Тригонометрические уравнения - формулы и примеры с решением

Содержание:

При изучении физических процессов, связанных с гармоническими колебаниями, рассматривают функцию

Например.

Одна из задач, которую решают при изучении процесса колебания, заключается в том, чтобы найти моменты времени в которые амплитуда колебания достигает некоторого значения, например равного 2. Для решения этой задачи нужно решить уравнение: Это уравнение относится к тригонометрическим.

Рассмотрим методы решения тригонометрических уравнений.

Что такое тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения — это уравнения вида

Например, уравнения являются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Уравнение sin x=a

1. При или уравнение не имеет корней, так как множеством значений функции является промежуток Например, уравнения не имеют корней.
2. Рассмотрим частные случаи решения уравнения

а) Решим уравнение Синус числа равен нулю (т. е. ордината соответствующей числу точки равна нулю) только в двух точках единичной окружности (рис. 104). Эти точки получены из точки в результате поворотов на углы или

Таким образом, получим, что при

б) Решим уравнение Синус числа равен 1 для поскольку ордината точки равна 1 (рис. 105). Учитывая периодичность функции получим, что

в) Решим уравнение Синус числа равен -1 для поскольку ордината точки равна -1 (рис. 106). В соответствии со свойством периодичности функции синус получим, что все решения уравнения это числа вида

3. Решим уравнение или

Рассмотрим решение уравнения на промежутке равном периоду функции

На промежутке возрастания функции принадлежащем этому периоду, существует единственное значение аргумента, при котором значение функции равно это (рис. 107). На промежутке убывания функции из этого периода существует единственное значение аргумента, Рис. 107 при котором значение функции равно это (см. рис. 107). Учитывая периодичность функции получим все решения этого уравнения:

Запишем полученные решения в виде

и объединим эти две формулы в одну: Из нее при четном получаем формулу (1), а при нечетном — формулу (2).

Таким образом, получены все решения уравнения при любых значениях

Пример №1

Решите уравнение:

Решение:

а) Так как то уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Умножим обе части этого уравнения на 5 и получим:

Ответ:

Разделим обе части этого уравнения на 3 и получим:

Ответ:

г) Так как то для решения уравнения воспользуемся формулой корней тригонометрического уравнения Тогда Разделим обе части этого уравнения на 2 и получим:

Ответ:

д) Так как то по формуле корней тригонометрического уравнения получим:

Ответ.

Уравнение cos x=a

1. При уравнение не имеет корней, так как множеством значений функции является промежуток

Например, уравнения не имеют корней.

2. Частные случаи решения уравнения отмечены на единичной окружности (рис. 108) и приведены в таблице.

3. Решим уравнение т. е. для или

Рассмотрим решение уравнения на промежутке

Для существует единственное значение аргумента, при котором значение функции равно это оно является единственным решением уравнения на этом промежутке (рис. 109).

Так как функция четная, то также является решением этого уравнения.

Учитывая периодичность функции получим все решения этого уравнения:

Таким образом, получены все решения уравнения при любых значениях

Представим их в виде таблицы.

Пример №2

Решите уравнение:

Решение:

а) Так как то уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Ответ:

Ответ:

г) Для решения уравнения воспользуемся четностью функции косинус и получим уравнение

Так как то для решения уравнения применим фор-мулу корней тригонометрического уравнения и получим

Ответ:

д) Так как то по формуле корней тригонометрического уравнения получим:

Ответ:

Уравнение tg x=a

Множеством значений функции является промежуток

Рассмотрим решение уравнения на промежутке При любом на промежутке существует единственное значение аргумента, при котором значение функции равно это оно является единственным решением уравнения на этом промежутке (рис. 110). Учитывая периодичность функции получим все решения этого уравнения:

Пример №3

Решите уравнение:

Решение:

а) По формуле получим:

Ответ: Ответ:

в) Для решения уравнения воспользуемся нечетностью функции тангенс и получим: Тогда

Ответ:

Ответ:

Уравнение ctg x=a

Множеством значений функции является промежуток

Все решения уравнения можно найти по формуле (рис. 111).

Пример №4

Решите уравнение:

Решение:

а) По формуле получим:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Тригонометрические уравнения при решении, как правило, сводятся к простейшим.

Виды тригонометрических уравнений

Уравнения, в которых можно выполнить замену переменной

Рассмотрим уравнения вида

где — некоторые действительные числа, — одна из тригонометрических функций.

Например, решим уравнение Введем новую переменную тогда данное уравнение можно записать в виде Решим полученное квадратное уравнение:

Подставим найденные значения в равенство и получим простейшие тригонометрические уравнения:

Решения первого уравнения совокупности:

Решения второго уравнения:

Ответ:

Однородные тригонометрические уравнения

Однородные тригонометрические уравнения второй степени — это уравнения, которые можно привести к виду где - некоторые действительные числа,

Заметим, что в однородном уравнении В противном случае, если то уравнение принимает вид а значит, но равенства одновременно выполняться не могут.

Решим уравнение

Разделим обе части уравнения на и получим уравнение

Выполнив замену переменной получим квадратное уравнение корнями которого являются числа

Значит,

Решим уравнение и получим

Корнями уравнения являются числа

Ответ:

Примеры заданий и их решения

Пример №5

Решите уравнение:

Решение:

а) Поскольку то по формуле имеем: Разделим обе части этого уравнения на 4 и получим:

б) Так как функция синус является нечетной функцией, то данное уравнение равносильно уравнению Умножим обе части этого уравнения на и получим уравнение

Тогда

в) Поскольку то для решения данного уравнения воспользуемся формулой и получим:

Умножим обе части этого уравнения на 2 и получим:

г) Воспользуемся четностью функции косинус и получим уравнение равносильное данному. Тогда Разделим обе части уравнения на 10 и получим:

д) Запишем уравнение и по формуле получим:

е) Воспользуемся нечетностью функции котангенс и получим уравнение По формуле

Ответ:

Пример №6

Решите уравнение:

Решение:

а) Используем основное тригонометрическое тождество и заменим Тогда уравнение примет вид: Пусть тогда

Подставим найденные значения в равенство получим и решим простейшие тригонометрические уравнения:

Ответ:

б) Так как то уравнение можно записать в виде

Пусть тогда

Подставим найденные значения в равенство получим и решим совокупность простейших тригонометрических уравнений:

Ответ:

Пример №7

Решите уравнение:

Решение:

Ответ:

Второе уравнение совокупности не имеет корней, поскольку Тогда sin х

Ответ:

Пример №8

Решите уравнение:

Решение:

а) Уравнение является однородным уравнением первой степени. Так как значения переменной, при которых не являются корнями данного уравнения, то разделим обе части уравнения на и получим:

Ответ:

б) Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и получим:

Разделим обе части уравнения на Тогда Пусть тогда Таким образом, Ответ:

Пример №9

Найдите (в градусах) наименьший положительный корень уравнения

Решение:

Наименьший положительный корень уравнения равен

Ответ:

Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнения вида являются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Уравнение sin х = а

Область изменения синуса отрезок [-1; 1]. Поэтому, при |а| > 1 уравнение sin х = а не имеет решений. Рассмотрим случай . В одной системе координат построим графики функций у = sin х и у = а.

Как видно, существует бесконечно много точек, в которых прямая

у = а пересекает синусоиду. Это говорит о том, что при уравнение sin х = а имеет бесконечно много корней. Так как синус является периодической функцией, то достаточно найти корни на промежутке длиной в один период, т.е. на . По графику видно, что при уравнение sin х = а на отрезке имеет два корня. К тому же выводу можно придти и при движении точки но окружности. На целом периоде, для одного и того же значения синуса, можно найти два угла.

Если один из углов поворота равен а , тогда другой будет . Остальные решения уравнения можно получить добавив к ним целое число оборотов. Значит, если а решение уравнения sin х = а, тогда все решения данного уравнения записываются в виде . Эти два семейства решений иногда задаются одной формулой вида и при (чётном) получаем решения I семейства, при (нечётном ) получаем решения II семейства. При уравнение sin х = а на отрезке имеет корень , тогда все решения данного уравнения можно найти по формулам: и . Эти формулы можно объединить и записать в виде .

Пример №10

Сколько корней имеет уравнение на отрезке ?

Решение. Запишем решение уравнения и найдём корни при

При других значениях параметра не принадлежат заданному отрезку.

Пример №11

Решим уравнение .

Решение.

т.к.

Ещё проще можно найти решения уравнения

sin х = а при а = 0, а = 1, а = -1.

Это можно увидеть и на единичной окружности.

Пример №12

Решим уравнение

Решение. Выполним следующую замену:

Получаем уравнение . Решением будет . Принимая во внимание замену, имеем:

Отсюда: ,

Пример №13

Решим уравнение .

Решение. Здесь х угол выражен в градусах. Тогда решения уравнения можно записать так: .

Уравнение cos х = а

Аналогичным образом, при |а| > 1 уравнение cosx = а не имеет корней. При уравнение имеет бесконечное множество корней. Как по графику, так и по единичной окружности видно, что на отрезке, длиной в один период (т.е. ) уравнение имеет два корня.

Если является корнем уравнения , тогда также является корнем, так как . Таким образом, если известно,что является одним из корней уравнения , то решения этого уравнения можно найти по формулам и . Иногда эти две формулы объединяют и записывают в виде . При корень уравнения на отрезке равен . Тогда все корни можно найти по формуле:

Пример №14

Решим уравнение .

Решение: Один из корней уравнения .

Тогда все корни будут .

Решения можно записать так: .

Пример №15

Решим уравнение .

Решение:

Так как , получаем: Еще проще можно найти решение уравнения

при

Это можно увидеть по изображению на единичной окружности.

Пример №16

Решим уравнение .

Выполним замену :

Принимая во внимание замену, имеем:

1) Запишите решения уравнений, принадлежащих промежутку . Рассмотрим общие решения каждого из двух уравнений вида . На единичной окружности существуют две точки с ординатами . Этим точкам соответствуют углы и .

Решение уравнения:

а)В случае, если , данному интервалу

удовлетворяют только значения х равные и :

б)В случае, если , если х удовлетворяет условию , то

и на данном интервале существуют следующие решения:

Уравнения tg x = a и ctg x=a

Уравнения

На промежутке решением уравнения является . Так как основной период функции равен то, все решения уравнения можно задать формулой: .

То, что решение верно показано на рисунке, при помощи точек пересечения графиков функций .

Аналогично можно показать, что все решения уравнения имеют вид

Пример №17

Решим уравнение .

Решение: Выполним замену

Получим уравнение . Решение этого уравнения будет

Принимая во внимание замену получим:

Пример №18

Решим уравнение .

Решение: Выполнив замену , получим:

Так как , то .

Из замены следует, что . Разделив обе части на

3 получим все решения уравнения в виде

.

Пример №19

Решим уравнение .

Для решения уравнения такого типа используйте калькулятор.

Если после нажатия кнопки ввести число 0,75, то при нажатой кнопке Degree получим значение 36,87°. Так как тангенс является периодической функцией, то значения 36,87° + 180°, 36,87° - 180°, 36,87° + 360°, 36,87° - 360°, 36,87° + 540°, 36,87° - 540° также соответствуют значениям тангенса равным 0,75. Таким образом, решение уравнения в общем виде записывается так:.

Решение уравнения при помощи кнопки Radian будет иметь вид:

.

Решения уравнений вида можно получить при помощи равенств:

Пример №20

Решим уравнение .

Решение.

Общее решения уравнения .

- решения уравнения на промежутке .

Пример №21

Решение: На единичной окружности точкам соответствуют два угла поворота: . Так как период равен , то значения тангенс принимает в точках равноудаленных друг от друга на расстояние , то есть .

Значит решения уравнения на интервале , можно найти по правилу.

Пример №22

Решение: Запишем уравнение в виде .

Общее решение уравнения имеет вид: .

Отсюда получаем:

Если по условию , тогда .

Разделим каждую сторону на .

Подставим полученные значения = 1; 2;3 в формулу

получим корни заданного уравнения: ; 2; З.

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения сводится к решению простейших тригонометрических уравнений. Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений на следующих примерах.

Метод разложения на множители

Пример №23

Решим уравнение .

Решение:

Ответ:

Обратите внимание, что в различных семействах решений параметры отмечаются разными буквами.

Пример №24

Решим уравнение и найдём корни, расположенные на промежутке .

Решение:

Каждый множитель приравниваем к нулю и находим х (если это возможно).

Решение уравнении в общем виде: .

Корни уравнении, расположенные на отрезке .

Метод введении новой переменной

Пример №25

Ответ: .

