Тригонометрические неравенства с примерами решения

Содержание:

Для решение простейших тригонометрических неравенств можно использовать как единичную окружность, так и графики тригонометрических функций.

Пример 1.

Решим неравенство

Решение:

Запишем решение в общем виде.

Решить данное неравенство значит, найти абсциссы множества точек графика функции , ординаты которых больше .

1.Построим график функции .

2.В одной системе координат построим график функции .

3.Отметим точки пересечения графиков.

4. Как видно, прямая делит график функции на две части. Абсциссы множества точек расположенные в верхней части от прямой удовлетворяют неравенству. На интервале эти точки имеют абсциссы . Значит, решением неравенства на интервале является множество точек, удовлетворяющих условию

Также решения тригонометрических неравенств можно ясно увидеть на единичной окружности. Все остальные интервалы, удовлетворяющие решению неравенства получаются смещением интервала на расстояние длиной в влево или вправо. Поэтому решения неравенства записываются так:

.

Пример 2.

Решим неравенство

Решение:

Решения уравнения являются абсциссами точек пересечения графиков функций и . Если один из корней, на промежутке длиной равен , то другой корень будет равен . На графике отметим точки пересечения с абсциссами и .

От каждой из них, по обе стороны, отметим ещё две точки - вправо от

точки на : ,и влево от точки на :

Они также являются абсциссами точек пересечения графиков.

На промежутке ( ) ординаты точек графика функции у = sin х меньше. Приняв во внимание период функции, решения неравенства можно записать в виде: . Из графика видно, что интервал удовлетворяет решению неравенства . Все остальные интервалы, удовлетворяющие неравенству получаются смещением интервала влево и вправо на отрезок длиной в . Значит, в общем виде решения неравенства записываются так: .

Пример 3.

Решим неравенство

Решение:

Найдём абсциссы точек пересечения графиков функций

и из уравнения .

Получим: и

При абсциссы точек пересечения будут равны и . Отметим эти точки на графике. От каждой из них, по обе стороны, отметим ещё две точки.

Отметим от точки справа на расстоянии точку

и от точки слева на расстоянии точку

.

Один из промежутков, удовлетворяющих неравенству, расположен между наименьших но абсолютному значению корней соответствующего уравнения, т.е. между точками и .

Приняв во внимание периодичность функции, получим следующие решения неравенства .

По графику решение неравенства будет:

.

Пример 4.

Решим неравенства и .

Решение:

В одной системе координат построим графики функций и у = 1.

Найдём абсциссу точки пересечения , расположенной в интервале решив уравнение. Функция возрастает на промежутке tg х = 1 при . Тогда, если, то tg х < 1. Если , то tg х > 1.

Так как функция имеет период , то решение неравенства будет , а решение неравенства

tg х > 1 будет .

Пример 5.

Решим неравенства и .

Решение:

На одной координатной плоскости построим графики функций и . Абсциссу точки пересечения графиков на промежутке (0; ) найдём из уравнения : Функция ctg х убывает на промежутке (0; ) и при . Тогда, если , то , а

если , то .

Это говорит о том , что условию неравенства удовлетворяют , а условию неравенства

.

Для решения тригонометрических неравенств:

1) В одной системе координат постройте графики функций из левой и правой частей неравенства;

2) Решите соответствующие уравнения. Найдите абсциссы для нескольких точек пересечения, расположенных близко к началу координат и отметьте их на графике;

3) Определите какой-либо интервал, удовлетворяющий неравенству;

4) Принимая во внимание периодичность функции, запишите все решения.

Пример 6.

Решите неравенство на интервале .

Решение:

1.Построим график функции .

Как видно из графика, значения меньше 0 или равные 0 соответствуют точкам, расположенным на оси абсцисс (прямой у = 0 ) или ниже её. Решениями неравенства из интервала являются промежутки

Пример 7.

Решим неравенство на интервале .

Решение:

1. Построим графики функций  и при помощи графкалькулятора.

Решением неравенства являются абсциссы всех точек, которые расположены на прямой у = 2 и выше неё. Это точки из интервала .

А общее решение неравенства имеет вид .

Проверка: На интервале решения для проверки выберем одну точку, напри-л

мер проверим правильность решения:

Пример 8.

Решение:

Пусть

Пример решении задачи:

Карусель, радиусом 20 м за каждые 40 секунд совершает один оборот. Самое низкое сиденье находится на высоте 1 м.

а)Изобразите график, соответствующий задаче.

