х₀ является пределом последовательности {x_n}, то пишут
, или  
и говорят, что последовательность {x_n}, или переменная x_n имеет предел, который равен числу х₀ или стремится к х₀. Коротко определение предела можно
записать так:

Последовательность, имеющую предел х₀, называется сходящейся к х₀ (или
просто сходящейся). Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.
Рассмотрим геометрический смысл предела последовательности. Неравенство (2) равносильно неравенству
  или 
которые показывают, что элемент x_n находится в -окрестности точки х₀ (рис. 4.26). Поэтому определение предела геометрически можно сформулировать так: число х₀ называется пределом последовательности {x_n}, если для произвольной -окрестности точки х₀ существует такой номер N = N (), что все значения x_n, для которых n > N, попадают в эту окрестность. Вне этой окрестности может остаться разве что конечное число членов последовательности {x_n}.

Пример №89

Известно, что . Пусть = 0,01.
Сколько членов последовательности {x_n} лежит вне окрестности (2 – 0,01; 2 + 0,01) = (1,99;  2,01)?

Поскольку

то неравенство   выполняется при ,  откуда n > 10.
Итак, вне окрестности (1,99; 2,01) находятся только 10 членов данной последовательности.
Геометрически это означает, что все члены последовательности {x_n} при n > 10 находятся от точки 2 на расстоянии, меньшем 0,01. На рисунке это изобразить нельзя, потому что точки 1,99; 2,01 — концы окрестности, и бесконечное количество точек x_n, где n > 10, лежащие в этой окрестности, практически сливаются в одну точку. 

Пример №90

Доказать, что · .
Пусть  , тогда  .
Зададим произвольное число  > 0. Неравенство  выполняется, если
 , откуда  .  Обозначим через N наибольшее целое число,
которое не превышает  . Тогда при всех n > N имеем
.  Это означает, что  .

Пример №91

Доказать, что последовательность расходящаяся.
Заданная последовательность имеет вид
.
Она не имеет предела, потому что вне произвольной -окрестности (0 <  < 1) любой точки числовой оси содержится бесконечное количество членов данной последовательности.

Пример №92

Доказать, что последовательность, которая задана общим членом

не имеет предела.

Найдем несколько начальных членов последовательности и изобразим их схематично на числовой прямой (рис. 4.27). Для этой последовательности характерным является то, что при достаточно больших k значения x_2k с четными номерами сколь угодно мало отличаются от нуля, а значение x_2k+1 с нечетными номерами сколь угодно мало отличаются от единицы.
По определению, число х₀ будет пределом последовательности, если в любой -окрестности точки х₀ находится бесконечное, а за окрестностью — конечное множество ее членов. В данном случае в произвольной -окрестности (0 <  < 1) нуля содержится бесконечное множество членов последовательности с четными номерами, а за этой окрестностью находится бесконечное множество ее членов с нечетными номерами. Это значит, что число 0 не будет пределом заданной последовательности. Аналогично убеждаемся, что пределом не может быть и число 1. Итак, заданная последовательность расходящаяся. 

Пусть теперь переменная величина х приобретает все числовые значения некоторого конечного промежутка Х, то есть непрерывной переменной, и пусть точка или  .
Число х₀ называют пределом переменной х, если для произвольного числа
> 0 существует такое значение , начиная с которого для всех следующих
значений х выполняется неравенство и пишут
.
Геометрический смысл понятия предела переменной таков: число х₀ является пределом переменной х, если для произвольной -окрестности точки х₀ найдется такое значение , что все последующие значения переменной х попадают в эту окрестность.

Если сравнить определение предела последовательности и предела переменной,
то в определении предела последовательности говорится о номере n того члена последовательности {x_n}, начиная с которого выполняется неравенство
,  а в определении предела переменной х речь идет о
числовом значении переменной , то есть о том значении , начиная с которого все последующие значения переменной удовлетворяют неравенство .
Итак, пределом переменной величины х есть предел произвольной последовательности значений, приобретаемых этой переменной:
  или  ·

Как отмечалось, постоянную величину С можно рассматривать как переменную, все значение которой одинаковы: х = С
Предел постоянной величины равен этой постоянной, потому что
.
Из определения предела следует, что переменная не может иметь двух
пределов. Действительно, если бы обнаружилось, что   и  , то х  должно удовлетворять сразу двум неравенствам:
  и  
для сколь угодно малого , а это невозможно, если   (рис. 4.28).
Это свойство не надо понимать так, что всякая переменная обязательно имеет один предел. Примеры свидетельствуют, что это не так. Но если переменная имеет предел, то этот предел только один.

Бесконечно большие переменные величины

При определении предела х₀ переменной величины х считалось, что х изменяется на некотором конечном промежутке и х₀ — постоянное число.
Рассмотрим теперь переменную, которая приобретает все значения некоторого бесконечного промежутка Х.
Если для произвольного числа М > 0 существует такое значение , начиная с которого все последующие значения х удовлетворяют неравенство , то говорят, что переменная х  стремится к бесконечности, и пишут 
  или   .
Если переменная , то ее называют бесконечно большой переменной
величиной. Коротко определение бесконечно большой переменной величины
можно записать так:

Положительная и отрицательная бесконечно большие переменные величины соответственно определяются так:

Примеры:

1. Переменная {x_n} = n! = {1, 2, 6, 24, 120, ...} — бесконечно большая величина, которая стремится к плюс бесконечности:
2. Переменная {y_n} = {–n^З} = {–1, –8, –27, ...} является бесконечно большой величиной, направленной в минус бесконечность:
3. Переменная {z_n} = = {–1, 4, –9, ...} является бесконечно большой величиной, у которой неограниченно возрастает модуль, поэтому .
4. Переменная величина {t_n} = = {0, 2, 0, 4, 0, 6, ...} не является бесконечно большой величиной, так как для произвольного числа М не существует числа такого, чтобы при  выполнялось неравенство .

Обращаем внимание на то, что выражение «х стремится к бесконечности» может вызвать неправильное представление, будто х стремится к какому-то числу, в то время как на самом деле х никуда не идет, а только изменяется так, что перерастает в любое большое положительное число. То же нужно сказать в отношении выражений «пределом переменной х является бесконечность» и «бесконечно большая величина». Говоря о бесконечно большой величине, имеют в виду величину переменной, которая бесконечно растет, то есть суть бесконечно большой величины совсем не в ее величине или размерах, а в характере ее изменения.
Пользуясь определениями, можно показать, что сумма бесконечно большой величины и величины ограниченной есть величина бесконечно большая. Символически это записывают так: .
Суммой двух бесконечно больших величин одного знака является бесконечно большая величина: . 
В отличие от этого сумма двух бесконечно больших величин различных знаков не всегда будет бесконечно большой величиной, поэтому эта сумма называется неопределенностью вида .
Произведение двух бесконечно больших величин есть величина бесконечно
большая: .
Произведение бесконечно большой величины на величину, большую по абсолютному значению некоторого положительного числа, также бесконечно большая величина.
Частное двух бесконечно больших величин не всегда бесконечно большая величина, поэтому дробное выражение, числитель и знаменатель которого бесконечно большие переменные величины, называют неопределенностью вида вида ·
Таким образом, с выражениями  и  нельзя обращаться, как с числами, потому что это не числа, а только символы, которые характеризуют определенную переменную величину.

Предел функции в точке

Допустим, что независимая переменная х имеет предел х₀. Рассмотрим
изменение функции у = f (x) при  .
Пусть функция у = f (x) определена в некоторой окрестности Х точки х₀, кроме, возможно, самой точки х₀.
Число А называют пределом функции у = f (x) в точке х₀ (или при ), если для произвольной сходящейся к х₀  последовательности {x_n}, где  последовательность {f (x_n)} имеет предел, который равен числу А, и записывают:
                                                                                                      (3)
Итак, если для произвольных сходящихся к х₀ последовательностей {x_n}  существует один и тот же предел,  то этот  предел и будет пределом функции f (x) в точке х₀.
Если же для некоторой хотя бы одной последовательности , сходящейся к х₀, последовательность предела не имеет, то функция f (х) не имеет предела в точке х₀.
Аналогично, функция f (х) не имеет предела в точке х₀, если для двух разных, сходящихся к х₀, последовательностей и соответствующие последовательности   и  имеют разные пределы.
Функция f (x) может иметь в точке х₀ только один предел. Это следует из того, что каждая переменная может иметь только один предел.

Примеры:

1. Функции f (x) = x  в любой точке х₀ числовой прямой имеет предел, равный х₀, потому что последовательности {х_n} и {f (х_n)} совпадают  .
2. Функция (рис. 4.29), определенная для всех , в точке х = 0 предела не имеет.

Действительно, возьмем две сходящиеся к 0 последовательности значений аргумента:

 .

Очевидно,   .
Найдем соответствующей последовательности значений функции:

откуда   Таким образом, для двух разных сходящихся к нулю последовательностей значений аргумента последовательности соответствующих значений функции имеют разные пределы. Это означает, что не существует.
Геометрический смысл предела функции: соотношение  А означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х_0, соответствующие значения функции сколь угодно мало отличаются от точки А. С этим связано второе определение предела. Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности Х точки х₀, кроме, возможно, самой точки х₀. Число А называется пределом функции в точке х₀, если для произвольного числа  > 0 существует число такое, что для всех которые удовлетворяют неравенство

выполняется неравенство

Это определение коротко можно записать так:

Геометрически это иллюстрируется следующим образом: число А является пределом функции f (x) при   если для произвольной  - окрестности точки А найдется -окрестность точки х₀ такая, что когда значение аргумента х взять из множества   то соответствующие значения функции f (x) будут лежать в -окрестности точки А (рис. 4.30).

Первое определение предела базируется на понятии предела последовательности, поэтому его называют определением на «языке последовательностей», или определением предела по Гейне. Второе определение называют определением «на языке », или определением предела по Коши.
Можно показать [22], что эти определения эквивалентны.

Пример №93

Доказать, что .

Пусть у = 3х + 2 и задано произвольное  > 0. Найдем такое, что для
всех х, удовлетворяющих неравенству  ,  выполняется неравенство . Для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы
   или   ,
отсюда  . Если теперь для произвольного  > 0 и найденного взять значения х, удовлетворяющие неравенству , то

В приведенных выше определениях предела    считалось,
что х стремится к  х₀  произвольным способом: оставаясь меньше х₀ (слева от х₀), большим х₀ (справа от х₀) или колеблясь вокруг х₀, то есть   приобретая значения то меньших, то больших чем х₀ (то слева, то справа от х₀), как амплитуда затухающих колебаний маятника. Однако случается, что способ приближения аргумента х  к х₀ существенно влияет на значение предела. Поэтому целесообразно ввести понятие односторонних пределов.
Пусть функция у = f (х) (рис. 4.31) определена в некоторой окрестности точки х₀. Число А называется пределом функции y = f (x) слева (или левым пределом) в точке х₀, если для любого числа  > 0 существует число   такое, что при    выполняется неравенство
 .
Число В называется пределом функции y = f (x) справа (или правым пределом) в точке х₀, если для любого числа  > 0 существует число   такое, что при  выполняется  неравенство
Левый и правый пределы (рис. 4.31) называют односторонними пределами и обозначают так:

Если х₀ = 0, то записывают 

Если функция y = f (x)  определена на промежутке  , то в точке а может иметь смысл только число f (а + 0), а в точке b — только число f (b – 0).
Условие f (х₀ + 0) = f (х₀ – 0) является необходимым и достаточным [10] для
существования предела у = f (x) в точке х₀:

                               (4)

Примеры:

1. Пусть f (x) = sign х (рис. 4.5), тогда
2. Если    (рис. 4.32), то  

Предел функции при  x > ∞ . Бесконечно большая функция

Предел функции при   Бесконечно большая функция:

Мы рассмотрели понятие предела функции в конечной точке х₀. Исследуя функции, определенные на бесконечных промежутках, часто приходится изучать поведение этих функций при сколь угодно больших по модулю значениях аргумента х, то есть при . 
Пусть функция у = f (x) определена на промежутке . Число А называют пределом функции f (x) при и пишут 
 ,  если для произвольного числа > О существует такое число
М = М () > 0, при   выполняется неравенство  .
Коротко это определение можно записать так:

 

Геометрический смысл этого определения такой (рис. 4.33): для произвольного
числа  > 0 существует такое число М > 0, что при    или при   соответствующие значения функции f (x) попадают в -окрестность точки А, то есть соответствующие точки графика этой функции
лежат в полосе, ограниченной прямыми у = А + и  у = А – .
Зная содержание символов   и  ,  легко сформулировать
определение предела для случаев, когда  (рис. 4.34) и (рис. 4.35).
До сих пор рассматривались случаи, когда функция имела пределом некоторое
число. Рассмотрим теперь случай, когда пределом функции является бесконечность.
Функция у = f (x) при   называется бесконечно большой (имеет предел ), если она определена в некоторой окрестности точки х₀, кроме, возможно, самой точки х₀ и для произвольного числа М > 0 существует такое число  что для всех х, удовлетворяющих неравенству   выполняется неравенство . Обозначения:
или    при .  Геометрически это значит: каким бы большим ни было задано число М > 0, точки графика функции у = f (x), кроме, возможно, точки (х₀; f (х₀), лежат снаружи полосы, ограниченной прямыми у = М и у = –М, если значение х взяты из -окрестности точки х₀ (рис. 4.36).
Если f (x) стремится к бесконечности при и при этом приобретает
только положительные (рис. 4.37) или только отрицательные значения (рис. 4.38),
то

Функцию f (x), заданную на всей числовой прямой, при называют бесконечно большой и пишут ,  если для произвольного числа М > 0 можно найти такое число N = N (М) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенство  , выполняется  неравенство   (рис. 4.39).

В частности, функция f(x) является бесконечно большой при , если

Очевидно, всякая бесконечно большая функция в окрестности точки x₀ является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: не всякая неограниченная функция является бесконечно большой. Однако если функция
f (x) имеет конечный предел А при , то эта функция ограничена
при .  Действительно, из определения (3) следует, что при 
, или
  откуда
а это и означает, что функция f (x) при ограничена. Когда
, то при    будет ограниченной также функция  ·
Обратное утверждение неверно: не всякая ограниченная функция имеет конечный предел.

Пример №94

Доказать, что 

Пусть   и задано произвольное число  > 0. Найдем число М () > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенство ,  выполняется неравенство  . Последнее неравенство будет выполняться, если
  или    или 
откуда .  Пусть ,  тогда

Пример №95

Доказать, что функция у = 2х² при является бесконечно большой функцией.

Возьмем произвольное число М > 0 и найдем такое число N = N (М), что для всех х, удовлетворяющих неравенство   выполняется неравенство .
Имеем:
 .
Пусть , тогда

Функция у = х³  стремится к   при  и к  при   (рис. 4.40):

Функция у = sin х ограничена на всей числовой оси. Но при  она предела
не имеет.

Функция у = х sin х (рис. 4.41) при не ограничена,  но не является бесконечно большой, потому что она равна нулю при   Но это означает, что для произвольного числа М > 0 нельзя найти такое число N, чтобы  .

Бесконечно малые величины и их свойства

Бесконечно малой величиной называется переменная величина, предел
которой равен нулю.
В частности, функция (х) называется бесконечно малой величиной (или бесконечно малой функцией) при    или ,  если
или
Можно дать эквивалентное определение на «языке »: функция (х) называется бесконечно малой при (), если для произвольного
 > 0 существует число  > 0 (М > 0) такое, что для всех х, удовлетворяющих
неравенство (), выполняется неравенство .

Аналогичные определения бесконечно малой величины (х) при  + 0, – 0 и при : во всех этих случаях  .

Примеры:

1. Функция у = (х – 2)⁴ является бесконечно малой величиной при :   (рис. 4.42).
2. Функция является бесконечно малой величиной при : 0 (рис. 4.43).

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых величин:

1°. Для того чтобы число А было пределом функции f (x) при , необходимо и достаточно, чтобы разница f (х) – А была бесконечно малой величиной, то есть
  где .

Пусть , тогда

Это означает, что величина   является бесконечно малой.

Наоборот, пусть , где , тогда

2°. Если функция (х) — бесконечно малая величина при
(0), то функция является бесконечно большой величиной при ,
и наоборот, если функция — бесконечно большая величина при , то   является бесконечно малой величиной при  .

Пусть (х) при   является бесконечно малой величиной, тогда
,
то есть  функция является бесконечно большой при .
Аналогично доказывается обратное утверждение.

3°. Сумма конечного числа бесконечно малых величин является величиной
бесконечно малой.

Пусть (х) и (х) — бесконечно малые величины при . Это означает, что для произвольного числа  > 0 существуют числа > 0 и  > 0 такие, что для всех значений х из окрестности 0 <  < выполняется неравенство , а для значений х из из окрестности 0 <  <  справедливо неравенство  ·
В меньшей из этих окрестностей выполняются оба неравенства:

 .
Итак, в этой окружности
 ,
то есть сумма двух бесконечно малых функций является функцией бесконечно малой.
Аналогичное доказательство для произвольного конечного числа бесконечно
малых. 

4°. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую является величиной бесконечно малой.

Пусть функция f (x) ограничена при , (х) — бесконечно мала. Тогда для некоторого числа М > 0 существует такое число > 0, что для значений х из окрестности 0 <  < выполняется неравенство . Кроме того, для любого числа  > 0 существует такое число  > 0, что для всех значений х из окрестности 0 <  <  выполняется неравенство .  Для меньшей из этих окрестностей есть
 ,
а это значит, что произведение при является бесконечно малой
функцией.

5°. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, которая имеет отличный от нуля предел, является величиной бесконечно малой.

Доказательство этого свойства аналогично предыдущем.

Замечание. Частное от деления двух бесконечно малых величин в общем случае не является бесконечно малой величиной.
Величины (х) = х, (х) = 2х,  (х) = х² — бесконечно малые при , потому что
.
Имеем:

то есть предел отношения двух бесконечно малых величин может равняться какому-то числу, бесконечности или нулю. В связи с этим отношение двух бесконечно малых величин называют неопределенность вида . То же касается произведения бесконечно малой величины на бесконечно большую величину. Такое произведение называется неопределенностью вида .

Основные теоремы о пределах

В предыдущих примерах мы видели, что нахождение пределов функции на основе определения достаточно громоздкое. Действительно, при вычислении
предела  сначала надо взять какую-нибудь сходящуюся к х₀ последовательность {x_n} значений аргумента и определить последовательность соответствующих значений функции (f {x_n)}. Найдя число А =
= , еще надо убедиться, что тогда, когда  произвольным способом.
Приведем теоремы, которые значительно облегчают нахождение предела функции. Формулировка и доказательство этих теорем для случаев, когда
и  , аналогичны.

Теорема 1 (о пределе суммы, произведения и частного). Если каждая из функций f (х) и (x) имеет конечный предел в точке х₀, то в этой точке существуют также пределы функций   (последняя при условии, что ) и справедливы формулы

                                   (5)

                                                  (6)

                                                                       (7)

Пусть   тогда по свойству 1° (п. 3.6)
 где  при .
Отсюда имеем:
                                       (8)
               (9)
                                                   (10)

По свойствам и 3°–5° (п. 3.6) выражения в квадратных скобках являются величины бесконечно малые при , поэтому, применив к равенствам
(8), (9), (10) еще раз свойство 1° бесконечно малых, получим соответственно формулы (5), (6), (7).

Заметим, что доказанная теорема верна для алгебраической суммы и произведения любого конечного числа функций, которые имеют предел в точке.

Следствия. Если существует, то выполняются равенства:

• 1)
• 2)  в частности,
• 3)

Пример №96

Вычислить

Используя теорему о пределе суммы и  следствия 1) – 3), имеем:

Пример №97

Вычислить
По теореме о пределе частного получим

Пример №98

Вычислить

Здесь теорему о пределе частного применить нельзя, так как  9) = 0. Кроме того,  то есть имеем неопределенность вида ·
Разложим числитель и знаменатель на множители:
х² – 5х + 6 = (х – 2) (х – 3),      х² – 9 = (х – 3) (х + 3).
Поскольку при нахождении границы функций в точке х = 3 рассматриваются значения ,  то данную дробь можно сократить на х – 3, поэтому
 .

Пример №99

Вычислить

Здесь   , поэтому теорему о пределе применить нельзя. Поскольку   при    и  (п. 3.6), то   как произведение бесконечно большой величины на ограниченную величину, не являющуюся бесконечно малой.

Теорема 2 (о пределе промежуточной функции). Пусть в некоторой окрестности точки x₀, кроме, возможно, самой точки x₀, определены функции  и   и выполняются неравенства
                                                              (11)
Тогда, если функции   и    имеют в точке x₀ один и тот же предел
                                                  (12)
то такой ​​же предел имеет функция f (x):

Из равенств (12) следует, что для произвольного числа  > 0 существуют две окрестности точки x₀ , в одной из которых выполняются неравенства
  а в другой — неравенства   
Из неравенств (11) находим, что 
поэтому в меньшей из окрестностей
выполняется неравенства   (рис. 4.44).
Отсюда    то есть   

                 

Теорема 3 (о предельном переходе в неравенствах). Если в некоторой окрестности точки x₀, кроме, возможно, самой точки x₀, выполняется неравенство   и  существует предел     то .

Предположим, что b < 0, тогда при    имеем , поэтому   то есть   А это противоречит условию теоремы. Следовательно, . 

Следствие.  Если в некоторой окрестности точки x₀, кроме, возможно, самой точки x₀, выполняется неравенство и существуют пределы
  то

Теорема 4 (о пределе монотонной функции). Если функция f (x) монотонна и ограничена при х < x₀ или при х > x₀ , то существует соответственно ее левый предел   или его правый предел 

Доказательство этой теоремы дано, например, в [29].

Пример №100

Доказать, что: а)     б)     в)

а) Обозначим через х радианную меру центрального угла окружности радиуса l (рис. 4.45). Если х > О, то ОА = l, АС = sin х,   = х,  0 < sin x < х. Поскольку 
   то из теоремы 2   следует, что .
Если х < 0, то   или   , поэтому  .
Итак,

б) Поскольку   или     и 0 ,
то   
в) Поскольку  , то  .

Вычисления пределов функций

Решение пределов является достаточно обширным, так как существуют десятки приемов решений пределов различных видов.

Первый важный предел

Докажем, что
                                                         (13)

Возьмем круг радиуса l (рис. 4.46) и обозначим радианную меру угла AOD через х,  .  Сравнивая площади треугольников AOD, BOD и кругового сектора AOD, получим:

откуда

или

Разделив последнее неравенства на  ,  получим
  или   
Поскольку   и    то по теореме 2 (п. 3.7)
                                                                             (14)
Пусть теперь х < О. Рассмотрим функцию (рис. 4.47). Поскольку f (x) = f (–х), то
             (15)

Из равенств (14) и (15) получим формулу (13), которая достаточно часто используется при вычислении пределов. Поэтому ее называют первым
важным пределом.

Пример №101

Найти
Сведем этот предел к первому важному пределу, поделив и умножив дробь на k:

Пример №102

Найти
Имеем

Пример №103

Найти
Имеем

Пример №104

Найти

Введем новую переменную , тогда    и
   

Число е. Натуральные логарифмы

Рассмотрим две числовые последовательности:

  и   .

Покажем, что они имеют такие свойства:

• 1) x_n < у_n , ;
• 2) переменная x_n строго возрастает;
• 3) переменная у_n строго убывает.

Действительно, поскольку

то свойство 1) справедливо.
Свойства 2) и 3) доказываются с помощью неравенства Коши:
    где

Применим это неравенство к числовому множеству, содержащему число 1, а также n чисел :
    где .  Получим

откуда и следует свойство 2).
Аналогично для доказательства утверждения 3) достаточно применить неравенство Коши к числовому множеству, содержащему 1 и n чисел  , где

Из свойств 1) – 3) имеем:

Итак, переменная x_n  возрастает и ограничена сверху. Поэтому по теореме 4
(п. 3.7) она имеет предел, который обозначают буквой е (это обозначение, как и обозначение числа , принадлежит Л. Эйлеру):

Переменная у_n  убывает и ограничена снизу, поэтому предел  также существует. Поскольку   то  

Таким образом,

причем

Доказано, что е — иррациональное число. Более того, Ш. Эрмит доказал, что е — трансцендентное число, то есть не является корнем никакого алгебраического
уравнения с целыми коэффициентами. Его приближенное значение с точностью до 10^-15 равно  +2,718281828459045.
Число е широко используется в математике и ее приложениях. В частности, показательная функция у = е^х по основанию е играет важную роль в теории механических колебаний, в электротехнике и радиотехнике. Эту функцию называют также экспоненциальной функцией, или экспонентой (от английского exponential — показательное), и обозначают так: у = ехр х.
Довольно часто приходится встречаться с логарифмами по основанию е. Как известно, функция у = log_a х определяется, если а > 0, . В частности, если а = 10, то у называется десятичным логарифмом числа х и обозначается lg х. Десятичные логарифмы были введены Г. Бриггсом. Если а = е, то у называется натуральным, или неперовым (в честь шотландского математика Дж. Непера — изобретателя логарифмов) логарифмом числа х и обозначается ln х.
В высшей математике применяют в основном натуральные логарифмы, поскольку для них, как увидим дальше, значительно упрощается ряд формул.
Найдем связь между десятичными и натуральными логарифмами. Пусть у = ln х, тогда х = е^у. Логарифмируя это равенство по основанию а, получим log_а х = у log_ае, откуда

Число М = log_ае называют модулем перехода от натуральных логарифмов
к логарифмам с основанием а. В частности, при а = 10 имеем:

Итак, связь между десятичными и натуральными логарифмами выражается
формулами

Графики функций у = lg х  и  у = ln х  изображены на рис. 4.48.

Второй важный предел

Докажем, что
                                                      (17)
Сначала покажем, что
                                                   (18)
Пусть   и    тогда поэтому справедливы
неравенства
.   (19)
Если ,  то  , поэтому по формуле (16) имеем

Применив к неравенству (19) теорему 2 (п. 3.7), получим формулу (18). Теперь докажем, что
                                                                (20)
Пусть х < 1. Введем переменную у = –х, тогда

Объединив случаи (18) и (20), получим формулу (17). Положив  , имеем
.                                                 (21)
Равенства и (17) и (21) называют вторым важным пределом и широко используют
при вычислении пределов. График функции у =показан на рис. 4.49.

Замечание. При вычислении пределов, связанных с числом е, часто применяют следующее утверждение: если существуют пределы   причем , то существует также предел , который вычисляется по формуле
 .                                         (22)

Пример №105

Найти 
Воспользуемся равенствами (17) (22). Имеем: 

Пример №106

Найти

Воспользовавшись равенствами (13), (21) и (22), получим

Пример №107

Найти 

Имеем

 

Пример №108

Найти  .
Получим

 .

Пример №109

Многие химические реакции и процессы проходят так, что в каждый момент времени t скорость образования некоторого вещества пропорциональна количеству этого вещества в заданный момент времени. Найти закон, по которому происходит образование вещества.

Пусть m₀ — количество вещества в момент времени t = 0 (то есть начальное количество вещества). Промежуток времени (0; t) разобьем на n мелких промежутков:

Если считать, что в течение каждого из этих малых промежутков времени скорость реакции постоянна, то количества вещества в моменты времени

соответственно равно

где k — заданный коэффициент пропорциональности. Но по условию задачи процесс образования вещества происходит непрерывно. Поэтому, чтобы найти точную формулу, надо допустить, что число мелких промежутков неограниченно растет, а их продолжительность стремится к нулю. Отсюда для количества вещества m в произвольный момент времени t получим формулу

Это и есть закон, по которому происходит образование вещества. Он встречается при исследовании таких процессов, как распад радия, размножение бактерий и тому подобное.

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции

Две бесконечно малые функции сравниваются между собой с помощью исследования их отношения. Пусть (х) и (х) — бесконечно малые функции при , то есть
 .

Введем следующие обозначения:

1) функции  (х) и (х) называются бесконечно малыми одного порядка при , если

2} функция  (х) называется бесконечно малой высшего порядка, чем (х) при , если

3) функция  (х) называется бесконечно малой низшего порядка, чем (х) при , если

4) функция  (х) называется бесконечно малой k-го порядка относительно (х) при , если

5) бесконечно малые функции  (х) и (х) называются несравнимыми при , если в точке x₀ не существует предела их отношения.

Введенные определения охватывают все случаи, которые могут произойти
при сравнении двух бесконечно малых функций в окрестности точки x₀ . Точно такие же правила сравнения бесконечно малых при , ,  и при .
Аналогично сравниваются бесконечно большие величины.

Примеры:

1. Функции (х) = х, (х) = sin 5x бесконечно малые одного порядка при
 , потому что 
.
2. Функция (х) = х²  при  является бесконечно малой высшего порядка, чем функция (х) = tg х, потому что

Очевидно, функция (х) = tg х  при  является бесконечно малой низшего порядка, чем (х) = х².

3. Функция (х) = 1 – cos 4х при является бесконечно малой второго порядка относительно функции (х) = х, потому что

4. Бесконечно малые функции (х) = х и (х) = несравнимы при , потому что

не существует (см. п. 3.5).

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.
Функции (х) и (х), бесконечно малые при , называются эквивалентными бесконечно малыми, если

Эквивалентность обозначается так:

Рассмотрим некоторые свойства эквивалентных бесконечно малых функций.

Теорема 1. Бесконечно малые (х) и (х) эквивалентны при тогда и только тогда, когда разница (х) – (х) является бесконечно малой более высокого порядка, чем каждая из функций (х) и (х).

Пусть    при , то есть

тогда

Аналогично

Следовательно, разница (х) – (х)  при  является бесконечно малой высшего порядка, чем (х) и (х) .
Пусть теперь, наоборот, известно, что разница (х) – (х)  при  является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х) и чем (х),  то есть

 
Если 
то  откуда   то есть    при  .  Если  то  откуда  1, то есть    при  .

Teopeмa 2. Пусть       при .
Ели существует   , то существует и   , и эти пределы равны между собой.

Имеем:

Эта теорема позволяет при нахождении предела отношения двух заданных бесконечно малых функций каждую из них (или только одну) заменять другой бесконечной малой, эквивалентной заданной. Часто встречаются, например, такие эквивалентные бесконечно малые величины [12]:

Отметим, что эти эквивалентности достаточно просто получить с помощью
правила Лопиталя.

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций различных
порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Докажем теорему для двух функций. Пусть    и  при  , причем (х) — бесконечно малая функция более высокого порядка, чем (х)  при  , то есть , тогда 

следовательно .

Пример №110

Найти

Поскольку ,  при  , то по теореме 2 получим

Пример №111

Найти

,  поэтому .

Пример №112

Найти .

Поскольку    при   то

Пример №113

Найти  .

По теореме 3 имеем при  

поэтому  

Раскрытие некоторых неопределенностей

Как уже указывалось, в простейших случаях нахождения предела  сводится к подстановке в функцию f (x) предельного значение аргумента x₀. Но часто такая подстановка приводит к неопределенным выражениям. Это такие выражения:

1. отношение двух бесконечно больших величин — неопределенность вида ;
2. разность двух бесконечно больших величин — неопределенность вида;
3. произведение бесконечно малой функции на бесконечно большую — неопределенность вида ;
4. отношение двух бесконечно малых величин — неопределенность вида ;
5. если   и   при , то выражение  — неопределенность вида ;
6. если   и   при , то выражение  — неопределенность вида  ;
7. если ,   при , то выражение — неопределенность вида (это не единица в определенной степени, а символ для сокращенного обозначения предела выражения f, где  , ).

Операцию нахождения предела в этих случаях называют раскрытием неопределенности.
Общий способ раскрытия неопределенностей, здесь рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Неопределенность вида задана отношением двух многочленов.

Пример:
Найти   .

Имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на х⁴:
 .
Примененный прием является общим: чтобы раскрыть неопределенность
вида  , заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень х в этих многочленах.

2. Неопределенность вида задана отношением двух многочленов.

Пример:
Найти

Поскольку

то имеем неопределенность вида · Чтобы раскрыть неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители:
х³ + 2х² – х – 2 = (х – 1) (х² + 3 + 2);   х² + Зх – 4 = (х – l) (х + 4).
Имеем:

.

Это тоже общий прием. Сокращение на х – 1 здесь возможно, поэтому что при определении предела    значения  .
Множитель х – х₀, через который числитель и знаменатель стремятся к нулю, иногда называют критическим множителем.
Таким образом, чтобы раскрыть неопределенность , заданную отношением
двух многочленов, надо в числителе и знаменателе выделить критический множитель и сократить на него дробь. Если при этом разложение на множители окажется затрудненным, то надо разделить числитель и знаменатель на критический множитель «в столбик».

Пример:

Найти

Имеем неопределенность вида . Поскольку эта неопределенность задается отношением двух многочленов, то числитель и знаменатель надо разделить на критический множитель х + 1. Имеем:

 .

3. Неопределенность вида    задана иррациональными выражениями.

Примеры:

1. Найти   .

Здесь неопределенность , х – 2  — критический множитель. Избавимся от иррациональности в числителе. Имеем:

 .

Иногда от иррациональности можно избавиться введением новой переменной.

Пример:

Найти:
а)  б)

а) Введем переменную у³ = 8 + х² . Если , то ,  поэтому
 .
б) Пусть у⁵ = х + 1, тогда
 .
Этот же результат получим из эквивалентности .

4. Неопределенности вида заданы иррациональными выражениями.

Пример:
Найти 
 

5. Неопределенности вида  заданы выражениями, содержащими тригонометрические функции,  чacто раскрываются с помощью первого важного предела.

Пример:
Найти

6. При раскрытии неопределенности вида используют второй важный предел.

Примеры:

Найти

а)   б) 

а) 

б) 

Непрерывность функции

С понятием предела тесно связано другое важное понятие математического анализа — понятие непрерывности функции.
Рассмотрим графики функций f (x) и (x) (рис.4.50). Чем отличаются эти графики? Недвусмысленный и четкий ответ на этот вопрос дать не так просто. Можно сказать, что графиком функции f (x) является сплошная кривая (рис. 4.50, а), а функции (х) — не сплошная (рис. 4.50, б). График функции f (x) можно провести, не отрывая карандаш от бумаги, а функции (х) — нельзя; при постепенном изменении аргумента х значение функции f (x) также изменяется постепенно, а значение функции (х) — не постепенно, в точке х₀ происходит
скачок. Все эти ответы правильные, но недостаточно четкие для математических формулировок. Даже если бы какая-то из них нас удовлетворила, то как ответить на такой вопрос: «сплошной» или «разрывный» график функции, заданной, скажем, формулой? Построение графика «по точкам»
не поможет, потому что особую точку х₀ можно случайно пропустить (рис. 4.50, б).

Понятно, что характер графиков функций f (x) и (х) в точке х₀ разный. Говорят, что функция f (x) в точке х₀ непрерывная, а функция (х) в точке х₀ разрывная. Переходим к четким определениям.

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва

Пусть функция f (x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки.
Функция f (x) называется непрерывной в точке х₀ , если предел функции и ее значение в этой точке равны, то есть
                                                                          (23)
Если сравнить это определение с определением предела  ,  то при определении предела функции число х₀ могло и не принадлежать области определения функции, а если число х₀ принадлежало области определения, то значение функции f (х₀) в этой точке могло и не совпадать с пределом А.
Таким образом, функция f (x) будет непрерывной в точке х₀ тогда только тогда, когда выполняются следующие условия:

• 1) функция определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки;
• 2) существует предел
• 3) предел функции f (x) в точке х₀ и значение функции в этой точке х₀ совпадают, то есть выполняется равенство (23).

Поскольку    то формулу (23) можно записать в виде
                                                 (24)
Формула (24) выражает правило предельного перехода: при нахождении предела непрерывной функции f (x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f (x) вместо аргумента х  подставить значение . Геометрический смысл понятия непрерывности соответствует геометрическому смыслу предела (23): точки графика функции у = f (х) сколь угодно близкие к точке (х₀; f (х₀), если их абсциссы достаточно мало отличаются от числа х₀ (рис. 4.50, а).
«На языке » непрерывность иллюстрируется на рис. 4.30, где число
A = f (х₀).
Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь
на понятие приращения аргумента и функции.
Пусть числа х₀ и х принадлежат области определения функции у = f (х). Разница х –х₀ называется приращением аргумента в точке х₀ и обозначается через  ("дельта х"):

Разница соответствующих значений функции f (х) – f (х₀) называется приращением функции в точке х₀ и обозначается через :

Очевидно, приращение  может быть положительным или отрицательным числом, приращение  — произвольное число. Запишем равенство (23) в новых обозначениях, для чего перенесем в ней значение f (х₀) в левую часть и внесем его под знак предела. Поскольку условия   и    одинаковы, то равенство (23) принимает вид
  или                           (25)

Равенство (25) и является еще одним определением непрерывности функции, которое можно сформулировать так.
Функция f (x), определенная в окрестности точки х₀, называется непрерывной
в точке х₀, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при .
Часто встречается понятие односторонней непрерывности. Функция f (x) называется непрерывной в точке х₀ слева, если она определена на полуинтервале (х₀ – ; х₀], где  > 0 и  , если функция f (x) определена на полуинтервале  [х₀; х₀ + ) и  f (х₀), то функция называется непрерывной в точке х₀ справа.
Используя эти понятия и формулы (4), можно сказать, что функция f (x) будет непрерывной в точке х₀ тогда и только тогда, когда она определена в некоторой окрестности точки х₀ и
                                      (26)
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то функция называется
разрывной в точке х₀, а сама точка х₀ называется точкой разрыва функции.

Различают следующие виды разрывов. Если для функции f (x) существуют
конечные пределы

причем не все числа f (х₀), f (х₀ – 0), f (х₀ + 0) равны между собой, то разрыв в точке х₀ называют разрывом первого рода, точку х₀ — точкой разрыва первого рода. В частности, если

то разрыв в точке х₀ называют устранимым, а точку х₀ — точкой устранимого
разрыва. В этом случае достаточно доопределить функцию только в одной точке х₀, положив f (х₀) = f (х₀ ± 0), чтобы получить функцию, непрерывную в точке х₀.

Величину    называют скачком функции.
Если хотя бы один из односторонних пределов в формуле (26) не существует
или равен бесконечности, то разрыв в точке х₀ называется разрывом второго рода, а сама точка х₀ — точкой разрыва второго рода.

Примеры:

1. Функция   (рис. 4.47) не определена в точке х = 0, но имеет в этой точке предел, поэтому х = 0 — точка устранимого разрыва; достаточно положить  f (0) = , чтобы функция стала непрерывной. Следовательно, функция

является непрерывной в точке х = 0.

2. Функция  в точке х = 1 будет непрерывной (рис. 4.51),
потому что функция определена в точке х = 1 в любом окрестности этой точки. Кроме того,

3. Функция   имеет в точке х = 2 (рис. 4. 52) разрыв первого рода:
Скачок функции в точке х = 2 равен

4. Функция у = Е (х) (рис. 4.8) имеет множество точек разрыва первого рода.

5. Функция (рис. 4.29) в точке х = 0 имеет разрыв второго рода, потому
что ни один из односторонних пределов в этой точке не существует.

6. Функция (рис. 4.53) в точке х = 1 имеет разрыв второго рода, потому что

7. Функция разрывная в точках х = ± 1, так как в этих точках она
не определена. Поскольку


то х = ± 1 — точки разрыва второго рода (рис. 4.54).

8. Исследовать на непрерывность функцию    в точке х = –1.
Функция не определена в точке х = –1, поэтому функция в этой точке разрывная.
Чтобы определить характер разрыва, найдем пределы слева и справа:

Итак, точка х = –1 является точкой разрыва второго рода (рис. 4.55).

9. Доказать, что функция f (х) = х³ непрерывна в любой точке .

Воспользуемся вторым определением непрерывности. Для произвольных значений х₀  и  имеем:

  

Аналогично можно доказать, что каждая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Действия над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных
функций

Теорема 1. Если функции f (х)  и (x) непрерывны в точке х₀, то в этой точке непрерывными являются функции
                                           (27)
(последняя при условии, что (х₀) 0).

Поскольку непрерывные в точке х₀ функции f (x) и (x) имеют пределы, равные f (х₀) и (х₀), то по теореме 1 (п. 3.7) пределы функций (27) существуют и соответственно равны f (х₀) ± (х₀), f(х₀) (х₀), . Но эти величины равны значениям соответствующих функций. Следовательно, функции (27) по первому определению непрерывности являются непрерывными в точке х₀.

Доказанная теорема справедлива для алгебраической суммы и произведения
произвольного конечного числа непрерывных в точке х₀ функций.

Теорема 2. Если функция u = (х) непрерывна в точке х₀, а функция у = f (u) непрерывна в точке u₀ = f (х₀), то составная функция у = f ((х)) непрерывна в точке х₀.

Для доказательства теоремы достаточно установить, что
.
Поскольку функция u = (х)  по условию непрерывна в точке х₀, то

то есть при  значение функции . Поэтому вследствие непрерывности функции f (u)

Как известно (п. 2.4), элементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций основных элементарных функций.

Поскольку основные элементарные функции непрерывные во всех точках,
в которых они определены, то из теорем 1 и 2 следует следующая теорема.

Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Если функция непрерывна в каждой точке интервала (а, b), то она называется непрерывной на этом интервале.
Функция называется непрерывной на отрезке [а; b], если она непрерывна на интервале (а; b) и, кроме того, непрерывная справа в точке а и слева в точке b.

Примеры:

• 1. Функция   (рис. 4.52) непрерывна на промежутках (; 2)  [2; ). В точке х = 2 она непрерывна справа.
• 2. Функция у = [х] (рис. 4.8) непрерывна на каждом из промежутков [n; n + 1), . В точках х = n она непрерывна справа.
• 3. Функция    непрерывная на отрезке [–1; 1]. В точке х = –1 она непрерывная справа, а в точке х = 1 — слева.

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств.
Сформулируем некоторые из них без доказательства [12].

Теорема 1. (первая теорема Больцано-Коши). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [а; b] и на его концах имеет значения различных знаков, то внутри отрезка [а; b] найдется хотя бы одна точка х = с, в которой функция равна нулю:       f (с) = 0,  а < с < b.
Геометрический смысл этой теоремы такой (рис. 4.56): непрерывная кривая при переходе из одной полуплоскости в другую, границей между которыми является ось Ох, пересекает эту ось.
Теорема 1 применяется при решении уравнений и лежит в основе так называемого метода половинного деления (его называют также методом «вилки»).

Пример №114

Доказать, что на отрезке [0; 1] уравнение х⁴ + х³ – 1 = 0 имеет корень, найти его
с точностью до 0,1.
Пусть f (х) = х⁴ + х³ – 1. Эта функция непрерывна на всей числовой оси, а следовательно, и на отрезке [0; 1]. Поскольку f (0) = –1 < 0, f (1) = 1 > 0, то по теореме
1 данное уравнение на отрезке [0; 1] имеет корень. Точкой х₁ = 0,5 делим отрезок [0; 1] пополам и находим f (0,5) = –0,81. Поскольку f (1) = 1, то корень лежит на отрезке [0,5; 1].
Точкой х₂ = 0,75 делим отрезок [0,5; 1] пополам и находим f (0,75) = –0,12; следовательно, корень находится на отрезке [0,75; 1].
Точкой х₃ = 0,875 делим отрезок [0,75; 1] пополам. Поскольку f (0,875) = 0,27 > 0, а f(0,75) < 0, то корень находится на отрезке [0,75; 0,875]. При этом
поэтому, если за корень уравнения взять произвольное число  [0,75; 0,875],  то это число будет корнем с точностью до  . Следующая точка разделения  х₄ = (0, 75 + 0,875) = 0,8125, будет корнем с точностью до  . Следовательно, с точностью до 0,1 корнем данного уравнения является число 0,81.
Продолжая этот процесс, можно найти корень с любой наперед заданной
точностью.

Теорема 2 (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна
на отрезке [а; b] и приобретает, на его концах различные значения: f (а) = А, f (b) = В, А В. Тогда для произвольного числа  найдется такое число , что .
Итак, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому приобретает также все промежуточные значения.
Смысл теоремы 2 иллюстрируется на рис. 4.57.
Отметим, что теорему 1 можно рассматривать как частный случай теоремы 2: если А и В противоположны по знаку, то число  будет лежать между числами А и В.

Теорема 3 (Вейерштрасса). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [а; b], то среди ее значений на этом отрезке существует наименьшее и наибольшее.
Итак, непрерывная на отрезке [а; b] функция f (x) достигает на этом отрезке наибольшее значение    и наименьшее значение  (рис. 4.58).

Дифференциальное исчисление функций с одной переменной

Дифференциальное исчисление — раздел математики, в котором рассматривается исследование функций с помощью производных и дифференциалов.
Некоторые задачи дифференциального исчисления решены еще в древности.
Так, Евклид решил задачу о параллелограмме наибольшей площади, который можно вписать в данный треугольник; Архимед построил касательную к спирали, носящей его имя, а Аполлоний — касательную к эллипсу, гиперболе и параболе.
Общие методы дифференциального исчисления разработаны Ньютоном и Лейбницем в конце 17 в., но только в 19 в. Коши обосновал эти методы на основе теории пределов.

Производная

Центральное понятие дифференциального исчисления — производная — широко используется при решении многих задач по математике, физике и другим наукам, а также при изучении различных процессов. Если ход того или иного процесса описывается некоторой функцией, то исследование данного процесса сводится к изучению свойств этой функции и ее производной.

