Трение в теоретической механике

Содержание:

Трение:

При движении или стремлении двигать одно тело по поверхности другого в касательной плоскости поверхностей соприкосновения возникает сила трения скольжения.

Если одно тело, например цилиндрический каток, катить или стремиться катить по поверхности другого тела, то кроме силы трения скольжения из-за деформации поверхностей тел дополнительно возникает пара сил, препятствующая качению катка. Возникновение силы трения, препятствующей скольжению, иногда называют трением первого рода, а возникновение пары сил, препятствующей качению,— трением второго рода.

Трение скольжения

Пусть на тело действует плоская система активных сил и тело находится в равновесии, соприкасаясь с поверхностью другого тела, являющегося связью для рассматриваемого тела. Если поверхности соприкасающихся тел абсолютно гладкие и тела абсолютно твердые, то реакция поверхности связи направлена по нормали к общей касательной в точке соприкосновения и направление реакции в этом случае не зависит от действующих на тело активных сил. От активных сил зависит только числовое значение силы реакции. В действительности абсолютно гладких поверхностей и абсолютно твердых тел не бывает. Все поверхности тел в той или иной степени шероховаты и все тела деформируемы. В связи с этим и сила реакции

Если силу реакции

В теоретической механике обычно рассматривается только сухое трение между поверхностями тел, т. е. такое трение, когда между ними нет смазывающего вещества. Для сухого трения надо различать трение скольжения при покое или равновесии тела и трение скольжения при движении одного тела по поверхности другого с некоторой относительной скоростью.

При покое сила трения зависит только от активных сил. При выбранном направлении касательной в точке соприкосновения поверхностей тел сила трения вычисляется по формуле

Аналогично, при выбранном направлении нормали нормальная реакция выражается через заданные силы

В 1781 г. Кулон установил основные приближенные законы для сухого трения скольжения. В дальнейшем законы Кулона многократно проверялись другими исследователями. Но эти законы подтверждались в случае, когда поверхности тел не вдавливались друг в друга и шероховатость была не очень велика.

Законы Кулона можно установить на приборе, схема которого дана рис. 59. На этом приборе изменяя вес гири, можно изменять нормальное давление (или равную ему нормальную реакцию ) между трущимися поверхностями. Изменяя же вес гирь , можно изменять силу , которая стремится двигать тело вдоль поверхности другого тела, являющегося связью. Очевидно, что если сила , то тело находится в равновесии и сила трения равна нулю.

Если силу увеличить (при этом тело не скользит по поверхности, а находится в равновесии), то по условию равновесия возникает сила трения , которая равна, но противоположна активной силе . Нормальная реакция равна нормальному давлению . Увеличивая силу при одном и том же нормальном давлении , можно достичь и такого положения, когда ничтожно малое дальнейшее увеличение силы выведет тело из равновесия, заставляя его скользить по поверхности связи. Очевидно, будет достигнуто предельное положение, при котором сила трения станет наибольшей и не сможет уравновешивать силу при ее дальнейшем увеличении. Изменяя силу нормального давления , можно исследовать, как изменяется при этом предельная сила трения . Можно также исследовать влияние на предельную силу трения площади соприкосновения тел, сохраняя при этом нормальное давление, а также влияние материала тел, характер обработки поверхностей и другие факторы. Такие опыты позволяют проверить законы Кулона для сухого трения скольжения.

Рис. 59

Трение скольжения:

При решении многих технических вопросов приходится принимать в расчет силы трения. Остановимся на рассмотрении сил трения 1-го рода (скольжения).

Рис. 31.

Пусть на тело А (рис. 31), лежащее на горизонтальной негладкой плоскости, действует сила Р под углом а к вертикали. Раскладывая силу Р на две составляющие  и замечаем, что сила уравновешивается с реакцией плоскости N; вторая же составляющая неминуемо должна была бы сообщить телу А движение вправо, но при небольшом угле α тело А находится еще в покое; следовательно, в противоположную сторону силы направлено сопротивление, которое обусловлено силой трения F. Увеличивая постепенно угол будет возрастать до некоторого предела. Обозначим через угол, при котором начинается скольжение тела по плоскости. В этом случае сила трения достигает наибольшей величины; определяем ее из Δabc при по формуле:

где — нормальная реакция плоскости.

Угол называется углом трения, а тангенс этого угла — коэффициентом трения скольжения и обозначается через f; следовательно, вообще:

Формула (28) выражает первый закон трения, который формулируется так:

Первый закон трения

1. Сила трения прямо пропорциональна нормальному давлению или реакции связи и направлена в сторону, противоположную относительному перемещению трущихся тел.

Этот закон был установлен опытным путем. Амонтоном-Кулоном и другими исследователями были установлены еще следующие законы:

2. Коэффициент трения зависит от материала и состояния трущихся поверхностей.

3. Коэффициент трения в покое больше коэффициента трения в движении.

4. Коэффициент трения не зависит от величины трущихся поверхностей (можно считать правильным лишь в первом приближении).

5. Коэффициент трения зависит от скорости движения трущихся поверхностей и с увеличением этой скорости уменьшается, приближаясь к некоторой предельной величине.