б)Запишите функцию зависимости движения человека, находящегося на сиденье карусели в виде .

в)В какие секунды за один полный оборот человек на карусели, окажется на высоте выше 21 м?

Решение:

а) Изобразим схематично решение задачи. Отметим на окружности точки, соответствующие каждой четвёртой части оборота при движении карусели. Соединим эти точки и получим график, в виде синусоиды, движения карусели за один оборот (360°).

б)Из графика видно, что с 10 но 30 секунду человек на карусели, будет находится на высоте от 21 ми более.

в)По данным задачи и графику запишем формулу функции.

Зная период, найдём частоту b:

Найдём амплитуду и среднюю линию, зная максимальное и минимальное значения. Найдём фазу смещения с. Функция синуса принимает наибольшее значение в одной четвёртой периода. Однако можно заметить, что максимум функции достигается с задержкой на 10 секунд (на 20-ой секунде), а значит сдвиг но фазе с = 10.

Формула имеет вид .

Решение неравенств

Понятия неравенства с одной переменной и его способы решения:

Определение:

Если два выражения с переменной соединить одним из знаков то получим неравенство с переменной. В общем виде неравенство с одной переменной (например, для случая «больше») записывают так:

• линейное неравенство;
• квадратное неравенство;
• дробное неравенство

Решением неравенства с переменной называется значение переменной, которое обращает заданное неравенство в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

одно из решений неравенства так как при получаем верное неравенство:

Область допустимых значений (ОДЗ):

Областью допустимых значений (или областью определения) неравенства называется общая область определения для функций которые стоят в левой и правой частях неравенства.

Для неравенства ОДЗ: то есть так как область определения функции определяется условием: а областью определения функции является множество всех действительных чисел.

Два неравенства называется равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же решения, то есть каждое решение первого неравенства является решением второго и наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого.

1. Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное заданному (на любом множестве).
2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и положительна на ОДЗ заданного неравенства), не меняя знак неравенства, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного неравенства).
3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ заданного неравенства) и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное задан ному (на ОДЗ заданного неравенства).
4. Метод интервалов (решения неравенств вида

• 1. Найти ОДЗ.
• 2. Найти нули функции
• 3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции на каждом промежутке, на которые разбивается ОДЗ.
• 4. Записать ответ, учитывая знак заданного неравенства.

Решите неравенство

Пусть

ОДЗ:

Нули функции

( входят в ОДЗ)

Ответ:

Схема поиска плана решения неравенства

Объяснение и обоснование:

Понятия неравенства с переменной и его решение

Если два выражения с переменной соединить одним из знаков то получаем неравенство с переменной.

Аналогично уравнению, неравенство с переменной (например, со знаком чаще всего понимают как аналитическую запись задачи о нахождении тех значений аргументов, при которых значение одной из заданных функций больше, чем значение другой заданной функции. Поэтому в общем виде неравенство с одной переменной (например, для случаев «больше») записывают так:

Напомним, что решением неравенства называется значение переменной, которое обращает это неравенство в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Например, решениями неравенства являются все значения для неравенства решениями являются все действительные числа а неравенство не имеет решений, поскольку значение не может быть отрицательным числом.

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства определяется аналогично ОДЗ уравнения. Если задано неравенство то общая область определения функций называется областью допустимых значений этого неравенства (иногда используются также термины « область определения неравенства» или «множество допустимых значений неравенства»). Например, для неравенства областью допустимых значений являются все действительные числа (это можно записать, например, так: ОДЗ: поскольку функции имеют области определения

Понятно, что каждое решение заданного неравенства входит как в область определения функции так и в область определения функции (иначе мы не сможем получить верное числовое неравенство). Таким образом, каждое решение неравенства обязательно входит в ОДЗ этого неравенства. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ неравенства для его решения.

Например, в неравенстве функция определена при всех действительных значениях а функция — только при условии, что под знаком квадратного корня будут стоять неотрицательные выражения. Таким образом, ОДЗ этого неравенства задается системой из которой получаем систему не имеющую решений. Таким образом, ОДЗ заданного неравенства не содержит ни одного числа, поэтому это неравенство не имеет решений.

В основном при решении неравенств различных видов приходится применять один из двух методов решения: равносильные преобразования неравенств или так называемый метод интервалов.

Равносильные неравенства

С понятием равносильности неравенств вы знакомы еще из курса алгебры 9 класса. Как и для случая равносильных уравнений, равносильность неравенств мы будем рассматривать на определенном множестве.