Задачи, которые приводят к понятию производной

1. Задача о скорости прямолинейного движения. Пусть материальная точка движется неравномерно вдоль некоторой прямой (рис. 5.1) и за время t проходит расстояние S, равное отрезку ОМ. Тогда разным моментам времени t будут соответствовать различные положения точки М, то есть расстояние S движущейся точки М является некоторой функцией времени t:  S = S (t)). Нужно найти скорость движения точки М.

Пусть с момента t  прошло некоторое время (> 0 — приращение времени). За время М подвижная точка перейдет в положение М₁ и пройдет путь, который обозначим через ( — приращение пути, равное отрезку ММ₁). Следовательно, за время  t + материальная точка пройдет путь S (t) + = S (t + ), поэтому
= S (t + ) – S (t).
Средней скоростью движения точки за промежуток времени [t; t +]
называют отношение приращения пути к приращению времени;

Средняя скорость зависит от значения , причем чем меньше промежуток после момента времени t, тем точнее средняя скорость отражает скорость движения точки в данный момент времени t. Истинную же (мгновенную) скорость движения точки получим как предел, к которому следует средняя скорость  при  . Этот предел называют скоростью движения точки в момент времени (или мгновенной скоростью) и обозначают
                         (1)

Пример №115

Найти среднюю и  мгновенную  скорости точки, движущейся равномерно
ускоренно с ускорением а и с нулевой начальной скоростью.

Из курса физики известно, что для данного случая закон движения выражается формулой . Найдем приращение пути :

Далее имеем: 

      

Пример №116

Пусть закон движения точки выражается формулой S = t³ + Зt + 1, где S измеряется в метрах. Найти среднюю скорость движения на промежутке времени от t₀ = 1 с до t₁ = 5 с и от t₀ до t₂ = 2 с и скорость в момент времени t₀ = 1 с.

Найдем приращение пути за промежуток времени :


Средняя скорость за время :

Промежуток времени = t₁ – t0 = 5 – 1 = 4 с, поэтому
V_с = 3 (1² + 1) + 3 · 1 · 4 + 4² = 34 м/с.
Промежуток времени = t2 – t0 = 2 – 1 = 1 с, поэтому
V_c = 3 (1² + 1) + 3 · 1 · 1 + 1² = 10 м/с.
Найдем мгновенную скорость в любой момент времени t:

В частности, при t0 = 1 с имеем:
V = 3 (1² + 1) = 6 м/с.

2. Задача о плотности неоднородного стержня. Рассмотрим тонкий прямолинейный неоднородной стержень длины l (рис. 5.2) и разместим его на оси Ох так, чтобы левый конец стержня совпадал с началом координат (материальное тело называется неоднородным, если его плотность не является постоянной, а изменяется от точки к точке). Обозначим через m массу стержня между точками О и М с координатами 0 и х. Поскольку масса отрезка ОМ зависит от его длины, то m является функцией от х:
m = m (х).

Необходимо найти плотность стержня в точке М. Как и в предыдущей задаче
кроме точки М возьмем еще точку М₁ с координатой (  — приращение
длины х) и обозначим через    массу отрезка ОМ₁ ( — приращение массы, равное массе отрезка ММ₁):

Отрезок стержня между точками М и М₁ имеет длину и массу

Средней плотностью   стержня на отрезке [х;  х +] называют отношение приращения массы к приращению длины:

Предел средней плотности при   называют линейной плотностью
стержня в точке х и обозначают

               (2)

3. Задача о силе тока. Пусть Q = Q (t) — количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время t, надо найти силу тока в момент времени t. Средней силой тока I_с за промежуток времени [t; t + ] называют отношение приращения количества электричества к приращению времени:

Предел средней силы тока I_с при  есть сила тока в момент времени t:
                          (3)

4. Задача о теплоемкости. Пусть = — количество теплоты, которую получает тело при нагревании его до температуры . Нужно найти теплоемкость тела при температуре .
Средней теплоемкостью  С_с  тела на промежутке    называют
отношение приращения теплоты к приращению температуры:

Предел средней теплоемкости С_с при    называют теплоемкостью тела при температуре :
                         (4)

5. Задача о скорости химической реакции. Пусть N = N (t) количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t. Нужно найти скорость реакции. Средней скоростью реакции за промежуток времени [t; t +] называют отношение приращения количества вещества к приращению времени:

Предел средней скорости реакции при   является скоростью реакции
в момент времени t:
                     (5)

6. Задача о касательной к кривой. Известно, что касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью одну общую точку. Это определение
касательной нельзя применить к незамкнутым кривым. Действительно, парабола у = х² имеет с осью Оу только одну общую точку (0; 0), но прямая x = 0 не является касательной к этой параболе в указанной точке. С другой стороны, прямая у = 1 имеет множество общих точек с кривой у = sin х и является
касательной к этой кривой.

Дадим общее определение касательной. Рассмотрим кривую L и на ней точки М, М₁ (рис. 5.3). Прямую ММ₁, проходящую через эти точки, называют секущей. Пусть точка М₁, двигаясь вдоль кривой, приближается к точке М. Тогда секущая ММ₁ будет вращаться вокруг точки М, а длина отрезка ММ₁ стремится к нулю.
Если при этом и величина угла М₁МТ стремится к нулю, то прямую МТ  называют предельным положением секущей ММ₁.
Прямую МТ, которая является предельным положением секущей ММ₁, называют
касательной к кривой L в точке М.
Из этого определения следует, что существование касательной не зависит от того, с какой стороны точка М₁ стремится к точке М. В любом случае секущая ММ₁ должны стремиться к одной и той же прямой МТ.
Если секущая ММ₁ стремится к различным прямых (рис. 5.4) или вообще не стремится ни к какой прямой, то считают, что в точке М касательной не существует.

Рассмотрим случай, когда кривая в прямоугольной системе координат (рис. 5.5) задана уравнением у = f (х) и имеет в точке М (х; у) не вертикальную касательную. Рассмотрим задачу о нахождении углового коэффициента этой касательной. Дадим аргументу х приращение  , тогда значению  будут соответствовать значения функции = f () и точка М₁ (; у + ) на кривой.
Проведем секущую ММ₁ и обозначим через угол, образованный этой секущей
с положительным направлением оси Ох. Из графика видно, что угловой коэффициент секущей ММ₁ равен

Если   , то точка М₁  стремится  к точке М вдоль кривой y = f (x), а секущая ММ₁, поворачиваясь вокруг точки М, переходит в касательную МТ. Угол при этом стремится к некоторому предельному значению .  Следовательно, угловой коэффициент касательной равен

               (6)

Рассмотренные задачи, несмотря на различное содержание, приводят нас к нахождению предела (1) – (6) одного и того же вида — предела отношения приращения функции к приращению аргумента.
Эту границу в математике называют производной. Переходим к точному определению.

Определение производной. Механический, физический и геометрический
смысл производной

Пусть на некотором промежутке   задана функция у = f (х). Возьмем любую точку   и дадим х произвольное приращение такое, чтобы точка х +  также принадлежала промежутку  . Найдем приращение функции: .

Производной функции у = f (x) в точке х называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю.
Производная функции у = f (x) в точке х обозначается одним из таких
символов:

Таким образом, по определению

                        (7)
Если в некоторой точке х  предел , то производную f '(x) в этой точке называют бесконечной.
Если предел   в некоторой точке х не существует, то не существует в этой точке и производной f '(х).
Значение производной функции у = f (x) в точке х = х₀ обозначается одним из таких символов:

Из определения производной следует такой способ ее нахождения. Чтобы найти производную функции у = f (x) в некоторой точке х, надо:
1) придать значению х произвольное приращение   и найти соответствующее
приращение функции  ;
2) найти отношение

3) найти предел этого отношения:

Если этот предел существует, то он и равен производной f '(х).
Операция нахождения производной от функции f (x) называется дифференцированием этой функции.

Пример №117

Найти производную функции у = х²:  а) в произвольной точке х;  б) в точке х = 5.

а) Дадим аргументу х приращение  и вычислим приращение  : 

Тогда:  

 
Следовательно, (х²)'= 2х.
6) Подставив в общее выражение для производной значение х = 5, получим

Пример №118

Доказать, что функция    имеет производную

Возьмем произвольную точку х и дадим ей приращение . Тогда функция будет иметь приращение  . Применяя к выражению формулу бинома Ньютона
   (8)
при , получим

Перейдя в последнем равенстве к пределу при , получим

Итак,                                                       (9)
Пользуясь определением производной, решения задач 1–6 п. 1.1 можно толковать так.

1. Скорость в данный момент времени — это производная от пройденного пути S (t) по времени t: 
Это механический смысл производной. Обобщая, можно сказать: если функция у = f (x) описывает некоторый физический процесс, то производная  у '= f ' (х) является скоростью изменения этого процесса. В этом заключается физический
смысл производной. Иначе говоря, какую бы зависимость не отражала функция  у = f (х), отношение можно рассматривать как среднюю скорость изменения функции относительно аргумента х, а производную f '(х) — мгновенную скорость изменения функции.

2. Линейная плотность неоднородного стержня — это производная от массы
m (х) по длине х:

3. Сила тока — это производная от количества электричества Q (t) по времени t : I = Q '(t).

4. Теплоемкость — это производная от количества теnлоты по температуре
: 

5. Скорость химической реакции — это производная от количества вещества N (t), вступившего в реакцию, по времени t: 

6. Угловой коэффициент касательной к кривой у = f (x) в точке М₀ (х₀; у₀) или тангенс угла (рис. 5.6),  образованный касательной к кривой в данной точке с положительным направлением оси Ох, — это производная f '(х₀)  в этой точке:

В этом состоит геометрический смысл производной.

Найдем уравнение касательной. Поскольку касательная проходит через точку М₀ (х₀; у₀) в направлении, которое определяется углом , то, положив в формуле (9)  k = f '(х₀), имеем
                                                       (10)
Уравнение (10) называется уравнением касательной к кривой у = f (x) в точке М₀ (х₀; у₀).
В частности, если функция в точке М₀ имеет бесконечную производную, то касательная в этой точке параллельна оси Оу, а ее уравнение следующее: х = х₀.

Нормалью к кривой называется прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно к касательной.
Поскольку угловые коэффициенты касательной и нормали связаны между собой
условием перпендикулярности (24),, то уравнение нормали к кривой у = f (x) в точке М₀ (х₀; у₀) имеет вид:
                                      (11)
С помощью уравнения (10) можно найти длину отрезка АМ₀  (рис. 5.6), которая называется длиной отрезка касательной (как расстояние между точками М₀ и С), и длину отрезка АВ, которая называется подкасательной (как расстояние между точками А и В). Аналогично с помощью уравнения (11) находят длину отрезка нормали М₀С и поднормали ВС. Эти отрезки часто встречаются в задачах.

Приведем некоторые утверждения, которые вытекают из геометрического смысла производной. 
Пусть на интервале (а, b) задано (рис. 5.7) непрерывную функцию f (х). Если производная  при    положительная, то касательная к графику функции f (x) в точке (х₁; f (х₁)) образует с осью Ох острый угол. Если производная   f '(х₂) = 0, то касательная в точке (х₂; f (х₂)) параллельна оси Ох: если производная ,  то касательной к графику в точке (х₃; f (х₃)) образует с осью Ох тупой угол; если производная f '(х₄) не существует, то в точке (х₄; f (х₄)) не существует и касательной, то есть график в этой точке имеет излом (говорят также, что график имеет угловую точку); если производная f '(х₅) равна бесконечности, то касательная в соответствующей точке графика параллельна оси Оу. Справедливо и обратные утверждения. Например, если касательная к графику функции у = f (x) в точке (х₁; f (х₁)) образует с осью Ох острый угол, то f '(x₁) > 0; если касательная к графику в точке (х₂; f (х₂)) параллельна оси Ох, то f '(х₂) = 0 и т. д.
Такая связь между производной и касательной, как и связь между производной
и скоростью, помогает интуитивному восприятию многих математических
фактов.

Пример №119

Составить уравнение касательной и нормали к кривой у = х^З в точке А (2; 8). Найти длины отрезка касательной и поднормали в этой точке.

По формуле (9) при n = 3 имеем у '= (х^З)' = Зх², откуда f '(2) = 12.
Положив в формулах (10) и (11) х₀ = 2, у₀ = 8, f '(х₀) = 12, получим уравнение касательной (рис. 5.8)

и уравнение нормали

Длину отрезка АВ касательной найдем как расстояние между точками А и В. Координаты точки В определим из системы уравнений у = 12x – 16; у = 0 (точка пересечения касательной и оси Ох). Имеем А (2; 8), В поэтому длина отрезка касательной

Положив в уравнении нормали у = 0, найдем x_D = 98. Поскольку х_С = х_А = 2,
то поднормаль CD = 96.

Пример №120

Найти углы между параболами у = х², у = x³ в точках их пересечения.

Решая систему уравнений у = х²;у = x³,  найдем точки О (0; 0) и А (1; 1) пересечения данных кривых.
По формуле (9)                     
Отметим, что углом между кривыми в точке их пересечения считают (по определению) угол между касательными к данным кривым в этой точке. Поскольку при х = 0 эти производные одинаковы (равны нулю), то это означает, что в точке О (0; 0) касательные имеют одинаковые угловые коэффициенты, то есть параболы у = х²  и  у = x³  в точке О (0; 0) имеют одну и ту же касательную, поэтому угол между кривыми в этой точке равен нулю. Этот же результат получим, когда в формуле (9)  положим k₁ = k₂ = 0.
Найдем угловые коэффициенты касательных к данным кривым в точке А (1; 1). Имеем

откуда

Графическое дифференцирование

Приведем еще одно применение геометрического смысла производной.
Графическим дифференцированием называется приближенное построение
графика производной у '= f ' (x) по данному графику функции у = f (х).
Пусть задан график функции у = f (x),    (рис. 5.9).

Разобьем отрезок [а; b] точками х₀ = а < х₁ < х₂ < ··· < хn-1 < хn = b на n частей и обозначим соответствующие им точки М₀, М₁, М₂, ...,  Мn-1, Мn графика. В каждой из этих точек проведем касательную. Через точку А (–1; 0) проведем параллельные этим касательным прямые до пересечения с осью Оу в точках B₀, B₁, B₂, ...,  Bn-1, Bn  ,  тогда

     

Действительно,  например из  имеем:

Проведем через точку B₁  прямую, параллельную оси  Ох, а через М₁ — прямую, параллельную оси Оу. Точка N₁ их пересечения принадлежит графику
производной у = f '(x), поскольку

Аналогично находят точки N₀, N₂, ...,  Nn . Соединив плавной линией все эти точки, получим приближенный график производной у '= f ' (х). Этот график тем точнее, чем больше число n разделения отрезка [а; b] на части.

Некоторые применения частных производных

В математическом анализе частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных. Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл
дифференциала функции двух переменных

Пусть задана поверхность
F (x, y, z) = 0.                                                                      (23)
Точка М₀ (х₀; у₀; z₀) принадлежит этой поверхности, и функция F (x, y, z) дифференцируема в точке М₀, причем не все частные производные в точке М₀ равны нулю, то есть

Рассмотрим произвольную кривую L, которая проходит через точку М₀, лежит
на поверхности (23) и задается уравнением
х = х (t),  у = у (t),  z = z (t),
где точке М₀ соответствует параметр t₀.
Поскольку кривая лежит на поверхности, то координаты ее точек удовлетворяют уравнение (23):
                                                                     (24)
Дифференцируя равенство (24), имеем:
                               (25)
Это равенство показывает, что векторы (рис. 6.10)

ортогональны, причем второй из них есть направляющим вектором касательной
к кривой L в точке М₀ .
Кроме того, из равенства (25) следует, что касательные ко всем кривым, которые проходят через точку М₀ и лежат на поверхности (23), ортогональны к одному и тому же вектору . Тогда все эти касательные лежат в одной и той же плоскости, которая называется касательной плоскостью к поверхности в точке М₀.
Найдем уравнение касательной плоскости. Поскольку эта плоскость проходит через точку М₀ перпендикулярно вектору  , то ее уравнение имеет вид:
               (26)

Нормалью к поверхности в точке М₀ называют прямую, проходящую через точку М₀ перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.
Поскольку нормаль проходит через точку М₀ и имеет направляющий вектор  , то канонические уравнения нормали имеют следующий вид:
                                                                        (27)
Если уравнение поверхности задано в явной форме z = f (x, y), то, положив F (x, y, z) = f (x, y) – z = 0, получим

тогда уравнение (26) и (27) примут вид
                                 (28)
                                                                            (29)
Выясним геометрический смысл полного дифференциала функции z = f (x, y). Если в формуле (28) положить х – х₀ = ,  у – у₀ = ,
то эта формула запишется в виде

Правая часть этого равенства является полным дифференциалом функции z = f (x, y) в точке (х₀; у₀ ), поэтому  z – z₀ = dz.
Таким образом, полный дифференциал функции двух переменных в точке (х₀; у₀ )равен приращению аппликаты точки на касательной плоскости к поверхности в точке М₀ (х₀; у₀; f (х₀, у₀)), если от точки (х₀; у₀) перейти к точке (х₀ + ; у₀ + ) (рис. 6.11).

Замечание 1. Мы рассмотрели случай, когда функция (19) дифференцируема в точке М₀  и  


Если эти условия не выполняются в некоторой точке (ее называют особенной), то касательная и нормаль в такой точке могут не существовать.

Замечание 2. Если поверхность (23) является поверхностью уровня для
некоторой функции u = u (x, y, z), то есть F (x, y, z) = u (x, y, z) – с = 0,
то вектор

будет направляющим вектором нормали к этой поверхности уровня.

Пример №121

Написать уравнения нормали и касательной плоскости эллипсоида 2х²+у² + z²= = 15 в точке М₀ (1; 2; 3).

Воспользуемся уравнениями (26) и (27). Имеем


Итак, искомые уравнения нормали и касательной плоскости имеют вид
   или   
  или 

Пример №122

Написать уравнение нормали и касательной плоскости к параболоиду z = х²+у²  в точке М₀ (1; –2; 5).

Воспользуемся формулами (28) и (29). Имеем:


Отсюда   — уравнение нормали,  2х – 4у – z – 5 = 0 – уравнение касательной плоскости.

Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент

Область пространства, каждой точке М которой поставлено в соответствие значение некоторой скалярной величины u (М), называют скалярным полем. Иначе говоря, скалярное поле — это скалярная функция u (М) вместе с областью ее определения.
Примерами скалярных полей являются поле температуры данного тела, поле плотности данной неоднородной среды, поле влажности воздуха, поле атмосферного давления, поле потенциалов заданного электростатического поля Для того чтобы задать скалярное поле, достаточно задать скалярную функцию
u (М) точки М и область ее определения.
Если функция u (М) не зависит от времени, то скалярное поле называют стационарным, а скалярное поле, которое меняется со временем, — нестационарным. В дальнейшем будем рассматривать только стационарные поля.
Если в пространстве ввести прямоугольную систему координат Оху, то точка М в этой системе будет иметь определенные координаты (х, у; z), и скалярное поле
u станет функцией этих координат:
u = u (М) = u (x, y, z).
Если скалярная функция u (М) зависит только от двух переменных, например х и у, то соответствующее скалярное поле u (x, y) называют плоским; если же функция u (М) зависит от трех переменных: х, у и z, то скалярное поле u (x, y, z) называют пространственным.
Геометрически плоские скалярные поля изображают с помощью линий уровня, а пространственные — с помощью поверхностей уровня (п. 1.1).
Для характеристики скорости изменения поля в заданном направлении введем понятие производной по направлению.
Пусть задано скалярное поле u (x, y, z). Возьмем в нем точку М (х; у; z) и проведем из этой точки вектор  направляющие косинусы которого ,  , (рис. 6 12).

На векторе на расстоянии от его начала возьмем точку М₁ (х + ; у + ; z + ).
Тогда

Вычислим теперь приращение   функции u (x, y, z) при переходе от точки М к точке М₁ в направлении вектора :

Если существует предел отношения  при , то эту границу называют производной функции u (x, y, z) в точке (x; y; z) по направлению вектора и обозначают   , то есть
 .
Выведем формулу для вычисления производной по направлению. Допустим,
что функция u (x, y, z) дифференцируема в точке М. Тогда ее полное приращение в этой точке можно записать так:

где — бесконечно малые функции при .
Поскольку

то

Перейдя к пределу при , получим формулу для вычисления
производной по направлению
                                            (30)
Из формулы (30) следует, что частные производные являются отдельными случаями производной по направлению. Действительно, если совпадает с одним из ортов или   то производная по направлению совпадает с соответствующей частной производной. Например, если   то = 0,
поэтому

Подобно тому, как частные производные   характеризуют скорость изменения функции в направлении осей координат, так и производная  показывает скорость изменения скалярного поля u (x, y, z) в точке (x; y; z) по направлению вектора .
Абсолютная величина производной соответствует значению скорости, а знак производной определяет характер изменения функции u (x, y, z) в направлении  (возрастание или убывание).
Очевидно, что производная по направлению = –,  противоположному направлению ,  равна производной по направлению , взятой с противоположным знаком.
Действительно, при изменении направления на противоположное углы  изменяются на  , поэтому
.
Физический смысл этого результата таков: изменение направления на противоположное не влияет на значение скорости изменения поля, а только на
характер изменения поля. Если, например, в направлении поле возрастает, то в направлении = – оно убывает, и наоборот.
Если поле плоское, то есть задается функцией u (x, y), то направление вектора полностью определяется углом . Поэтому, положив в формуле (30 )  и   получим

Пример №123

Найти производную функции u = х² – 2xz  + y² в точке А (1; 2; –1) по направлению от точки А до точки В (2; 4; –3). Выяснить характер изменения поля в данном направлении.

Находим вектор   и его направляющие косинусы:

Теперь вычислим значение частных производных в точке А и воспользуемся формулой (30):

.
Поскольку > 0, то заданная функция в данном направлении возрастает.
Пусть задано поле u (x, y, z) и точка М (х; у; z). В каком направлении производная    имеет наибольшее значение? Ответ на этот вопрос имеет важное практическое значение и дается на основе понятия градиента поля.

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции u (x, y, z) в точке М  (х; у; z), называют градиентом функции в этой точке и обозначают grad u. Итак,
                                                     (31)
Связь между градиентом и производной в данной точке по произвольному направлению показывает такая теорема.
Теорема. Производная функции u (x, y, z) в точке М  (х; у; z) по направлению вектора равна проекции градиента функции в этой точке на вектор , то есть
                                                                          (32)

Пусть — угол между градиентом (31) и единичным вектором =
= (рис. 6.13), тогда из свойств скалярного произведения получим:

Отметим некоторые свойства градиента:

1°. Производная в данной точке по направлению вектора   имеет большее
значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента,
причем
                                                   (33)
Действительно, из формулы (32) следует, что производная по направлению достигает максимального значения (33), если cos = 1,   = 0, то есть если
направление вектора совпадает с направлением градиента. Таким образом, скорость возрастания скалярного поля в произвольной точке является максимальной в направлении градиента. Понятно, что в направлении, противоположном направлению градиента, поле будет максимально быстро убывать.

2°. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к градиенту, равна нулю. Иначе говоря, скорость изменения поля в направлении, перпендикулярном градиенту, равна нулю, то есть скалярное поле остается постоянным.
Действительно, по формуле (32) = 0, если

3°. Вектор-градиент в каждой точке поля u (x, y, z) перпендикулярен поверхности уровня, проходящей через эту точку. Это утверждение вытекает из того, что направляющий вектор нормали к поверхности уровня u = u (М₀), которая проходит через точку М₀, имеет координаты (п. 3.1)
 .

4°. Справедливы равенства:

Докажем, например, третье равенство. Имеем: .
Остальные равенства доказываются аналогично.

Пример №124

Найти значение и направление градиента функции  u = х² + y² + z² – 2xyz  в
точке М₀ (0; 1; 2).

Найдем частные производные в точке М₀:


По формуле (31) имеем 
Итак,

 .

Пример №125

Найти наибольшую скорость возрастания поля u = х^у – z в точке М₀ (1; 2; 3).

Имеем


Наибольшую скорость возрастания поля находим по формуле (33) 

Формула Тейлора для функции двух переменных

Как известно, если функция одной переменной F (t) имеет на отрезке   непрерывные производные до (n + 1) -го порядка включительно, то справедлива формула Тейлора:           (34)

Пусть  тогда 

поэтому формулу (34) можно записать в виде:   (35)

В аналогичном виде формулу Тейлора можно получить и для функции многих переменных. Рассмотрим функцию двух переменных.
Пусть функция z = f (x, y) в области D имеет непрерывные частные производные до n + 1-го порядка включительно. Возьмем две точки М₀ (х₀; у₀) и М₁ (х₀ + ; у₀ + ) такие, чтобы отрезок М₀М₁ принадлежал области D.
Введем новую переменную t:
                                      (36)
При t = 0 по этим формулам получим координаты точки М₀, а при t = 1 — координаты точки М₁. Если t меняться на отрезке [0; 1], то точка М (х₀ + t ; у₀ + t ) опишет весь отрезок М₀М₁. Тогда вдоль этого отрезка функция будет функцией одной переменной t:
                                                  (37)
Запишем формулу (35) для функции (37) при t = 0,   = 1:
    (38)
Вычислим дифференциалы, входящих в формулу (38). Из равенств
(36) и (37) имеем: 

Поскольку dt = = 1, то:
                          (39)
Аналогично
                          (40)
Продолжая этот процесс, найдем
                                      (41)
Кроме того, приращение
                            (42)
Подставив выражения (39–42) в формулу (36), получим:
      (43)
                                                       (44)
Формулу (43) называют формулой Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом R_{n + 1} в форме Лагранжа. Эту формулу используют для приближенных вычислений. Для разных значений n из формулы (43) можно получить равенства для приближенного вычисления значений функции f (x, y).
Абсолютную погрешность этих приближенных равенств оценивают через остаточный член (44).
Формула Тейлора (43) для функции двух переменных напоминает формулу Тейлора (35) для функции одной переменной. Но на самом деле, если раскрыть выражения для дифференциалов в формуле (43), то получим более сложную формулу, чем для функции одной переменной. Например, при n = 1 формула
(43) имеет вид:
                                                                           (45)

Локальные экстремумы функции двух переменных

Пусть функция z = f (x, y) определена в области D,  а точка М₀ (х₀; у₀) D. Если существует окрестность точки М₀ , которая принадлежит области D и для всех, отличных от М₀, точек М этой окрестности выполняется неравенство f (М) < f (М₀) (f (М) > f (М₀)), то точку М₀ называют точкой локального максимума (минимума) функции f (x, y), а число f (М₀) — локальным максимумом (минимумом) этой функции (рис. 6 14). Точки максимума и минимума функции называют ее точками экстремума.

Это определение можно перефразировать так. Положим х = х₀ + , у = у₀ + . тогда

Если приращение функции (х₀, у₀) < 0 ( (х₀, у₀) > 0) при всех достаточно малых по абсолютной величине приращения и ,  то функция f (x, y) в точке М₀ (х₀; у₀) достигает локального максимума z_max = f (х₀, у₀) (локального минимума z_min = f (х₀, у₀)). Иначе говоря, в окрестности экстремальной точки приращения функции имеют один и тот же знак.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если функция z = f (x, у) имеет в точке (х₀ ; у₀) локальный экстремум, то в этой точке частные производные первого порядка по переменным х и у равны нулю или не существуют.

Пусть (х₀ ; у₀) — точка экстремума. Тогда функция f (x, у₀) будет функцией одной переменной. Эта функция имеет экстремум в точке х = х₀ , поэтому ее производная равна нулю или не существует.
Аналогично, рассмотрев функцию f (х₀, у), получим, что (х₀, у₀) равна нулю или не существует.

Подобная теорема справедлива для функции n переменных. Точку (х₀ ; у₀), в которой частные производные первого порядка функции f (x, у) равны нулю, то есть = 0, называют стационарной точкой функции f (x, у).
Стационарные точки и точки, в которых частные производные не существуют,
называются критическими точками.
Таким образом, если функция в какой-либо точке достигает экстремума, то это может произойти только в критической точке. Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума, то есть теорема 1 устанавливает только необходимые, но не достаточные условия экстремума. Например, частные
производные функции z = х² – у² (рис. 3.71) равны нулю в точке (0; 0). Но эта функция в указанной точке экстремума не имеет, потому что в достаточно малой окрестности точки (0; 0) она приобретает как положительные (при ), так и отрицательные (при ) значения.
Следует отметить, что в задачах с практическим содержанием, как правило,
известно, что функция имеет экстремум. Если такая функция имеет только
одну критическую точку, то эта точка и будет точкой экстремума.

Пример №126

Открытый прямоугольный бассейн должен иметь объем V. Найти размеры бассейна, при которых на его облицовку пойдет наименьшее количество материала.

Пусть х — длина, y — ширина, z — высота бассейна, тогда V = xyz, откуда   .
Количество материала, необходимого для облицовки бассейна, определяется формулой
S = ху + 2yz + 2xz
или
.
Надо найти минимум функции S (x, y), если х > 0, у > 0. Найдем стационарные точки функции S (x, y). Имеем:

 

Следовательно, функция S (x, y) имеет только одну стационарную точку которая и есть ее точкой минимума, так как, согласно условию задачи, минимум функции S (x, y) существует.
Вычислив соответствующее значение z, получим
 .
Таким образом, бассейн должен иметь высоту, равную   и квадратное основание со стороной, равной

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в стационарной точке М₀ (х₀; у₀) и некоторой ее окрестности функция f (x, y) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Если

то функция f (x, y) имеет в точке 0 экстремум, причем максимум при ) < 0 и минимум при  > 0. Если < 0, то в точке М₀ функция f (x, y) экстремума не имеет.

Запишем формулу Тейлора (45) для функции f (x, y) в окрестности стационарной точки М₀. Учитывая, что = 0,  получим:



В случае минимума для произвольных достаточно малых значений  и   правая часть этого равенства должна быть положительной, а в случае максимума — отрицательной.
Вследствие непрерывности вторых частных производных для этого
достаточно, чтобы дифференциал второго порядка в точке М₀

сохранял знак для малых значений  и .
Введем следующие обозначения: А = ,  В = , С = . Тогда = АС – B².
Пусть — угол между отрезком М₀М = , где М — точка с координатами
(х₀ + ; у₀ + ) и осью Ох; тогда ,   =  , поэтому при А 0 имеем

Рассмотрим теперь пять возможных случаев:

1) Пусть   (х₀ ; у₀) > 0 и А < 0, тогда < 0, поэтому при достаточно
малых значениях приращение (х₀ ; у₀) < 0, то есть функция f (x, у) имеет в точке М₀ максимум.

2) Аналогично доказываем, что когда  (х₀ ; у₀) > 0 и А > 0, то функция f (x, у) в точке М₀ имеет минимум.

3) Пусть  (х₀ ; у₀) < 0 и А > 0. Если из точки М₀ двигаться вдоль луча = 0, то = > 0. Если взять =  таким, чтобы или  , то

Следовательно, при малых значениях приращение (х₀, у₀) в окрестности точки М₀ не сохраняет знак, поэтому эта точка не является точкой экстремума функции f (x, y).

4) Аналогично устанавливаем, что когда  (х₀ ; у₀) < 0 и А < 0, то функция f (x, y) в точке М₀ также не имеет экстремума.

5) Пусть  (х₀ ; у₀) = АС – B² < 0 и А = 0, тогда В 0 и
.
При достаточно малых углах знак величины 2В cos + С sin  совпадает со знаком В, поэтому знак величины будет зависеть от знака множителя sin . Но знак величины sin изменяется при  > 0  и   < 0, так как sin(–) =       –sin . Итак, в достаточно малой окрестности точки М₀ знак (х₀ , у₀) не сохраняется, то есть функция f (x, y) в этой точке экстремума не имеет.

Замечание. Из доказательства теоремы 2 вытекают так называемые вторые
достаточные условия экстремума: функция f (x, y) имеет минимум в стационарной точке М₀ (х₀ ; у₀), если дифференциал второго порядка в этой точке (М₀) > 0, и максимум — если (М₀) < 0.
Можно доказать, что вторые достаточные условия экстремума справедливы для функций произвольного числа переменных.
На основе теорем 1 и 2 получим правило исследования дифференцируемых функций двух переменных на экстремум. Чтобы найти экстремум
дифференцируемой функции z = f (x, y), необходимо:
1) найти стационарные точки функции из системы уравнений:

2) в каждой стационарной точке (х₀ ; у₀) вычислить выражение

если (х₀ , у₀) > 0, то (х₀ ; у₀) — точка экстремума, причем точка максимума при (х₀ , у₀) < 0 и минимума при (х₀ , у₀) > 0; если (х₀ ; у₀) < 0, то точка (х₀ ; у₀) не является точкой экстремума функции;
3) вычислить значение функции f (x, y) в точках максимума и минимума.
Если (х₀ ; у₀) = 0, то никакого заключения о характере стационарной точки сделать нельзя, и требуется дополнительное исследование.

Пример №127

Найти экстремумы функции z = х⁴ + у⁴ – 2х² + 4ху –2у².

Находим частные производные

Стационарные точки функции определим из системы

Добавляя эти уравнения, найдем х³ + у³ = 0, откуда у = –х.
Подставляя у = –х в первое уравнение, получим х³ — 2х = 0, откуда
 тогда
.
Итак, функция имеет три стационарные точки:
.
Найдем величину   (x, y). Поскольку 
 то .
Вычислим величину    (x, y) в каждой стационарной точке:

Таким образом, точки М₂ и М₃ — точки минимума. В этих точках z_min = –8.
В точке М₁ значение (М₁) = 0, поэтому теорему 2 применить нельзя. Убедимся, что в этой точке экстремум отсутствует. Действительно, если у = 0, то z = х⁴ – 2х² = = х² (х² – 2) < 0 в окрестности точки М₁. Если у = х, то z = 2х⁴ > 0. Следовательно, в
окрестности точки М₁ значения z могут быть как положительные, так и отрицательные, а это значит, что точка М₁ не является экстремальной. Отметим, что других экстремумов задана функция не имеет, поскольку точки, в которых производные  и  не существуют, отсутствуют.

Наибольшее и наименьшее значения функции

Известно, что функция z = f (x, y) задана и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, достигает в этой области наибольшего и наименьшего
значений. Во внутренних точках области дифференцируема функция может приобретать эти значения только в точках локального экстремума. Поэтому надо найти все стационарные точки функции, которые принадлежат области D, решив систему уравнений  и вычислить значения функции в этих точках. Затем нужно исследовать функцию на экстремум на границе области D. Используя уравнение границ, эту задачу сводят к нахождению абсолютного экстремума функции одной переменной. Среди полученных таким образом значений функции внутри и на границе области выбирают наибольшее и наименьшее значения.
Отметим, что общего метода нахождения наибольшего и наименьшего значений
для произвольной непрерывной функции в замкнутой и ограниченной области D нет.

Пример №128

Найти наибольшее и наименьшее значение функции  z = х²у (2 – х – у) в замкнутой области D, ограниченной прямыми х = 0, у = 0, х + у = 6 (рис. 6.15).

Находим стационарные точки. Имеем

Приравнивая производные к нулю и сокращая их на ху  и х² (внутри треугольника ОАВ  х 0, у 0), получаем систему уравнений:

откуда х = 1, у = 1/2.
Стационарная точка М (1; 1/2) принадлежит области D, поэтому вычисляем значение
z (М) = 1/4.
Уравнениями сторон ОВ и ОА треугольника являются х = 0 и у = 0, поэтому значение функции z = 0 во всех точках отрезков ОВ  и  ОА, в частности z (0) = z (А) = z (В) = 0.
Найдем стационарные точки на стороне АВ треугольника ОАВ. Уравнение этой
стороны у = 6 – х, поэтому z = х² (6– х) (2 – х – 6 + х) = –4х² (6 – х), 0 х 6.
Далее получим: 
 ,
откуда х₁ = 0, х₂ = 4. Поскольку  у = 6 – х, то у₁ = 6, у₂ = 2.
Находим точки В (0; 6) и С (4; 2) и вычисляем значение z (С) = –128.
Сравнивая значения заданной функции в точках А, В, С, О, М, находим наибольшее и наименьшее значения:   

Пример №129

(Задача об экстракцию уксусной кислоты из разбавленного бензолом водяного
раствора). Общий объем бензола V делится на три части: V₁, V₂, V₃ для трех
последовательных экстракций кислоты из водного слоя. При каких условиях состоится максимальное выделение кислоты при экстракции?

Экстракция (от лат. extraho — вытягиваю, изымаю) — это разделение смеси веществ с помощью растворителя, в котором составные части смеси растворяются неодинаково. Ее применяют для получения чистых веществ в химической, а чаще всего в пищевой (главным образом, в сахарной) промышленности.

Пусть х₀ — начальная концентрация уксусной кислоты в объеме  а  водяного слоя. Будем считать, что при перемешивании объем не меняется и после каждой экстракции выполняется закон распределения у = kx, то есть у₁ = kx₁, у₂ = kx₂, у₃ = kx₃, где х — концентрация кислоты в водном растворе; k — коэффициент распределения; у — концентрация кислоты в бензоле, а индексы 1, 2, 3 показывают порядковый номер экстракции.

Из материального баланса для первой экстракции получим:

   откуда:

аналогично для второй и третьей экстракции соответственно имеем: 

.

Извлечение кислоты для заданного количества бензола максимальное при минимальном значении х₃. Поскольку  а³х₀ — постоянная величина, то х₃ будет минимальным, если знаменатель u (V₁, V₂, V₃) = (а + V₁k) (а + V₂k) (а + V₃k) будет максимальным при условии, что V₁ + V₂ + V₃ = V.
Исключив переменную V₃, получим задачу на нахождение экстремума двух переменных:

u (V₁, V₂) = (а + V₁k) (а + V₂k) (а + Vk – V₁k – V₂k).

Поскольку

то из системы уравнений

   или 

имеем V₁ = V₂ = , то есть функция u (V₁, V₂) имеет только одну стационарную точку    которая и является ее точкой максимума, так как согласно условию задачи максимум функции u (V₁, V₂) существует. Вычислив значение V₃ = V – V₁ – V₂ = , видим, что V₁ = V₂ = V₃ = . При таких условиях произойдет максимальное выделение уксусной кислоты.
Можно показать, что найденный результат является общим: для максимального извлечения веществ при экстракции надо пользоваться равным количеством растворителя в виде отдельных порций независимо от того, на сколько частей разделено общее количество растворителя V.

Условный экстремум

Пусть в области D заданы функция  z = f (x, y) и линия L, которая определяется
уравнением (x, y) = 0 и лежит в этой области.
Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую ​​точку М (x; y), в которой значение функции f (x, y) является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в других точках линии L. Такие точки М называют точками условного экстремуму функции f (x, y) на линии L. В отличие от обычного экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями этой функции не во всех точках области D (или -окрестности точки М), а только в точках, лежащих на линии L.
Название «условный экстремум» связано с тем, что переменные х и у имеют дополнительное условие (x, y) = 0.
Уравнение (x, y) = 0 называется уравнением связи; если это уравнение можно решить относительно одной переменной, например y:  у =  (х), то, подставляя вместо у значение (х) в функцию z = f (x, y), получаем функцию одной переменной z = f (x, (х)). Поскольку дополнительное условие учтено, то задача нахождения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной.
Однако не всегда можно решить уравнение связи относительно у  или х. Тогда решают поставленную задачу так.
Рассмотрим функцию z = f (x, y), где у =  (х), как сложную функцию. Из необходимого условия экстремума следует, что в точках экстремума
                                                      (46)
В этом случае   означает производную неявной функции y, заданной уравнениями связи (x, y) = 0:
  поэтому   
то есть

Обозначив последние отношения через  (знак минус взят для удобства, а само число  может иметь произвольный знак), найдем, что в точке условного экстремума выполняются условия
  то есть   

Следовательно, стационарные точки условного экстремума должны удовлетворять систему уравнений
                                                                               (47)
Анализируя эту систему, замечаем, что нахождение условного экстремума функции z = f (x, y) свелось к нахождению обычного экстремума функции
                                                      (48)
Функция (48) называется функцией Лагранжа, а число — множителем
Лагранжа.
Условия (47) является лишь необходимым. Они позволяют найти стационарные
точки условного экстремума. Из теоремы 2 (п. 3.4) следует, что характер условного экстремума (достаточные условия) можно установить по знаку дифференциала второго порядка функции Лагранжа: если в стационарной точке > 0 ( < 0), то эта точка является точкой условного минимума (максимума).
Для функции u = f (x, y, z) с уравнениями связи (x, y, z) = 0,   (x, y, z) = 0 функция Лагранжа записывается в виде

Стационарные точки условного экстремума находятся из системы уравнений

а достаточные условия существования условного экстремума в этих точках можно определить по знаку дифференциала .
Рассмотренный метод можно распространить на исследования условного
экстремума функции произвольного числа переменных.

Пример №130

Найти наибольшее значение функции z = ху, если х и у — положительные и удовлетворяют уравнения связи
.

Составляем функцию Лагранжа (48):

Пользуясь системой (47), находим стационарные точки этой функции:

откуда х = 2, у = 1, = –2. Итак, имеем одну стационарную точку М (2; 1; –2).
Чтобы определить характер условного экстремума в этой точке, найдем с помощью формулы (18) второй дифференциал функции Лагранжа при = –2:
.
Найдя из уравнения связи  получим

поэтому точка (2; 1) является точкой условного максимума функции z = ху. При этом z_max = 2.
Этот результат легко проверить, найдя обычный экстремум функции:

 .

Интегральное вычисление функций с одной переменной

Интеграл - одно из центральных понятий математического анализа и всей математики. Оно возникло в связи с двумя основными задачами: 1) про восстановление функции по заданной ей погрешности; 2) про вычисления плоскости, ограниченной графиком функции  прямыми  осью  (подобные задачи есть в вычислении многих других величин, например работы, что выполняет сила на протяжении некоторого времени). Термин "интервал" ввел Я. Бернулли в 1690г. Интересно, что в истории математики этот термин связывают с двумя латинскими словами:  - восстанавливать и  - целый. 

Указанные две задачи приводят к двум связанным между собой видам интегралов: неопределенного и определенного. Изучения свойств и вычисление этих интегралов и составляют основную задачу интегрального вычисления.

Элементы интегрального вычисления заложено в трудах математиков Древней Греции. Основные понятия и начало теории интегрального вычисления, прежде всего связь с дифференциальными вычислениями, а также использование их в решении практических задач, разработаны в конце 17 века Ньютоном и Лейбницем. Дальнейшее историческое развитие интегрального вычисления связан с именами Л. Ейлера, О. Коши, Б. Римана и других ученых. 

Неопределенный интеграл 

Основной задачей дифференциального вычисления является нахождение производной  заданной функции  Одно из возможных физических трактовок этой задачи - обозначение скорости движения по функции, которая задает пройденный путь за час движения. Из практической точки зрения естественной является обратная задача, а именно, обозначение пройденного пути по известной скоростью движения как функция времени. Более формально, остальная задача является нахождением функции  по известной ее производной   Решается эта задача с помощью неопределенного интеграла. 

Понятие первичной функции и неопределенного интеграла

Функция  называется первичной функции  на промежутке  если  дифференцирована на  и  

Например: 1) первичной функции  является функция  (на самом деле ); очевидно, что первичными будут также функции и вообще  где  - произвольная постоянная, поскольку 

2) функция  имеет первичную функцию   так как 

Рассмотренные примеры показывают, что задача нахождения первичной решается неоднозначно. Иначе говоря, если для функции  существует первичная  то эта первичная не одна. Возникает вопрос: как найти все первичные данной функции, если известна хотя бы одна из них? Ответ дает такая теорема. 

Теорема. Если  - первичная функции   на промежутке  то любая другая первичная функции  на этом самом промежутке имеет вид 

 Пусть  - некоторая другая, отличная , первичная функции , то есть 

Получаем 

а это означает, что  Следовательно, 

Из этой теоремы получается, что множество функций  где  - одна из первичных функции  , а  - произвольная постоянная обозначает совокупность первичных заданной функции. 

Если  - первичная функции  на промежутке  и  - произвольная постоянная, выражение  называется неопределенным интегралом функции  на этом промежутке и обозначаются символом  Таким образом, символ  обозначает множеству всех первичных функции .

Знак  который ввел Лейбниц, называют интегралом   - подынтегральным выражением,  - подынтегральной функцией,  - переменной интегрирование. Следует, по определениям, 

  если 

Операцию нахождения неопределенного интеграла от функции называют интегрированием этой функции. 

С точки зрения геометрии неопределенный интеграл является множеством кривых, каждая из которых называется интегральной кривой и выполняется смещением одной из них параллельных самой себе вдоль оси  (рис. 7.1). Чтобы их этого множества выделить определенную интегральную кривую  достаточно задать ее значение  в какой нибудь точке 

Из равенств (1) получаются такие свойства неопределенного интеграла. 

 Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

Иначе говорят, знаки производной и неопределенного интеграла взаимно уничтожаются. Это естественно, потому что операции дифференцирования и интегрирования - взаимно обратные. Вследствие этого правильность выполнения операции интегрирования проверяется дифференцированием. Например, 

 Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и производной постоянной:

 Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегрального выражения:  

  Постоянный множитель  можно вынести за знак интеграла: 

 Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций алгебраической суммы интегралов от этих функций: 

Свойства  и  проверяются дифференцированием на основе свойства  Свойство  справедливо для произвольного ограниченного числа множителей. 