Обращаясь к рисунку 31, замечаем, что тело А находится в равновесии, если сила Р проходит внутри конуса с углом при вершине С, равным двойному углу трения ; такой конус называется конусом трения и играет важную роль при решении задач.

Когда тело А находится еще в покое (рис. 31), то по мере увеличения угла возрастает также и сила , а сила F уменьшается. Наконец, наступает такой момент, когда при тело находится на грани между покоем и скольжением. В этом случае сила F и коэффициент трения в покое f достигают наибольшего значения. При незначительном увеличении силы тело А начинает скользить по плоскости, благодаря чему нарушается сцепление между поверхностями соприкасания тела и плоскости. В этом случае сила трения скольжения F коэффициент трения в движении f уменьшаются по величине, приближаясь к некоторой предельной величине с увеличением относительной скорости скольжения. Исключение составляют лишь некоторые'материалы, например при трении кожи о металл в ременных передачах, где с увеличением скорости относительного скольжения коэффициент трения также возрастает.

Рис. 32.

Задача №1

Тело А весом Q=100кГ лежит на шероховатой наклонной плоскости (рис. 32,а). Какую наименьшую горизонтальную силу Р ладо приложить к телу, чтобы оно начало двигаться, если коэффициент трения тела о плоскость f=0,2.

Решение. Рассмотрим равновесие тела А. Помимо горизонтальной силы Р на тело действует сила Q, нормальная реакция N плоскости и сила трения F, направленная параллельно плоскости в обратную сторону движения тела (рис. 32,6).

Составляя уравнения равновесия (27), имеем:

В двух уравнениях имеются три неизвестные величины: Р, N и F. Для получения третьего уравнения по формуле (28) имеем > зависимость: .

Выражая в уравнениях равновесия F через N, получим:

Оторда находим: 

 

Задача №2

Определить наибольший и наименьший груз Р, при котором груз Q = 10 кГ не будет двигаться (рис» 33, а). Коэффициент трения груза Q о плоскость f=0,2.

Рис. 33.

Указание: при наименьшем грузе тело А будет стремиться сползти вниз, следовательно сила трения F будет направлена параллельно плоскости вверх (рис. 33, б). При наибольшем грузе , напротив, тело А стремится двигаться кверху, а потому сила трения F будет направлена параллельно плоскости вниз (рис. 33, в).

Составляя для каждого из случаев (рис. 33, б и 33, в) по два уравнения равновесия и принимая во внимание формулу (28), получим:

32

Законы Кулона

1.    Сила трения скольжения находится в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей тел и направлена в сторону, противоположную направлению возможного или реального скольжения тела под действием приложенных сил. Сила трения при покое зависит от активных сил и ее модуль заключен между нулем и максимальным значением, которое достигается в момент выхода тела из положения равновесия, т. е.

2.    Максимальная сила трения скольжения при прочих равных условиях не зависит от площади соприкосновения трущихся поверхностей. Из этого закона следует, что для того, чтобы сдвинуть, например, кирпич, надо приложить одну и ту же силу независимо от того, какой гранью он положен на поверхность, широкой или узкой.

3.    Максимальная сила трения скольжения пропорциональна нормальному давлению (нормальной реакции), т. е.

где безразмерный коэффициент называют коэффициентом трения скольжения; он не зависит от нормального давления.

4.    Коэффициент трения скольжения зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей, т. е. от величины и характера шероховатости, влажности, температуры и других условий. Коэффициент трения скольжения в зависимости от различных условий устанавливается экспериментально. Так, коэффициент трения для кирпича по бетону равен ; для стали по стали — ; для дуба по дубу поперек волокон — , а для дуба по дубу вдоль волокон — .

Опыты показывают, что при скольжении одного тела по поверхности другого с некоторой относительной скоростью возникает сила трения скольжения, равная максимальной, только при этом коэффициент трения скольжения незначительно изменяется в зависимости от скорости скольжения. Для большинства материалов он уменьшается с увеличением скорости скольжения, но для некоторых материалов, наоборот, увеличивается (трение кожи о металл).

В приближенных технических расчетах обычно считают, что коэффициент трения скольжения не зависит от относительной скорости скольжения.

В отличие от сухого трения трение при наличии смазывающего слоя между поверхностями определяется распределением относительной скорости скольжения в этом слое. В этом случае трение происходит не между поверхностями тел, а между слоями смазывающего вещества. Теория трения в смазывающем слое жидкости рассматривается в гидродинамике.

Угол и конус трения

Многие задачи на равновесие тела на шероховатой поверхности, т. е. при наличии силы трения, удобно решать геометрически. Для этой цели введем понятия угла и конуса трения.

Пусть твердое тело под действием активных сил находится на шероховатой поверхности в предельном состоянии равновесия, т. е. таком состоянии, когда сила трения достигает своего наибольшего значения при данном значении нормальной реакции (рис. 60). В этом случае полная реакция шероховатой поверхности отклонена от нормали общей касательной плоскости трущихся поверхностей на наибольший угол.

Этот наибольший угол между полной реакцией, построенной на наибольшей силе трения при данной нормальной реакции, и направлением нормальной реакции называют углом трения.

Угол трения зависит от коэффициента трения, т. е.

Но по третьему закону Кулона,

следовательно,

т. е. тангенс угла трения равен коэффициенту трения.