Два неравенства называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же решения, то есть каждое решение первого неравенства является решением второго, и наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого.

Договоримся, что в дальнейшем все равносильные преобразования неравенств будем выполнять на ОДЗ заданного неравенства. Укажем, что в том случае, когда ОДЗ заданного неравенства является множество всех действительных чисел, мы не всегда будем его записывать (как не записывали ОДЗ при решении линейных или квадратных неравенств). И в других случаях главное — не записать ОДЗ при решении неравенства, а действительно учесть ее при выполнении равносильных преобразований заданного неравенства.

Общие ориентиры выполнения равносильных преобразований неравенств аналогичны соответствующим ориентирам выполнения равносильных преобразований уравнений.

Как указывалось выше, выполняя равносильные преобразования неравенств, необходимо учитывать ОДЗ заданного неравенства — это и есть первый ориентир для выполнения равносильных преобразований неравенств.

По определению равносильности неравенств необходимо обеспечить, чтобы каждое решение первого неравенства было решением второго, и наоборот, каждое решение второго неравенства было решением первого. Для этого достаточно обеспечить сохранение верного неравенства на каждом шаге решения не только при прямых, а и при обратных преобразованиях. Это и есть второй ориентир для решения неравенств с помощью равносильных преобразований. Действительно, каждое решение неравенства обращает его в верное числовое неравенство, и если верное неравенство сохраняется, то решение каждого из неравенств будет также и решением другого, таким образом, неравенства будут равносильны (соответствующие ориентиры схематически представлены в пункте 5 табл. 38).

Например, чтобы решить с помощью равносильных преобразований неравенстводостаточно учесть его ОДЗ: и условие положительности дроби (дробь будет положительной тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки), а также учесть, что на ОДЗ все необходимые преобразования можно выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.

Решение:

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Тогда получаем

Таким образом,

Ответ:

Комментарий:

Заметим, что при записи условия положительности дроби — совокупности систем (2) — мы неявно учли ОДЗ неравенства (1). Действительно, если поэтому в явном виде ОДЗ заданного неравенства не записано при оформлении решения. Кроме выделенных общих ориентиров, для выполнения равносильных преобразований неравенств можно также пользоваться специальными теоремами о равносильности. В связи с уточнением определения равносильности неравенств обобщим также формулировки простейших теорем о равносильности неравенств, известных из курса алгебры 9 класса.

1. Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное заданному (на любом множестве).
2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и положительна на ОДЗ заданного неравенства), не изменяя знак неравенства, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного).
3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ заданного неравенства) и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного).

Обоснование этих теорем полностью аналогично обоснованию ориентиров для равносильных преобразований заданного неравенства.

Замечание. Для обозначения перехода от заданного неравенства к неравенству, равносильному ему, можно применять специальный значок но его использование при оформлении решений не является обязательным (хотя иногда мы будем его использовать, чтобы подчеркнуть, что было выполнено именно равносильное преобразование).

Метод интервалов

Решение неравенств методом интервалов опирается на свойства функций, связанные с изменением знаков функции. Объясним эти свойства, используя графики известных нам функций, например функций (рис. 100).

Рассматривая эти графики, замечаем, что функция может изменить свой знак только в двух случаях:

1. если график разрывается (как в случае функции (рис. 100, а) — график разрывается в точке 0 и знак функции изменяется в точке 0);
2. если график без разрыва переходит из нижней полуплоскости в верхнюю (или наоборот). Но тогда график пересекает ось (как в случае функции (рис. 100,6).

На оси значения функции равны нулю. (Напомним, что значения аргумента, при которых функция равна нулю, называют нулями функции.) Таким образом, любая функция может поменять свой знак только в нулях или в точках, где разрывается график функции (в так называемых точках разрыва функции ).

Точки, в которых разрывается график функции мы выделяем, как правило, когда находим область определения этой функции. Например, если то ее область определения и именно в точке 0 график этой функции разрывается (рис. 100, а). Если же на каком-нибудь промежутке области определения график функции не разрывается и функция не равна нулю, то по приведенному выше выводу она не может на этом промежутке поменять свой знак. Таким образом, если отметить нули функции на ее области определения, то область определения разобьется на промежутки, внутри которых знак функции измениться не может (и поэтому этот знак можно определить в любой точке из этого промежутка).

