Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Содержание:

Определение: Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки, и частью плоскости, которую они ограничивают.

Два угла называются равными, если их можно совместить наложением.

Биссектрисой угла называется луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла.

Определение. Развернутым углом называется угол, стороны которого являются дополнительными лучами.

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

На рисунке 56 луч АК — биссектриса угла ВАС и Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

На рисунке 57 угол ABC — развернутый, лучи ВА и ВС — дополнительные. Другая (незакрашенная) полуплоскость относительно прямой АС также задает развернутый угол ABC.

Углы измеряются в градусах, минутах, секундах.

Развернутый угол равен 180°; Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения часть развернутого угла называется градусом и обозначается Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения часть одного градуса называется минутой и обозначается 1'; Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения часть минуты называется секундой и обозначается 1".

Угол, равный 5 градусов 20 минут и 35 секунд, записывается так: 5°20'35".

Вместо «градусная мера угла равна 20°» часто говорят «угол равен 20°», вместо найти «градусную меру угла» говорят «найти угол».

Определения

Определение: Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки, и частью плоскости, которую они ограничивают.

Определение: Угол, равный 90°, называется прямым; угол, меньший 90°, — острым; угол, больший 90°, но меньший 180°, — тупым; угол, равный 360°, называется полным (его стороны совпадают).

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

На рисунке 58 последовательно изображены: острый угол, равный 60°; прямой угол, равный 90°; тупой угол, равный 120°; угол, равный 270°; и полный угол, равный 360°.

Градусная мера угла является его важной характеристикой. Свойства градусной меры угла: любой угол имеет градусную меру, выраженную некоторым положительным числом; равным углам соответствуют равные градусные меры, а большему углу — большая градусная мера. И наоборот.

Аксиомы

Аксиома измерения углов. Если внутри угла из его вершины провести луч, то он разобьет данный угол на два угла, сумма градусных мер которых равна градусной мере данного угла.

Аксиома откладывания углов. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол данной градусной меры, и притом только один.

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

На рисунке 59 луч AD проходит внутри угла ВАС. По аксиоме измерения углов Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения Например, если из вершины развернутого угла АОВ (рис. 60) провести ЛУЧ ОС, который составит со стороной ОВ угол 50°, то со стороной OA луч ОС составит 180° - 50° = 130°.

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Два луча с общим началом задают на плоскости два угла. В дальнейшем будем рассматривать меньший из этих двух углов (если они неразвернутые). Такой угол меньше 180°.

Пример №1

Внутри угла ВАС, равного 114°, из его вершины проведен луч АЕ. Угол ВАЕ в 2 раза больше угла ЕАС. Найти величину угла ВАЕ.

Решение:

Пусть Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения Тогда Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения (рис. 61).

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

По аксиоме измерения углов Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решенияУгол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Тогда Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решенияУгол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Ответ: 76о

Замечания. 1. Возможен другой способ записи решения, когда рядом с буквой Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения пишут знак градуса: Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения Тогда в уравнении знак градуса писать не нужно: Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

2. В дальнейшем при решении задач не будем ссылаться на аксиому измерения углов.

Пример №2

Внутри угла проведены лучи BD и BF (рис. 62).

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Найти величину угла DBF, если:

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решенияУгол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решенияУгол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Решение:

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения Если сложить углы ABF и CBD, то получим угол ABC плюс угол DBF.

Отсюда Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решенияУгол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Ответ: Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Пример №3

Луч AD делит угол ВАС на два угла BAD и CAD. Доказать, что угол между биссектрисами АК и АЕ углов BAD и CAD равен половине угла ВАС (рис. 63).

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Доказательство:

Так как АК иАЕ — биссектрисы, то Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения Тогда Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Следовательно, Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения Что и требовалось доказать.

Замечание. В данной задаче мы доказали свойство: «Если внутри угла из его вершины провести луч, то угол между биссектрисами полученных углов равен половине данного угла».

Геометрия 3D

В пространстве при пересечении двух плоскостей образуются двугранные углы. Две полуплоскости с общей границей являются гранями такого двугранного угла, а их граница — его ребром. Измеряется двугранный угол величиной линейного угла, образованного двумя лучами, проведенными в каждой из полуплоскостей из точки на ребре двугранного угла перпендикулярно этому ребру. На рисунке 69 ZABC — линейный угол изображенного двугранного угла.

