Выражения и уравнения - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Выражения и уравнения

Вы уже знаете, что такое буквенные выражения, и умеете их упрощать с помощью законов сложения и умножения. Например,

Пример:

Есть ли коэффициент в выражении ? Да. Он равен 1, поскольку

Вспомним, что преобразование выражения со скобками в выражение без скобок называется раскрытием скобок. Например:

Обратным действием в этом примере является вынесение общего множителя за скобки.

Слагаемые, содержащие одинаковые буквенные множители, называют подобными слагаемыми. С помощью вынесения общего множителя за скобки сводят подобные слагаемые:

Правила раскрытия скобок

Правила раскрытия скобок

1. Если перед скобками стоит знак , то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках сохраняют;
2. Если перед скобками стоит знак , то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках изменяют на противоположные.

Пример:

Упростите выражение: 1) ; 2)

Решение:

1. Перед скобками стоит знак , поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняются:

2. Перед скобками стоит знак , поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых изменяются на противоположные:

Для раскрытия скобок используют распределительное свойство умножения: . Если , то знаки слагаемых и не изменяют. Если , то знаки слагаемых и изменяют на противоположные.

Пример:

Упростите выражение: 1) 2)

Решение:

1. Множитель перед скобками является положительным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняем:

2. Множитель перед скобками является отрицательным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых изменяем на противоположные:

1. Слово «сумма» происходит от латинского summа, что значит «итог», «общее количество».
2. Слово «плюс» происходит от латинского plus, что значит «больше», а слово «минус» — от латинского minus, что значит «меньше». Знаки и используют для обозначения действий сложения и вычитания. Эти знаки ввёл чешский учёный И. Видман в 1489 г в книге «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев»(рис. 138).

Уравнения. Основные свойства уравнений

Вы уже знаете, что такое уравнение, корень уравнения. Вспомним основные формулировки.

Определение:

Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное, значение которого нужно найти.

Неизвестное число в уравнении обозначают буквой или , или и т.п. Например, запись является

уравнением, где — неизвестное и является искомым.

Определение:

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное числовое равенство, называется корнем уравнения.

Так, корнем уравнения является число , поскольку .

Уравнение может иметь больше одного корня. Например, уравнение имеет бесконечно много корней, так как любое число обращает уравнение в верное числовое равенство. С уравнениями, имеющими два, три или более корней, вы ознакомитесь позднее.

Уравнение может не иметь корней. Например, уравнение не имеет корней, так как не существует числа, которое в произведении с числом даёт число .

Определение:

Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что уравнение не имеет ни одного корня.

В 5 классе вы находили корень уравнения как неизвестный компонент арифметического действия. При решении более сложных уравнений опираются на свойства равенств. Рассмотрим основные из них.

Посмотрите на рисунок 139. Вы видите, что на левой чаше весов находится арбуз неизвестной массы, а на правой — гири массой 5 кг и 3 кг. Если на обе чаши весов положить по гире массой 3 кг, то весы останутся в равновесии (рис. 140). Понятно, что, сняв эти гири или поставив навесы одинаковые гири другой массы, снова получим равновесие на весах. Этот пример иллюстрирует следующее свойство равенств.

Определение: Если к обеим частям равенства прибавить (из обеих частей равенства вычесть) одно и то же число, то равенство не изменится.

Пример:

Решите уравнение: 1) .

Решение:

К левой и правой частям уравнения прибавим число 12 и упростим полученное равенство:

Решая уравнение, в левой его части «уединили неизвестное». Такой же результат получим, если число 12 перенесём из левой части в правую, изменив при этом его знак.

Определение:

Слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя знак этого слагаемого на противоположный.

Пример:

Можно ли переносить в другую часть уравнения слагаемое, содержащее неизвестное? Да.

Посмотрите на рисунок 141. Вы видите, что масса пакета муки равна 2 кг. Понятно, что масса трёх таких пакетов втрое больше (рис. 142). Этот пример иллюстрирует другое свойство равенств.

Определение: Если обе части равенства умножить (разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то равенство не изменится. Данное свойство используют для решения уравнений. Рассмотрим пример.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим на 3 обе части уравнения:

Основные свойства уравнений

Основные свойства уравнений

1. Корни уравнения не изменятся, если к обеим частям уравнения прибавить (из обеих частей уравнения вычесть) одно и то же число.
2. Корни уравнения не изменятся, если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же число, отличное от нуля.