В таблице 39 приведено решение дробно-рационального неравенства методом интервалов; комментарии, объясняющий каждый этап решения; план решения неравенств вида методом интервалов.

Пример №1

Решение:

1. ОДЗ: то есть

Рассмотрим функцию, стоящую в левой части этого неравенства, и обозначим ее через Решением неравенства могут быть только числа, которые входят в область определения функции то есть числа, входящие в ОДЗ неравенства. Поэтому первым этапом решения неравенства методом интервалов будет нахождение его ОДЗ.

1. Найти ОДЗ неравенства.

2. Нули

тогда

Нас интересуют те промежутки области определения функции на которых эта функция положительна. Как было отмечено выше, функция может поменять знак в своих нулях, поэтому вторым этапом решения неравенства будет нахождение нулей функции (для этого приравниваем функцию к нулю и решаем полученное уравнение).

2. Найти нули

Если теперь отметить нули на области определения функции то область определения разбивается на промежутки, внутри каждого из которых функция не меняет свой знак. Поэтому знак функции на каждом промежутке можно определить в любой точке этого промежутка. Это и является третьим этапом решения.

3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции в каждом промежутке, на которые разбивается ОДЗ.

4 Ответ:

Из рисунка видно, что решением неравенства является объединение промежутков

4. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Приведем пример решения более сложного дробно-рационального неравенства методом интервалов и с помощью равносильных преобразований.

Пример №2

Решите неравенство

1 способ (метод интервалов)

Решение:

Пусть

1 ОДЗ:

2. Нули

(принадлежат ОДЗ).

3. Отмечаем нули функции на ОДЗ и находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (см. рисунок).

Ответ:

Комментарий:

Данное неравенство имеет вид и для его решения можно применить метод интервалов. Для этого используем план, приведенный выше и на с. 232.

При нахождении нулей следим за тем, чтобы найденные значения принадлежали ОДЗ (или выполняем проверку найденных корней уравнения

Записывая ответ к нестрогому неравенству, следует учесть, что все нули функции должны войти в ответ (в данном случае — числа -3 и 1).

2 способ (с помощью равносильных преобразований)

Комментарий:

Выберем для решения метод равносильных преобразований неравенства. При выполнении равносильных преобразований мы должны учесть ОДЗ данного неравенства, то есть учесть ограничение

Но если и тогда в данной дроби знаменатель положителен. Если выполняется данное неравенство, то числитель дроби (и наоборот, если выполняется последнее неравенство, то на ОДЗ дробь то есть данное неравенство равносильно на ОДЗ неравенству

Чтобы решить полученное квадратное неравенство, найдем корни квадратного трехчлена и построим эскиз графика функции Решение квадратного неравенства:

Поскольку все преобразования были равносильными только на ОДЗ, то мы должны выбрать те решения квадратного неравенства, которые удовлетворяют ограничению ОДЗ.

Решение:

ОДЗ:

Тогда и данное неравенство на его ОДЗ равносильно неравенству Поскольку (эти значения принадлежат ОДЗ), получаем (см. рисунок). -3

Учитывая ОДЗ, получаем ответ.

Ответ:

Уравнения и неравенства с модулями

Использование геометрического смысла модуля ( при

Обобщение:

Использование специальных соотношений:

Тогда знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности их квадратов.

Объяснение и обоснование:

Решение любых уравнений или неравенств с модулем

Решать любое уравнение или неравенство с модулем можно одним из трех основных способов: по определению модуля, исходя из геометрического смысла модуля или по общей схеме. Некоторые уравнения или неравенства с модулем могут быть также решены с использованием специальных соотношений (табл. 40).

В зависимости от выбранного способа решения получаем разные записи решения.

Пример №3

Решите уравнение

1 способ (по определению модуля)

Решение:

1. Если то получаем уравнение Тогда что удовлетворяет и условию (1).
2. Если то получаем уравнение Тогда что удовлетворяет и условию (2).

Ответ:

Комментарий:

Чтобы раскрыть знак модуля по определению, рассмотрим два случая: По определению модулем положительного (неотрицательного) числа является само это число, а модулем отрицательного числа является противоположное ему число. Поэтому при а при

В каждом случае решаем полученное уравнение и выясняем, удовлетворяет ли каждый из найденных корней тому условию, при котором мы его находили.

2 способ (использование геометрического смысла модуля)

Решение:

Ответ: 5; -1.