Геометрия 3D

В пространстве при пересечении двух плоскостей образуются двугранные углы. Две полуплоскости с общей границей являются гранями такого двугранного угла, а их граница — его ребром. Измеряется двугранный угол величиной линейного угла, образованного двумя лучами, проведенными в каждой из полуплоскостей из точки на ребре двугранного угла перпендикулярно этому ребру. На рисунке 69 Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения — линейный угол изображенного двугранного угла.
Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Смежные углы. Вертикальные углы

Определение. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами.

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Если на рисунке 70 лучи OA и ОВ дополнительные, то углы АОС и ВОС — смежные.

Теорема (свойство смежных углов). Сумма смежных углов равна 180°.

Дано: Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения — смежные.

Доказать: Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Доказательство:

Из определения смежных углов следует, что лучи OA и ОВ являются дополнительными и поэтому образуют развернутый угол АОВ, равный 180°. Луч ОС проходит между сторонами этого угла, и по аксиоме измерения углов Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения Поэтому Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения. Теорема доказана.

Следствия.

  1. Если смежные углы равны, то каждый из них прямой.
  2. Если два угла равны, то равны и смежные с ними углы.

Замечание. Все теоремы курса геометрии 7—9 классов описывают свойства фигур на плоскости.

Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами к сторонам другого.

При пересечении двух прямых АС и DB в точке О (рис. 71) получим, что лучи OA и ОС, О В и OD — дополнительные. Поэтому углы AOD и BОС — вертикальные. Углы АОВ и DOC также вертикальные.

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Теорема (свойство вертикальных углов). Вертикальные углы равны.

Дано: Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения — вертикальные (рис. 72).

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Доказать: Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Доказательство:

Углы 1 и 3 смежные, так как лучи OA и OD — дополнительные по определению вертикальных углов. По свойству смежных углов Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения Углы 2 и 3 также смежные, Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Так как Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Теорема доказана.

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется меньший из образованных ими углов. Если при пересечении прямых АВ и CD (рис. 73) Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения то Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решенияУгол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решенияУгол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решенияУгол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения как вертикальные. Угол между прямыми АВ и CD равен 30°. Говорят, что прямые пересекаются под углом 30°.

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

При пересечении двух прямых образуются четыре угла (не считая развернутых). Если один из них 90°, то и остальные по 90° (докажите самостоятельно). Говорят, что прямые пересекаются под прямым углом.

Угол между параллельными прямыми считается равным 0°.

Пример №4

Смежные углы относятся как 2:3. а) Найти величину каждого из углов, б) Определить, сколько процентов развернутого угла составляет меньший угол.

Решение:

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

а) Пусть Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения — данные смежные углы (рис. 74). Согласно условию Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения (градусную меру одной части принимаем за Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения). По свойству смежных углов

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения то есть Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

б) Меньшим является Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения а 72° от 180° составляют Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Ответ: 72°, 108°; 40 %.

Пример №5

а) Найти угол между биссектрисами ОК и ОМ смежных углов ВОС и АОС (рис. 75), если Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения б) Доказать, что биссектрисы смежных углов образуют прямой угол.

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Решение:

а) Если Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решенияУгол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решенияУгол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

б) Так как ОМ и ОК — биссектрисы, то

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения Найдем градусную меру Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решенияУгол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решенияПо свойству смежных углов Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения Тогда Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения. Что и требовалось доказать.

Замечание. Можно было сослаться на ключевую задачу 3* к § 5.

Пример №6

Доказать, что биссектрисы вертикальных углов образуют развернутый угол.

Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

Решение:

а) Пусть ОЕ и ОК — биссектрисы вертикальных углов АОС и BOD (рис. 76). Докажем, что Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения — развернутый. Известно, что биссектриса делит угол пополам. Так как вертикальные углы равны, то равны и их половины. Поэтому Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения

б) Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения так как лучи OA и ОВ дополнительные, и поэтому Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения — развернутый. Заменив в последнем равенстве Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения на равный ему Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения получим Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения Отсюда следует, что Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения — развернутый.

Замечание. Из решения задачи следует свойство: если Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения — развернутый и Угол - определение, виды, как обозначают с примерами вычисления и решения— вертикальные.