Считают, что язык алгебры — это уравнения. «Чтобы решить вопросы. относящиеся к числам или к абстрактным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», — писал великий И. Ньютон (1643-1727) в своём учебнике по алгебре, названном «Общая арифметика».

Применение уравнений к решению задач

В 5 классе с помощью уравнений вы решали задачи на нахождение суммы двух величин или их разности.

В 6 классе будем рассматривать особый вид задач — на равенство двух величин. В таких задачах тоже сравнивают две величины, например, количество книг на первой и второй полках. Значения же выражений с этими двумя величинами приравнивают.

Пример:

На первой полке книг в 3 раза больше, чем на второй. Если с первой полки переставить на вторую 12 книг, то на обеих полках их станет поровну. Сколько книг на каждой полке?

Решение:

Составим краткую запись задачи в виде таблицы 23

Пусть — количество книг на второй полке, тогда — количество книг на первой полке. Если с первой полки переставить на вторую 12 книг, то на первой полке их станет , а на второй — . По условию, это количество книг одинаково. Составим уравнение: . Решим уравнение: . Тогда . Следовательно, на первой полке 36 книг, а на второй — 12 книг.

Первым произведением, содержащим исследование алгебраических вопросов, считают трактат «Арифметика» Диофанта (середина IV в.). Из 13 книг, составляющих полное собрание трудов Диофанта, до нас дошло только 6. В них предложено решение сложных алгебраических задач. Основная часть трактата — сборник задач (в первых шести книгах их 189) с решениями и удачно подобранными иллюстрациями к способам решения.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Вы знаете, что прямая — это геометрическая фигура. Две прямые могут по-разному размещаться на плоскости. В 6 классе вы узнаете о перпендикулярных и параллельных прямых.

Перпендикулярные прямые

Посмотрите па перекрёсток дорог на рисунке 143. Вы видите, что дороги напоминают пересекающиеся прямые, которые образуют четыре прямых угла. В этом случае говорят, что прямые пересекаются под прямым углом. В тетради по математике клеточки образуются перпендикулярными прямыми.

Определение:

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 144 изображены прямые и , которые пересекаются в точке О под прямым углом, то есть являются перпендикулярными.

Записывают: , а на рисунке обозначают знаком прямого угла (см. рис. 145). Говорят: «Прямая перпендикулярна прямой ».

Если прямая перпендикулярна прямой , то и прямая перпендикулярна прямой . Иначе говорят: прямые и — взаимно перпендикулярны.

Пример:

Бывают ли перпендикулярными отрезки? лучи? Да, если они являются частями соответствующих перпендикулярных прямых (рис. 145—146).

Для построения перпендикулярных прямых используют транспортир или угольник. На рисунке 147 вы видите, как строили прямую , перпендикулярную прямой , с помощью транспортира, а на рисунке рис. 148 — с помощью угольника.

• Заказать решение задач по высшей математике

Параллельные прямые

Посмотрите на рисунок 149. Вы видите рельсы трамвайных путей, напоминающие прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Это пример параллельных прямых. Вокруг нас много других примеров параллельных прямых. Так, в тетради в клеточку горизонтальные линии параллельны. То же самое можно сказать и про вертикальные линии. Противоположные края парты, противоположные стороны оконной рамы, троллейбусные штанги также параллельны.

Определение:

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 150 изображены параллельные прямые и .

Записывают: . Говорят: «Прямая параллельна прямой ».

Если прямая параллельна прямой , то и прямая параллельна прямой . Однако для параллельных прямых термин «взаимно параллельные» не применяют.

Пример:

Бывают ли параллельными лучи? отрезки? Да, если они являются частями соответствующих параллельных прямых.

На рисунке 151 вы видите, как с помощью линейки и угольника через точку провели прямую , параллельную прямой .

Название «перпендикулярный» происходит от латинского слова «perpendicufaris», которое означает «отвесный». Знак предложил Пьер Еригон (1580—1643) — французский математик и астроном.