Комментарий:

С геометрической точки зрения — это расстояние от точки 0 до точки По условию уравнения оно равно 6, но расстояние 6 может быть отложено от 0 как вправо (получаем число 6), так и влево (получаем число -6). Таким образом, равенство возможно тогда и только тогда, когда или

Замечание. При решении уравнения с использованием геометрического смысла модуля знак модуля раскрывается неявно, то есть определение модуля в явном виде не применяется.

Общая схема решения уравнений и неравенств с модулями — это фактически немного измененный метод интервалов. Поясним содержание этой схемы на примере уравнения с двумя модулями вида

Чтобы решить это уравнение, необходимо раскрыть знаки модулей, а для этого необходимо знать, где функции будут положительными, а где — отрицательными. То есть фактически мы должны решить неравенства

Каждое из этих неравенств мы умеем решать методом интервалов. Перестроим прием решения неравенств методом интервалов таким образом, чтобы он давал возможность одновременно решать каждое из последних неравенств. Как известно, решение неравенства (1) методом интервалов начинается с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции а решение неравенства (2) — с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции Чтобы начать одновременно решать оба неравенства, необходимо найти общую область определения для функций то есть найти ОДЗ данного уравнения (это и есть первый из ориентиров необходимой схемы).

Чтобы продолжить решение неравенств методом интервалов, необходимо найти нули функций то есть найти нули всех подмодульных функций (это и есть второй ориентир). Если далее применить схему метода интервалов одновременно для двух неравенств, необходимо на ОДЗ отметить нули подмодульных функций и разбить ОДЗ на промежутки (это третий ориентир). В каждом из полученных промежутков знаки функций не могут измениться. Тогда мы можем найти знаки подмодульных функций на каждом промежутке (в любой точке этого промежутка), раскрыть знаки модулей и найти решение данного уравнения в каждом из этих промежутков (это и есть четвертый ориентир общей схемы).

Обоснование возможности применения приведенной схемы к решению неравенств с модулями проводится аналогично.

Примеры решения задач:

Пример №4

Решите уравнение

Решение:

1. ОДЗ:

2. Нули подмодульных функций:

3. Нули 0 и 2 разбивают ОДЗ на четыре промежутка, в которых подмодульные функции имеют знаки*, показанные на рисунке.

4. Находим решения данного уравнения в каждом из промежутков (поскольку знаки подмодульных функций одинаковы на промежутках 1 и 3, удобно для решения объединить эти промежутки).

Промежутки 1 и 3 : Учитывая знаки подмодульных функций на этих промежутках и определение модуля, получаем, что в этих промежутках данное уравнение равносильно уравнению Отсюда В рассмотренные промежутки полученные значения не входят, таким образом, в этих промежутках корней нет.

Промежуток 2: (Следует обратить внимание на то, чтобы не пропустить значение которое принадлежит ОДЗ.) В этом промежутке получаем уравнение Отсюда — корень, поскольку принадлежит этому промежутку.

Промежуток 4: (И в этом промежутке необходимо не забыть значение Получаем уравнение Отсюда — корень, поскольку принадлежит этому промежутку. Объединяя все решения, которые мы получили в каждом промежутке, имеем решение данного уравнения на всей ОДЗ.

Ответ: 0; 2.

Проиллюстрируем также получение и использование специальных соотношений, приведенных в таблице 40. Обоснуем, например, соотношение

Запишем заданное равенство в виде и проанализируем его, опираясь на известные из 6 класса правила действий над числами с одинаковыми и с разными знаками. Чтобы сложить два числа мы сложили их модули, таким образом, эти числа имеют одинаковые знаки. Если бы эти числа были оба отрицательными, то и их сумма была бы тоже отрицательна, но и Тогда получаем, что числа — оба

неотрицательные. Наоборот, если то выполняется равенство Таким образом, действительно, уравнение равносильно системе неравенств

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №5

Решите уравнение

Решение:

Поскольку то данное уравнение имеет вид но это равенство может выполняться тогда и только тогда, когда числа — оба неотрицательные. Таким образом, данное уравнение равносильно системе

Таким образом,

Ответ:

Комментарий:

Если обозначить и данное уравнение имеет вид а по соотношению 5 такое уравнение равносильно системе

Заметим, что данное уравнение можно решать и по общей схеме, но тогда решение будет более громоздким но системе

При решении неравенств с модулями рассуждения, связанные с раскрытием знаков модулей, полностью аналогичны рассуждениям, которые использовались при решении уравнений с модулями.