 Если  и  - произвольная функция, что имеет непрерывную производную, то 

 Вследствие инвариантности формы первого дифференциала  и свойства  получаем 

Это свойство (ее называют инвариантностью формулы интегрирования) очень важна. Она обозначает, является ли формула неопределенного интеграла справедливой, является ли сменная интегрирования независимой или нет, есть ли произвольная функция от нее. Таким образом, количество интегралов, которые вычисляются, неограниченно увеличивается. Например,   поскольку 

Пользуясь инвариантностью этой формулы, получим формулу  где  - произвольная функция, что имеет непрерывную производную. Кроме  то есть 

 то есть 

 то есть 

естественно, возникает вопрос:  существует ли для любой функции неопределенный интеграл? Отрицательный ответ на этот вопрос дает такой пример: пусть 

Покажем, что функция  на промежутке  не имеет первоначальной. Предположим противоположное. Пусть существует такая функция  что  Тогда из теоремы Лагранжа на отрезке   получаем, что 

 - правая производная функции  в точке ). Полученное противоречие означает, что заданная функция первичной не имеет. 

Этой пример показывает, что нужна теорема, которая гарантировала существование неопределенного интеграла. 

В п. 2.4 будет доказано, что любая непрерывная на промежутке  функция имеет на этом промежутке первичную. В связи с ним далее получим, что подынтегральная функция рассматривается только на тех промежутках, где она непрерывна. 

Таблица основных интегралов

Часть формул таблицы основных интегралов непосредственно получается из определения интегрирования как операции, обратной к операции дифференцирования, таблицы производных и формулы (2). Справедливость других формул можно проверить дифференцированием. 

Интегралы этой таблицы называют табличными. Их нужно знать на память по двум причинам. Во-первых, вместо существующих методов интегрирования состоит в том, чтобы свести искомый интеграл к табличному. Следует, табличный интервал нужно уметь распознавать. Во-вторых, как обозначено в конце предыдущего пункта, вследствие инвариантности каждый табличный интеграл "порождает" множество интегралов, что легко вычисляются на основе табличного.  

Пусть  - произвольная функция, что имеет на некотором промежутке непрерывную производную  тогда на этом промежутке справедливы такие формулы: 

Основные методы интегрирования 

Операция интегрирования намного сложнее, чем операция дифференцирования. В дифференцированном численная таблица производных  и правила дифференцирования функции дают возможность найти производную произвольной дифференцированной функции. В интегральном вычислении таких простых и универсальных правил не существует. Отсутствует, например, общее правило интегрирования произведения двух функций, даже если каждая из них известна. То же относиться и к делению и складыванию двух функций. Интегрирование  обязывает, так сказать, к индивидуальному  подходу к каждой подынтегральной функции. 

Основными методами интегрирования является непосредственное интегрирование, метод подстановки и интегрирования частями. 

Метод непосредственного  интегрирования

Вычисления интегралов с помощью основных свойств неопределенных интегралов и таблицы интервалов называют непосредственным интегрированием. 

Пример №131

Найти интегралы: 

При каждом интегрировании выполняются  произвольные постоянные  Но в итоге записывают только одну постоянную  потому что, когда  - произвольные постоянные, то  также являются произвольной постоянной. Потому в дальнейшем постоянная  обозначим сумму всех произвольных постоянных

Метод подстановки (смены переменной) 

Суть этого метода предполагает введение новой переменной интегрирования. Он основывается на следующей теореме. 

Теорема. Пусть  - первичная функции  на промежутке   , то есть 

и пусть функция  обозначена и дифференцирована на промежутке  причем множество значений этой функции является промежуток  Тогда справедлива формула 

 На самом деле, согласно с правилом дифференцирования сложной функции получаем 

и формула (3) получается по свойству 

Доказанная теорема выполняется, как правило, одним из двух способов: 

1) Интеграл записывают  в виде  в котором для функции  известна первичная  тогда по формуле (3) 

на практике удобнее запись в таком виде: 

2) Интеграл  изображают в виде  где функция  имеют обратную функцию  и для функции   известна первичная  тогда 

Обозначим, что формулы (4) и (5) отличаются "промежуточными" интегралами:  и

В первом из этих интегралов и формулы (4) говорится про "введение функции под знак дифференциала"  а во втором и формулы (5) - про "выведение функции из под знака дифференциал": 

Общими в формулах (4) и (5) является обратный переход в результаты интегрирования от переменных  и  к переменной  Иначе говоря, после вычисления неопределенного интеграла методом подстановки нужно от введенной переменной интегрирования перейти к заданной. 

Таким образом, при интегрировании заменой переменной выполняются подстановка двух видов:  и  И подстановки подбирают так, чтобы полученные после подстановки новые интегралы в формулах (4) и (5) были табличными, или были известными. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно обозначить подстановку набивается со временем. 

Рассмотрим примеры на использование формул (4) и (5), с простейшими из них мы уже встречались в п. 1.1

Примеры 

1. Найти интегралы: 

Метод интегрирования частями

Пусть  - функции, что имеют на некотором промежутке непрерывные производные. Тогда

Интегрируя обе части данного равенства, получим  или 

Формула (6) называется формула интегрирования частями. Она дает возможность вести вычисления интеграла к интегралу . 

Как правило, подынтегральное выражение, который складывает произведение  можно разделить на множители  и  несколькими способами. Умение представить подынтегральную функцию через  и  так, чтобы интеграл справа в формуле (6) был простым, чем интеграл слева, получается в процессе вычисления интегралов. 

Обозначим, что во время нахождения функции  с дифференциалом  считают, что постоянная  поскольку на конечный результат эта постоянная не влияет. На самом деле, подставив  в формулу (6), получаем: 

Иногда формула (6) приходится использовать несколько раз. Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования частями:

1) интегралы вида  где  - многочлен, а  - действительное число. В этих интегралах за  следует взять множитель , а за - выражением, что осталось;

2) интегралы вида   где  - многочлен. В этих интегралах следует взять 

3) интегралы вида  где  - действительные числа. Тут после двукратного использования формулы (6) выполняется линейное уравнение относительно искомого интеграла. Решая эти уравнения, находят интеграл. 

Пример №132

Найти интегралы 

откуда 

Получали уравнения, из которого получаем искомый интеграл: 

Пример №133

Вывести рекуррентную формулу для интеграла 

Для полученного интеграла используем формулу (6): 

Следует, 

Формула (7) дает возможность найти интеграл  для любого натурального число  Вычислим, например, 

Учитывая, что 

получим : 

Используя приведенные здесь методы интегрирования, перейдем к интегрированию некоторых видов функций. Для этого будут нужны определенные сведений из алгебры.

Понятия про комплексные числа

Комплексным числом называется выражение 

где  и  - действительные числа, а символ  - мнимая единица, которая вычисляется условием  При этом число  называется действительной частью комплексного числа  и обозначается  а  - мнимая часть  (от франц. слов  - действительный,  - мнимый). 

Выражение, что стоит справа в формуле (8), называют алгебраической формой записи комплексного числа. 

Два комплексные числа  которые отличаются только знаком мнимой части, называют спряженными. 

Два комплексные числа  и  считаются равными  тогда и только тогда, когда равные их действительные части и равные их мнимой части: 

Комплексное число  равно нулю  тогда и только тогда, когда 

Комплексные числа можно изображать на плоскости. Если пользоваться декартовой системой координат, то число (8) изображается точкой  Такая плоскость условно называется комплексной плоскости переменной   ось  - действительной осью, а  - мнимой. 

Комплексное число  при  соприкасается с действительным числом  Потому действительным числом является отдельным случаем комплексных, они изображаются точками оси 

Комплексные числа  при которых  называют подлинными; такие числа изображаются точками оси .

Полярные координаты точка  на комплексной плоскости и называются модулем и аргументом комплексного числа и обозначаются 

Поскольку  (рис. 7.2) то из формулы (8) получаем 

Выражение, которое состоит справа в формуле (9), называется тригонометрической формой комплексного числа 

Модуль  комплексного числа обозначается однозначно, а аргумент  - с точностью до 

Тут под  подразумевают общее значение аргумента; в отличие от него,  - главное значение аргумента, оно находится на промежутке  и учитывается от положительного направление оси  против часовой (иногда рассматривают и отрицательные аргументы  )

Если  то считают, что  а  - неопределенный 

Основные действия над комплексными числами  и  заданными в алгебраической форме, обозначаются такими равенствами: 

Таким образом, арифметические действия над комплексными числами выполняются по обычным правилам действий над двучленами с учетом того, что 

Несложно проверить, что когда в равенствах 1) - 4) каждое комплексное число  заменить спряженным  то и результаты указанных действий заменяются спряженными числами. Отсюда получается такое утверждение: если  - многочлен с действительными коэффициентами  то 

 то есть если в многочлен вместо  подставить спряженные числа   и   то результаты этих подстановок также будут взаимно сопряженными. 

Увеличение числа  до целой натуральной степени выполняется по формуле бинома Ньютона  с учетом того, что для произвольного числа  справедливы равенства 

Пример №134

Выполнить действия 

Получим 

Пару слов о рациональной функции

Как известно, многочленом (полиномом или целой рациональной функцией) называется функция 

где  - натуральное число, которое называется степенью многочлена,   - коэффициенты многочлена, действительные или комплексные числа; независимая переменная  так же может быть как действительной так и комплексной. 

Далее рассмотрим только многочлены с действительными коэффициентами. 

Корнем многочлена (13) называется такое числовое значение переменной  при котором многочлен превращается в ноль, то есть такое, что 

Теорема 1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена  на разницу  равны 

 При делении многочлена  - ой степени на двучлен  определенной степени оставим некоторый многочлен  - ной степени и остаток  - определенное действительное число. Потому 

Это тождество справедливо для всех . Если в равенстве (14) перейти к границе при  то получим 

если  - корень многочлена, то согласно с теоремой Безу  потому 

Подчеркнем, что равенство (15) имеет место только по условию, что  - корень многочлена  В связи с этим возникает вопрос: имеет ли всякий многочлен имеет корни? Положительный ответ не эти вопросы дает такие утверждения. 

Теорема 2. (основная теорема алгебры). Любой многочлен степени  имеет хотя бы один корень, действительный или комплексный. 

Примем эту теорему без доказательства. 

Из теоремы 2 получается, что многочлен (13) всегда можно записать в виде (15). Неважно отметить (например, из процедуры деления многочлена  на двучлен  "в столбик" ), что главный коэффициент многочлена  то есть коэффициент при  равно  

Если степень многочлена  не равно нулю, то есть  то до этого многочлена можно использовать теорему 2. Пусть  - корень многочлена  тогда 

где  - многочлен ой степени с главным коэффициентом 

Из равенств (15) и (16) получим, что 

Продолжая этот процесс, приходим к такому утверждению. 

Теорема 3. Всякий многочлен -ой степени можно преподнести в виде 

где  - корни многочлена,  - коэффициент многочлена при 

Например, 

Для проверки этих тождеств достаточно умножить их правые части.

Множители  в формуле (17) называют линейными множителями. Если некоторые из линейных множителей одинаковы, то их можно объединить и тогда формула (17) имеет вид 

где  - число разных корней, 

В этом случае корень  называется корнем кратности  или -кратным корнем,  - корнем кратности  и т.д. Корень  кратности единица называется простым корнем. 

Пусть теперь число  - комплексный корень многочлена (13) то есть  тогда из равенства (10) получается, что спряженное число  так же является корнем многочлена (13). Умножив линейные множители, что соответствуют этим корням, получим

где  - действительные числа. 

Таким образом, произведение линейных множеств, что соответствуют взаимно сопряженными комплексными корнями, можно заменить квадратичным трехчленом с действительными коэффициентами и с отрицательным дискриминантом. 

Объединяя в формуле (18) множеств с взаимно спряженными корнями, получим 

где  кратности действительных корней; - кратности комплексно спряженных корней:  - постоянные;  - действительные числа, причем 

Следует, любой многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами. 

Замечание 1. Если многочлен   тождество равно нулю, то есть равно нулю при произвольных значениях  то все его коэффициенты равны нулю.

 Действительно, если  то  имел  корней: если   и    то  имел  - один корень и т.д. В условии сказано, что  имеет множество корней, ибо 

Замечание 2.  Если многочлены тождеств равны один одному, но равные их степени и равны между собой коэффициенты при одинаковых степенях 

Действительно, разница данных многочленов тождества равны нулю, потому из предыдущего замечания получается, что все коэффициенты этой разницы - нули, то есть коэффициенты данных многочленов одинаковые. Например, если 

Отношения двух  многочленов  и  называется рациональной функцией или рациональной дробью 

Рациональная дробь называется правильным, если степень числителя меньшей степени знаменателя  в другом случае  Рациональная дробь называется неправильной.

Если дробь неправильная, то, выполнив деление, получим 

где  и  - многочлены -нной и  - нной степени, причем то есть дробь  - правильный. Например, 

Элементарными рациональными дробями называются правильные рациональные дроби таких четырех видов:

где  - действительные числа, а трехчлен  не имеет действительных корней, то есть 

Теорема 4. Пусть знаменатель правильной рациональной дроби разложен на множители по формуле (19):

тогда эта дробь можно преподнести в виде 

где 

некоторые действительные числа (12). 

Выражение (21) называют разделением правильной рациональной дроби на элементарные дроби.

Для нахождения чисел  можно вычислить методом уравнивания коэффициентов. Суть его такая. Умножим обе части равенства (21) на  вследствие чего получим два тождественно равные многочлены: известный многочлен  и многочлен с неизвестными коэффициентами  Приравнивая их коэффициенты при одинаковых степенях  (замечание 2), получим систему линейных уравнений, с которой обозначим неизвестные 

Пример №135

Выразить через элементарные дроби, дробь 

 По формуле (9) получим 

Умножив обе части этого равенства на  получим тождество 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой части, получим систему уравнений 

решая которую получим 

Следовательно, 

Кроме метода уравнивания коэффициентов, пользуются также методом отдельных значений аргумента. Пусть после умножения обеих частей равенства (21) получим два тождества равны многочлены, один из которых - известный, а другой с неизвестными коэффициентами. Система уравнений значительно упрощается, если переменной  дать значения действительных корней знаменателя  Иногда удобно пользоваться комбинированным методом, то есть некоторые из неизвестных коэффициентов обозначить, подставляя в  значения действительных корней знаменателя, а другие - обозначить методом уравнения. 

Пример №136

Выразить через элементарные дроби дробь 

 Имеем 

Если в этом тождестве поместить  откуда  если  то  или  если   или 

Следует, 

Пример №137

Выразить через элементарные дроби дробь 

 Получаем 

если  то  или  когда  то  или  Приравнивая коэффициенты при  получим  поскольку  ибо  следовательно, 

Интегрирование рациональных функций 

Рациональные функции складывают важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции. 

Пусть нужно найти 

Учитывая равенство (20), этот интеграл можно предоставить как сумма интеграла от многочлена и правильной рациональной дроби: 

Интеграл от многочлена находят непосредственно, как мы уже рассмотрели ранее, а интеграл от правильной рациональной дроби находиться с помощью формулы (21).

Рассмотрим эти интегралы: 

Первый интеграл находят так: 

а второй является табличным (формула 19 табл. ), поскольку по условию 

Заметим, что подстановка  "подсказанная" тем, что квадратичный трехчлен в знаменателе можно записать в виде 

В общем случае получим 

где  Знак плюс и минус берется в зависимости от того, какими будут корни знаменателя: комплексными или действительными. Отсюда получается, что интегралы вида  вычисляются подстановкой 

 Интеграл вида 

подстановкой  приводиться к двум интегралам: 

Первый из этих интегралов вычисляется как обычно, а второй - по рекуррентной формуле (7).

Следовательно, установлено, что интегрирование произвольной рациональной функции приводятся к интегрированию многочлена и ограниченного числа элементарных дробей, интегралы от который выражаются через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. Иначе говоря, любая рациональная функция интегрируются в элементарных функциях. 

Пример №138

Найти интегралы  

Пример №139

Найти интеграл 

 Поскольку разделение подынтегральной функции на элементарной дроби уже известен, то 

Для вычисления оставшегося интеграла используем формулу (7): 

Следует, 

Пример №140

Найти интеграл 

 Под знаком интеграла имеем неправильную дробь, потому сначала выделим целую его часть  

 

Откуда 

Разделив правильную дробь на элементарные, получим 

Воспользовавшись комбинированным методом нахождения коэффициентов  и  Если  то  поскольку   потому  

Далее получим 

Следовательно, 

Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций

Наперед заметим, что интегралы от иррациональных и трансцендентных функций не всегда вычисляют с элементарных функциях. Рассмотрим некоторые типы интегралов, которые с помощью определенных подстановок можно привести до интегралов от рациональных функций. 

Пусть  - рациональная функция от переменных  то есть такая функция, в которой над обозначенными переменными и действительными числами выполняется ограниченное количество четырех арифметических действий: складывание, вычитание, умножение и деление. 

Например, рациональной относительно переменных  и  является функция 

Если переменные   и , в свою очередь, являются функциями от  и  то функция  является рациональной относительно функции  и  

Например, функция  является рациональной функцией от  

Рассмотрим теперь интегралы от некоторых иррациональных функций и покажем, что в ряде случаев они приводятся в интегралам от рациональных функций (но, как говорят, становятся рациональными). 

1. Интегралы вида 

становятся рациональными подстановкой  где  - общий знаменатель дробей 

Действительно, если 

то есть  и  выражаются через рациональные функции от 

Поскольку, каждая степень дроби  выражается через целую степень  то подынтегральная функция преобразуется в рациональной функцией от 

Пример №141

Найти интегралы: 

2. Интегрирование дифференциальных биномов. Выражение вида  где  - постоянные числа, а  и  - произвольные постоянные числа, называется дифференциальным биномом. Справедливая такая теорема Чебишева. 

Теорема. Интеграл от дифференциального бинома 

  выражается через интеграл от рациональной функции относительно новой переменной, если:

1)  - целое число (положительное, отрицательное или 0) и сделать подстановку  где  - наименьший общий знаменатель дробей  и 

2)  - целое число (положительное, отрицательное или 0)  и сделать подстановку  где  - знаменатель дроби 

3)  целое число (положительное, отрицательное или 0) и сделать подстановку  где  - знаменатель дроби 

В других случаях интеграл от дифференциального бинома через элементарные функции не выражается (12).

Пример №142

Найти интеграл 

 Поскольку в интеграле 

то применим второй случай теоремы Чебишева. 

Получим 

3. Интегралы вида   становится рациональным подстановкой  которая называется универсальной. 

Действительно, 

Потому, 

где  - рациональная функция от 

Пример №143

Найти интервал 

Заметим, что универсальная подстановка всегда рационализирует интеграл 

На практике она часто приводит  к рациональным дробям с большими степенями. Потому в многих случаях используются другими подстановками. Приведем некоторые из них . 

 рационализируется подстановкой  

рационализируется подстановкой  

рационализируется подстановкой 

рационализируется подстановкой  если функция непарная относительно  или подстановкой  если функция  непарная относительно 

или подстановкой  если функция  парная относительно  и  одновременно: 

 находиться подстановкой  если  - целое положительное непарное число, или подстановкой  если - целое положительное непарное число, а также с помощью формулы понижения степени 

если  и  - целые положительные парные числа, если хоть одно из них отрицательное, то данный интеграл рационализируется подстановкой  такая же подстановка используется и в случае, если   и  - целые непарные и отрицательные. 

е) интегралы  ,  вычисляются с помощью известных формул: 

Пример №144

Найти интегралы: 

 а) поскольку подынтегральная функция непарная относительно  то воспользуемся подстановкой  Отсюда 

Получаем 

4. Интеграл вида  с помощью подстановки  приводится к одному из таких интегралов 

где  Несложно предположить что с помощью подстановок 

соответственные интегралы приводятся к интегралу 

Например, 

Необходимо обозначить, что в интеграле вида  выражаются через рациональные функции так же с помощью так называемых подстановок Ейлера: 

1) если 

2) если 

3) если 

где  - корень трехчлена 

Первую подстановку ми использовали при решении примера 2б, п. 1.3. Покажем на примере использование другой подстановки. 

Пример №145

Найти интеграл 

Воспользовавшись другой подстановкой Ейлера, получим 

5. Интеграл вида  рационализирован подстановкой  

Действительно, поскольку   и 

Пример №146

Найти интеграл 

1.8 Интегралы, что "не берутся" 

Как видно было из дифференциального вычисления, производная элементарной функции так же является элементарной функции. Иначе говоря, операция дифференцирования не выводит наз из класса элементарных функций. Этого не можно сказать про интегрирование - операцию, обратную к дифференцированию. Интегрирование элементарной функции не всегда снова приводит к элементарной функции. Подобное происходит и для других взаимно обратных операций: сумма произвольный натуральных чисел является всегда натуральным, а разница - нет; произведение двух целых чисел всегда является целым числом, а частность - нет и т. д. Строго доказано, что существуют элементарные функции, интегралы от которых не являются элементарными функциями. Про такие интегралы говорят, что они не вычисляются в оконченном виде, то есть "не берутся".  

Например, доказано, что "не берутся" два интеграла: 

•  - интеграл Пуассона;
•  - интеграл Френеля;
•  - интегральный логарифм;
•  - интегральный косинус;
•  - интегральный синус;
•  - эллиптический интеграл;
• ряда других интервалов. 

Указанные интегралы хотя и существуют, но не являются элементарными функциями. В подобных случаях первичная представляет собой некоторую новую, не элементарную функцию, то есть функцию, которая не выражается через оконченное число арифметических операций и суперпозиций над основными элементарными функциями. Не элементарные функции расширяют множество элементарных функций. 

Получается, что интеграл, который не числится в классе элементарных функций. может выявиться тем, что числится в расширенном классе функций. 

Таким образом, интегрирование в уравнении с дифференцированием - операция сложная. Потому нужно твердо выделить основные методы интегрирования и четко знать виды функций, интегралы от которых находятся этими методами. Кроме того, выявляется, что нужно разделить также интегралы, которые "не берутся". Потому в инженерной практике широко пользуются справочниками, в которых содержатся в таблице интегралов, что выражается через элементарные и не элементарные функции 

Определенный интеграл

Определённый интеграл — одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла.

Задачи, что приводят к определенному интегралу

 Задача про плоскость криволинейной трапеции. Пусть на отрезке  задана функция  Фигура  (рис. 7.4) ограниченная графиком данной функции и отрезками прямых  называется криволинейной трапецией. Вычислить площадь   этой трапеции: 

С уменьшением всех величин всех величин  точность этой формулы увеличивается, потому естественно плоскость криволинейной трапеции считать границу плоскостей ступенчатых фигур по условии, что максимальная длина частичных отрезков направляется к нулю: 

 Задача  про работу переменной силы. Пусть на материальную точку действует сила  которая изменяет направление и непрерывно изменяется в соответствии с силой  и пусть под действием этой силы точка переместилась вдоль оси  из точки  в точку  Вычислить работу  этой силы отрезка  

 В каждой точке  действует сила  которая по условию является непрерывной функцией от  Разобьем отрезок  точками  на  частичных отрезков  Предположим, что каждый из частичных отрезков такой маленький, что силу  на нем можно считать постоянной и равной значению функцией  в некоторой произвольно выбранной точке  Работа, выполненной этой силой на отрезке  равно произведению  где  На самом деле, на отрезке  сила  изменяется, поэтому выражение  дает только приближенное значение работы на этом отрезке.

Поскольку работа на отрезке  равны сумме работ на всех частичных отрезках, то 

  Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина  Потому за работу силы  на пути  считается граница полученной суммы: 

 Задача про пройденный путь. Пусть точка движется по прямой со скоростью  где  - непрерывная функция от времени  Нужно обозначить путь  который пройдет точка на промежуток времени  от момента   к моменту 

 Разобьем отрезок  точками  на  частичных промежутков времени   Предположим, что отрезок  такой маленький, что скорость  при постоянной и равной, например  где  Это означает, что движение точки на промежутке  считается равномерным, потому путь, пройденный точкой за время  равно промежутку  а путь, пройденный за время  выражается приближенной формулой: 

 Эта приближенное равенство тем точнее, чем меньше величины  Потому, естественно, за путь считается границей найденной суммы: 

 Задача про массу неоднородного стержня. Пусть имеем прямолинейный стержень, который лежит на оси  в пределах отрезка  Нужно найти массу  этого стержня, если его плотность  является некоторой непрерывной функцией от 

 Разобьем стержень на  произвольных частей  точками 

Если отрезок  достаточно малый, то функция  на нем меняется мало, потому масса части стержня  которая соответствует этому отрезку, приблизительно равно произведению  а масса всего стержня 

Точное значение массы найдем как границу этой суммы, когда 

Все рассмотренные задачи привели нас до одной и той же математической операции - нахождения границы определенного вида сумм. Но границы (22) - (25) не совсем случайны. На самом деле, суммы под знаком границы зависят не только заданной функции, а и от точек разбития  и от точек  Число точек направляется к бесконечности, когда длина максимального частичного отрезка направляется к нулю. Иначе говоря, в каждом случае, то есть для каждой заданной функции, говорится про нахождении границы суммы неограниченного большого числа неограниченное количество малых множителей. 

К такой же математической операции над функциями приводят много других задач, потому возникает нужда всестороннего изучения этой операции, независимо от конкретной цели той или иной задачи. 

Определения и условия существования определенного интеграла

Пусть функция  обозначена на отрезке  Разобьем этот отрезок на  произвольных частей точками: 

Совокупность точек  обозначим через  и назовем -разделением отрезка  

На каждом частичном отрезке  возьмем произвольную точку  и строим сумму 

где  - длина отрезка 

Сумма (26) называется интегральной суммой функции  которая соответствует -разделением отрезка  на частичном отрезке и данном выборе промежуточных точек 

Геометрическая цель интегральной суммы: если  то число  равно площади ступенчатой фигуры (рис. 7.4), то есть суммы площади прямоугольников с основами  и высотами  

обозначим через  длину большего частичного отрезка -разделением и назовем его диаметром этого разделения: 

Если существует оконченная граница интегральной суммы (26) при  которая не зависит не от -разделения, не от выбора точек  то эта граница называется определенным интегралов функции  на отрезке  и обозначаются символом  Следовательно, согласно с определением  

 В этом случае функция  называется интегрированной на отрезке  Числа  и  называются соответственно нижним и верхним пределом интегрирования; функция  называется подынтегральной функцией;  - подынтегральным выражением;  - переменной интегрирования;  - промежутком интегрирования. 

Возвращаясь к задачам п. 21 на основе равенств (22) - (27), можно сказать, что:

1) площадь  криволинейной трапеции, ограниченной прямыми   и графиком функции  равен обозначенному интегралу от этой функции:

 

В этом заключается геометрическое содержание определенного интеграла: определенный интеграл от отрицательной функции равно площади соответственной криволинейной трапеции; 

2) работа  переменной силы  которая действует на отрезке  равно значению интеграла от силы: 

3) путь  пройденный точкой за промежуток времени от  к   равно определенному интегралу от скорости 

Эта формула характеризует физическое содержание определенного интеграла; 

4) масса  неоднородного стержня на отрезке равно определенному интегралу от плотности 

 

В определение определенного интеграла функция  не обязательно непрерывна и отрицательна на  Это определение не подтверждает так же существование определенного интеграла для любой функции , обозначенной на  Оно только говорит про то, что когда граница интегральной суммы существует для заданной на  функции  и при произвольном разделении  отрезка  и произвольном выборе точек  она одна и та же, то эта граница называется определенным интегралом функции  на отрезке . 

Следует так же иметь ввиду, что когда говорят, что функция  интегрирована на , то понимают, что существует ограниченная граница (27) и эта граница не зависит ни от способа разделения отрезка  на частичные отрезки  ни от выбора промежуточных точек  в каждом из них. 

Сформулируем условия интеграции функции 

Теорема 1.  Если функция  интегрирована на отрезке , то она ограничена на этом отрезке. 

Следует обозначить, что обратное утверждение неправильное: существуют функции, которые ограниченны на отрезке, или не интегрированы на нем. 

Примером такой функции является функция Дирихле: 

Эта функция на отрезке  является ограниченной:  но не интегрированной. На самом деле, если на каждом частичном отрезке на промежутке точки    взять рациональные числа, то из формулы (26) получается, что сумма  а если  - иррациональные числа, то  Это означает, что величина границы интегральной суммы, построенной для функции  зависит от выбора точек . Потому функция Дирихле не интегрирована на 

Теорема 2. Если функция  непрерывна на отрезке , то она интегрирована на этом отрезке. 

Условие непрерывности функции является достаточным условием ее интеграции. Однако это не означает, что определенный  интеграл существует только для непрерывных функций. Класс интегральных функций значительно широкий. Так, существует определенный интеграл от кусочно-непрерывных функций, то есть функций, которые имеют ограниченное число точек разделения первого рода. Это утверждает следующая теорема. 

Теорема 3. Если функция  ограниченна на отрезке  и непрерывна в нем везде, кроме ограниченного числа точек, то она интегрирована на этом отрезке. 

Более того, справедлива такая теорема (9). 

Теорема 4. Всякая ограниченная и монотонная на отрезке функция интегрирована на этом отрезке. 

Эта теорема значительно расширяет класс интегрированных функций, поскольку монотонная функция может иметь не только ограниченное,  но и неограниченное количество точек разделения первого рода. 

Далее, как правило, будем рассматривать только непрерывные функции. 

Свойства определенного интеграла 

 Величина определенного интеграла не зависит от значения переменного интегрирования:

Интегральная сумма (26), а следовательно, и ее граница (27) не зависит от того, какой буквой обозначает аргумент функции  Это обозначает, что определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования. 

Определенный интеграл  введенный для случая, когда  Обобщим понятие интеграла в случае, когда  и 

 Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равны нулю :

 От перестановки между интегрированием интегралов, интеграл изменяет знак на противоположный:

Свойства  и  принимают как определения. Обозначим, что эти определения полностью оправдывает приведенная далее формула Ньютона - Лейбница (п. 2.4). 

 Если функция  интегрирована на максимальном из отрезков  то справедливо равенство 

 Предположим сначала, что  Поскольку граница интегральной суммы не принадлежит от способа разделения отрезка  на частичные отрезки, то разобьем  так, чтобы точка  была точкой разбития (разделения). Если, например,  то интегральную сумму можно разбить на две суммы: 

Переходя в этом равенстве к границе при  получим формулу по формулам (33) и (34) (если например ) получим: 

На рис. 7.5 показана геометрически это свойство для случая, когда  и  площадь трапеции  равны сумме площади трапеции и

Замечание. Пусть  - знакопеременная непрерывная функция на отрезке , где  например, 

Воспользуемся аддитивностью и геометрическим содержанием интеграла, получим 

где  - площадь соответственных криволинейных трапеций. 

Следовательно, в общем случае, со стороны геометрии определенный интеграл (27) при  равно алгебраической сумме площади соответственных криволинейных трапеций, причем такие площади трапеций, размещенных над осью  имеют знак плюс, а ниже оси  - знак минус. Если  то все формулируется наоборот. 

Обозначим, что площадь заштрихованной на рис. 7.6 фигуры выражается интегралом 

 Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла: 

 Действительно, 

 Определенный интеграл от суммы интегрированных функций равен сумме определенных интегралов от этой функции:  

Для произвольного  разделения получаем 

Отсюда, переходя к границе при  получаем формулу (36). Это свойство имеет место быть для произвольного ограниченного числа множителей. 

Свойства  и  называются линейностью определенного интеграла. 

 Если повсюду на отрезке  имеем  то 

 Поскольку 

то любая интегральная сумма и ее граница при  тоже не отрицательная. 

 Если повсюду на отрезке  имеем  то 

(монотонность определенного интеграла)

 Поскольку  то из неравенства (37) получаем 

воспользовавшись свойством , получим неравенство (38) 

Если  и  то свойство  можно изобразить геометрически (рис. 7.7): площадь криволинейной трапеции  не менее чем площадь криволинейной трапеции 

  Если функция  интегрирована на отрезке  то 

 

 Используя формулу (38) к неравенству  получаем  откуда получается неравенство (39). 

 если 

По формуле (39) и (35), получим 

Отсюда и получаем неравенство (40), поскольку 

 Если  и  - соответственно наименьшее и наибольшее значение функции  на отрезке  то 

По условию  

потому из свойства  получаем 

Воспользовавшись крайними интегралами формулы (35) и (41), получим неравенство (42).  

Если  то свойство  иллюстрируется геометрически на рисунке 7.8 : площадь криволинейной трапеции  не меньше площади прямоугольника и не больше площади прямоугольника 

 Если функция  непрерывная на отрезке  то на этом отрезке найдется такая точка  что 

Если функция  непрерывная на отрезке, то она достигает своего наибольшего значения  и наименьшего  Тогда из оценок (42) получим (если )

предположим 

Поскольку функция  непрерывна на отрезке  то она приобретает все промежуточные значения отрезка . Следует, существует точка  такая, что  ибо 

откуда и получается данное свойство. 

Для случая, когда  приводим эти самые понятия для интеграла  а потом, переставив границы, приходим к предыдущей формуле. 

Равенство (44) называется формулой среднего значения, а величина  - средним значением функции на отрезке 

Данная теорема при  имеет геометрическое содержание (рис. 7.9): значения ограниченного интеграла равно площади прямоугольника с высотой  и основой  Если, например, в формуле (44) интеграл обозначает пройденный путь за промежуток времени  то среднее значение  обозначает среднюю скорость, то есть ту скорость, при которой точка, двигаясь равномерно, за этот де промежуток времени прошла бы тот же путь, что и при непрерывном движении со скоростью 

 Если заменить значения интегрированной функции в ограниченном количестве точек, то интеграция ее не нарушиться, а значение интеграла при этом не измениться. 

Это свойство дает возможность говорить про интеграл   только тогда, когда функция  не определена в ограниченном количестве точек отрезка  При этом в этих точках функции можно подставить произвольные значения и величина интеграла не изменяются. 

Интеграл с переменной верхнего предела. Формула Ньютона - Лейбница

Пусть функция  непрерывна на  тогда она интегрирована на любом отрезке  то есть для произвольного  существует интеграл  Заданный интеграл, очевидно, является функцией от  Обозначим эту функцию через 

и назовем интегралом с переменной верхнего предела. 

Геометрически (рис. 7.10) при  функция  равно площади заштрихованной криволинейной трапеции. Рассмотрим основное свойство функции . 

Теорема 1. Производная определенного интеграла с переменной верхнего предела до верхний предел равен значению подынтегральной функцией для этого предела:

Дадим аргументу  функции (45) прирост  тогда, учитывая аддитивность интеграла, получим 

откуда 

Используя для  этого интеграла теорему про средние значения, найдем, что   где точка  находится между  и 

Следует, 

Если  потому из непрерывности функции  получим 

Для всякой непрерывной на отрезке  функции  существует первичная функция. При этом одной из первичных в определенный интеграл (45). 

На самом деле, поскольку  которая удовлетворяет условию  является первичной функции , то, согласно с формулой (46), функция   является первичной. Но любая другая первичная  функции  может отличатся от  только на постоянную  потому, 

Теорема 2. Если   является некоторой первичной от непрерывной функции  то справедлива формула 

Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница

Пусть  - некоторая первичная функции . Поскольку интеграл (45) является так же первичной. то согласно с формулой (47) получаем 

Положив в этом равенстве  из формулы (32) получим  откуда  потому 

Кроме того, при  используем формулу (48). 

Разницу  условно обозначают символами  или потому формула Ньютона - Лейбница записывается еще и так: 

 

Формула Ньютона - Лейбница дает практический удобный способ вычисления определенного интеграла: определенный интеграл от непрерывной функции равен разнице значений произвольной ее первичной, вычисленных для верхнего и нижнего предела интегрирования. 

Обозначим, что формула (48) сама по себе не является ни  решением задачи, ни нахождением первичной, ни задачи вычисления границ интегральных сумм. Ее ценность в том, что она устанавливает связь между этими задачами. 

Архимед решил задачу нахождения площади параболического сегмента методом, что предполагает вычисление границ интегральных сумм. Потом на протяжении нескольких столетий, именно этим способом решались подобные задачи, но только в 17 в. Ньютон и Лейбниц показали, что вычисления определенного интеграла от произвольной непрерывной функции приводится к поиску ее первичной. Например, 

Замечание 1. Теорема 3 (п. 2.2) утверждает существование определенного интеграла от кусочно - непрерывной функции, которая имеет ограниченное число точек разрыва первого рода. Вычисления интеграла от такой функции можно провести на основе свойств интеграла  и  (п.2.3)

 На рис. 7.11 изображен график кусочно-непрерывной функции, заданной на отрезке  Она интегрирована на  и 

 

Пример №147

пусть  вычислить 

Получаем: 

Пример №148

Вычислить 

подынтегральная функция  не определена в точке  Разобьем отрезок  на два:  и  На первом отрезке поставим непрерывную функцию : пусть  (поскольку ), тогда 

На втором отрезке поставим   (поскольку ) и снова получим интеграл от непрерывной функции

Таким образом: 

Замечание 2 Вычисление определенного интеграла от кусочно-непрерывной функции можно проводить непосредственно с помощью формулы (48). Для этого дадим расширенное значение первичной. 

Функция  называется первичной функции  на отрезке   если:

1)  непрерывна на 

2) =  в точках непрерывности .

Очевидно, для непрерывной функции это определение первичной сходится с общепринятыми. Кроме того, справедливо такое утверждение: 

Кусочно-непрерывная на отрезке  функция имеет первичную на этом отрезке в понимании широкого значения: одной из первичных является функция  и справедлива формула Ньютона - Лейбница: 

Например,  поскольку по расширенным определением функции  на  имеет первичную 

2.5 Методы вычисление определенных интегралов

При вычислении определенных интегралов, как и неопределенных, широко пользуются методом замены переменной (или методом подстановки) и методом интегрирования частями. 

Теорема 1. Пусть выполняются условия:

1)функция  непрерывна на отрезке 

2) функция  и ее производная  непрерывная на отрезке 

3) 

Тогда выполняется равенство 

Поскольку функция  непрерывна на  то она имеет первичную. Обозначим ее через   тогда из теоремы про замену переменной в неопределенном интеграле получается, что функция   будет первичной функции  Используя формулу Ньютона - Лейбница, получаем 

Формула (49) называется формулой замены переменной в определенном интеграле. 

Замечание 1. Если при вычислении неопределенного интеграла переменной  в первичной функции необходимо было от переменной  вернутся к переменной  то при  вычислении определенного интеграла вместо этого нужно изменить пределы интегрирования. Нижний предел  находится как ответ уравнения  относительно неопределенной , а верхний предел  - из уравнения 

Если функция  не монотонна, то может получится, что это уравнение даст несколько разных пар  и  которые выполняют условия теоремы 1. В этом случае можно взять любую из таких пар. 

Замечание 2.  Часто вместо подстановки  используют подстановку  В этом случае новые пределы интегрирования определяются непосредственно:  Но тут следует учесть, что функция  обратная к функции  может как и ранее, выполнять условия теоремы 1. Кроме функции  в пределах интегрирования может быть означенной непрерывной дифференцированной функцией  и при смене  от  и переменная может отличаться от  и 

 Удобнее выполнять замену монотонно дифференцированными функциями. Такие функции гарантируют однозначность как прямой, так и обратной функций. 

Пример №149

Вычислить интеграл 

Пусть  Убеждаемся, что функция выполняет все условия теоремы 1, причем если  то  откуда  если откуда  Следовательно  Далее получим, 

Пример №150

Вычислить интеграл 

Пусть  откуда  Следует, если  изменяется от 0 до  то новая переменная  изменяется от 0 до 2. Функция  обратная к функции  на отрезке  является монотонной и непрерывной вместе с производной  на этом отрезке. Получаем,

 

Пример №151

Можно ли вычислить подстановкой  интеграл 

Нет, потому что переменной  на промежутке  соответствует переменная  не на отрезке  а на отрезке 

Пример №152

Доказать, что 

когда  - парная функция: 

 когда - непарная функция: 

Получаем 

В первом интеграле выполняем подстановку 

Далее получим 

Если функция парная, то  а если непарная, то 

Найденные функции очень полезные. Можно, например, сразу, не выполняя вычисления, сказать, что 

Теорема 2. Если функции  и  имеют на отрезке  непрерывные производные, то справедлива формула 

Поскольку функция  является первичной функции  то по формуле Ньютона - Лейбница получим 

Воспользовавшись линейностью определенного интеграла (п. 2.4), получим формулу (50). 

Формула (50) называется формулой интегрирования частями определенного интеграла. 

Все замечания относительно формулы (6) интегрирования частями неопределенного интеграла переносятся и на формулу (50) 

Пример №153

Вычислить интегралы: 

Следует,  откуда 

Получили рекуррентную формулу, по которой интеграл  последовательно приводится к интегралу 

 или к интегралу 

Например, 

Методом индукции можно доказать, что 

(Символ означает произведение натуральных чисел, которые не превышают  одной с ним парности.)

Так, 

Несобственные интегралы 

Мы ввели определенный интеграл, как границу интегральных сумм, предусматривая при этом, что отрезок интегрирования оконченный, а подынтегральная функция на этом отрезке ограничена. Если хотя бы одна из этих условий не выполняется, то приведенное выше определения определенного интеграла становится не принятым: в случае незаконченного промежутка интегрирования его не можно разбить на  частичных отрезков законченной длины, а в случае неограниченной функции интегральная сумма явно не имеет законченной границы. Обобщая понятия определенного интеграла на эти случаи, приходим к несобственного интеграла - интеграла от функции на неограниченном промежутке или от неограниченной функции. 

Несобственные интегралы с незаконченными пределами интегрирования. 

Пусть функция  определена на промежутке  и интегрирована на любом отрезке  где  Тогда если существует законченная граница 

ее называют несобственным интегралом первого рода и обозначают так: 

Таким образом, по признакам 

В этом случае интеграл (52) называют сходящимся, а подынтегральную функцию  - интегрированной на промежутке 

Если же граница (51) не существует или незаконченная, то интеграл (52) называется так же несобственным, но расходящимся, а функция  - не интегрированной на 

Аналогично интеграла (53) обозначается несобственным интегралом на промежутке 

Несобственным интегралом с двумя незаконченными пределами обозначается равенством 

где  - произвольное действительное число. Следовательно, интеграл слева в формуле (55) существует но является не совпадающими только тогда, когда являются не совпадающими оба интеграла справа. Можно доказать, что интеграл, обозначенный формулой (55), не зависит от выбора числа . 

Из приведенных определений видно, что несобственный интеграл не является границей интегральных сумм, а является границей определенного интеграла с переменным пределом интегрирования. 

Заметим, что когда функция  непрерывна и отрицательная на промежутке  а когда интеграл (53) сходится , то естественно считать, что он выражает площадь неограниченной области (рис. 7.12). 

Пример №154

Вычислить несобственный интеграл или установить его расхождение : 

а) по формуле (53) получаем 

Следовательно интеграл а) сходятся 

Поскольку эта граница не существует при  то интеграл б) расходится 

Следует интеграл в) расходится 

г) Если  то 

Если  то 

Следует интеграл г) является сходящимися при  и расходящимися при 

В рассмотренных примерах вычисления несобственного интеграла основывается на его определении. Но в некоторых случаях нет необходимости вычисления интеграла, а достаточно знать, сходящийся он или нет. Приводим без доказательства некоторые определения схождения. 

Теорема 1. Если на промежутке  функции  и  непрерывные и удовлетворяют условию  то из схождения интеграла 

получается схождение интеграла 

а из расхождения интеграла (57) получается расхождение интеграла (56). 

Приведенная теорема имеет простое геометрическое содержание (рис. 7.13); если площадь большой по размерам неограниченной области является законченное число, то площадь меньшей области является также оконченным числом; если площадь меньшей области незаконченная большая величина, то площадь большей области является также незаконченной большей величины. 

Пример №155

Исследовать на схождение интеграла: 

а) поскольку  

 и интеграл  сходится, то по теореме 1 заданный интеграл также сходится. 

б) этот интеграл расходится, то   и интеграл  расходится. 

Теорема 2. Если существует граница 

то интегралы (56) и (57) но одновременно сходятся, или одновременно расходятся. 

Этот признак иногда выявляется легче чем теорема 1, ибо не требуется проверки неравенства 

Пример №156

Доказать на схождение интеграл 

Поскольку интеграл  сходится и 

то заданный интеграл также сходится. 

В теоремах 1 и 2 рассматривались несобственные интегралы от неотрицательных функций. В случае, если подынтегральная функция является знакопеременной, справедлива такая теорема. 

Теорема 3. Если интеграл  сходится, то сходится ее интеграл 

Пример №157

Доказать на схождение интеграл 

Тут подынтегральные функции знакопеременные. Поскольку  то заданный интеграл сходится. 

Следует заметить, что из схождению интеграла   не получается, в целом, схождение интеграла   Это обстоятельство оправдывает такие определения. 

Если вместе с интегралом  сходится и интеграл   то интеграл  называют абсолютно сходящимся, а функции  - абсолютно интегрированной на промежутке 

Если интеграл  сходятся, а интеграл  расходится, то интеграл   называют условно сходящимися. 

Теперь теорему 3 можно перефразировать так: абсолютно сходящийся интеграл сходиться. 

Следует, для знакопеременной функции приведенные здесь рассуждения дают возможность установить только абсолютное схождение интеграла. Если не собственный интеграл сходится условно, то используют более глубокие определения схождения. 