Решение однородных уравнений

Если и все члены входящие в уравнению являются одночленами одинаковой степени относительно а и b, то такие уравнения называются однородными.

Пример №26

Если нет общего множителя, то обе части однородного уравнения можно разделить на большую степень cos х.

Пример №27

Здесь , так как если , то , а это противоречит тождеству . Значит . Обе стороны уравнения можно разделить на cos х:

Здесь

Применение формулы понижения степени

Пример №28

Решим уравнение

Решение:

Здесь удобно применить формулу понижения степени

Метод введении вспомогательного угла

Уравнения вида (при ) удобно решить введя вспомогательный угол разделив обе части уравнения на число .

Пример №29

Здесь .

Разделим обе части уравнения на 2:

Ответ:

Пример №30

Сколько корней имеет уравнение на отрезке ?

Решение:

Для параметра ни одно из значений найденных корней не содержится в заданном отрезке.

и корни уравнения на отрезке при = 0. Для заданного параметра на заданном отрезке не существует других корней.

Ответ: два корня.

Убедится в правильности решения можно построив графики функций и при помощи граф калькулятора. Точки пересечения графиков будут являться решением.

Система тригонометрических уравнений

Рассмотрим решение системы уравнений, одно из которых алгебраическое, а другое уравнение - тригонометрическое.

Пример №31

Решите систему уравнений

Решение: выполнив замену второе уравнение системы перепишем в виде:

По формулам приведения Тогда получим однородное уравнение:

Разделим каждый член на Получим

Решением уравнения является

Выполним замену т. е.

Таким образом, решением данной системы будет

Как видно, множество целых значений данной системы зависит только от одного параметра

Обычно решение систем тригонометрических уравнений с двумя переменными зависит от двух параметров.

Пример №32

Решите систему уравнений

Решение: разложим левую часть второго уравнения на множители и, учитывая первое уравнение, получим следующую систему

Здесь

Решениями данных уравнений являются

Тогда решение системы будет

Понятие тригонометрического уравнения

Понятие обратной функции:

Если функция принимает каждое свое значение в единственной точке ее области определения, то можно задать функцию которая называется обратной к функции

Функции взаимно обратные.

Свойства обратной функции:

1. Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой
2. Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то она имеет обратную функцию на этом промежутке, которая возрастает, если возрастает, и убывает, если убывает.

Объяснение и обоснование:

Понятие обратной функции

Известно, что зависимость пути от времени движения тела, которое движется равномерно с постоянной скоростью выражается формулой Из этой формулы можно найти обратную зависимость — времени от пройденного пути Функцию называют обратной к функции Отметим, что в рассмотренном примере каждому значению соответствует единственное значение и, наоборот, каждому значению соответствует единственное значение

Рассмотрим процедуру получения обратной функции в общем виде.

Пусть функция принимает каждое свое значение в единственной точке ее области определения (такая функция называется обратимой). Тогда для каждого числа (из области значений функции существует единственное значение такое, что Рассмотрим новую функцию которая каждому числу из области значений функции ставит в соответствие число то есть для каждого числа из области значений функции В этом случае функция называется обратной к функции а функция — обратной к функции Поэтому говорят, что функции взаимно обратные.

Из определения обратной функции вытекает, что область значений прямой функции является областью определения обратной функции а область определения прямой функции является областью значений обратной функции

То есть:

Свойства обратной функции

Свойство 1. Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой

Учитывая приведенную выше процедуру построения функции, обратной к функции имеем: если то по определению графика функции точка с координатами принадлежит графику функции Аналогично, поскольку то точка с координатами принадлежит графику функции Точки расположены на координатной плоскости симметрично относительно прямой (рис. 84).

Действительно, прямая является осью симметрии системы координат.

Таким образом, при симметрии относительно этой прямой ось отображается на ось а ось — на ось Тогда (например, при и прямоугольник со сторонами на осях координат отображается на прямоугольник со сторонами на осях координат

Следовательно, при симметрии относительно прямой точка отображается в точку (а точка — в точку

Таким образом, при симметрии относительно прямой любая точка принадлежащая графику функции имеет соответствующую точку принадлежащую графику функции а любая точка которая принадлежит графику функции имеет соответствующую точку принадлежащую графику функции То есть графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой

Свойство 2. Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то она имеет обратную функцию на этом промежутке, которая возрастает, если возрастает, и убывает, если убывает.

Действительно, если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то по свойству возрастающей (убывающей) функции каждое свое значение она принимает в единственной точке из этого промежутка (с. 14), таким образом, она имеет обратную функцию на этом промежутке.

Обосновать, что функция возрастает, если возрастает, можно методом от противного.

Пусть числа входят в область определения функции и

Обозначим Если функция возрастает, то то есть По определению обратной функции числа входят в ее область определения и

Если допустить, что функция не является возрастающей, то из неравенства не может вытекать неравенство (иначе функция будет возрастающей), таким образом, может выполняться только неравенство Но тогда по формулам (2) получаем что противоречит условию (1).

Таким образом, наше предположение неверно, и функция возрастает, если функция возрастает. Аналогично обосновывается, что в случае, когда функция убывает, обратная к ней функция тоже убывает.

Практический прием нахождения формулы функции, обратной к функции y=f(x)

Из определения обратной функции следует, что для получения обратной зависимости необходимо знать, как значение выражается через значение Это можно сделать, решив уравнение относительно переменной Если заданная функция обратима, то уравнение будет иметь единственное решение для всех из области значений функции и мы получим формулу которая задает обратную функцию. Но в этой формуле аргумент обозначен через а функция — через Если поменять обозначения на традиционные, то получим запись функции, обратной к функции

Эти рассуждения вместе с соответствующим алгоритмом приведены в таблице 25 и реализованы в решении следующих задач.

Практический прием нахождения формулы функции, обратной функции :

Алгоритм нахождения функции

1. Выяснить, будет ли функция обратимой на всей области определения: для этого достаточно выяснить, имеет ли уравнение единственный корень относительно переменной Если нет, то попытаться выделить промежуток, где существует обратная функция (например, это может быть промежуток, где функция возрастает или убывает).
2. Из равенства выразить через
3. В полученной формуле ввести традиционные обозначения: аргумент обозначить через а функцию — через

Пример №33

Найдите функцию, обратную к функции

Решение:

Из равенства можно однозначно выразить через

Эта формула задает обратную функцию, но в ней аргумент обозначен через а функция — через

Обозначим в полученной формуле аргумент через а функцию — через

Получаем функцию обратную к функции

Пример №34

Найдите функцию, обратную к функции

Комментарий:

На всей области определения заданная функция обратима, поскольку из уравнения можно однозначно выразить через в области значений заданной функции). Полученная формула задает обратную функцию, но в ней аргумент обозначен через а функция — через

Изменяя обозначения на традиционные, получаем конечный результат.

Решение:

Область определения: Тогда из равенства имеем

Обозначим аргумент через а функцию — через и получим функцию обратную к заданной.

Пример №35

Найдите функцию, обратную к функции

Решение:

Из равенства при получаем Тогда при одному значению соответствуют два значения Таким образом, на всей области определения функция не является обратимой, и для нее нельзя найти обратную функцию.

Комментарий:

Область значений заданной функции: Но при из равенства нельзя однозначно выразить через Например, при получаем Вследствие этого мы не можем значению поставить в соответствие единственное число, чтобы построить обратную функцию.

Пример №36

Найдите функцию, обратную к функции

Решение:

Из равенства получаем Учитывая, что по условию имеем

Обозначим аргумент через а функцию — через и получим, что функцией, обратной к функции которая задана только при будет функция

Комментарий:

Множество значений заданной функции: При заданная функция возрастает, таким образом, на промежутке она имеет обратную функцию, а значит, на этом промежутке уравнение мы сможем решить однозначно: при имеем

Эта формула задает обратную функцию, но в ней аргумент обозначен через а функция — через Изменяя обозначения на традиционные, получаем конечный результат.

Замечание. В примерах 2 и 3 мы фактически рассматриваем различные функции (они имеют разные области определения), хотя в обоих случаях эти функции задаются одной и той же формулой. Как известно, графиком функции (пример 2) является парабола, а графиком функции при (пример 3) является только правая ветвь этой параболы (рис. 85).

Обратные тригонометрические функции

Для получения обратных тригонометрических функций для каждой тригонометрической функции выделяется промежуток, на котором она возрастает (или убывает). Для обозначения обратных тригонометрических функций перед соответствующей функцией ставится буквосочетание «агс» (читается: «арк»).

Функция y=arcsin x

График :

На промежутке возрастает.

График:

Значение

Ориентир:

- это такое число из промежутка синус которого равен

Пример:

так как

Нечетность функции y=arcsin x:

Объяснение и обоснование:

График функции y=arcsin x

Функция возрастает на промежутке и принимает все значения от Следовательно, на этом промежутке функция имеет обратную функцию, которая обозначается

с областью определения и областью значений

Функция также возрастает, и ее график можно получить из графика функции (на заданном промежутке) с помощью симметричного отображения относительно прямой (рис. 86).

Значение arcsin a

По определению обратной функции (на выбранном промежутке), если причем Таким

образом, запись означает, что то есть

это такое число из промежутка синус которого равен

Например, поскольку

Аналогично поскольку

Нечетность функции y=arcsin x

Для нахождения арксинусов отрицательных чисел можно также пользоваться нечетностью функции то есть формулой:

Это следует из того, что график функции (рис. 86) симметричен относительно начала координат, а также из того, что точки на оси (рис. 87) симметричны относительно оси Тогда и соответствующие точки на единичной окружности (на промежутке так же будут симметричными относительно оси

Таким образом, (рисунок 87 приведен для случая Получаем

Например,

Пример №37

Найдите:

Решение:

Пусть тогда по определению арксинуса получаем, что Таким образом

Пусть По определению арксинуса получаем, что Учитывая, что имеем:

Таким образом,

Комментарий:

Так как запись означает,что то всегда выполняется равенство

Эту формулу можно не запоминать: достаточно обозначить выражение в скобках через и применить определение арксинуса.

Если обозначить выражение в скобках через то по требованию задачи необходимо найти cos . Использовав определение арксинуса, получаем стандартную задачу зная синус угла, найти его косинус, если угол находится на промежутке

Тогда Так как то на этом промежутке таким образом,

Функция y=arccos x

График :

На промежутке убывает.

График :

Значение :

Ориентир:

— это такое число из промежутка косинус которого равен

Пример №38

так как

Формула для :

Объяснение и обоснование:

График функции y=arccos x

Функция убывает на промежутке и принимает все значения от Таким образом, на этом промежутке функция имеет обратную функцию, которая обозначается

с областью определения [-1; 1] и областью значений Функция также убывает, и ее график можно получить из графика функции (на заданном промежутке) с помощью симметричного отображения его относительно прямой (рис. 88).

Значение arccos a

По определению обратной функции (на выбранном промежутке), если причем Таким образом, запись означает, что то есть

— это такое число из промежутка косинус которого равен

Например,

Аналогично

Формула для arccos (-a)

Для нахождения арккосинусов отрицательных чисел можно также пользоваться формулой Это следует из того, что точки (рис. 89) являются симметричными относительно оси Тогда и соответствующие точки на единичной окружности (на промежутке также будут симметричными относительно оси Таким образом, значит, а Получаем

Например,

Отметим, что равенство означает, что функция

не является ни четной, ни нечетной.

Пример №39

Найдите

Решение:

Пусть тогда по определению арккосинуса получаем, что Таким образом,

Комментарий

Поскольку запись означает, что и то всегда выполняется равенство

Эту формулу можно не запоминать: достаточно обозначить выражение в скобках через и применить определение арккосинуса.

Функция y=arctg x

График :

На промежутке возрастает.

График :

Значение arctg a:

Ориентир:

— это такое число из промежутка тангенс которого равен

Пример:

так как

Нечетность функции y=arctg x

Объяснение и обоснование:

График функции y=arctg x

Функция возрастает на промежутке и принимает все значения от Таким образом, на этом промежутке функция имеет обратную функцию, которая обозначается

с областью определения и множеством значений

Функция также возрастает, и ее график можно получить из графика функции (на заданном промежутке) с помощью симметричного отображения относительно прямой (рис. 90).

Значение arctg a

По определению обратной функции (на выбранном промежутке), если причем Таким образом,

запись означает, что То есть

— это такое число из промежутка тангенс которого равен

Например, поскольку

Аналогично поскольку

Нечетность функции y=arctg x

Для нахождения арктангенсов отрицательных чисел можно также пользоваться нечетностью функции то есть формулой

Это следует из того, что график функции (рис. 90) симметричен относительно начала координат, а также из того, что точки на линии тангенсов являются симметричными относительно оси (рис. 91).