Название «параллельный» происходит от греческого слова «раralelos» — «идущий рядом». Символ параллельности известен с античных времён Его использовали Герои и Папп Александрийский. Сначала символ был похож на нынешний знак равенства, но с появлением последнего, чтобы избежать путаницы, символ был повёрнут вертикально Уильямом Отредом в 1677 году

Координатная плоскость

Вы уже знаете, что такое координатная прямая (рис. 162). На ней точка — начало отсчёта, стрелка показывает направление возрастания чисел, а цена деления составляет одну единицу.

Однако на практике часто приходится пользоваться ориентирами не только вдоль прямой, но и на плоскости.

Вы знаете, что в игре «Морской бой» положение корабля определяют с помощью «координат» из цифр и «координат» из букв (рис. 163). В зависимости от выбранной буквы передвигаются на определённое количество клеточек вправо или влево, а цифра указывает, на сколько клеточек нужно сместиться вверх или вниз. Итак, место корабля на поле боя определяют двумя « координатами».

Чтобы определить место в зале кинотеатра, также нужно знать две «координаты»: номер ряда и номер кресла в этом ряду (рис. 164). Причём порядок «координат» в такой паре является строго определённым. Действительно, например, пары чисел 3 и 12 и 12 и 3 направят нас в совершенно разные места зала: в 3-й ряд на 12-е место или в 12-й ряд на 3-е место. В отличие от предыдущего примера, для ориентирования в зале кинотеатра порядок координат не меняют, поскольку неудобно сначала искать номер места в ряду, а лишь затем — сам ряд.

Итак, чтобы охарактеризовать размещение точки на плоскости, нужно задать две координатные прямые с равными единичными отрезками, одна из которых задаёт направление вправо-влево, а вторая — вверх-вниз. Для этого координатные прямые изображают перпендикулярно друг к другу и так, чтобы начала отсчёта на них совпадали (рис. 165). Одну из этих прямых (как правило, горизонтальную) считают первой, а другую — второй. Такая пара координатных прямых образует прямоугольную систему координат.

Первую координатную прямую называют осью абсцисс. Её обозначают . Вторую координатную прямую называют осью ординат. Её обозначают . Общее начало отсчёта координатных прямых называют началом координат (рис. 166).

Плоскость с заданной на ней системой координат называют координатной плоскостью.

Каждой точке на плоскости можно поставить в соответствие пару чисел, взятых в определённом порядке, и наоборот, каждой паре чисел соответствует единственная точка координатной плоскости. Такая упорядоченная пара чисел называется координатами точки в данной системе координат. Координату по оси абсцисс называется абсциссой точки, а координату по оси ординат — ординатой точки.

Кратко записывают: . Читают: «Точка с координатами и », «Точка с координатами 3 и 2» или «3 — абсцисса точки , 2 — её ордината».

Пример:

На координатной плоскости постройте точку: 1) ; 2) .

Решение:

Введём прямоугольную систему координат на плоскости (рис. 167).

1. У точки абсцисса равна 3, а ордината — 2. На оси абсцисс отметим точку, соответствующую числу 3, а на оси ординат — точку, соответствующую числу 2. Через точки, построенные на осях координат, проведём две прямые, параллельные осям (рис. 167). Точка пересечения построенных прямых— искомая точка .

2. Поскольку ордината точки равна 0, то эта точка лежит на оси абсцисс и соответствует числу 5 на этой оси.

Обратите внимание:

• точка лежит на оси абсцисс, если её ордината равна нулю, и наоборот;
• точка лежит на оси ординат, если её абсцисса равна нулю, и наоборот;
• начало координат — точка , имеет координаты .

Пример:

Как определить координаты точки, построенной на координатной плоскости, например, точки на рисунке 168? Для этого нужно через эту точку провести прямые, параллельные осям координат. Прямая, параллельная оси ординат, пересекает ось абсцисс в точке, которая соответствует числу . Значит, первой координатой этой точки является число . Прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает ось ординат в точке, которая соответствует числу -4. Значит, другой координатой точки является число . Тогда точка имеет координаты и , то есть .

Координатные оси разбивают координатную плоскость на четыре части. Их называют координатными четвертями и обозначают так: I четверть, II четверть, III четверть, IV четверть (рис. 169).

Точки I четверти имеют положительную абсциссу и положительную ординату. И наоборот, если абсцисса и ордината точки положительные, то она лежит в I четверти, как, например, точка . Аналогично рассуждая, можно выяснить, что точки II четверти имеют отрицательную абсциссу и положительную ординату, точки III четверти — отрицательную абсциссу и отрицательную ординату, а точки IV четверти — положительную абсциссу и отрицательную ординату.