Пример №158

Доказать схождение интеграла

Поскольку 

то по теореме 3 интеграл  сходятся. Следовательно, сходится, причем абсолютно и заданный интеграл, а функция  на промежутке  является абсолютно интегрированной. 

 Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода). 

Пусть функция  обозначена на промежутке  Точку  назовем особенной точкой функции , если  при  (рис. 7.14). Пусть функция интегрирована на отрезке   при произвольном  таком, что  тогда, что существует законченная граница 

ее называют несобственным интегралом второго рода и обозначают так:  

Следует, по определениям 

В этом случае говорят, что интеграл (59) существует и сходится. Если же граница (58) незаконченная или не существует, то интеграл (59) также называют несобственным интегралов, или расходятся. 

Аналогично, если  - особенная точка (рис. 7.15), то несобственный интеграл обозначается так: 

Если  незаконченная около какой-нибудь внутренней точки  то по условию существования обоих несобственных интегралов  и  по определениям кладут (рис. 7.16). 

Наконец, если  и  - особенные точки, то по условию существования обоих несобственных интегралов   и  по определению кладут  где  - произвольная точка интервала 

Пример №159

Вычислить несобственные интегралы: 

следует, интеграл а) сходящийся 

б) Если  то 

Если  то 

Таким образом, интеграл б) сходится при  и расходится при 

Сформулируем теперь признаки схождения для несобственных интегралов второго рода. 

Теорема 4. Если функции  и  непрерывные на промежутке  имеют особенную точку  и выполняют условие  то из схождения интеграла  получается схождение интеграла  а из расхождения интеграла  получается расхождение интеграла .

Пример №160

Доказать схождение интеграла 

Заданный интеграл сходится, ибо  и сходится интеграл 

Теорема 5. Пусть функции и  на промежутке  непрерывные, положительные и имеют особенность в точке  тогда если существует граница 

Пример №161

Доказать сходство интеграла 

Функции  и имеют особенность в точке 

Поскольку  а интеграл  расходится, то заданный интеграл тоже расходятся. 

Теорема 6. Если - особенная точки функции  и интеграл  сходится, то интеграл  также сходится. 

Пример №162

Доказать сходиться ли интеграл 

Заданный интеграл сходится, потому что  и сходился интеграл 

Приближенное вычисление определенных интегралов

Пусть нужно вычислить определенный интеграл  где  - непрерывная на отрезке  функция. Если можно найти первичную  от функции , то этот интеграл вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:  Если же первичная не является элементарной функцией, и функция  задана графиком или таблицей, то формулой Ньютона - Лейбница воспользоваться уже нельзя. Тогда определенный интеграл вычисляют приблизительно. Приблизительно вычисляют определенный интеграл и тогда, когда первичная функции  хоть и является элементарной, точнее ее значения  и   достаточно не просто.  

Приблизительные методы вычисления определенного преимущественно основывается на геометрическом содержанием определенного интеграла: если  то интеграл  равно площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой  и прямыми 

 Идея приблизительного вычисления интеграла состоит в том, что заданная кривая  заменяется новой линией, "близкой" к заданной. Тогда искомая площадь приближенно равно площади фигуры, ограниченной сверху этой линией. 

 Формулы прямоугольников. Пусть нужно вычислить определенный интеграл  от непрерывной на отрезке  функции . Поделим отрезок  на  равных частей точками  

и найдем значение функции  в этих точках: 

Заменим заданную криволинейную трапецию (рис. 7.17) ступенчатой фигурой, что складывается из  прямоугольников. Основания этих прямоугольников одинаковые и равны  а высоты сходятся из значения  в начальных точках частичных интервалов. Площадь ступенчатой фигуры и будет приблизительным значением определенного интеграла: 

Если высоты прямоугольников является значение  в конечных точках частичных интервалов (рис. 7.18), то 

Можно доказать, что погрешность приближенной формулы уменьшается, если высотами прямоугольников взять значение функции в точках  (середины отрезков  (рис. 7.19); тогда 

Формулы (61) - (63) называются формулами прямоугольников. 

 Формула трапеции. Заменим кривую  не ступенчатой линией, как в предыдущем случае, а ломанной (рис. 7.20), получив соседние точки  Тогда площадь криволинейной трапеции приблизительно равно сумме площадей прямоугольных трапеций, ограниченных сверху отрезками этой ломанной.

Площадь -ной трапеции равны  где  и  - основы трапеции, а  - ее высота. Потому 

Формула (64) называется формулой трапеции. 

 Формула Симпсона. Во время выведения формулы трапеции кривую, которая является графиком функций  заменить ломанной линией. Чтобы получить точный результат, заменим эту кривую другой кривой, например параболой. 

Покажем сначала, что через три разные точки   которые не принадлежат на одной прямой, можно провести только одну параболу 

На самом деле, подставляя в уравнение параболы координаты этих дочек, получим систему уравнений:

определитель которой 

поскольку числа  по условию разные. Следовательно, эта система имеет единственное решение то есть коэффициенты  и  параболы обозначаются одинаково. 

Кроме того, решая систему (65) для точек  получим 

Найдем площадь  криволинейной трапеции, ограниченной параболой, которая проходит через точки  и прямыми  и  (рис. 7.21): 

Рассмотрим теперь криволинейную трапецию  ограниченной кривой  (рис. 7.22). Если через точки  и  этой кривой  провести параболу то по формуле (66) 

Однако, если отрезок  достаточно значительный, то формула (67) дает большую погрешность. Чтобы увеличить точность, разобьем отрезок  на парное число  одинаковых частей, а криволинейную трапецию - на  частичных криволинейных трапеций. 

Используя к каждой из этих трапеций формулу (67), получим 

Сложим почленно эти приблизительные равенства: 

Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона. Формулы (61), (62), (63), (64) и (68) называют квадратурными. 

Разницу между левой и правой частью квадратурной формулы называют ее остаточным членом и обозначают через  Абсолютная погрешность  квадратурной формулы, очевидно, зависят от числа   - количества частичных отрезков, на которые разбивается отрезок интегрирования  Приведем формулы, которые позволяют, во-первых, оценивать абсолютные погрешности квадратурных формул если задано  и во-вторых, обозначать число  так, чтобы вычислить заданный интеграл с наперед заданной точностью. 

Если функция  имеет на отрезке непрерывную  производную  и  то абсолютная погрешность приближенных равенств (61) - (64) оценивается формулой 

Для функций , которые имеют вторую непрерывную производную и  получается неравенство 

которое справедливо для формул прямоугольников и трапеций. 

Абсолютная погрешность в приблизительной равенстве (68) оценивается формулой 

Если функция  имеет на отрезке  четвертую непрерывную производную и  то для формулы Симпсона справедлива оценка: 

Пример №163

Вычислить интеграл 

найдем значение функции  в этих точках:

По формуле прямоугольников (61) получаем 

Поскольку  и  то остаточный член формулы прямоугольников 

Следует, 

По формуле (64) получаем 

Поскольку  и  то остаточный член формулы трапеций 

Следует, 

По формуле Симпсона 

Поскольку  и  то остаточный член формулы Симпсона 

Таким образом,  то есть формула Симпсона значительно точнее формулы прямоугольников и формулы трапеций.

Пример №164

На сколько частей нужно разбить отрезок  чтобы по формуле прямоугольников вычислить интеграл  с точностью до 0,001? 

Поскольку для функции  получаем  если  то 

 Если взять  то  если  то 

Следует, по формуле прямоугольников вычислить заданный интеграл с точностью до 0,001 достаточно отрезок  разбить на 13 равных частей.

Некоторые применения определенного интеграла

Существуют две основные схемы применения определенного интеграла. 

Первая схема, или так названный метод интегральных сумм, основывается на значении определенного интеграла. Искомая величина сначала приближенно изображается в виде интегральной суммы, а потом точно выражается через границу этой суммы через определенный интеграл. Этим методом мы пользовались для решения задач п. 2.1.

Другая схема, или так названный метод дифференциала, состоит в том, что сначала складывается дифференциал искомой величины, а сама искомая величина находится интегрированием этого дифференциала в соответственных пределах. Особенно широко метод дифференциала используется в дифференциальных уравнениях. 

Рассмотрим использование определенного интеграла к решению некоторых геометрических и физических задач.  

Вычисление площадей плоских фигур

Как уже обозначалось (п. 2.2), если на отрезке  функция  непрерывная и  то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой  и прямыми  (рис. 7.4) находят по формуле 

Часто бывает, что фигура, площадь которой нужно найти, не является криволинейной трапецией. Если  на  то фигура  лежит под осью  (рис. 7.23). Площадь этой фигуры равна площадь криволинейной трапеции  которая ограничена сверху кривой  тогда по формуле (69) получаем 

Формулы (69) и (70) можно объединять в одну: 

Эта формула остается справедливой, если функция  на отрезке  ограниченное число раз изменяет знак (рис. 7.24): 

Если нужно вычислить площадь фигуры   (рис. 7.25), то по формуле (69) 

то есть площадь фигуры, ограниченной кривыми  и   и прямыми  и  по условию, что  находят по формуле (72).

Если площадь фигуры имеют сложную форму (рис. 7.26), то прямыми, параллельными оси  ее нужно разбить на оконченную сумму (разницу) криволинейных трапеций. Тогда площадь фигуры равняется алгебраической суммы площадей образованных трапеций. 

Рассмотрим случай, когда криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически: 

где  - непрерывные функции, которые имеют на отрезке  непрерывные производные  и  Тогда, если  на отрезке  является монотонной, причем    то для вычисления площади криволинейной трапеции достаточно в интеграле (69) сделать замену переменной  Получим формулу 

Теперь рассмотрим плоскую фигуру  ограниченной кривой, заданной в полярной системы координат непрерывной функцией  и лучами  и  (рис. 7.27). Такую фигуру называют криволинейным сектором. 

Вычислим площадь  сектора  Разобьем отрезок  точками 

на отрезке  и на каждом из них возьмем произвольную точку  Элемент  площади, ограниченной кривой  и промежутками  и  приближенно равно площади кругового сектора, ограниченного теми самыми лучами и дугой круга радиуса 

Сумма  равна площади ступенчатого сектора и является интегральной суммой для функции  на отрезке  тогда естественно считать, что 

Следует, площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле 

Пример №165

Найти площадь фигуры, ограниченной прямой   и параболой  (рис. 7.28). 

Найдем абсциссы точек пересечения данных линий. Решая систему уравнений 

получим  Это и есть пределом интегрирования. 

По формуле (72) находим площадь:

 

Пример №166

Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Поскольку эллипс симметричный относительно обоих координатных осей, то искомая площадь равна поделенной на четыре части площади фигуры, которая находится в первой четверти.  По формуле (73)

Пример №167

Вычислить площадь, ограниченной " трехлистной розой"  (рис. 3.4).

 находим площадь половины лепестка и умножим на шесть. Потому по формуле (74) 

Длина дуги

Как известно дифференциал  длины дуги гладкой кривой, заданной функцией  находят по формуле  Потому длина дуги 

Если кривая задана параметрически:   то  потому ее длина 

Пусть теперь гладкая кривая задана уравнением  в полярных координатах. Если в равенствах  параметром считать угол  то 

потому из формулы (76) находим 

Длину дуги гладкой пространственной кривой, заданной уравнениями 

вычисляют по формуле, аналогично формуле (76): 

Пример №168

Найти длину дуги параболы  от точки  до точки 

 Поскольку  то по формуле (75) получим 

Пример №169

Найти длину одной арки циклоиды (рис. 3.6): 

 Воспользуемся формулой (76): 

Пример №170

Найти длину кардиоиды (рис. 3.8, б): 

 Изменяя полярный угол от 0 до  получим половину искомой длины. Потому по формулой (77) получим 

Объем тела

Пусть нужно найти объем тела, если известны площади  пересечений этого тела площадями, перпендикулярными к некоторой оси, например  (рис. 7.29). 

Пересечем тело двумя плоскостями, которые проходят через точки  и  перпендикулярной к оси  Тогда полученную между пересечениями фигуру можно считать цилиндром с основанием  и высотой  потому дифференциал объема  и если  изменяется от  до  то объем тела 

Формула (78) называется формулой объема тела площадями параллельных пересечений. 

Рассмотрим также, объем тел вращения. Пусть криволинейная трапеция ограничена сверху графиком непрерывной функции   Если эту трапецию вращать около оси  то получится пространственная фигура, которая называется телом вращения (рис. 7.30). Поскольку площадь параллельного пересечения  то, согласно с формулой (78), объем тела, выполненного вращением данной трапеции около оси 

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции  и прямыми  то объем тела, полученного вращением данной трапеции около оси  находят по формуле 

Пример №171

Найти объем эллипсоида (рис. 3.66) 

 В пересечении эллипсоида площадью, параллельной площади  на расстоянии  от нее, получается эллипс 

с полуосями  Площадь такого эллипса (п. 4.1) равно 

тогда по формуле (79) получаем 

Кроме того, если  эллипсоид превращается в шар, в этом случае 

Пример №172

Найти объем тела, полученного вращению параболы  на промежутке  около: а) оси  б) оси 

 По формуле (79) и (80) получаем 

Площадь поверхности вращения 

Пусть кривая, задана непрерывной функцией  вращается около оси  Пересечем поверхностью вращения двумя плоскостями, которые проходят через точки  и  параллельно   Заменим полученную между пересечениями фигуру срезанным конусом образующего которой равна  а радиусы основ равны  и  (рис. 7.31). Если высота конуса  довольно мала, то площадь  боковой поверхности этой фигуры равны площади боковой поверхности срезанного конуса, то есть получим дифференциал площади 

Интегрируя, найдем всю площадь поверхности вращения: 

Пример №173

Вычислить площадь поверхности части параболоида, полученного вращением около оси  параболы  где 

 Получим 

по формуле (81) находим 

Вычисление работы

Пусть под действием силы  материальная точка движется вдоль прямой линии. Если направление движения соприкасается в направлением силы, то как известно (п. 2.1), а работа   выполнена с этой силой при перемещении точки на отрезок  вычисляется по формуле 

Пример №174

Вычислить работу, которую нужно выполнить, чтобы тело с массой  поднять с поверхности Земли вертикально вверх на высоту  если  радиус Земли равен 

 Согласно с законом Ньютона, сила  притяжения тела Землей равна 

где  - масса Земли;  - гравитационная постоянная;  - расстояние от центра тела до центра Земли. Положим постоянную тогда  где  При  равна весу тела  то есть  откуда ,   По формуле (82) получаем 

Пример №175

Какая работа выполняется во время сжимания винтовой пружины на 5 см, если для сжимания пружины на 1 см тратится сила 4 Н. Сжатие винтовой пружины пропорциональной приложенной силы. 

 Сила  и сжатие  по условию пропорциональные:  где  - постоянная. При   потому из равенства  находим  следует  Потому  по формуле (82) получаем: 

Пример №176

Пусть в цилиндре с подвижным поршнем (рис. 7.32) находится некоторое количество газа. Предположим, что этот газ расширяется и двигает поршень вправо. Какую работу выполняет при этом газ?

 Пусть  и  - начальное и конечное расстояние поршня от левого дна цилиндра;  - путь, на который переместиться поршень;  - давление газа на единицу площади поршня;  - площадь поршня. Поскольку вся сила, что действует на поршень, равен  то 

выполнена при  выталкивании поршня работы  выразится интегралом 

Обозначая объем данного количества газа через  получим, что  Переходя в интегралы от переменной  к новой переменной  выразим работу через объем:

где  и  - начальное и конечное определение объема 

Кроме, если говорится про изометрический процесс расширения газа, то согласно с законом Бойля - Мариотта, и тогда работа  

Если рассматривается адиабатический процесс расширения идеального газа, то по закону Пуассона имеем   где  - характерная для каждого газа постоянная, откуда  потому работа 

Пример №177

Найти работу, которую необходимо потратить, чтобы выкачать жидкость из резервуара, перевернутого вершиной вниз. Радиус и высота конуса равны соответственно  и  

 Считаем элементарный шар жидкости, что находится на глубине  цилиндром, который имеет высоту и радиус . Из подобии треугольников   и  находим 

  потому 

Элементарная работа, которую необходимо затратить чтобы поднять этот шар жидкости на высоту  равен  потому 

Вычисление давления жидкости на вертикальную пластину

Как известно, давление жидкости на горизонтальную площадь, погруженную в жидкость, обозначается по закону Паскаля: давление  жидкости на площади равны ее площади  умноженной на глубину погружения  густоты жидкости  и на ускорение свободного падения  

Если в жидкость погрузить не горизонтальную площадку, то ее разные точки лежат на разных глубинах и этой формулой пользоваться нельзя. Если площадь очень мала, то все ее точки лежат на одной глубины, которую считают за глубину погружения площади. Это дает возможность найти дифференциал давления на элементарную площадку, а потом давление на всю поверхность. 

Пример №178

Найти давление жидкости на вертикально погруженный в жидкость полукруг, диаметр которого равно  и находится на поверхности жидкости. 

 Пусть элементарная площадь находиться на глубине  (рис. 7.34). Считая ее прямоугольником с основой  и высотой  найдем по закону Паскаля дифференциал давления: 

Откуда 

Интегралы, зависимые от параметров. Гамма и бета - функции 

Интегралы, зависимые от параметров:

Рассмотрим функцию  двух переменных, обозначенному для всех  и всех  некоторого множества  Если при каждом фиксированном значении  функция интегрирована на отрезке то определенный интеграл 

является функцией параметра . 

Кроме того, от параметра может зависит не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования, то есть 

Интегралы вида (83) и (84) называют интегралами, зависимыми от параметра. Эти интегралы могут быть и несобственными. 

Теория интегралов, зависимых от параметров, имеет не только теоретическое, но и практичное значение. Не имея возможности предоставить эту теорию детально, рассмотрим только непрерывность, дифференцирование и интегрирование интеграла (83) по параметру (12) и приведем примеры. 

Теорема 1. Если функция  обозначена и непрерывна как функция двух переменных в прямоугольнике  то интеграл (83) непрерывный по параметру  на отрезке 

Пример №179

Доказать, что интеграл  непрерывный по параметру  для всех 

 Поскольку функция  непрерывная при то заданный интеграл, согласно с теоремой 1, непрерывный по  при произвольном значении 

К такому же выводу модно прийти, вычислив интеграл. Интегрируя частями, получим

следует, 

Отсюда и получается непрерывность интеграла  при любом действительном значении параметра 

Рассмотрим теперь дифференцирование интеграла по параметру. 

Теорема 2. Если функция  и ее производная  - непрерывная по  и  при  то  справедливая формула 

Формула (85) называется формулой Лейбница. Если такая формула допустима, то говорят, что функцию (83) можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла. 

Пример №180

Найти производную  если 

 Получим  Поскольку функции  и  непрерывные для произвольных значений  и  то имеет место формула (85). Дифференцируя подынтегральную функцию по  и интегрируя частями, получим

Предлагаем убедиться, что таким же будет результат, если сначала вычислить интеграл  а потом найти производную по 

Выясним условия, по каким функцию (83) можно интегрировать по параметру  под знаком интеграла. 

Теорема 3. Если функция  непрерывная по  и  при  то справедлива функция 

 или 

Пример №181

Вычислить несобственный интеграл  где 

 Введем в прямоугольнике  функцию  Условия теоремы 3 получены, согласно с формулой (86), получим:  или  откуда  Следовательно, 

 Сформулируем теперь аналоги теорем 1-3 зависимых от параметра несобственных интегралов. Для этого введем понятие равномерного схождения несобственных интегралов. 

Пусть функция  обозначена и непрерывна при всех  и всех 

Если  существует законченная граница  то она называется несобственным интегралом, сходящимся относительно параметра  и обозначается так: 

Интеграл (87) называется равномерно сходящимся относительно если для произвольного числа  найдется независимое от  число  такое, что при  и  выполняется неравенство 

Теорема 4. Путь функция  непрерывная по  при  Если существует функция  которая интегрирована по  на промежутке  и удовлетворяет при  и  неравенству

Теорема 5. Если функция  обозначена и непрерывна как функция двух переменных при   и  и интеграл (87) сходятся равномерно относительно  то:

1) интеграл (87) непрерывный по параметру 

2) справедлива формула 

3) если, кроме того, производная  непрерывна по обеим переменным при  и  а интеграл  сходится равномерно относительно  то  выполняется равенство 

Таким образом, при выполнении условий теоремы 4 можно переставлять два интеграла, из которых один имеет незаконченный промежуток интегрирования, а второй - законченный. Во многих случаях, приходится переставлять интегралы, в которых оба промежутка интегрирования являются незаконченными, то есть пользоваться формулой: 

Основываясь на функции (90) - справа слишком сложная, для одного класса функций имеет место такое утверждение. 

Теорема 6. Пусть  не отрицательная и непрерывная по  и  функция, и пусть функция  непрерывная по  а функция   непрерывна по  Тогда если существует один из интегралов (90), то существует и другой, и эти интегралы равны. 

Пример №182

1. Вычислить интеграл Пуассона 

 Используя подстановку  где  - некоторая производная, получим 

Поскольку подынтегральная функция  выполняется условие теоремы 6, то согласно с формулой (90), получим 

Учитывая, что  находим 

Обозначим, что неопределенный интеграл  в окончательном виде не интегрируется (п. 1.8). 

Приведем еще интегралы, при которых соответственные неопределенные интегралы в элементарных функциях не вычисляются. 

Бета - функция, или интеграл Ейлера первого рода, обозначается формулой 

Гамма- функцией, или интегралом Ейлера второго рода, называется интеграл 

Покажем, что несобственный интеграл (92) при  сходится, получим 

Первый интеграл в правой части этого равенства сходится, потому что 

Второй интеграл также сходится. На самом деле, если   - произвольное натуральное число такое, что  то 

в чем можно убедиться, вычисляя остальной интеграл частями и учитывая, что 

Следует, интеграл (92) при  сходится и означает некоторую функцию, которую и называют гамма-функцией Г(а). 

Вычислим значение Г(а) при  Если  то 

 

Пусть Интегрирования частями, получим 

откуда 

Из равенств (93) и (94) получается, что 

Таким образом, гамма - функция для целых значений 

 выражается через  Но она обозначена и для нецелых положительных значений аргумента, то есть продолжает факториальную функцию из дискретных значений аргумента на непрерывной. Гамма - функция не является элементарной функцией. График этой функции изображен на рисунке 7.35. Свойства гамма - функции достаточно хорошо изучены и показаны в виде таблиц во многих учебниках. 

Приведем без доказательства формулу Стирлинга для гамма - функции:  где  и  Если в этом равенстве положить   и умножить ее на  получим

Бета и гамма - функции связанны между собой соотношением 

Пример №183

Найти 

 Согласно с формулой (96), при  получаем 

следует 

Пример №184

Вычислить интеграл Ейлера - Пуассона 

 Учитывая результат предыдущего примера, получим 

Пример №185

Выразить интеграл  через бета- функцию и вычислить его приближенно при  

 Получим 

Кроме того, при  согласно с формулой (960 получим 

Обычные дифференциальные уравнения

При исследовании разнообразных процессов и явлений что содержат элементы движения, часто используются математическими моделями в виде уравнений, до которых, кроме независимых величин и зависимых от них искомых функций, входят также производные от искомых функций. Такие уравнения называют дифференциальными. 

Дифференциальные уравнения называют обычными, если неизвестная функция является функцией одной переменной и дифференциальными уравнениями в частичных производных, если неизвестная функция является функцией нескольких переменных. В дальнейшем, говоря про дифференциальные уравнения, будем иметь в виду только дифференциальные уравнения. 

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнением вида 

которое связывает независимую переменную  неизвестную функцию  и ее производную 

Уравнение (1) может не содержать  или  но обязательно должно содержать производную . 

Дифференциальные уравнения (1), неразрешимое относительно производной  называются неявным дифференциальным уравнениям. Если уравнения (1) можно решить относительно  то его записывают а виде 

и называют уравнением первого порядка, решением относительно производной, или уравнением в нормальной форме. Мы в основном рассмотрим именно такие  уравнения. 

Уравнение (2) можно записать еще и так: 

 или 

Умножим остальное уравнение на некоторую функцию  получим уравнение первого порядка, записанное в дифференциальной форме: 

где  и  - известные функции. Уравнение (3) удобно тем, что переменные  и  в нем равноправны, то есть каждую из них можно рассмотреть как функцию другой. Привести дифференциальных уравнений вида (1), (2) и (3): 

Нахождение неизвестной функции, что входит в дифференцирование уравнения, называют решением или интегрированием этого уравнения. Решением дифференциального уравнения (2) на некотором интервале  называется дифференцированная на этом интервале функция  которая при подстановке в уравнении (2) обращает его в тождество по на , то есть 

Например, функция  является решением уравнения  Действительно, подставляя эту функцию и ее производную  в данное уравнение, получим тождество 

Несложно догадаться, что решением данного уравнения является также функция  где - произвольная постоянная. Представляя  произвольное действительное значение, каждый раз получаем решение данного уравнения, то есть получаем незаконченное множество решений. 

График решений дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. 

Ответ на вопрос про то, по каким условиям уравнение (2) имеет решение, дает теорема Коши (26). 

Теорема 1. Пусть функция  и ее частичная производная  определены и непрерывны в открытой области  плоскости  и точка  Тогда существует единственное решение  уравнения (2), который удовлетворяет условию  то есть 

Эта теорема дает достаточные условия существования единственного решения уравнения (2).

Геометрически теорема Коши утверждает, что через каждую точку  проходит единственная интегральная кривая. Если зафиксировать и изменить  не выходя при этом из области  то получим разные интегральные кривые.Это наглядно показывает, что уравнение (2) имеет множество разных решений (рис. 8.1). 

Условие (4), согласно с которой решение  приобретает ранее заданное значение   в заданной точке  называют начальным условием решения и записывают так: 

Задача нахождения решения уравнения (2), который удовлетворяют начальному условию (5), называют задачей Коши. С геометрической стороны, решить задачу Коши - означает выделить из множества интегральных кривых ту, которую проходит через заданную точку 

Точки плоскости, в которых не выполняются условия теоремы Коши называются особенными. Через  каждую из этих точек проходит несколько интегральных кривых или не проходит не одной. 

Решение дифференциального уравнения, в каждой точке которого выполняется условие единственности, называют особенным решением. 

График особенного решения называют особенной интегральной кривой. Чтобы выяснить ее геометрическое содержание, введем понятие обводной. Пусть задано уравнение 

где  - переменные декартовые координаты, а  - параметр. Это уравнение обозначает группу кривых, которые зависят от одного параметра, или, как часто говорят однопараметрическую группу кривых. 

Линия  называется обводной однопараметрической группы кривых (6),  если она в каждой своей точке соприкасается с одной из кривых и если в разных точках она соприкасается к разным кривым (рис. 8.2).

Получается, что особенная интегральная кривая геометрически является обводной группы интегральных кривых дифференциальных уравнений, определенных его общим решением. 

Примеры:

1. Уравнение  имеет перечень решений  (рис. 8.3) - эта группа парабол. Правая часть уравнения удовлетворяет условия теоремы Коши на всей плоскости  Это означает, что через каждую точку плоскости проходит только одна интегральная кривая. 
2. Уравнение  получаем группу интегральных кривых, парабол, . Кроме того, очевидно, что это уравнение может также решение  Это решение особенное, потому что функция  при  разрывная. Прямая  прикасается к группе парабол и ее обводной. 

Рассмотренные примеры показывают, что дифференциальные уравнения могут иметь бесконечное множество решений или группу интегральных кривых. По определенным условиям из этой группы можно выделить единственную кривую, которая проходит через заданную точку. В связи с этим дадим определение частичного решения дифференциального уравнения. 

Пусть правая часть дифференциального уравнения (2) удовлетворяет в области  условия теоремы Коши. 

Функция  которая зависит от аргумента  и произвольной постоянной  называются общим решением уравнения (2) в области , если она удовлетворяет два условия:

1. функция  является решением уравнения при любом значении постоянной  из некоторого множества;
2. для произвольной точки  можно найти такое значение  что функция  удовлетворяют начальному условию: 

Частичным решением уравнения (2) называется функция , которая удовлетворена из общего решения при определенному значению постоянной 

Если общее решение дифференциального уравнению найдено в неявном виде, то есть вид уравнения  то такое решение называют общим интегралом дифференциального уравнения. Равенство  в этом случае называют частичным интегралом уравнения. 

Дадим геометрическое толкование уравнение (2). Пусть - множество точек плоскости   в которых заданы и непрерывные функции  и   и пусть точка . Подставив координаты точки  в правую часть уравнения (2), найдем значение производной в этой точке: 

Если точку  проходит интегральная кривая уравнения (2), то из геометрического содержание производной получим  где - угол между касательной к интегральной кривой в точке  и положительным направлением оси  Потому точка  уравнения (2) ставят в соответствие значение угла 

 Аналогично, точки  уравнения (2) ставят а соответствие направление 

Следует, каждой точке  дифференциальное уравнение (2) ставит в соответствие определение угла  потому уравнение (2) геометрически задает так называемое поле направлений. На рис. 8.5 это поле изображено стрелками (иногда это поле отображают маленькими отрезками). Каждой точке  соответствует определенная стрелка с угловым коэффициентом  Понятно, что практично мы можем построить только несколько стрелок, но можно выяснить, что стрелки проведены в каждой точке области 

Рассмотрим теперь интегральную кривую уравнения (2). Поскольку направление дотической к интегральной кривой в данной точке соприкасается с направлением поля в этой точке, то геометрическую задачу интегрирования дифференциального уравнения можно толковать так: найти такие кривые, направление дотичных  к которым сходится с направлением поля в соответственных точках. 

Таким образом, со стороны геометрии уравнения  определяет на плоскости поле направлений, а решение этого уравнения - интегральную кривую, которая в каждой своей точке соприкасается к поле направлений. 

Зная поле направлений дифференциального уравнения, можно приближенно построить поле направлений, пользуясь методом изоклина. Изоклина - кривая на плоскости  в каждой точке которой дотичные к интегральным кривых имеют одно и то же направление. Следует, все интегральные кривые, которые пересекают изоклину, в точках пересечения наклонные к оси  под одним и тем же углом. Отсюда и получается "изоклина" - линия одинакового наклона. 

Очевидно, для дифференциального уравнения (2) уравнения изоклины, которая соответствует угловому коэффициенту  имеет вид

Разным значением  соответствует на плоскости  разные изоклины. При этом направление каждой изоклины обозначается углом 

Пример №186

Найти направление дифференциального уравнения  и интегральную кривую, которая проходит через точку 

  Изоклиной тут будет группа концентричных кругов  При  например, изоклиной есть круг  направление поля этой изоклины обозначается углом  Если  имеет изоклину  направление поля которой определяется углом   и т.д. При  получим  Этому уравнению соответствует единственная точка  то есть изоклина содержит только одну точку. Чтобы изобразить интегральную кривую, через начальную точку  проводим кривую, которая в каждом своей точке направление поля, то есть соприкасалась к соответственной стрелке. 

Переходим теперь к решению дифференциальных уравнений первого порядка. Если задачу про нахождение всех решений дифференциального уравнения удается взвести в вычислению ограниченного числа интегралов и производных от известных функций и алгебраических операций, то говорят, что дифференциальное уравнение интегрируется в квадратурах (или взводится до квадратур). Получили, что далеко не всякое дифференциальное уравнение, которое интегрируется в квадратурах, имеет решение, которое выражается через элементарные функции. Более того, очень часто дифференциальные уравнения дифференциальные уравнения нельзя проинтегрировать не только в элементарных функциях, а и в квадратурах. Но существуют типы дифференциальных уравнений, для которых это возможно. 

Рассмотрим такие уравнения. К сожалению, класс интегрированных в квадратурах дифференциальных уравнений достаточно узкий. 

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Уравнения вида 

где   и  - заданные и непрерывны на некотором интервале функции, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. 

Правая часть уравнения (7) являет собой сумму двух множителей, каждый из которых является функцией только одной переменной. Для этого заменим  поделим обе части уравнения (7) и  (учитываем, что  и умножим на  тогда уравнение (7) запишется в виде 

Дифференциальные уравнения вида (8), в котором множитель при  является функцией, которая зависит только от  называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. 

Поскольку уравнении (8) содержит тождество равные дифференциалам, то соответственно обозначенные интегралы различаются между собой на постоянную величину, то есть 

Таким образом, уравнение (7) решено в квадратурах. 

Дифференциальное уравнение (7) является отдельным вариантом уравнения вида 

Для разделения переменных в этом уравнении достаточно обоих его частей поделить на функцию  Заметим, что при делении обоих частей уравнения (7) на  можно потерять некоторые решения. Действительно, если  то постоянная  является решением уравнения (7), поскольку превращает это уравнение в тождество. Это решение может быть как частичными, так и особенными. 

Аналогично замечание касается корней функций  и  в уравнении (9). 

Пример №187

Решить уравнение 

 Поскольку эти уравнения можно записать в виде 

  то оно является уравнением с разделенными переменными. Поделив обе его части на  получим уравнение: 

Интегрируя остальное уравнение, получим 

получим общий интеграл заданного уравнения: 

Пример №188

Решить уравнение 

 Преобразим левую часть уравнения: 

Поделив обе части этого уравнения на функцию  получим уравнение с  разделенными переменными

интегрируя которое, находим общий интеграл 

или 

отсюда,  или 

уравнение  имеет решения  и  потому прямые  и  являются интегральными кривыми данного уравнения. Следует, решения  и  является особенными и их следует выписывать дополнительно к общему интегралу. 

Пример №189

Найти частичное решение уравнения   которое удовлетворяют начальному условию 

 Получим переменные и проинтегрируем данное уравнение: 

Получили общий интеграл. используя начальное условие, найдем постоянную    откуда 

Подставив найденную постоянную в общий интеграл, получим искомое частичное решение:  откуда 

Рассмотрим теперь уравнение 

где  - заданные числа, и покажем, что переменной 

 уравнения (10) вводится к уравнению  с  разделенными переменными.

На самом деле, дифференцируя равенство (11) по  получим  потому, согласно с (10) получим уравнения  при котором при   разделяются переменные:  Интегрируя эти уравнения и заменяя   на  получим общий интеграл уравнения (10). 

Если  или, что тоже самое,  то, согласно с уравнением (11) , уравнение (10) может иметь решения 

Пример №190

Решить уравнение 

 Возьмем  тогда  отсюда 

Интегрируя эти уравнения, находим  то есть  - общий интеграл уравнения. Других решений этот интеграл не имеет, потому что 

Однородные дифференциальные уравнения

Функция  называется однородной функцией -го измерения относительно переменных  и  если для произвольного числа  выполняется тождество 

Например, функция  - однородная функция другого измерения, поскольку  функция  - однородная функция нулевого измерения, поскольку 

Дифференциальное уравнения 

называется однородным, если функция  является однородной функцией нулевого измерения. Очевидно, уравнение вида 

будет однородным тогда и только тогда, когда функция  и  будут однородными функциями одного и того же измерения. 

Покажем, что однородные уравнения взводятся к уравнением отделяемыми переменными подстановкой 

где  - неизвестная функция: 

Если функция (14) является решением дифференциального уравнения (12)  и 

по условию  - однородная функция нулевого измерения, то есть  Положив в этом тождестве  и  получим  потому уравнение (15) получается вид 

Это уравнение с отделяемыми переменными. Если  то, отделяя переменные, получим уравнения  проинтегрировав, получим 

Подставим после интегрирования вместо  отношения  и получим интеграл уравнения (12). Если  то уравнения (16) запишется в виде 

В этом случае уравнения (12) и (13) могут иметь еще решения  и 

Пример №191

Решить уравнение 

 Правая часть этого уравнения является однородной функцией нулевого измерения, потому что 

следует, дифференциальные уравнения являются однородными. Используя подстановку  получим общий интеграл данного уравнения: 

Пусть  то есть  Функция  превращаем данное уравнение в тождество, потому является его решением. Это решение является особенным и его следует считать дополнительно к найденному интегралу. 

Пример №192

Найдем кривую, которая, которая проходит через точку  если известно, что треугольник, созданный осью  дотичной к кривой в произвольной ее точке и радиусом - вектором точке дотику, равнобедренный, причем его основой его является отрезок дотичной от точки дотики до оси  

 Пусть  - искомая кривая. Проведем дотичную  в произвольной точке  кривой к пересечению с осью  (рис. 8.7). 

По условию  Отрезок а отрезок найдем как ординату  точки из уравнения дотичной при  получим  Получили уравнение  откуда   Это однородное уравнение. Возьмем  получим общий интеграл 

Используя начальное условие  найдем  Следует, уравнение искомой кривой имеет вид 

 Рассмотрим теперь уравнения, которые можно взвести к однородным. Пусть  имеем уравнение вида 

где  - заданные производные. 

Если  то подстановкой  уравнения (17) взводится с уравнению с отделяемыми переменными. 

Если  то можно сделать такую замену переменных   что в линейных функциях исчезнут свободные члены, то есть выполняется равенство 

После такой замены уравнение будет однородным.

Пример №193

Решить уравнение 

 Для этого уравнения  потому, положив  получим 

Постоянные  и  выберем так, чтобы 

Решая эту систему, найдем  потому, заменой переменных  заданное уравнение взводится до однородного: 

С помощью подстановки  находим общий интеграл этого уравнения:  Отсюда, учитывая, что  получим общий интеграл заданного уравнения 

Линейные дифференциальные уравнения

Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называют уравнения вида 

где  и  - заданные и непрерывные на некотором промежутке функции.

Термин "линейные уравнения" объясняется тем, что известная функция  и ее производная  входят в уравнения в первой степени, то есть линейной. 

Есть несколько методов интегрирования уравнения (18). Один из них (метод Бернулли) состоит в том, что решение этого уравнения ищут в виде произведения 

где  - известные функции  причем одна из этих функций произвольная (или не равна тождественно нулю). 

Находя производную  и подставляя значение  и  в уравнении (18) получим 

Пользуясь произвольностью в выборе функции  подберем ее так, чтобы 

тогда 

Решим эти уравнения. Отделяя в уравнении (20) переменные и интегрируя, найдем его общее решение: 

Возьмем за  какой-нибудь частичные решение уравнения (20), например 

Зная функцию , из уравнения (21) находим функцию 

Подставляя функции (22) и (23) в (19), находим общее решение уравнений (18) 

Пример №194

Найти общее решение уравнений 

 Это линейное уравнение вида (18), а котором 

Пусть  тогда  Получим 

Подберем функцию  так, чтобы  тогда  Интегрируя первое из этих уравнений, получим 

Подставим значение  в другое уравнение, получим 

после чего найдем общее решение 

Пример №195

Найти решение уравнения  который удовлетворяет условию 

 Положив  получим: 

Общее решение данного уравнения 

Найдем значение постоянной  при котором частичное решение удовлетворяет заданное начальное условие:  откуда 

Следовательно, искомое частичное решение имеет вид 

Уравнения, которые доводятся к линейных. Уравнение Бернулли и Риккати

Рассмотрим классы уравнений, которые с помощью определенных преображений можно довести к линейным.

 Уравнения вида 

где  - заданные функции,  можно довести к линейным, если  считать функцией, а  - аргументом:  тогда из равенств (24) и   получим линейное уравнение относительно : 

 где 

Решение этого уравнения ищем в виде 

Пример №196

Решить уравнение 

Поскольку  то получим уравнение вида (24). Если  считать функцией , то относительно  эти уравнения станет линейным: 

Рассмотрим это уравнение: 

 Уравнение вида 

где  - заданы функцией, заменой  приводится к линейного относительно переменной 

На самом деле, если  где  - неизвестная функция, то   потому уравнение (25) получает вид уравнения (26). 

 Уравнением Бернуллы называется уравнение вида 

 

Очевидно, что  это уравнение - линейное, а при  - с отделяемыми переменными. Допуская  поделим уравнение (27) на  тогда получаем уравнение вида (25): 

Таким образом, заменой  уравнения Бернулли приводится к линейному уравнению. Но на практике решение уравнения Бернулли удобнее искать методом Бернулли в виде  не приводя его к линейному уравнению. Следует обозначить, что при  кроме решения  уравнение Бернулли имеет решение  

Пример №197

Решить уравнение 

Преобразим уравнение откуда  или 

Получим уравнение Бернулли относительно переменной  Найдем его решения

 Уравнение вида 

где  - заданные функции, называются уравнением Риккаты. Если  - постоянные числа, то это уравнение интегрируется отделяемыми переменными: 

Когда  уравнение (28) остается линейным, а в случае  уравнением Бернулли. В общем случае уравнение (28) не интегрируется в квадратурах. Но если известное его частичное решение   по заменой  уравнения Рикатти приводится к уравнению Бернулли. 

Пример №198

Решить в квадратурах уравнения 

 Заданное уравнение является уравнением Риккати. Несложно понять, что функция  - решение этого уравнения, потому замена  приводить его к уравнению Бернулли:  или 

Далее получим 

следует, решением данного уравнения является: 

Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Уравнение вида 

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции  то есть 

В этом случае общий интеграл уравнения (29) имеет вид  где  - произвольная постоянная. Для того чтобы уравнения (29) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы 

Используем методику интегрирования уравнений в полных дифференциалах. Если для уравнения (29) условие (30) выполняется, но неизвестная функция  удовлетворяет равенству 

Интегрируя равенство (31) по  обозначим функцию   с точностью к произвольной дифференцированной функции 

где  - первичная функция  к  Дифференцируя равенство (33) к  и учитывая (320, получим уравнение для нахождения функции 

Другой способ решения уравнения в полных дифференциалах.

Пример №199

Решить уравнение 

 В данном случае 

поскольку 

то левая часть заданного уравнения является полным дифференциалом некоторой функции  причем 

интегрируя, например, первое из уравнений (34) к  получим 

где  - произвольная дифференцированная функция 

Дифференцируя равенство (35) к  согласно со вторым уравнением (34), получим 

где  - произвольная дифференцирования функция 

Дифференцируя равенство (35) к  согласно с вторым уравнением (34), получим 

 то есть  откуда  потому 

Следовательно, общий интеграл заданного уравнения выражается равенством 

Таким образом уравнения в полных дифференциалах интегрируется довольно просто. В связи с этим возникает вопрос, можно ли умножением на определенный множитель  произвольное уравнение в дифференциальной функции (3) привести к уравнению в полных дифференциалах? Получается, что по определенным условиям это целиком не возможно. 

Функция  называется интегрированным множителем уравнения (29), если после умножения на нее этого уравнения оно становится уравнением в полных дифференциалах. Можно доказать, что всякое дифференциальное уравнение первого порядка, которое удовлетворяет условиям теоремы Коши, имеет перечень интегрированных множителей. 

Потому, согласно с условием (30), получим  то есть  откуда  или 

Следовательно, чтобы получить интегральный множитель, нужно найти какое - нибудь частичное решение уравнения (36). Это уравнение является дифференциальным уравнением с частичными производными относительно неизвестной функции  В общем случае задача нахождения  с уравнение (36) значительно сложнее, чем решение самого уравнения (29). 

Рассмотрим два случая, когда уравнение (36) упрощается и интегрированный множитель уравнения (29) можно найти. Допустим, что уравнение (29) имеет интегрированный множитель, который зависит только от  то есть  то есть в уравнении (36)  и для нахождения  получим случайное дифференциальное уравнение 

с которой одной квадратурой обозначается  а потом и  Получаем, что уравнение (37) имеет смысл только в том случае, если выражение  не зависит от  а зависит только от 

Аналогично, если выражение  зависит только от  и не зависит от  то интегрированный множитель является функцией одной переменной  и его находят из уравнения 

Про другие способы построения интегрирования множителя можно узнать из (35). 

Пример №200

Решить уравнение 

 Получим 

Поскольку равенство (30) не выполняется, то заданное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Но  потому уравнение имеет интегрированный множитель, который зависит только от   Сложим уравнения (37) и решим его: 

Возьмем интегрированный множитель - функцию  и умножим обе части заданного уравнения на этот множитель. Получим уравнение в полных дифференциалах

Решая эти уравнения, найдем, что общий интеграл заданного уравнения имеет вид 

Дифференциальные уравнения, нерешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро

Пусть имеем уравнение вида 

которое сложно или невозможно решить относительно производной 

Рассмотрим некоторые интегрированные в квадратурах классы таких уравнений. 

 Пусть уравнение (39) зависит только от 

Если алгебраическое уравнение  имеет хотя бы один действительный корень  то уравнение (40) имеет общий интеграл 

где  = произвольная постоянная. 

На самом деле, поскольку уравнение  интегрируется  то подставив   в (40) получим равенство (41). Можно показать что уравнение (40) особенных решений не имеет. 

Пример №201

Решить уравнение 

 Поскольку алгебраическое уравнение  имеет действительный корень  то согласно с (41), общий интеграл заданного уравнения имеет вид 

 Пусть уравнение (39) не зависит от 

Если ввести параметр   то уравнение (42)  можно заменить двумя уравнениями 

 такими, что    Тогда откуда 

Таким образом, искомые интегральные кривые обозначаются параметрическими уравнениями 

Пример №202

Решить уравнение 

 Пусть  Далее получим 

Следует, параметрические уравнения искомых интегральных кривых имеют вид 

Кроме того, если уравнение (42) можно решить относительно  то за параметр удобно брать  На самом деле, если  то  потому 

 Следует, - параметрические уравнения интегральных кривых. 