Пример №6

Решите неравенство

Решение:

Учитывая геометрический смысл модуля, получаем, что заданное неравенство равносильно неравенству Тогда таким образом,

Ответ:

Комментарий:

Неравенство вида (где удобно решать, используя геометрический смысл модуля. Поскольку заданное неравенство — это неравенство вида а модуль числа — это расстояние на координатной прямой от точки, изображающей данное число, до точки 0, то заданному неравенству удовлетворяют все точки, находящиеся в промежутке Таким образом, Если возникают затруднения с решением двойного неравенства (1), то его заменяют на равносильную систему

Пример №7

Решите неравенство

Решение:

1. ОДЗ: Тогда таким образом:

2. Нули подмодульных функций: — не принадлежит ОДЗ) и

3. Нуль 2 разбивает ОДЗ на четыре промежутка, на которых подмодульные функции имеют знаки, показанные на рисунке (на каждом из промежутков первый знак — это знак функции а второй — знак функции

4. Находим решения заданного неравенства в каждом из промежутков (поскольку знаки подмодульных функций являются одинаковыми на промежутках I и II, удобно для решения объединить эти промежутки). Промежутки I и II: Учитывая знаки подмодульных функций в этих промежутках и определение модуля, получаем, что при заданное неравенство равносильно неравенству Тогда то есть Отсюда В промежутки, которые мы рассмотрели, входят все значения таким образом, в этом случае решением будет

Промежуток III: На этом промежутке получаем неравенство Но при любом значении из III промежутка последнее неравенство обращается в неверное неравенство Таким образом, в промежутке III неравенство (1) решений не имеет.

Промежуток IV: В этом промежутке получаем неравенство Как видим, при любом из IV промежутка неравенство (1) обращается в верное числовое неравенство Таким образом, решением неравенства (1) в IV промежутке есть любое число из этого промежутка

Объединяя все решения, полученные в каждом из промежутков, имеем решение данного неравенства на всей ОДЗ:

Ответ:

Укажем, что для решения некоторых неравенств с модулями удобно применять также специальные соотношения, приведенные в таблице 40.

Пример №8

Решите неравенство

Решение:

Поскольку и функция монотонно возрастает на множестве неотрицательных чисел, то все разности модулей в неравенстве можно заменить на разности их квадратов (то есть воспользоваться соотношением 4: Получаем неравенство, равносильное заданному

Раскладывая на множители все разности квадратов, имеем:

Далее методом интервалов (см. рисунок)получаем

Ответ:

Общая схема, предложенная в таблице 40, может быть использована не только при решении уравнений или неравенств с модулями, но и при выполнении преобразований выражений с модулями.

Например, для построения графика функции удобно сначала по общей схеме раскрыть знаки модулей, а уже потом строить график функции

Оформление решения подобного примера может быть таким.

Пример №9

Постройте график функции

Решение:

1. Область определения функции:

2. Нули подмодульных функций:

3. Отмечаем нули на области определения и разбиваем область определения на промежутки (на рисунке также указаны знаки подмодульных функций в каждом из промежутков). 4. Тогда

Таким образом,

Строим график этой функции (см. рисунок).

Решение тригонометрических неравенств

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств:

Способы решения более сложных тригонометрических неравенств:

а) Использование равносильных преобразований и, в частности, сведение тригонометрического неравенства к алгебраичкому неравенству по схеме: 1) к одному аргументу, 2) к одной функции, 3) замена переменной (аналогично схеме решения тригонометрических уравнений, приведенной на с. 170) и последующее решение полученных простейших тригонометрических неравенств.

б) Использование метода интервалов (после сведения неравенства к виду по схеме:

1. Найти ОДЗ неравенства.
2. Найти общий период (если он существует) для всех функций, входящих в неравенство, то есть период функции
3. Найти нули функции:
4. Отметить нули функции на ОДЗ на одном периоде и найти знак функции в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (на одном периоде).
5. Записать ответ, учитывая знак заданного неравенства и период функции

Объяснение и обоснование:

Решение простейших тригонометрических неравенств

Простейшими тригонометрическими неравенствами считают неравенства вида (на месте знака может стоят любой из знаков неравенства:

Чтобы рассуждения по нахождению решений этих неравенств были более наглядными, используют единичную окружность или графики соответствующих функций, как это показано в первом пункте таблицы 41.

Пример №10

Объясним более детально решение неравенства приведенное в пункте 1 таблицы 41, с использованием единичной окружности (рис. 101).