Тогда и соответствующие точки на единичной окружности (на промежутке также будут симметричными относительно оси Таким образом, Получаем

Например,

Пример №40

Найдите

Решение:

Пусть тогда по определению арктангенса получаем, что

Таким образом,

Комментарий:

Поскольку запись означает, что то всегда выполняется равенство

Эту формулу можно не запоминать: достаточно обозначить выражение в скобках через и применить определение арктангенса.

Функция y=arcctg x

График:

На промежутке убывает.

График :

Значение arcctg a:

Ориентир:

это такое число из промежутка котангенс которого равен

Пример:

так как

Формула для arcctg (-a)

Объяснение и обоснование:

График функции y=arcсtg x

Функция убывает на промежутке и принимает все значения от Таким образом, на этом промежутке функция имеет обратную функцию, которая обозначается с областью определения и областью значений Функция так же убывает, и ее график можно получить из графика

функции (на заданном промежутке) с помощью симметричного отображения его относительно прямой (рис. 92).

Значение arcctg a

По определению обратной функции (на выбранном промежутке), если причем Таким образом, запись означает, что То есть

— это такое число из промежутка котангенс которого равен

Например, поскольку

Аналогично поскольку

Формула для arcctg (-a)

Для нахождения арккотангенсов отрицательных чисел можно также пользоваться формулой

Это следует из того, что точки на линии котангенсов (рис. 93) являются симметричными относительно оси Тогда и соответствующие точки на единичной окружности (на промежутке также будут симметричными относительно оси Таким образом, значит, Но

Получаем:

Например,

Отметим, что равенство означает, что функция не является ни четной, ни нечетной.

Пример №41

Найдите

Решение:

Пусть тогда по определению арккотангенса получаем, что Таким образом,

Комментарий:

Поскольку запись означает, что то всегда выполняется равенство

Эту формулу можно не запоминать: достаточно обозначить выражение в скобках через и применить определение арккотангенса.

Пример №42

Докажите, что

Решение:

Пусть

1. Поскольку то
2. Если то Тогда По определению арктангенса получаем Таким образом, а это и означает, что

Комментарий:

Запишем заданное равенство в виде Если обозначить то для доказательства равенства по определению арктангенса достаточно доказать, что:

При доказательстве следует также учесть определение арккотангенса: если

Решение простейших тригонометрических уравнений

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

Уравнение cos x=a

1. Графическая иллюстрация и решение уравнения

Графическая иллюстрация

Решение:

Примеры:

Корней нет, поскольку

2. Частные случаи решения уравнения

Объяснение и обоснование:

Корни уравнения cos x=a

При уравнение не имеет корней, поскольку для любого (прямая на рисунке из пункта 1 таблицы 30 при или при не пересекает график функции

Пусть Тогда прямая пересекает график функции На промежутке функция убывает от 1 до -1, поэтому уравнение имеет только один корень на этом промежутке (рис. из пункта 1 табл. 30).

Косинус — четная функция, поэтому на промежутке уравнение также имеет только один корень — число, противоположное то есть

Таким образом, на промежутке (длиной уравнение при имеет только корни

Функция периодическая с периодом поэтому все остальные корни отличаются от найденных на Получаем следующую формулу корней уравнения

Частные случаи решения уравнения cos x=a

Полезно помнить специальные записи корней уравнения которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность.

Поскольку косинус равен абсциссе соответствующей точки единичной окружности, получаем, что если соответствующей точкой единичной окружности является точка или точка (рис. из пункта 2 табл. 30). Тогда

Аналогично тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка следовательно, Также тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка таким образом,

Примеры решения задач:

Пример №43

Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Комментарий:

Поскольку то данное уравнение вида имеет корни, которые можно найти по формуле (1). Для вычисления можно воспользоваться формулой:

Тогда

Пример №44

Решите уравнение

Решение:

Поскольку то корней нет.

Ответ: корней нет.

Комментарий:

Поскольку то данное уравнение не имеет корней (то есть формулу (1) нельзя применить).

Пример №45

Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Комментарий:

Поскольку то можно пользоваться формулой (1). Учитывая, что не является табличным значением, для полученния ответа достаточно после нахождения по формуле (1) обе части последнего уравнения разделить на 4.

Замечание. Если по условию задания необходимо найти приближенное значение корней данного уравнения на каком-то промежутке, то с помощью калькулятора находим записываем приближенное значение корней в виде находим приближенное значение корней при и выбираем корни, входящие в данный промежуток.

Пример №46

Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Комментарий:

Поскольку пользоваться то можно воспользоваться формулой (1) для нахождения значения выражения стоящего под знаком косинуса. После этого из полученного линейного уравнения находим

Уравнение sin x=a

Графическая иллюстрация и решения уравнения

Графическая иллюстрация

Решение:

Примеры:

Корней нет, так как

Частные случаи решения уравнения sin x=a

Объяснение и обоснование:

Корни уравнения sin x=a

При уравнение не имеет корней, поскольку для любого (прямая на рисунке 94 при или при не пересекает график функции

Пусть Тогда прямая пересекает график функции На промежутке функция возрастает от -1 до 1, поэтому уравнение имеет только один корень на этом промежутке (рис. 94) (и для этого корня

На промежутке функция убывает от 1 до -1, поэтому уравнение имеет на этом промежутке также только один корень (рис. 94). Для проверки правильности записи значения второго корня заметим, что То есть — корень уравнения

Таким образом, на промежутке (длиной уравнение при имеет только корни

Функция периодическая с периодом поэтому все остальные корни отличаются от найденных на Получаем следующие формулы корней уравнения

Все значения корней уравнения которые дают формулы (1) и (2), можно записать с помощью одной формулы

Действительно, из формулы (3) при четном получаем — формулу (1), а при нечетном — формулу то есть формулу (2).

Частные случаи решения уравнения sin x=a

Полезно помнить специальные записи корней при которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис. 95).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что если соответствующей точкой единичной окружности является точка или точка Тогда

Аналогично тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка А, следовательно,

Также тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка таким образом,

Примеры решения задач:

Пример №47

Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Комментарий:

Поскольку то данное уравнение вида имеет корни, которые можно найти по формуле (3).

Для вычисления можно воспользоваться формулой:

Тогда

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде но такая запись не является обязательной.

Пример №48

Решите уравнение

Решение:

Поскольку то корней нет.

Ответ: корней нет

Комментарий:

Поскольку то данное уравнение не имеет корней ( то есть формулой (3) нельзя воспользоваться).

Пример №49

Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Комментарий:

Поскольку то можно воспользоваться формулой (3)для нахождения значения выражения а потом из полученного линейного уравнения найти переменную

Уравнения tg x = a и ctg x=a

Графическая иллюстрация и решения уравнения :

Формула:

Частный случай:

Пример:

Графическая иллюстрация и решения уравнения :

Формула:

Частный случай:

Пример:

Объяснение и обоснование:

Корни уравнений tg x = a и ctg x=a

Рассмотрим уравнение На промежутке функция возрастает поэтому уравнение при любом значении имеет только один корень на этом промежутке (рис. из пункта 1 табл. 32).

Функция периодическая с периодом поэтому все остальные корни отличаются от найденного на Получаем следующую формулу корней уравнения

При таким образом, уравнение

Рассмотрим уравнение На промежутке функция убывает поэтому уравнение при любом значении имеет только один корень на этом промежутке (рис. из пункта 2 табл. 32). Функция периодическая с периодом поэтому все остальные корни отличаются от найденного на Получаем такую формулу корней уравнения

При таким образом, уравнение

Примеры решения задач:

Пример №50

Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Комментарий:

Уравнение имеет корни при любом значении поэтому всегда можно воспользоваться формулой (1): Для нахождения можно применить формулу Тогда

Пример №51

Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Комментарий:

Сначала по формуле (1) найдем значение выражения а потом из полученного линейного уравнения найдем значение переменной

Пример №52

Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Комментарий:

Уравнение имеет корни при любом значении поэтому всегда можно воспользоваться формулой (2):

Учитывая, что не является табличным значением (см. табл. 8, приведенную на с. 47), полученная формула дает окончательный ответ.

Пример №53

Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Комментарий:

Сначала по формуле (2) найдем значение выражения а потом из полученного линейного уравнения найдем значение переменной

Для нахождения можно воспользоваться формулой Тогда

Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших

Как правило, решение тригонометрических уравнений сводится к решению простейших уравнений с помощью преобразований тригонометрических выражений, разложения на множители и замены переменных.

Замена переменных при решении тригонометрических уравнений

Следует помнить общий ориентир, когда замена переменных может выполняться без преобразования данных тригонометрических выражений.

Если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Пример №54

Решите уравнение

Решение:

Пусть тогда получаем:

Отсюда

1. При имеем — уравнение не имеет корней, поскольку

2. При имеем тогда

Ответ:

Комментарий:

Анализируя вид этого уравнения, замечаем, что в его запись входит только одна тригонометрическая функция Поэтому удобно ввести новую переменную

После решения квадратного уравнения необходимо выполнить обратную замену и решить полученные простейшие тригонометрические уравнения.

Замечание. Записывая решения задачи 1, можно при введении замены учесть, что и записать ограничения а далее заметить, что один из корней не удовлетворяет условию и после этого обратную замену выполнять только для

Пример №55

Решите уравнение

Комментарий:

В заданное уравнение переменная входит только в виде Поэтому удобно ввести новую переменную После выполнения обратной замены и решения полученных простейших тригонометрических уравнений следует в ответ записать все полученные корни.

Решение:

Пусть Тогда получаем Отсюда то есть или Из последнего уравнения имеем Выполняем обратную замену:

1. При Таким образом,

2.При Следовательно,

3. При имеем тогда Отсюда

Ответ:

При поиске плана решения более сложных тригонометрических уравнений можно воспользоваться таким ориентиром.

1. Пробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу.
2. Если удалось привести к одному аргументу, то пробуем все тригонометрические выражения привести к одной функции.
3. Если к одному аргументу удалось привести, а к одной функции — нет, тогда пробуем привести уравнение к однородному.
4. В других случаях переносим все члены в одну сторону и пробуем получить произведение или используем специальные приемы решения.

Решение тригонометрических уравнений приведением к одной функции (с одинаковым аргументом)

Пример №56

Решите уравнение

Решение:

Используя формулу косинуса двойного аргумента и основное тригонометрическое тождество, получаем:

Замена дает уравнение

Тогда Выполняем обратную замену.

1. При имеем — корней нет, поскольку
2. При имеем

Тогда

Ответ:

Комментарий:

Все тригонометрические функции приводим к одному аргументу используя формулу

Потом все тригонометрические выражения приводим к одной функции (учитываем, что

В полученное уравнение переменная входит в одном и том же виде поэтому удобно выполнить замену

Замечание. При желании ответ можно записать в виде

Пример №57

Решите уравнение:

Решение:

Замена дает уравнение

При получаем равносильное уравнение Отсюда Выполняем обратную замену:

1. При имеем тогда
2. При имеем тогда

Ответ:

Комментарий:

Все аргументы уже одинаковые поэтому приводим все тригонометрические выражения к одной функции (учитываем, что

В полученное уравнение переменная входит в одном и том же виде поэтому удобно выполнить замену

Решение однородных тригонометрических уравнении и приведение тригонометрического уравнения к однородному

Рассмотрим уравнение

Для поиска плана решения этого уравнения (но не для его решения) выполним замены: Тогда уравнение (1) будет иметь вид

Все одночлены, стоящие в левой части этого уравнения, имеют степень 2 (напомним, что степень одночлена также равна 2). В этом случае уравнение (2) (и соответственно уравнение (1)) называется однородным, и для распознавания таких уравнений и их решения можно применять такой ориентир.

Если все члены уравнения, в левой и правой частях которого стоят многочлены от двух переменных (или от двух функций одной переменной), имеют одинаковую суммарную степень, то уравнение называется однородным. Решается однородное уравнение делением на наибольшую степень одной из переменных.

Замечание. Придерживаясь этого ориентира, приходится делить обе части уравнения на выражение с переменной. При этом можно потерять корни (если корнями являются те числа, при которых делитель равен нулю). Чтобы избежать этого, необходимо отдельно рассмотреть случай, когда выражение, на которое мы собираемся делить обе части уравнения, равно нулю, и только после этого выполнять деление на выражение, не равное нулю.

Пример №58

Решите уравнение

Решение:

При уравнение не имеет корней, поэтому разделим обе его части на Получаем

то есть

Тогда

Замена: Получаем уравнение

Выполняем обратную замену:

1. При тогда
2. При имеем тогда

Ответ:

Комментарий:

Данное уравнение однородное, поскольку все его члены имеют одинаковую суммарную степень 2. Его можно решить делением обеих частей на или на

Если мы будем делить на то, чтобы не потерять корни, случай рассмотрим отдельно.