Рис. 60

Конусом трения называют конус, описанный полной реакцией, построенной на максимальной силе трения, вокруг направления нормальной реакции. Его можно получить изменяя активные силы так, чтобы тело на шероховатой поверхности находилось в предельных положениях равновесия, стремясь выйти из равновесия по всем возможным направлениям, лежащим в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей.

Если коэффициент трения во всех направлениях одинаков, то конус трения круговой. Если не одинаков, то конус трения не круговой, например в случае, когда свойства соприкасающихся поверхностей различны (вследствие определенного направления волокон или в зависимости от направления обработки поверхности тел, если обработка происходит на строгальном станке и т. п.).

Равновесие тела на шероховатой поверхности

При равновесии сил, действующих на твердое тело, находящееся в равновесии на шероховатой поверхности, возникает дополнительно неизвестная сила реакции шероховатой поверхности— сила трения. В случае предельного равновесия сила трения достигает своего максимального значения и по формуле (1) выражается через нормальную реакцию. В общем случае равновесия сила трения находится между нулем и ее максимальным значением. Поэтому соответствующие условия равновесия, в которые входит сила трения после замены ее максимальным значением, становятся неравенствами. После этого неизвестные находят путем совместного решения уравнений и неравенств. Для всех неизвестных или для их части получают решения в виде неравенств.

Некоторые задачи на равновесие с учетом сил трения удобно решать геометрически с помощью конуса трения.

Можно сформулировать условия равновесия тела на шероховатой поверхности используя конус трения. Если активные силы, действующие на тело, приводятся к равнодействующей силе , то при равновесии тела на шероховатой поверхности равнодействующая активных сил  по аксиоме о равновесии двух сил, приложенных к твердому телу, уравновешивается полной реакцией R шероховатой поверхности (рис. 61). Полная реакция проходит через вершину конуса, а следовательно, через вершину конуса проходит и равнодействующая активных сил.

Очевидно, при изменении равнодействующей активных сил тело находится в равновесии до тех пор, пока составляющая равнодействующей активных сил, лежащая в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей не будет превышать наибольшего значения силы трения .

Рис. 61

Рис. 62

Предельным положением равновесия тела является случай, когда сила равна силе . В этом случае равнодействующая активных сил направлена по образующей конуса трения, так как —составляющая равнодействующей активных сил по нормали — уравновешена нормальной реакцией , если только активные силы не отделяют тела от шероховатой поверхности. Поэтому условие равновесия тела на шероховатой поверхности можно сформулировать так: для равновесия тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, действующих на тело, проходила внутри конуса трения или по его образующей через его вершину (рис. 62).

Тело нельзя вывести из равновесия любой по модулю активной силой, если ее линия действия проходит внутри конуса трения.

Если линия действия равнодействующей активных сил не проходит внутри конуса трения или по его образующей, то тело на шероховатой поверхности не может находиться в равновесии (рис. 63).

Рис. 63

Рис. 64

Пример 1.

Тело, сила тяжести которого , удерживается в равновесии силой на шероховатой наклонной плоскости, имеющей угол наклона (рис. 64). Коэффициент трения скольжения между телом и плоскостью . Сила действует на тело под углом к линии наибольшего ската. Определить значение силы при равновесии тела на шероховатой наклонной плоскости.

Решение. К телу приложены силы , , и сила трения . Возможны два случая предельного равновесия тела и соответственно два предельных значения силы  при двух направлениях силы трения по наклонной плоскости вниз и вверх в зависимости от направления возможного скольжения вверх по наклонной плоскости и вниз. Для составления уравнений равновесия целесообразно ввести , где .

Составляем условия равновесия в виде суммы проекций сил на координатные оси для обоих предельных случаев. Имеем

По закону Кулона,

Решая эти уравнения относительно , получаем

Отсюда при

при

Таким образом, сила при равновесии тела должна удовлетворять условию .

Пример 2.

Однородный тяжелый стержень длиной опирается концом на гладкую вертикальную стену, а другим — на шероховатую вертикальную стену (рис.65). Расстояние между стенами . Определить коэффициент трения стены , при котором возможно равновесие стержня.

Рис. 65

Решение. Рассмотрим случай, когда точка расположена выше точки стержня. Равновесие стержня невозможно, если точка  расположена ниже точки . На стержень действуют сила тяжести , приложенная посередине стержня нормальная реакция гладкой стены и реакция шероховатой стены , которую разложим на нормальную реакцию и силу трения .

Составим условия равновесия плоской системы сил:

К этим условиям следует добавить неравенство для силы трения

Из уравнений равновесия находим

Из геометрических условий задачи имеем

Итак, для силы трения имеем следующие уравнение и неравенство:

Исключая из них силу трения , после сокращения на получаем

Искомое условие для коэффициента трения  при равновесии стержня принимает вид

Трение качения

Если рассматриваемое тело имеет форму катка и под действием приложенных активных сил может катиться по поверхности другого тела, то из-за деформации поверхностей этих тел в месте соприкосновения могут возникнуть силы реакции, препятствующие не только скольжению, но и качению. Примерами таких катков являются различные колеса, как, например, у электровозов, вагонов, автомашин, шарики и ролики в шариковых и роликовых подшипниках и т. п.