Решение:

Поскольку — это ордината соответствующей точки единичной окружности, то при всех значениях удовлетворяющих данному неравенству, ордината точки больше Все такие точки на единичной окружности лежат выше, чем прямая (они изображены на рисунке синей дугой без крайних точек, поскольку в крайних точках а не больше  Если, записывая ответ, двигаться против часовой стрелки, то точка будет началом дуги а точка — ее концом. Сначала запишем ответ на одном периоде (напомним, что для синуса период равен Для точек выделенной дуги Поскольку точка находится в правой полуплоскости, то можно взять Тогда Таким образом, на одном периоде решениями заданного неравенства являются:

Через период значения синуса повторяются, поэтому все остальные решения заданного неравенства получаем прибавлением к найденным решениям чисел вида

Ответ:

Для решения неравенства можно воспользоваться также графиками функций (рис. 102).

Решениями неравенства будут те и только те значения для которых соответствующие точки графика функции находятся выше прямой (на рисунке 102 соответствующие части графика функции выделены синими линиями). Чтобы найти абсциссы точек пересечения этих графиков:

Достаточно решить уравнение Учитывая периодичность функции достаточно записать решение данного неравенства на одном периоде. На отрезке длиной можно взять, например, такие абсциссы точек пересечения графиков функций (все другие абсциссы точек пересечения отличаются от них на Тогда на одном периоде решениями данного неравенства являются: (абсциссы выделенных точек графика Все остальные решения данного неравенства получаются прибавлением к найденным решениям чисел вида

Ответ:

Аналогично можно получить и решения других видов простейших неравенств, приведенных в пункте 1 таблицы 41.

Пример №11

Решите неравенство

Решение:

Поскольку — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности, то при всех значениях которые удовлетворяют данному неравенству, абсцисса точки больше Все такие точки на единичной окружности (рис. 103) лежат справа от прямой (они изображены на рисунке синей дугой без крайних точек, поскольку в крайних точках не больше Если, записывая ответ, двигаться против часовой стрелки, то точка будет началом дуги а точка — ее концом. Сначала запишем ответ на одном периоде (напомним, что для косинуса он равен Для точек выделенной дуги Поскольку точка находится в верхней полуплоскости, то можно взять Учитывая симметричность (относительно оси точек получаем

Таким образом, на одном Через период решениями данного неравенства являются . Через период 2л значения косинуса повторяются. Поэтому все остальные решения данного неравенства получаем прибавлением к найденным решениям чисел вида где

Ответ:

Рассуждения при использовании графической иллюстрации решения неравенства полностью аналогичны приведенным выше рассуждениям по решению неравенства

Пример №12

Решите неравенство

Решение:

Период тангенса равен Поэтому сначала найдем решения этого неравенства на промежутке длиной например, на промежутке а потом используем периодичность тангенса. Для выделения тех точек правой полуокружности, значения которых удовлетворяют данному неравенству, воспользуемся линией тангенсов (рис. 104). Сначала выделим на линии тангенсов значения тангенсов, большие или равные (-1) (на рисунке они выделены синей линией), а потом для каждой точки линии тангенсов найдем соответствующую точку на правой полуокружности (для этого достаточно соединить центр окружности с выделенной точкой на линии тангенсов и взять точку пересечения проведенного отрезка с окружностью). Множество соответствующих точек единичной окружности выделено на рисунке синей дугой (обратите внимание: точка принадлежит рассмотренному множеству, а точка —нет).

Поскольку точка находится в правой полуплоскости, то можно взять Таким образом, на одном периоде решениями данного неравенства являются Через период значение тангенса повторяется. Поэтому все остальные решения данного неравенства получаем прибавлением к найденным решениям чисел вида

Ответ:

Заметим, что при решении данного неравенства с использованием графиков достаточно, как и в предыдущих случаях, на одном периоде (например, на промежутке записать те абсциссы, для которых соответствующие точки графика функции находятся выше прямой или на самой прямой. (На рисунке в таблице 41 соответствующие части графика функции выделены синими линиями.)

Пример №13

Решите неравенство

Решение:

Период котангенса равен Поэтому сначала найдем решение этого неравенства на промежутке длиной например на промежутке а потом воспользуемся периодичностью котангенса. Для выделения тех точек верхней полуокружности, значения которых удовлетворяют данному неравенству, воспользуемся линией котангенсов (рис. 105).

