Вычислительные методы в экономике - суть и моделирование

Содержание:

Математика давно и успешно служит людям. Потребности всей практической деятельности человека, науки и техники постоянно ставят перед математикой новые задачи и стимулируют ее развитие. Прогресс в области математики, в свою очередь, повысил эффективность математических методов, расширил сферу их применения и тем самым способствовал общему научно-техническому прогрессу и развитию производительных сил. Чтобы противостоять историческому мифу, не будет преувеличением сказать, что мир стоит не на трех китах, а на двух - математике и экономике. Математика является основой всех точных наук, в то время как экономика в своих двух функциях - как экономическая система и как наука - создает материальные условия для существования человека и помогает людям понять "то, что стоит" в жизни вокруг них.

Экономическая математика - это не только количественная оценка, но и использование числовых примеров для иллюстрации определенных экономических предложений и теорий. Речь идет об изучении экономических проблем с помощью математики, использовании числового материала для выявления экономических зависимостей и закономерностей и принятия на этой основе различного рода решений; о появлении на стыке экономики, математики и кибернетики ряда научных и академических дисциплин, получивших обобщенное название "экономико-математические методы". Вот некоторые из таких дисциплин: эконометрика, экономическая кибернетика, математическая экономика.

Математические методы в современных экономических исследованиях

Сегодня математический метод более востребован экономической наукой. Благодаря энергичному развитию экономико-математических методов, экономисты добились фундаментального прорыва в новых экономических знаниях. В то же время можно выделить некоторые основные пути развития современных экономико-математических методов.

Математическое моделирование экономических процессов по существу является основным инструментом применения математики в изучении экономических процессов. Большое разнообразие экономико-математических моделей, используемых с более или менее успешным решением конкретных экономических задач, является лучшим доказательством эффективности метода математического моделирования в экономике.

"Экономические и математические модели диалектически сочетают в себе дедуктивный подход и эксперимент, абстрактный и конкретный, логический и чувственный, невизуальный и визуальный". Модели выступают связующим звеном между теорией и реальностью, между экономикой и математикой, между количеством и качеством".

Математическая экономика восходит к математической школе маргиналов конца XIX века и вполне может быть истолкована как особая математическая школа или особое математическое направление. Главной особенностью этого направления было стремление к математической аксиоматизации экономики - стремление, которое, однако, было реализовано лишь частично.

"Математическая экономика" (математическая экономика) - это совокупность научных направлений, развивающих экономическую теорию на основе аксиоматического метода: Постулаты формализуются в виде математических отношений, а полученные конструкции моделей и их обобщения исследуются экономическими средствами".

Современная математическая экономика изучает самые разные темы: оптимальное распределение ресурсов, научно-технический прогресс, теория экономического равновесия и другие проблемы. Математическая экономика в данном случае приводит исследователя только к формальным и логически правильным выводам с использованием математических инструментов, а содержательная интерпретация моделей математической экономики выходит за ее рамки - в области теоретической и эмпирической экономики.

Методы расчета - это методы решения экономических задач в числовой форме.

Суть расчётных методов

Методы расчета подразумевают представление исходных данных экономической задачи и их решение в виде числа или набора чисел.

Большинство вычислительных методов связано с некой математической программой. Они основаны на методах решения систем линейных уравнений, интерполяции и аппроксимации функций, численного интегрирования, численного решения систем нелинейных уравнений, численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, численного решения частных производных уравнений и решения задач оптимизации.

Основные требования к вычислительному алгоритму:

• Алгоритм должен обеспечивать одно решение с заданным количеством шагов с определенной точностью или выводить невозможность его получения;
• Стабильность вычислительного алгоритма;
• Минимальная сложность вычислительного алгоритма.

Математическое моделирование в экономике

Экономическая математическая модель - это математическое описание социально-экономической системы и процессов, происходящих в ней.

Основной целью таких моделей является проведение анализа и прогнозирования, а также выбор оптимального решения в различных областях экономики. Таким образом, макроэкономическая модель описывает экономику в целом со сложным взаимодействием материальных и финансовых показателей. Микроэкономическая модель описывает взаимодействие функциональных и структурных элементов экономики (предприятий и фирм).

Разработка экономико-математической модели - это сложный, длительный процесс, включающий в себя несколько этапов:

• Определение основной цели моделирования объекта, формулирование условий экономической проблемы.
• Построение концептуальной модели с допущениями и упрощениями, позволяющими исключить те параметры объекта, влияние которых незначительно.
• Построение самой математической модели: Введение в описание математических символов и обозначений, определение выходных и результирующих данных, математическое представление цели моделирования.
• Выбор алгоритма решения с использованием вычислительных методов.
• Программная реализация модели с учетом выбранного вычислительного алгоритма.
• Анализ результатов, сравнение с теоретическим прогнозом и практическими данными.

Результат математического моделирования может быть использован при анализе, прогнозировании, поиске и выборе оптимального решения экономической задачи.

Методика

Все экономические задачи, требующие использования вычислительных методов, могут быть решены в определенном порядке.

Первоначальная экономическая задача заменяется другой задачей - вычислительным алгоритмом. Основными требованиями к вычислительному алгоритму являются высокая точность, экономическая эффективность и стабильность. При переходе к дискретной модели могут возникать ошибки аппроксимации, а при выполнении расчетов могут возникать ошибки округления, поэтому реальные вычислительные алгоритмы требуют анализа ошибок и стабильности вычислительных алгоритмов.

Современная наука в решении экономических задач требует формулирования математической модели в виде дифференциальных и интегральных уравнений функции непрерывного аргумента. Для перехода от непрерывных к дискретным математическим моделям используется замена функций непрерывного аргумента на функции дискретного аргумента. В полученном уравнении конечной разности производная и интеграл представляют собой конечную сумму и разностное отношение, соответственно. Полученная модель представляет собой систему алгебраических уравнений, решение которой с высокой точностью требует вычислительного алгоритма, который может быть реализован на вычислительных машинах. Для решения больших систем следует использовать собственные значения и векторы матриц, приведение нелинейных систем уравнений к линейным. Некоторые экономические модели предполагают использование прямой статистической выборки или крупных объектов. Кроме того, построена нерегулярная система, для которой вычислительный метод совмещен с теорией графов. Нерегулярно сформулированные проблемы могут быть классифицированы в отдельный класс.

Вычислительные алгоритмы содержат параметры, не входящие в исходные параметры задачи. Выбор этого параметра позволяет свести воедино решение первой и второй задач. Для решения различных классов экономических задач могут использоваться различные методы расчета. В зависимости от метода дискретизации методы расчета могут быть проекционным и конечно-разностным, а в зависимости от метода решения - прямым и итерационным. Методы конечных разностей предполагают задачу определения значения функции в дискретном наборе точек, а методы проекции представляют собой линейную комбинацию элементов. Дискретную функцию в этом случае можно рассматривать как линейную комбинацию полиномов. Особенностью прямых методов является их слабая стабильность, итерационные методы имеют более высокую стабильность и более быструю конвергенцию.

Неточности в реализации алгоритма, вызванные округлением в вычислениях, не могут существенно изменить его свойства. Следует помнить, что вычислительные программы выполняют только четыре важные арифметические операции. При этом точность решения должна быть выше ожидаемой точности экономического эксперимента. Долгое время исследователи не учитывали ошибки округления при определении условий и критериев роста ошибок. Потребность в гарантированной оценке точности реального расчета привела к появлению интервального анализа. Оптимальный алгоритм имеет минимальную погрешность или количество операций для заданного уровня погрешности.