Подставляя в данное уравнение, получаем Но одновременно не могут равняться нулю (поскольку Таким образом, те значения переменной для которых не являются корнями данного уравнения. А при можно разделить обе части данного уравнение на и получить уравнение, равносильное заданному (при этом учесть, что

В полученное уравнение переменная входит в одном и том же виде поэтому удобно выполнить замену

Пример №59

Решите уравнение:

Решение:

При уравнение не имеет корней, поэтому разделим обе его части на

Получаем

Тогда Зх = arctg 5 + кт,

Ответ:

Комментарий:

Данное уравнение однородное, поскольку все его члены имеют одинаковую степень 1. Его можно решить делением обеих частей на или на

Если мы будем делить на то, чтобы не потерять корни, случай рассмотрим отдельно.

Подставляя в данное уравнение, получаем Но одновременно не могут равняться нулю. Таким образом, при уравнение не имеет корней. А при можно разделить обе части данного уравнения на и получить уравнение, равносильное заданному (при этом учесть, что

Пример №60

Решите уравнение

Решение:

Используя формулу синуса двойного аргумента, имеем

и учтем, что Тогда

Отсюда

При уравнение не имеет корней, поэтому разделим обе его части на Получаем

Замена: Получаем уравнение

Выполняем обратную замену:

1. При имеем тогда
2. При имеем тогда

Ответ:

Комментарий:

Сначала приведем все тригонометрические функции к одному аргументу используя формулу

Теперь в левой части уравнения (1) стоит однородное выражение второй степени, а в правой части — число 2.Если домножить 2 на 1, а единицу расписать по основному тригонометрическому тождеству то в левой и правой частях полученного уравнения все выражения будут второй степени, то есть получим однородное уравнение (2), которое можно решить делением обеих частей или на или на

Если мы будем делить на то, чтобы не потерять корни, случай рассмотрим отдельно.

Подставляя уравнение (2), получаем Но одновременно не могут равняться нулю (поскольку Таким образом, при уравнение (2) не имеет корней. А при можно разделить обе части этого уравнения на (и учесть при этом, что

В полученное уравнение(3) переменная входит в одном и том же виде поэтому удобно выполнить замену

Решение тригонометрических уравнении вида f(x)=0 с помощью разложения на множители

Пример №61

Решение тогда

Решение:

Получаем:

последние простейшие тригонометрические уравнения, имеем:

Ответ:

Комментарий:

Достаточно трудно все тригонометрические функции в этом уравнении привести к одному аргументу.

В таком случае приходится пользоваться четвертым пунктом ориентира, приведенного на с. 170: переносим все члены уравнения в одну сторону и пробуем получить произведение, равное нулю.

Для этого воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение:

Если произведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю, а остальные сомножители имеют смысл. В данном случае все данные и полученные выражения имеют смысл на всем множестве действительных чисел. В конце учитываем, что данное уравнение равносильно совокупности уравнений или и поэтому в ответе должны быть записаны все корни каждого из этих уравнений.

Пример №62

Решите уравнение

Решение:

Из первого из этих уравнений:

Второе уравнение преобразуем так:

Отсюда

Из этих уравнений получаем:

Ответ:

Комментарий:

Сразу воспользуемся четвертым пунктом ориентира, приведенного на с. 170: переносим все члены уравнения в одну сторону и пробуем получить произведение, которое равно нулю.

Для этого применим формулу преобразования суммы синусов, стоящей в левой части уравнения, в произведение:

( и учтем что

Для того чтобы вынести какое-то выражение за скобки и получить произведение, достаточно записать как синус двойного аргумента (тогда за скобки выносится

Если произведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Во втором из полученных уравнений преобразуем разность косинусов в произведение. В конце учитываем, что все данные и полученные выражения существуют на всем множестве действительных чисел. Таким образом, данное уравнение на этом множестве равносильно совокупности уравнений:

и поэтому в ответ необходимо записать все корни каждого из этих уравнений.

Замечание. Запись ответа можно сократить. Так, если изобразить все найденные решения на единичной окружности, то можно увидеть, что решение дает те же точки, что и формула кратном или формула кратном Таким образом, формула

не дает новых корней в сравнении с формулами и поэтому ответ может быть записан в виде только двух последних формул. Но такое сокращение ответа не является обязательным.

Отбор корней тригонометрических уравнений

Если при решении тригонометрических уравнений необходимо выполнять отбор корней, то чаще всего это делается так:

• находят (желательно наименьший) общий период всех тригонометрических функций, входящих в запись уравнения (конечно, если этот общий период существует); потом на этом периоде отбирают корни (отбрасывают посторонние), а те, которые остаются, периодически продолжают.

Пример №63

Решите уравнение

1 способ решения

Решение:

Тогда:

Функция имеет период а функция период Тогда является общим периодом для обеих функций. Обозначим все полученные корни на одном периоде, например на промежутке

При значение не существует, таким образом, не является корнем данного уравнения.

При значениях получаем равенство Следовательно, эти значения являются корнями уравнения (1).

Тогда решениями данного уравнения будут:

Ответ:

Комментарий:

Если число является корнем уравнения (1), то при этом значении равенство (1) обращается в верное числовое равенство. Произведение двух чисел может равняться нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, каждый корень уравнения (1) будет корнем совокупности уравнений

Заменив уравнение (1) на эту совокупность, мы не потеряем корни данного уравнения, но можем получить посторонние для него корни. Например, такие, при которых первый множитель равен нулю, а второй не существует.

Чтобы отбросить такие значения, выполним проверку полученных корней подстановкой в исходное уравнение на одном периоде — промежутке длиной

На этом периоде отбираем корни (отбрасываем посторонние), а те, которые остаются, периодически повторяем (то есть добавляем к полученным корням

Замечание. При решении уравнения (1) мы не следили за равносильностью выполненных преобразований, но выполняли преобразования, не приводящие к потере корней. Тогда говорят, что мы пользовались уравнениями-следствиями (если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого). В этом случае мы могли получить посторонние для данного уравнения корни (то есть те корни последнего уравнения, которые не являются корнями данного). Чтобы этого не случилось, можно пользоваться следующим ориентиром.

Если при решении уравнения мы пользовались уравнениями-следствиями, то проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнения является обязательной составной частью решения.

Если для решения этого же уравнения (1) мы будем использовать равносильные преобразования, то отбор корней будет организован немного иначе. А именно, нам придется учесть ОДЗ уравнения, то есть общую область определения для всех функций, входящих в запись уравнения.

2 способ решения уравнения

Комментарий:

Все равносильные преобразования уравнений выполняются на их области допустимых значений (ОДЗ), поэтому необходимо учесть ОДЗ.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй множитель имеет смысл. На ОДЗ оба множителя имеют смысл, поэтому на ОДЗ данное уравнение равносильно совокупности уравнений

Те корни совокупности, которые входят в ОДЗ, достаточно отобрать на одном периоде — промежутке длиной а потом полученные решения периодически повторить.

Значение не принадлежит ОДЗ, поэтому оно не является корнем данного уравнения.

Значения входят в ОДЗ, следовательно, эти значения являются корнями данного уравнения.

Решение:

Тогда

Функция имеет период а функция период Тогда является общим периодом для обеих функций. Обозначим все полученные корни на одном периоде, например на промежутке и на этом же промежутке обозначим ограничения ОДЗ:

Ответ:

Решение систем тригонометрических уравнений

Системы тригонометрических уравнений решаются с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приемов: из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.

Пример №64

Решите систему уравнений

Решение:

Из первого уравнения находим и подставляем во второе. Получаем то есть Отсюда

1. Если
2. Если

Ответ:

Замечание. Если бы мы для нахождения значения не рассмотрели отдельно формулу (1) со знаком « + » и знаком «-», то вместе с верными решениями мы бы получили и посторонние решения заданной системы.

Действительно, в таком случае имеем

Тогда, например, при получаем

Таким образом, кроме решений, которые вошли в ответ, мы имеем еще две возможности:

Но эти пары значений не являются решениями заданной системы, поскольку они не удовлетворяют первому уравнению. Поэтому следует запомнить:

Когда решение уравнения приходится применять для дальнейших преобразований, то удобно записывать его в виде двух формул: отдельно со знаком « + » и отдельно со знаком « —».

Пример №65

Решите систему уравнений

Решение:

Почленно сложим и вычтем эти уравнения. Получим равносильную систему:

Представим последнюю систему в виде совокупности двух систем, записывая решения второго уравнения отдельно со знаком "+" и отдельно со знаком « - »:

Почленно складывая и вычитая уравнения этих систем, находим

Ответ:

Замечание. В запись ответа вошли два параметра которые независимо друг от друга «пробегают» множество целых чисел.

Если попробовать при решении заданной системы воспользоваться только одним параметром, например то это приведет к потере решений. Таким образом, в каждом случае, когда система тригонометрических уравнений приводится к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (то есть из уравнений вида при решении каждого из этих уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.

Уравнения-следствия и равносильные преобразования уравнений

Понятие уравнения и его корней:

Определение:

Равенство с переменной называется уравнением. В общем виде уравнение с одной переменной записывают так: Под этой краткой записью понимают математическую запись задачи о нахождении значений аргумента, при которых значения двух данных функций равны.

Пример:

— линейное уравнение;

— квадратное уравнение;

— иррациональное уравнение (содержит переменную под знаком корня).

Корнем (или решением) уравнения с одной переменной называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Пример:

— корень уравнения так как при получаем верное равенство: то есть

Область допустимых значений (ОДЗ):

Областью допустимых значений (или областью определения) уравнения называется общая область определения для функций стоящих в левой и правой частях уравнения.

Для уравнения ОДЗ: то есть так как область определения функции определяется условием: а область определения функции — множество всех действительных чисел.

Уравнения-следствия:

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго, то второе уравнение называется следствием первого уравнения. Если из правильности первого равенства следует правильность каждого последующего, то получаем уравнения-следствия.

При использовании уравнений-следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании уравнений-следствий проверка полученных корней подстановкой их в исходное уравнение является составной частью решения (см. пункт 5 этой таблицы).

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Проверка. — корень (см. выше); — посторонний корень(при получаем неверное равенство 1 = -1).

Ответ: 2.

Равносильные уравнения:

Определение:

Два уравнения называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же корни.

То есть каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого. (Схема решения уравнений с помощью равносильных преобразований приведена в пункте 5 этой таблицы.)

Простейшие теоремы:

1. Если из одной части уравнения перенести в другую слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное заданному (на любом множестве).
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (или на одну и ту же функцию, которая определена и не равна нулю на ОДЗ заданного уравнения), то получим уравнение, равносильное заданному (на ОДЗ заданного уравнения).

Схема поиска плана решений уравнений

Объяснение и обоснование:

Понятие уравнения и его корней

Уравнение в математике чаще всего понимают как аналитическую запись задачи о нахождении значений аргумента, при которых значения двух данных функций равны. Поэтому в общем виде уравнения с одной переменной записывают так:

Часто уравнения определяют короче — как равенство с переменной. Напомним, что корнем (или решением) уравнения с одной переменной называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Например, уравнение имеет единственный корень уравнение не имеет корней, поскольку значение не может быть отрицательным числом.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения

Если задано уравнение то общая область определения для функций называется областью допустимых значений этого уравнения. (Иногда используются также термины «область определения уравнения» или «множество допустимых значений уравнения».) Например, для уравнения областью допустимых значений являются все действительные числа. Это можно записать, например, так. ОДЗ: поскольку функции имеют области определения

Понятно, что каждый корень данного уравнения принадлежит как области определения функции так и области определения функции (иначе мы не сможем получить верное числовое равенство). Поэтому каждый корень уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ уравнения при его решении.

Например, в уравнении функция определена при всех действительных значениях а функция только при условии, что под знаком квадратного корня будут стоять неотрицательные выражения. Следовательно, ОДЗ этого уравнения задается системой из которой получаем систему не имеющую решений. Таким образом, ОДЗ данного уравнения не содержит ни одного числа, и поэтому это уравнение не имеет корней.

Нахождение ОДЗ данного уравнения может быть полезным для его решения, но не всегда является обязательным элементом решения уравнения.

Методы решения уравнений

Для решения уравнений используют методы точного и приближенного решений. А именно, для точного решения уравнений в курсе математики 5-6 классов использовались зависимости между компонентами и результатами действий и свойства числовых равенств; в курсе алгебры 7-9 классов — равносильные преобразования уравнений, а для приближенного решения уравнений — графический метод.

