
Внешний угол треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения
Внешний угол треугольника:
Углы треугольника называются еще его внутренними углами. Помимо внутренних углов, у треугольника есть и внешние углы.
Определение. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с его внутренним углом.
На рисунке 237, а углы ВСК, ABM, CAN — внешние, так как каждый из них является смежным с одним из внутренних углов треугольника. При каждой вершине треугольника один угол внутренний и два внешних. На рисунке 237, б угол 1 — внутренний, углы 2 и 3 — равные внешние углы. Угол 4 не является внешним, так как он не является смежным с внутренним углом 1.
Дано:
Доказать: 4 =
1 +
2.
Доказательство:
Так как сумма углов треугольника равна 180°, то
l +
2 +
3 = 180°.
Так как сумма смежных углов равна 180°, то3 +
4 = 180°.
Тогда Отняв от обеих частей равенства
3, получим
1 +
2 =
4. Теорема доказана.
Следствие.
Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Пример:
Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.
Доказательство:
Пусть в АВС АВ=ВС, ВМ — биссектриса внешнего угла КВС,
1 =
2 =
KBC (рис. 239).
По свойству внешнего угла треугольника KBC =
3 +
4. Так как
АВС равнобедренный, то
3=
4=
KBC. Поэтому
2 =
4. Поскольку внутренние накрест лежащие углы 2 и 4 равны (при прямых ВМ и АС и секущей ВС), то прямые ВМ и АС параллельны.
Пример:
Доказать, что сумма углов А, В, С, D и Е «звездочки» равна 180° (рис. 240).
Решение:
Рассмотрим АМК. Сумма его углов равна 180°. Угол АМЕ — внешний для
ЕМС, поэтому
AME =
C +
E.
Аналогично, угол АКВ — внешний для KBD, поэтому
AKB =
B +
D.
Так какA +
AMK +
AKM = 180°, то
A + (
C +
E) + (
B +
D) = 180°.
Геометрия 3D
Пример:
DABC — правильная треугольная пирамида, точка К — середина ребра DC, AKB = 50°. Найдите
KAB (рис. 244).
Решение:
Так как пирамида правильная, то треугольники ADC и BDC — равные равнобедренные, AD = BD, BD = CD, ADC =
BDC. Тогда
ADK =
BDK по двум сторонам и углу между ними. Отсюда АК = ВК,
АКВ — равнобедренный,
KAB = 65°.
Ответ: 65°.
Рекомендую подробно изучить предметы: |
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Свойство точек биссектрисы угла
- Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
- Четырехугольник и его элементы
- Четырехугольники и окружность
- Признаки равенства треугольников
- Признаки равенства прямоугольных треугольников
- Соотношения в прямоугольном треугольнике
- Сумма углов треугольника