Пример №203

Решить уравнение 

 Решим уравнение относительно  и поставим  - параметрические уравнения интегральных кривых. 

Пример №204

Решить уравнение 

 Решим уравнение относительно  и поставим 

Далее получим 

Находим параметрическое уравнение интегральных кривых:  

Параметр  тут легко вычислить. Для этого из первого уравнения обозначим 

подставим во второе уравнение. Найдем общее решение заданного уравнения 

 Пусть уравнение (39) не зависит от 

Как и предыдущем случае, можно ввести параметр и заменить уравнение (43) двумя уравнениями:  такими, что  Тогда получим 

Следует, интегральные кривые обозначаются параметрическими уравнениями 

Кроме того, если уравнение (43) легко решается относительно то за параметр берут  Тогда  откуда 

 Уравнение вида 

где  - известные функции, называется уравнением Лагранжа.

Кроме того, если  то уравнение (44) имеет вид 

и называется уравнением Клеро.

Введем параметр  тогда уравнение (44) записывают так: 

Делаем дифференциацию (46) к  получим  или  откуда 

Уравнение (48) является линейным относительно неизвестной функции  Решая его, найдем общее решение  который вместе с уравнением (46) обозначает искомые интегральные кривые. 

Переходя к уравнению (48), мы делили обе части уравнения (47) на  При этом могут потеряться решения, для которых  то есть  Считая  постоянной, увидим, что уравнение (47) выполняется в том случае, если  является корнем уравнения   Следует, если уравнение   имеет действительные корни  то найденные выше решения (44) нужно дополнить решениями  Если эти решения не удовлетворяют из общего ни одно из значений произвольной постоянной, то они являются особенными решениями. 

Рассмотрим уравнение Клеро. Положив  получим 

Дифференцируя уравнение (49) к  получим 

 или 

Если  то  потому из (49) имеем общее решение уравнения (45): 

Если  то получим частичное решение в параметрической форме: 

Можно доказать, что уравнение (51) - особенное решение уравнения Клеро, а именно, уравнение обводной группы прямых (50). 

Пример №205

Решить уравнение 

 Получаем уравнение Клеро. Общее решение, согласно (50), имеет вид 

Особенное решение заданного уравнения получим с (51):  откуда  Это уравнение обходной группы прямых 

Приближенное решение дифференциальных уравнений методом Ейлера

Мы рассмотрели некоторые классы дифференциальных уравнений, которые интегрируются в квадратурах. Есть еще несколько редких типов уравнений, которые можно решить. Но большинство уравнений не интегрируются приближенными методами. Познакомимся с простейшими из них - методом Ейлера. 

Пусть нужно найти решение дифференциального уравнения  

начальным условием  Допустим, что правая часть данного уравнения удовлетворяет условию теоремы Коши про существование и единственность решения. Тогда на некотором отрезке  существует единственное решение  который удовлетворяет данному начальному условию (рис. 8.8). 

Разобьем отрезок  с точками  на  равных частей. Пусть  Обозначим через  приближенные значения решения в точках  и проведем через точки  прямые, параллельные оси  и последовательно получим такие однотипные операции. Подставим значения  и   в правую часть данного уравнения и вычислим угловой коэффициент  приближенного значения  искомого решения заменим на промежутке  интегральную кривой отрезком ее касательной в точке  При этом получим   отсюда 

Подставляя значения  и  в правую часть данного уравнения вычисляя угловой коэффициент   дотической к интегральной в точке  Заменив на отрезке  интегральную кривую отрезком касательной, находим приближенное значение решения  в точке  отсюда  и далее. Таким образом, приближена интегральная кривая построена в виде ломанной линии, которую называют ломанной Ейлера, а метод ее построения - методом Ейлера. Приближенные значения  решения в точках  вычисляют по формуле  которая является основой решения метода Ейлера. Точность этой формулы чем выше, тем меньше разница  

Существуют и другие приближенные методы решения задачи Коши (35). 

Некоторые использования дифференциальных уравнений первого порядка

Как уже говорилось, в разных сферах людской деятельности характер задач, которые взводятся к дифференциальных уравнений и методику их решения можно схематично описать так. Строиться некоторый процесс, например, физический, химический, биологический. Нас интересует определенная функциональная характеристика данного процесса, то есть зависимости от времени, температуры тела, которое охлаждается, или количество вещества, которая получается в результате химической реакции, или количество бактерий, которые выращиваются по определенным условиям. Если полная информация в ходе этого процесса является достаточной, то можно попробовать построить его математическую модель. Во многих случаях, такой моделью построения дифференциального уравнения, одним из решением которого и есть искомая функциональная зависимость. 

Таким образом, первый этап решения задач с практическим содержанием заканчивается сложением дифференциального уравнения  для искомой функции. Это творческая важнейшая часть решения, потому что существует универсальный метод складывания дифференциальных уравнений. Каждая задача требует индивидуального подхода, который основывается на знании соответственных законов (физики, химии и биологии) и умении перенести задачу на условия математики. Математическая зрелость инженера характеризуется а основном тем, насколько правильно он может математически сформулировать практические задачи, которые связаны с его специальностью. 

Если задача взведена к дифференциального уравнения, методы решения которого известны, то второй этап решения, то есть интегрирования уравнения, не создает затруднений. 

Рассмотрим несколько конкретных примеров. 

Пример №206

В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество  бактерий. Найти зависимость увеличения числа бактерий от времени, если скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. 

 Обозначим через  количество бактерий в момент времени  Тогда  скорость размножения по условию 

Коэффициент  зависит от вида бактерий и условий, в которых они находятся. Его обозначают экспериментально. Интегрируя найденное уравнение, получим его общее решение:  По условию  находим  потому 

Пример №207

Экспериментально установлено, что скорость радиоактивного распада вещества пропорциональна его количеству в данный момент времени. Указать закон изменения массы вещества от времени, если при   масса вещества была равна 

 Пусть  - масса вещества в момент времени  По условию  где  - коэффициент пропорциональности. Знак  минус берется потому, что с временем количество вещества уменьшается. Решая найденное уравнение, получим, что 

Пример №208

Согласно с законом Ньютона, скорость охлаждения тела пропорциональна разнице между температурой тела и температурой окружающей среды.

 Известно, что нагретое до температуры  тело поместили в среду, температура которой постоянная и равна  Найти зависимость температуры тела от времени. 

 Пусть в момент времени  температуры  тела равна  По условию  (знак минус указывает на уменьшение температуры). Отделяя переменные и интегрируя получим: 

Пример №209

Цилиндрический резервуар, на дне которого есть отверстие, заполненный жидкостью. Найти время   за который жидкость вытечет из резервуара, если высота столба жидкости равна  радиус цилиндра -  площадь отверстия 

 Воспользуемся законом Торичелли, согласно с которым для маленьких отверстий скорость вытекания жидкости находят по формуле  где  - высота столба жидкости над отверстием,  -  - ускорение свободного падения. 

Пусть в момент времени  высота жидкости равнялась  и за время  уменьшалась на  Учитывая, в течении времени  скорость вытекания была постоянной и равнялась  найдем объем  жидкости, которая вытекла за время  (рис. 8.9). 

С другой стороны, уровень жидкости снизился на  потому  Приравнивая элементарные объемы, получим дифференциальное уравнение  откуда  Интегрируя, получим 

Из условия  находим постоянную  потому 

Эта формула выражает зависимость времени  от высоты столба жидкости  Положив  найдем время, за которое вытечет вся жидкость 

 

Пример №210

Вследствие химической реакции между жидкостями  и массами  и  получается третья жидкость  Установить зависимость массы этой жидкости  от времени, если скорость реакции пропорциональна произведению реагирующих масс. 

 Пусть   - количество жидкости  которая получилась за время  после начала реакции. Тогда  - скорость получения . 

По условию  где  - коэффициент пропорциональности. Отделяя  переменные и интегрируя, получим: 

Из начального условия  потому  откуда 

Пример №211

В резервуаре находится  литров водяного раствора соли, причем в растворе содержится  килограммов соли. В некоторый момент времени включается пристрой, который непрерывно подает в резервуар  литров чистой воды за секунду и одновременно забирает из него ежесекундно  литров раствора, причем . При этом жидкость постоянно перемешивается. Как изменяется с временем количество соли в резервуаре?

 Как известно, концентрацией  данной жидкости называется его количество, которое содержится в единице объема. Если концентрация равномерна, то количество жидкости в объеме  равна 

Пусть  - количество соли, которое остается в растворе после того, как пристрой работал  секунд. Количество смеси в резервуаре в этот момент будет  потому концентрация 

За время  из резервуара вытекает   литров раствора, который содержит  килограммов соли. Потому переменная  количества соли в резервуаре характеризуется уравнениям 

Это есть искомое дифференциальное уравнение. Отделяя переменные и интегрируя, получим  Постоянную  обозначим из начального условия   Следует, количество соли в резервуаре изменяется с законом 

Пример №212

Нужно найти зависимость силы тока  от времени  в контуре, который имеет электродвижущую силу  сопротивление  и индуктивность  где  - постоянные. 

 Согласно с законом Ома, получим 

Решая это линейное уравнение заменой  получим общее решение  где  - произвольная постоянная. При  получим  потому   Следует,  Откуда видно, что сила тока при  приближается к своему стационарному значению  

Пример №213

Найти формулу зеркала, которое собирает в одну точку  пучок лучей, которые падают на него параллельно, если известно, что форма его поверхности является поверхностью вращения. 

 Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы лучи были параллельны оси  а точкой, к которую собираются все лучи, была точка  (рис. 8.10).  Пусть  - уравнение осевого пересечения зеркала плоскостью  - точка падения луча  на зеркало:  - точка пересечения касательной  с осью  Тогда по закону отбивания  потому  Поскольку  то кривая  образует дифференциальное уравнение  Решая его относительно  получим два однородных уравнения: 

С помощью  находим решение первого уравнения:  Это уравнение в плоскости  обозначает группу парабол, симметричных относительно оси    фокусы которых находятся в точке  

Поскольку форма поверхности зеркала является поверхностью вращения, то, фиксируя постоянную  и вращая параболу около оси, получим искомую поверхность в виде параблоида вращения: 

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Рассмотрим дифференциальные уравнения, которые содержат производные высших порядков. Порядок наивысшей производной неизвестной функции, что входят в дифференциальные уравнения, называется порядком этого уравнения. Кроме того, дифференциальные уравнения  - ого порядка имеет вид 

где  - независимая переменная,  - неизвестная функция,  - известная функция. 

В уравнение  -го порядка (52) производная -ого порядка  может на самом деле сходить, тогда как наличие в нем прочих переменных, то есть    необязательна. 

Уравнение (52), не решенное относительно главной производной  называется неявным дифференциальным уравнением. 

Нормальным или явным дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение (52), решенное относительно 

 

Рассмотрим в основном такие же уравнения. 

Решением уравнения (53) на некотором интервале  называется  раз непрерывного дифференцирования на этом интервале функция   которая при подстановке в данное уравнение превращает его в тождество по  то есть 

График решения дифференциального уравнения (52) или (53) называется его интегральной кривой. 

Для дифференциальных уравнений высших порядков, как и для уравнений первого порядка, рассматривается задача Коши или задача с начальными условиями. Для уравнения (53) эта задача ставится так: среди всех решений уравнения (53) найти такое решение   которое при  удовлетворяет такому условию: 

 или 

где   - произвольные наперед заданные действительные числа. 

Условия (54) называют начальными условиями уравнения (53). Кроме того, для уравнения второго порядка 

начальные условия при  имеют вид 

Существование и единственность решения задачи Коши обозначаются теоремой Коши. 

Теорема 2. Если функция  и ее части производной к аргументам   непрерывны в некоторой открытой области  то для всякой точки   существует единственная связь   уравнения (53), который удовлетворяет начальному условию (54). 

Примем данную теорему без доказательства. Следует обратить внимание на то, что в этой теореме говорится про единственность решения в  измерительному пространству: иначе говоря, единственность решения уравнения (53) с условиями (54) в отличие от дифференциального уравнения первого порядка не означает, что через данную точку   проходит только одна интегральная кривая уравнения (53).  Так, для уравнения (55) единственное решение с условиями (56) означает, что через точку  проходит только одна интегральная кривая уравнение (55) с угловым коэффициентом касательной в этой точке, который равен  (рис. 8.11). Но через эту точку могут проходить и другие интегральные кривые, но с другим направлением касательной.  Наконец, остановимся на понятиях начального и частичного решения уравнения (53). Как мы уже видели, общее решение уравнения первого порядка находится с помощью операции интегрирования и содержат одну произвольную постоянную. В общем случае решение дифференциального уравнения  - го порядка находится в результате  последовательных интегрирований, потому общее решение уравнения (53) содержит  произвольных постоянных, то есть имеет вид 

Если общее решение находится в неявной форме:  

то его называют общим интегралом уравнения (53). 

Частичное решение или частичный интеграл находят из общего, если в соотношении (57) или (58) каждой произвольной постоянной  дать конкретное числовое значение. Со стороны  геометрии общим решением уравнения (53) является  параметрическая группа интегральных кривых, зависимых от  параметров  а частичное решение - отдельная кривая из этой группы. 

Заметим, что не каждое решение уравнения (53), который содержит  произвольных постоянных, является общим решением. Решение (57) дифференциального уравнения (53), который содержит  произвольных постоянных, называется общим решением,  если можна найти такие единственные постоянные  что частичное решение  удовлетворяет начальному условию (54). 

Таким образом, решить дифференциальные уравнения  - го порядка - это означает: 1) найти его общее решение; 2) с общего решения выделить частичное решение, который удовлетворяет начальному условию, если такие условия заданы. 

Дифференциальные уравнения n - го порядка, которые интегрируются в квадратурах

Уравнения - го порядка интегрируются в квадратурах очень редко. Рассмотрим некоторые классы таких уравнений. 

 Уравнение вида 

где  - заданная непрерывная функция, интегрируется в квадратурах. На самом деле, записав эти уравнения в виде  

и интегрируя, получим

  

где  - постоянная интегрирования.

Аналогично найдем отсюда 

где  - постоянные интегрирования. Продолжая далее, после интегрирования найдем общее решение уравнения (59): 

Пример №214

Найти общее решение уравнения 

 Последовательно получим

.2. Материальная точка массы  падает вертикально под действием силы земного притяжения. Найти закон движения точки, если в начальный момент времени точка имела скорость  Падение считать свободным, то есть сопротивлением среды. 

 Пусть  - путь, который прошла точка за время     - соответственно скорость и ускорение движения.  На тело действует сила  где  - ускорение свободного падения. Тогда по второму закону Ньютона 

 или 

Имеем дифференциальные уравнения вида (59) относительно неизвестной функции  Согласно с условием задачи начального условия имеют вид

 

Последовательно интегрируя, получим 

Воспользовавшись начальными условиями, находим  Таким образом, получаем известные из физики формулы для скорости и пути при свободном падении тела 

 Рассмотрим уравнение вида 

Если заданное уравнение можно решить относительно  то получим уже рассмотренный случай  Предположим, что уравнение (60) можно решить относительно 

Если положить  то уравнение (61) получит вид:  откуда  Подставляя значение  и  в тождество  получим 

Интегрируя уравнение (62) тем же методом, что и уравнение (59) учитывая сразу, что  получим решение уравнения (60) в параметрической форме. 

Пример №215

Решить уравнение 

 Получим 

Следует, начальное решение данного уравнения в параметрической форме имеет вид 

Дифференциальные уравнения, которые допускают понижение порядка

Одним из методов решения дифференциальных уравнений высших порядков является метод понижения порядка. Суть его состоит в том, что с помощью соответственной замены переменной данное дифференциальное уравнение взводится к уравнению нижнего порядка. 

Рассмотрим два типа дифференциальных уравнений, которые допускают понижение порядка. 

 Пусть задано дифференциальное уравнение вида  

которое не содержит явно искомой функции. Порядок такого уравнения можно понизить, если за новую неизвестную функцию взять самую низкую из производных данного уравнения, то есть положить  тогда  потому получаем уравнение 

Таким образом, порядок уравнения понижается на  единиц. Кроме случая уравнения (63) является уравнение  

которое с помощью новой переменной  взводится уравнение первого порядка:  

 Если для этого уравнения удается найти общее решение  то приходим к уравнению   вида (59),  которое интегрируется в квадратурах. 

Пример №216

Решить уравнение  

 Положим  тогда  и получим линейное уравнение первого порядка относительно неизвестной функции   

Решив это уравнение, получим  тогда  откуда 

Пример №217

Тело массы  падает вертикально с некоторой высоты без начальной скорости. При падении тело подвергается сопротивлению ветра, пропорционального квадрату скорости Найти закон движения тела. 

 Пусть  - путь, пройденной телом на время  от начала движения,   - скорость и ускорение. На тело действуют силы:  вес тела и  - сопротивление ветра. По второму закону Ньютона получаем:  или   где  - коэффициент пропорциональности. 

Получим дифференциальные уравнения второго порядка, которое не содержит явно неизвестной функции  Согласно с условие задачи получим такие начальные условия: 

Положим  тогда  и получим уравнения  или  где 

 Отделяя переменные и интегрируя, находим 

Поскольку  то  потому  откуда 

Таким образом, для обозначения неизвестной функции  получим уравнения   

Интегрируя, получим 

Поскольку  то  потому искомый закон движения имеет вид 

 Рассмотрим дифференциальное уравнение вида 

 

которое не содержит явно зависимой переменной 

Уравнение (64) допускают понижение порядка на единицу. На самом деле положим  где новой неизвестной  является функция от  тогда по правилу дифференцирования сложенной функции получаем: 

то есть порядок другой производной понизился на единицу. Аналогично получим 

Методом индукции можно доказать, что порядок всех следующих производных также понижается на единицу. 

Таким образом, от уравнения (64)   - го порядка приходим к уравнению 

Отдельным случаем уравнения (64) является уравнение

 

которое подстановкой  взводится к дифференциального уравнения первого порядка: 

Пример №218

Решить уравнения

 Получаем уравнения вида (65). Положив 

 

получим 

 или 

 Эти уравнение распадается на два: 

 Из первого получим  отсюда  В другом уравнении отделяются 

Поскольку  то  

Заменив  на  на  найдем второе решение данного уравнения 

Следует заданное уравнение имеет решения  и 

Пример №219

Найти наименьшую скорость, с которой нужно метнуть тело вертикально вверх, чтобы оно не вернулось на Землю, сопротивляясь ветру. 

 Обозначим через  и  соответственно массе Земли и массе тела. Согласно закону притяжения Ньютона, сила  притяжения, что действует на тело, равно  где  - расстояние между центром Земли и центром массы тела;  - гравитационная постоянная. 

Учитывая, что на тело действует только сила инерции и сила тяжести, запишем дифференциальные уравнения движения тела:  или 

Знак минус берем потому, что со временем скорость движения уменьшается, а это означает, что ускорение отрицательное. 

Найденное дифференциальное уравнение не содержит аргументу  то есть это уравнение вида (65). Решим его начальными условиями:  при  где  - радиус Земли;  - скорость кидания. 

Положим  тогда 

где  - скорость движения тела. 

Подставляя эти величины в уравнения, получим 

Отделяя переменные и интегрируя, находим общее решение этого уравнения:  

Согласно с начальными условия на поверхности Земли  потому 

Подставив найденное значение  а общее решение, получим   откуда 

По условию задачи выход тела из гравитационного поля Земли означает, что  при  Поскольку   при  то полученное неравенство выполняется для произвольного  только в случае, когда  или  

Из закона притяжения получается, что ускорение свободного падения равно 

На поверхности Земли  потому  

Следует скорость метания должна удовлетворять неравенству  

Поскольку  то наименьшая скорость метания, которая обеспечит выход тела из гравитационного поля Земли равна 

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Уравнения вида  

где  - заданные функции, называют линейным дифференциальным уравнением - ого порядка. 

Термин "линейные уравнения" связан с тем, что уравнение (66) содержит неизвестную функцию  и все ее производные только в первой степени. 

Функции  называются коэффициентами данного уравнения,  а функция  - его свободным членом. Если свободный член  тождественно равен нулю, то уравнение (66) называется однородным, если  то уравнение (66) называется неоднородным. Коэффициент  в своей области определения, или в противном случае уравнение (66) не было бы уравнением  ого порядка. Поделив данное уравнение  получим где  

таким образом, дифференциальное уравнение вида (66) всегда можно привести к виду (67). В связи с этим мы далее рассмотрим только такие уравнения. 

Если в некотором интеграле  коэффициенты  и вольный член  - это непрерывные функции, то уравнения (67) при любых начальных условиях 

имеет единственное решение, которое выполняет эти условия. 

На самом деле, записав уравнение (67) в виде  увидим, что оно удовлетворяет всем условиям теоремы 2. Можно доказать, что решение уравнения (67), которое удовлетворяет условию (68), существует и единственный на этом интеграле  .

Далее будем считать, что коэффициенты и свободный член уравнения (67) на некотором интервале  являются непрерывными функциями. 

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка 

и установим некоторые свойства его решений. 

Очевидно, одним из решений уравнения (69) является  Это решение называют нулевым или тривиальным. Далее под задачей решения однородного дифференциального уравнения будем подразумевать задачи, в которых будем искать его нетривиальные решения. 

Теорема 1. Если функции и  - решения уравнения (69), то с решением этого уравнения является также функция 

где   - произвольные постоянные. 

 Подставив функцию (70) в уравнение (69), получим: 

Поскольку и   - решения уравнения (69), то выражения в квадратных скобках тождественно равны нулю, а это значит, что функция (70) является решением уравнения (69) . 

Функция (70) содержит две произвольные постоянные и являются решением уравнения (69), потому естественно возникает вопрос: является ли решение (70) общим решением уравнения (69)?  Чтобы ответить на эти вопросы, введем понятия линейной зависимости и линейной независимости функции. 

Функции и  называются линейно независимыми на промежутке , если тождество 

где  - действительные числа, сбывается тогда и только тогда, когда  

Если хотя бы одно из чисел  или  отличное от нуля  выполняется тождество (71), то функции и   называются линейно зависимыми на промежутке . 

Несложно представить, что функции и  тогда и только тогда линейно зависимы на промежутке , когда существует такое постоянное число   что для всех  выполняется равенство 

 то есть  

Иначе говоря, две функции тогда и только тогда линейно зависимы, когда они пропорциональны. Например, пусть    тогда функции и  линейно зависимы, а  и  - линейно независимы: 

Если   и  - функции от  то получим определитель

называется определителем Вронського этих функций обозначаются символом  или  

Теорема 2. Если функции и  - дифференцированные и линейные зависят от промежутке , то определитель  Вронського на этом промежутке тождественно равно нулю. 

 Пусть,  например, в тождестве (71)  тогда  потому 

Теорема 3. Если функции и   - линейно независимые уравнения (69) на промежутке  определитель Вронського этих функций в каждой точке данного промежутка не равны нулю. 

 Приведем теорему методом от противного. Допустим, что существует  точка   которой  

Сложим систему уравнений: 

где  - неизвестные числа, а  - решение уравнения (69). Поскольку определитель системы (72)  то она имеет ненулевое решение. Обозначим его через  и введем функцию 

Эта функция по теореме 1 является решением уравнения (69), причем согласно с системой (72), удовлетворяет  начальные условия 

Но функцию, которая удовлетворяет и уравнение (69), и начальные условия (73), является также функция   Поскольку для дифференциального уравнения (69) выполняются все условия теоремы Коши про существование единственного решения, то решение  и  соприкасаются, то есть 

Это равенство означает, что решения являются линейно зависимыми промежутку . Пришли  к противоречию. Следует, 

Из теорем 2 и 3 получается такой критерий линейной независимости решений дифференциального уравнения: для того, чтобы решения уравнения (69) были линейно независимыми на заданном промежутке необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронського не равнялся нулю хотя бы в одной точке данного промежутка. 

Теперь мы можем дать ответ на поставленный ранее вопрос. Установим отличия, по которым функция (70) будет общим решением уравнения (69). 

Теорема 4. Если функции  - два линейно независимые на промежутке  решения уравнения (69), то функция 

где  и  - произвольные постоянные, является общим решением. 

 Согласно с теоремой 2 функция (74) является решением уравнения (69), а любых значений постоянных  и . Чтобы доказать, что это решение общее, покажем что из него можно выделить такой единственное частичное решение, которое удовлетворяет произвольно заданному начальному условию. 

где  

Подставив начальные условия (75) в равенство (74), получим систему линейных алгебраических уравнений: 

в которой  и - неизвестные числа. Определителем этой системы является определитель Вронського   Поскольку  - линейно независимые функции, то согласно с теоремой 2  потому данная система имеет единственное решение   и  Решение  и является тем частичным решением уравнения (69), которое удовлетворяет начальному условию (75). 

Как уже говорилось, далеко не любое дифференциальное уравнение второго порядка решается в квадратурах. То же самое происходит и с линейными уравнениями (69) с переменными коэффициентами  и  Но если известный одно частичное решение уравнения (69), то можно найти и общее его решение. 

Теорема 5. Если известное какое-нибудь частичное ненулевое решение уравнения (69), то эти уравнения решаются в квадратурах. 

 Пусть  - ненулевое решение уравнения (69). Возьмем  где  - неизвестная функция от  тогда ,  Подставляя значения  и  в уравнение (69), получим 

Поскольку  - решение уравнения (69), то выражения в фигурных скобках равно нулю, потому остальное уравнение имеет вид 

Возьмем где  - новая неизвестная функция от  Приходим к уравнению с отделяемыми переменными: 

Получим 

Поскольку  и  то  

где  и  - произвольные постоянные. 

Пример №220

Доказать, что функции  и  являются линейно независимыми решениями уравнения  Найти общее решение этого уравнения. 

 Подставляя функции  и  в заданное уравнение, убеждаемся, что каждое из них обращает равнение в тождество, следует, является его решением. Поскольку  то функции  и   - линейно независимы. Тогда, согласно с теоремой 3, общее решение этого уравнения запишется в виде  где   - произвольные постоянные. 

Пример №221

Решить уравнение  которое имеет частичное решение 

 Согласно с теоремой 5 возьмем  тогда получим уравнения    Подставим вместо  его значение и решим относительно функции 

Следует, 

Линейные неоднородные уравнения второго порядка

Рассмотрим теперь неоднородное линейное уравнение второго порядка  

где  - заданные и непрерывные на  функции. Линейное однородное уравнение 

левая часть которого соприкасается с левой частью неоднородного уравнение (76), далее будем называть соответственным ему однородным уравнением. 

Теорема. Общим решением уравнения (76) является сумма его произвольного частичного  решения и общего решения соответственного однородному уравнению (77). 

 Пусть  - частичное решение уравнения (76), а  - общее решение уравнения (77). Убедимся, что функция 

- решение уравнения (76). Подставляя функцию (78) в уравнении (76), получим 

Покажем теперь, что функция (78) - общее решение уравнения (76), который удовлетворяет заданному начальному условию 

где 

Подставив условия (79) в функцию (78), получим систему уравнений 

где  - неизвестны. 

Определителем этой системы будет определитель Вронського  для функций  и  в точке  Поскольку эти функции линейно независимы, то  Итак, система имеет единственное решение  и  Таким образом, получили решение  уравнения (76), который удовлетворяет начальному условию (79). 

Из теоремы получается, что для нахождения общего решения уравнения (76) нужно найти какое-нибудь его частичное решение, а так же общее решение соответственного однородного уравнения. Оба этих значения являются сложными. Но если известное общее решение однородного уравнения (77), то частичное решение уравнения (76) можно нати, используя так называемым методом вариации произвольных постоянных, который принадлежит Лагранжу. 

Метод вариации произвольных постоянных 

Пусть  

- начальное решение однородного уравнения (77), соответственно уравнению (76). Заменит в формуле (80) постоянные  и  неизвестными функциями  и подберем эти функции так, чтобы функция 

Была решением уравнения (76). Найдем производную (76). Найдем производную 

Положим на  и  условие, чтобы 

С учетом условия (82) производная  получит вид 

Найдем вторую производную 

Подставив значения   в уравнение (76), получим 

Поскольку  - решение однородного уравнения (77), то выражение в квадратных скобках равно нулю, а потому 

Таким образом, функция (81) будет тогда частичным решением уравнения (76), когда функция  и   удовлетворяет систему уравнений (82) и (83): 

Определителем этой системы будет определитель Вронського для линейно независимых решений  и  уравнения (77), потому  Тогда система (84) имеет единственное решение  и  где  и  - некоторые функции от   Интегрируя эти функции, находим  и , а потом по формуле (81) сложим частичное решение уравнения (76). 

При нахождении частичных решений может стать полезной следующая теорема. 

Теорема. Если правая часть уравнения  равна сумме двух функций  и  - решение уравнений  и  то функция  будет решением данного уравнения. 

 Действительно, 

Это означает, что когда можно найти решения уравнений, правыми частями которых являются отдельные слагаемые заданной правой части, то можно очень прости - в виде суммы решений - найти решение данного уравнения. 

Пример №222

Уравнение  имеет частичное решение  уравнение  - решение  Найти частичное решение уравнения 

 Согласно с теоремой, искомое решение имеет вид 

Пример №223

Найти общее решение неоднородного уравнения 

 если 

общее решение соответственного однородного уравнения. 

 запишем частичное решение данного уравнения в виде 

Для нахождения неизвестных функций  и  сложим систему уравнений вида (84): 

Решая эту систему, найдем  Интегрируя получим 

Запишем частичное решение данного уравнения:

Следует,  

- общее решение данного неоднородного уравнения. Таким же будет результат, если во время интегрирования  и  ввести произвольные постоянные  и 

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Как уже говорилось, основной задачей в дифференциальных уравнениях является нахождение их общего решения. Эта задача лучше изучена для линейных уравнений с постоянными коэффициентами. 

Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка 

где  - действительные числа. 

Ейлер предложить искать частичные решения этого уравнения в виде 

где  - постоянная, которую нужно найти. Подставив функцию (86) в уравнение (85), получим 

Поскольку  то 

Следует, если  будет корнем уравнения (87), то функция (86) будет решением уравнения (85). Квадратное уравнение (87) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (85). 

Обозначим корни характеристического уравнения через  и  Возможно три случая: 

•  и  - действительные и разные числа 
•  и  - комплексные числа 
•  и  действительные и равные числа 

Рассмотрим каждый из случаев отдельно. 

 Корни характеристического уравнения  действительные и разные числа в этом случае частичными решениями (85) является функция 

Эти решения линейно независимы, потому что 

 Согласно с теоремой 4 (п. 3.2) общее решение уравнения (85) находят по формуле

Корни характеристического уравнения комплексно - сопряженные: 

Подставив значения  и  в формулу (86), найдем решения 

По формуле Ейлера 

Получим 

Действительно, подставив функцию  в уравнение (85) получим: 

 или 

Последнее тождество возможно, если выражения в скобках равны нулю . Это означает, что функции  и  - решения уравнения (85). Согласно с этим замечанием частичными решениями уравнения (85) являются функции 

Эти решения линейно независимые, поскольку 

потому общее решение уравнения (85) запишется в виде 

 Корни характеристического уравнения действительные и равные  По формуле (86) получим одно из решений: 

Второе решение ищем в виде  где  - неизвестная функция от  Найдя  и  и подставив их в уравнения (85) получим 

 или

Поскольку  - корень уравнения (87), то  и по теореме Виета  потому  и  откуда  где  - произвольные постоянные. Возьмем , найдем второе частичное решение уравнения (85): 

Решения  и  - линейно независимые, потому общее решение уравнения (85) имеет вид 

Пример №224

Найти общее решение уравнения 

 Сложим характеристическое уравнение  и найдем его корни  По формуле (88) искомое решение имеет вид: 

Пример №225

Решение уравнение 

 Характеристическое уравнение  имеет комплексные корни  Общее решение получим по формуле (89): 

Неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения с специальной правой частью

Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение 

где  - заданные действительные числа, - заданная функция, непрерывная на некотором промежутке 

Согласно с теоремой п. 3.3, общее решение такого уравнение представляет собой сумму частичного решения уравнения  (91) и общего решения соответственного однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения мы уже находить умеем, потому рассмотрим детальные вопросы про нахождение частичного решения неоднородного уравнения. 

Наперед следует обозначить, что частичное решение неоднородного дифференциального уравнения (91) можно найти в квадратурах методом вариации произвольных постоянных (п. 3.4). Но для уравнений с специальной правой  частью частичного решения можно найти значительно проще, не вдаваясь к операции интегрирования. 

1. Пусть правая чать в уравнении (91) имеет вид 

где  - действительное число,  - многочлен степени 

Возможны такие случаи:

а) число  не является корнем характеристического уравнения 

Тогда дифференциальное уравнение (91) имеет частичное решение вида 

где  - неопределенные коэффициенты. 

На самом деле, подставляя функцию (94) в уравнение (91), после укорочения на   получим 

где  - многочлен степени  - многочлен степени  а  и  -многочлен степени  Таким образом, слева и справа в тождестве (95) стоят многочлены степени  Приравнивая коэффициенты про одинаковых степенях  получим систему  линейных алгебраических уравнений, с которой обозначим   неизвестных коэффициентов  многочлена . 

Не останавливаясь далее на доказательствах, укажем форму, в которой нужно искать частичное решение уравнения (91), зависит от вида правой части  этого уравнения; 

б) если число  соприкасается с одним корнем характеристического уравнения (93) то есть является простым корнем этого уравнения, то частичное решение уравнения (91) нужно искать в виде 

в) если число  является двукратным корнем уравнения (93), то частичное решение (91) ищут в виде 

Объединяя случаи а) - в): если правая часть уравнения (91) имеет вид (92), то частичное решение этого уравнения нужно искать в виде 

где  - многочлен с неопределенными коэффициентами этой же степени, что и многочлен  а  - число корней характеристического уравнения, которое равно . Если  не является корнем характеристического уравнения, то получим 

 Пусть правая часть в уравнении (91) имеет вид 

где  - многочлен степени  - многочлен степени  где  и  - действительные числа. Частичное решение уравнения (91) нужно искать вид 

где  и  - многочлены степени  с неопределенными коэффициентами;  - высшая степень многочленов  и  то есть   - число корней характеристического уравнения, которые равны  

Кроме того, если правая часть уравнения (91) имеет вид 

где  - известные действительные числа, то частичное решение этого уравнения нужно искать в виде

где  - неизвестные коэффициенты,  - число корней характеристического уравнения (93), которые равны  

Замечание 1. Искомые многочлены   в формулах (94), (96) и (97) могут быть полными, то есть содержать все степени  от 0 к  независимо от того, является ли полным заданный многочлен  Это же выполняется для многочленов могут быть, как говорят, разными. 

Замечание 2.  Если правая часть уравнения (91) является суммой нескольких разных по структуре функций вида (92) или (98), то для вычисления частичного решения нужно использовать теорему про наложение решений (п. 3.4). 

Замечание 3. Использованные метод подбора отдельного частичного решения уравнения (91) можно использовать только для определенных дифференциальных уравнений, а именно для линейных уравнений с постоянными коэффициентами и с специальной правой частью вида (92) или (98). В других случаях частичное решение нужно искать методом вариации произвольных постоянных. 

Пример №226

Решить уравнение  

 Характеристическое уравнение  имеет корень  потому общее решение однородного уравнения имеет вид  Поскольку правой частью данного уравнения является функция вида  причем   то по формуле (94) частичное решение искомое в виде  то есть  где  и  - неизвестные коэффициенты. Найдя производные  и подставив их в уравнения, получим 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений 

откуда  Следовательно, частичное решение данного уравнения имеет вид   потому 

 

искомое общее решение. 

Пример №227

Решить уравнение 

 Характеристическое уравнение  имеет корни  потому  - общее решение соответственное однородное уравнение. 

Правая часть данного уравнения имеет вид  Поскольку  то частичное решение ищем в виде  то есть  

где  - неизвестные коэффициенты. Найдя производные  и  и подставив их в данное уравнение, получим после взведения подобных членов и укорочения: 

откуда 

следует   - частичное решение данного уравнения, а  - общее решение.  

Пример №228

Решить уравнение 

 Характеристическое  уравнение  имеет корни   потому общее решение однородного уравнения имеет вид  Поскольку правой частью данного уравнения является функция вида   причем  то есть  является простым корнем характеристического уравнения то согласно с формулой (96) частичное решение нужно искать в виде  а именно: 

где  - неизвестные коэффициенты. 

Найти  и   и подставив   и   в данном уравнении упрощенно находим 

Далее получим  - частичное решение данного уравнения;  - начальное решение. 

Пример №229

Решить уравнение  

 Характеристическое уравнение  имеет корни   потому общее решение соответственного однородного уравнения имеет вид  Правая часть данного уравнения  является функцией вида (100), где  Кроме того, число  соприкасается с одним из корней характеристического уравнения, потому согласно с формулой (101) частичное решение ищем в виде 

Правая часть данного уравнения имеет вид   Поскольку    то частичное решение ищем в виде  то есть 

где  - неизвестные коэффициенты. Найдя производные  и  подставив их в данное уравнение, получим после взведения подобных членов и упрощения на 

 откуда 

следует,  - частичное решение данного уравнения, а    - общее решение. 

Пример №230

Решить уравнение 

 Характеристическое уравнение  имеет корни  потому общее решение однородного уравнения имеет вид  Поскольку правой частью данного уравнения является функция вида  причем  то есть  является простым корнем характеристического уравнения, то согласно с формулой (96) частичное решение нужно искать в виде   а именно: 

 где  - неизвестные коэффициенты. 

Найдя и  и  и подставив и  в данное уравнение, после упрощения находим  

Далее получим

   - частичное решение данное уравнение:  - общее решение. 

Пример №231

Найти решение уравнения  которое удовлетворяет начальным условиям: 

 Характеристическое уравнение  имеет корни  потому общее решение соответственного однородного уравнения имеет вид  Правая часть уравнения является суммой двух разных по структуре функций    потому по теореме про накладывание решений частичных решений данного уравнения равно  где   и  - частичные решения уравнений  и  соответственно. 

Частичное решение первого из этих уравнений ищем в виде  поскольку . Поставив в первое уравнение, после сокращения получим  потому 

Частичное решение второго уравнения ищем в виде  откуда . Следовательно,  - общее решение данного уравнения. 

Найдем частичное решение, которое удовлетворяет заданному начальному условию. Дифференцируем начальное решение:

Подставив в начальное решение и его производную начальные условия  получим систему уравнений 

откуда  Следовательно,  - искомое решение.

Пример №232

Решить уравнение  

 Характеристическое уравнение  имеет корни  потому  - общее решение соответственного однородного уравнения. Правая часть  уравнения  не является функцией специального вида (92) или (98), потому частичное решение данного уравнения методом подбора искать нельзя. 

Найдем это решение методом Лагранжа. Сложим систему вида (84) и решим ее 

Интегрируя получим 

где  - произвольные постоянные. При  получим частичное решение: 

тогда - общее решение данного уравнения.   

Линейные дифференциальные уравнения n - го порядка

Используем методы нахождения решений дифференциальных уравнений второго порядка к уравнениям высших порядков. Беспрерывно детально по теории (см. (26)), сформулируем необходимые утверждения и рассмотрим примеры. 

Пусть имеем линейное дифференциальное уравнение  порядка

где  - постоянные действительные числа. 

Характеристическими для уравнения (102) называется алгебраическое уравнение  - ой степени вида 

где  - неизвестное действительное или комплексное число. 

Как известно , уравнения (103) имеет  корней. Обозначим эти корни через 

Теорема. Каждому простому корню  уравнения (103) соответствует частичное решение  уравнения (102), а каждому корню  кратности  соответствует  частичных решений вида 

Каждой паре простых комплексно - спряженных корней уравнения (103) соответствует два частичных решения  и  уравнения (102), а каждой паре комплексно - спряженных корней кратности  соответствует  частичных уравнений вида 

Общая сумма кратности всех корней уравнения (103) равны  потому количество всех частичных решений уравнения (102), сложенных согласно с этой теоремой, равно  то есть соприкасается с порядком уравнения (102). Обозначим эти частичные решения через  Можно показать, что найденные частичные решения являются линейно независимыми, и общее решение уравнения (102) находится по формуле

 

Пусть теперь задано неоднородное уравнение  порядка 

где  - постоянные действительные числа,  - непрерывная на некотором промежутке функция. 

Как и для уравнений второго порядка, общим решением уравнения (105) является функция  где 

 - общее решение соответственного однородного уравнения (102), а  - частичное решение уравнения  (105). 

Построение общего решения   уравнения (102) выяснено. Проанализируем нахождение частичного решения  Если правая часть   уравнения (105) является функцией специального вида (98), то для нахождения  используют метод вариации произвольных постоянных. Согласно уравнению (105) суть этого метода такова. 

Пусть функция (104) является общим решением соответственного однородного уравнения (102). Находим частичное решение уравнения (105) по той же формуле (104), учитывая, что величины   функции от  то есть 

где  - неизвестные функции. 

Сложим систему уравнений 

Решая эту систему, находим производные  а потом интегрируем и сами функции  Если взять все постоянные интегрирования равными нулю и подставить функции  в равенство (106), то получим частичное  решение уравнение (105), если в равенство (106) подставить функции   где  - произвольные постоянные, то сразу получим общее решение. 

Пример №233

Решить уравнения 

 Характеристическое уравнение  имеет корни  Согласно с теоремой имеем частичные решения:  Начальное решение данного уравнения находим по формуле (104):  

Пример №234

Найти решение уравнения  которое выполняет начальное условие 

 Имеем неоднородное  линейное уравнение третьего порядка. Характеристическое уравнение  имеет корни  Общее решение соответственного однородного уравнения  имеет вид  Правой частью данного уравнения является функция вида (100), где   Поскольку число  не является корнем характеристического уравнения   то отделяемое решение искомое в виде (101): 

где  - неведомые коэффициенты. Найдя производные  и подставив их в данное уравнение, после упрощение получим

  отсюда   потому  - частичное решение неоднородного уравнения, а 

- - общее решение. Продифференцировав его дважды, найдем: 

Воспользовавшись начальными условиями  получим систему уравнений:

откуда  Следует, искомое решение имеет вид 

Пример №235

Задача про битье вала. Для быстрого вращения тонкого и долгого вала характерно, как показывает опыт, такое явление: при увеличении угловой скорости  она достигает такого значения  при котором вал не сохраняет прямолинейную форму, а начинают, как говорят, биться: если и далее увеличивается скорость  то битье сначала прекращается, а потом снова возникает при . Скорость   называют критическими скоростями вращения вала. Вычислить эту скорость. 

 Видим, что величина  прогиба вала, закрепленного в точках и  удовлетворяет уравнению 

где  - коэффициент упругости; - момент инерции поперечного пересечения вала:  - вес единицы длины вала и -- ускорение свободного падения. 

Положив  

получим уравнение 

 

Его характеристическое уравнение   имеет корни   потому общее решение данного дифференциального уравнение имеет вид 

На концах вал закреплен, поэтому получим начальные условия

 которые 

Решение   этой системы соответствует случаю, если вал сохраняет прямолинейную форму: 

Найдем теперь те значения  для которых система уравнений имеет ненулевые решения. Из первых двух уравнений получаем   Подставляя эти значения в остальные два уравнения, получим  Поскольку  то  откуда 

Воспользовавшись значением  найдем искомые критические скорости: 

Дифференциальные уравнения колебаний

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка широко используют при изучении явлений, связанных с разнообразными колебаниями. 

Пусть в некоторой среде вдоль оси  движется материальная точка массой  Предположим, что на эту точку действуют такие силы: сила  (  - коэффициент восстановления), которая пытается повернуть точку к началу координат; сила сопротивления  (  - коэффициент сопротивления); внешняя сила  направление которой соприкасается с направлением движения  или 

где 

Если  то дифференциальное уравнение (107) называют уравнением вынужденных колебаний, а при  уравнением вольных колебаний. 

Заметим, что уравнение вида (107) описывают механические колебания груза на пружинной рессоре, малые колебания математического или физического маятника, вертикальны и бортовые колебания корабля, электрические, звуковые колебания и много других. 

Вольные гармоничные колебания

Рассмотрим уравнение вольных колебаний 

Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение  имеет два корня:   Возможно три случая. 

 Коэффициент сопротивления больше чем коэффициент восстановления  тогда общее решение уравнения (108) имеет вид 

График его в определенных начальных условиях показан на рис. 8.12, из которого видно, что никаких колебаний не происходит,  при   то есть материальная точка направляется к равновесию. Такое движение называют  затухающим колебанием.  

Объяснить это можно тем, что влияние силы сопротивления, которое затормаживает движение, настолько преобладает над влиянием силы восстановления, которая создает движение, что движение затухает раньше, чем материальная точка перейдет в положение равновесия. 

 Коэффициент сопротивления равен коэффициенту восстановления:  тогда общее решение уравнения (108) имеет вид (рис. 8.13) 

Такое движение называется апериодическим. Он не отличается от предыдущего в том понимании, что  при 

Коэффициент сопротивления меньше коэффициента восстановления:  тогда общее решение уравнения (108) имеет вид: 

Возьмем 

преобразим решение (109) до вида  

Теперь уже точка на самом деле происходит колебание - так названные затухающие гармоничные колебания. Величина  называется начальной амплитудой,  - частотой,  - периодом, а  - начальной фазой затухающих гармоничных колебаний. 

Если коэффициент опоры  то 

тогда материальная точка выполняет случайные гармоничные колебания. В случае, когда  амплитуда колебаний равна  и в отличии от случайных гармоничных колебаний,  не является постоянной величиной:  при  Следует точка направляется к равновесию, но не монотонно, как в предыдущих случаях, а колебаясь около положения равновесия с постепенно затихающими амплитудами. 