Графический метод решения уравнений не дает высокой точности нахождения корней уравнения, и с его помощью чаще всего можно получить только грубые приближения корней. Иногда удобно графически определить количество корней уравнения или найти границы, в которых находятся эти корни. В некоторых случаях можно графически доказать, что уравнение не имеет корней. По указанным причинам в школьном курсе алгебры и начал анализа под требованием «решить уравнение» понимается требование «используя методы точного решения, найти корни данного уравнения». Приближенными методами решения уравнений можно пользоваться только тогда, когда об этом говорится в условии задачи (например, если ставится задача решить уравнение графически).

В основном при решении уравнений разных видов нам придется применять один из двух методов решения. Первый из них состоит в том, что данное уравнение заменяется более простым уравнением, имеющим те же корни,— равносильным уравнением. В свою очередь, полученное уравнение заменяется еще более простым, равносильным ему, и т. д. В результате получаем простейшее уравнение, которое равносильно заданному и корни которого легко находятся. Эти корни и только они являются корнями данного уравнения.

Второй метод решения уравнений состоит в том, что данное уравнение заменяется более простым уравнением, среди корней которого находятся все корни данного, то есть так называемым уравнением-следствием. В свою очередь, полученное уравнение заменяется еще более простым уравнением-следствием, и так далее до тех пор, пока не получим простейшее уравнение, корни которого легко находятся. Тогда все корни данного уравнения находятся среди корней последнего уравнения. Поэтому, чтобы найти корни данного уравнения, достаточно корни последнего уравнения подставить в данное и с помощью такой проверки получить корни данного уравнения (и исключить так называемые посторонние корни — те корни последнего уравнения, которые не удовлетворяют заданному).

В следующем параграфе будет также показано применение свойств функций к решению уравнений определенного вида.

• Заказать решение задач по высшей математике

Уравнения-следствия

Рассмотрим более детально, как можно решать уравнения с помощью уравнений-следствий. При решении уравнений главное — не потерять корни данного уравнения, и поэтому в первую очередь мы должны следить за тем, чтобы каждый корень исходного уравнения оставался корнем следующего. Фактически это и является определением уравнения-следствия:

• в том случае, когда каждый корень первого уравнения является корнем второго, второе уравнение называется следствием первого.

Это определение позволяет обосновать такой ориентир: для получения уравнения-следствия достаточно рассмотреть данное уравнение как верное числовое равенство и гарантировать (то есть иметь возможность обосновать), что каждое следующее уравнение мы можем получить как верное числовое равенство.

Действительно, если придерживаться этого ориентира, то каждый корень первого уравнения обращает это уравнение в верное числовое равенство, но тогда и второе уравнение будет верным числовым равенством, то есть рассматриваемое значение переменной является корнем и второго уравнения, а это и означает, что второе уравнение является следствием первого.

Применим приведенный ориентир к уравнению (пока что не используя известное условие равенства дроби нулю).

Если правильно то, что дробь равна нулю, то обязательно ее числитель равен нулю. Таким образом, из заданного уравнения получаем уравнение-следствие Но тогда верно, что Последнее уравнение имеет два корня: Подставляя их в заданное уравнение, видим, что только корень удовлетворяет исходному уравнению. Почему это случилось?

Это происходит поэтому, что, используя уравнения-следствия, мы гарантируем только то, что корни заданного уравнения не теряются (каждый корень первого уравнения является корнем второго). Но второе уравнение, кроме корней первого уравнения, имеет еще и другой корень, который не является корнем первого уравнения. Для первого уравнения этот корень является посторонним, и, чтобы его отсеять, выполняется проверка подстановкой корней в исходное уравнение.

Таким образом, чтобы правильно применять уравнения-следствия для решения уравнений, необходимо помнить еще один ориентир: при использовании уравнений-следствий возможно появление посторонних корней, и поэтому проверка подстановкой корней в исходное уравнение является составной частью решения.

Схема применения этих ориентиров дана в таблице 33. В пункте 3 этой таблицы приведено решение уравнения

Для решения этого уравнения с помощью уравнений-следствий достаточно данное уравнение рассмотреть как верное числовое равенство и учесть, что в случае, когда два числа равны, то и их квадраты также будут равны:

То есть мы гарантируем, что если равенство (1) верно, то и равенство (2) также будет верным, а это и означает (как было показано выше), что уравнение (2) является следствием уравнения (1). Если мы хотя бы один раз использовали уравнения-следствия (а не равносильные преобразования), то можем получить посторонние корни, и тогда в решение обязательно входит проверка полученных корней подстановкой их в заданное уравнение.

Замечание. Переход от данного уравнения к уравнению-следствию можно обозначить специальным значком но его использование для записи решения не является обязательным. Вместе с тем, если этот значок записан, то это свидетельствует о том, что мы воспользовались уравнениями-следствиями, и поэтому обязательно в запись решения необходимо включить проверку полученных корней.

Равносильные уравнения

С понятием равносильности вы знакомы еще из курса алгебры 7 класса, где равносильными назывались те уравнения, которые имели одни и те же корни. Заметим, что равносильными считались и такие два уравнения, которые не имели корней. Формально будем считать, что и в этом случае уравнения имеют одни и те же корни, поскольку ответы к таким уравнениям одинаковы: «уравнения не имеют корней» (точнее: одинаковыми являются множества корней таких уравнений — они оба пустые, что обозначается символом

В курсе алгебры и начал анализа мы будем рассматривать более общее понятие равносильности, а именно — равносильность на определенном множестве.

Два уравнения называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же корни, то есть каждый корень первого уравнения является корнем второго и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого.

Для уравнений, заданных на множестве всех действительных чисел (например, для линейных), мы можем однозначно дать ответ на вопрос: «Равносильны ли данные уравнения? » Например, уравнения — равносильные, поскольку оба имеют одинаковый корень и других корней не имеют, таким образом, каждое из них имеет те же решения, что и второе.

При рассмотрении равносильности уравнений на множестве, которое отличается от множества всех действительных чисел, ответ на вопрос «Равносильны ли данные уравнения? » может существенно зависеть от того, на каком множестве мы рассматриваем эти уравнения. Например, если рассмотреть уравнения: то, как было показано выше, уравнение (3) имеет единственный корень а уравнение (4) — два корня: Таким образом, на множестве всех действительных чисел эти уравнения не являются равносильными, поскольку у уравнения (4) есть корень которого нет у уравнения (3). Но на множестве положительных действительных чисел эти уравнения равносильны, поскольку на этом множестве уравнение (3) имеет единственный положительный корень и уравнение (4) также имеет единственный положительный корень Следовательно, на множестве положительных чисел каждое из этих уравнений имеет те же решения, что и второе.

Укажем, что множество, на котором рассматривается равносильность уравнений, как правило, не задается искусственно (как в последнем случае), а чаще всего таким множеством является ОДЗ исходного уравнения.

Договоримся, что далее все равносильные преобразования уравнений (а также неравенств и систем уравнений и неравенств) мы будем выполнять на ОДЗ исходного уравнения (неравенства или системы). Отметим, что в том случае, когда ОДЗ заданного уравнения является множество всех действительных чисел, мы не всегда будем ее записывать (как не записывали ОДЗ при решении линейных или квадратных уравнений). И в других случаях главное — не записать ОДЗ в решение уравнения, а реально учесть ее при выполнении равносильных преобразований данного уравнения.

Например, для уравнения задается неравенством Когда мы переходим к уравнению то для всех его корней это уравнение является верным равенством. Тогда выражение стоящее в правой части этого равенства, всегда неотрицательно таким образом, и равное ему выражение также будет неотрицательным: Но это и означает, что ОДЗ данного уравнения учтено автоматически для всех корней второго уравнения и поэтому при переходе от уравнения к уравнению ОДЗ данного уравнения можно не записывать в решение.

Для выполнения равносильных преобразований попробуем выделить общие ориентиры, аналогичные соответствующим ориентирам получения уравнений-следствий.

Как указывалось выше, выполняя равносильные преобразования уравнений, необходимо учесть ОДЗ данного уравнения — это и есть первый ориентир для выполнения равносильных преобразований уравнений.

По определению равносильности уравнений необходимо гарантировать, чтобы каждый корень первого уравнения был корнем второго и наоборот — каждый корень второго уравнения был корнем первого. Для первой части этого требования мы уже выделили общий ориентир: достаточно гарантировать сохранение правильности равенства при переходе от первого уравнения ко второму (с. 187).

Но тогда, чтобы выполнить вторую часть этого требования, достаточно второе уравнение рассмотреть как верное равенство (то есть взять такое значение переменной, которое является корнем второго уравнения) и гарантировать, что при переходе к первому верное равенство сохраняется (этот корень остается и корнем первого уравнения). Фактически из определения равносильности уравнений получаем, что каждое из равносильных уравнений является следствием другого уравнения).

Таким образом, при выполнении равносильных преобразований мы должны гарантировать сохранение правильности равенства на каждом шаге решения не только при прямых, а и при обратных преобразованиях — это и является вторым ориентиром для решения уравнений с помощью равносильных преобразований. (Соответствующие ориентиры схематически представлены в пункте 5 табл. 33.)

Например, чтобы решить с помощью равносильных преобразований уравнение достаточно учесть его ОДЗ: и условие равенства дроби нулю (дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю). Также следует обратить внимание на то, что на ОДЗ все необходимые преобразования можно выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением правильности равенства.

Запись решения в этом случае может быть такой:

ОДЗ: Тогда Отсюда (удовлетворяет условию ОДЗ) или (не удовлетворяет условию ОДЗ). Ответ: 1.

Для выполнения равносильных преобразований уравнений можно также пользоваться специальными теоремами о равносильности. В связи с уточнением определения равносильности уравнений обобщим также формулировки простейших теорем о равносильности, известных из курса алгебры 7 класса.

• Теорема 1. Если из одной части уравнения перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное заданному (на любом множестве).
• Теорема 2. Если обе части уравнения у множить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (или на одну и ту же функцию, которая определена и не равна нулю на ОДЗ заданного уравнения), то получаем уравнение, равносильное заданному (на ОДЗ исходного).

Обоснование этих теорем полностью аналогично обоснованию ориентиров для равносильных преобразований данного уравнения.

Замечание. Для обозначения перехода от данного уравнения к равносильному ему уравнению можно применять специальный значок но его использование при записи решений не является обязательным. (Хотя иногда мы будем им пользоваться, чтобы подчеркнуть, что были выполнены именно равносильные преобразования.)

Пример №66

Решите уравнение:

Решение:

ОДЗ: На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

то есть

Учтем ОДЗ. При Таким образом, —корень.

Ответ:

Комментарий:

Используем равносильные преобразования для решения данного уравнения. Для этого необходимо учесть ОДЗ, поэтому зафиксируем ее ограничения в начале решения.

Укажем, что в уравнениях ограничения ОДЗ можно только зафиксировать, но не решать, а в конце проверить, выполняются ли эти ограничения для найденных корней.

При переносе члена данного уравнения из одной части уравнения в другую с противоположным знаком получаем уравнение (1), равносильное заданному.

Приводя к общему знаменателю, раскрывая скобки и приводя подобные члены, снова получаем верное равенство и можем обосновать, что при выполнении обратных действий равенство также не нарушается, таким образом, полученные уравнения (1)—(3) равносильны заданному (на его ОДЗ).

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Но второе условие уже учтено в ограничениях ОДЗ, таким образом, получаем уравнение (4), равносильное заданному уравнению на его ОДЗ. Поскольку все преобразования были равносильными только с учетом ОДЗ, то мы должны проверить, удовлетворяет ли полученное число ограничениям ОДЗ.

Причины появления посторонних корней и потери корней при решении уравнений

Наиболее типичные случаи появления посторонних корней и потери корней приведены в таблице 34. Там же указано, как в каждом из этих случаев получить правильное (или полное) решение.

Получение уравнений следствий:

1. Приведение подобных членов.

Перенесем из правой части уравнения в левую слагаемое противоположным знаком и приведем подобные члены. Получим

а) переход к уравнению, ОДЗ которого шире, чем ОДЗ заданного уравнения;

2. Приведение обеих частей уравнения к общему знаменателю (при сокращении знаменателя).

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей Получим

3. Возведение обеих частей иррационального уравнения в квадрат.

б) выполнение преобразований, при которых происходит неявное умножение на нуль;

Умножение обеих частей уравнения на выражение с переменной.

Умножим обе части уравнения на Получим

не является корнем заданного уравнения.

Проверка показывает, что — посторонний корень, — корень.

не является корнем заданного уравнения.

Проверка показывает, что — посторонний корень.

Ответ: корней нет.