Пусть цилиндрический каток находится на горизонтальной плоскости под действием активных сил. Соприкосновение катка с плоскостью из-за деформации фактически происходит не вдоль одной образующей, как в случае абсолютно твердых тел, а по некоторой площадке. Если активные силы приложены симметрично относительно среднего сечения катка, т. е. вызывают одинаковые деформации вдоль всей его образующей, то можно изучать только одно среднее сечение катка. Этот случай рассмотрен ниже.

Активные силы, действующие на катки в виде колес (рис. 66), кроме силы тяжести обычно состоят из силы , приложенной к центру колеса параллельно общей касательной в точке , и пары сил с моментом , стремящейся катить колесо, называемое в этом случае ведомо-ведущим. Если , а то колесо называют ведомым-, если , a , то ведущим. Ведомо-ведущими являются колеса локомотива, идущего вторым в составе поезда.

Если активные силы, действующие на колесо, привести к точке соприкосновения катка с плоскостью, у которых нет деформации, то в общем случае получим силу и пару сил, стремящиеся заставить каток скользить и катиться. Следует различать чистое качение, когда точка соприкосновения катка не скользит по неподвижной плоскости, и качение со скольжением, когда наряду с вращением катка есть и скольжение, т. е. точка катка движется по плоскости. При чистом скольжении, наоборот, каток движется по плоскости, не имея вращения.

Рис. 66

Рис. 67

Рис. 68

Соприкосновение среднего сечения колеса с неподвижной плоскостью из-за деформации колеса и плоскости происходит по некоторой линии . По этой линии на колесо действуют распределенные силы реакции (рис. 67). Если привести распределенные силы к точке , то в этой точке получим главный вектор этих распределенных сил с составляющими (нормальная реакция) и (сила трения скольжения), а также пару сил с моментом . При симметричном распределении сил по линии относительно точки момент пары сил равен нулю. В этом случае нет активных сил, стремящихся катить каток в каком-либо направлении. _

Приведем активные силы в общем случае к точке . В этой точке получим главный вектор этих сил и пару сил, момент которой равен главному моменту (рис. 68).

При равновесии катка, т. е. когда каток не катится и не скользит по плоскости, активные силы уравновешиваются силами реакций связи и, следовательно,

Изменив активные силы, приложенные к катку так, чтобы увеличивался момент пары активных сил, стремящейся катить каток. Пока каток находится в равновесии, увеличивается и равный ему по числовой величине, но противоположный по направлению момент пары сил, препятствующий качению катка и возникающий от действия на каток неподвижной плоскости. Наибольшее значение достигается в момент начала качения катка по плоскости.

Установлены следующие приближенные законы для наибольшего момента пары сил, препятствующей качению:

1. Наибольший момент пары сил, препятствующей качению, в довольно широких пределах не зависит от радиуса катка.

2.    Предельное значение момента пропорционально нормальному давлению, а следовательно, и равной ему нормальной реакции :

Коэффициент пропорциональности называют коэффициентом трения качения при покое или коэффициентом трения второго рода. Из формулы (3) следует, что имеет размерность длины.

3.    Коэффициент трения качения зависит от материала катка, плоскости и физического состояния их поверхностей. Коэффициент трения качения при качении в первом приближении можно считать не зависящим от угловой скорости качения катка и его скорости скольжения по плоскости. Для случая качения вагонного колеса по стальному рельсу коэффициент трения качения .

Законы трения качения, как и законы трения скольжения, справедливы для не очень больших нормальных давлений и не слишком легко деформирующихся материалов катка и плоскости.

Эти законы позволяют не рассматривать деформации катка и плоскости, считая их абсолютно твердыми телами, касающимися в одной точке. В этой точке соприкосновения в среднем сечении катка кроме нормальной реакции и силы трения надо приложить еще и пару сил, препятствующую качению.

Коэффициент трения качения равен длине , которую вычислим следующим образом. Сложим нормальную реакцию с парой сил, препятствующей качению в момент, когда . Получим ту же силу , но сдвинутую параллельно самой себе на расстояние

В предельном случае равновесия катка . Эту величину следует отложить в направлении, в котором активные силы стремятся катить каток (рис. 69).

Для того чтобы каток не скользил, необходимо выполнение условия

Для заданных активных сил соответственно

Для того чтобы каток не катился, должно выполняться условие

Для активных сил оно имеет вид

Рис. 69

Рис. 70

Для примера рассмотрим случай ведомого колеса, к которому кроме силы тяжести приложена еще горизонтальная активная сила (рис. 70).

Если каток находится в равновесии, то из условий равновесия плоской системы сил, приложенных к катку, получаем

где за моментную точку взята точка .

В случае отсутствия скольжения по формуле (4) с учетом условий равновесия

Аналогично, при отсутствии качения по формуле (5) имеем

Таким образом, при отсутствии скольжения сила должна удовлетворять условию , а при отсутствии качения эта же сила — удовлетворять другому условию:

Если , то, пока , каток находится в равновесии.

Если , то каток катится без скольжения (чистое качение). При кроме качения появляется еще и скольжение. При  каток находится в равновесии, пока . Если , он скользит не вращаясь (поступательное движение). При наряду со скольжением возникает качение.