Схематический график затухания гармоничного колебания при   изображено на рис. 8.13.

Значение постоянных  и  в формуле (109) или  и  в формуле (110) обозначаются из начальных условий - начального отклонения точки и ее скорости. 

Вынужденные колебания. Резонанс

Пусть в уравнении (107) внешняя сила  тогда движение точки описываем линейными неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Начальное решение этого уравнения в квадратурах можно найти методом вариации произвольных постоянных. 

Рассмотрим случай, когда движение происходит в  среде без сопротивления и на колебании систему деятельность переодичная внешняя сила 

  тогда уравнение (107) получает вид 

Начальным решением этого уравнения является сумма начального решения  соответственного однородного уравнения и какого-нибудь частичного решения  уравнения (112).

 Из формулы (111) получается, что общее решение  Чтобы найти частичное решение , рассмотри два случая. 

 Нерезонансный случай: предположим, что  то есть частота внешней силы отлична от частоты вольных колебаний. Поскольку число   не сходится с корнями  характеристического уравнения  то согласно с формулой (101) частичное решение нужно искать в виде 

Найдя коэффициенты и  известными способами (п. 4.2), получим 

тогда общее решение уравнения (112) имеет вид 

Таким образом, частичное решение  обозначает колебание точки, обусловленное внешней силой, начальное решение  - вольные колебания, а начальное решение  - движение колебания, что получается вследствие складывания двух колебаний с разными частотами  и  В случае, если  и  близки по величине, материальная точка выполняет колебание с большей постоянной амплитудой. 

 Резонансный случай: пусть теперь  то есть частота внешней силы равна частоте вольных колебаний. Поскольку  соприкасается с корнем характеристического уравнения, частичное решение нужно искать в виде 

Находя коэффициенту  и  получим решение   потому общее решение уравнения (112) имеет вид

 

Из этой формулы получается, что как и в предыдущем случае, имеем колебательное движение, которое выполняется вследствие складывания двух колебаний, но с одинаковыми частотами. Второе слагаемое решения показывает, что амплитуда колебаний неограниченно возрастает при неограниченном возрастании времени  то есть материальная точка через некоторое время выполняется колебание с очень большой амплитудой, даже если амплитуда  внешней силы совсем мала. Это явление называется резонансом. Резонанс играет важную роль в технике и физики. Каждое упругое тело имеет свою определенную частоту колебаний, которая зависит только от свойств тела. Если происходит резонанс, то действие силы, насколько бы маленькая она не была, можно произвести к построении колебательной системы. Потому про проектировании разнообразных сооружений  (зданий, машин, мостов, самолетов, кораблей и т.д) особенно важно относятся к расчетам прочности сооружения, связанного с резонансом. Резонансом объясняют хорошо известное явление, когда небольшое "раскачивание" упругого тела (например, моста) вызывает его разрушение. 

Системы дифференциальных уравнений 

В многих научно - технических задачах бывает необходимо найти не одну, а сразу несколько неизвестных функций, которые связаны между собой несколькими дифференциальные уравнения. Совокупность таких уравнений образует систему дифференциальных уравнений. 

Пример №236

Пусть материальная точка массы  имеет криволинейную траекторию движения в пространстве. Нужно обозначить закон движения точки, то есть принадлежит координатам  от времени   когда на нее действует сила 

Когда 

- радиус - вектор движимой точки, то ее скорость и ускорение находится по формулам: 

Сила  под действием которой двигается точка, обычно говорят, является функцией времени, координат точки и проекции скорости на оси координат:  Потому согласно с вторым законом Ньютона дифференциальные уравнения движение точки имеет вид 

Это векторное уравнение эквивалентное системы трех скалярных уравнений: 

Приведенные дифференциальные уравнения образуют систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно трех неизвестных функций 

Пример №237

Рассмотрим два электрических контура. Допустим, что эти контуры. Допустим, что эти контуры находятся в электромагнитной связи: смена тока в одном контуре индуцирует электродвижущую силу во втором (рис. 8.14). 

Из физики известно, что по определенным условиям индуктивное напряжение в первом контуре равна  а во втором  где  - коэффициент взаимной индуктивности,  сила тока соответственно в первом и втором контурах. Если в обоих контурах отсутствует внешняя электродвижущая сила, но изменения тока в контурах регулируется дифференциальными уравнениями: 

 

но после дифференцирования по 

Получили систему линейных дифференциальных уравнений порядка с постоянными коэффициента относительно двух известных функций  и 

Рассмотрим некоторые простейшие системы дифференциальных уравнений. В этой лекции независимую переменную обозначим буквой а неизвестные функции - через  или через 

Нормальные системы уравнений

Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система вида 

или 

Другими словами, если в левой части уравнений системы (80) стоят производные первого порядка, а правые части уравнений совсем не содержат производных, то такая система называется нормальной. Решением системы (113) называется совокупность функций  которые удовлетворяют каждому из уравнений этой системы. 

Важность изучения нормальной системы состоит в том, что во многих случаях взводятся системы и уравнения высших порядков. Например, систера второго порядка 

введение новых переменных  приводится к нормальной степени 

Таким же образом - введением новых переменных - любое дифференциальное уравнение  - ого порядка, решенное относительно главной производной, приводится к эквивалентной нормальной системы  уравнений первого порядка. 

На самом деле, пусть задано уравнение  - ого порядка

Возьмем 

Тогда 

Получили нормальную систему 

эквивалентную заданному уравнению. 

Покажем, что возможный и обратный переход: нормальную систему уравнений можно заменить одним уравнением, порядок которого равен числу уравнений системы. Пусть задана нормальная система (113). Продифференцируем к  любое, например, первое уравнение: 

Подставив в это равенство производных  с системами (113), получим 

 Аналогично находим производные к -го порядка включительно: 

Получим систему уравнений 

Если из первых  - 1 уравнений системы (114) найти переменные 

подставив их значения в остальное уравнение, то получим уравнение -ого порядка относительно переменной 

Пусть

 

где  - произвольные постоянные - решение уравнения (116). Продифференцировав его  - 1 раз и подставив значения производных  в уравнения (115), получим 

можно доказать, что совокупность функций (117), (118) будет общим решением системы (114). 

Для нормальной системы (114) выполняется теорема Коши про существование и единственность решения: если в некоторой области  функции  системы (114) непрерывные вместе со всеми производным  то для любой точки  существует единственное решение  которое удовлетворяет начальному условию: 

Для интегрирования системы (114) можно использовать метод, с помощью которого эта системы была приведена к уравнению (116). Этот метод называют методом исключения переменной. 

Пример №238

Решить систему уравнений 

Продифференцируем первое уравнение: 

Подставив в это уравнение значение производной  с второго уравнения системы: 

Найдя из первого уравнения значения  и подставим его в найденное уравнение, получим 

Получим линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Интегрируя его, получим 

Поскольку  то 

Следует, общее решение данной системы имеет вид 

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть задана нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для удобства ограничимся тремя уравнениями 

где  - постоянные. Эту систему методом исключения переменных всегда можно привести к одному линейному однородному уравнению третьего порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим еще один метод решения системы (119). 

Ищем отдельные решения системы в виде 

где  - неопределенные постоянные, которые нужно найти. 

Подставив функции (120) в систему (119) и укоротив на слагаемое  получим 

или 

Получили алгебраические однородную систему линейных уравнений. Чтобы эта система имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю: 

Раскрыв определитель, получим алгебраическое уравнение третьей степени относительно   которое называется характеристическими уравнениями системы (119). 

Рассмотрим случай, когда уравнение (122) имеет три действительные разные корни  Для каждого из этих корней запишем систему (121) и обозначим неизвестные 

Можно доказать, что общее решение системы (119) имеет вид 

Случаи, когда уравнения (122) имеет кратные или комплексные корни, сложные и мы их не рассмотрим. В связи с этим заметим, что характеристическое уравнение (122) системы (119) соприкасается с характеристическими уравнениями дифференциального уравнения третьего порядка, до которого приводится система (119). Таким образом, если известные корни уравнения (122), то всегда можно найти общее решение уравнения третьего порядка, к которому приводится система (119), а потом и общее решение самой системы (119).

Следовательно, независимо от структуры корней характеристического уравнения, систему (119) всегда можно решить, если только известные корни. 

Ряды

ряды очень широко используются в математике, особенно при исследовании разнообразных технических проблем, связанных с приблизительным интегрированием дифференциальных уравнений, вычислением  значений функций и интегралов, решением трансцендентных и алгебраических уравнений  и далее. 

Простейшие ряды - сумма членов неограниченной геометрической прогрессии  - впервые ввели ученые Древней Греции, Архимед использовал такой ряд для вычисления плоскости параболического сегмента. 

Систематическими ряды начали пользоваться, начиная с 17 века, но теория строев была создана только в 19 веке по основным понятиям в работах К. Гаусса, О. Коши и многих других ученых. 

Числовые ряды 

Пусть задана последовательность действительных чисел

Рядом называют выражение 

Этому выражению мы не приписываем числа, потому что незаконченное число складываний выполнить нельзя. Для каждого   получим 

Число  называется  - ым членом, а число  - -ой частичной суммой ряды (1). 

Если последовательность частичных сумм  совпадает с  то число  называется суммой ряды (1), а ряд называется совпадающими. Символично это записывается так: 

Если последовательность  оконченной границы не имеет, то строка (1) называется расходящимися. 

Пример №239

Исследовать, сходящиеся ли ряды: 

 а) Рассмотрим частичную сумму  Поскольку  то строка а) расходящаяся 

б) Выпишем последовательность частичных сумм: 

Эта последовательность границы не имеет, потому ряд б) расходящийся 

в) Найдем сумму 

Поскольку  то ряд в) сходящийся и сумма его 

г) Это геометрическая прогрессия с первым членом  и знаменателем  Точнее было бы сказать - срока, сложенная из членов геометрической прогрессии. Но для краткости ряды г) далее называем геометрической прогрессией. При  получим 

 

 если  если 

Следует при  строка г) сходится, а при  - расходится. Если  то получим  то есть строка расходится. Если  то получим строку  при непарном  и  при парном , то есть  не существует, потому строка сходится. 

Таким образом, геометрическая прогрессия сходится при  и расходится при  

д) Эту строка называется гармоничной. Покажем, что он расходится. 

Известно, что  откуда 

то есть 

Складывая почленно левые и правые части неравенств, получим  Поскольку  то  Следует, гармоничная строка расходится. 

Простейшие свойства числовых строк

Рассмотрим некоторые свойства числовых рядов. 

Если ряд  сходится и имеет сумму  то ряд  так же сходится и его сумма равна   Другими словами, сходящуюся строку можно умножить почленно на одно и тоже число. 

 Пусть 

- частичные суммы данных строк. По условию  потому  Следует, строка   сходится и его сумма равна  

  Ряды, которые сходятся, можно почленно складывать и отнимать, то есть если ряды  и  сходятся и имеют сумму соответственно  и  то сходятся также ряды  и суммы их равны 

 Пусть  - частичные суммы соответственных рядов. 

Поскольку  и по условию  то 

 На складываемость ряды не влияет отбрасывание и присоединение к ней  ограниченного количества членов. 

 Пусть  - частичная сумма ряда (1),  - сумма  откинутых членов,  - сумма членов ряды, которые содержатся в  и не содержатся в  тогда  Согласно с найденные  равенством, границы в левой и правой частях одновременно существуют или не существуют, то есть строка (1) сходящийся (расходящийся) тогда и только тогда, когда строка сходиться и расходится без ее  членов. 

 Рассмотрим строку (1) и положим 

 Величину  называют -ым остатком ряды (1), ее можно рассматривать как сумму ряды, который образуется в строке (1) после откидывания первых  его членов. 

Если строка сходится и  то  и 

Справедливое и более общее утверждение. 

 Ряд (1) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда их произвольные остатки сходятся (расходятся).

Это свойство является последствием свойства 

 Если ряд  сходится то 

 Пусть - сумма заданного ряда, тогда  Но  потому 

Условие  является только необходимой для схождения ряды, но не достаточной. Это означает, что существуют ряды которые расходятся, для которых это условие выполняется. 

 Если  то строка  расходится. 

Действительно, если бы данная строка была сходящимися, то по свойству  его общий член направлялся бы к нулю при  что противоречит условию. 

Пример №240

Исследовать на схождение ряды: 

 Тут используется необходимое условие схождения: 

 но ряд расходится. Действительно,

 

то есть  откуда  Следует, строка а) расходится.

б) Тут используется достаточное условие расхождения: 

 потому ряд б) расходится. 

в) Ряд сходится как геометрическая прогрессия с знаменателем  

Таким образом, если  то никакого вывода про схождение и расхождение ряда  сделать нельзя. 

Нужное положительное исследование, которое выполняется с помощью достаточных условий схождения ряда. Если же  то ряд расходится. 

Знакоположительные ряды. Достаточные оценки схождения

При исследовании на схождение знакоположительных рядов, то есть рядов с отрицательными членами, чаще используют такими достаточными условиями (признаками) схождения, как признаки сравнения, признаки Д`Аламбера и Коши и интегральный признак Коши. 

Теорема 1. Пусть задано два ряда с  неотъемлемыми членами

 

и для всех  выполняется неравенство 

Тогда, если ряд (3) сходится, то сходится и ряд (2). Если ряд (2) расходится, то расходится и ряд (3). 

 Пусть ряд (3) сходится и 

 - частичные суммы рядов (2) и (3). 

Поскольку ряд (3) сходится, то существует граница  его частичных сумм. Кроме того, члены ряда (2) неотъемлемы, потому частичные суммы не спадают. Тогда по теореме 4 последовательность  имеет границу, то есть ряд (2) сходится. Если же ряд (2) расходится, то ряд (3) также расходится, или когда бы ряд (3) сходился, а это противоречит условию.

Замечание 1. Признаки сравнения можно использовать и тогда, когда неравенство (4) выполняется не для всех членов ряда (2) и (3), а начиная с некоторого номера  Это получается из свойства 

Замечание 2.  При исследовании рядов с помощью признака сравнения необходимо знать, какие ряды сходятся, а какие нет. 

Для сравнения часто пользуются рядами: 

Первый из этих рядов, как известно, называется геометрической прогрессией. Второй из рядов называется рядом Дирихле, или обобщенным гармоническим рядом. Его мы исследуем позже. Кроме того, при  получим гармонический ряд 

который, как известно, расходится. 

Пример №241

Исследовать на схождение ряда: 

 Используем признаки сравнения. 

а) Поскольку  и ряд  сходится как геометрическая прогрессия с знаменателем  то ряд а) тоже сходится. 

б) Поскольку  и ряд  расходится как гармоничный, то ряд б) также расходится. 

Теорема 2. Если задано два ряда положительными членами

причем существует ограниченная, отличная от нуля граница 

то ряды или одновременно сходятся, или одновременно расходятся. 

  Пусть  тогда для производной  найдется такой номер  что для всех   получится неравенство  откуда 

Если ряд (5) сходится, то из неравенства (7) и теоремы 1 получается, что ряд  также сходится. Тогда, согласно с свойством   ряд (6) сходится. 

Если ряд (5) расходится, то из неравенства (7), теоремы 1 и свойства   получается расхождение ряда   и ряда (6). Аналогично, если ряд (6) сходится (расходится), то сходится (расходится) будет и ряд (5). 

Пример №242

Исследовать на схождение ряда: 

 Используем предельный признак сравнения. 

а) поскольку   и гармонический ряд, а) также расходится. 

б) Сравним этот ряд с схождением ряда :

Следует, данный ряд сходится. 

Теорема 3. Если для ряда с положительными членами

существует граница  то:  

1) ряд сходится при 

2) ряд расходится 

 Пусть  тогда для произвольного  существует такой номер  что для всех  выполняется неравенство 

или 

Поскольку   то  можно выбрать так, чтобы число   Тогда из правой части неравенства (9) получим 

Даем  значения  с последнего неравенства получим 

 то есть члены ряда 

меньшие соответственные членов ряда 

Этот ряд сходится как геометрическая прогрессия с знаменателем  потому по определению сравнения ряда (10) также сходится. Ряд (8) получается из ряда (10), если к последнему присоединить  член   Потому по свойству  ряд (8) сходится. 

2) Пусть  Возьмем  так, чтобы  тогда из левой части неравенств (9) получается, что  то есть члены ряда возрастают с возрастанием их номера. Потому   и ряд (8) расходится (свойство )

Замечание 1. Если  то ряд (8) расходится, потому существует номер такой, что  при 

Замечание 2. Если  то ряд может как сходится, так и расходится. В этом случае ряд нужно исследовать с помощью других признаков. 

Пример №243

Исследовать на сходимость ряда: 

 Воспользуемся определением Д'Аламбера: 

заданный ряд сходится.

следует, ряд расходится. 

ряд расходится. 

Теорема 4. Если для ряда (8) с положительными членами существует граница  то этот ряд сходится при  и расходится при 

 Пусть  Это означает, что для произвольного числа  существует номер  такой, что 

 или 

Допустим, что    Выберем число   так, чтобы    тогда из неравенства (11) получим 

Поскольку ряд   сходится как геометрическая прогрессия с знаменателем  то из неравенств  по признаку сравнения ряд  сходится. Тогда сходятся будет и ряд (8), который образуется в виде  присоединением к нему  членов:  

Пусть  Возьмем число  так, чтобы  тогда из неравенств (11) получается, что  ибо  откуда   Следует, ряд расходится (свойство ) \

Пример №244

Исследовать на схождение ряды: 

 Используем признак Коши 

 

то есть заданный рад разбегается 

то есть заданный рад разбегается. 

Теорема 5 Пусть задан ряд 

члены которые являются значениями непрерывной, положительной и монотонно спадающей функции  на промежутке  Тогда ряд (12) сходится, если сходящийся несобственный интеграл  и расходится, если этот интеграл расходится. 

  Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную кривой  и прямыми   (рис. 9.1) Плоскость ее равна интегралу 

Впишем в эту трапецию и опишем около нее ступенчатые фигуры, образованы из прямоугольников, основами которых являются промежутки  а высоты равны  тогда 

или 

откуда 

где  - частичная сумма ряда (12). 

Пусть интеграл  сходятся. Это означает, что существует граница 

Поскольку   то последовательность  и  возрастают с возрастанием  и последовательность  ограничена сверху своей границей:  Из неравенства (13) получается, что  то есть последовательность  ограничена. 

Таким образом, монотонно возрастающая последовательность ограничена сверху, а потому имеет границу  Следует, ряд (12) сходится. 

Пусть теперь интеграл  расходится, тогда  и из неравенства (14) получается, что ряд (12) тоже расходится.  

Пример №245

Исследовать на схождение ряда (см. п. 1.3): 

 Используем интегральную признака Коши 

а) Возьмем функцию  тогда получим ряд 

Рассмотрим несобственный интеграл 

Этот интеграл расходится потому и данный ряд расходится 

б) возьмем функцию  тогда  Вычислим несобственный интеграл: 

\

Несобственный интеграл сходящийся при  потому при  тоже сходящийся. 

Расхождение ряда при   получается из того, что в этом случае  Гармоничный ряд расходится, потому по признаку сравнения заданный ряд, при  тоже расходится. Таким образом, обобщенный гармоничный ряд схождения при и расходится при 

Ряды, в которых знаки членов строго чередуются. Признак Лейбница

В предыдущем пункте мы рассмотрели ряды с положительными членами. Ряды с неположительными членами можно исследовать аналогично, поскольку от знакоположительных они отличаются множителем -1, который на схождение ряда не влияет. 

Рассмотрим теперь ряд, знаки членов которого строго чередуются, то есть ряд, произвольные два соседние члены которого имеют разные признаки: 

где  Этот ряд  отслеживается на сходство с помощью такого достаточного признака. 

Теорема 1. Ряд (15) сходится, если 

При этом сумма ряда положительная и не превышает первого его члена. 

 Рассмотрим частичную сумму с парным числом членов: 

С условием (16) получается, что каждая разница в скобках положительна, потому  и последовательность  возрастает с возрастанием  Кроме того, 

то есть последовательность ограничена сверху. 

Следует,  последовательность   монотонно возрастает и ограничена, потому имеет границу. Пусть  тогда 

Вычислим границу сумм с непарными индексом. Учитывая условие (17) получим 

Из равенств  

получается, что ряд (15) сходится и его сумму 

Обозначим, что к рядам, знаки которых строго чередуются, принадлежит также ряд 

.Если для такого ряда выполняется условия 1) и 2), то он сходящийся, его сумма  отрицательна и выполняет неравенство  

Таким образом, для рядов (15) и (18) признака Лейбница формируется так: если модуль -ого члена ряда (15) или (18) с возрастанием  спадает и направляется к нулю, то ряд сходится, причем модуль первого члена.

Ряды (15) и (18), для которых выполняется признак Лейбница, называются рядами  Лейбница.  

Вывод. Абсолютная погрешность от замены суммы сходящегося ряда (15) его частичной суммой не превышает модуля первого из откинутых членов ряда, то есть 

Действительно, остаток сходящегося ряда (15) 

 

-- это сходящийся ряд, члены которого строго чередуются. По доказательству абсолютная величина его суммы не превышает абсолютной величины первого члена, то есть 

Этот вывод широко используется при приблизительных вычислениях. 

Пример №246

Доказать, что ряд 

 сходится  и найти его сумму с точностью до 0,001. 

 Очевидно, все три условия признака Лейбница выполняются: 1) знаки членов данного ряда строго чередуются; 2) модули его членов монотонно спадают; 3)  - ный член ряда направляется к нулю при  Следует, ряд сходится и имеет определенную сумму 

Для того, чтобы вычислить эту сумму с точностью до 0,001, нужно взять столько его членов, чтобы первый из следующих членов был по модулю меньше чем 0,001. Тогда весть остаток ряда, начина с этого члена, будет меньше от 0,001. В данном случае получим, 

то есть чтобы найти сумму данного уравнения  с точностью до 0,001, достаточно оставить первые два члены ряда, а остальные откинуть. Таким образом, 

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как отрицательные, так и положительные. Рассмотренные в предыдущем пункте ряды,  в которых знаки чередуются, являются, отдельным случаем знакопеременных рядов. 

Возьмем произвольный знакопеременный ряд

где числа  могут иметь произвольный знак. Одновременно рассмотрим ряд, образованный из модулей ряда (19):

Для знакопеременных рядов справедлива такой признак сходимости. 

Теорема. Если ряд (20) сходится, то сходится и ряд (19).

Возьмем  

тогда  для произвольного 

По условию ряд (20) сходится, потому из остальных неравенств и признаков сравнения получается, что ряды  и  также сходятся. Поскольку   то согласно со свойством , ряд (19) тоже сходится. 

Эта теорема показывает, что при исследовании на сходимость знакопеременных рядов можно воспользовавшись признаками схождения знакопеременных рядов. 

Пример №247

Исследовать на схождение ряд 

где  - произвольное действительное число. 

 Сложим ряд из модулей членов заданного ряда

Поскольку  и ряд  сходятся как обобщенный гармоничный (п. 1.3), то по признаку рядов из модулей схождения, потому сходится и заданный ряд. 

Заметим, что доказанная теорема дает только достаточному условию схождения и не является условием схождения знакопеременного ряда, поскольку существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды образованные из модулей их членов, расходятся. Например, ряд  сходится по признаку Лейбница, а ряд  образованный из модулей его членов, расходятся. В связи с этим все ряды, которые сходятся, можно разделить на абсолютные и условные. 

Знакопеременный ряд (19) называют абсолютно сходившимися, если ряд (20), образованный из модулей его членов, являются сходящимися. 

Если же ряд (19) сходится, а ряд (20), полученный из модулей его членов, расходится, то ряд (19) называют условно сходящимся. Так, ряд   является сходящимся, а ряд  - условно сходящимися. 

Понятие про числовые ряды с комплексными членами 

Пусть   - последовательность комплексных чисел. Комплексное число  называют оконченной границей последовательности   если для произвольного числа  существует номер  такое, что  для всех  и записывают 

Последовательность, которая имеет оконченную границу, называют сходящейся, а последовательность, которая не имеет оконченную границу - расходящейся. Связь между границей последовательности комплексных чисел  и границами последовательности действительных чисел  и  получается такая теорема: для того, чтобы последовательность  имела оконченную границу  необходимо и достаточно, чтобы последовательности   и  имели оконченные границы, которые равны соответственно  и 

Выражение вида 

где  - комплексные числа, называют числовым рядом с комплексными членами. 

Суммы  называют частичными суммами ряда (21).

Ряд (21) называют сходящимися, если сходящая последовательность  и расходящимися, если эта последовательность расходящаяся. 

Введем теперь ряды с действительными членами: 

и построим их частичные суммы 

тогда  и выполняется такая теорема. 

Теорема 1. Для того чтобы ряд (21) был сходящимся к числу  необходимой и достаточной, чтобы ряды (22) и (23) были сходящимися соответственно к числам  и 

При доказательстве на сходимость рядов с комплексными членами используют также достаточным признаком сходимости. 

Теорема 2. Если ряд, образованный из модулей членов ряда (21)

где   сходится, то сходится, причем абсолютно, ряд (21). 

Пример №248

Исследовать на сходимость ряды: 

 а) рассмотрим соответственные ряды с действительными членами 

 и 

Первый из них сходится как геометрическая прогрессия с знаменателем  а второй сходится с признаком Лейбница. Следует, по теореме 1 данный ряд сходится 

б) Рассмотрим соответственные ряды с действительными числами 

 и 

С помощью, например, интегрального признака Коши можно удостовериться, что первый из этих рядов сходится, а другой расходится. Следует, по теореме 1 данный ряд сходится. 

в) воспользуемся теоремой 2. Сложим ряд из модулей членов данного ряда: 

Этот ряд сходится, потому что является геометрической прогрессией, в которой знаменатель  Следует, ряд абсолютно сходится. 

Степенные ряды 

Перейдем теперь к изучению функциональных рядов, то есть ряд членами которого не являются числами,  а функции, обозначенные на некотором множестве.  

Если взять произвольное число   и в ряде (24) положить  получим числовой ряд 

Этот ряд может как сходится, так и расходится. Если ряд (25) сходится, то точка  называется точкой схождения функционального ряда (24). Если ряд (25) расходится, то точка  называется точкой расхождения функционального ряда (24). 

Множество всех точек сходимости функционального ряда называют областью его сходимости. Область схождения функционального ряда может сходится с множеством  на котором обозначены члены ряда, или содержать некоторую часть этого множества. 

Частичная сумма функционального ряда является функцией от  и обозначатся аналогично с числовыми рядами: 

В каждой точке  которая принадлежит области схождения ряда (24), существует законченная граница  которую называют суммой ряда (24) и записывают 

Функция  обозначена в области схождения функционального ряда. Если функциональный ряд (24) сходится к функции , то разница  называется   - ым остатком ряда: 

Получается, что для всех значений  из области сходимости ряда: 

Известно, что для всех значений числа непрерывных функций является непрерывной функцией. Кроме того, сумму оконченного числа функций можно почленно дифференцировать и интегрировать. Получается, что эти свойства не всегда выполняются для сумм неоконченного числа функций, 

то есть для функциональных рядов. Эти свойства сохраняются и для так называемых равномерно сходящихся рядов. 

Функциональный ряд (24) называется равномерно сходящимся на множестве  если для произвольного числа  существует такое число , которое зависит  только от  и не зависит от  что для всех  и для всех  выполняется неравенство 

Рассмотрим понятия равномерного и неравномерного схождения функционального ряда со стороны геометрии. 

Пусть  - это  - ая часть суммы, а   - сумма ряда (24). Возьмем произвольное число  и построим кривые   (рис. 9.2). Остальные две кривые образуют полосу шириной  то можно найти номер  начиная с которого для всех  графики частичных сумм , разместятся по всему промежутку  посередине полосы  (рис. 9.2, а)

 Практически, это означает, что сумму  на промежутке  можно приблизительно (с известной заданной точностью), заменить одной и той же частичной суммой 

Если ряд неравномерно сходится на промежутке  то такого номера не существует: графики частичных сумм  выходят за грани полосы . Это означает, что для разных значений  вычисления суммы  с помощью определенной частичной суммы  с одной и той же точностью невозможно. Такое вычисление можно сделать, но для разных значений  нужно будет брать частичные суммы, то есть разное число членов  в сумах .

Равномерно сходящиеся функциональные ряды имеют ряд важных свойств. Сформулируем некоторые из них без доказательства. 

 Суммой членов равномерно сходящегося на некотором промежутке ряда непрерывных функций является функция, непрерывная на этом промежутке. 

 Если на отрезке  функциональный ряд (24) равномерно сходится и члены ряда непрерывны на , то его можно найти почленно и интегрировать в границах  где 

 Если функциональный ряд (24) сходится на отрезке , его члены имеют непрерывные производные    причем ряд  равномерно сходится на  то заданный ряд можно почленно дифференцировать, то есть 

Для исследования функционального ряда на равномерность схождения используют таким достаточным условием равномерного схождения. 

Теорема (признак Вейэрштрасса). Функциональный ряд (24)  абсолютно и равномерно сходится на отрезке , если существует знакоположительный числовой ряд 

такой, что 

 Из условия (27) и признака сравнения получится, что ряд (24) абсолютно сходится в произвольной точке  Из абсолютного схождения ряда (24) получим абсолютное схождение его остатка. Получим 

где остаток ряда (26)  при  потому для произвольного  существует независимый от  номер  такой, что  при  Тогда для всех   и  выполняется неравенство 

Пример №249

Найти область схождения функционального ряда 

 Каждый член ряда, обозначенный на множестве  На этом множестве ряд является геометрической прогрессией с знаменателем  потому при  или  заданный рад сходится. Следовательно,  - область схождения этого ряда. 

Пример №250

Исследовать на равномерное схождение ряд 

 Воспользуемся признаком Вейэрштрасса. Поскольку при  и  :

сходящийся (по признаку Д'Аламбера), то заданный функциональный ряд абсолютно и равномерно сходится на всей числовой оси. 

Пример №251

Найти сумму ряда

 Поскольку при  и  выполняется неравенство  и ряд  сходится, то по признаку Вейэрштрасса ряд  равномерно сходится при  Этот ряд образуется почленным дифференцированием геометрической прогрессии 

По свойству  равномерно сходящихся рядов получим 

 потому что  откуда 

Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Интервал  и радиус схождения степенного ряда 

Степенным рядом, называется функциональный ряд вида

 

где  - действительные числа, которые называют коэффициентами ряда. 

 Степенным рядом по степени двучлена  где  - действительное число, называют функциональным рядом вида 

Ряд (29) изменением переменной  приводят к ряду вида (28), потому далее рассмотрим только степенные ряды вида (28).

Всякий степенной ряд вида (28) сходится в точке  к сумме  Потому область схождения степенного ряда всегда содержит по крайней мере одну точку. Детальные свойства про область схождения (28) получим из следующей, очень важной в теории рядов теореме. 

Теорема Абеля. Если степенной ряд (28) сходится при  то он абсолютно сходится для всех значений  что удовлетворяет неравенство 

Если при  ряд (28) расходится, то от расходится везде, где 

 Поскольку по условию ряд (28) сходится в точке  то сходится и числовой ряд  следует  при  Отсюда получается, что последовательность   ограничена, то есть существует такое число  что 

Учитывая, что для  величина  получим 

То есть модуль каждого члена ряда (28) не превышает соответственного члена схождения геометрической прогрессии. Тогда по признаку сравнения при  ряд (28) абсолютно сходится.

 Пусть теперь ряд  расходится при   Тогда ряд (28) будет расходится и для всех  что удовлетворяет неравенство  

На самом деле, если допустить, что он сходится в какой нибудь точке  что удовлетворяет это неравенство, то по доказательству он будет сходится и в точке  потому что  А это противоречит потому, что в точке  ряд сходится. 

По теореме Абеля, по рис. 9.3, следует, для области схождения степенного ряда возможно три случая: 1) ряд  (28) сходится только в точке  2) ряд (28) сходится при всех  3) существует такое оконченное число  что при  степенной ряд абсолютно сходится, а при  - расходится (рис. 9.4). 

Число  называют  радиусом схождения степенного ряда, а интервал  - интервал схождения. 

Укажем способ определения радиуса схождения степенного ряда. Возьмем ряд из модулей членов ряда (28): 

Предположим, что существует граница 

Согласно с признаком Д'Аламбера, ряд (28) является абсолютно сходящимся при  или  и расходящимися при  или .

Следует, интервал  является интервалом абсолютного схождения ряда (28), а число 

его радиусом схождения.

Аналогично воспользовавшись признаком Коши, можно установить, что 

Замечание 1. Несложно получить, что когда 

 или 

то ряд (28) является абсолютным сходящимся на всей числовой оси. В этом случае, считают  Если же  и степенной ряд имеет только одну точку схождения 

Замечание 2. Вопрос про схождения ряда при  решается для каждого ряда отдельно. таким образом, область схождения степенного ряда можно разделять от интервала  не больше между двумя точками 

Замечание 3. Радиус схождения ряда (29) обозначается теми же формулами (30) и (31), что и у (28) ряда. 

Интервал схождения ряда (29) находят из неравенств  то есть имеет вид 

Замечание 4.  На практике интервал схождения степенного ряда часто находят по признаку Д'Аламбера или признаком Коши, используя их к ряду, сложенному из модулей членов заданного ряда. 

Пример №252

Найти область схождения рядов: 

 воспользуемся формулой (30): 

 - следует, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси. 

 то есть данный ряд сходится только в точке 

  следует  интервал схождения этого ряда. Исследуем схождение ряда на концах интервала. При  получим числовой ряд 

который сходится по признаку Лейбница. При  получим ряд 

который расходится про признаку уравнения с гармоничным рядом. Таким образом, областью схождения данного ряда является промежуток 

г) Воспользуемся признаком Д'Аламбера. Для данного ряда получим 

по признаку Д'Аламбера ряд будет абсолютно сходящимся, если  откуда  потому  Таким образом,  - интервал схождения данного ряда и  - его радиус схождения. 

Рассмотрим схождение этого ряда на концах интервала схождения.

При  получим ряд 

который сходится по признаку Лейбница. 

При  получим обобщенный гармонический ряд 

который также сходится  Следует, областью схождения данного ряда является отрезок 

Свойства степенных рядов

 Степенной ряд

абсолютно и равномерно сходится на произвольном отрезке  который целиком содержится в интервале схождения 

 По условию  Возьмем точку  По теореме Абеля ряд  сходится. Для произвольной точки  выполняется неравенство  потому по признаку Вейэрштрасса ряд (28) абсолютно и равномерно сходятся. 

Из этих свойств и свойств  функциональных рядов (п. 2.1) получаются такие утверждения. 

 Сумма степенного ряда (28) непрерывна в середине его интервале схождения. 

 Если грани интегрирования  и  лежат посередине интервала схождения  ряда (24), то на отрезке  этот ряд можно почленно интегрировать. 

Кроме того, если ряд (28) интегрировать на отрезке   где  то в результате получим степенной ряд, который имеет тот самый интервал схождения, что и ряд (28); при этом, если  - сумма ряда (28): 

 Если ряд (28) имеет интервал схождения  то ряд, образованный дифференцированием ряда (28), имеет тот же интервал схождения  при этом, если  - сумма ряда (28), то 

Таким образом, ряд (28) на отрезке  можно интегрировать и дифференцировать сколько угодно раз в каждой точке  При этом интервалом схождения каждого ряда является тот же интервал 

Сформулированные свойства степенных рядов широко используются в теоретических исследованиях и приблизительных вычислениях.

Пример №253

Найти сумму ряда 

Обозначим сумму данного ряда через  тогда 

Эту сумму можно рассмотреть как геометрическую прогрессию с первым членом  и знаменателем  Найдем сумму прогрессии получим 

Интегрируя это равенство на отрезке  получим 

откуда 

Ряд Тейлора

До сих пор мы изучали свойства суммы заданного степенного ряда. Будем считать теперь, что функция задана и выясним, по каким условиям эту функцию можно показать в виде степенного ряда и как найти этот ряд. 

Пусть функция  является суммой степенного ряда 

в интервале  В этом случае говорят, что функция  разложена в степенной ряд около точки  но по степеням  Найдем коэффициенты ряда (32). Для этого, согласно с свойством  (п. 2.3) последовательно дифференцируем ряд (32) и подставляем в найденные произвольные значения 

Отсюда находим коэффициенты 

Подставим значение этих коэффициентов в равенство (32), получим 

Ряд 

называется рядом Тейлора функции   Следует, получена такая теорема.

Теорема 1. Если функцию  в интервале  можно преобразовать в степенной ряд, то этот ряд единственный и является рядом Тейлора данной функции.

Пусть теперь  - произвольное неоконченное число раз дифференцированная функция. Сложим из него ряд (33). Получается, что сумма ряда (33) не всегда сходится с функцией . Иначе говоря, ряд (33) может сходится с другой функцией, а не с функцией , для которой его формально сложили. Установим условие, по котором сумма ряда (33) сходится с функцией . 

Теорема 2. Для того, чтобы ряд Тейлора (33) сходится с функцией  в интервале  то есть 

является необходимой и достаточной, чтобы в этом интервале функция имела производные всех порядков и остаточный член ее формулы Тейлора направлялся к нулю при  для всех  этого интервала: 

 Известно, что для функции, которая имеет производные всех порядков, справедлива формула Тейлора 

где 

 - остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Если обозначить  - ю часть суммы ряда (33) через  то формула (35) имеет вид 

Пусть  - сумма ряда (33), то есть 

тогда из формулы (37) получится условие (34). Если выполняется условие (34), то из формулы (37) получается равенство 

Непосредственная проверка этих условий нередко выполняется непростой задачей. Приведем теорему, которая дает достаточно простые достаточные условия раскладывания функции в ряд Тейлора. 

Теорема 3. Если функция  в интервале  имеет производные всех порядков и существует число  такое, что 

где  то функцию  можно разложить в ряд Тейлора. 

 Соответственно с теоремой 2 достаточно проверить условие (34). В силу неравенств (38) остаточный член формулы Тейлора (34) удовлетворяет неравенству 

Построим степенной ряд 

Поскольку 

то по признаку Д'Аламбера ряд (40) сходится на всей числовой оси. 

Для схождение ряда 

тогда из равенств (39) находим 

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

Рядом Маклорена функции  называют степенной ряд в степенях  который можно получить из ряда (38) при 

Из пункта 2.4 получается такое правило разложении функции в ряд: чтобы функцию разложить в ряд Маклорена, нужно: 

• а) найти производные 
• б) вычислить значения производных в точке 
• в) записать ряд Маклорена (41) для данной функции и найти интеграл его схождения;
• г) обозначить интервал  а котором остаточный член формулы Маклорена  при 

Если такой интервал существует, то в этом интервале функция  и сумма ряда Маклорена сходятся:

Рассмотрим ряды Маклорена некоторых элементарных функций (они используются часто, поэтому нужно их запомнить): 

Докажем формулы (42) - (48).

 1. Пусть  Получим: 

Следует, найденный ряд сходится в интервале 

потому по теореме 3 (п. 2.4) функцию  можно разложить в степенной ряд на произвольном интервале   а следует, и на всем интервале  Формула (42) доказана. 

2. Пусть  Получим: 

 то есть формула (43) доказана. 

3. Пусть  Формулу (44) можно доказать так же, как и формулу (43). Но это можно сделать значительно проще, продифференцировать почленно ряд (43). 

4. Пусть   Получим: 

то есть найденный ряд сходится в интервале  Доказательство,  что на этом интервале  опустим. 

Ряд (45) называют биномиальным. Если  получим известный расклад двучлена, который называют биномом Ньютона.  

Зависимость биномиального ряда в конечных точках интервала  зависит от числа 

Ряд (45) сходится к функции  в таких случаях: 

при  если 

при  если  

при  если 

Примем эти утверждения без доказательства. 

5. Пусть  Формулу (46) выводим тремя способами: воспользовавшись правилом разложения в ряд; используя формулу (45) и положив в ней  и  и вместо  рассматривая ряд  как геометрическую прогрессию, первый члек которой равен единице, а знаменатель  Известно (п. 1.1), что данный ряд сходится при  и сумма его равна 

6. Не останавливаясь на деталях, обозначим, что когда в формуле (46) поставить  вместо  а потом  вместо  и найденные ряды проинтегрировать, что разложим в степенной ряд функции  функции  (функции 47, 48). 

Ряды (42) - (48) используются при нахождении степенных рядов для других функций. 

Пример №254

Разложить в ряд функцию 

Поставив в формуле  вместо  получим 

Пример №255

Разложить в ряд по степеням  функцию 

 Поставив в формуле  вместо  при  получим

 

Пример №256

Разложив в ряд по степеням  функцию 

 Интегрируя найденный в предыдущем примере ряд в границах от 0 до  получим 

Можно доказать, что это равенство справедливо и в точках  

Приближенные вычисления с помощью степенных рядов 

 Приближенные вычисления с помощью степенных рядов. Пусть нужно вычислить значение функции   при  Если функцию  можно разложить в степенный ряд в интервале  и  то точное значение   равны сумме этого ряда при  а приближенное - частичной суммы  Погрешность  можно найти, оценивая остаток ряда  Для рядов  лейбницева типа

Для знакосменных и знакоположительных рядов величину  как правило, оценивают так: 

где  - определенный знакоположительный сходящийся ряд, сумма которого  легко вычисляется (например, геометрическая прогрессия) и для которого 

Пример №257

Вычислить с точностью к 0,001:

а) значение  д) число 

 а) воспользовавшись формулой (43) при  но  получим 

получили ряд лейбницева типа. Поскольку 

то с точностью до 0,001 получим 

б) подставив в ряд (42)  найдем знакопостоянный ряд 

Оценим  остаток этого ряда: 

Остается подобрать наименьшее натуральное число  чтобы выполнялось неравенство  

Несложно вычислить, что это неравенство выполняется при  потому с точностью до 0,001 получим 

 Приблизительное вычисление определенных интегралов. Пусть нужно найти интеграл  который или не выражается через элементарные функции, или сложный и неудобный для вычисления. Если функцию  можно разложить в степенной ряд, что равномерно сходится на некотором отрезке, то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться на некотором отрезке, то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством про почленное интегрирование этого ряда. Погрешность вычисления обозначают так же, как и при вычислении значения функций. 

Пример №258

Вычислить с точностью до 0,001 интеграл 

 Формула Ньютона - Лейбница тут не использована, потому что первичная от  в элементарных функциях не выражается.

воспользовавшись рядом (42) получим 

Этот ряд равномерно сходится на всей числовой оси, потому его можно почленно интегрировать на любом оконченном сегменте, кроме отрезка 

Получили ряд лейбницева типа. Поскольку 

то с точностью до 0,001 получим 

Как уже обозначалось, первичная  для функции  не является элементарной функцией. Но ее легко найти в виде степенного ряда, проинтегрировав ряды для функции  в границах от 0 до 

 Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений. Если интегрирование дифференциального уравнения не приводится к квадратурам, то для приближенного интегрирования можно воспользоваться теоремой Тейлора.

Пусть нужно найти частичное решение  уравнения 

которое удовлетворяет начальному условию 

Предположим, что искомое решение уравнения (49) около точки в которой заданы начальные условия, можно разложить в ряд 

 

Нам нужно найти   Значение  задано начальным условием. Чтобы найти производную  то уравнение (49) можно поставить  

Производную  находим дифференцированием уравнения (49) к  

поставим в этом уравнении 

Продифференцировав уравнения (51) и и поставив  получаем  и так далее. Процесс или обрывается на некотором коэффициенте, или завершается нахождением общего закона построения коэффициентов. 

Замечание 1. По формуле (50) можно находить приближенное решение уравнение любого порядка: 

с начальными условиями

Замечание 2.  Вопрос про то, по каким условиям дифференциального уравнения можно искать в виде ряда Тейлора (50), а также погрешность этого решения, мы не рассматриваем. 

Пример №259

Найти три первых члена разложения в ряду решений уравнения 

 а) Ищем решение  в виде ряда Маклорена: 

Тут 

Последовательно дифференцировав данное уравнение, получим

Подставляя найденные производные в ряд Маклорена, получим искомое решение

б) Ищем решение  в виде ряда Тейлора: 

Получим 

Следует

Уравнение и функции Бесселя

Уравнение Бесселя имеет вид: 

Для этого уравнения приводится много задач математической физики, небесной механики тоже. 

Ищем решение уравнения (52) в виде ряда 

Дифференцируя ряд (53) дважды и подставляя значения  и  в (52) получим 

Сравнивая к нулю коэффициенты при одинаковых степенях  получим систему уравнений: 

Будем считать, что  тогда из первого уравнения (54) получим, что 

Пусть  тогда из второго уравнения (54) находим, что  потому и все коэффициенты с непарными индексами равны нулю  

Получили 

При   таким же образом находим 

Из формул  (53) и (55) получим решение уравнения (52)  при 

демо гамма-функции Ейлера 

Видим, что функция   и для целых значений  получим  Для отрицательных  функция  определяется иначе, только свойство  сохраняется.

Если взять произвольную постоянную 

то решение (57) запишется так: 

Когда  то из (53) и (56) аналогично получим еще одно решение уравнения (52): 

Функции  и  называются функциями Бесселя первого рода порядка  и  соответственно. Ряд (58) сходится при  а ряд (59)  Если  не целое число, то функции  и  линейно независимы, потому что их ряды начинаются с разных степеней  Общее решение уравнения (52) в этом случае имеет вид

Когда  - целое число, то  то есть функции (58) и (59) линейно зависимые. 