не является корнем заданного уравнения.

Проверка показывает, что — посторонний корень. Ответ: корней нет

не является корнем заданного уравнения.

В данном уравнении не было необходимости умножить на Ответ: корней нет. Если применить умножение обеих частей уравнения на то проверка показывает, что — посторонний корень, то есть уравнение не имеет корней.

в) применение к обеим частям уравнения функции, которая не является возрастающей или убывающей.

Возведение обеих частей уравнения в четную степень или применение к обеим частям уравнения тригонометрических функций.

Возведем обе части уравнения в квадрат: Получим

Явное или неявное сужение ОДЗ заданного уравнения, в частности выполнение преобразований, в ходе которых происходит неявное деление на нуль.

1. Деление обеих частей уравнения на выражение с переменной.

Поделив обе части уравнения на получим

2. Сложение, вычитание, умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, ОДЗ которого уже, чем ОДЗ заданного уравнения.

Если к обеим частям уравнения прибавить то получим уравнение у которого только один корень

Где ошибка при решении уравнения

1. не является корнем заданного уравнения. Выполнить проверку подстановкой корней в заданное уравнение.

В данном уравнении не было необходимости возводить в квадрат.

Ответ: –2.

Если применить возведение в квадрат, то проверка показывает, что — корень, a — посторонний корень.

Потеряли корень поскольку после деления на фактически получили уравнение ОДЗ которого: то есть сузили ОДЗ заданного уравнения.

Те значения, на которые сузилась ОДЗ, необходимо рассмотреть отдельно.

1. При получаем — верное равенство, таким образом, — корень.
2. При получаем

Ответ. 0; 1. (Конечно, удобнее решать так:

Потеряли корень поскольку ОДЗ данного уравнения: — любое число, а существует только при

В данном уравнении не было необходимости прибавлять к обеим частям

Ответ: (Если бы пришлось прибавить к обеим частям то при данное уравнение необходимо рассмотреть отдельно, и тогда получим еще и корень

Применение свойств функций к решению уравнений:

Конечная ОДЗ:

Если область допустимых значений (ОДЗ) уравнения (неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения.

ОДЗ:

Проверка: корень , - не корень

Ответ: 1

Оценка левой и правой частей уравнения:

Если надо решить уравнение вида и выяснилось, что то равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда и одновременно равны

Итак, заданное уравнение равносильно системе

Ответ: 0

Сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю.

Итак, заданное уравнение равносильно системе Из первого уравнения получаем что удовлетворяет всей системе.

Ответ: 2.

Использование возрастания и убывания функций:

1. Подбираем один или несколько корней уравнения.
2. Доказываем, что других корней это уравнение не имеет (используя теоремы о корнях уравнения или оценку левой и правой частей уравнения)

1. Если в уравнении функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Пример:

Уравнение имеет единственный корень то есть поскольку функция возрастает на всей области определения

2. Если в уравнении функция возрастает на некотором промежутке, а функция убывает на этом же промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Пример:

Уравнение имеет единственный корень − то есть поскольку возрастает на всей области определения убывает (на множестве а следовательно, и при

Объяснение и обоснование:

Конечная ОДЗ

Напомним, что в случае, когда дано уравнение общая область определения для функций называется областью допустимых значений этого уравнения. Понятно, что каждый корень заданного уравнения принадлежит как области определения функции так и области определения функции Таким образом, каждый корень уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в некоторых случаях за счет анализа ОДЗ получить решение уравнения.

Например, если дано уравнение то его ОДЗ можно задать с помощью системы Решая эту систему, получаем то есть Таким образом, ОДЗ данного уравнения состоит только из одного значения Но если только для одного числа необходимо выяснить, является ли оно корнем данного уравнения, то для этого достаточно подставить это значение в уравнение. В результате получаем верное числовое равенство Следовательно, — корень данного уравнения. Других корней у этого уравнения быть не может, поскольку все корни уравнения находятся в его ОДЗ, а там нет других значений, кроме

Рассмотренный пример позволяет выделить ориентир для решения аналогичных уравнений:

• если ОДЗ уравнения (а также неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения.

Замечание. В том случае, когда ОДЗ — пустое множество (не содержит ни одного числа), мы можем сразу дать ответ, что данное уравнение не имеет корней.

Например, если необходимо решить уравнение то его ОДЗ задается системой то есть системой которая не имеет решений. Таким образом, ОДЗ данного уравнения не содержит ни одного числа, и поэтому это уравнение не имеет корней.

Оценка левой и правой частей уравнения

Некоторые уравнения можно решить с помощью оценки левой и правой частей уравнения.

Пусть дано уравнение и нам удалось выяснить, что для всех допустимых значений значение а значение

Рассмотрим два случая:

Если то равенство не может выполняться, потому что то есть при данное уравнение корней не имеет. Остается только случай но, учитывая необходимость выполнения равенства имеем, что тогда и Таким образом, мы обосновали, что выполнение равенства (при условии гарантирует одновременное выполнение равенств (и, наоборот, если одновременно выполняются равенства то выполняется и равенство Означает, что уравнение равносильно системе Коротко это можно записать так:

Пример использования такого приема решения уравнений приведен в пункте 2 таблицы 35.

Аналогично предыдущим рассуждениям обосновывается и ориентир по решению уравнения в котором все функции-слагаемые неотрицательны

Если предположить, что то сумма всех функций, стоящих в левой части этого уравнения, может равняться нулю только тогда, когда сумма будет отрицательной. Но это невозможно, поскольку по условию все функции неотрицательные. Таким образом, при данное уравнение не имеет корней. Эти же рассуждения можно повторить для любой другой функции-слагаемого. Остается единственная возможность — все функции-слагаемые равны нулю (очевидно, что в этом случае равенство обязательно будет выполняться).

Таким образом, сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю. О Например, чтобы решить уравнение достаточно перенести все члены в одну сторону, записать уравнение в виде и учесть, что функции неотрицательные. Таким образом, данное уравнение равносильно системе

Из второго уравнения получаем что удовлетворяет и всей системе. Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень

Использование возрастания и убывания функций

Использование возрастания и убывания функций к решению уравнений опирается на такое свойство: возрастающая или убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения. Полезно помнить специальные теоремы о корнях уравнения.

Теорема 1. Если в уравнении функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Графически утверждение теоремы проиллюстрировано на рисунке 96. Прямая пересекает график возрастающей на промежутке функции только в одной точке. Это и означает, что уравнение не может иметь больше одного корня на промежутке Докажем это утверждение аналитически.

Если на промежутке уравнение имеет корень Других корней быть не может, поскольку для возрастающей функции при получаем неравенство а при — неравенство Таким образом, при Аналогично и для убывающей функции при получаем

Теорема 2. Если в уравнении функция возрастает на некотором промежутке, а функция убывает на этом же промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Графически утверждение теоремы проиллюстрировано на рисунке 97.

Если на промежутке уравнение имеет корень Других корней быть не может, поскольку, например, для возрастающей функции и убывающей функции имеем таким образом, Аналогично и при

Каждая из этих теорем утверждает, что в рассмотренном промежутке данное уравнение может иметь не более чем один корень, то есть или это уравнение совсем не имеет корней, или оно имеет единственный корень. Если нам удалось подобрать один корень такого уравнения, то других корней в заданном промежутке уравнение не имеет.

Например, чтобы решить уравнение достаточно заметить, что функция является возрастающей на всей числовой прямой (как сумма двух возрастающих функций) и что — корень этого уравнения Таким образом, данное уравнение имеет единственный корень

Заметим, что каждая из этих теорем гарантирует единственность корня уравнения (если он есть) только на промежутке возрастания (или убывания) соответствующей функции. Если функция имеет несколько промежутков возрастания и убывания, то приходится рассматривать каждый из них отдельно.

Пример №67

Решим с помощью теоремы 2 уравнение

Сначала следует учесть его ОДЗ: и вспомнить, что функция на всей области определения не является ни убывающей, ни возрастающей (с. 22), но она убывает на каждом из промежутков Поэтому рассмотрим каждый из этих промежутков отдельно.

1. При данное уравнения имеет корень Функция возрастает при (как было показано выше, она возрастает на множестве а функция убывает на промежутке Таким образом, данное уравнение имеет единственный корень
2. При данное уравнение имеет корень Функция возрастает при а функция убывает на этом промежутке. Поэтому данное уравнение при имеет единственный корень

В ответ следует записать все найденные корни (хотя на каждом из промежутков корень единственный, но всего корней — два). Итак, данное уравнение имеет только два корня:

Примеры решения задач:

Пример №68

Решение

Решение:

ОДЗ: Тогда функция (как сумма двух взаимно обратных положительных чисел), а функция Таким образом, данное уравнение равносильно системе

Из второго уравнения системы получаем что удовлетворяет и первому уравнению. Таким образом, система (а значит, и данное уравнение) имеет единственное решение

Ответ: 1.

Комментарий:

Если раскрыть скобки и привести обе части уравнения к общему знаменателю, то для нахождения корней полученного уравнения придется решать полное уравнение восьмой степени, все корни которого мы не сможем найти.

Попытаемся оценить области значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Поскольку на ОДЗ то в левой части уравнения стоит сумма двух взаимно обратных положительных чисел, которая всегда больше или равна 2. В правой части из 2 вычитается неотрицательное число Таким образом, при всех значениях получаем значение, меньшее или равное 2. Равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда обе части равны 2.

Пример №69

Решите систему уравнении

Решение:

ОДЗ: Рассмотрим функцию На своей области определения эта функция является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций). Тогда первое уравнение заданной системы, которое имеет вид равносильно уравнению Таким образом, на ОДЗ заданная система равносильна системе

Подставляя во второе уравнение системы, имеем Учитывая, что на ОДЗ получаем Тогда

Ответ:

Замечание. Утверждение, обоснованное в комментарии к задаче 2, может быть использовано при решении аналогичных задач. Коротко его можно сформулировать так: если функция является возрастающей (или убывающей) на определенном множестве, то на этом множестве

Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем

Иногда приходится решать тригонометрические уравнения, в которые входят только сумма или разность синуса и косинуса одного и того же аргумента и их произведение. В таком случае целесообразно эту сумму (или разность) обозначить новой переменной.

Пример №70

Решите уравнение

Комментарий:

Если в заданном уравнении привести все тригонометрические функции к одному аргументу то получим уравнение (1) (см. решение), в которое входят только сумма синуса и косинуса одного и того же аргумента и их произведение. Для решения этого уравнения введем новую переменную Чтобы получить произведение достаточно возвести в квадрат обе части равенства замены и учесть, что Выполняя обратную замену, удобно также учесть, что

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнению

Если обозначить Тогда

Подставляя эти значения в уравнение (1), получаем

Таким образом,

Тогда Получаем (корней нет, поскольку или Отсюда

Ответ:

Замечание. При возведении обеих частей уравнения в квадрат можно получить посторонние корни (см. таблицу 34). Но возведение обеих частей равенства замены в квадрат является равносильным преобразованием.

Действительно, в этом случае левая и правая части равенства имеют одинаковые знаки, и тогда Если обе части равенства положительны, то для положительных значений функция возрастает и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Таким образом, при из равенства следует равенство и, наоборот, из равенства следует равенство что и гарантирует равносильность выполненного преобразования для положительных Аналогично для используем то, что для отрицательных значений функция убывает и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента.

Для решения некоторых тригонометрических уравнений могут применяться свойства функций, в частности, оценка левой и правой частей уравнения.

Пример №71

Решите уравнение

Решение:

Оценим область значений функции Поскольку Выясним, существуют ли такие значения при которых функция может принимать наибольшее значение.

Если будет меньше чем 1, то для того чтобы сумма равнялась 2, необходимо, чтобы значение было больше чем 1, что невозможно.

Аналогично, если допустить, что меньше чем 1, то для того чтобы сумма равнялась 2, необходимо, чтобы значение было больше чем 1, что невозможно. Таким образом, равенство в данном уравнении возможно тогда и только тогда, когда равны 1. Поэтому данное уравнение равносильно системе

Приравнивая правые части этих равенств, получаем

Поскольку — целые числа, то попробуем подставить в правую часть последнего равенства вместо целые числа и найти, для каких значений по этой формуле также будет целым числом. При получаем В случае, когда коэффициент 12 при переменной в числителе дроби и знаменатель 5 — взаимно простые числа, повторение делимости нацело будет только через знаменатель, то есть через 5.