В том случае, если , каток находится в равновесии, пока . Если же , то он катится со скольжением.

Обычно  и, следовательно, для начала качения катка требуется значительно меньшая сила , чем для начала его скольжения. Поэтому по мере увеличения силы каток сначала начинает катиться, а при дальнейшем ее росте к качению добавляется еще и скольжение.

С точки зрения затраты энергии выгодно заменять скольжение качением. Этим объясняется преимущество шариковых и роликовых подшипников по сравнению с подшипниками скольжения, если даже в них трение и не уменьшается введением смазывающего вещества.

Аналогично трению качения можно рассмотреть и явление возникновения так называемого трения верчения, т.е. случая, когда активные силы стремятся вращать тело, например в форме шара, вокруг нормали к общей касательной поверхности соприкосновения.

В этом случае возникает пара сил, препятствующая верчению, причем наибольший ее момент, возникающий в момент начала верчения, также прямо пропорционален нормальной реакции. Коэффициент пропорциональности, т. е. коэффициент трения верчения, обычно значительно меньше коэффициента трения качения.

Равновесие с учетом сил трения

Задачи, приведенные в этом параграфе, отличаются от предыдущих тем, что в них рассматривается равновесие тел, имеющих, кроме идеальных, еще и реальные связи, т. е. связи с трением.

При свободном опирании тела на поверхность идеальной связи реакция такой связи (рис. 117, а) направлена перпендикулярно к ее поверхности, т. е. по нормали п к этой поверхности.

Если же тело опирается на поверхность реальной связи (в отличие от идеальных связей реальные связи условимся отмечать двойной штриховкой), то ее реакция  (рис. 117,6)в зависимости от нагрузок, приложенных к телу, отклонится от нормали п к поверхности связи на некоторый угол

Поясним это общее положение следующим примером.

Наклонный брус (рис. 118, а), вес которого G, опирается в двух

точках А и В соответственно на вертикальную и горизонтальную поверхности идеальных связей. Этот брус не может находиться в равновесии, потому что три силы —вес бруса G и реакции и —расположены так, что не выполняется необходимое условие равновесия трех непараллельных сил; их линии действия не пересекаются в одной точке.

Чтобы брус, показанный на рис. 118, а, находился в равновесии, необходимо наложить еще одну связь, например, удержать брус шнуром или упереть в выступ на горизонтальной плоскости (обе возможные связи показаны пунктиром).

Теперь представим, что в точке В брус опирается не на идеально гладкую, а на шероховатую (реальную) поверхность (рис 118, б). В этом случае брус может находиться в равновесии без дополнительной связи (шнура или упорной планки). Значит три силы — вес и реакции опор — образуют уравновешенную систему. Равновесие трех сил, действующих на брус, возможно потому, что реакция реальной связи отклоняется на некоторый угол от нормали к поверхности связи и линии действия всех трех сил пересекаются в точке О.

Если реакцию реальной связи разложим на две составляющие, направленные вдоль поверхности и перпендикулярно к ней (это разложение показано на рис. 118, а справа), то получим силу —нормальную составляющую , численно равную нормальному давлению, производимому концом бруса на опору, и силу F—касательную составляющую реакции которая называется силой трения.

При увеличении угла а, характеризующего наклон бруса относительно горизонтальной поверхности, угол уменьшается, а вместе с ним уменьшается и сила трения, но брус сохраняет равновесие.

Если же уменьшать угол а, то угол ф, характеризующий отклонение реакции от нормали, увеличивается, а вместе с ним увеличивается и сила трения (рис. 118, в). При некотором наклоне бруса, определенном для данной пары соприкасающихся в точке В тел (например, для деревянного бруса, опирающегося о деревянный пол), брус скользит. Это означает, что сила трения, достигая предельного значения, больше увеличиваться не может. При этом реакция отклоняется также до предельного значения и при дальнейшем уменьшении угла а линия действия реакции уже не попадает в точку пересечения сил G и

У гол соответствующий максимальному значению силы трения, называется углом трения. Числовое значение угла трения зависит от материала соприкасающихся тел и от состояния их поверхностей.

Для случая предельного равновесия  между силой трения и углом трения имеем такую зависимость;

Постоянное для данной пары соприкасающихся тел значение называется коэффициентом трения при покое.

Таким образом,

При решении задач необходимо учитывать, что сила трения направлена всегда в сторону, противоположную той, при которой точка может скользить по идеальной поверхности.

Если в число реакций связей, обеспечивающих равновесие тела, входит сила трения, то такое состояние равновесия называется самоторможением. Во всех приведенных ниже задачах рассмотрены различные случаи самоторможения (равновесия при наличии силы трения) и условия, при которых возможно самоторможение.

Задача №3

Тело А массой 8 кг поставлено на шероховатую горизонтальную поверхность стола. К телу привязана нить, перекинутая через блок Б (рис. 119, а). Какой груз Р можно подвязать к концу нити, свешивающейся с блока, чтобы не нарушить равновесия тела А? Коэффициент трения f = 0,4. Трением на блоке пренебречь.

Решение.

1.    Если масса тела А m = 8 кг, то его вес

2.    Пренебрегая размерами тела, будем считать, что все силы приложены к точке А.