Сначала выделим на линии котангенсов значения котангенсов, меньшие, чем (на рисунке 105 они выделены синей линией), а потом для каждой точки линии котангенсов найдем соответствующую точку на верхней полуокружности (для этого достаточно соединить центр окружности с выделенной точкой на линии котангенсов и взять точку пересечения проведенного отрезка с окружностью). Множество соответствующих точек единичной окружности обозначено на рисунке 105 синей дугой Поскольку точка находится в верхней полуплоскости, то можно взять

Таким образом, на одном периоде решениями данного неравенства являются

Через период значение котангенса повторяется. Таким образом, все остальные решения данного неравенства получаем прибавлением к найденным решениям чисел вида Ответ: Аналогично предыдущим случаям при решении неравенства с использованием графиков достаточно на одном периоде (например, на промежутке записать те абсциссы, для которых соответствующие точки графика функции находятся ниже прямой (На рисунке в таблице 41 соответствующие части графика функции выделены синими линиями.)

Способы решения более сложных тригонометрических неравенств

Способы решения более сложных тригонометрических неравенств также проиллюстрируем на примерах.

Пример №14

Решите неравенство:

Решение:

Тогда Замена: дает неравенство

решение которого:

(см. рисунок).

Обратная замена дает: (решений нет) или Тогда

Таким образом,

Комментарий:

Используем равносильные преобразования данного неравенства. Для этого приведем его к алгебраическому по схеме, аналогичной схеме решения

1. к одному аргументу
2. к одной функции
3. проведем замену переменной После обратной замены решим полученные простейшие тригонометрические неравенства.

Решая более сложные тригонометрические неравенства, можно также применить метод интервалов, немного изменив его. Необходимость коррекции известной схемы решения неравенств методом интервалов (с. 232) связана с тем, что в случае, когда функция — тригонометрическая, она, как правило, имеет бесконечное множество нулей (которые получаются при целых значениях параметра). Поэтому, если пытаться обозначить нули на ОДЗ, придется обозначить бесконечное их множество, что невозможно. Избежать этого можно, если найти период функции (если он существует) и рассмотреть знак функции на каждом промежутке внутри одного периода.

Таким образом, метод интервалов для решения тригонометрических неравенств может применяться по схеме:

1. Найти ОДЗ неравенства.
2. Найти период функции (если он существует).
3. Найти нули функции
4. Отметить нули на ОДЗ внутри одного периода и найти знак функции в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (внутри одного периода).
5. Записать ответ (учитывая знак заданного неравенства и период функции

Пример №15

Решите неравенство

Решение:

Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого приведем его к виду

1. ОДЗ: — любое действительное число.

2. Как мы знаем, период функции равен Тогда период функции  будет период функции а период функции

На отрезке длиной периоды помещаются целое число раз. Тогда будет общим периодом для всех этих трех функций, и поэтому является периодом функции

3.Найдем нули этой функции:

Тогда

Отсюда Решая последние уравнения, получаем

4. Отметим все нули на периоде длиной например на отрезке от 0 до и получим 9 промежутков (см. рисунок).

Находим знаки функции на каждом из промежутков. Для этого удобно записать функцию в виде произведения:

Ответ (записывается с учетом периода):

Замечание. При решении тригонометрических неравенств методом интервалов часто приходится находить знак функции в большом количестве промежутков. Для того чтобы уменьшить объем работы, можно предложить такой способ: следить за тем, через какой нуль мы проходим при переходе от одного интервала к другому и изменяется ли знак заданной функции в этом нуле.

В случае, когда функция которая стоит в левой части неравенства, записана в виде произведения необходимо обращать внимание на то, что знак произведения не меняется, если одновременно оба множителя (функции меняют знаки на противоположные.

Практически для использования этого свойства в случае, если левая часть неравенства записана как произведение нескольких функций, нули каждого множителя отмечают на промежутке разным цветом (так, как это сделано на рисунке к задаче 6), или, если множителей только два, нули первого множителя обозначают под осью, а нули второго — над осью.

Если у функций-множителей нет одинаковых нулей, то знак функции меняется автоматически при переходе через каждый нуль (при условии, что только одна из функций-множителей меняет знак при переходе через этот нуль). В этом случае для нахождения всех знаков функции на периоде достаточно найти ее знак только в одном промежутке, а в других расставить знаки, чередуя их. Если же у функций-множителей есть одинаковые нули, то при переходе через такой нуль знак произведения может не меняться, и это учитывается при расстановке знаков.