На рисунке 170 показаны знаки координат точек, лежащих в соответствующих четвертях.

Положение любой точки на поверхности Земли определяется двумя координатами: географической широтой и географической долготой.

Географические координаты ввёл древнегреческий учёный Гиппарх во И в. до н.э. Географические координаты применяют для определения положения точек земной поверхности относительно экватора и начального (нулевого) меридиана. Например, Киев имеет следующие географические координаты: восточной долготы, северной широты.

Графики зависимостей между величинами

Вы знаете, что стоимость товара зависит от его количества: чем большее количество товара покупают, тем большей будет его стоимость. Например, если цена одного килограмма конфет составляет 35 грн, то за 2 кг нужно заплатить 70 грн, за 3 кг — 105 грн и т.п. Вы знаете, что такое соответствие можно наглядно отобразить на диаграмме (рис. 174). Однако по диаграмме трудно определить, сколько стоит 2,5 кг конфет или иное их количество. Изобразим данные о стоимости конфет не в виде столбиков, а вертикальными отрезками в системе координат (рис. 175). Поскольку величины «масса конфет» и «стоимость покупки» являются прямо пропорциональными, то верхние концы столбиков диаграммы можно соединить отрезками. Получим линию, показывающую, как изменяется стоимость покупки в зависимости от массы конфет. Такая линия называется графиком зависимости величины «стоимость покупки» от величины «масса конфет».

Обратите внимание:

все точки графика зависимости прямо пропорциональных величин лежат на одной прямой.

Вы знаете, что расстояние и время на его преодоление являются прямо пропорциональными величинами. Поэтому все точки графика движения лежат на одной прямой.

Пример:

Поезд Харьков — Львов выходит из Харькова около и прибывает во Львов около . Скорость поезда составляет , на маршруте он делает 5 остановок, запланированных через каждые 3 часа. На рисунке 176 показан график движения этого поезда.

1) В котором часу новых суток поезд делает первую остановку? Какая это станция?

2) Что показывает число на оси абсцисс? А число ?

3) На каких расстояниях от первой остановки поезд останавливается на других станциях?

4) Что показывает число на оси ординат? А число ?

5) Каковы координаты конечных точек маршрута?

Решение:

По условию задачи, движение поезда начинается в , а заканчивается в следующего дня.

1. Начало новых суток поезд встречает недалеко от станции Лубны, а первую остановку делает в именно на этой станции.

2. Поскольку движение поезда началось в предыдущие сутки, то по оси абсцисс время его отправления из Харькова можно выразить отрицательным числом . Действительно, в предыдущих суток до начала новых суток должно пройти именно . Аналогично, времени остановки поезда в Полтаве на оси абсцисс соответствует отрицательное число.

3. Остановки запланированы через каждые . Поскольку скорость поезда составляет , то за он преодолевает . Следовательно, поезд останавливается на таких расстояниях от Полтавы: .

4. При помощи отрицательных чисел и на оси ординат показано, что в предыдущих суток поезд находился на расстоянии 300 км. не доезжая до станции Лубны, а в предыдущих суток — на расстоянии , не доезжая до этой станции.

5. Конечные результаты точки маршрута поезда имеют координаты .

Пример:

Обязательно ли выбирать конечные точки маршрута для построения графика движения? Нет. График можно построить по любым двум его точкам. Но концы маршрута нужно отметить обязательно.

Обратите внимание:

график движения является прямой (или её частью), поэтому такой график можно построить по любым двум его точкам.

С помощью графиков можно решать целый класс задач. Рассмотрим задачу.

Пример:

Из пунктов и , расстояние между которыми составляет 420 км. навстречу друг другу выехали два автомобиля. Красный автомобиль выехал в 6 ч из пункта и прибыл в пункт в 15 ч. Синий автомобиль выехал в 5 ч из пункта и прибыл в пункт в 11 ч. В котором часу встретятся автомобили?

Решение:

Построим в прямоугольной системе координат графики движения автомобилей (рис. 177). Красный отрезок — график движения красного автомобиля, синий — синего автомобиля. Точке пересечения этих отрезков соответствует время — 9 ч. Итак, автомобили встречаются в 9 ч.