3.    Когда тело поставлено на горизонтальную поверхность, то на него действуют только две силы: вес и противоположно направленная реакция опоры (рис. 119,6).

4.    Если же приложить некоторую силу действующую вдоль горизонтальной поверхности, то реакцияуравновешивающая силы начнет отклоняться от вертикали, но тело А будет находиться в равновесии до тех пор, пока модуль силы Р не превысит максимального значения силы трения F, соответствующей предельному значению угла (рис. 119, в).

5.    Разложив реакцию на две составляющие получаем систему четырех сил, приложенных к одной точке (рис. 119, г).

Спроектировав эту систему сил на оси хну, получим два уравнения равновесия:

Решаем полученную систему уравнений:

но 
поэтому

Таким образом, равновесие тела А сохраняется при условии, что к концу нити, перекинутой через блок, подвешен груз, не превышающий по весу 31,4 н.

При этом масса груза Р

Задача №4

При каком минимальном коэффициенте трения между полом и лестницей последняя может находиться в равновесии, опираясь верхним концом о гладкую стену, как показано на рис. 120, а? Вес лестницы G = 120 н.

Решение.

1.    На лестницу действует только одна нагрузка — ее собственный вес, приложенный в точке С посредине длины лестницы АВ.

2.    Вес лестницы уравновешен реакцией гладкой стены и реакцией шероховатого пола, которую заменим двумя составляющими: — нормальной составляющей и—силой трения (рис. 120,6).

3.    Составим три уравнения равновесия:

4.    Из уравнений (1) и (3)

А так как N = G [из уравнения (2)[, то минимальный коэффициент трения, обеспечивающий равновесие лестницы.

Таким образом, при 0,2 лестница находится в равновесии.

Задача №5

В месте соприкосновения пола и лестницы в предыдущей задаче коэффициент трения f= 0,4. Сможет ли человек, масса которого 70 кг, подняться по лестнице до самого верха и чтобы лестница при этом не скользила по полу?

Решение.

1.    К силам действующим на лестницу и приведенным в предыдущей задаче, необходимо добавить еще одну нагрузку —вес человека — и приложить его у верхнего конца лестницы (рис. 121).

2.    Вес человека

3.    Человек сможет подняться до самого верха лестницы лишь в том случае, если горизонтальная составляющая реакции пола (сила на рис. 121) будет меньше максимального значения силы трения, возможного при данном коэффициенте трения.

4.    Составим уравнения равновесия:

5.    Из уравнения (2)

Максимальная сила трения, которая может возникнуть в данном случае

Из уравнений (1) и (3) находим силу F—горизонтальную составляющую реакции пола, которая может обеспечить равновесие лестницы с человеком, стоящим наверху:

Таким образом,

Следовательно, человек сможет подняться по лестнице до самого верха.

• Заказать решение задач по теоретической механике

Задача №6

При каких значениях угла а, образуемого с гладкой вертикальной стеной, лестница, опирающаяся нижним концом о шероховатый горизонтальный пол, будет находиться в равновесии, если, кроме собственного веса, она ничем не нагружена и известно, что коэффициент трения при соприкосновении лестницы с полом f?

Решение.

1.    Для решения этой задачи воспользуемся рис. 120, б, так как на лестницу действуют те же четыре силы: вес лестницы реакция гладкой стены и две составляющие реакции пола —

2.    Лестница не выйдет из состояния равновесия (не начнет скользить) до тех пор, пока

т. е. пока горизонтальная составляющая реакции пола остается меньше максимальной силы трения, возникающей при опирании лестницы о пол в данном случае.

3. Из уравнений (1) и (3), составленных при решении задачи 90-15, найдено, что

Сопоставляем уравнения (а) и (б):

А так как в данном случае G =N, то лестница находится равновесии до тех пор, пока выполняется неравенство

или

где — угол трения.

Следовательно, лестница находится в равновесии до тех пор, пока тангенс угла, образуемого лестницей с вертикальной гладкой стеной, остается меньше удвоенного коэффициента трения между лестницей и полом. Например, при f=0,4

и неравенство (в) соблюдается при значениях углов

Следовательно, при f=0,4 лестница не будет скользить по полу при любом значении угла a от 0 до 38°40'.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Задача №7

При каких значениях угла a однородная лестница, опирающаяся на шероховатые стену и пол (рис. 122), будет находиться в равновесии? Коэффициенты трения при опирании лестницы о стену и о пол считать одинаковыми и равными f.

Ответ.

Указание. В данной задаче в системе сил, действующих на лестницу, образуется пять неизвестных: четыре реакции и угол а. Поэтому при решении задачи нужно к трем уравнениям равновесия добавить еще два уравнения, выражающих зависимость сил трения от нормального давления.

Задача №8

Цилиндр с горизонтальной площадкой наверху (рис. 123, а), находясь в двух кольцевых направляющих, скользит вниз, так как между поверхностью цилиндра и поверхностями направляющих имеется незначительный зазор. Вес цилиндра На каком наименьшем расстоянии l от оси цилиндра необходимо поместить груз Q, чтобы цилиндр перестал скользить? Коэффициент трения f. Расстояние между направляющими кольцами а.

Решение.

1.    На цилиндр в состоянии равновесия действуют две нагрузки: вес и груз (рис. 123, б).

2.    Груз Q, помещенный на горизонтальную площадку, прижимает цилиндр к верхнему направляющему кольцу в точке А, а к нижнему — в точке В. Благодаря зазору в точках С и D цилиндр не касается направляющих колец. В точках А и В возникают две реакции, которые заменим их составляющими (в точке А) и (в точке В).

3.    Образовалось пять неизвестных величин:

Если спроектировать все силы на ось х, то получим

откуда

Так как и

и

также, имея в виду равенство (1а), находим что

Скоректировав все силы на ось у, получим четвертое уравнение:

откуда с учетом (За)

Приняв за центр моментов точку О, лежащую на оси цилиндра и на середине расстояния а, составим пятое уравнение — уравнение моментов, в котором d- диаметр цилиндра (d = CA = BD):

Имея в виду равенства (1а) и (За), уравнение (5) можно упростить так:

откуда

Если теперь в уравнение (2) подставить значение из (4а), то

откуда

И теперь выражение (5а) принимает окончательный вид:

При значениях /, удовлетворяющих полученному неравенству, цилиндр не скользит вниз.

Задача №9

Тело А поставлено на негладкую пластину ВС, которую можно поворачивать около шарнира В. Коэффициент трения f между телом А и пластиной ВС известен. Определить, при каких значениях угла а (рис. 124, а) тело А будет оставаться на пластине в покое? Решение.

1.    Представим, что пластина ВС наклонена к горизонту на некоторый угол а (рис. 124, б).

При этом положении пластины на тело А действуют три силы: его собственный вес нормальная реакция пластины и сила трения действующая на тело вдоль пластины и которая при некотором положении пластины ВС сможет достичь максимального значения.

2. Тело А будет находиться в покое до тех пор, пока равнодействующая сил направленная вдоль пластины, будет оставаться меньше т. е. пока

но

поэтому

или 
Следовательно, пока тангенс угла наклона пластины к горизонту меньше коэффициента трения, тело А остается в покое.

Это положение выражает так называемое условие самоторможения тела по наклонной плоскости.

3.    Учитывая, что

где — угол трения, неравенство (а) можно представить в виде

Так как углы —острые и, следовательно, меньшему тан генсу соответствует меньший угол, последнее неравенство можно заменить равносильным неравенством

Тело А находится в покое на наклонной плоскости до тех пор, пока угол наклона плоскости меньше угла трения.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Равновесие при наличии трения

Постановка Задачи. Конструкция состоит из двух шарнирно соединенных между собой тел. Одна из опор конструкции представляет собой одностороннюю связь и допускает проскальзывание с трением. Коэффициент трения, размеры конструкции и часть внешних нагрузок заданы. Найти пределы изменения одной из внешних нагрузок, действующей на конструкцию в условии равновесия.

План решения:

1. Задаем направление возможного движения подвижной опоры, скользящей с трением. Прикладываем к этой опоре силу трения, направляя ее в сторону противоположную возможному движению. Предельное значение силы трения связываем с величиной нормальной реакции опоры N по формуле Кулона — коэффициент трения, зависящий от свойств контактирующих материалов и заданный в условии задачи.

2. Решаем задачу о равновесии системы тел. Для этого разбиваем систему на две отдельные части, для которых составляем и решаем уравнения равновесия. Из решения определяем предельное значение нагрузки д.чя заданного направления скольжения опоры.

3. Меняем направление возможного движения системы и направление предельной силы трения. Предыдущий пункт плана выполняем заново и определяем другое предельное значение нагрузки. Два найденных значения нагрузки определяют ту область ее изменения, при которой конструкция находится в равновесии.

Задача №10

Конструкция состоит из двух частей, шарнирно соединенных в точке С (рис. 52). Опора В представляет собой одностороннюю связь и допускает проскальзывание с коэффициентом трения опора А — неподвижный шарнир. К конструкции приложена пара сил с моментом М = 10 кНм, сила Q = 10 кН под углом

Размеры даны в метрах. Найти продолы изменения нагрузки Р, действующей под углом на конструкцию, в условии равновесия.

Решение

1. Задаем направление возможного движения подвижной опоры, скользящей с трением Предполагая возможное движение ползуна В влево, силу трения направим направо (рис. 53). Предельное значение силы трения связываем с нормальной реакцией опоры N по формуле Кулона:

где — коэффициент трения.

2. Решаем задачу о равновесии системы тел. Для этого систему разбиваем по шарниру С на две отдельные части — АС и СВ. Реакции шарнира С для левой и правой части направлены в противоположные стороны (рис. 54). К точке А прикладываем две составляющие реакции неподвижного шарнира

Действие ползуна заменяем нормальной реакцией N, направленной вниз, так как ползун по условию задачи является односторонней связью, и силой трения Из множества комбинаций уравнений равновесия (§ 2.4, с. 60) выберем уравнение моментов относительно точки А для всей системы в целом (рис. 53) и сумму моментов относительно С для правой части:

Уравнения (2) вместе с законом Кулона (1) образуют замкнутую систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными Решение системы имеет вид

При получаем Эта нагрузка для движения влево является предельной.