Поэтому последнее уравнение имеет решения в целых числах значениях вида Подставляя значение в одно из решений системы, получаем Эти значения и являются решениями последней системы, а следовательно, и решениями данного уравнения. Ответ:

Пример №72

Решите уравнение

Комментарий:

Преобразуем левую часть по формуле и оценим область значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Решая полученную систему двух уравнений с одним неизвестным, можно несколько упростить выкладки и решить только одно уравнение системы, а для другого проверить, удовлетворяют ли ему полученные решения.

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнению Обозначим: поэтому Левая часть уравнения (1) меньше или равна 2, а правая часть больше или равна 2. Равенство между ними возможно тогда и только тогда, когда левая и правая части уравнения равны 2, то есть данное уравнение равносильно системе

Из первого уравнения системы имеем

откуда где Тогда

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения второму уравнению системы. Если тогда и поэтому

Ответ:

Иногда для решения тригонометрических уравнений приходится применять тригонометрические формулы, которые приводят к сужению ОДЗ данного уравнения. Такие преобразования могут приводить к потере корней уравнения. Чтобы этого не случилось, можно пользоваться таким ориентиром:

• если для решения уравнений (или неравенств) приходится выполнять преобразования, сужающие ОДЗ исходного уравнения (или неравенства ), то те значения, на которые сужается ОДЗ, необходимо рассматривать отдельно.

В таблице 36 указаны тригонометрические формулы, которые могут приводить к сужению ОДЗ, и соответствующие значения переменной, которые приходится проверять при использовании этих формул.

Формула (используется слева направо)

Чтобы убедиться, что приведенные формулы приводят к сужению ОДЗ, достаточно сравнить области допустимых значений их левых и правых частей.

Например, рассмотрим формулу

ОДЗ левой части: . Для нахождения ОДЗ правой части формулы учитываем, что знаменатель дроби не равен нулю: таким образом, и также условие существования тангенса: То ОДЗ правой части содержит дополнительное ограничение

Сравнивая ОДЗ левой и правой частей рассмотренной формулы, видим, что ОДЗ правой части содержит дополнительные ограничение Таким образом, при переходе по этой формуле от ее левой части к правой происходит сужение ОДЗ (отбрасываются именно те значения, которые указаны в таблице: Чтобы не потерять корни данного уравнения, при использовании формулы значение необходимо рассмотреть отдельно (конечно, только в том случае, когда оно входит в ОДЗ данного уравнения).

Приведем пример использования указанного ориентира:

Пример №73

Решите уравнение

Комментарий:

Если воспользоваться первыми двумя формулами таблицы 36, то мы приведем все тригонометрические выражения в этом уравнении и к одному аргументу, и к одной функции Но при использовании указанных формул

происходит сужение ОДЗ на значение и вследствие этого можно потерять корни уравнения, если числа такого вида входят в ОДЗ исходного уравнения и являются его корнями. Чтобы этого не случилось, разобьем решение на две части.

1. Подставляем те значения переменной, на которые сужается ОДЗ, в уравнении (1). При вычислениях учитываем периодичность функций и формулы приведения.
2. При (на ОДЗ уравнения (1)) использование формул и

Приводит к уравнению(2)(см. решение), которое равносильно заданному (на той части ОДЗ, где потому что эти формулы сохраняют верное равенство как при переходе от равенства (1) к равенству (2), так и при обратном переходе от равенства (2) к равенству (1). Замена переменной (и обратная замена) также приводит к уравнению, равносильному заданному (на указанной части ОДЗ исходного уравнения).

Заметим, что ОДЗ уравнения (2) отличается от ОДЗ уравнения (1) только тем, что в нее не входят значения , которые входят в ОДЗ уравнения (1). Поскольку эти «плохие» значения мы учли в процессе решения, то ОДЗ уравнения (1) можно в явном виде не фиксировать (как в приведенном решении). В ответе записываем все корни, которые были получены в первой и второй частях решения.

Решение:

1. Если то из данного уравнения получаем

— верное равенство.

Таким образом, — корни уравнения (1).

2. Если получаем

Замена приводит к уравнению которое при равносильно уравнению Тогда Обратная замена дает: то есть

Ответ:

Некоторые тригонометрические уравнения удается решить, используя такой ориентир, который условно можно назвать «ищи квадратный трехчлен» , то есть:

• попробуйте рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно некоторой переменной (или относительно некоторой функции).

Пример №74

Решите уравнение

Комментарий:

Есть несколько подходов к решению данного уравнения.

1. Рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно переменной х и учесть, что оно может иметь корни тогда и только тогда, когда его дискриминант будет неотрицательным.
2. Если в левой части уравнения выделить полный квадрат то получим уравнение

Учтем, что всегда и

А сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю.

Также можно последнее уравнение записать в таком виде:

и оценить левую и правую части этого уравнения.

Решение:

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно

Это уравнение может иметь корни тогда и только тогда, когда его дискриминант будет неотрицательный: Тогда Но не может быть больше чем 1. Таким образом, или Подставляя эти значения в данное уравнение, получаем, что оно равносильно совокупности систем:

Из второго уравнения первой системы имеем что удовлетворяет и первому уравнению системы. Таким образом, — решение первой системы, а значит и решение данного уравнения. Аналогично получаем — решение второй системы, а значит и решение данного уравнения.

Ответ:

При решении систем тригонометрических уравнений не всегда удается выполнять только равносильные преобразования уравнений системы, иногда приходится пользоваться уравнениями-следствиями. В таких случаях могут возникать посторонние решения, поэтому полученные решения необходимо проверять. Причем проверять можно как значения переменных, полученные в конце решения, так и значения тригонометрических функций, полученные в ходе решения. Если все тригонометрические функции, которые входят в запись системы, по каждой из переменных имеют общий период, то достаточно выполнить проверку для всех значений переменных из одного периода (для каждой переменной).

Пример №75

Решите систему уравнений

Комментарий:

Если из первого уравнения системы выразить а из второго — то можно возвести обе части каждого уравнения в квадрат и после почленного сложения полученных уравнений использовать тождество В результате получим уравнение с одной переменной которое легко приводится к одной тригонометрической функции.

Но при возведении обеих частей уравнения в квадрат получаем уравнение-следствие. Таким образом, среди полученных решений могут быть и посторонние решения для данной системы, которые придется отсеивать проверкой.

Для проверки учитываем, что все функции относительно переменной которые входят в запись системы (то есть имеют общий период Аналогично все функции относительно переменной тоже имеют общий период

Следовательно, проверку решений достаточно выполнить для всех пар чисел (можно взять и другие промежутки длиной Полезно также учесть, что все решения, полученные вследствие подстановки в одно из уравнений системы, автоматически удовлетворяют этому уравнению, а значит проверку этих решений достаточно выполнить только для второго уравнения системы.

Для каждой переменной все полученные решения необходимо повторить через период.

Решение:

Возведем обе части каждого уравнения системы в квадрат и почленно сложим полученные уравнения. Получаем уравнение-следствие

Тогда

Таким образом,

Подставляя полученные значения в уравнение (2), получаем

Тогда Относительно каждой из переменных все функции, которые входят в запись данной системы, имеют период поэтому проверку достаточно выполнить для всех пар чисел

Для системы (3) это пары чисел: а для системы (4) это пары чисел:

Решениями заданной системы являются только пары чисел:

Ответ получим, повторяя приведенные решения через период (для каждой переменной).

Ответ:

При решении уравнений с обратными тригонометрическими функциями полезно помнить, что при

и для любых значений

Также при решении уравнений с обратными тригонометрическими функциями часто бывает удобно от обеих частей уравнения взять какую-нибудь тригонометрическую функцию и воспользоваться определением соответствующих обратных тригонометрических функций.

Пример №76

Решите уравнение

Комментарий:

Если взять от обеих частей данного уравнения функцию синус, то получим уравнение-следствие: если числа равны, то и синусы будут равны, но если синусы двух чисел равны, то это еще не значит, что числа обязательно будут равны. То есть верное равенство будет сохраняться при прямых преобразованиях, но не обязательно будет сохраняться при обратных преобразованиях. Таким образом, в конце решения необходимо выполнить проверку полученных корней.

Если обозначить то по определению арксинуса и Для нахождения учитываем, что при значение таким образом,

Проверяя полученные решения, в тех случаях, когда найденные числа не являются корнями данного уравнения, иногда удобно сравнить полученные

решения с табличными значениями. Например, больше, чем

Учитывая возрастание функции получаем, что

Решение:

Если обозначить где то данное уравнение будет иметь вид

Возьмем от обеих частей уравнения (1) функцию синус и получим

По определению арксинуса Учитывая, что получаем Тогда уравнение (2) будет иметь вид

Таким образом, Проверка.

2) —посторонние корни.

Действительно, при (поскольку

Аналогично при и равенство также не выполняется.

Ответ: 0.

Замечание. Для решения уравнения можно было применить не только уравнения-следствия, но и равносильные преобразования уравнений.

В этом случае необходимо учесть ОДЗ данного уравнения:

а также то, что для всех корней уравнения его правая часть находится в промежутке (по определению арксинуса). Таким образом, и левая часть уравнения должна находиться в этом же промежутке. Значит, для всех корней данного уравнения выполняется условие: то есть

На промежутке функция является возрастающей, тогда при выполнении условия (4) (и, конечно, на ОДЗ (3)), если от обеих частей данного уравнения взять синус, то получим равносильное ему уравнение (то есть данное уравнение равносильно уравнению (2) при условиях (3) и (4)). Выполняя рассуждения и преобразования, приведенные выше в решении задачи 7, получаем

Все найденные решения принадлежат ОДЗ (удовлетворяют условиям (3)), но условию (4) удовлетворяет только Таким образом, корнем данного уравнения является только

Тригонометрические уравнения с параметрами

Если в запись тригонометрического уравнения кроме переменной и числовых коэффициентов входят также буквенные коэффициенты — параметры, то при решении таких уравнений можно пользоваться следующим ориентиром.

Любое уравнение или неравенство с параметрами можно решать как обычное уравнение или неравенство до тех пор, пока все преобразования или рассуждения, необходимые для решения, можно выполнить однозначно. Если какое-то преобразование нельзя выполнить однозначно, то решение необходимо разбить на несколько случаев, чтобы в каждом из них ответ через параметры записывался однозначно.

Решение уравнений с параметрами

На этапе поиска плана решения уравнения или неравенства с параметрами или в ходе рассуждений, связанных с самим решением как таковым, часто удобно сопровождать соответствующие рассуждения схемами, по которым легко проследить, в какой момент мы не смогли однозначно выполнить необходимые преобразования, на сколько случаев пришлось разбить решение и чем отличается один случай от другого. Чтобы на таких схемах (или в записях громоздких решений) не потерять какой-нибудь ответ, целесобразно помещать окончательные ответы в прямоугольные рамки.

Пример №77

Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Комментарий:

Наличие параметра не мешает нам однозначно выразить из данного уравнения.

Уравнение не имеет корней, а при корни уравнения можно записать по известной формуле (см. с. 158). Таким образом, для уравнения нельзя однозначно записать решения, и поэтому, начиная с этого момента, решения необходимо развести на два случая. Окончательный ответ можно записать с использованием знака модуля, а можно дать ограничения для параметра без модуля и записать ответ так:

1) если то корней нет; 2) если то

Пример №78

Решите уравнение

Решение:

Тогда

Откуда или

Ответ: ( см. в конце замечания)

Комментарий:

Сначала приведем все тригонометрические функции к одному аргументу используя формулу Если перенести все члены уравнения в левую часть, то можно вынести за скобки общий множитель

Поскольку оба множителя имеют смысл при любых значениях переменной то уравнение (1) равносильно совокупности то есть совокупности

Для уравнения мы можем записать корни при любых значениях (в этом уравнении параметра нет). Решение уравнения зависит от значения правой части: если то корней нет, а если то корни есть. Таким образом, приходится разбивать решение этого уравнения на два случая.

Замечание. Для записи полученных ответов (они на схемах расположены в прямоугольных рамках) целесообразно уточнить, при каких значениях а выполняются ограничения

Для этого решаем соответствующие неравенства:

Чтобы облегчить запись ответа в случаях сложных или громоздких решений, изобразим ось параметра (а) и отметим на ней все особые значения параметра, которые появились в процессе решения. Под осью параметра (левее от нее ) выпишем все полученные решения ( кроме «решений нет» ) и напротив каждого ответа отметим, при каких значениях параметра этот ответ можно использовать (см. схему ниже). После этого ответ записывается для каждого из особых значений параметра и для каждого из полученных промежутков оси параметра.

Из этой схемы хорошо видно, что при в ответ необходимо записать только одну формулу, а при две формулы.