Другое частичное решение в этом случае ищут в виде 

Подставляя это выражение в уравнении (52) обозначают коэффициент 

Функция  с определенными коэффициентами  умножена на некоторую постоянную, называется функцией Бесселя второго рода  порядка. 

Общее решение уравнения (52) получаем вид

Пример №260

Решить уравнение Бесселя при 

 Из формулы (57) найдем одно частичное решение: 

Второе частичное решение нужно искать в виде 

Общее решение заданного уравнения имеет вид 

Понятия про степенные ряды в комплексной области. Формулы Ейлера

Ряд вида 

где  - комплексная переменная  - постоянные комплексные числа, называется степенным рядом в комплексной области 

При  из ряда (60) получим ряд со степенями 

Сходимость рядов (60) и (61) соответственно в точках   и  очевидна. Во время исследования этих рядов на сходимость в других точках комплексной плоскости пользуются теоремой Абеля. Сформулируем ее.

Теорема. Если ряд (61) сходится в точке  то он абсолютно сходящийся и при всех значениях  для которых 

Если ряд (61) расходится в точке  то он абсолютно расходящийся и при всех значениях  для которых 

Доказательство этой теоремы такое же, как и для степенных рядов в действительной области (п. 2.2). Рассмотрим геометрическое толкование теоремы Абеля для ряда (61). Поскольку для переменной  значения  то неравенство  или   в комплексной плоскости обозначает совокупность точек  которые содержаться посередине круга радиусом  с центром в начале координат (рис. 9.5).

Аналогично неравенство  геометрически обозначает совокупность точек  комплексной плоскости, которые лежат за пределами круга радиусом  с центром в начале координат. Следует, если  - точка схождения ряда (61), то этот ряд будет абсолютно сходится во всех внутренних точках круга  Если  точка расхождения ряда (61), то этот ряд будет расходится во всех внешних точках круга 

С теоремой Абеля получается существование такого числа  что для всех  степенной ряд (61) сходится, а при расходится. 

Круг радиусом   где  с центром в начале координат, посередине которого степенной ряд (61) абсолютно сходится, а снаружи которого расходятся, называют кругом схождения этого ряда , а число  - радиусом схождения. Если ряд (61) сходится только в точке  то считают , а если ряд (61) сходится во всей плоскости, то 

Сумма степенного ряда в круге его схождения является некоторой комплексной функцией комплексной переменной  такие функции называют аналитическими. 

Пример №261

Исследовать на сходимость степенной ряд 

 Поскольку 

то по признаку Д'Аламбера ряд сходится на круге 

При  имеем сходящийся ряд, поскольку ряд 

является сходящимся. Следует, область схождения заданного ряда является значением  для которых 

С помощью рядов в комплексной области обобщим понятия показательных и тригонометрических функций на случай комплексной переменной и докажем формулу Ейлера, которые уже встречались.

Рассмотрим разложение в степенной ряд функции 

Если действительную переменную  заменить комплексной переменной   получаем ряд 

поскольку 

то ряд (63) абсолютно сходится на всей комплексной плоскости. Обозначим его сумму через  Следует, по определению для произвольного комплексного числа 

Сумма ряда (64) является комплексной функцией комплексной переменной 

Аналогично обозначаются тригонометрические функции 

Между показательной функцией  и тригонометрическими функциями  и  существует простое решение. Подставим в ряд (64) значения  место  и сгруппируем отдельно слагаемые, которые содержат множитель  и которые этого множителя не содержат: 

Сравнивая ряды в скобках с рядами (65) и (66), получим 

Аналогично, подставляя в ряд (64) вместо  значения  получим 

Формулы (67) и (68) называют формулами Ейлера. Если почленно сложить (отнять) равенства (67) и (68), то получим другую форму записи формул Ейлера: 

Ряды Фурье

В природе и технике очень распространенные процессы, которые через определенные промежутки времени повторяются. Такие процессы называют периодическими. Примерами периодичных процессов могут быть механические и электромагнитные колебания, периодические движения в теории упругости, акустики, радиотехники, электротехники.  

Моделируются периодические процессы с помощью периодических функций. Напомним, что функция   называется периодической. 

Периодическая функция  изображает периодическое движение, или колебание точки, что имеет во времени  координату 

Простыми колебаниями является простым гармоническим колебанием, которое как известно, задается функцией

где  - амплитуда колебания;  - цикличная частота;  - начальная фаза. Основным периодом функции (69) является  то есть одно полное колебание выполняется за промежуток времени 

Функция (69) называется простой гармоникой. 

Простую гармонику изображает также функция

Действительно, 

Колебания, образованные вследствие наложения некоторых гармоник, называют сложными гармоническими колебаниями. Например, функция 

задает сложное гармоническое колебание и является результатом накладывания простых гармоник. Первая из этих гармоник имеет период  вторая , третья и далее  потому общий период  функции  равно 

График сложного гармонического колебания, которое складывается с нескольких простых гармоник, может значительно отличаться от графиков для гармоник.

Пример №262

На рис. 9.6 сплошной линией показан график функции 

которая является суммой трех простых гармоник: ; 

Таким образом, наложением простых гармоник можно получит разнообразные периодические колебания, которые совсем не похожи на простые гармоничные колебания. 

Естественно, предстает обратная задача: можно ли периодическое движение заданной некоторой периодической функцией, предоставить как сумму простых гармоник? Получается, что этого сделать нельзя. Если  же ввести неоконченные суммы простых гармоник, то есть тригонометрические ряды, то практически каждую периодическую функцию можно разложить на простой гармонике. 

Тригонометрический  ряд Фурье. Коэффициенты Фурье 

Ряд вида 

называется тригонометрическим рядом, а действительные числа   - его коэффициентами. Свободный член в сумме (71) для удобства записывают в виде  

Предположим, что ряд (71) на отрезке равномерно сходятся к функции 

Поскольку члены ряда (71) являются непрерывными функциями то его сумма  является также непрерывной функцией (п. 2.1). Проинтегрировав почленно ряд (72) на отрезке  получим 

откуда

поскольку 

Умножим обе части равенства (72) на и проинтегрируем полученный ряд на отрезке 

но

потому из равенства (74) при   получим 

Аналогично, умножив равенство (72) на  и проинтегрировав почленно на отрезке  найдем 

Тригонометрический ряд (71), коэффициентами которого является коэффициенты Фурье функции  называют рядом Фурье этой функции и записывают

Знак соответствия  означает, что интегрированный на отрезке  функции  поставили в соответствие ее ряда Фурье. Сформируем теоремы:

Теорема 1. Если функцию можно обозначить на отрезке  в виде равномерно сходящегося на этом отрезке тригонометрического ряда (76), то этот тригонометрической ряд единственный и является рядом Фурье для функции .

Выясним условия, при которых соответственности в формуле (77) можно заменить знаком равенства, то есть, по которым ряд Фурье функции сходится и имеет свою сумму именно функции .

Теорема 2. Пусть периодическая функция  с периодом  является кусочно - монотонной и ограниченной на отрезке . Тогда ряд Фурье функции  сходится на всей числовой оси. Сумма  найденного ряда равна значению функции  во всех точках непрерывности функции  - если  - точка функции , то 

то есть сумма ряда Фурье в точке  равна среднему значению арифметически односторонних границ функции  в этой точке; в конечных точках отрезка  сумма ряда Фурье получает значение 

Примем эту теорему без доказательства. 

Замечание 1. Если ряд Фурье сходится к функции  то эта функция  - периодичная, потому такими является все члены ряда (72). Потому если ряд (72) сходится к функции  на отрезке  то он сходится к этой самой функции на всей числовой оси  при этом  Следует, функцию, заданную на отрезке   то она периодически продолжается на всю числовую прямую, можно подать через сумму ряда Фурье. 

Замечание 2. При периодичном продолжении функции   на всю числовую ось найдена функция будет или непрерывной  в точках  но разрывной в этих точках. 

Непрерывность возможна, если  (рис. 9.7). В этом случае сумма ряда Фурье равна  Если же  то мы можем оставить без изменения значения функции на промежутке  и периодически с периодом  продолжить ее на всю числовую ось. 

При этом в точках  могут возникнуть точки разрыва первого рода (рис. 9.8), в которых сумма ряда Фурье равна 

Замечание 3. Для произвольной интегрированной  периодичной функции  выполняется равенство (рис. 9.9) 

для любого числа  В связи с этим коэффициенты равенства  Фурье можно найти, вычисляя интегралы (73), (75), (76) то по произвольному отрезку, длина 

В случае, если  периодичная функция заданная на промежутке  эти формулы упрощают задачу нахождения коэффициентов ряда Фурье. 

Замечание 4. Условия, которые накладываются на функцию при разложении ее в степенной ряд. Действительно, если функция раскладывает в ряд Тейлора, то она на всем интервале схождения является не только непрерывной, а и сколько угодно раз продифференцированной. Для разложения функции в ряд Фурье в этом случае не нужно. Согласно с теоремой 2, достаточно, чтобы только функция была непрерывной или была на отрезке оконченное число точек разрыва первого рода. 

Замечание 5. Если функция  раскладывается в ряд Фурье, то частичные суммы   этого ряда дают возможность найти приближенное этой функции 

Погрешность этой формулы уменьшается с увеличением числа   Но оценить эту погрешность сложнее, чем для многочленов Тейлора, и мы этим заниматься не будем. 

Пример №263

Разложить в ряд Фурье  - периодичную функцию: 

 Заданные функции кусочно - монотонные на промежутке  потому можно изображать рядом Фурье. Следует, задача приводится к нахождению коэффициентов Фурье. 

а) получим 

Подставив найденные коэффициенты в ряд (72), получим 

Это равенство справедливо для всех точек непрерывности заданной функции,  то есть при  В точках  сумма ряда Фурье равна .

Обозначим, что заданная периодичная функция  сходится с функцией  только на промежутке  а вне промежутка   эти функции разные. 

б) Находим коэффициенты Фурье функции 

Следует, ряд Фурье заданной функции имеет вид

Найденный ряд сходится к функции  при всех    В точках  сумма ряда равна 

Заметим, что если 

то найденный в этом примере ряд Фурье был сходящимся к  на всей числовой оси. 

Ряд Фурье для парных и непарных функций 

Пусть функцию  можно подать в виде отрезка  рядом Фурье. 

Покажем, что вычисление коэффициентов этого ряда упрощается если функция  является парной или непарной. 

Если функция  парная, то ее ряд Фурье имеет вид 

где

Если функция   непарная, то ее ряд Фурье имеет вид 

где 

 Для доказательства формул (78) - (81) обозначим сначала, что когда функция  интегрирована на отрезке   то

если  парная (рис. 9.12, а) и 

если  непарная (рис. 9.12, б).

Из формул (82) и (83) получаем формулы (79) и (81)

Обозначим, что ряды (78) и (80) отображают характер функции . Ряд Фурье для парной функции содержит только косинусы (парные функции), а ряд  Фурье для непарной функции содержит только синусы (непарные функции). 

Пример №264

Разложить в ряд Фурье  - периодические функции 

 Заданная функция является кусково - монотонной, потому могут быть разложенной в ряд Фурье. 

а) Поскольку функция  парная, то воспользовавшись формулами (78) и (79), получим 

Это равенство выполняется на всей числовой оси, потому что заданная функция непрерывная для всех действительных значений 

б) функция  непарная, потому согласно с формулами (80) и (81), получим 

Это равенство справедливо во всех точках  кроме точек разрыва. В точках разрыва  сумма найденного ряда равна нулю. 

Ряд Фурье для  - периодичной функции:

Пусть функция  обозначения на отрезке  имеет период  и является на отрезке  кусочно - монотонной. 

Рассмотрим ее в ряд Фурье. Выполним изменение переменной по формуле  и рассмотрим функцию 

Эта функция обозначена на отрезке  и кусочно - монотонной на этом отрезке. 

Разложим функцию  на отрезке  в ряд Фурье: 

Вернемся к переменной  При  формулы (85)  и (86) получает вид 

Ряд (87) является рядом Фурье для функции  с периодом  Коэффициенты этого ряда находят по формуле (88). Заметим, что все теоремы, которые выполняются для рядов Фурье  - периодичных функций. 

Пример №265

Изобразить рядом Фурье функцию (рис. 9.15)

 Эта функция непрерывна на всей числовой оси, парная имеет период  потому ее можно подать через ряд Фурье вида (87). Учитывая, что заданная функция парная  согласно с формулами (87) и (88), получаем 

Ряды Фурье для функций заданных на отрезке  или отрезке :

Пусть нужно разложить в ряд Фурье функцию  заданную на отрезке   Мы можем произвольным способом продолжить функцию  отрезок  но так, чтобы образованная на отрезке  новая функция сходится с функцией  при  и была кусочно - монотонная. 

Разложив функцию  в ряд Фурье на отрезке  получим искомый ряд функции  при . Кроме того, функцию  можно продолжить парным способом на отрезке (рис. 9.16). Тогда график функции  будет симметричным относительно оси  а ее 

ряд Фурье содержит только косинусы. Если же  продолжить на отрезок  непарным способом (рис. 9.17), то график функции  будет симметричным относительно точки  а ее ряд Фурье содержит только синусы. 

Таким образом, если функцию  которая задана на отрезке  можно разложить в ряд Фурье, то таких рядов существует множество. Особенно важными для использования являются расклады функции  в ряд синусов и ряд косинусов. 

Когда функция  задана на отрезке  где  то задача преподнесения такой функции через ряд Фурье приводится к рассмотренной выше. 

Пример №266

Разложить в ряд Фурье к синусам функцию 

 Продолжим функцию  непарным способом на промежуток  а потом найденную функцию продолжим периодично на всю числовую ось (рис. 9.18). 

Воспользовавшись формулами (80) и (81), получим 

Это равенство справедливо во всех точках  кроме точки  в которой сумма ряда равна  а значение функции  Ряд является на всей числовой оси к  - периодической функции

Кроме того, если в ряде Фурье положить  получим известный ряд 

 или 

Комплексная форма ряда Фурье 

Пусть 

Используя формулы Ейлера (п. 2.7), получим 

Из формул (89) и (91) получим 

Кроме того, 

Учитывая формулы (90)  и (93), запишем ряд (89), в виде 

 или 

Коэффициенты этого ряда, согласно с формулами (92) и (94), можно записать в виде

Равенство (95) называют комплексной формой ряда Фурье, а числа  найдены по формуле (96) - комплексными коэффициентами Фурье. 

Аналогично можно найти комплексную форму ряда Фурье на отрезке 

Члены этого ряда  называют гармониками, коэффициенты  - комплексными амплитудами гармоник, а числа  - волновыми числами функций 

Совокупность волновых чисел называется спектром. Если эти точки выложить на числовой оси, то получим касательное множество точек. Соответственный этому множеству спектр называют касательным спектром 

Пример №267

Написать ряд Фурье в комплексной форме для функции  с периодом  если 

 По формуле  (97) получим 

Поскольку задана функция кусочно - монотонная, то у всех точках непрерывности этой функции справедливо равенство 

Ряд Фурье по ортогональной системе функций

Пусть на отрезке  задана неоконченная система функций

что для произвольных 

для 

система функций (98) называется ортогональной на отрезке 

Примеры:

1. Система функций 

ортогональна на отрезке  

2. Система функций 

ортогональна на отрезке  

3. Система функций 

ортогональна на отрезке  

4. Система функций 

ортогональна на отрезке 

5. Система функций 

ортогональна на отрезке 

Рекомендуем читателю убедиться в этом самостоятельно, вычислим для каждой из приведенных систем интегралов (99) и (100).

6. Не стоит думать, что свойства ортогональности имеют только системы тригонометрических функций. 

Построим систему  ортогональных многочленов. Рассмотрим систему функций

Первые две функции ортогональны на отрезке 

тому положим  Но  уже не ортогональный 1, потому что 

Следует,  возьмем  как линейную комбинацию первых точек функции системы (101) 1,  тогда положим   Подберем коэффициенты  так, чтобы многочлен  был ортогональным к многочленам  и  то есть  то есть 

или 

откуда 

Следует,  где - произвольная постоянная. 

Подбирают ее, как правило, так, чтобы 

Многочлен  ищем как линейную комбинацию первых четырех функций системы (101):  Из системы уравнений 

Находим, что 

Аналогично строим 

Тогда эти многочлены ортогональны на отрезке  Они называются многочленами Лежандра и широко используется в математике и физике. 

Последовательность действий ортогонализации, подобно к той, которую мы выполняем над системой функций (101) на отрезке  можно повторить для произвольной системы линейно независимо функций на произвольном интервале, если интегралы от квадратов этих функций на взятом интеграле будут сходится. 

Пусть функция  раскладывается в ряд по функциям ортогональной системы (98) 

Будем считать ряд (102) равномерно сходящимся на отрезке Обозначим коэффициенты  Умножим обе части равенства (101) на  результат почленно проинтегрируем. Учитывая равенства (99) и (100), получим 

откуда 

Ряд (102) называется рядом Фурье функции  по системе ортогональных функций (98), а коэффициенты  этого ряда, вычислены по формулам (103) - коэффициентами Фурье функции  по системе функций (98). 

Ряды Фурье по системам ортогональных функций используются при решении многих практичных задач, кроме задач математической физики. 

Интеграл и его превращение Фурье

В пункте 3.2 было показано, что всякую кусочно - монотонную функцию, обозначенную на произвольном оконченном промежутке, можно разложить в ряд Фурье, то есть изобразить неоконченной сумме простых гармоник. Получается, это можно предоставить с помощью интеграла Фурье.

Интеграл Фурье 

Пусть непериодическая кусочно - монотонная функция  задана н неоконченном промежутке  абсолютно интегрирована на нем, то есть 

Тогда на произвольном оконченном промежутке  эту функцию можно разложить в ряд Фурье (87). Подставляя в этот ряд значения коэффициентов  из формулы (89) получим 

где   - волновые числа функции  Обозначим 

Тогда формула (105) получит вид 

Перейдем в этой формуле к границе при  Поскольку 

не зависит от то 

Из условия (104) получается, что первое слагаемое в правой части формулы (106) направляется к нулю при 

Выражение в квадратных скобках формулы (106) при произвольном фиксированном  является функция от 

 потому 

Найденная сумма напоминаем интегральную сумму для функции   где   При очень больших значениях  величина  становится очень маленькой, а спектр волновых чисел - очень плотным. Если   то  то есть волновые числа  приобретают всех возможных значений от 0 до  дискретный спектр волновых чисел станет непрерывным, потому естесственно считать, что 

но 

Найденный интеграл называется интегралом Фурье для функции   Фурье получил его в 1811 году 

Точного доказательства этой формулы мы не приводим. Обозначим только, что формула (107) справедлива для всех точек  в которых функция  непрерывна. Если же  - точка разрыва, то 

Следует, когда функция  обозначена и абсолютно интегрирована на числовой оси и кусочно - монотонная на произвольном оконченном промежутке, то для нее существует интеграл Фурье. В точках непрерывности функции  выполняется равенство (107), а в точках разрыва данной функции интеграл Фурье  равен среднему арифметическому ее односторонних границ. 

Запишем интеграл Фурье в другом виде: 

Введем обозначения 

тогда 

Интеграл Фурье в формуле (110) подобный ряду Фурье: знак суммы ряда Фурье заменено знаком интеграла, коэффициенты  и  ряду заменено функциями   и  По аналогии с рядом Фурье говорят, что формула (110) дает расклад функции  на гармоники с частотами  что непрерывно изменяются от 0 до  Закон смены амплитуд зависит от  и обозначаются формулами (109). 

Пример №268

Изобразить интегралом Фурье функции 

 Эта функция кусочно - монотонная на любом законченной отрезке  поскольку складывается из трех непрерывных частей (рис. 9.19): 

Она также абсолютно интегрирована на всей числовой оси: 

Следует, такую функцию в точках ее непрерывности можно преподать через интеграл Фурье. 

Согласно с формулой (107) получаем 

В точках разрыва  и  интеграл Фурье равен 

Таким образом, найденный интеграл Фурье изображает данную функцию на всей числовой оси. Кроме того, если , то получим 

откуда 

Мы вычислили интеграл, который по формуле Ньютона - Лейбница не вычисляется, поскольку первичная от функции   не выражается через элементарные функции. 

Интеграл Фурье для парных и непарных функций

Предположим, что функция  парная, тогда функция   так же парная, а функция  непарная. Потому формула (108) получаем вид 

Аналогично, если  непарная функция, то 

Воспользовавшись выражениями (109), запишем интегралы (111) и (112) в виде: 

Таким образом, если  парная функция, то она изображается интегралом Фурье вида (111) или (112). Если же  непарная функция, то ее изображают интегралом Фурье имеет вид (112) или (114). 

Когда функция  задана только на промежутке  то ее можно продолжить на промежуток  разными способами, только парных и непарных. Это означает, что такую функцию можно изобразить разными интегралами Фурье, кроме интегралов (111) и (112). 

Обозначим, что интегралы Фурье (113) и (114) аналогичны соответственно рядам Фурье (78) и (80) для парных и непарных функций. 

Пример №269

Изобразить интегралом Фурье функцию 

 Эта функция задана на всей оси и кусочно - монотонна на произвольном оконченном отрезке   поскольку складывается из двух непрерывных частей и имеет одно решение первого рода при  (рис. 9.20). 

Убедимся, что  абсолютно интегрирована: 

Следует, заданную функцию можно изобразить интегралом Фурье. Поскольку эта функция непарная, то по формуле (112) получим 

Интегрируя частями, находим 

Таким образом, 

Интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье 

Пусть функция  изображается интегралом Фурье по формуле (110). Воспользуемся формулами Ейлера, получим 

Введем обозначения  Согласно с формулами (109) получим 

Аналогично 

Учитывая формулы (116) и (117), запишем интеграл (115) в виде 

Преобразим интеграл от второго слагаемого, выполняя замену переменной 

тогда формула (118) получит вид 

Из формул (116) и (119) получается, что 

Правая часть формулы (120) называется интегралом Фурье в комплексной форме для функции . 

Функция , которая обозначается формулой (116), называется преобразованием Фурье функции : в свою очередь, функция , изображена по формуле (119), называется обратным преобразованием Фурье для функции .

Если функция  парная, то из формул (111) получим 

 где 

Аналогично для непарной функции получим 

 где 

Функция  и  называется соответственно косинус - преобразованием и синус - преобразованием Фурье для функции 

Функция  называется также спектральной плотности функции  Теория преобразований Фурье широко используется для решения многих практических задач. Существуют таблицы преобразований Фурье, в которых приведены соответственные пары функций  и 

Пример №270

Изобразить интегралом Фурье в комплексной формы функцию 

 По формуле (116) найдем преобразование Фурье заданной функции 

Комплексная форма (120) интеграла Фурье в данном случае имеет вид 

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

Обобщим на функции некоторых переменных основные идеи и методы интегрального вычисления функций одной переменной 

Двойной интеграл 

Задачи, что приводят к понятию двойного интеграла:

 Задачи, про объем цилиндрического тела. Пусть имеем тело, ограниченное сверху поверхностью  снизу - замкнуто ограниченной областью  плоскостью  по бокам - цилиндрической поверхностью, направление которой соприкасается с гранью области , а параллельные оси  (рис. 10.1). Такое тело называют цилиндрическими. 

Вычислим его объем  Для этого произвольным способом разобьем область  на  частей  которые не имеют общих внутренних точек и плоскости которых равны  В каждой области  выберем произвольную точку  найдем значение функции в этой точке и  и вычислим произведение   Это произведение равно объему цилиндрического столбца с образующими, параллельными оси   основой  и высотой  Всего таких столбиков есть   и сумма их объемов 

приближенно равно объему цилиндрического тела  Назовем диаметром  замкнутой ограниченной области  наибольшее расстояние между двумя точками граней этой области. Обозначим через  наибольший из диаметров областей  Тогда естественно объем данного тела обозначить как границу суммы (1) при 

 Задача про массу пластины. Пусть имеем плоскую неоднородную материальную пластину, формой которой является область  (рис. 10.2). В области  задана непрерывная функция  которая обозначает плотность пластины в точке  Найдем массу  пластин. Для этого произвольным способом разобьем область  на части  которые не имеют общих внутренних точек, и плоскости которых равны 

В каждой области  возьмем какую-нибудь  точку  и найдем плотность в этой точке: 

Тогда произведение  приблизительно обозначает массу той части пластины, которая занимает область , а сумма 

является приблизительном значение массы  всей пластины. Точное значение массы получим как границу суммы (3) при 

Таким образом, разные по содержанию задачи мы привели к нахождению границ (2) и (4) одного и того же вида. В связи с этим возникает потребность в изучении свойств этих граний, независимо от содержания той или иной задачи. Дадим точные определения. 

Понятие двойного интеграла. Условие его существования и свойств 

Пусть функция  обозначена в замкнутой ограниченной области  Будем считать, что грань области  складывается из ограниченного числа непрерывных кривых, каждая из которых обозначается функцией вида   или   В каждой области  возьмем произвольную точку  и образуем сумму 

которую назовем интегральной суммой для функций  по области  Пусть  - наибольший из диаметров областей .

Если интегральная сумма (5) при  имеет оконченную границу, которая не зависит ни от способа разбития области  на часте области , ни от выбора точек  в них, то эта граница называется двойным интегралом и обозначается одним из таких символом: 

Таким образом, по определениям 

В этом случае функция  называется интегрированной в область  - областью интегрирования;  - переменными интегрирования;  (или ) - элементом плоскости. 

Вернемся к задачам п. 1.1. Если границы в равенств (2) и (4) существуют, то из этих равенств и формулы (6) получим формулы для вычисления объема цилиндрического тела 

и массы пластинки 

Если в формуле (7) положить  то получим формулу для вычисления плоскости  области 

Теорема. Если функция   непрерывная в замкнутой ограниченной области  то она интегрирована в этой области.

Есть еще и другие условия существования двойного интеграла, но далее мы будем считать, что подынтегральная функция  в области интегрирования  является непрерывной. 

Сравнивая определения двойного интеграла (6) и определения определенного интеграла 

видим, что конструктивно эти определения в целом аналогичны: в обоих случаях рассматривается некоторая функция  но в первом случае эта функция одной переменной, обозначена на одномерной области - отрезке  а во втором - эта функция двух переменных, обозначенная в двумерной области   В обоих случаях область определения разбивается на части, в каждой из которых берется произвольная точка и в ней находится значение функции. После этого найденное значение функции умножается на меру соответственной части области определения. В случае одной переменной такой мерой была длина  отрезка  в случае двух переменных - плоскость  области 

В связи с этим, свойства двойного интеграла аналогично соответственным свойствам определенного интеграла. Сформулируем эти свойства (рекомендуем читателю повторить материал, доказать эти свойства самостоятельно и лать им геометрическую интерпретацию). 

  Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла 

 Двойной интеграл от суммы двух функций равен сумме двойных интегралов от этих функций: 

Это свойство имеет место быть для суммы оконченного числа функций.

 Если в области  функции  то 

 Если функции  и  обозначены в одной и той же области 

 Если область интегрирования функции  разбить на области  и  которые не имеют общие внутренние точки, то 

Это свойство называется аддитивностью двойного интеграла и справедлива для произвольного оконченного числа областей, которые складывают область  и не имеют общих внутренних точек. 

 Если функция непрерывная в ограниченной замкнутой области , которая имеет плоскость  то 

где  и  - соответственно наименьшее и наибольшее значение подынтегральной функции в области .

 Если функция  непрерывная в замкнутой ограниченной области , которая имеет плоскость  то в этой области существует такая точка  что

Величину 

называется средним значением функции  в области .

Вычисление двойного интеграла 

Вычисление двойного интеграла по формуле (6) как границы интегральной суммы, как же как и в случае определенного интеграла, связанные с значительными трудностями. Чтобы избежать их, вычисления двойного интеграла приходится к вычислению как называемого повторного интеграла - двух случайных определенных интегралов. 

Покажем, как это делается. Предположим, что при  функция  Тогда, согласно с формулой (7), двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела (рис. 10.3) с основой  ограниченного сверху поверхностью  Вычислим этот объем с помощью метода параллельных пересечений: 

где  - плоскость пересечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси  а  и  - уравнение плоскости, которые ограничивают данное тело. Перед этим, как вычислять плоскость сделаем определенные предположения относительно области 

Обозначенная таким образом область называется правильной в направлении оси    Иначе говоря, область   называется правильной в направлении оси   если произвольная прямая, которая проходит через внутреннюю точку области   параллельно оси  пересекает грани области не более, чем в двух точках. 

Найдем теперь плоскость  Для этого проведем через точку  плоскости, перпендикулярную оси  (рис. 10.3). в пересечении этой плоскости и цилиндрического тела образуется трапеция  Аппликата   точка линии   при фиксированном  является функцией только  причем  изменяется в гранях от  к 

Плоскость  трапеции  равна определенному интегралу 

Подставив найденное значение  в формулу  и учитывая формулу (7), получаем 

или в удобной форме 

Это и есть искомая формула для вычисления двойного интеграла. Правую часть формулу (10) называют повторным интегралом от функции  по области  В двойном интеграле (10) интегрирования выполнения сначала по переменной , а потом по переменной  В результате вычисления внутреннего интеграла получим определенную функцию от одной переменной  Интегрируя эту функцию в границах от  до  то есть вычисляя внешний интеграл, получаем некоторое число - значение двойного интеграла. 

Замечание 1. Приведенные геометрические измерения про получении формулы (10) возможны в случае, когда 

Но формула (10) считается справедливой и в общем случае. Строгое доказательство этой формулы мы опустим. 

 Замечание 2. Если область  ограничена двумя непрерывными кривыми  и двумя прямыми   причем  для всех  то есть если область  правильная в направлении оси   (рис. 10.5), то справедлива формула 

Тут внутренним является интеграл по переменной  Вычисляя его в границах от , получим некоторую функцию от одной переменной 

Замечание 3.  Если область  правильная в обоих направлениях то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (10), так и по формуле (11). Результаты получим одинаковые. 

Замечание 4. Если область  неправильная ни в направлении оси , ни в направлении оси , то такую область необходимо разбить на части, каждая из которых является правильной областью в направлении или . Вычисляя двойные интегралы в правильных областях и складывая результаты, находим искомый двойной интеграл по области . Для случая, изображенного на рис. 10.6), при интегрировании в направлении оси  получаем 

В направлении оси   нужно было бы вычислить повторные интегралы по семи областям.

Замечание 5. Повторные интегралы в правых частях формулы (10) и (11) называются интегралами с разным порядком интегрирования. Чтобы изменить порядок интегрирования, нужно от формулы (10) перейти к формуле (11). 

В каждом конкретном случае, зависит от вида области  и подынтегральной функции  нужно избирать тот порядок интегрирования, который приводит к простейшим вычислениям. 

Замечание 6. Правильная в направлении оси  область  коротко обозначим так: 

Аналогично, 

- область правильная в направлении оси 

Пример №271

Вычислить двойные интегралы:

 если область  ограничена параболами 

 если область  содержится в первой четверти и ограничена линиями 

 если область  ограничена прямыми 

а) область интегрирования  изображено на рис. 10.7. Эта область правильная в направлении как оси  так и оси  Для вычисления данного интеграла можно использовать как формулой (10), так и формулой (11), ибо функция  непрерывная во всей плоскости , кроме того, в области .

Область  правильная в направлении оси  то есть 

потому по формуле (10) получим 

б) Область интегрирования  изображена на рис. 10.8. Поскольку функция   непрерывная в данной области, то для вычисления заданного двойного интеграла можно воспользоваться как формулой (10), так и формулой (11). 

Область правильная в направлении оси  то есть 

тогда по формуле (10) получим 

Вычислим этот интеграл другим способом, воспользовавшись формулой (11). Область  является в направлении оси  но ее нужно разбить на две части  и  поскольку линия  на которых содержатся точки выхода из области, задается двумя разными уравнениями. Получим 

Очевидно, при вычислении этого интеграла выгоднее использовать формулой (10). 

в) Область интегрирования  изображено на рис. 10.9. Эта область правильная в обоих направления, только вычислить данный интеграл можно только по формуле (10). 

Если бы мы использовали формулу (11), то нам нужно было бы вычислить интеграл  который, как известно, в элементарных функциях не вычисляется. 

Следует, 

Пример №272

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле 

 Тут нужно перейти от повторного интеграла вида (11) к интегралу вида (10).

 Область интегрирования  ограничена линиями:  или  (рис. 10.10). Если внутренние интегрирования провести к  а внешне - 

к  то заданную область  нужно рассмотреть как правильную в направлении оси  Поскольку линия, на которой содержаться точки входа в область, заданная двумя разными уравнениями, то данную область нужно разбить на две части  и  Получим 

Изменение переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть функция   непрерывная в некоторой замкнутой и ограниченной области , тогда существует интеграл 

Предположим, что с помощью формулы 

мы переходим в интегралы  к новым переменным  и  Будем считать, что из формул (12) однозначно можно обозначить  и 

Согласно с формулами (13), каждой точки   ставиться в соответствие некоторая точка  на координатной плоскости с прямоугольными координатами  и  Пусть множество всех точек  образует ограниченную замкнутую область  Формулы (12) называется формулами преобразования координат, а формулы (13) - формулами обратного преобразования. 

Справедлива такая теорема. 

Теорема. Если преобразование (13) переводить замкнутую ограниченную область  замкнутую ограниченную область  и является взаимно однозначными и если функции (12) имеют в области  непрерывные частичные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

то функция  непрерывная в области , то справедлива такая формула замены переменных: 

Функциональный определитель (14) называется определителем Якоби или якобианом. 

Таким образом, выполняя замену переменных в интеграле  по формулам (12), мы имеем элемент плоскости  в координатах  заменить элементом плоскости  в координатах  и старую область интегрирования  заменить соответственной ее областью 

Рассмотрим замену декартовых координат  полярными  по известным формулам  Поскольку 

то формула (15) получается вид 

где область  задана в декартовой системе координат  а  - соответственна ее область в полярной системе координат. 

Замечание 1. Во многих случаях формулу (16) целесообразно использовать тогда, когда подынтегральная функция или уравнение границы области  содержит сумму  поскольку эта сумма в полярных координатах имеет довольно простой вид: 

Замечание 2.  Если область  (рис. 10.11, а) ограничена лучами, которые образуют с полярной осью угла  и  и кривыми  и  то полярные координаты области   изменяются в гранях   Потому формулу (16) можно записать в виде 

Замечание 3. Если область  охватывает начало координат, то точка   является внутренней точкой области , то 

где  - полярное уравнение границ области . 

Пример №273

Вычислить интеграл  если область  - параллелограмм, ограниченный прямыми   (рис. 10.12). 

 Непосредственное вычисление этого интеграла слишком громоздкое, потому как в направлении оси  так и в направлении оси  область  нужно сначала разбить на три области, а потом вычислить при двойных интеграла. 

Выполним такое изменение переменных:  тогда прямые  и  в системе  переходят в прямые  и  в системе  (рис. 10.13), а прямые  и  соответственно в прямые  и 

 Таким образом, область  (параллелограмм) переходит в системе  в прямоугольник  Далее получим

по формуле (15)

Пример №274

Вычислить  если  - круг радиуса  с центром в начале координат. 

 Поскольку грань области  в полярных координатах задается уравнение  или  то по формулам (18) получаем 

Пример №275

Вычислить   если область  ограничена кругами  (рис. 10.14). 

 Найдем уравнение границ области  в полярных координатах    откуда  - полярное уравнение большего круга. Если угол  изменяются в границах от  до  то переменная   получим грани от  до  Следует, по формуле (17) получаем

Применение двойных интегралов к задачам геометрии

 Площадь плоской фигуры. Если в плоскости  задана функция, что имеет форму ограниченной замкнутой области  то площадь  этой фигуры находится, как известно (п. 1.2), по формуле (9): 

  Объем тела. Объем цилиндрического тела, образующие которого параллельны на оси  и которое ограничено внизу областью  площади  а сверху - поверхностью   где функция  непрерывная и не отрицательная в области , находится по формуле  (7) (п. 1.2): 

 Площадь поверхности. Если поверхность  задана уравнением 

проектируется на плоскость  в область  (рис. 10.15) и функции  непрерывны в этой области, то плоскость  поверхности  находят по формуле 

 Выведем эту формулу. Разобьем произвольным способом область   на  частей   которые не имеют общих точек и площадь равна  В каждой части  возьмем точку  на плоскости  ей соответствует точка  где  Через точку  проведем касательную плоскость  : 

На плоскости  выделим ту ее часть, которая проектируется на плоскость  в область  Обозначим эту часть касательной плоскости через  а ее площадь - через  Сложим сумму 

Границу   суммы (21)  когда больший из диаметров областей  направляется к нулю, назовем площадью поверхности (19), то есть по определениям положим 

Вычислим эту границу. Поскольку область  которая имеет площадь  проектируется в область  с площадью  то   угол между плоскостями  и   (рис. 10.15), потому 

Но острый угол  равен углу между осью  и нормалью  то к касательной плоскости, то есть углу между векторами  и   По формуле (36)

Следует, 

Подставляя значение  в (23), получим 

Под знаком границы имеем интегральную сумму, сложенную для непрерывной в области  функций   Эта функция интегрирована в области , потому граница в формуле (23) существует и равен двойному интегралу (20). 

Пример №276

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  (рис. 10.16). 

 Найдем ординату точек пересечения данных линий. Из системы 

получим 

По формуле (9) находим

Пример №277

Найти объем тела, ограниченного цилиндром  и плоскостями  

 Областью  тут является параболический сегмент (рис. 10. 17, б.) потому  По формуле (7) получим 

Пример №278

Найти часть площади конуса  которая вырезается цилиндром 

 Из уравнения конуса получим 

Область  тут является круг   или  По формуле (20) получим 

где  площадь круга радиуса 1. Действительно, перейдя к полярной системе ординат (см. п. 1.4, пример 3), получим 

тогда 

Использование двойного интеграла в задачах механики

 Масса пластины. Пусть на плоскости  имеется материальная пластина, которая имеет форму ограниченной замкнутой области  в каждой точке которой плотность обозначается непрерывной функцией . Как известно (п. 1.2), масса такой пластины обозначается формулой (8) 

 Центр массы пластины. Статичные моменты. Пусть материальная пластина в плоскости  имеет форму области  плотность пластины в точке  равно  где  - непрерывная функция области . Разобьем область  на части выберем на каждой из них произвольную точку  и приближенно будем считать, что масса  части   равна  где  - плоскость области . Если считать, что каждая из этих масс усреднена в точке  то пластину можно рассмотреть как систему этих материальных точек. Тогда координаты   и  центра массы пластин приближенно обозначим равенствами 

Чтобы найти точные значения координат, перейдем в этих формулах к границе при  Тогда интегральные суммы преобразятся в двойные интегралы и координаты центра массы пластины обозначатся формулами 

Величины 

называются статичными моментами пластины относительно оси  и 

Учитывая формулы (8), (24) и (25) координаты центра масс можно записать в виде

Если пластина однородная, то есть имеет постоянную плотность  то в формулах  (8), (24) и (25) следует подставить 

 Моменты инерции пластины. Известно, что момент инерции материальной точки относительно некоторой оси равен произведению массы точки на квадрат ее расстояния от этой оси, а момент инерции системы материальных точек относительно одной и той же оси равен сумме моментов инерции всех точек системы.

Пусть материальная пластина имеет форму области  в плоскости , а непрерывная функция  обозначает плотность в каждой точке этой пластины. Разобьем область  на части  плоскости которых равны  и выберем каждый из этих частей произвольную точку  Заменит пластину системой материальных точек с массами  Если пластину рассмотреть как систему этих материальных точек, то моменты инерции пластины относительно  приближенно обозначаются по формуле 

Переходя к границе в каждой из сумм при  получим точные формулы для вычисления моментов инерции рассматриваемой пластины относительно координатных осей: 

Найдем момент инерции  пластины относительно началу координат. Учитывая, что момент инерции материальной точки  с массой  относительно началу координат равен   аналогично получим, что 

Пример №279

Найти массу пластины  ограниченной линиями  если плотность пластины в каждой точке  равна 

 Поскольку  то по формуле (8) получаем 

Пример №280

Найти центр массы однородной пластины  ограниченной кривой  и осью  (рис. 10.20). 

 Вследствие симметрии пластины относительно оси   получим  Для нахождения  воспользуемся второй из формул (24). В данном случае,  потому получим 

Следует, центр массы данной пластины содержится в точке 

Пример №281

Найти момент инерции  пластины  ограниченной прямыми   если плотность в каждой точке пластины равна ординате этой точки (рис. 10.21). 

  Поскольку  то по первой формуле (26) получим 

Тройной интеграл 

В предыдущем параграфе мы рассмотрели понятие двойного интеграла от функции двух переменных. Обозначим интеграл от функции трех переменных - так называемый тройной интеграл. 

Понятие тройного интеграла. Условия его существования и свойства

Схема построения тройного интеграла такая же, как и обычного определенного интеграла и двойного интеграла. 

Пусть функция  определена в ограниченной замкнутой области   Разобьем область  сеткой поверхностей на  частей  которые не имеют общих внутренних точек и объемы которых равны  У каждой части  возьмем произвольную к  и образуем сумму 

которая называется интегральной суммой для функции  по области  Пусть  - больший из диаметров областей 

Если интегральная сумма (28) при  имеет оконченную границу, которая не зависит ни от способа  разбития области  на части  ни от выбора точек   то эта граница называется тройным интегралом  и обозначается одним из таких символов: 

  или 

Таким образом,  по определению 

где  - функция, интегрированная в области  - область интегрирования   и    - переменные интегрирования;  ( или ) - элементы объема .

Если по телу  разделена масса с объемной плотностью  в точке  то масса  этого тела находится по формуле 

Формула (30) аналогична формуле (8) и может рассматриваться как механическое содержание тройного интеграла, когда подынтегральная функция неотрицательная в области   Если повсюду в области положить  то из формулы (29) получается формула для вычисления объема  тела 

Тройной интеграл является непосредственным обобщением двойного интеграла на трехмерном пространстве. Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла, потому в большинстве случаев мы ограничимся только формированием утверждений и короткими пояснениями. 

Теорема. Если функция  непрерывна в ограниченной замкнутой области  то она в этой области интегрирована.

Свойства тройных интегралов. 

 Постоянный множитель можно вынести за знак тройного интеграла 

 Тройной интеграл от суммы нескольких интегрированных функций равен сумме тройных интегралов от произведения: 

 Если в области интегрирования  то 

 Если функции  и   обозначены в одной и той же области    и  то 

 Если область интегрирования  функции  разбить на части  и  которые не имеют общих внутренних точек, то 

 Если функция  непрерывна в ограниченной замкнутой области  , которая имеет объем  то

где  и  - соответственно наименьшее и наибольшее значение функции  в области .

  Если функция  непрерывна в ограниченной и замкнутой области , которая имеет объем  то в этой области существует такая точка  что 

Величина 

называется средним значением функции  в области .

Вычисление тройного интеграла

Как и в случае двойных интегралов, вычисление тройного интеграла приводят к вычислению повторных, то есть к интегрированию к каждой переменной отдельно. 

Пусть область  ограничена снизу и сверху поверхностями  и  а с боков цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси  Обозначим проекцию области  на плоскости  через  (рис. 10.22) и будем считать что функции  и  непрерывно в . Если при этом область  является правильной, то область  называется правильной в направлении оси  Предположим, что каждая прямая, которая проходит через каждую  внутреннюю точку   параллельно оси   пересекает границу области  в точках  и . Точку  называется точкой входа в область , а точку  - точкой выхода из области , а их аппликаты обозначим соответственно через  и  Тогда   и для любой непрерывной в области  функции  имеет место формула 

Содержание формулы (32) такое. Чтобы вычислить тройной интеграл, нужно сначала вычислить интеграл  к переменной  считая  и  постоянными. Нижней гранью этого интеграла является аппликата точки  входа  а верхней - аппликата точки выхода . Вследствие интегрирования получим функцию  от переменных  и .

Если область , например, ограничена кривыми  и  где  и  - непрерывные функции, то есть 

то переходя от двойного интеграла  к повторному (п. 1.3), получим формулу 

которая приводит к вычислению тройного интеграла к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Порядок интегрирования может быть и другим, то есть переменные  и  в правой части формулы (33) при определенных условиях можно менять местами. 

Если, например, область  правильная в направлении оси 

где  - непрерывные функции, то 

Кроме того, если областью интегрирования является параллелепипед: 

то 

В этом случае интегрирование выполняется в любом порядке, поскольку область  правильная в направлении всех трех координатных осей 

Пример №282

Вычислить тройной интеграл  к области  ограничена плоскостями 

 Поскольку область интегрирования  - параллелепипед:  то по формуле (34) получим 

Пример №283

Вычислить тройной интеграл  если область   ограничена плоскостями  (рис. 10.23). 

 Область  проектируется на плоскость  в треугольник 

Поскольку  а  то по формуле (33) получим 

Замена переменной в тройном интеграле 

Замена переменной в тройном интеграле выполняется по такому правилу: если ограниченная замкнутая область  взаимно однозначно отображается на область  с помощью непрерывно дифференцированных функций   якобиан  области  не равен нулю: 

и  - непрерывная в  то справедлива формула 

На практике важнейшими являются цилиндрические и сферичные координаты. При переходе от прямоугольных координат   к цилиндрическим  (рис. 10.24), связанных с  соотношениями 

якобиан преобразования 

из формулы (35) получим тройной интеграл в цилиндрическим координатам: 

Название "цилиндрические координаты" связана с тем, что координатная поверхность  есть цилиндр, прямолинейные образующие которого параллельны оси 

При переходе от прямоугольных координат  к сферичным   (рис. 10.25), которые связаны с  формулы

якобиан преобразования 

Из формулы (35) находим тройной интеграл в сферичных координатах: 

Название "сферичные координаты" связана с тем, что координатная поверхность  является сферой. При вычислении тройного интеграла в цилиндрических или сферичных координатах область  как правило не строят, а границы интегрирования находят непосредственно с области  пользуясь геометрическим содержанием новых координат. При этом уравнения поверхностей  и  которые ограничивают область  записывают в новых координатах. 

Кроме того, область  ограничена цилиндрической поверхностью  и плоскостями  то все грани интегрирования в цилиндрической системе координатной постоянной: 

и не изменяются при изменении порядка интегрирования. То же будет в сферических координатах в случае, когда  - шар:  или кольцо. Например, если  - кольцо с внутренней сферой  то уравнение этой сферы в сферичных координатах имеет вид 

или 

откуда    Аналогично  - уравнение внешней сферы, потому 

В случае, когда  - шар  то в этой формуле следует поставить   Других каких - нибудь общих рекомендаций, когда нужно перейти к той или иной системы координат, дать невозможно. Это зависит и от области интегрирования, и от подынтегральной функции. Иногда нужно записать интеграл в разных системах координат и только после этого решить, в какой из них вычисления будут простейшими. 

Пример №284

Вычислить тройной интеграл   если область  ограничена плоскостями  и цилиндром  (рис. 10.26). 

 Введем цилиндрические координаты 

 Поскольку в цилиндрической системе координат  а уравнение круга  которое лежит в основе цилиндра, имеет вид    то по формуле (36) получим 

где 

Потому 

Пример №285

Вычислить тройной интеграл 

 где 

 Перейдем к сферичным координатам: 

Поскольку подынтегральная функция   и  то по формуле (37) получим 

Некоторые использование тройного интеграла

1. Вычисление объемов. Если некоторое тело является ограниченной и замкнутой областью  что имеет объем  то согласно с формулой (31) 

2. Использование в механике. Пусть  - ограничена замкнутой область пространства   которую занимает некоторое материальное тело с плотностью  где  - непрерывная функция в области , тогда: 

а) масса этого тела 

б) моменты инерции  тела относительно координатных осей   соответственно равны 

Моменты инерции  тела относительно координатных плоскостей  вычисляются по формуле 

Момент инерции тело относительно начала координат 

в) статичные моменты   тела относительно координатных плоскостей  вычисляют по формулам 

г) координаты  центра массы тела обозначаются по формуле 

Доказательство формулы (38), как уже обозначалось, получается из определения тройного интеграла: 

Доказательство формул (39) - (44) - аналогично доказательству соответственных формул для материальной пластины (п. 1.5). Предлагаем читателю выполнить их самостоятельно. 

Пример №286

Найти объем тела, ограниченного поверхностями  (рис. 10.27). 

 Данное тело ограничено снизу параболоидом  сверху плоскостью  и проектируется в круг  плоскости  Используя цилиндрические координаты, находим уравнение параболоида  По формуле (38) получим 

Пример №287

Найти центр массы однородной полушария  ограниченной поверхностями  

 Координаты  потому что полушарие симметрично относительно оси  По третьей из формул (44) при  получим

При вычислении интеграла в числителе мы воспользовались сферичными координатами. Значение интеграла в знаменателе не вычисляя, как объем полушария. Следует, центр массы данного полушария размещен в точке 

Криволинейные интегралы

Обобщим понятие определенного интеграла на случай, если областью интегрирования является некоторая кривая. Такие интегралы называют криволинейными. Разделяют два вида криволинейных интегралов: криволинейные интегралы первого рода и криволинейные интегралы второго рода. 

Понятия криволинейного интеграла первого рода

Пусть в плоскости  задана гладкая или кусочно - гладкая кривая  (рис. 10.28) и на этой кривой обозначена ограниченная функция 

 (Непрерывная кривая  называется гладкой на отрезке  если функции  и  имеют на этом отрезке непрерывны производные  и , которые одновременно не равны нулю. Если непрерывная кривая складывается из ограниченного числа гладких кривых, ее называют кусочно - гладкой). Разобьем кривую  точками  на  произвольных частей, на каждой отдельной дуге  выберем какую нибудь точку  и сложим сумму 

где  длина дуги . Сумма (45) называется интегральной суммой функции  по кривой  Пусть  - наибольшая из длин отдельных дуг .

Если при  интегральные суммы (45) имеют оконченную границу, которая не зависит от разбития кривой  и выбора точек  то эту границу называют криволинейным интегралом первого рода от функции  по  кривой  и обозначают 

Таким образом, по определению 

Если граница (46) существует, то функция  называется интегрированной на кривой , сама кривая  - контуром интегрирования,  - начальной, а  - конечной точкой интегрирования. 

Приведем криволинейный интеграл первого рода к определенному интегралу. Для этого на кривой  примем за параметр длину дуги   которая учитывается от точки  к произвольной точке кривой  можно записать в параметрической форме:    где  - длина кривой . При этом функция  определена на кривой  преобразуется в сложенную функцию одной переменной - параметра  

Обозначим через  значение параметра  которое соответствует точке  а через  - которое соответствует точки   тогда сумма (45) имеет вид 

где  Сумма (47) является интегральной суммой для определенного интеграла от функций  на отрезке 

Поскольку суммы (45) и (47) равны между собой, то равны и соответственные им интегралы: 

Формула (48) не только приводит криволинейный интеграл к обычному, но не доказывает существование криволинейного интеграла для функции  которая непрерывна на кривой . Кроме того, из формулы (48) получается, что свойства криволинейного интеграла первого рода аналогичны свойствам определенного интеграла, потому мы снова не будем их формулировать. Отметим только, что по определению криволинейного интеграла  - длина дуги, потому всегда   У определенном же интеграле 

величина   может быть как положительной, так и отрицательной. В связи с этим

 или 

то есть границы интегрирования в криволинейном интеграле первого рода всегда нужно брать от меньшей к большой. 

Рассмотрим физическое содержание криволинейного интеграла первого рода. Если вдоль неоднородной материальной кривой  распределена масса  с линейной плотностью  то 

то есть из физической точки зрения криволинейный интеграл первого рода от неотрицательной функции вдоль некоторой кривой равен массе этой кривой.

Криволинейный интеграл первого рода имеет так же и геометрическое содержание. 

Если определенный интеграл (49) при  обозначает площадь криволинейной трапеции, то криволинейный интеграл (46) при  численно равен площади части цилиндрической поверхности, образующие которой имеют длину  и параллельны оси  а направление сходится с кривой   плоскости  (рис. 10.29). Кроме того, если  - не кривая, а отрезок  что лежит на оси  то  и формула (46) превращается в формулу (49) - цилиндрическая поверхность "выравнивается" и становится криволинейной трапецией, то есть криволинейный интеграл первого рода становится обычно-определенным интегралом. 

Если взять  то площадь цилиндрической поверхности численно равен длине дуги  потому длину  дуги  можно найти по формуле 

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Формула (48), которая приводит криволинейный интеграл к обычному не является удобной для вычисления, ибо не всегда можно найти уравнение кривой  в виде  где  - длина дуги. Упростим эту формулу. 

Пусть кривая  задана уравнениями  причем значение  соответствует точке  а значение  - точки  Будем считать, что функции  и  вместе с производными  и   непрерывны на отрезке  а функция  непрерывная вдоль кривой . Для произвольной точки  длину дуги  кривой   можно рассмотреть как функцию параметра:  тогда 

Отсюда, согласно с правилом дифференцирования определенного интеграла верхней границы, получим 

Выполняя изменение переменной  в правой части формулы (48), получаем 

Кроме того, если кривая  в декартовых координатах задана уравнением   где функция  непрерывна вместе с своей производной  на отрезке  то формула (50) получает вид 

 

Если кривая    в декартовых координатах заданным уравнениям  и функции  и  непрерывные на отрезке  то 

До этого мы считали, что криволинейный интеграл первого рода рассматривается для плоскости кривой   Найденные результаты легко перевести просторных кривых. 

Пусть функция  обозначена и непрерывна на пространственной кривой  которая задана уравнением  где функции  и  непрерывна на отрезке  Тогда существует криволинейный интеграл   и выполняется формула 

 

Пример №288

Вычислить криволинейный интеграл  где  - отрезок прямой  от точки  до 

 Вычислить криволинейный интеграл  где  - дуга кривой 

 Поскольку     то формуле (53) 

Использование криволинейного интеграла первого рода

1. Использование в геометрии. Пусть в плоскости  задана кусочно - гладкая кривая  замкнутую или  незамкнутую и на этой кривой определенной непрерывной функцию  тогда: 

а) площадь  цилиндрической поверхности, обозначенной функцией   находят по формуле 

б) длину  кривой  обозначают по формуле 

 Использование в механике. Пусть вдоль неоднородной материальной кривой    разделена массе с линейной плотностью  тогда: 

а) масса кривой   вычисляется по формуле 

б) координаты  центра массы кривой  находится по формуле 

где  - статистические моменты кривой  относительно осей  и  и начала координат соответственно равны 

В случае, если кривая однородна, то есть имеет постоянную плотность  в формулах (56) - (58) следует считать  Например, нужно найти момент инерции  относительно оси  однородной  дуги круга   которая содержится в первой четверти. 

Воспользовавшись первой из формул (58), получим 

Формулы (54), (53) получаются из геометрического содержания криволинейного интеграла первого рода (п. 3.1). 

Формулы (56) - (58) можно доказать тем самым методом, каким были названы соответственные формулы для материальной пластины (п. 1.6).

Формулы (55) - (58) можно записать и для случая, когда подынтегральная функция рассматривается на пространственной кривой. 

Понятие криволинейного интеграла второго рода ( по координатам). Физическое содержание

Криволинейный интеграл второго рода обозначается так же, как интеграл первого рода.  Пусть в плоскости  задана гладкая или кусочно - гладкая кривая  (рис. 10.30) и на этой кривой обозначено ограниченную функцию  В отличие от интегралов первого рода будем считать криво направленную линию, в которой точки  и  являются соответственно начальными и конечными точками. Разобьем кривую  точками   на  произвольных частей, на каждой частичной дуге  выберем точку  и сложим сумму 

где  - проекция вектора  на ось 

Различие сумм (45) и (59) очевидная. 

Если при   интегральные суммы (59) имеют оконченную границу, которая не принадлежит ни от разбития кривой  ни от выбора точек  то эту границу называют криволинейным интегралом от функции  по координате  вдоль кривой  и обозначают 

Таким образом, 

Аналогично приводиться криволинейный интеграл от функции  к  координате 

где  - проекция вектора  на ось   (рис. 10.30). Сумму 

называют криволинейным интегралом по координатам или криволинейном интегралом второго рода от функции  и  по кривой  и обозначают символом 

Функции  и  иногда обозначаем через  и  а криволинейный интеграл записываем в виде 

Для того чтобы дать физическую интерпретацию криволинейного интеграла второго ряда, рассмотрим задачу про работу переменной силы на криволинейно - линейного пути.  Пусть материальная точка  под действием переменной силы  где  - проекции силы на оси  и  движется на плоскости  вдоль кривой  Нужно вычислить работу  силы  при перемещении точки   и точки  в точку  (рис. 10.31).

Разобьем кривую   точками  на  частей и каждый отдельный дуге  возьмем произвольную точку  На эту точку действует сила  Работу  которую выполняет эта сила при перемещении точки по вектору  можно найти с помощью скалярного произведения 

Эта работа приближенное значение искомой работы  Перейдя к границе при  найдем точке ее значения: 

Следует, с вида физики криволинейный интеграл второго рода вдоль которой кривая равна работе переменной силы при перемещении материальной точки вдоль этой кривой. 

Вычисление и использование криволинейного интеграла второго рода 

Приведем криволинейный интеграл второго рода к определенного интеграла. Пусть кривая  задана параметрическим уравнением  где функции  и   на отрезке  непрерывные вместе с своими производными  и  причем точке  кривая, соответствует параметр  а точке  - параметр  Предположим, что функция  непрерывная на кривой , то по определениям 

Но, согласно с формулой Лагранжа, 

Выберем точку  так, чтобы  Тогда интегральная сумма в формуле (63) получит вид 

Эта интегральная сумма для функции  на промежутке  потому 

Аналогично доказываются формулы 

Кроме того, если кривая  задана уравнениями  где функция  и ее производная  непрерывны на промежутке  то по формуле (66) получим 

Аналогично, если кривая  задана уравнениями   причем функции  и   непрерывные на промежутке   то 

Понятие криволинейного интеграла второго рода можно расширить на пространственной кривой. Пусть функции   обозначены и непрерывны на пространственной кривой , которая задана уравнениями

где функции  и их производные  непрерывная на промежутке  Тогда существовал криволинейный интеграл 

и выполняется формула 

Формулы (64) - (69) используются для вычисления криволинейных интегралов. Из этих формул получается, что криволинейный интеграл второго рода имеет свойства, аналогичные свойствам определенного интеграла. 

В отличие от криволинейного интеграла первого рода криволинейный интеграл второго рода зависит от направления пути интегрирования и при изменении этого направления изменяет свой знак: 

Это связано с тем, что при смене направления движения, изменяются знаки проекций  и   в суммах (60) и (61). 

Часто приходится рассматривать криволинейные интегралы в замкнутом контуре, то есть контуре интегрирования, в котором начальная и конечная точки сходятся. Для замкнутого контура существует только два направления обхода: против часовой стрелки (отрицательная ориентация контура) и по часовой стрелке. Другими словами, контур считается положительно ориентированной, если при его обходе область, ограниченная этим контуром, остается слева. Криволинейный интеграл по положительно ориентированном контуре  обозначается так: 

Рассмотрим для использования криволинейного интеграла второго порядка. 

 Вычисление площади плоской фигуры. Пусть на плоскости (рис. 10.32) дана правильная (п. 1.3) область 

Границу области  то есть кривую  обозначим через  и будем считать положительно ориентированной. Рассмотрим интеграл  -  и приведем его к определенным интегралам: 

где  - площадь области 

Следует, площадь  правильной области  ограниченной кривой  находят по формуле 

Аналогично можно доказать, что 

Складывая формулы (70) и (71) почленно, получим еще одну формулу для вычисления площади: 

 Вычисление работы. Пусть сила  выполняет работу  при перемещении материальной точки вдоль кривой  причем функции  и  непрерывные на кривой  тогда, как известно (п. 3.4), 

Пример №289

Вычислить криволинейный интеграл  где  - замкнутый контур, образованный линиями  (рис. 10.33).

 Используя аддитивность криволинейного  интеграла, получим  

Из уравнения  линии  получим  потому 

Из уравнения  линии  получим  потому, 

Из уравнения  линии  получим  потому, 

Пример №290

Найти плоскость области, ограниченной эллипсом 

 По формуле (72)

Пример №291

Найти работу силы  при перемещении материальной точки по прямой  из точки  в точку 

 По формуле (73) 

Пример №292

Вычислить криволинейный интеграл  от точки  до точки   по линии:  (рис. 10.34). 

 Получим: 

Пример №293

Вычислить криволинейный интеграл  от точки  до точки  по кривым а), б), в), которые заданы в примере 4: 

Обозначим, что в примере 4 интегрирования по трем разным кривым, что включают одни и те же точки, дает один и тот же результат. В примере 5 интегрирование к таким же точкам дает разные результаты. Причина этого разъяснена в п. 3.8.

Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода

Обозначим через  и  углы, которые образуются осями координат образующая, направляющаяся к прямой  в точке   (рис. 10.35). За положительное направление образующей берем то, которое соответствует направлению движения точки по кривой от  до  Учитывая геометрическое содержание дифференциальной функции и дифференциала дуги, получим

Заменяя в криволинейных интегралах второго рода  и  их значениями (74), преобразим эти интегралы в криволинейные интегралы первого рода: 

Формулы (75) выражают криволинейные интегралы второго рода через криволинейные интегралы первого рода и устанавливают связь между ними. При изменении направления движения по кривой формулы (75) не изменяются, поскольку при этом изменяют знак 

Формула Грина 

Формула Грина связывает двойной интеграл к области  с криволинейным интегралов по границе  этой области. Она широко используется в математическом анализе. 

Докажем эту формулу для правильной области, контур которой ограничен гладкими или кусочно - гладкими кривыми. 

Теорема. Пусть  - некоторая правильная область, ограниченная замкнутым контуром , и функции  и  непрерывны вместе с своими частичными производными  и  в этой области. Тогда выполняется формула Грина 

 Пусть область  (рис. 10.32) ограничена положительно ориентированным контуром  - границей  Покажем, что 

Для этого приведем двойной интеграл к повторному, выполняем интегрирование по переменной  и до найденных определенных интегралов используем формулу (67): 

Аналогично, учитывая, что область  правильная в направлении оси   можно убедится, что 

Если от равенства (79) отнимем равенство (78), то получим формулу (76) 

Замечание 1. Мы считали, что область  правильная. Формула Грина будет справедливой и для произвольной области, которую можно разбить на законченное число правильных областей. Пусть, например, область  (рис. 10.36) складывается из двух правильных областей  и  Слева получим двойной интеграл по всей области  , а справа - криволинейный интеграл, по границе этой области, поскольку криволинейный интеграл по дополнительной (средней) кривой берется дважды,  и противоположных направлениях  при складывании взаимно уничтожается. 

Замечание 2 Из формулы Грина легко получить формулы для вычисления площади плоской фигуры: если в формулу (76) подставить  то получим формулу (70); если  - формулу (71). 

Пример №294

Вычислить криволинейный интеграл  где  - круг: 

а) непосредственно; б) по формуле Грина.

 а) воспользуемся параметрическими уравнениями круга:

Тогда  потому 

б) Такой же результат получим по формуле Грина: 

Условие независимости криволинейного интеграла от формы интегрирования

Как уже обозначалось, значение криволинейного интеграла может зависеть от того, как получены точки движения интегрирования, а может и не зависеть. Если значение криволинейного интеграла остается одинаковым к всем возможным кривым, которые образуются конечными точками кривой интегрирования, то говорят, что криволинейный интеграл не зависит от формы  пути интегрирования. 

Выявим условия, по которым существует такая независимость. Напомним, что односвязной называют область, граница которой складывается из одной переменной без точек пересечения непрерывной кусочно - гладкой кривой. На рис. 10.37 показано: а - односвязную область; б) двусвязную область; в) - трехсвязную область.

Теорема 1. Пусть функции  и  определенные и непрерывные со своими частичными производными  и   в некоторой замкнутой односвязной области  Тогда следующие четыре условия эквивалентны то есть выполнение одной из них следует за собой выполнение остальных трех: 

1) для произвольной замкнутой кусочно - гладкой кривой, что принадлежит области 

2) для произвольных двух точек  и  в области  значение интеграла 

не зависит от формы путя интегрирования, которое лежит на области 

3) выражение  является полным дифференциалом некоторой функции, обозначенной в области . Иными словами, существует такая функция  обозначенная в области , что 

5) во всех точках области  выполняется равенство 

Докажем теорему по схеме  то есть покажем, что из первого условия вытекает второе, из второго - третье,  из третьей - четвертое, а из четвертого - снова первое. Этим эквивалентность всех условий будет доказана. 

 Пусть  и  - две произвольные кривые, которые принадлежат области  получается точки  и  (рис. 10.38) и образуют в сумме замкнутую кривую  Согласно с первым условием 

потому 

или 

то есть другое условие выполняется. 

 Пусть интеграл  не зависит от формы кривой, которое соединяет точки   и , а зависит только от точек   и . Если точку  зафиксировать:  то этот интеграл будет некоторой функцией  координат  и    точки 

 

Покажем, что полный дифференциал функции (81) сходится с подынтегральным выражением: 

Для этого достаточно показать, что в каждой части  области  существуют частичные производные, причем 

Поскольку функции  и  по условию непрерывны в , то с (83) получается дифференцированность функции  и равенств (82). 

Докажем, например, что  Прирост  равен (рис. 10.39) 

По второму условию интеграл не зависит  от формы кривой, потому путь от   к  можно считать прямолинейным; тогда 

Применяя к остальному интегралу теорему про среднее получим 

откуда 

поскольку по условию функция  непрерывная. Аналогично докажем, что  Следует, условие 3 выполняется. 

 Пусть существует функция  такая, что  тогда  и по теореме про смешанные производные   то есть получили равенство (80).

 Пусть выполняется четвертое условие и  - произвольная замкнутая кусочно - гладкая кривая, которая принадлежит области  и ограничивает некоторую область  Применяя к области   формулу Грина и используя четвертое условие, получим 

Замечание 1. Из эквивалентности условий 1-4 доказанной теоремы получается, что условия 3 и 4 являются необходимыми и достаточными условиями, по которым криволинейный интеграл не зависит от формы путя интегрирования. Но для вычислений наиболее удобной, необходимой и достаточной является равенство (80).

Замечание 2. аналогичная теорема справедлива для криволинейных интегралов второго рода вдоль пространственных кривых. Для ее формирования введем понятия поверхностно - односвязной области. 

Трехмерная область  называется поверхностно - односвязной, если на любом кусочно - гладком  замкнутом контуре, который принадлежит области  и не имеет точек пересечения, можно "натянуть пленка" которая полностью принадлежит области . Поверхностно - односвязными областями являются шар, эллипсоид, многогранник и так далее, не односвязной - тороид ("бублик"). 

Теорема 2. Пусть функция  непрерывная вместе со своими производными первого порядка в поверхностью односвязной области. Тогда эквивалентны такие утверждения: 

1) для произвольной точки замкнутой кусочно - гладкой кривой  что принадлежит области , 

2) криволинейный интеграл 

не зависит от формы кривой интегрирования, которая обозначает точки  и  не лежит в области ; 

3) выражение  является полным дифференциалом некоторой функции,  определенной в области ; 

4) во всех точках области  выполняются равенства 

Пример №295

Объясните результаты интегрирования в примерах 4 и 5 (п. 3.5). 

 В примере 4 (п. 3.5) значение криволинейного интеграла 

зависит от формы путя интегрирования, или выполняется равенство (80); действительно: 

поэтому результаты интегрирования а), б), в) были одинаковыми. 

У примере 5 (п. 3.5) равенство (80) не выполняется, потому значения интеграла зависят от формы контура интегрирования. 

Пример №296

Вычислить криволинейный интеграл  по произвольной кривой, которая образует точки  и 

 Проверим выполнение равенства (80): 

Следует, значение интеграла не зависит от того, какой кривой образованы точки  и 

Вычислим интеграл по прямой  которая образует эти точки, тогда

Интегрирование полных дифференциалов. Первичная функция 

Пусть в некоторой односвязной области  функции  и   и их частичные производные  и  непрерывные, причем  

Зафиксируем точку  и рассмотрим функцию 

Тогда, согласно с п. 3.8, полный дифференциал этой функции

Но, как и для функций одной переменной, существует неоконченное количество функций двух переменных, для которых выражение (86) является полным дифференциалом; все такие функции обозначаются формулой  где  - какая нибудь из них, а  Каждую из этих функций называют первичной для полного дифференциала (86). Поскольку функция (85) - первичная, то 

Положив  получим  потому 

Кроме того, при  получим 

Формула (88) называют формулой Ньютона - Лейбница для кривого интеграла от полного дифференциала. 

Рассмотрим способ нахождения первичной. Поскольку криволинейный интеграл (87) не зависит от формы путя интегрирования, то для нахождения первичной  достаточно было бы вычислить этот интеграл по произвольной линии, которую образуют точки  и  Но оказывается, что самый удобный способ интегрировать по ломанной линии, которую образуют точки  и  так, что стороны ломанной параллельны осям координат. 

Вычислим, например, криволинейный интеграл (87) от точки  до точки  по ломанной  (рис. 10.40). На отрезке   а на отрезке  потому из формулы (87) получим 

где первый определенный интеграл вычисляется при постоянном значении  а второй - при постоянном значении 

Аналогично формуле получим при интегрировании по ломанной  (рис. 10.40): 

Формулы (89) и (90) дают возможность найти первичную.  Начальную точку  в этих формулах нужно выбрать так, чтобы подынтегральное выражение упрощалась насколько это возможно.  

Замечание 1. Если по формуле (89) или (90) найти первичную  то по формуле Ньютона - Лейбница (88) можно вычислить интеграл от полного дифференциала. Но на практике проще выполнять интегрирование по ломанной линии, которое образует  и  так, что стороны ломанной параллельны осям координат. 

Замечание 2. Если для дифференциального уравнения 

выполняется равенство (80), то такое уравнение называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Общий интеграл этого уравнения  можно найти по формуле (89).

  

Замечание 3. Формула для нахождения функции трех переменных по ее полному дифференциалу  имеет вид 

Она выводится аналогично формуле (89) при вычислении криволинейного интеграла  по ломанной  (рис. 10.41). Эти две подобные формулы можно получить при интегрировании ломанных  и 

Пример №297

Вычислить интеграл 

 Данный  интеграл не зависит от пути интегрирования потому, что выполняется равенство (80): 

то есть  на всей плоскости  Выполняем интегрирование по ломанной  (рис. 10.42). На отрезке   на отрезке   Следует: 

Пример №298

Убедиться, что выражение 

является полным дифференциалом некоторой функции и найти эту функцию. 

 В данном случае, функции 

непрерывные с частичными производными  на всей плоскости  кроме точки   Поскольку равенство (80) получается, что данное выражение является полным дифференциалом некоторой функции  Для нахождения функции  выполняется формулой (89) где  - некоторая фиксированная точка, например : 

где  - произвольная постоянная. 

Поверхностные интегралы

При решении разных задач часто приходится рассматривать функции, определенные на некоторой поверхности. Такими функциями являются, например, плотность распределения электрических зарядов на поверхности проводника, поверхностная плотность массы, распределенной на поверхности, скорость жидкости, что протекает через заданную поверхность, освещение поверхности тоже. 

В этой лекции мы рассмотрим интегралы от функций, заданных на поверхности - это так названные поверхностные интегралы. 

Поверхностные интегралы первого рода 

Поверхностные интегралы первого рода являются обобщением двойных интегралов. 

Пусть в точках некоторой кусочно - гладкой поверхности  обозначена ограниченная функция  Разобьем поверхность  на   произвольных  частей   без общих внутренних точек (рис. 10.43); пусть  - площадь, а  - диаметр части поверхности . В каждой части  выберем произвольную точку  и получим сумму 

Эту сумму называют интегральной суммой для функции  по поверхности . 

Если при  интегральной суммы (92) имеют неоконченную границу, которая не зависит ни от способа разбития поверхности, но от выбора точек  эту границу называют поверхностным интегралом первого рода от функции  по поверхности  и обозначают 

Таким образом, по определениям 

В этом случае,  называется интегрированной на поверхности , а поверхность  - область интегрирования. 

Если функция  непрерывная на поверхности , то она интегрирована к . 

Вычисление поверхностного интеграла первого рода приводится к вычислению двойного интеграла. 

Пусть гладкая поверхность , задана уравнением  проектируется на плоскости  в область  Предположим, что функция  непрерывная на поверхности , а функции  непрерывна в области 

 Вследствие разбивания поверхности  на части  область разбивается на части  которые являются соответственными проекциями частей  на плоскости  (рис. 10.44). Если  - площадь области   - площадь поверхности  то (п. 1.5)

потому интегральную сумму (92) можно записать в виде 

Правая часть этого равенства является интегральной суммой для функции 

потому из равенств (93) и (94) получается, что 

Формула (95) выражает поверхности интеграла первого рода через двойной интеграл к проекции поверхности  на площади .

Аналогично можно получит формулы, что выражают интеграл к поверхности   через двойные интегралы к ее проекциям на плоскости  и  Если поверхность  задается уравнением   или  то 

или 

где   и  - проекции поверхности  на координатные плоскости  и  соответственно. 

Если в формуле (93) поставить  на поверхности , то получим 

где  - площадь поверхности , то есть с помощью верхнего интеграла первого рода можно вычислять площадь поверхности.

Кроме того, поверхностные интегралы первого рода используют при вычислении массы, координат центра массы, моменту инерции материальной поверхности с известной поверхностной плотностью распределения массы. Изучение соответственных формул по сути не отличается от вывода аналогических формул для материальной пластины (п. 1.6). 

Если на кусочно - гладкой поверхности  распределена масса с поверхностной плотностью   то:

а) масса материальной поверхности 

б) координаты центра массы поверхности: 

где   - статистические моменты поверхности  относительно плоскостей 

в) моменты инерции поверхности относительно осей координат и началу координат: 

Пример №299

Найти момент инерции относительно оси  части однородной  поверхности  (рис. 10.27), которое отсекается плоскостью 

 Находим 

Момент инерции 

Проекцию  поверхности  на плоскости  является круг  Переходя к полным координатам, получим 

Остальной интеграл найдем заменой переменной: 

Поверхностные интегралы второго рода 

Введем понятия стороны поверхности. Возьмем на гладкой поверхности  произвольную точку   проведем в ней нормаль  определенного направления и рассмотрим на поверхности  произвольный замкнутый контур, который выходит из точки    и возвращается в точку  не пересекая при этом границу поверхности . Переместим точку  по замкнутому контуру вместе с вектором  так, чтобы вектор  все время оставался нормальным к . 

При обходе заданного контура мы можем вернутся вернутся в точку  с тем самым ил противоположным направлением нормали. 

Если в произвольную точку   поверхности  после обхода произвольного замкнутого контура, размещенного на поверхности , который не пересекает ее границу, мы возвращаемся к начальному направлению нормали  то поверхность называют двусторонней. 

Если при обходе некоторого контура направление нормали изменяется на противоположный, то поверхность называют односторонней. 

Примерами двухсторонних поверхностей является плоскость, сфера, произвольная замкнутая поверхность без пересечений, произвольная поверхность, заданная уравнением   где  - функции, непрерывные в некоторой области  плоскости 

Примером односторонней поверхности является так называемый лист Мебиуса (рис. 10.45). Модель этой поверхности можно получить, если прямоугольную полоску бумаги  перекрутив один раз, склеить так, чтобы точка  сходилась с  а точка  -   с 

Двусторонней поверхностью называют ориентированной, а выбор определенной ее стороны ориентацией поверхности.  Направляя в каждой точке замкнутой поверхности нормали объема, ограниченного поверхностью, получим внутреннюю сторону поверхности и наоборот. Односторонние поверхности не ориентированы. 

Пусть  ориентирована поверхность, ограниченная контуром 

 который не имеет точек пересечение. Будем считать положительным то направление обхода контура  при котором наблюдатель, размещенный так, что направление нормали сходится с направлением от ног до головы при движении, оставляет поверхность слева от себя (рис. 10.46). Противоположное направление обхода называется отрицательным. 

Выясним теперь понятие поверхностного интеграла второго рода. 

Пусть  - гладкая поверхность, заданная уравнениями  и  - ограниченная функция, определенная в точках поверхности . Разобьем ее произвольно на  частей. Обозначим через   проекцию  - ной части поверхности    на плоскости  а через   плоскость  взятую со знаком плюс, если выбрана внешняя сторона поверхности  и со знаком минус, если выбрана внутренняя стороны поверхности . 

Выберем в каждой части  произвольную точку  и складываем сумму 

Выражение (97) называется интегральной суммой. Пусть  - максимальный диаметр поверхности 

Если при  интегральные суммы (97) имеют оконченную границу, которая не зависит ни от способа разбития поверхности , ни от выбора точек  то эту границу называют поверхностным интегралом второго рода обозначают так:     Следует, по определениям 

По определению поверхностного интеграла второго рода получается, что при смене стороны поверхности на противоположном интеграле изменяет знак, или изменяется знак 

Поверхность  можно также проецировать на координаты плоскости   и   Тогда получим еще два поверхностных интеграла  где  - функции, обозначенные в точках поверхности . Поскольку  (рис. 10.47), где  - элемент плоскости  - углы между нормалью к поверхности  и осями  соответственно, то справедливы такие формулы: 

На практике простейшим является поверхностный интеграл, который объединяет все названные, то есть 

Если, например, вектор   является скорость жидкости, то количество  жидкости, которая протекает через поверхность  за единицу времени, называется потоком вектора  через поверхность  и находится по формуле 

В этом состоит физическое содержание верхнего интеграла второго рода. Получается, что когда вектор  имеет другую природу, верхний интеграл имеет другое физическое содержание. 

Формула (99) выражает общий верхний интеграл второго рода через верхний интеграл первого рода. 

поверхностные интегралы второго рода вычисляются с помощью двойных интегралов. 

Пусть функция  непрерывная во всех точках гладкой поверхности , которая задана уравнениями   где область  - проекция поверхности  на плоскости  Выберем верхнюю сторону поверхности , где нормаль к поверхности образует с осью  острый угол, тогда  Поскольку   то сумму (91) можно записать в виде 

В правой части равенства (100) содержится интегральная сумма для функции  Эта функция непрерывная в области  потому интегрирована в ней. 

Перейдя к равенству (100) к границе  получим формулу 

которая выражает верхний интеграл второго рода при переменных  и  через двойной. Если выбирать нижнюю сторону поверхности, то полученный двойной интеграл берут со знаком "минус", потому, 

Аналогично, 

В формуле (102) гладкую поверхность  задано уравнением  в формуле (103) - уравнением  Знак "плюс" берем в формулах тогда, когда нормаль к поверхности образует соответственно с осью  а осью  острый угол, а знак "минус" - когда угол тупой;  - проекции поверхности  на плоскости  и    соответственно. 

Для вычисления общего интеграла (99) используют формулы (101) - (103), проектируя поверхность  на все три координаты плоскости. Таким образом, 

Правильность выбора знаков перед двойными интегралами можно проверить с помощью формулы 

которая обозначает единичный нормальный вектор к поверхности  Двойной знак в этой формуле соответствует двум сторонам поверхности . Из формулы (99) получается, что знак перед двойным интегралом сходится с знаком соответственного косинуса нормали  

 

Если поверхность   неоднозначно проектируется на какую - нибудь координатную плоскость, то эту поверхность разбивают на части, а интегралы (99) - на сумму интегралов к полученным частям поверхности . 

Пример №300

Вычислить поверхностный интеграл второго рода 

где  - внешняя сторона сферы  размещена в первом октанте. 

 Пусть   - проекции заданной поверхности на координатной плоскости. Эти четверти круга с центром в начале координат и радиусом 1;  тогда 

Пример №301

Вычислить интеграл 

если  - внешняя сторона треугольника, образованного пересечением плоскости  в координатными плоскостями (рис. 10.48). 

Найдем проекции поверхности  на координатной плоскости: 

Обозначим нормальный вектор  к поверхности :

Поскольку 

то перед двойным интегралом в формулах (101) и (102) нужно взять знак "плюс" , а перед двойным интегралом в формуле (103) - знак "минус". Следует, 

Формула Остроградского - Гаусса

Формула Остроградского - Гаусса устанавливает связь между верхним интегралом по замкнутой поверхности и тройным интегралом к пространственной области, ограниченной этой поверхностью. Эта формула является аналогом формулы Грина, которая, как известно, устанавливает связь криволинейного интеграла к замкнутому контуру с двойным интегралом к плоской области, ограниченной этим контуром. 

Пусть замкнутая область  ограничена замкнутой поверхностью   причем снизу и сверху ограничена гладкими поверхностями  и  уравнения которых  и  (рис. 10.49). Предположим, что проекцией области  на плоскость   является область  Пусть в области  обозначена непрерывную функцию  которую в этой области  имеет непрерывную производную  

Рассмотрим тройной интеграл 

В правой части этого равенства первый двойной интеграл запишем с помощью верхнего интеграла к внешней стороне поверхности  а второй двойной интеграл - по внешней стороне поверхности  Учитывая углы между нормалью  и осью  получим, 

Аналогично, предположим, что функции    непрерывные в области  то можно получить формулы: 

Складывая почленно равенство (104), (105) и (106), по получим формулы 

которую называют формулой Остроградского - Гаусса. Эта формула справедлива и для произвольной области  которую можно разбить на оконченное число областей, для которых выполняется равенства (104) - (106). 

С помощью формулы Остроградского - Гаусса удобно вычислять поверхностные интегралы к замкнутым поверхностям. 

Пример №302

Вычислить верхний интеграл  где  - внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями  (рис. 10.23). 

 Воспользуемся формулой (10): 

Формула Стокса

Формула Стокса устанавливает связь между верхними и криволинейными интегралами. Пусть  - поверхность, заданная уравнениями  причем функции  - непрерывные в области  - проекции  на плоскость   - контур, который ограничивает , а  - проекция контура  на плоскости  то есть  - граница области .

Выберем верхнюю сторону поверхности  (рис. 10.50). Если функция  непрерывная вместе со своими частичными производными первого порядка на поверхности , то справедлива формула 

 Преобразуем криволинейный интеграл, который содержится в левой части равенства (108). Поскольку контур  лежит на поверхности , то координаты его точек удовлетворяет уравнение  и по тому значение функции  в точках контура  равны значениям функции  в соответственных точках контура   Отсюда получается, что 

Применяем к найденному интегралу формулу Грина, получим 

 

Тут подынтегральная функция равна частичной производной к от сложенной функции  

Поскольку   - верхняя сторона поверхности, то есть  то нормаль имеет проекции  Но направляющие косинусы нормали пропорциональные соответственным проекциям, потому 

тогда 

Следует 

Аналогично можно доказать, что при соответственных условиях справедливы формулы: 

Складывая почленно равенства (108), (109) и (110), получим формулу 

которая называется формулой Стокса. С помощью формулы (99), которая связывает поверхностные интегралы первого и второго рода, эту формулу можно записать так: 

Формула Стокса дает возможность вычислять криволинейный интеграл в замкнутых контурах с помощью поверхностных интегралов. 

Пример №303

Вычислить с помощью формулы Стокса интеграл  где  - круг , а поверхность  - верхняя сторона полусферы  и обход контура  выполняется в положительном направлении. 

 Поскольку 

то с помощью формулы Стокса (111) получим 

Из формулы Стокса получается, что когда выполняются равенства 

то криволинейный интеграл по произвольному пространственному замкнутому контуру  равен нулю: 

А это означает, что в данном случае криволинейный интеграл не зависит от формы контура интегрирования. 

При выполнении условий (112) или (113) подынтегральное выражение 

является полным дифференциалом некоторой функции  Найти эту функцию можно по формуле (91). 

Кстати вы всегда можете заказать решение задач по высшей математике.

Лекции по предметам:

1. Математика
2. Алгебра
3. Линейная алгебра
4. Векторная алгебра
5. Геометрия
6. Аналитическая геометрия
7. Дискретная математика
8. Математический анализ
9. Теория вероятностей
10. Математическая статистика
11. Математическая логика

Учебник онлайн:

1. Рациональная дробь
2. Функция в математике
3. Наибольшее и наименьшее значения функции
4. Раскрытие неопределенностей
5. Дробно-рациональные уравнения
6. Дробно-рациональные неравенства
7. Прогрессии в математике - арифметическая, геометрическая
8. Единичная окружность - в тригонометрии
9. Определение синуса и косинуса произвольного угла
10. Определение тангенса и котангенса произвольного угла
11. Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
12. Функция y=sin x и её свойства и график
13. Функция y=cos x и её свойства и график
14. Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики
15. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа
16. Тригонометрические уравнения
17. Тригонометрические неравенства
18. Формулы приведения
19. Синус, косинус, тангенс суммы и разности
20. Формулы двойного аргумента
21. Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение
22. Корень n-й степени из числа и его свойства
23. Свойства и график функции y=ⁿ√x (n>1, n∈N)
24. Иррациональные уравнения
25. Иррациональные неравенства
26. Производная в математике
27. Как найти производную функции
28. Асимптоты графика функции
29. Касательная к графику функции и производная
30. Предел и непрерывность функции
31. Свойства функций, непрерывных в точке и на промежутке
32. Предел функции на бесконечности
33. Применение производной к исследованию функции
34. Приложения производной
35. Производные высших порядков
36. Дифференциал функции
37. Дифференцируемые функции
38. Техника дифференцирования
39. Дифференциальная геометрия
40. Логарифмическая функция, её свойства и график
41. Логарифмические выражения
42. Показательная функция, её график и свойства
43. Производные показательной и логарифмической функций
44. Показательно-степенные уравнения и неравенства
45. Показательные уравнения и неравенства
46. Логарифмические уравнения и неравенства
47. Степенная функция - определение и вычисление
48. Степень с целым показателем
49. Корень n-й степени
50. Тождества с корнями, содержащие одну переменную
51. Действия с корнями нечетной степени
52. Действия с корнями четной степени
53. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
54. Периодические дроби
55. Степень с рациональным показателем
56. Степень с действительным показателем
57. Логарифм - формулы, свойства и примеры
58. Корень из числа - нахождение и вычисление
59. Теория множеств - виды, операции и примеры
60. Числовые множества
61. Вектор - определение и основные понятия
62. Прямая - понятие, виды и её свойства
63. Плоскость - определение, виды и правила
64. Кривые второго порядка
65. Евклидово пространство
66. Матрица - виды, операции и действия с примерами
67. Линейный оператор - свойства и определение
68. Многочлен - виды, определение с примерами
69. Квадратичные формы - определение и понятие
70. Системы линейных уравнений с примерами
71. Линейное программирование
72. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
73. Исследование функции
74. Пространство R"
75. Неопределённый интеграл
76. Методы интегрирования неопределенного интеграла
77. Определённый интеграл
78. Кратный интеграл
79. Ряды в математике
80. Дифференциальные уравнения с примерами
81. Обратная матрица - определение и нахождение
82. Ранг матрицы - определение и вычисление
83. Определители второго и третьего порядков и их свойства
84. Метод Гаусса - определение и вычисление
85. Прямая линия на плоскости и в пространстве
86. Плоскость в трехмерном пространстве
87. Функция одной переменной
88. Производная функции одной переменной
89. Приложения производной функции одной переменной
90. Исследование поведения функций
91. Предел и непрерывность функции двух переменны
92. Дифференцируемость функции нескольких переменных
93. Несобственные интегралы
94. Дифференциальные уравнения первого порядка
95. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
96. Системы дифференциальных уравнений
97. Числовые ряды
98. Знакопеременные ряды
99. Степенные ряды
100. Элементы матричного анализа
101. Уравнение линии
102. Функции нескольких переменных
103. Комплексные числ
104. Координаты на прямой
105. Координаты на плоскости
106. Линейная функция
107. Квадратичная функция
108. Тригонометрические функции
109. Производные тригонометрических функции
110. Производная сложной функции
111. Пределы в математике
112. Функции многих переменных
113. Уравнения прямых и кривых на плоскости
114. Плоскость и прямая в пространстве
115. Определитель матрицы
116. Критерий совместности Кронекера-Капелли
117. Формулы Крамера
118. Матричный метод
119. Экстремум функции
120. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
121. Скалярное произведение и его свойства
122. Векторное и смешанное произведения векторов
123. Преобразования декартовой системы координат
124. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
125. Замечательные пределы
126. Непрерывность функций и точки разрыва
127. Точки разрыва и их классификация
128. Дифференциальное исчисление
129. Исследование функций с помощью производных
130. Формула Тейлора и ее применение
131. Интегрирование рациональных дробей
132. Интегрирование тригонометрических функций
133. Интегрирование тригонометрических выражений
134. Интегрирование иррациональных функций
135. Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение
136. Линии второго порядка
137. Полярные координаты
138. Непрерывность функции
139. Уравнения поверхности и линии в пространстве
140. Общее уравнение плоскости
141. Угол между плоскостями
142. Понятие о производной вектор-функции
143. Криволинейные интегралы
144. Двойные и тройные интегралы
145. Делимость чисел в математике
146. Обыкновенные дроби
147. Отношения и пропорции
148. Рациональные числа и действия над ними
149. Делимость натуральных чисел
150. Выражения и уравнения
151. Линейное уравнение с одной переменной
152. Целые выражения
153. Одночлены
154. Многочлены
155. Формулы сокращенного умножения
156. Разложение многочленов на множители
157. Системы линейных уравнений с двумя переменными
158. Рациональные выражения
159. Квадратные корни
160. Квадратные уравнения
161. Неравенства
162. Числовые последовательности
163. Предел числовой последовательности
164. Предел и непрерывность числовой функции одной переменной
165. Функции, их свойства и графики
166. Параллельность в пространстве
167. Перпендикулярность в пространстве
168. Векторы и координаты в пространстве
169. Множества
170. Рациональные уравнения
171. Рациональные неравенства и их системы
172. Геометрические задачи и методы их решения
173. Прямые и плоскости в пространстве
174. Интеграл и его применение
175. Первообразная и интегра
176. Уравнения и неравенства
177. Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
178. Уравнение
179. Метод математической индукции
180. Система координат в пространстве
181. Иррациональные числа
182. Действительные числа
183. Решение уравнений высших степеней
184. Системы неравенств
185. Квадратные неравенства
186. Точка, прямая и плоскость в пространстве
187. Тригонометрические функции произвольного угла
188. Теоремы синусов и косинусов
189. Система показательных уравнений
190. Непрерывные функции и их свойства
191. Правило Лопиталя
192. Вычисления в Mathematica с примерами