3. Меняем направление возможного движения системы и направление предельной силы трения. Пусть ползун В движется вправо. Силу направим в противоположную сторону. Очевидно, знак момента силы в уравнениях (2) изменится на противоположный, следовательно, решение для нового направления движения будет отличаться от (3) только знаком при . Формально подставляя в (3) = —0.2, получим Значения являются границами области равновесия.

Чтобы убедиться, что равновесие соответствует значениям нагрузки между этими числами, определим Р при Действительно, из (3) имеем

Из выражения (3) для N также следует, что при нормальная реакция N > 0, поэтому отрыв ползуна В от поверхности невозможен. Таким образом, рама находится в равновесии при

где

Этим нагрузкам соответствуют следующие значения нормальной реакции:

Замечание. Неравенство не является обязательным.

Трение качения

Постановка задачи. Система состоит из двух цилиндров, соединенных стержнем. Цилиндры могут кататься без проскальзывания, один цилиндр без сопротивления, другой — с трением качения. В каких пределах меняется внешний момент, приложенный к одному из цилиндров, в условии равновесия системы?

Трение качения происходит за счет деформации цилиндра и опорной поверхности в месте контакта. В результате реакция опоры смещается в сторону возможного движения на половину длины площадки контакта и создает момент сопротивления. Плечо этого момента принимают за коэффициент трения качения. Таким образом, где N— реакция опоры, — коэффициент трения качения, имеющий размерность длины. Так в рамках теоретической механики, где изучается твердое тело, для объяснения явления трения качения вводят гипотезу деформируемости. Считают, что область деформаций

в теле мала, а глубиной продавливания цилиндра в поверхность (или величиной смятия цилиндра) пренебрегают. Коэффициент трения качения зависит не только от свойств материала цилиндра и поверхности, но и от радиуса цилиндра.

План решения:

1. Задаем направление возможного движения при достижении условия предельного равновесия. К катящемуся телу (цилиндру, колесу) прикладываем момент трения качения, направляя его в сторону, противоположную возможному движению. Не забываем про силу сцепления в точке контакта, направленную вдоль плоскости.

2. Решаем задачу о равновесии системы тел. Используем метод разбиения системы на отдельные тела. Внешние и внутренние связи заменяем их реакциями. Составляем и решаем уравнения равновесия. Оси координат для уравнения проекций для цилиндрических тел выбираем вдоль нормальной реакции, а уравнение моментов составляем относительно точки касания. Из решения системы уравнений равновесия определяем условие предельного равновесия.

3. Меняем направление возможного движения системы и направление момента трения качения. Решаем задачу заново, определяем второе условие предельного равновесия.

Задача №11

Система состоит из двух цилиндров весом и с одинаковыми радиусами R = 50 см, соединенных однородным стержнем веса Цилиндры могут кататься без проскальзывания, цилиндр 1 — без сопротивления, а цилиндр 2 — с трением качения.

Коэффициент трения качения К цилиндру 1 приложена пара с моментом М. К оси цилиндра 2 приложена наклонная сила F = 10 Н (рис. 55). В каких пределах меняется момент М в условии равновесия системы?

Решение

1. Задаем направление возможного движения при достижении условия предельного равновесия. Пусть за счет достаточно большой, по сравнению с моментом М, силы F произойдет движение системы влево. Тогда момент трения качения, приложенный к цилиндру 2, будет направлен по часовой стрелке (рис. 57). Его величину находим по формуле

2. Решаем задачу о равновесии системы двух цилиндров и стержня. Разбиваем систему на три тела (рис. 56, 57, 58). Внешние связи заменяем реакциями

Реакции приложены к цилиндрам в точках их касания поверхностей, вызваны силами сцепления (трения) и обеспечивают вращение цилиндров. Реакции внутренних связей —

При составлении системы семи уравнений с неизвестными избегаем уравнения, в которые входят неизвестные реакции

Составляем уравнения равновесия для цилиндра 1 (рис. 56):

Уравнения равновесия цилиндра 2 (рис. 57) имеют вид

3.2.Трения качения

Уравнения равновесия стержня АВ (рис. 58) имеют вид

Из решения системы уравнений (1-3) определяем

Радиус и коэффициент трения качения переводим в метры R = 0.5 м, Получаем М — 3.414 Нм. Вычисляем нормальные реакции опор:

Убеждаемся, что что соответствует наличию опоры. Если реакция опоры равна нулю, то это означает отрыв тела от поверхности, отрицательной реакции опоры в задаче с односторонней связью не существует (физически не реализуется).

3. Меняем направление возможного движения системы. Пусть за счет действия момента М произойдет движение системы вправо. Момент трения качения направим против часовой стрелки (рис. 59). Составляя уравнения равновесия для новой системы сил, заметим, что отличие от прежней системы проявляется только в знаке во втором уравнении равновесия (2). Так как то новое решение для М будет формально отличаться от (4) только знаком у коэффициента трения Поэтому, не решая (и даже не составляя) системы уравнений равновесия типа (1-3) для нового направления возможного движения, записываем ответ, изменяя знаки у в (4):

Точно так же находим нормальные реакции опор: При равновесии системы момент, приложенный к
 цилиндру 1, изменяется в пределах (в Нм)