Ответ: 1)если

2)если

Пример №79

Решите уравнение

Комментарий:

Для решения уравнения (1) используем равносильные преобразования. Тогда мы обязательно должны учесть ОДЗ данного уравнения. Для этого записываем условия существования тангенса и котангенса и решаем соответствующие ограничения. Мы можем привести все тригонометрические функции к одному аргументу используя формулу тангенса двойного аргумента, а потом привести все выражения к одной функции используя формулу Но использование указанных формул приводит к сужению ОДЗ (табл. 36) и, чтобы не потерять корни данного уравнения, те значения, на которые сужается ОДЗ необходимо рассмотреть отдельно.

При приводим все тригонометрические выражения к одной функции и выполняем равносильные преобразования полученного уравнения

На ОДЗ уравнения (1) знаменатели дробей в уравнении (2) не равны нулю. Таким образом, после умножения обеих частей уравнения (2) на выражения, которые стоят в знаменателях, получаем уравнение равносильное уравнению (2) на ОДЗ уравнения (1).

1. Если то есть то получаем уравнение которое не имеет корней.
2. Если то есть то получаем

Чтобы решить это уравнение, необходимо знать знак выражения, которое стоит в правой части, поскольку не может быть отрицательным. Рассмотрим для правой части три случая: она меньше нуля, равна нулю, больше нуля. То есть дальнейшие рассуждения проведем по следующей схеме.

Конечно, для каждого случая необходимо уточнить, при каких значениях выполняются соответствующие ограничения, и для каждого полученного решения необходимо - > 0 проверить, входит оно в ОДЗ данного уравнения или нет.

Решение:

1. При из уравнения (1) получаем то есть — равенство, верное при любых значениях Таким образом, при всех значениях параметра а данное уравнение имеет корни

2. При получаем уравнение (2): которое на ОДЗ равносильно уравнению Отсюда

1) Если то корней нет.

2) Если то уравнение (3) равносильно уравнению

• а) Если то корней нет. Решив неравенство методом интервалов (см. рисунок), получаем Таким образом, при
• б) Если (то есть получаем уравнение которое имеет корни Но эти корни не входят в ОДЗ данного уравнения. Таким образом, и при
• в) Если (то есть то из уравнения (4) получаемОтсюда

Выясним, при каких значениях а полученные корни уравнения (4) не входят в ОДЗ. Для этого достаточно в уравнении (4) вместо аргумента подставить «запрещенные» значения.

Учитывая, что функции, которые входят в запись данного уравнения (1), имеют общий период имеет период имеет период достаточно подставить эти значения только на одном периоде, например на промежутке В этом промежутке в ОДЗ не входят такие значения: При из уравнения (4) получаем равенство то есть Случай мы уже исследовали (корней нет). При или из уравнения (4) получаем

Но ни при одном значении это равенство не может выполняться. Таким образом, при всех значениях полученные решения входят в ОДЗ исходного уравнения.

Изобразим полученные ответы:

Ответ: 1)если

2) если

Исследовательские задачи с параметрами

Кроме задач с параметрами, в которых требуется «решить уравнение или неравенство», часто предлагаются исследовательские задания с параметрами. Такие задания иногда удается решить с помощью непосредственных вычислений: решить данное уравнение или неравенство и после этого дать ответ на вопрос задачи. Но достаточно часто исследовательские задания не удается решить непосредственными вычислениями (или такие вычисления являются очень громоздкими), и поэтому приходится сначала обосновать какое-то свойство данного уравнения или неравенства, а потом, пользуясь этим свойством, уже давать ответ на вопрос задачи.

Рассмотрим некоторые из таких свойств. Например, принимая во внимание четность функций, которые входят в запись данного уравнения, используется такой ориентир.

Если в уравнении функция является четной или нечетной, то вместе с любым корнем мы можем указать еще один корень этого уравнения

Пример №80

Найдите все значения параметра при которых уравнение имеет единственный корень.

Решение:

Функция является четной Если — корень уравнения (1), то тоже является корнем этого уравнения. Поэтому единственный корень у данного уравнения может быть только тогда, когда то есть Таким образом, единственным корнем данного уравнения может быть только

Если то из уравнения (1) получаем то есть Отсюда При уравнения (1) превращается в уравнение имеющее единственный корень Таким образом, удовлетворяет условию задачи. При имеем уравнение то есть

Поскольку то уравнение (2) равносильно системе:

Из второго уравнения системы получаем что удовлетворяет и первому уравнению. Таким образом, эта система, а значит и уравнение(2) имеет единственное решение Следовательно, также удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

Комментарий:

Отмечаем, что в левой части данного уравнения стоит четная функция, и используем ориентир, приведенный выше. Действительно, если корень уравнения то — верное числовое равенство. Учитывая четность функции имеем Таким образом, тоже корень уравнения Единственный корень у этого уравнения может быть только тогда, когда корни совпадают. Тогда

Выясним, существуют ли такие значения параметра при которых является корнем уравнения (1). (Это

Поскольку значение мы получили из условия, что — корень уравнения (1), то необходимо проверить, действительно ли при этих значениях данное уравнение будет иметь единственный корень.

Для решения уравнения (2) оценим его левую и правую части:

При решении некоторых исследовательстких задач с параметрами помогает использование следующего ориентира.

Если в условии задачи с параметрами говорится о том, что решениями данного уравнения или неравенства являются все значения переменной из некоторого множества, то иногда полезно подставить конкретные значения переменной из заданного множества и получить некоторые ограничения на параметр.

Пример №81

Найдите все пары чисел для которых корнями уравнения будут все действительные числа.

Решение:

Если корнями данного уравнения являются все действительные числа, то корнем будет и число ноль.

При получаем тогда Учитывая, что а получаем,что уравнение(2) равносильно системе

Из первого уравнения системы получаем что удовлетворяет и второму уравнению. Таким образом, эта система, а значит, и уравнение (2) имеют единственное решение

Следовательно, условие задачи может выполняться только при

При уравнение (1) обращается в уравнение

Но по условию корнями уравнения (1), а значит и уравнения (3) должны быть все действительные числа, таким образом, корнем будет и число При получаем тогда то есть Следовательно, (то есть — целое число).

Если корнями уравнения (3) являются все действительные числа, то корнем будет и число

При получаем Поскольку при целых значениях принимает только значения может принимать только значения 0; 1; 2.

Если то уравнение (1) имеет вид то есть и его корнями являются все действительные числа. Таким образом, пара чисел удовлетворяет условию задачи.

Если то уравнение (1) имеет вид и его корнями являются все действительные числа. Таким образом, пара чисел )удовлетворяет условию задачи.

Если то уравнение (1) имеет вид Корнями этого уравнения не могут быть все действительные числа, поскольку корнем не является (при подстановке получаем неверное равенство Таким образом, пара чисел не удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

Комментарий:

Мы не в состоянии решить данное уравнение (но его и не требуют решить), поэтому воспользуемся тем, что по условию его корнями будут все действительные числа, и подставим вместо переменной какие-то конкретные значения.

Для подстановки чаще всего выбирают такие значения переменной, которые обращают какие-то выражения в нуль. Так, при выражение в первых скобках равно нулю. Решая полученное уравнение (2) относительно получаем единственное решение

Если то равенство (1) не может быть верным при то есть не будет корнем данного уравнения, а значит при этих значениях уравнение (1) не может иметь корнями все действительные числа.

Попытаемся еще раз превратить выражение в первых скобках в нуль, используя то, что число является периодом функции таким образом, через значение в первых скобках будет повторяться(подставляем

Потом попробуем превратить в нуль (подставляем

При целом значение на единичной окружности изображается на концах горизонтального и вертикального диаметров, таким образом, значениями могут быть только:

Поскольку значения мы получили при подстановке в данное уравнение только трех значений то необходимо проверить, будут ли все действительные числа при этих значениях корнями данного уравнения, то есть проверить, будет ли уравнение (1) обращаться в верное равенство при всех действительных значениях

В случае, когда получаем, что Если бы это равенство было верным при всех значениях то это была бы еще одна формула косинуса двойного аргумента. Но такой формулы нет, таким образом, можно указать какое-то значение при котором это равенство не выполняется.

Использование условий расположения корней квадратного трехчлена f(x)=ax²+bx+c (a≠0) Относительно заданных чисел A и B

При решении некоторых исследовательских задач с параметрами можно использовать необходимые и достаточные условия расположения корней квадратного трехчлена. Основные из этих условий приведены в таблице 37 (использованы традиционные обозначения

Расположение корней:

при

при

В общем случае

при

при

В общем случае

при

при

В общем случае

при

при

В общем случае

при

при

В общем случае

при

при

В общем случае

при

при

В общем случае

Объяснение и обоснование:

Для обоснования указанных условий достаточно воспользоваться тем, что график функции сплошная (неразрывная) линия. Если такая функция на концах какого-то промежутка принимает значения с разными знаками (то есть соответствующие точки графика находятся в разных полуплоскостях относительно оси то внутри этого промежутка есть хотя бы одна точка, в которой функция равна нулю (рис. 98).

Например, для того чтобы два разных корня квадратного трехчлена при были расположены по разные стороны от данного числа А, достаточно зафиксировать только одно условие (рис. 99). Действительно, график квадратичной функции при — парабола, ветви которой направлены вверх. Тогда в случае, когда аргумент стремится к (это обозначается обычно так: или функция стремится к таким образом, Если выполняется условие то при изменении значения аргумента квадратичная функция меняет свой знак с таким образом, имеет хотя бы один корень

Так же при изменении значения аргумента А квадратичная функция меняет свой знак с таким образом, имеет хотя бы один корень Но квадратный трехчлен не может иметь больше двух корней, таким образом, при условие необходимое и достаточное для того, чтобы два разных корня квадратного трехчлена находились по разные стороны от данного числа

Аналогичные рассуждения при показывают, что для выполнения этого же требования необходимо и достаточно, чтобы Эти два условия можно объединить в одно:

Действительно Таким образом квадратный трехчлен имеет два различных корня, расположенных по разные стороны от данного числа тогда и только тогда, когда выполняется условие

Аналогично обосновываются и другие условия, приведенные в таблице 37.

Заметим, что эти условия можно не запоминать, а для их записи пользоваться графиком квадратичной функции (изображенным для необходимого расположения корней) и таким ориентиром.

Для того чтобы корни квадратного трехчлена были расположены заданным образом относительно данных чисел необходимо и достаточно выполнения системы условий, которая включает:

1. знак коэффициента при старшем члене;
2. знаки значений
3. знак дискриминанта
4. положение абсциссы вершины параболы относительно данных чисел

Отметим, что для случаев, в которых хотя бы одно из данных чисел находится между корнями квадратного трехчлена (см. вторую, пятую, шестую и седьмую строки табл. 37), достаточно выполнения первых двух условий этого ориентира, а для других случаев приходится рассматривать все четыре условия. Также заметим, что, записывая каждое из указанных условий, следует смотреть, будет ли выполняться требование задачи в том случае, если в этом условии записать знак нестрогого неравенства.

Пример №82

Найдите все значения параметра для которых уравнение имеет корни.

Комментарий:

Сначала выполним равносильные преобразования данного уравнения: приведем к одному аргументу и к одной функции, а потом выполним замену Следует учитывать, что после замены переменной иногда изменяется требование задачи, а именно, для уравнения (2) оно будет таким: найти все значения параметра для которых это уравнение имеет хотя бы один корень на промежутке (тогда после обратной замены мы найдем корни уравнения а значит и корни уравнения (1)). Это возможно в одном из трех случаев: или оба корня уравнения (2) находятся в этом промежутке, или только один из корней уравнения (2) находится в промежутке а второй — справа или слева от этого промежутка. Изобразив соответствующие эскизы графиков функции (см. рисунки), по приведенному ориентиру (или по таблице 37) записываем соответствующие условия расположения корней (3)-(5). При этом учитываем, что в случаях, когда или то условие задачи тоже выполняется.

В конце необходимо объединить все полученные результаты. Заметим, что для получения ответа можно решить уравнение (2):

потом решить совокупность неравенств: но неравенства с корнями (иррациональные) будут рассмотрены в следующем разделе, и решать их достаточно сложно.

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнению: Замена дает уравнение

Уравнение (1) будет иметь корни тогда и только тогда, когда уравнение (2) будет иметь хотя бы один корень на промежутке

1. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена находились в этом промежутке, достаточно выполнения условии -
2. Для того чтобы один корень находился в промежутке а второй справа от 1 (или в точке 1), достаточно выполнения условии
3. Для того чтобы один корень находился в промежутке а второй слева от-1 (или в точке -1), достаточно выполнения условий

Решаем совокупность систем неравенств (3)-(5): 10 + а >0, 10-а >0, а2-64 > 0, или

Тогда

Первая система не имеет решений, а из других получаем Ответ: