Теоретическая механика - примеры с решением заданий и выполнением задач

Теоретическая механика — это раздел механики, в котором изучается механическое движение материальных тел и их изменение с течением времени положения относительно друг друга. В задачу теоретической механики входит также изучение равновесия материальных тел, так как состояние покоя частный случай механического движения.

Теоретическая механика состоит из трех основных частей: статики, кинематики и динамики.

Страница содержит полный курс лекций по всем темам предмета "Теоретическая механика" с подробными примерами решения задач и выполнением заданий.

Содержание:

Введение в теоретическую механику

Теоретическая механика — раздел механики, в котором изучается механическое движение материальных тел, т. е. изменение с течением времени положения их относительно друг друга. Так как состояние покоя есть частный случай механического движения, то в задачу теоретической механики входит также изучение равновесия материальных тел.

Движение материи происходит во времени и пространстве. За пространство, в котором происходит движение тел, принимают «обычное» евклидово трехмерное пространство. Для изучения движения вводят так называемую систему отсчета, понимая под ней совокупность тела отсчета (тела, относительно которого изучается движение других тел) и связанных с ним систем координатных осей и часов. В теоретической механике принимается, что время не зависит от движения тел и что оно одинаково во всех точках пространства и всех системах отсчета (абсолютное время). В связи с этим в теоретической механике, говоря о системе отсчета, можно ограничиться указанием только тела отсчета или системы координатных осей, связанных с этим телом.

Движение тела происходит в результате действия на движущееся тело сил, вызванных другими телами. При изучении механического движения и равновесия материальных тел знание природы сил не обязательно, достаточно знать только их величины. Поэтому в теоретической механике не изучают физическую природу сил, ограничиваясь только рассмотрением связи между силами и движением тел.

Теоретическая механика построена па законах И. Ньютона, справедливость которых проверена огромным количеством непосредственных наблюдений, опытной проверкой следствий (зачастую далеких и вовсе не очевидных) из этих законов, а также многовековой практической деятельностью человека. Законы Ньютона справедливы не во всех системах отсчета. В механике постулируется наличие хотя бы одной такой системы (инерциальная система отсчета). Многочисленные опыты и измерения показывают, что с высокой степенью точности система отсчета с началом в центре Солнечной системы и осями, направленными к далеким «неподвижным» звездам, является инерциальной системой отсчета (она называется гелиоцентрической или основной инерциальной системой отсчета).

В дальнейшем будет показано, что если имеется хотя бы одна инерциальная система отсчета, то их имеется бесчисленное множество (очень часто ннерциальные системы отсчета называют неподвижными системами). Во многих задачах за инерциальную систему отсчета принимают систему, связанную с Землей. Ошибки, возникающие при этом, как правило, столь незначительны, что практического значения они не имеют. Но имеются задачи, в которых уже нельзя пренебречь вращением Земли. В этом случае за неподвижную систему отсчета следует принимать введенную гелиоцентрическую систему отсчета.

Теоретическая механика является естественной наукой, опирающейся на результаты опыта и наблюдений и использующей математический аппарат при анализе этих результатов. Как во всякой естественной науке, в основе механики лежит опыт, практика, наблюдение. Но наблюдая какое-нибудь явление, мы не можем сразу охватить его во всем многообразии. Поэтому перед исследователем возникает задача выделить в изучаемом явлении главное, определяющее, отвлекаясь (абстрагируясь) от того, что менее существенно, второстепенно.

В теоретической механике метод абстракции играет очень важную роль. Отвлекаясь при изучении механических движений материальных тел от всего частного, случайного, менее существенного, второстепенного и рассматривая только те свойства, которые в данной задаче являются определяющими, мы приходим к рассмотрению различных моделей материальных тел, представляющих ту или иную степень абстракции. Так, например, если отсутствует различие в движениях отдельных точек материального тела или в данной конкретной задаче это различие пренебрежимо мало, то размерами этого тела можно пренебречь, рассматривая его как "материальную точку. Такая абстракция приводит к важному понятию теоретической механики—понятию материальной точки, которая отличается от геометрической точки тем, что имеет массу. Материальная точка обладает свойством инертности, как обладает этим свойством тело и, наконец, она обладает той же способностью взаимодействовать с другими материальными телами, какую имеет тело. Так, например, планеты в их движении вокруг Солнца, космические аппараты в их движении относительно небесных тел можно рассматривать в первом приближении как материальные точки.

Другим примером абстрагирования от реальных тел является понятие абсолютно твердого тела. Под ним понимается тело, которое сохраняет свою геометрическую форму неизменной, независимо от действий других тел. Конечно, абсолютно твердых тел нет, так как в результате действия сил все материальные тела изменяют свою форму, т. е. деформируются, но во многих случаях деформацией тела можно пренебречь. Например, при расчете полета ракеты мы можем пренебречь небольшими колебаниями отдельных частей ее, так как эти колебания весьма мало скажутся на параметрах ее полета. Но при расчете ракеты на прочность учет этих колебаний обязателен, ибо они могут вызвать разрушение корпуса ракеты.

Принимая те или иные гипотезы, следует помнить о пределах их применимости, так как, забыв об этом, можно прийти к совершенно неверным выводам. Это происходит тогда, когда условия решаемой задачи уже не удовлетворяют сделанным предположениям и неучитываемые свойства становятся существенными. В курсе при постановке задачи мы всегда будем обращать внимание на те предположения, которые принимаются при рассмотрении данного вопроса.

Приведем некоторые сведения из истории механики. Подобно всем другим наукам механика возникла и развивалась под влиянием практических нужд человеческого общества. Она является одной из древнейших наук и ее история насчитывает приблизительно 25 веков напряженных исканий. В примитивном виде первичные понятия механики, в частности, понятия силы и скорости, появились еще в античный период. Чисто практическое применение катков, наклонной плоскости, рычага, блоков при постройке грандиозных сооружений древности (пирамиды, дворцы и т. п.) накапливало определенный опыт и, очевидно, должно было привести к обобщению этого опыта, к установлению некоторых законов механики (статики). Так, в трактате «Механические проблемы» Аристотель (384 — 322 до н. э.) рассматривает конкретные практические задачи при помощи метода, основанного на законе рычага. Однако первые попытки установления динамических законов оказались неудачными. Аристотель ошибочно полагал, что скорости падающих тел пропорциональны их весам и что равномерное и прямолинейное движение является результатом действия постоянной силы. Потребовалось почти два тысячелетия, чтобы преодолеть эти ошибочные представления и заложить научные основы динамики. К числу бесспорных достижений античной механики следует отнести работы Архимеда (287—212 до н. э.), который был не только выдающимся инженером своего времени, но и дал ряд научных обобщений, относящихся к гидростатике (закон Архимеда), учению о равновесии и центре тяжести.

В течение XIV—XVII столетий под влиянием торгового мореплавания и военного дела возник обширный комплекс задач, связанных с движением небесных тел, полетом снарядов, прочностью кораблей, ударом тел. Решение этих задач не могло быть осуществлено старыми методами и требовало прежде всего установления связи между движением и причинами, вызывающими его изменение.

Созданию основ динамики предшествовал сравнительно длительный период накопления опытных данных и их научного анализа. Здесь необходимо прежде всего отметить работы Н. Коперника (1473—1543), который на основе данных, установленных многовековыми наблюдениями, показал, что планеты обращаются не вокруг Земли, а вокруг Солнца. Дальнейший шаг к изучению движения небесных тел сделал Иоганн Кеплер (1571—1630). Обрабатывая многочисленные наблюдения своего учителя Тихо Браге, он установил три закона движения планет.

К этому же периоду относятся работы Галелео Галилея (1564—1642). Он сформулировал принцип относительности классической механики и принцип инерции (хотя и не в общем виде), установил законы свободного падения тел. Галилеем была построена количественная теория движения тяжелого тела по наклонной плоскости и теория движения тела, брошенного под углом к горизонту. Кроме того, Галилей занимался изучением прочности стержней и сопротивлением жидкости движущимся в ней телам. Последователем Галилея в области механики был Христиан Гюйгенс (1629—1695), который сформулировал понятия центростремительной и центробежной сил, исследовал колебания физического маятника, заложил основы теории удара.

Успешно преодолевая схоластический стиль античной науки, ученые этого периода с особым вниманием относились к опытным данным и систематически контролировали истинность своих теоретических пЛтроеннй экспериментальными наблюдениями. Таковы, в частности, установленные Галилеем и Гюйгенсом законы движения тел.

В 1687 г. вышла в свет книга Исаака Ньютона (1642—1727) «Математические начала натуральной философии» (в Англии натуральной философией называют физику). Прежде всего в этой книге Ньютон, завершая работы своих предшественников, главным образом Галилея и Гюйгенса, создает стройную систему основных законов динамики. Он впервые вводит понятие массы, устанавливает основной закон динамики, связывающий массу точки, ее ускорение и действующую на нее силу, и закон равенства действия и противодействия.

Исходя из законов Кеплера, он математически установил закон всемирного тяготения, а затем доказал, что если этот закон справедлив, то планеты должны двигаться по законам Кеплера. Закон всемирного тяготения", открытый и доказанный И. Ньютоном, получил за последние десятилетия особо важное значение, так как он лежит в основе расчета межпланетных траекторий космических кораблей и траекторий искусственных спутников Земли.

Ньютон установил также тождественность природы сил взаимного тяготения и силы тяжести на Земле. Он показал, что Земля сплюснута у полюсов, объяснил явления приливов и отливов, заложил основы теории удара.

Установление общих законов механики и закона всемирного тяготения является научным открытием первостепенного значения. Но этим не исчерпывается значение «Математических начал натуральной философии» Ньютона. В своей книге он с предельной ясностью изложил общий метод, которым нужно руководствоваться при физических исследованиях.

Кратко этот метод сводится к следующему. Из опытов следует вывести два или три общих закона (принципы) и затем показать, как из этих простых законов логически вытекают различные свойства (следствия), наблюдаемые на практике. Хотя этот метод исследования не является единственно возможным, а в наши дни он кажется само собой разумеющимся, ясное изложение его и блестящий пример построения механики, данный Ньютоном в его книге, оказал громадное влияние на все последующие поколения физиков. Именно поэтому академик С. И. Вавилов сказал, что в истории естествознания не было события более крупного, чем появление «Начал» Ньютона *).

Период развития механики после Ньютона в значительной мере связан с именем Л. Эйлера (1707—1783), отдавшего большую часть своей исключительно плодотворной деятельности Петербургской Академии наук, членом которой он стал в 1727 г. Эйлер развил динамику точки (им была дана естественная форма дифференциальных уравнений движения материальной точки) и заложил основы динамики твердого тела, имеющего одну неподвижную точку («динамические уравнения Эйлера»), нашел решения этих уравнений при движении тела по инерции. Он же является основателем гидродинамики (дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости), теории корабля и теории упругой устойчивости стержней. Эйлер получил ряд важных результатов и в кинематике (достаточно вспомнить углы и кинематические уравнения Эйлера, теорему о распределении скоростей в твердом теле). Ему принадлежит заслуга создания первого курса механики в аналитическом изложении.

К этому же периоду относится глубокая разработка механики свободных и несвободных систем материальных точек. Развитие этого направления было дано работами Ж- Л. Даламбера (1717 — 1783), Ж. Л. Лагранжа (173G— 1813). В «Трактате по динамике» первого из этих авторов показано, «каким образом все задачи динамики можно решать одним и притом весьма простым и прямым методом». Однако законченное развитие этого метода было дано лишь спустя- полвека Лагранжем («уравнения Лагранжа») в замечательном трактате «Аналитическая механика» (1788 г.), где, в частности, содержалось также вполне современное изложение теории линейных колебаний систем с несколькими степенями свободы.

Последующее развитие механики характеризуется углубленным изучением ранее намеченных разделов и появлением ряда ее новых ветвей. Дальнейшее обоснование принципа возможных перемещений, сформулированного Лагранжем, было проведено П. С. Лапласом (1749—1827), который ввел реакции связей, действующие на каждую точку материальной системы, и сделал предположение об идеальности связей. М. В. Остроградский (1801 — 1861) обобщил принцип возможных перемещений, распространив его на неудерживающие связи.

В 1829 г. К. Ф. Гаусс (1.777— 1855) сформулировал дифференциальный вариационный принцип — «Принцип наименьшего принуждения».

Развитие принципа наименьшего действия связано с именами П. Л. Мопертюи (1698—1759), Эйлера, Лагранжа, К. Г. Якоби (1804—1851). Существенный вклад в развитие аналитической механики на основе сформулированного им принципа был сделан У. Р. Гамильтоном (1805—1865). Независимо от Гамильтона этот принцип несколько позднее был разработан Остроградским, который применил его для более широкого класса задач. Этот наиболее важный и общий принцип получил название принципа Гамильтона — Остро градского.

Существенные результаты были достигнуты Остроградским, Гамильтоном, Якоби в области методов интегрирования уравнений динамики.

Дальнейшее развитие получила теория движения тяжелого твердого тела. В эту область после существенных результатов Эйлера и Лагранжа сделала значительный вклад С. В. Ковалевская (1850—1891). Работа Ковалевской послужила толчком для целого ряда исследований по отысканию частных случаев интегрирования уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки.

Л. Фуко (1819—1868) впервые продемонстрировал во Французской Академии наук гироскоп в кардановом подвесе. Последующее развитие теории гироскопов, обусловленное требованиями навигационных нужд, происходит в конце XIX века и особенно интенсивно в XX веке. Наиболее существенные результаты в этом разделе механики были получены М. Шулером, А. Н. Крыловым (1863- 1945), Б. В. Булгаковым (1900-1952), Б. Н. Кудреви-чем (1884-1953) и др.

Развитие механики неголономных систем связано с именами С. А. Чаплыгина, П. В. Воронца, П. Аппеля, В. Вольтеры и многих других ученых.

Существенное развитие получила теория устойчивости равновесия и движения, начала которой были даны еще Лагранжем; наиболее крупные результаты здесь принадлежат Э. Раусу (1831 — 1907), Н. Ё. Жуковскому (1847—1921), А. Пуанкаре (1854— (912) и в особенности А. М. Ляпунову (1857—1918).

Проблема борьбы с опасными вибрациями машин и сооружений вызвала к жизни углубленную разработку теории колебаний (исследования Рааея (1842—1919), А. Пуанкаре, А. Н. Крылова).

В XX веке особенно интенсивное развитие получила теория нелинейных колебаний, описывающая важные процессы не только в мехами lecKiix, но и в радиотехнических системах. Основополагающими в этой области являются работы Ван-дер-Поля, А. А. Андронова (1901 — 1952), Н. Н. Боголюбова, Л. И. Мандельштама (1879-1944), Н. М. Крылова (1879-1955), Н. Д. Папалекси (1880—1947) и др.

В механике зародилась теория автоматического регулирования (работы И. А. Вышнеградского (1831-1895)); в настоящее время эта теория представляет собой самостоятельную научную дисциплину, которую связывают с механикой, помимо исторических корней, теория устойчивости движения и теория колебаний.

В XIX веке сложилась теория упругости—наука о законах статического и динамического деформирования упругих тел (работы Эйлера, Навье (1785—1836), Коши (1789—1857), Сен-Венана (1797—1886)). В настоящее время ее начинают называть теорией твердого деформируемого тела в связи с расширением представления о законах деформирования и учетом вязких и пластичных свойств реальных тел.

В конце XIX века под сильным влиянием развития надводного и подводного кораблестроения и авиации начата углубленная разработка проблем гидро- и аэродинамики. Наиболее крупные результаты в этих областях связаны с именами Н. Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина (1869 — 1942), Л. Прандтля (1875— 1953), Т. Кармана (1881 — 1963).

В известных работах И. В. Мещерского (1859—1935) заложены основы механики тела переменной массы (переменного состава)—дисциплины, служащей фундаментом изучения реактивного полета. Основополагающими работами в области ракето-динамики являются работы К. Э. Циолковского (1857—1935).

Механика прошла огромный путь развития, но и в наши дни она представляет живо развивающуюся науку. Укажем на одну проблему, возникшую в самое последнее время (за последние десятилетия)—проблему управления движением. Речь идет об установлении характера изменения сил, с помощью которых можно обеспечить движение по заранее выработанной программе. Сюда непосредственно примыкает проблема оптимального управления, например, каким образом управлять движением ракеты, чтобы она вышла на заданную орбиту при минимальном расходе горючего.

Строго говоря, под механикой следует понимать совокупность достаточно обособленных отраслей знаний, базирующихся на законах Ньютона. Круг вопросов, изучаемых механикой, все время расширяется, охватывая все новые и новые области на\ки и техники. Это привело к тому, что ряд разделов теоретической механики вследствие специфики объектов исследования и применяемых математических методов становится вполне самостоятельными науками. К их числу относятся дисциплины: механика жидкостей и газов, теория упругости, теория механизмов и машин, небесная механика, теория регулирования и др. Этот естественный процесс развития науки продолжается и в наши дни.

Сейчас под собственно теоретической механикой обычно понимают сравнительно узкий раздел механики, а именно: механику материальной точки, механику абсолютно твердого тела и их систем. Несмотря на ето, теоретическая механика является одним из важнейших курсов, изучаемых в высшей технической школе; ее законы и выводы широко применяются в целом ряде других предметов при решении самых разнообразных и сложных технических задач. Все технические расчеты при постройке различных сооружений, при проектировании машин, при изучении полета различных управляемых и неупраатяемых летательных аппаратов и т. п. основаны на законах теоретической механики.

Особое значение механика приобретает сейчас, когда началась эра исследования космоса. Расчеты космических траекторий, разработки методов управления полетом представляют сложные задачи механики.

Отдавая должное значению механики как одного из важнейших разделов физики и фундамента современной техники, следует все же иметь в виду, что классическая механика лишь приближенно описывает законы природы, ибо в ее основе лежат постулаты, не вполне точно отражающие геометрию мира и характер механического взаимодействия тел. Это стало очевидным после создания Л. Эйнштейном специальной теории относительности, на которой основывается релятивистская механика.

Согласно теории относительности не существует абсолютного времени и абсолютного пространства, служащего лишь простым вместилищем тел На самом деле свойства пространства и времени существенно зависят от взаимодействующих в них тел. Более того, механические характеристики, такие как масса, тоже оказываются переменными и зависящими от обстоятельств движения (скорости). Однако становление релятивистской механики отнюдь не привело к отрицанию классической механики. Классическая механика, являясь частным (точнее, предельным) случаем релятивистской механики, не теряет своего значения, ибо ее выводы при скоростях движения, достаточно малых по сравнению со скоростью света, с большой точностью удовлетворяют требованиям многих отраслей современной техники.

В высших технических учебных заведениях теоретическая механика делится обычно на три раздела: статику, кинематику и динамику. Эта сложившаяся традиция нашла отражение и в настоящем курсе.

В статике изучаются методы преобразования одних совокупностей сил в другие, эквивалентные данным, выясняются условия равновесия, а также определяются возможные положения равновесия.

В кинематике движения тел рассматриваются с чисто геометрической точки зрения, т. е. без учета силовых взаимодействий между телами.

В динамике движение тел изучается в связи с силовыми взаимодействиями Между телами. Более подробные сведения о задачах статики, кинематики и динамики будут даны в соответствующих разделах курса.

Статика

Статика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются условия равновесия механических систем под действием приложенных к ним сил и моментов.

Основные понятия и аксиомы статики

Как уже отмечалось во введении, в теоретической механике изучается движение материальных тел относительно друг друга. Для этого требуется прежде всего построить модели объектов и дать определение понятий, с которыми имеет дело механика. В теоретической механике рассматривается простейшая модель «обычного» евклидова трехмерного пространства. Постулируется, что в этом пространстве существует хотя бы одна система координат, в которой справедливы законы Ньютона (инерциальная система). Многочисленные опыты и измерения показывают, что с высокой степенью точности система отсчета с началом в центре Солнечной системы и осями, направленными к далеким «неподвижным» звездам, является инерциальной системой. В дальнейшем будет показано, что если существует хотя бы одна инерциальная система, то их имеется бесчисленное множество) (инерциальные системы отсчета условно называются неподвижными).

Сила. Система сил. Равновесие абсолютно твердого тела

В статике, не внося никаких погрешностей в вычисления, можно считать, что системы координат, жестко связанные с Землей, неподвижны). Условия относительного равновесия в других, неинерциальных системах отсчета, в частности, в системах, движущихся относительно Земли, будут выяснены в динамике.

Как для статики, так и для динамики одним из основных является понятие силы. Первичное представление о силе дают нам мускульные ощущения. В механике под силой понимается мера механического взаимодействия материальных тел, в результате которого взаимодействующие тела могут сообщать друг другу ускорения или деформироваться (изменять свою форму). Из этого определения сразу вытекают два способа измерения сил: первый, динамический способ, основан на измерении ускорения тела в инерциальной системе отсчета, а второй, статический способ, основан на измерении деформации упругих тел.

В механике не изучают физическую природу сил. Укажем только, что силы могут возникать как при непосредственном контакте тел (например, сила тяги электровоза, передаваемая вагонам, сила трения между поверхностями соприкасающихся тел и т. п.), так и на расстоянии (например, силы притяжения небесных тел, силы взаимодействия электрически заряженных или намагниченных частиц и т. п.).

Сила является векторной величиной — она характеризуется численным значением или модулем, точкой приложения и направлением. Точка приложения силы и ее направление определяют линию действия силы. На рис. 1.1 показана сила

Для измерения модуля силы ее сравнивают с некоторой силой, выбранной в качестве единицы. В международной системе единиц измерения физических величин (СИ) "за единицу силы принят один ньютон (1м), а в технической системе единиц (система МКГСС) —один килограмм силы (1 кГ или \кгс— не следует смешивать с единицей массы в системе СИ — \кг). Напомним, что эти единицы связаны соотношениями

Применяются и более крупные единицы измерения сил, в частности, (меганьютон), (килоньютон), (тонна) и т. и.

Силу часто задают непосредственным описанием, например: к концу балки приложена сила численно равная 5 кн и направленная вертикально вниз. Но можно задать силу и способом, которым обычно определяют векторы, а именно, через ее проекции на оси прямоугольной системы координат и точку приложения силы. Если, как обычно, единичные векторы (орты) осей обозначить через (рис. 1.2), то. сила определится

точкой приложения и равенством:

где —проекции силы на соответствующие координатные оси *).

Рассматривая действие сил на материальные тела, мы будем отвлекаться не только от физической природы сил, но и от многих свойств самих тел. Так, реальные твердые тела обычно мало изменяют свою форму под действием приложенных к ним сил. Поэтому для решения многих задач механики допустимо вовсе пренебречь малыми деформациями (т. е-, малыми изменениями формы) и пользоваться моделью абсолютного твердого тела, понимая под ним тело, в котором расстояния между двумя любыми точками его остаются неизменными независимо от действия тех или иных сил **). Для краткости мы будем часто пользоваться выражением «твердое тело» или даже просто «тело», имея в виду только что введенное понятие абсолютно твердого тела.

Совокупность нескольких сил называется системой сил. Если, не нарушая состояния тела, одну систему сил можно заменить другой системой и наоборот, то такие системы сил называются эквивалентными. Символически это обозначается следующим образом;

Введенное понятие эквивалентности систем сил не устанавливает условий, при выполнении которых две системы сил будут эквивалентны. Оно означает только, что эквивалентные системы сил вызывают одинаковое состояние тела (одинаковые ускорения или, если тело не абсолютно твердое, одинаковые деформации).

В том случае, когда система сил эквивалентна одной силе т. е.

последняя называется равнодействующей данной системы сил. Это означает, что одна равнодействующая сила может заменить действие всех данных сил. В дальнейшем будет показано, что не всякая система сил имеет равнодействующую.

Как уже отмечалось, в инерциальной системе координат выполняется закон инерции. Это означает, в частности, что тело, находящееся в начальный момент в покое, останется пребывать в этом состоянии, если на него не действуют никакие силы. (Полная формулировка закона инерции будет дана в лекции по динамике.) Если абсолютно твердое тело остается в состоянии покоя при действии на него системы сил то последняя называется уравновешенной системой сил или системой сил, эквивалентной нулю:

Часто в этом случае говорят, что тело находится в равновесии *).

В заключение этой лекции обратим внимание на различие между понятием эквивалентности сил и понятием равенства векторов, изображающих эти силы. В математике два вектора считаются равными, если они параллельны, направлены в одну сторону и равны по модулю. Для эквивалентности двух сил этого недостаточно и из равенства еще не следует соотношение Из сделанных определений вытекает, что в общем случае две силы эквивалентны, если они геометрически (векторно) равны и приложены к одной точке тела. На рис. 1.3 показаны две геометрически равные, по не эквивалентные силы. В этом проявляется различие между свободными векторами, рассматриваемыми в математике, и силами.

Аксиомы статики и их следствия

В аксиомах статики формулируются те простейшие и общие законы, которым подчиняются силы, действующие на одно и то же тело, или силы, приложенные к взаимодействущим телам. Эти законы установлены многочисленными непосредственными наблюдениями, а также опытной проверкой следствий (часто далеких и вовсе не очевидных), логически вытекающих из этих аксиом.

Как следует из второго закона Ньютона, тело под действием одной силы приобретает ускорение и, следовательно, оно не может находиться в покое. Это означает, что одна сила не может составлять уравновешенную систему сил. Первая аксиома устанавливает условия, при выполнении которых простейшая система сил будет уравновешена.

Аксиома 1. Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, будут уравновешены (эквивалентны нулю) тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны.

Это означает, что если абсолютно твердое тело находится в покое под действием двух сил, то эти силы равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Обратно, если на абсолютно твердое тело действуют по одной прямой в противоположные стороны две равные по модулю силы и тело в начальный момент находилось в покое, . то состояние покоя тела сохранится.

На рис. 1.4 показаны уравновешенные силы удовлетворяющие соотношениям:

При решении некоторых задач статики приходится рассматривать силы, приложенные к концам жестких стержней, весом которых можно пренебречь, причем известно, что стержни находятся в равновесии. Из сформулированной аксиомы непосредственно следует, что действующие на такой стержень силы направлены вдоль прямой проходящей через концы стержня, противоположны по направлению и равны друг другу по модулю (рис. 1.5, а). Этот вывод сохраняется и в случае, когда ось стержня криволинейная (рис. 1.5, б).

Первая аксиома устанавливает необходимые и достаточные условия уравновешивания только двух сил, но, конечно, уравновешенная система сил может состоять и из большего числа сил.

Две следующие аксиомы устанавливают простейшие действия с силами, при которых состояние тела не изменяется.

Аксиома 2. Не нарушая состояния абсолютно твердого тела, к нему можно прикладывать или отбрасывать силы тогда и только тогда, когда они составляют уравновешенную систему, в частности, если эта система состоит из двух сил, равных по модулю, действующих по одной прямой и направленных в противоположные стороны.

Из этой аксиомы вытекает следствие: не нарушая состояния тела, точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия.

Действительно, пусть сила приложена к точке (рис. 1.6, а). Приложим в точке на линии действия силы две уравновешенные силы и полагая, что (рис. 1.6, б). Тогда согласно аксиоме 2 будем иметь

Так как силы образуют также уравновешенную систему сил (аксиома 1), то согласно аксиоме 2 их можно отбросить (рис. 1.6, в). Таким образом,

или

что доказывает следствие.

Это следствие показывает, что сила, приложенная к абсолютно твердому телу, представляет собой скользящий вектор.

Обе аксиомы и доказанное следствие нельзя применять к деформируемым телам, в частности, перенос точки приложения силы вдоль линии ее действия меняет напряженно-деформированное состояние тела.

Аксиома 3. Не меняя состояния тела, две силы, приложенные к одной его точке, можно заменить одной равнодействующей силой, приложенной в той же точке и равной их геометрической сумме (аксиома параллелограмма сил).

Эта аксиома устанавливает два обстоятельства: первое —две силы (рис. 1.7), приложенные к одной точке, имеют равнодействующую, т. е. эквивалентны одной силе

второе — аксиома полностью определяет модуль, точку приложения и направление равнодействующей силы

Другими словами, равнодействующую можно построить как диагональ параллелограмма со сторонами, совпадающими с и

Модуль равнодействующей определится равенством

где —угол между данными векторами

Отметим, что третья аксиома применима к любым, не обязательно абсолютно твердым телам.

Вторая и третья аксиомы статики дают возможность переходить от одной системы сил к другой системе, ей эквивалентной.

В частности, они позволяют разложить любую силу на две, три и т. д. составляющие, т. е. перейти к другой системе сил, для которой сила является равнодействующей. Задавая, например, два направления, которые лежат с в одной плоскости, можно построить параллелограмм, у которого диагональ изображает силу Тогда силы, направленные по сторонам параллелограмма, составят систему, для которой сила будет равнодействующей (рис. 1.7). Аналогичное построение можно провести и в пространстве. Для этого достаточно из точки приложения силы провести три прямые, не лежащие в одной плоскости, и построить на них параллелепипед с диагональю, изображающей силу и с ребрами, направленными по этим прямым (рис 1.8)

Аксиома 4 (3-й закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Заметим, что силы взаимодействия двух тел не составляют систему уравновешенных сил, так как они приложены к разным телам.

Если тело действует на тело с силой а тело действует на тело с силой (рис. 1.9), то эти силы равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны, т. е.

Если обозначить через силу, с которой Солнце притягивает Землю, то Земля притягивает Солнце с такой же ло модулю, но противоположно направленной силой —

При движении тела по плоскости к нему будет приложена сила трения направленная в сторону, противоположную движению. Это — сила, с которой неподвижная плоскость действует на тело. На основании четвертой аксиомы тело действует на плоскость с такой же силой, но ее направление будет противоположно силе На рис. 1.10 показано тело, движущееся вправо; сила трения приложена к движущемуся телу, а сила — к плоскости.

Рассмотрим еще покоящуюся систему, изображенную на рис. 1.11, Она состоит из двигателя установленного на фундаменте который в свою очередь находится на основании На двигатель и фундамент действуют силы тяжести соответственно (он и представляют собой действие Земли на эти тела). Кроме указанных дбух сил, действуют также следующие силы:

— сила действия тела на тело (она равна весу тела

— сила обратного действия тела на тело

— сила действия тел и на основание (она равна суммарному весу тел

— сила обратного действия основания на тело Эти силы показаны на рис. 1.11, б, в, г.

Согласно аксиоме 4

причем эти силы взаимодействия определяются заданными- силами

Для нахождения сил взаимодействия необходимо исходить из аксиомы 1. Вследствие покоя тела (рис. 1.11, б) должно быть

а значит,

Точно так же из условия равновесия тела (рис. 1.11, в) следует

т. е.

и

Аксиома 5. Равновесие деформируемого тела не нарушится, если жестко связать его точки и считать тело абсолютно твердым.

Этой аксиомой (ее называют иногда принципом отвердевания) пользуются в тех случаях, когда речь идет о равновесии тел, которые нельзя считать твердыми. Приложенные к таким телам внешние силы должны удовлетворять условиям равновесия твердою тела, однако для нетвердых тел эти условия являются лишь необходимыми, но не достаточными. Проиллюстрируем это положение простым примером. На стр. 20 было показано, что для равновесия абсолютно твердого невесомого стержня необходимо и достаточно, чтобы приложенные к концам стержня силы и действовали по прямой, соединяющей его концы, были равны

по модулю и направлены в разные стороны. Эти же условия необходимы и для равновесия отрезка невесомой нити, но для нити они недостаточны —необходимо дополнительно потребовать, чтобы силы, действующие на нить, были растягивающими (рис. 1.12,6), в то время, как для стержня они могут быть и сжимающими (рис. 1.12, а).

В заключение этой лекции рассмотрим случай эквивалентности нулю трех непараллельных сил, приложенных к твердому телу (рис. 1.13, а).

Теорема о трех непараллельных силах. Если под действием трех сил тело находится в равновесии и линии действия двух сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке.

Пусть на тело действует система трех сил, причем линии действия сил пересекаются в точке (рис. 1.13, а). Согласно следствию из аксиомы 2 силы можно перенести в точку (рис. 1.13, б), а по аксиоме 3 их можно заменить одной силой причем (рис. 1.13, в)

Таким образом, рассматриваемая система сил приведена к двум силам (рис. 1.13, в). По условиям теоремы тело находится в равновесии, следовательно, по аксиоме I силы должны иметь общую линию действия, но тогда линии действия всех трех сил должны пересекаться в одной точке.

Активные силы и реакции связей

Условимся называть тело свободным, если его перемещения ничем не ограничены. Тело, перемещения которого ограничены другими телами, называется несвободным, а тела, ограничивающие перемещения данного тела, связями. Как уже упоминалось, в точках контакта возникают силы взаимодействия между данным телом и связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей. При перечислении всех сил, действующих на данное тело, необходимо, разумеется, учитывать и эти контактные силы (реакции связей).

В механике принимают следующее положение, называемое иногда принципом освобождаемости: всякое несвободное шло можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить реакциями их, приложенными к данному телу.

В статике полностью определить реакции связей можно с помощью условий или уравнений равновесия тела, которые будут установлены в дальнейшем, но направления их во многих случаях можно определить из рассмотрения свойств связей.

В качестве простейшего примера на рис. 1.14, а представлено тело, точка которого соединена с неподвижной точкой при помощи стержня, весом которого можно пренебречь; концы стержня имеют шарниры, допускающие свободу вращения. В данном случае для тела связью служит стержень стеснение

свободы перемещения точки выражается в том, что она вынуждена находиться на неизменном удалении от точки Но, как мы видели выше (см. рис. 1.5, б), сила действия на такой стержень должна быть направлена по прямой и согласно аксиоме 4 сила противодействия стержня (реакция) должна быть направлена вдоль той же прямой. Таким образом, направление реакции стержня совпадает с прямой (рис. 1.14,6).

(В случае криволинейного невесомого стержня — по прямой, соединяющей концы стержня; см. рис. 1.5,6).

Аналогично сила реакции гибкой нерастяжимой нити должна быть направлена вдоль нити. На рис. 1.15 показано тело, висящее на двух нитях, и реакции нитей

Возвращаясь к общему случаю, отметим, что силы, действующие па несвободное тело (или на несвободную материальную точку), можно разделить на две категории. Одну категорию образуют силы, не зависящие от связей, а другую категорию — реакции связей. При этом реакции связей, в сущности, носят пассивный характер —они возникают лишь постольку, поскольку на тело действуют те или иные силы первой категории. Поэтому силы, не зависящие от связей, называют активными силами (иногда они называются заданными), а реакции связей — пассивными силами.

На рис. 1.16, а вверху показаны две равные по модулю активные силы растягивающие стержень внизу показаны реакции растянутого стержня. На рис. 1.16,6 вверху показаны активные силы сжимающие стержень, внизу показаны реакции сжатого стержня.

Рассмотрим еще некоторые типичные виды связей и укажем возможные направления их реакций; конечно, модули реакций определяются актйвными силами и не могут быть найдены, пока последние не заданы определенным образом. При этом мы будем пользоваться некоторыми упрощенными представлениями, схематизирующими действительные свойства реальных связей.

1. Если твердое тело опирается на идеально гладкую (без трения) поверхность, то точка контакта тела с поверхностью может свободно скользить вдоль поверхности, но не может перемещаться в направлении вдоль нормали к поверхности. Реакция идеально гладкой поверхности направлена по общей нормали к соприкасающимся поверхностям (рис. 1.17, а).

Если твердое тело имеет гладкую поверхность и опирается на острие (рис. 1.17,6), то реакция направлена по нормали к поверхности самого тела.

Если твердое тело упирается острием в угол (рис. 1.17, в), то связь препятствует перемещению острия как по горизонтали, так и по вертикали. Соответственно реакция угла может быть представлена двумя составляющими — горизонтальной и вертикальной величины и направления которых в конечном счете определяются заданными силами.

2. Сферическим шарниром называется устройство, изображенное на рис. 1.18, а, которое делает неподвижной точку рассматриваемого тела. Если сферическая поверхность контакта идеально гладкая, то реакция сферического шарнира имеет направление нормали к этой поверхности. Поэтому единственное, что известно относительно реакции, —это то, что она проходит через центр шарнира направление реакции может быть любым и определяется в каждом конкретном случае в зависимости от заданных сил и общей схемы закрепления тела. Точно так же нельзя заранее определить направление реакции подпятника, изображенного на рис. 1.18, б.

3. Цилиндрическая шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.19, а). Реакция такой опоры проходит через ее ось, причем направление реакции может быть любым (в плоскости, перпендикулярной оси опоры).

4. Цилиндрическая шарнирно-подвижная опора (рис. 1.19, б) препятствует перемещению закрепленной точки тела по перпендикуляру к плоскости соответственно реакция такой опоры также имеет направление этого перпендикуляра.

На одно и то же тело может быть наложено одновременно несколько связей, возможно, различного типа. Три примера такого рода представлены на рнс. 1.20, а. На рис. 1.20, б изображены соответствующие системы сил; здесь, в соответствии с принципом освобождаемости, связи отброшены и заменены реакциями. Реакции стержней направлены вдоль стержней (верхняя схема); прн этом предполагается, что стержни невесомы и соединены с телом и опорами с помощью шарниров. Реакции идеально гладких опорных поверхностей направлены по нормали к этим поверхностям (две нижние схемы). Кроме того, реакция цилиндрического шарнира в точке (средняя схема) должна -на основании теоремы о трех непараллельных силах проходить через точку пересечения линий действия сил —точку Реакция идеально гибкой нерастяжимой и невесомой нити направлена вдоль нити (нижняя схема).

В механических системах, образованных путем сочленения нескольких твердых тел, наряду с внешними связями (опорами) имеются внутренние связи. В этих случаях иногда мысленно расчленяют систему и заменяют отброшенные не только внешние, но и внутренние связи соответствующими реакциями. Один пример такого рода, в котором два тела соединены шарниром представлен па рис. 1.21. Отметим, что силы равны друг другу по модулю, но противоположно направлены (по аксиоме 4).

В заключении этой лекции отметим, что силы взаимодействия между отдельными точками данного тела называются внутренними, а силы, действующие на данное тело и вызванные другими телами, называются внешними. Из этого следует, что реакции связен являются для данного тела внешними силами.

Основные задачи статики

Содержание статики абсолютно твердого тела составляют две основные задачи:

1. Задача о приведении системы сил: как данную систему сил заменить другой, в частности наиболее простой, ей эквивалентной?
2. Задача о равновесии: каким условиям должна удовлетворять система сил, приложенная к данному телу (или материальной точке), чтобы она была уравновешенной системой?

Первая основная задача имеет важное значение не только в статике, но и в динамике.

Вторая задача часто ставится в тех случаях, когда равновесие заведомо имеет место, например, когда заранее известно, что тело находится в равновесии, которое обеспечивается связями, наложенными на тело. При этом условия равновесия устанавливают зависимость между всеми силами, приложенными к телу; во многих случаях с помощью этих условий удается определить опорные реакции. Хотя этим не ограничивается сфера интересов статики твердого тела, но нужно иметь в виду, что определение реакций связей (внешних и внутренних) необходимо для последующего расчета прочности конструкции.

В более общем случае, когда рассматривается система тел, имеющих возможность перемещаться друг относительно друга, одной из основных задач статики является задача определения возможных положений равновесия. Эти вопросы рассматриваются в аналитической статике (см. том II, глава XVIII).

Система сходящихся сил

Силы называются сходящимися, если линии действия всех сил, составляющих систему, пересекаются в одной точке. Простейший случай трех сил был рассмотрен в главе 1. Здесь рассматривается общий случай произвольного числа сил, образующих систему.

Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей

Существует немало практических задач, которые требуют исследования систем сходящихся сил; в частности, они возникают ори расчетах шарнирно-стержневых систем (ферм). Кроме того, изучение системы сходящихся сил необходимо для дальнейших обобщений, относящихся к произвольной пространственной системе сил. Прежде всего докажем теорему:

Система сходящихся сил эквивалентна одной силе (равнодействующей), которая равна сумме всех этих сил и проходит через точку пересечения их линий действия.

Пусть задана система сходящихся сил приложенных к абсолютно твердому телу (рис. 2.1, а). Согласно следствию из аксиомы 1 перенесем точки приложения сил по линиям их действия в точку пересечения этих линий (рис. 2.1, б). Таким образом, мы получаем систему сил, приложенных в одной точке. Она эквивалентна исходной системе сходящихся сил. Складывая теперь силы на основании аксиомы 3 получим их равнодействующую:

Индекс в обозначении равнодействующей соответствует номеру добавляемой силы Затем, сложив силу с силой найдем

Сила является равнодействующей трех сил, и равна их сумме. Дойдя, таким образом, до последней силы

получим равнодействующую всей системы данных сил *)

Этим соотношением и доказывается справедливость сформулированной теоремы.

Построение равнодействующей может быть упрощено, если вместо параллелограммов построить силовой многоугольник. Пусть, например, система состоит из четырех сил (рис. 2.2). Если от конца вектора отложить вектор то вектор, соединяющий начало и конец вектора будет вектором

Далее отложим вектор помещая его начало в конце вектора Тогда мы получим вектор идущий от точки к концу вектора Наконец, точно так же добавим вектор при этом получим, что вектор, идущий от начала первого вектора к концу вектора является равнодействующей

Пространственный многоугольник, который получен указанным образом, называется силовым многоугольником.

На рис. 2.2 показан разомкнутый силовой многоугольник (конец последней силы не совпадает с началом первой силы); равнодействующая направлена по замыкающей силового многоугольника. Конечно, при практическом построении силового многоугольника промежуточные равнодействующие и т. д. строить не нужно.

Если для нахождения равнодействующей при помощи силового многоугольника используются правила геометрии или тригонометрии, то такой способ нахождения равнодействующей называется геометрическим способом.

В случае плоской системы сил можно воспользоваться плоским чертежом, откладывая силы в некотором масштабе; равнодействующая определяется непосредственным измерением по чертежу. Такой способ ее нахождения называется графическим.

Наиболее общим способом определения модуля и направления равнодействующей является аналитический способ, который также вытекает из основного соотношения (2.1). Поместим, например, начало прямоугольной системы координат в точку пересечения

линий действия сил (см. рис. 2.1); тогда, пользуясь теоремой (она доказывается в курсе векторной алгебры), согласно которой проекция суммы векторов на некоторую ось равна сумме проекций на ту же ось слагаемых векторов, получим

где —проекции силы на указанные оси, a — проекции равнодействующей на те же оси.

Итак, проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций этих сил на соответствующие оси.

С помощью выражений (2.2) можно найти модуль равнодействующей и ее направление в прямоугольной системе координат

Так как составляющие равнодействующей системы сил

взаимно перпендикулярны (рис. 2.1), то модуль равнодействующей равен

Направляющие косинусы равнодействующей соответственно равны

В частном случае, когда все силы расположены в одной плоскости, удобно выбрать систему координат в плоскости расположения сил. Тогда проекции всех сил на ось равны нулю и вместо формул (2.2), (2.4) и (2.5) будем иметь

Условия равновесия системы сходящихся сил

При приведении системы сходящихся сил было показано, что такая система эквивалентна одной равнодействующей силе

Отсюда следует, что для равновесия тела, находящегося под действием системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая их равнялась нулю:

Следовательно, в силовом многоугольнике уравновешенной системы сходящихся сил конец последней силы должен совпадать с началом первой силы; в этом случае говорят, что силовой многоугольник замкнут (рис. 2.3). Это условие удобно использовать при графическом решении задач для плоских систем сил.

Векторное равенство (2.9) эквивалентно трем скалярным равенствам:

Принимая во внимание равенства (2.2), получаем аналитические условия равновесия:

т. е. для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно равенства нулю алгебраических сумм проекций всех сил данной системы на каждую из координатных осей.

Для частного случая плоскостей системы сходящихся сил, расположенных, например, в плоскости третье условие (2.10) отпадает (т. е. обращается в тождество).

Очевидно, что условия равновесия (как в аналитической, так и в геометрической форме) позволяют проконтролировать, находится ли в равновесии заданная система сил.

Однако еще большее практическое значение имеет другая возможность использования этих условий. Часто

заведомо известно, что вследствие наложенных связей тело находится в равновесии, причем мы знаем только часть действующих сил, а именно, активные силы; при этом опорные реакции известны лишь отчасти (например, известны их направления). Тогда с помощью условий равновесия можно найти остальные неизвестные, определяющие реакции связей. Условия равновесия, в которые входят неизвестные, будут уже служить уравнениями для определения этих неизвестных. Конечно, определение неизвестных возможно лишь в тех случаях, когда число неизвестных составляющих реакций не больше числа уравнений равновесия. Для определенности решения пространственной задачи на равновесие системы сходящихся сил она должна содержать не более трех неизвестных (соответственно трем уравнениям равновесия), а для плоской задачи —не более двух. Если неизвестных реакций больше, чем уравнений равновесия, в которые эти реакции входят, то задача не может быть решена только методами статики твердого тела (статически неопределимая задача) .

Хотя выбор направления координатных осей, на которые проектируются силы, не имеет принципиального значения, однако при решении задач для получения более простых уравнений равновесия рационально иногда направлять координатные оси перпендикулярно неизвестным силам; при этом некоторые уравнения равновесия будут содержать меньшее число неизвестных, чем их содержится в задаче.

Пример №1

Кран состоит из стрелы блоков троса и мотора К концу стрелы подвешен груз, вес которого равен С помощью мотора и троса стрелу можно установить под любым углом (рис. 2.4, а). Пренебрегая весом троса и стрелы, а также размерами блоков определить натяжение троса и усилие в стреле, если известно расстояние и длина стрелы Вычислить найденные величины при Рассмотрим равновесие стрелы В точке к ней приложена активная сила (сила тяжести груза). В той же точке к ней приложена реакция троса направленная от а в точке к стреле приложена реакция опоры направленная вдоль стрелы. Мысленно освободимся от связей и заменим их реакциями (рис. 2.4, б). Так как все-три силы, приложенные к стреле, уравновешены и пересекаются в одной точке то силовой треугольник должен быть замкнут. Построение замкнутого треугольника сил следует начинать с известной силы Из ее конца проводится направление силы а из начала силы проводится прямая, параллельная силе (или Точка пересечения этих прямых определяет силы (рис. 2.4, в).

При отбрасывании связей было заранее предположено, что стрела (стержень) сжата и поэтому реакция опоры была направлена от В данном примере это очевидно; в других, более сложных, случаях состояние стержня (растягивается он или сжимается) определяется решением задачи.

Треугольник сил подобен треугольнику образованному элементами крана (так как соответствующие стороны параллельны). Поэтому Отсюда По условию задачи Пользуясь теоремой косинусов, из треугольника найдем

Внося значения для получим

При заданных значениях будем иметь

В заключение этого примера отметим, что при хорошем выполнении чертежа (строгое соблюдение масштабов и параллельности линий) приближенные значения усилия и натяжения можно определить без всяких вычислений простым измерением длин сторон силового треугольника Недостаток графического метода состоит в том, что он не позволяет провести анализ полученного решения, так как численные значения искомых величин отвечают одному фиксированному положению механизма.

Пример №2

Шар веса и радиуса удерживается нитью длины на неподвижной гладкой цилиндрической поверхности радиуса (рис. 2.5, а). Определить натяжение нити и давление шара на опорную поверхность, если точка А крепления нити лежит на одной вертикали с центром цилиндрической поверхности.

Рассмотрим равновесие шара. Мысленно освободим шар от связей и заменим их реакциями (рис. 2.5, б). Реакция нити равная ее натяжению, направлена вдоль нити от реакция гладкой цилиндрической поверхности направлена по нормали к поверхности (она приложена к шару в точке касания шара с опорной поверхностью н направлена по нормали к поверхности шара, т. е. по радиусу Шар находится в равновесии под действием трех сил: Построив замкнутый силовой треугольник (из конца известкой силы проводим прямою, параллельную а из начала силы прямую, параллельную точка пересечения этих прямых определяет конец силы и начало силы рис. 2.5, в), мы можем определить модули сил и с помощью масштаба простым Измерением их длины. В данном примере использовать аналитические методы. Действительно, из подобия треугольника (рис. 2.5 а) и силового треугольника следует

Отсюда найдем

Давление шара на опорную поверхность (аксиома 4) равно по модулю реакции но направлено в противоположную сторону:

Пример №3

Однородная балка длины и веса удерживается в равновесии нитью и шарниром (рис. 2.0, а).

Найти натяжение нити и реакцию шарнира если

Рассмотрим равновесие системы, состоящей из балки и нити. Мысленно освободим систему от связен в точках и и приложим в этих точках реакции (рис. 2.С, б). К балке приложены сила тяжести сила натяжения нити и реакция шарнира Эта система сил должна быть эквивалентна нулю. По теореме о трех непараллельных силах реакция должна проходить через точку (середину стороны Построим силовой треугольник {рис. 2.6, в). Из подобия силового треугольника и треугольника (рис. 2.G, б) следует, что

Подставляя сюда получим

Начало этих рассуждений может быть несколько видоизменено, если рассматривать равновесие балки, отделенной как от стены (в точке так и нити (в точке см. рис. 2.6, г. Однако последующие выкладки останутся прежними, в частности, тем же останется силовой треугольник на рис. 2.6, в.

Пример №4

Определить реакции опорных шарниров невесомой трехшарнирной арки левая половина которой нагружена силой (рис. 2.7 а).

Рассмотрим равновесие каждой полуарки отдельно. К правой полуарке приложены две силы: реакция в шарнире и реакция левой полуарки на правую. Значит, линия действия этих сил проходят через Левая полу арка (рис. 2.7, б) находится в равновесии, следовательно, силы образуют уравновешенную систему действия реакции проходит через точку пересечения линий действия силы и реакции (реакции правой полуарки на левую). Так как направления всех сил известны, то можно построить силовой треугольник (рис. 2.7, в) и определить величины искомых реакций. После этого можно построить систему сил для правой полуарки; это сделано на рис. 2 7, г, причем

Пример №5

Однородный цилиндр веса расположен между двумя гладкими наклонными плоскостями, образующими с горизонтом углы (рис. 2.8, о). Определить силы давления цилиндра на обе опорные плоскости.

Так как плоскости гладкие, то их реакции (рис. 2.8, б) направлены перпендикулярно плоскостям, т. е направлены к оси цилиндра и вместе

с силой образуют сходящуюся систему сил. Запишем уравнения равновесия этой системы сил:

откуда находим

Искомые силы давления будут равны (согласно аксиоме 4) по модулю и противоположны по направлению реакциям

Пример №6

Горизонтальная балка удерживается в равновесии стержнями Найти усилия в стержнях и балке, если к концу балки приложена сила перпендикулярная балке и образующая с вертикалью угол

Дано: Весами балки и стержней пренебречь; крепления шарнинные (рис. 2.9, а).

Заменяя действие стержней и балки на узел реакциями получим систему четырех сил, приложенных в одной точке (рис. 2.9,6).

Проекции этих сил на координатные оси (систему координат см. на рис. 2.9, б) равны:

Поэтому в соответствии с условиями (2.11) уравнения равновесия данной системы сил имеют вид

Отсюда

Усилия в стержнях и балке соответственно равны найденным реакциям

Если бы балка поддерживалась большим числом стержней, то задача стала бы статически неопределимой, поскольку число неизвестных превзошло бы число уравнений.

Пример №7

Невесомые стержни соединенные в точке шарниром, поддерживаются в равновесии нитью Определить натяжение нити и усилия в стержнях, если а к точке приложена горизонтальная сила линия действия которой образует с плоскостью угол (рис. 2.10, а). Концы стержней закреплены шарнирно. Прямая горизонтальна.

Заменим действие стержней и нити на узел реакциями Проекции сил на оси координат будут (рис. 2.10, б):

Составим уравнения равновесия:

отсюда

Натяжение нити и усилия в стержнях соответственно равны полученным значениям

Если то

При

(знак минус в выражении для означает, что стержень сжат, а не растянут, как предполагалось при построении реакций).

При усилие в стержне равно нулю.

Теория пар

Лекция носит вспомогательный характер и необходим для дальнейшего построения теории.

Сложение двух параллельных сил

Пусть параллельные и одинаково направленные силы приложены к точкам тела и нужно найти их равнодействующую (рис. 3.1). Приложим к точкам равные по модулю и противоположно направленные силы (их модуль может быть любым); такое добавление можно делать на основании аксиомы 2. Тогда в точках мы получим две силы

Линии действия этих сил пересекаются в некоторой точке Перенесем силы в точку и разложим каждую на составляющие:

Из построения видно, что следовательно, и две эти силы согласно аксиоме 2 можно отбросить. Кроме того, Силы действуют по одной прямой, и их можно заменить одной силой

которая и будет искомой равнодействующей. Модуль равнодействующей равен

Очевидно, что линия действия равнодействующей параллельна линиям действия слагаемых. Из подобия треугольников и а, также получим соотношение

которым определяется точка приложения равнодействующей Таким образом, система двух параллельных сил. направленных в одну сторону, имеет равнодействующую, параллельную этим силам, причем ее модуль равен сумме модулей слагаемых; линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям этих сил.

Рассмотрим теперь задачу о сложении двух параллельных сил, направленных в разные стороны и не равных друг другу по модулю. Пусть даны две силы (рис. 3.2.), причем для определенности будем считать, что

Пользуясь формулами (3.1) и (3.2), можно силу разложить на две составляющие, направленные в сторону силы Сделаем это так, чтобы сила оказалась приложенной к точке и положим

Таким образом, Теперь заметим, что силы можно отбросить как эквивалентные нулю (аксиома 2), следовательно, т. е. сила и является равнодействующей. Определим силу удовлетворяющую такому разложению силы Формулы (3.1) и (3.2) дают

Отсюда следует

и так как силы направлены в разные стороны, то

Подставим это выражение во вторую формулу (3.3), получим после простых преобразований

Из двух последних формул следует, что две не равные по модулю противоположно направленные параллельные силы имеют равнодействующую, параллельную этим силам, причем ее модуль равен разности модулей слагаемых; линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил. внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям этих сил. Заметим, что равнодействующая в этом случае всегда расположена за большей из двух сил.

Прежде чем рассмотреть случай двух равных по модулю, параллельных, но противоположно направленных сил, заметим, что из равенств (3.3) и (3.4) следует

Рассмотрим теперь случай двух параллельных, равных по модулю, но противоположно направленных сил (рис. 3.3). Эта система сил называется парой сил или просто парой и обозначается символом Рассуждения, которыми мы пользовались при выводе соотношений (3.4) и (3.5), здесь непригодны. Формальное применение этих соотношений приводит к заключению, что в данном случае модуль равнодействующей равен нулю, а линия ее действия находится на бесконечном удалении от линий действия слагаемых сил. Чтобы понять природу этого результата, вновь вернемся к отучаю, когда слагаемые силы имеют различные модули, и предположим, что модуль постепенно возрастает, приближаясь к значению модуля Тогда разность модулей будет стремиться к нулю, а система сил — к паре. При этом модуль равнодействующей будет неограниченно приближаться к нулю (см. (3.4)), а линия ее действия — неограниченно удаляться от линий действия слагаемых (см. (3.5)).

Как следует из сказанного, для пары сил понятие равнодействующей лишено смысла, так как она представляет неуравновешенную систему, которая не может быть заменена одной силой. Говорят, что пара сил не имеет равнодействующей*).

Таким образом, пара сил является неприводимым (неупрощаемым) элементом статики; наряду с силой она является вторым самостоятельным элементом статики.

Момент силы относительно точки и относительно оси. Момент пары сил

Прежде чем перейти к исследованию свойств пары сил, введем понятие момента силы, которое необходимо для дальнейшего.

Моментом силы относительно какой-либо точки (центра) называется вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т. е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии действия силы, и направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через выбранную точку и линию действия силы в ту сторону, откуда «вращение», совершаемое силой вокруг точки, представляется происходящим против хода часовой стрелки. Момент силы характеризует ее вращательное действие.

Если — точка, относительно которой находится момент силы то момент силы обозначается символом Покажем, что если точка приложения силы определяется радиусом-вектором относительно то справедливо соотношение

Согласно этому соотношению момент силы равен векторному произведению вектора на вектор

В самом деле, модуль векторного произведения равен

где — плечо силы (рис. 3.4). Заметим также, что вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы в ту сторону, откуда кратчайший поворот вектора к направлению вектора представляется происходящим против хода часовой стрелки. Таким образом, формула (3.6) полностью определяет модуль и направление момента силы

Иногда формулу (3.7) полезно записывать в виде

где — площадь треугольника (рис. 3.4).

Пусть — координаты точки приложения силы, а — проекции силы на координатные оси. Тогда, если точка О находится в начале координат,.момент силы выражается следующим образом:

Отсюда следует, что проекции момента силы на координатные оси определяются формулами:

Введем теперь понятие проекции силы на плоскость.

Пусть даны сила и некоторая плоскость. Опустим из начала и конца вектора силы перпендикуляры на эту плоскость (рис. 3.5).

Проекцией силы на плоскость называется вектор, начало и конец которого совпадают с проекцией начала и проекцией конца силы на эту плоскость.

Если в качестве рассматриваемой плоскости принять плоскость то проекцией силы на эту плоскость будет вектор (рис. 3.5).

Момент силы относительно точки (точки пересечения оси с плоскостью может быть вычислен но формуле (3.9), если в ней положить Получим

Таким образом, этот момент направлен вдоль оси а его проекция на ось в точности совпадает с проекцией на ту же ось момента силы относительно точки Другими словами,

(3.11)

Очевидно, тот же результат можно получить, если спроектировать силу на любую другую При этом точка пересечения оси с плоскостью будет уже иной (обозначим новую точку пересечения через Однако все входящие в правую часть равенства (3,11) величины останутся неизменными, и, следовательно, можно записать

Другими словами, проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, не зависит от выбора точки на оси. Поэтому в дальнейшем вместо символа будем применять символ Эта проекция момента называется моментом силы относительно оси Вычисление момента силы относительно оси часто бывает удобнее производить посредством проектирования силы на плоскость, перпендикулярную оси, и вычисления величины

В соответствии с формулой (3.7) и учитывая знак проекции, будем иметь:

Здесь — плечо силы относительно точки (рис. 3.6); если наблюдатель видит со стороны положительного направления оси что сила стремится повернуть тело вокруг оси против хода часовой стрелки, то берется знак «плюс», и в противном случае —знак «минус».

Формула (3.12) дает возможность сформулировать следующее правило для вычисления момента силы относительно оси. Для этого нужно:

1. выбрать на оси произвольную точку и построить плоскость, перпендикулярную оси;
2. спроектировать на эту плоскость силу;
3. определить плечо проекции силы

Момент силы относительно оси равен произведению модуля проекции силы на ее плечо, взятому с соответствующим знаком (см. изложенное выше правило).

Из формулы (3.12) следует, что момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях:

1. когда проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю, т. е. когда сила и ось параллельны;
2. когда плечо проекции равно нулю, т. е. когда линия действия силы пересекает ось. Оба эти случая можно объединить в один: момент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда, когда линия действия сит и ось находятся в одной плоскости.

Пример №8

Вычислить относительно точки момент силы приложенной к точке и направленной по диагонали грани куба со стороной (рис. 3.7).

При решении подобных задач рационально сначала вычислить моменты силы относительно координатных осей Координаты точки приложения силы будут

Проекции силы на координатные оси:

Подставляя эти значения в равенства (3.10), найдем

Эти же выражения для моментов силы относительно координатных осей можно получить, пользуясь формулой (3.12). Для этого спроектируем силу на плоскости, перпендикулярные осям (рис. 3 7). Очевидно, что Применяя изложенное выше правило, получим, как и следовало ожидать, те же выражения:

Модуль момента определится равенством

Введем теперь понятие момента нары. Найдем сначала, чему равна сумма моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки. Пусть —произвольная точка пространства (рис. 3.8), a — силы, составляющие пару. Тогда

откуда

но так как то

Принимая во внимание равенство окончательно находим:

Следовательно, сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от положения точки, относительно которой берутся моменты.

Векторное произведение и называется моментом пары. Обозначается момент пары символом причем

или, короче,

Рассматривая правую часть этого равенства, замечаем, что момент пары представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости пары, равный по модулю произведению модуля одной из сил пары на плечо пары (т. е. на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару) и направленный в ту сторону, откуда «вращение» пары видно происходящим против хода часовой стрелки. Если —плечо пары, то

Из самого определения видно, что момент пары сил представляет собой свободный вектор, линия действия которого не определена (дополнительное обоснование этого замечания следует из теорем 2 и 3 этой главы).

Для того чтобы пара сил составляла уравновешенную систему (систему сил, эквивалентную нулю), необходимо и достаточно, чтобы момент пары равнялся нулю. Действительно, если момент пары равен нулю, то либо т.е. нет сил, либо плечо пары равно нулю. Но в этом случае силы пары будут действовать по одной прямой; так как они равны по модулю и направлены в противоположные стороны, то на основании аксиомы 1 они составят уравновешенную систему. Обратно, если две силы, составляющие пару, уравновешены, то на основании той же аксиомы 1 они действуют по одной прямой. Но в этом случае плечо пары равно нулю и, следовательно,

Теоремы о парах

Докажем три теоремы, с помощью которых становятся возможными эквивалентные преобразования пар. При всех рассуждениях следует помнить, что они относятся к нарам, действующим на какое-либо одно твердое тело.

Теорема 1. Две пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости, с моментом, равным сумме моментов данных двух пар.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим две пары (рис. 3.9) и перенесем точки приложения всех сил вдоль линии их действия в точки соответственно. Складывая силы по аксиоме 3, получим

но

Следовательно, т. е. силы образуют пару. Найдем момент этой пары, воспользовавшись формулой (3.13):

При переносе сил, составляющих пару, вдоль линии их действия ни плечо, ни направление вращения пары не меняются, следовательно, не меняется и момент пары. Значит,

и формула (3.14) примет вид

что и доказывает справедливость сформулированной выше теоремы.

Сделаем два замечания к этой теореме.

1. Линии действия сил, составляющих пары, могут оказаться параллельными. Теорема остается справедливой и в этом случае, но для ее доказательства следует воспользоваться правилом сложения параллельных сил.
2. После сложения может получиться, что на основании сделанного ранее замечания из этого следует, что совокупность двух пар

Теорема 2. Две пары, имеющие геометрически равные моменты, эквивалентны.

Пусть на тело в плоскости действует пара с моментом Покажем, что эту пару можно заменить другой парой (F2, F2), расположенной в плоскости если только ее момент равен (согласно определению это и будет означать, что пары эквивалентны). Прежде всего заметим, что плоскости должны быть параллельны, в частности, они могут совпадать. Действительно, из параллельности моментов (в нашем случае следует, что плоскости действия пар, перпендикулярные моментам, также параллельны.

Введем в рассмотрение новую пару и приложим ее вместе с парой к телу, расположив обе пары в плоскости Для этого согласно аксиоме 2 нужно подобрать пару с моментом так, чтобы приложенная система сил была уравновешена. Это можно сделать, например, следующим образом: положим и совместим точки приложения этих сил с проекциями точек на плоскость (см. рис. 3.10). В соответствии с построением будем иметь: или, учитывая, что

Принимая во внимание второе замечание к предыдущей теореме, получим Таким образом, пары и взаимно уравновешены и присоединение их к телу не нарушает его состояния (аксиома 2), так что

С другой стороны, силы а также можно сложить по правилу сложении параллельных сил, направленных в одну сторону. По модулю все эти силы равны друг другу, поэтому их равнодействующие должны быть приложены в точке пересечения диагоналей прямоугольника кроме того, они равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Это означает, что они составляют систему, эквивалентную нулю. Итак,

Теперь мы можем записать

Сравнивая соотношения (3.16) и (3.17), получим что и требовалось доказать.

Из этой теоремы следует, что пару сил можно перемещать в плоскости ее действия, переносить в параллельную плоскость; наконец, в паре можно менять одновременно силы и плечо, сохраняя лишь направление вращения пары и модуль ее момента

В дальнейшем мы будем широко пользоваться такими эквивалентными преобразованиями нары.

Теорема 3. Две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны одной паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар.

Пусть пары расположены в пересекающихся плоскостях соответственно. Пользуясь следствием теоремы 2, приведем обе пары к плечу (рис. 3.11), расположенному на линии пересечения плоскостей Обозначим трансформированные пары через При этом должны выполняться равенства:

Сложим по аксиоме 3 силы, приложенные в точках соответственно. Тогда получим Учитывая, что получим: Таким образом, мы доказали, что система двух нар эквивалентна одной паре

Найдем момент этой пары. На основании формулы (3.13) имеем но и, следовательно,

или

т. е. теорема доказана.

Заметим, что полученный результат справедлив и для пар, лежащих в параллельных плоскостях. По теореме 2 такие пары можно привести к одной плоскости, а но теореме 1 их можно заменить одной нарой, момент которой равен сумме моментов составляющих пар.

Доказанные выше теоремы о нарах позволяют сделать важный вывод: момент пары является свободным вектором и полностью определяет действие пары на абсолютно твердое тело. В самом деле, мы уже доказали, что если две пары имеют одинаковые моменты (следовательно, лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях), то они друг другу эквивалентны (теорема 2). другой стороны, две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, не могут быть эквивалентны, ибо это означало бы, что одна из них и пара, противоположная другой, эквивалентны нулю, что невозможно, так как сумма моментов таких пар отлична от нуля.

Таким образом, введенное понятие момента пары чрезвычайно полезно, поскольку оно полностью отражает механическое действие нары на тело. В этом смысле можно сказать, что момент исчерпывающим образом представляет действие пары на твердое тело.

Для деформируемых тел изложенная выше теория пар неприменима. Две противоположные пары, действующие, например, по торцам стержня, с точки зрения статики твердого тела эквивалентны нулю. Между тем их действие на деформируемый стержень вызывает его кручение, и тем большее, чем больше модули моментов.

Перейдем к решению первой и второй задач статики в случаях, когда на тело действуют только пары сил.

Приведение системы пар к простейшему виду. Равновесие системы пар

Пусть дана система пар как угодно расположенных в пространстве, моменты которых равны На основании теоремы 3 первые две нары можно заменить одной парой с моментом

Полученную пару сложим с парой тогда получим новую пару с моментом

Продолжая и дальше последовательное сложение моментов нар, мы получим последнюю результирующую пару с моментом

Итак, система пар приводится к одной паре, момент которой равен сумме моментов всех пар.

Теперь легко решить вторую задачу статики, т. е. найти условия равновесия тела, на которое действует система пар. Для того чтобы система пар была эквивалентна нулю, т. е. приводилась к .двум уравновешенным силам, необходимо и достаточно,

чтобы момент результирующей пары был равен нулю. Тогда из формулы (3.18) по-M(f„f/) лучим следующее условие равновесия в векторном виде:

В проекциях на координатные оси уравнение (3.19) дает три скалярных уравнения.

Условие равновесия (3.19) упрощается, когда все нары лежат в одной плоскости. В этом случае все моменты перпендикулярны этой плоскости, и поэтому уравнение (3.19) достаточно спроектировать только на одну ось, например ось, перпендикулярную плоскости пар. Пусть это будет ось (рис. 3.12).

Тогда из уравнения (3.19) получим:

При этом ясно, что если вращение пары видно с положительного направления оси против хода часовой стрелки, и при противоположном направлении вращения, эти случая представлены на рис. 3.12.

Пример №9

Один конец балки длиной укреплен в неподвижной шарнирной опоре а второй ее конец опирается на гладкую наклонную плоскость, составляющую с балкой угол На балку действует пара сил с моментом, равным Пренебрегая весом балки, определить реакции опор (рис. 3. 13).

Действие опор заменим реакциями. Реакция гладкой поверхности направлена по нормали к поверхности. Так как балка находится в равновесии, то система сил, действующих на балку, эквивалентна нулю. Но активная пара сил с моментом может быть уравновешена только парой сил.

Следовательно, реакция неподвижной опоры вместе с реакцией плоскости должны составлять пару сил. Модули реакций найдутся из условия равенства модулей моментов пар:

или

где плечо пары. Отсюда

Основная теорема статики и условия равновесия пространственной системы сил

В лекции рассматривается вспомогательная задача о параллельном переносе силы. Докажем лемму:

Сила, приложенная в какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной в любой другой точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Лемма о параллельном переносе силы

Пусть в точке твердого тела приложена сила (рис. 4.1). Приложим теперь в точке тела систему двух сил эквивалентную нулю, причем выбираем (следовательно, Тогда сила так как

Но, с другой стороны, система сил эквивалентна силе и паре сил следовательно, сила эквивалентна силе и паре сил Момент нары равен

т. е. равен моменту силы относительно точки

Таким образом, лемма о параллельном переносе силы доказана.

Основная теорема статики

Введем определения. Пусть дана произвольная система сил Сумму этих сил

называют главным вектором системы сил.

Сумму моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения) называют главным моментом рассматриваемой системы сил относительно этого полюса.

Пользуясь теперь леммой о параллельном переносе силы, докажем следующую основную теорему статики (теорема Пуансо):

Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной сит, приложенной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной главному вектору данной системы сил и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения.

Следовательно, основная теорема статики устанавливает закон эквивалентной замены произвольной системы сил более простои системой, состоящей из одной силы и одной пары.

Пусть — центр приведения, принимаемый за начало координат, — соответствующие радиусы-векторы точек приложения сил составляющих данную систему сил (рис. 4.2, а). Прежде всего перенесем силы в точку а затем сложим эти силы как сходящиеся; в результате получим одну силу:

которая равна главному вектору (рис. 4.2,6). Но при последовательном переносе сил в точку мы получаем каждый раз соответствующую пару сил

Моменты этих пар соответственно равны моментам данных сил относительно точки

На основании правила приведения системы пар к простейшему виду все указанные пары можно заменить одной парой. Ее момент равен сумме моментов всех сил системы относительно точки т. е. равен главному моменту, так как согласно формулам (3.18) и (4.1) имеем (рис. 4.2, в)

Итак, систему сил, как угодно расположенных в пространстве, можно в произвольно выбранном центре приведения заменить силой

и парой сил с моментом

He следует считать, что главный вектор и главный момент имеют чисто формальное значение и что их можно найти только с помощью вычислений. Очень часто отдельно действующие на тело силы нельзя определить даже опытным путем, в то время как главный вектор или главный момент находятся сравнительно легко. Поясним это примером. Рассмотрим вал, находящийся в подшипниках скольжения. При вращении вала на точки его поверхности действуют со стороны подшипника силы трения. Число точек контакта и модули сил трения, как правило, нам не известны. Не всегда их можно определить и с помощью эксперимента, однако простым измерением находится сумма моментов всех сил трения относительно оси вращения, т. е. главный момент сил трения.

По тем же соображениям момент силы и момент пары сил также не следует рассматривать только как формальные величины, введенные для удобства доказательства. В технике очень часто проще задать не силу или пару, а их моменты. Например, в характеристику электромотора входит не сила, с которой статор действует па ротор, а вращающий момент.

Аналитическое определение главного вектора и главного момента пространственной системы сил

Определим модули и направления векторов Пусть декартова система координат имеет начало в центре приведения Тогда проекции силы на координатные оси найдутся из соотношений:

Модуль силы равен

а направление определяется направляющими косинусами

Для проекции вектора имеем (см. (3.10))

Следовательно, модуль и направление сектора определяются формулами

При приведении пространственной системы сил к одной силе и одной паре сил угол между направлением главного вектора и направлением главного момента может получиться любым в зависимости от действующих сил. Для определения этого угла воспользуемся формулой, выражающей скалярное произведение векторов

Отсюда

или, в соответствии с формулами (4.6) и (4.9),

Выясним, как будут меняться сила и пара сил, к которым приводится рассматриваемая система сил, при перемене центра приведения. Так как сила равна главному вектору, т. е. сумме всех сил системы, то для любого центра приведения она будет одной и той же. Если в качестве нового центра приведения взята точка то

Для центра приведения момент пары равен главному моменту относительно этого центра приведения

где — радиус-вектор точки приложения силы проведенный из нового центра приведения (рис. 4.3). Из рассмотрения рис. 4.3 видно, что

Подставив значение в формулу (4.13), получим

откуда на основании формул (4.2) и (4.3)

т. е. момент пары, а следовательно, и главный момент при перемене центра приведения изменяются на момент силы, равной главному вектору, приложенному в старом центре приведения, относительно нового центpa приведения.

Из формулы (4.14) следует, что если в каком-либо центре приведения, например, точке то и для любого центра приведения будет

Приведение произвольной системы сил к силе и паре сил не является единственным способом приведения к простейшему виду (хотя и применяется наиболее часто). Возможен другой вариант приведения; согласно этому варианту система сил, как угодно расположенных в пространстве, может быть приведена к двум силам, в общем случае не лежащим в одной плоскости.

В самом деле, пусть произвольная система сил приведена в данном центре к силе и паре сил с моментом Выберем силы, составляющие пару,равными приложим одну из них (например, в центре приведения (рис. 4.4) и сложим ее с силой В результате получим силу уже не лежащую в плоскости действия пары

Таким образом, пространственная система сил приведена к двум силам которые в общем случае не лежат в одной плоскости.

Условия равновесия пространственной системы сил

В этой лекции мы обратимся ко второй задаче статики и установим условия, при которых пространственная система сил эквивалентна нулю, т. е. условия ее равновесия. Докажем теорему.

Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю.

Достаточность сформулированных условии вытекает из того, что при система сходящихся сил, приложенных в центре приведения эквивалентна нулю, а при система пар сил эквивалентна нулю. Следовательно, исходная система сил эквивалентна нулю.

Докажем необходимость этих условий. Пусть данная система сил эквивалентна нулю. Приведя систему к двум силам, заметим, что в нашем случае система сил (рис. 4.4) должна быть эквивалентна нулю, следовательно, эти две силы должны иметь общую линию действия и, кроме того, должно выполняться равенство Но в рассматриваемом нами случае это может быть, если линия действия силы проходит через точку т. е. если А это значит, что главный момент равен нулю Далее, так как то и, следовательно,

Итак, необходимые и достаточные условия равновесия пространственной системы сил будут иметь вид

или, в проекциях на координатные оси,

Таким образом, при решении задач о равновесии пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, мы имеем возможность из уравнений (4.16) н (4.17) определить шесть неизвестных величин.

Замечание. О невозможности приведения пары сил к равнодействующей. Проведем доказательство от противного. Пусть пара сил приводится к равнодействующей приложенной к какой-либо точке тела. Тогда эта пара и сила приложенная в точке эквивалентны нулю (рис. 4.5). На основании только что доказанного плавный вектор и главный момент этой системы должны быть равны нулю. Примем за центр приведения точку тогда главный момент и равен моменту пары главный вектор тоже не равен нулю Следовательно, предположение о существовании равнодействующей для пары сил несправедливо.

Уравнения равновесия для более частных систем сил могут быть получены из уравнений (4.16) и (4.17).

1. Равновесие пространственной системы параллельных сил. Направим ось параллельно линиям действия сил (рис. 4.6).

Тогда проекции сил на оси равны нулю и остается удовлетворить только одному из уравнений группы (4.16):

Во второй группе уравнений (4.17) Рис 4.6. последнее выполняется тождественно, так как силы параллельны оси и остаются только два уравнения:

2.Равновесие плоской системы сил.

Для плоской системы сил из уравнений первой группы останутся два уравнения:

Из уравнений второй группы два первых удовлетворяются тождественно, так как силы лежат в одной плоскости с осями и (рис. 4.7). Остается только третье уравнение:

3. Равновесие плоской системы параллельных сил. Условия равновесия для этого частного случая следуют из

Уравнений (4.20) и (4.21). Направим ось параллельно линиям действия сил (рис. 4.8). Тогда первое из уравнений (4.20) удовлетворяется тождественно (для любой системы параллельных

сил на плоскости) и остаются только два уравнения равновесия:

Напомним, что при составлении уравнений равновесия (4.17) за центр приведения может быть выбрана любая точка.

Плоская система сил

Рассмотрим систему сил расположенных в одной плоскости. К этому случаю приводится весьма большое число практических задач техники. Совместим с плоскостью расположения сил систему координат и, выбрав ее начало в качестве центра приведения, согласно основной теореме статики приведем рассматриваемую систему сил к одной силе

равной главному вектору, и к паре сил, момент которой равен главному моменту

где — момент силы относительно центра приведения

Приведение плоской системы сил к простейшему виду

Так как силы расположены в одной плоскости, то сила также лежит в этой плоскости. Момент же пары направлен перпендикулярно этой плоскости, так как сама пара расположена в плоскости действия рассматриваемых сил. Таким образом, для плоской системы сил главный вектор и главный момент всегда перпендикулярны друг другу (рис. 5.1).

При рассмотрении плоской системы сил мы имеем дело с парами, расположенными в плоскости действия сил. Поэтому в системах нет необходимости придавать векторный смысл моменту пары. Момент полностью характеризуется алгебраической величиной равной произведению плеча пары на величину одной из сил, составляющих пару, взятой со знаком плюс, если «вращение» пары происходит против хода часовой стрелки, и со знаком минус, если оно происходит по ходу часовой стрелки. Иными словами, за момент пары в плоских системах принимается проекция вектора момента пары на ось перпендикулярную плоскости действия сил.

Пусть, например, даны две пары (рис. 5.2); тогда согласно данному определению имеем

Аналогично, моментом силы относительно точки будем называть алгебраическую величину, равную проекции вектора момента силы относительно этой точки на ось, перпендикулярную плоскости, т. е. равную произведению модуля силы на плечо, взятому с соответствующим знаком. Для случаев, изображенных на рис. 5.3, а и б, соответственно будет

Индекс в формулах (5.3) и (5.4) сохранен для того, чтобы указать на алгебраический характер моментов.

Модули же момента пары и момента силы обозначаются следующим образом:

Исходя из этих определений, для нахождения главного момента вместо формулы (5.2) будем пользоваться формулой

Приведение плоской системы сил к простейшему виду

Формула (4.14), определяющая изменение главного момента при перемене центра приведения, примет вид

Для аналитического определения главного вектора применяются формулы:

Согласно формулам (5.5) и (3.11) главный момент равен

где — координаты точки приложения силы

Докажем теперь, что если главный вектор плоской системы сил не равен нулю, то данная система сил эквивалентна одной силе, т. е. приводится к равнодействующей. Пусть для выбранного центра приведения главный вектор и главный момент не равны нулю, т. е. (рис. 5.4, а). Дуговая стрелка на рис. 5.4, а символически изображает пару с моментом Пару сил, момент которой равен главному моменту, представим в виде двух сил равных по модулю главному вектору т. е. При этом одну из сил составляющих пару, приложим к центру приведения и направим в сторону, противоположную направлению силы (рис. 5.4, б). Тогда система сил эквивалентна нулю и может быть отброшена. Следовательно, заданная система сил эквивалентна единственной силе приложенной к точке эта сила и является равнодействующей. В дальнейшем равнодействующую будем обозначать буквой т. е. Очевидно, что расстояние от прежнего центра приведения до линии действия равнодействующей можно найти из условия т. е.

Расстояние нужно отложить от точки так, чтобы момент пары сил совпадал с главным моментом (рис. 5.4, б). В результате приведения системы сил к данному центру могут встретиться следующие случаи:

1.

В этом случае система сил может быть приведена к одной силе (равнодействующей), как это показано на рис. 5.4, в.

2.

В этом случае система сил приводится к одной силе (равнодействующей), проходящей через данный центр приведения.

3.

При этом система сил эквивалентна одной паре сил.

4.

В этом случае рассматриваемая система сил эквивалентна нулю, т. е. силы, составляющие систему, взаимно уравновешены.

Для системы сил, которая приводится к равнодействующей, справедлива следующая теорема о моменте равнодействующей.

Теорема Вариньона. Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той же самой точки.

Предположим, что система сил приводится к равнодействующей проходящей через точку Возьмем теперь в качестве центра приведения другую точку Главный момент (5.5) относительно этой точки равен сумме моментов всех сил:

С другой стороны, на основании формулы (5.6) имеем

так как главный момент для центра приведения равен нулю Сравнивая соотношения (5.11) и (5.12), получаем

это и доказывает сформулированную теорему.

При помощи теоремы Вариньона можно найти уравнение линии действия равнодействующей. Пусть равнодействующая приложена в какой-либо точке с координатами (рис. 5.5) и известны главный вектор и главный момент при центре приведения в начале координат. Так как то составляющие равнодействующей по осям равны и Согласно теореме Вариньона момент равнодействующей относительно начала координат равен главному моменту при центре приведения в начале координат, т. е.

Величины при переносе точки приложения равнодействующей вдоль ее линии действия не изменяются, следовательно, на координаты в уравнении (5.14) можно смотреть как на текущие координаты линии действия равнодействующей. Таким образом, уравнение (5.14) есть уравнение линии действия равнодействующей. При его можно переписать в виде

Пример №10

Равнодействующие сил давления воды на гравитационною плотину приложены в вертикальной плоскости симметрии перпендикулярно соответствующим граням на расстояниях от основания (рис. 5.6). Сила тяжести прямоугольной части плотины приложена в ее центре, а сила тяжести треугольной части— на расстоянии одной трети от вертикальной грани треугольного сечения.

Определить равнодействующую распределенных сил реакции грунта, на котором установлена плотина, если

Прежде всего найдем равнодействующую заданных сил приложенных к плотине Для вычисления главного вектора и главного момента относительно начала координат нам понадобятся значения и координаты точки Так как По условию задачи Из треугольника найдем Следовательно, Согласно формулам (5.7) и (5.10) имеем

Главный вектор не равен нулю, поэтому система заданных сил приложенных к плотине, приводится к равнодействующей модуль которой равен

Уравнение линии действия равнодействующей найдем по формуле (5.14):

На рис. 5.6 показана равнодействующая заданных сил, приложенных к плотине. Равнодействующая реакция грунта действует по той же прямой, но она направлена в сторону, противоположную . Модули этих сил, конечно, равны между собой.

Условия равновесия плоской системы сил

Как было установлено в главе IV, необходимым и достаточным условием равновесия системы сил является равенство нулю главного вектора и главного момента. Для плоской системы сил эти условия получают вид

где — произвольная точка в плоскости действия сил. На основании (5.15) и (5.7) имеем

т. е. для равновесия плоской системы, сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на две координатные оси и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно произвольной точки равнялись нулю.

Возможны также другие формы уравнений равновесия.

Второй формой является равенство нулю алгебраических сумм моментов всех сил относительно любых трех точек, не лежащих на одной прямой:

где — указанные точки.

Необходимость выполнения этих трех равенств в случае равновесия системы сил вытекает из условий (5.15), и нам остается доказать их достаточность. Предположим, что все равенства (5.17) выполняются. Равенство нулю главного момента при центре приведения в точке возможно, либо если система приводится к равнодействующей и линия ее действия проходит через точку либо аналогично равенство нулю главного момента относительно точек означает, что либо и равнодействующая проходит через обе точки, либо Но равнодействующая не может проходить через все эти три точки (по условию они не лежат на одной прямой). Следовательно, равенства (5.17) возможны лишь при т. е. система сил находится в равновесии.

Заметим, что если точки лежат на одной прямой, то выполнение условий (5.17) не будет достаточным условием равновесия, — в этом случае система может быть приведена к равнодействующей, линия действия которой проходит через эти точки.

Третьей формой уравнений равновесия плоской системы сил является равенство нулю алгебраических сумм моментов всех сил системы относительно двух любых точек и равенство нулю алгебраической суммы проекций всех сил системы на ось, не перпендикулярную прямой, проходящей через две выбранные точки:

(ось не перпендикулярна отрезку

Необходимость выполнения этих равенств для равновесия сил вытекает непосредственно из условий (5.15). Убедимся в том, что выполнения этих условий достаточно для равновесия сил.

Из первых двух равенств, как и в предыдущем случае, вытекает, что если система сил имеет равнодействующую, то ее линия действия проходит через точки (рис. 5.7). Тогда проекция равнодействующей на ось не перпендикулярную отрезку окажется отличной от нуля. Но эта возможность исключается третьим уравнением (5.18) так как

Следовательно, равнодействующая должна равняться нулю и система находится в равновесии. Понятно, что если ось будет перпендикулярна отрезку то уравнения (5.18) не будут достаточными условиями равновесия, так как в этом случае система может иметь равнодействующую, линия действия которой проходит через точки

Таким образом, система уравнений равновесия может содержать одно уравнение моментов и два уравнения проекций, либо два уравнения моментов и одно уравнение проекций, либо, наконец, три уравнения моментов.

Отметим, что при составлении любой из форм уравнений, равновесия выбор координатных осей и точек, относительно которых берутся моменты сил, вообще говоря, произволен. Однако для получения наиболее простых уравнений равновесия (каждое из которых содержит минимальное число неизвестных) целесообразно координатные оси проводить перпендикулярно неизвестным силам, а указанные точки выбирать на пересечении линий действия неизвестных сил.

При рассмотрении равновесия несвободного твердого тела на основании принципа освобождаемости заменяем действие связей их реакциями. Значит, если число этих заранее неизвестных реакций будет равно числу уравнений равновесия, в которые реакции входят, то задачу их определения можно выполнить. Если же число неизвестных реакций будет больше уравнений равновесия, содержащих реакции, то задача становится статически неопределимой.

Среди плоских задач статики особого рассмотрения заслуживает случай плоской системы параллельных сил. Хотя для этой системы главный вектор и главный момент по-прежнему определяются формулами (5.1) и (5.5), но фактические вычисления значительно упрощаются.

Пусть линии действия всех сил параллельны оси (рис. 4.8). Тогда уравнения равновесия для рассматриваемой системы параллельных сил будут:

В соответствии с (5.17) уравнения равновесия можно также записать в виде

причем точки не должны лежать на прямой, параллельной оси (если точки будут лежать на прямой, параллельной оси то эти уравнения будут удовлетворяться при равнодействующей, отличной от нуля, если ее линия действия проходит через указанные точки).

В заключение этой лекции отметим, что система сил, действующих на твердое тело, может состоять как из сосредоточенных (изолированных) сил, так и распределенных сил. Различают силы, распределенные по линии, по поверхности и по объему тела. Так, например, давление тяжелого цилиндрического катка на горизонтальную опорную поверхность (рис. 5.8, а) представляет собой силы, распределенные вдоль линии (в данном случае — вдоль прямой). Давление газа на стенки сосуда может служить примером сил, распределенных по поверхности (рис. 5.8, б). Действие сил тяжести (рис. 5.8, в) иллюстрирует случай сил, распределенных по объему тела.

Распределенные силы задаются их интенсивностью. Так, например, для объемных сил сначала вводится понятие средней интенсивности силы в окрестности рассматриваемой точки тела

Здесь — объем элемента, выделенного в окрестности точки, —сила, действующая на этот элемент. Тогда

называется интенсивностью силы, распределенной по объему в данной точке тела.

Аналогично вводится понятие интенсивности для силы, распределенной по поверхности и по длине линии:

где — соответственно элементарная площадь и элемент длины линии.

Очень часто интенсивность силы называют силой, отнесенной к соответствующей геометрической единице — длине, площади или объему. Соответственно этому единицами интенсивности служат

Понятно, что в простейших случаях (см., например, рис. 5.8а) интенсивность определяется простым делением полной силы давления на длину, площадь или объем участка ее приложения.

В ряде случаев силы оказываются неравномерно распределенными. Так, на рис. 5.9, а изображено давление воды на стенку плотины, оно переменно и зависит от глубины, т. е. от координаты На рис. 5.9, б показан случай, когда давление сыпучего тела на основание является функцией двух координат из-за переменной толщины слоя.

Задачи на применение уравнений равновесия

Пример №11

Однородная гладкая балка весом закрепленная в точке при помощи шарнира, опирается в точке на стену. В точке подвешен груз Определить опорные реакции в точках если балка составляет с горизонтом угол (рис. 5.10, а).

Образуем силовую схему, заменив действие связей их реакциями. Реакция в точке не известна ни по величине, ни по направлению, поэтому будем

искать эту реакцию через ее проекции реакция в точке направлена перпендикулярно балке (рис. 5.10, б).

Уравнения равновесия напишем в форме (5.16):

отсюда находим

Пример №12

Ферма опирается на неподвижный шарнир и каток который может без трения перемещаться по наклонной плоскости. Определить реакции опор если к ферме приложены силы (рис. 5.11, а),

Заменяя действие опор реакциями, составляем силовую схему (рис. 5. )1, б). Уравнения равновесия возьмем в форме (5.17). В качестве точек, относительно

которых составляются уравнения моментов, выберем точки Уравнения равновесия при этом будут

отсюда находим

Пример №13

К балке, изображенной на рис. 5 12, а, приложены: сосредоточенная сила и равномерно распределенная нагрузка интенсивности Вес балки Определить реакции опор.

Действие опор на балку заменяем реакциями а распределенную нагрузку —ее равнодействующей приложенной в

середине отрезка (рис. 5.12, б). Уравнения равновесия имеют вид

Решая эти уравнения, получаем

Познакомимся теперь с особым видом связи, которая называется жесткой (или полной) заделкой. Эта связь препятствует не только линейным перемещениям закрепленной точки тела, но и повороту вокруг этой точки.

Такова, например, жесткая заделка левого конца балки на рис. 5.13, а; этот конец оказывается полностью закрепленным — невозможны его вертикальное и горизонтальное перемещения, а также и поворот. Такая связь создает систему реакций, состоящую (рис. 5.13, б) из двух составляющих и пары, момент которой обозначен через Это следует из того, что на заделанный конец балки действует распределенная нагрузка, которую можно привести к силе, приложенной к точке и к паре сил с моментом

Пример №14

К однородной балке, вес которой равен и длина в точке приложена сила (рис. 5.14, а). Определить реакции в месте заделки.

Силовая схема изображена на рис. 5.14, б. Уравнения равновесия будут

отсюда имеем

Задачи на равновесие системы тел

Рассмотрим задачу о нахождении опорных реакций трех-шарнирной арки, которая состоит из двух частей, имеющих шарнирные опоры и соединенных между собой идеальным шарниром С (рис. 5.15, а). Если рассматривать эту систему тел как одно твердое тело (аксиома 5), то будем иметь три уравнения равновесия с четырьмя неизвестными (проекции опорных реакций в точках

Тем не менее эта задача статически определенная. Дело в том, что в равновесии находятся два тела соединенных между собой шарниром С, и можно рассматривать равновесие каждого тела в отдельности. Таким образом, число уравнений равновесия будет равно шести — по три уравнения для каждого тела. Действие тела на тело передаваемое через идеальный шарнир, может быть заменено одной силой, а действие тела на тело может быть заменено такой же по модулю силой, но противоположно направленной (аксиома 4).

Рассмотрим равновесие каждого тела в отдельности. На рис. 5.15, б указаны силы, приложенные к телам причем силы представляют собой составляющие силы, заменяющие собой действие тела на тело — составляющие силы, заменяющие действие тела на тело

Для каждого тела мы можем составить по три уравнения равновесия, т. е. всего шесть уравнений, неизвестных же тоже будет шесть, так как в силу аксиомы 4

Указанный путь решения задачи, конечно, не единственный. Можно, например, составить три уравнения равновесия для тела а остальные три —для системы тел принимая их за одно твердое тело, или составить уравнения равновесия для тела и уравнения равновесия для системы тел как для одного твердого тела. Целесообразность применения того или иного способа решения задачи зависит от условий конкретной задачи.

Пример №15

Два однородных стержня одинаковой длины соединены шарнирно в точке и шарнирно закреплены в точках Вес каждого стержня равен В точке к системе стержней подвешен груз Расстояние Расстояние точки до горизонтальной прямой равно Определить реакции шарниров (рис. 5.16, а).

Заменяя действие опор реакциями, рассмотрим сначала равновесие этой системы в целом (рис. 5.16, б). Уравнения равновесия (5.16) в этом случае

будут

Из этих уравнений находим

Для нахождения рассмотрим теперь равновесие левого стержня. Сумма

моментов всех сил, приложенных к левому стержню, относительно должна быть равна нулю, т. е.

отсюда

Пример №16

Определить опорные реакции системы, состоящей из двух балок, сочлененных идеальным шарниром, если Конец балки защемлен, конец балки укреплен в катковой опоре (рис. 5.17, а).

Рассмотрим равновесие каждой балки в отдельности. Мы получаем два твердых тела, на которые действуют реакции внешних связей и попарно равные силы взаимодействия Таким образом общее число неизвестных равно шести.

Запишем уравнения равновесия в форме (5.16) для левой балки (рнс. 5.17, б):

для правой балки (рис. 5.17, в):

На основании аксиомы 4 (третьего закона Ньютона) модули сил а также сил равны между собой, т. е Учитывая эти равенства и решая затем полученную систему уравнений, находим

Условия равновесия частично закрепленного тела

В некоторых случаях приходится рассматривать равновесие частично закрепленных тел, т. е. тел, на которые наложены связи, допускающие некоторое перемещение тела. Два примера такого рода изображены на рис. 5.18, а, 6. Очевидно, что при произвольной системе активных сил приложенных к телу, равновесия не будет. Однако возможны и такие случаи, когда равновесие имеет место.

Выясним условия, которым должны удовлетворять активные силы, чтобы тело находилось в равновесии. Прежде всего остановимся на случае твердого тела, имеющего неподвижную ось вращения; к телу приложена система активных сил расположенная в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (рис. 5.18, а). Ось вращения служит связью для рассматриваемого тела; согласно принципу освобождаемости действие связи заменяем реакцией приложенной к точке (предполагаем, что трение отсутствует).

Направление реакции зависит от характера приложенных к телу сил Напишем уравнения равновесия в форме (5.18):

Из первых двух уравнений можно найти обе составляющие реакции В последнее уравнение не входит. Это уравнение устанавливает зависимость между активными силами, необходимую для равновесия тела.

Таким образом, для рассматриваемого случая активные силы должны удовлетворять одному уравнению

Обратимся теперь ко второму примеру (рис. 5.16, б), где связью служит стержень. Направление реакции фиксировано и совпадает с осью стержня. Выбирая систему координат как указано на рис. 5.18, б, имеем следующие уравнения равновесия:

Первое уравнение служит для определения реакции Два остальных уравнения накладывают определенные требования на систему активных сил. Таким образом, для равновесия тела необходимо, чтобы активные силы в данном случае удовлетворяли двум условиям:

Последнее уравнение записано для точки тела понятно, что его можно видоизменить, записав его для любой точки оси

Определение натяжения тяжелой подвешенной нити

Задача об определении натяжения в подвешенной (рис. 5.19, а) связана с проблемой прочности тросов или электропередачи. Будем считать, что и что провисание нити происходит только из-за различия между ее длиной и расстоянием между опорами (рис. 5.19,о).

Обозначим через линейный удельный вес нити. Для пологой кривой можно принять, что вес равномерно распределен не по кривой а по ее проекции Таким образом, общий вес нити будем считать равным

В соответствии с аксиомой 5 можно рассматривать условия равновесия любой части нити. Рассмотрим, например, правую половину нити; действующие на нее силы изображены на рис. 5.19, б. Заметим, что натяжение в любом сечении нити направлено по касательной к кривой в соответствующем месте (это следует из предположения об идеальной гибкости нити). Поэтому в нижней точке нити принятой за начало координатной системы, натяжение горизонтально. Обозначив через стрелу провеса (т. е. расстояние по вертикали между нижней точкой и опорами), запишем уравнение моментов относительно точки

Здесь представляет собой вес половины нити. Из этого уравнения находим

отсюда, между прочим, ясно, что чем меньше стрела провеса нити тем больше натяжение

Из двух уравнений для проекций сил на оси можно найти составляющие натяжения в точке

а затем и полное натяжение в точке

Второе слагаемое в сумме под знаком корня значительно меньше единицы, и мы можем воспользоваться приближенной формулой

достаточно точной для малых по модулю значений Тогда будет

Этот результат определяет наибольшее натяжение нити, которое, впрочем, мало отличается от наименьшего натяжения

Для вычисления по найденным формулам необходимо знать стрелу провеса а для этого требуется располагать уравнением кривой, по которой провиснет нить. С этой целью рассмотрим часть нити, расположенную между началом координат и произвольным сечением с абсциссой (рис. 5.19, в). Для этой части можно написать следующие уравнения равновесия (для проекций сил на оси

Здесь вес рассматриваемой части нити, — натяжение на правом конце этой части.

Из первого уравнения можно заключить, что с удалением от нижней точки, т. е. с увеличением угла натяжение нити возрастает и достигает максимума в точках подвеса.

Исключив из этих уравнений получим с учетом формулы (5.23)

Ho и мы приходим к дифференциальному уравнению, определяющему форму нити в положении равновесия:

Интегрируя его, получаем

Постоянную интегрирования найдем из условия, что отсюда следует

Таким образом, приближенно установлено, что тяжелая нить в положении равновесия принимает форму параболы *). Теперь можно выразить стрелу провеса через Для этого запишем известное из курса математического анализа выражение длины дуги

и заметим, что для пологой нити Поэтому Тогда будем иметь

Подставляя сюда выражение (5.25), находим

отсюда получаем

Пример №17

Определить наименьшее и наибольшее натяжение нити, если вес единицы длины составляет 10 кГ, длина пролета а полная длина нити

Прежде всего по формуле (5.26) находим

Наименьшее натяжение нити (в нижней точке) определяется по формуле (5.23):

Наибольшее натяжение (в точках подвеса) находим по формуле (5.24):

Определение реакций упругих опор твердого тела

Если твердое тело опирается на большое число опор, то задача определения реакции может оказаться статически неопределимой. Такова, например, балка, изображенная на рис. 5.20, а. Очевидно, что трех уравнений равновесия недостаточно для определения пяти реакций, т. е. система статически неопределимая (единственная определимая реакция, горизонтальная реакция левой опоры, равна нулю).

Задача определения реакций в таких системах, вообще говоря, выходит за рамки курса теоретической механики и чаще всего требует использования методов сопротивления материалов. При этом приходится отказываться от предположения об абсолютной жесткости балки и исследовать ее изгиб под Действием заданной нагрузки и неизвестных реакций (рис. 5.20, б).

Однако среди статически неопределимых задач встречаются такие, которые требуют привлечения сложных соображений. Здесь мы имеем в виду такие системы, которые можно схематизировать в виде абсолютно твердых тел, покоящихся на упругих опорах. Примером может служить та же балка (в предположении ее абсолютной жесткости), лежащая на упругих опорах, показанных на рис. 5.20, в.

В качестве дополнительного условия примем, что реакции опор пропорциональны их осадкам при одинаковом для всех опор коэффициенте жесткости; по-видимому, это условие приемлемо в тех случаях, когда физические свойства

всех опор одинаковы. Как мы сейчас убедимся, это условие вместе с уравнениями равновесия позволяет легко найти все опорные реакции независимо от их числа. После приложения нагрузки опоры несколько осядут, а балка займет новое положение. Принимая координатные оси, как показано на рис. 5.20, в, мы можем записать уравнение смещенной оси балки в виде

Обоснованный выбор расчетной схемы в виде б) или в) определяется конкретными соотношениями жесткости балки и опор. Однако случай б) мы вынуждены оставить в стороне и будем рассматривать только случай в) соответственно осадки опор через (рис. 5.21), причем

—абсцисса опоры).

По предположению, величины реакций опор пропорциональны осадкам

где —коэффициент жесткости; для определения реакций значение коэффициента жесткости несущественно. Введем неизвестные параметры тогда реакции всех опор будут выражены через эти две неизвестные;

Для их определения воспользуемся двумя уравнениями равновесия плоской системы параллельных сил (рис. 5.21):

здесь — число заданных сил, — число неизвестных реакций, Подставляя выражение (5.27) в систему уравнений (5.28), получим

Отсюда находим

Внося эти значения в формулу (5.27), получим решение задачи. К той же категории относится и следующая задача.

Пример №18

К жесткой плите прикрепленной несколькими болтами к основанию приложена активная пара сил, действующая в плоскости плиты. Момент пары равен координаты центров болтов известны (рис. 5.22, а). Под действием пары произойдут малые деформации болтов и плита повернется вокруг некоторого центра («центра жесткости») на малый угол.

Найти положение центра жесткости и усилия, действующие на каждый болт, считая, что усилия перпендикулярны радиусам-векторам центров болтов, проведенным из центра жесткости. Усилия можно принять пропорциональными модулям этих радиусов-векторов.

Схема сил, действующих на плиту, представлена на рис. 5.22, б, причем через обозначены реакции болтов. Система сил вместе с моментом (рис. 5.22, б) находится в равновесии и должна удовлетворять трем уравнениям равновесия. Очевидно, что этих трех уравнений недостаточно для нахождения всех усилий, так как общее число неизвестных равно (каждое усилие определяется двумя проекциями на координатные оси Тем не менее нам удастся решить до конца эту задачу, опираясь на указанные выше дополнительные условия.

Обозначим через искомые координаты центра жесткости и через — радиусы-векторы центров болтов, проведенные из центра жесткости (рис. 5.22, Усилия как было сказано, принимаются пропорциональными величинам т.е

где — коэффициент пропорциональности.

Проекции усилий на оси координат, очевидно, будут

Подставляя сюда выражение (5.29), находим

Заметим, что все неизвестные составляющие реакций выражены всего через три числа: координаты центра жесткости и коэффициент пропорциональности Для определения этих величин мы располагаем тремя уравнениями равновесия:

Последнее уравнение представляет собой уравнение моментов всей системы сил относительно центра жесткости причем для момента силы имеем

Из первых двух уравнений системы (5.31) находим координаты центра жесткости

после чего из третьего уравнения следует

Теперь можно с помощью формул (5.29) найти все усилия

Приложение методов статики к определению усилий в стержнях фермы

При перекрытии больших пролетов (мосты, промышленные здания и т. п.) и в крупных строительных кранах часто применяются сквозные конструкции, называемые фермами (рис. 5.23). Ферма состоит из большого числа стержней, соединенных в точках схода их осей; соединения стержней называются узлами.

Важной частью инженерного расчета фермы является определение усилий, возникающих в стержнях при действии заданной нагрузки на ферму. При этом обычно исходят из следующих упрощающих предположений:

1. внешние силы приложены только в узлах фермы;
2. веса стержней пренебрежимо малы;
3. узлы представляют собой идеальные шарниры (т. е. силы трения в них не возникают).

При таких допущениях сила, действующая со стороны какого-либо узла на примыкающий к нему стержень (усилие в стержне), всегда направлена вдоль прямой, проходящей через концы этого стержня. Поэтому стержни, если они прямолинейные, либо растягиваются, либо сжимаются под действием этих сил.

Прежде чем обратиться к определению усилий в стержнях, необходимо рассмотреть вопросы структуры ферм.

Простейшей плоской фермой является трехстержневая ферма изображенная на рис. 5.24, а; она содержит три узла. Если к этой конструкции добавить еще один узел с помощью двух стержней, то вновь получится неизменяемая ферма, содержащая пять стержней и четыре узла (рис. 5.24, б). Добавляя этим же способом новые узлы, как показано на рис. 5.24, б штриховой линией, можно образовать множество более сложных ферм.

Простой плоской фермой называется такая ферма, которая может быть получена из треугольной путем последовательного присоединения каждого нового узла при помощи двух новых стержней.

Найдем связь между числом стержней и числом узлов в простой ферме. Число добавляемых узлов в простой ферме равно а число добавляемых стержней равно Из способа построения простой фермы видно, что число новых стержней в два раза больше числа новых узлов; следовательно,

т. е.

Простая ферма всегда статически определима, т. е. число независимых уравнений статики достаточно для определения усилия в каждом стержне.

В самом деле, для каждого узла можно составить два уравнения равновесия, так как на узел действует сходящаяся система сил. Таким образом, всего можно составить уравнений равновесия. Подсчитаем теперь число

содержащихся в них неизвестных. Прежде всего неизвестными будут все реакций стержней, кроме того, неизвестны три опорные реакции на рис. 5.23). Таким образом, всего имеем неизвестных. Воспользовавшись соотношением (5.34), получим

т. е. число неизвестных равно числу уравнений равновесия, поэтому простые фермы всегда статически определимы.

При расчете ферм обычно составляют сначала три уравнения равновесия для всей фермы, определяют из них три опорные реакции, а затем уже приступают к нахождению усилий в стержнях.

Рассмотрим способ расчета фермы, который позволяет найти усилие в любом стержне фермы независимо от усилий в других стержнях. Согласно этому способу предварительно необходимо определить реакции опор. Для этого следует рассматривать ферму как абсолютно твердое тело и написать соответствующие три уравнения равновесия. Затем мысленно производится полное рассечение фермы на две части; при надлежащем выборе сечения мысленно перерезаются, как правило, три стержня. Поэтому для определения трех неизвестных усилий могут быть записаны три уравнения равновесия сил, приложенных к какой-либо из полученных частей фермы.

Чаще всего пользуются уравнениями в форме (5.17), но иногда пользуются и формой (5.18).

Рассмотрим для примера ферму, изображенную на рис. 5.25, и предположим, что опорные реакции найдены.

Пусть требуется определить усилие в стержне 4. Для этого мысленно рассечем ферму разрезом и рассмотрим равновесие левой части фермы, изображенной на рис. 5.25, а (вместо этого можно рассматривать правую часть фермы —результат от этого не изменится, но вычисления окажутся более громоздкими). На эту часть действуют известные силы а также три неизвестные по модулю силы Для определения искомой величины силы составляем уравнение моментов относительно точки пересечения направлений 1 и 3 (точка при таком выборе моментной точки усилия и в уравнение равновесия не войдут и оно будет содержать только одну неизвестную величину — искомое усилие (такой выбор точек, относительно которых берут моменты, типичен для рассматриваемого способа). Обычно при оставлении уравнения равновесия величины плеч сил снимаются с чертежа £ Учетом его масштаба. Понятно, что решение полученного уравнения не вызовет никаких затруднений. Совершенно таким же образом составляются уравнения моментов относительно точки (для определения усилия и точки (для определения усилия

Для определения усилий в других стержнях требуются иные рассечения фермы; так, на рис. 5.25, а показано также рассечение необходимое для определения усилий в стержнях 7, 9 и 10. Для определения указанных усилий проще рассматривать равновесие правой части фермы, как это показано на рис. 5.25, е. Через обозначены точки, относительно которых берутся моменты; мы получим по одному неизвестному усилию в каждом из уравнений моментов. Определение усилия в стержне 9 облагает некоторой особенностью. Дело в том, что точка пересечения усилий бесконечно удалена и уравнение моментов составить нельзя. В этом случае вместо него можно составить уравнение проекций на ось что позволит достигнуть той же цели: получить уравнение с одним неизвестным усилием

Способ рассечения весьма удобен для простых схем ферм, образованных путем наращивания последовательных треугольников. В более сложных случаях все же приходится решать громоздкие системы уравнений, так как не удается проводить сечение только через три стержня.

Иногда применяется графический способ определения усилий в стержнях фермы. Предполагая, что опорные реакции фермы определены, для нахождения усилий в стержнях применим способ «вырезания» узлов. Согласно этому способу необходимо поочередно «вырезать» узлы и находить усилия в стержнях из условий замкнутости силовых многоугольников для каждого из узлов. ,

Для определенности рассмотрим ферму, изображенную на рис. 5.26, а, где показаны внешние силы и опорные реакции Расчет всегда нужно начинать с тоге узла, где сходятся два стержня. Начнем с рассмотрения равновесия узла на который действуют сила и неизвестные по величине реакции стержней Графическим условием равновесия сходящейся системы сил является замкнутость силового многоугольника.

При всех дальнейших построениях придерживаемся определенного масштаба сил. На рис. 5.26, б дан силовой многоугольник для узла (в данном случае —треугольник); величины сил можно определить по масштабу сил. Сила направлена к узлу, следовательно, на стержень она действует в обратном направлении, т. е. стержень 1 сжат. Сила направлена от узла, значит, стержень 2 растянут. Заметим, что если начать расчет с узла то определить усилия в стержнях 1, 3, 4 не удается, так как в узле сходится более двух стержней и силовой многоугольник однозначно не может быть построен.

Но теперь, после определения усилий в стержнях 1 и 2, можно перейти к расчету узла Обходим его по часовой стрелке, начиная с первой известной силы —реакции стержня 1. Из условия равновесия стержня 1 очевидно, что эта реакция по модулю равна но направлена противоположно На рис. 5.26, б она обозначена через Затем от конца откладываем вектор и проводим направление параллельно стержню 4, а из начала вектора проводим направление реакций параллельно стержню 3. Получаем замкнутый многоугольник и тем самым находим силы Направления векторов показывают, что стержень 4 сжат («к узлу»), а стержень 3 растянут («от узла»). Рассматривая равновесие узлов определяем остальные реакции стержней

Из рис. 5.26, б видно, что каждое из усилий в стержнях встречается дважды и т. д.). Оказывается, что, не меняя существа этого метода, можно его несколько усовершенствовать и избежать таких повторений. При этом получается особое построение, называемое «взаимной диаграммой» или диаграммой Максвелла—Кремоны. Метод построения такой взаимной диаграммы проиллюстрируем на только что разобранном примере.

Прежде всего введем единый метод обозначения усилий в стержнях, реакций опор и внешних сил.

Обозначим буквами области, ограниченные внешними силами и стержнями контура фермы (рис. 5.27, а), а внутренние области, ограниченные только стержнями фермы, обозначим буквами Далее, условимся обходить всю ферму, а также каждый узел по ходу часовой стрелки.

Начало и конец вектора силы, пересекаемой при таком обходе, будем обозначать малыми буквами, которые соответствуют названиям пограничных областей. Например, силу (рис. 5.27, а) теперь обозначим через (рис. 5.27, б), силу —через силы, действующие на узел т.п.

Теперь построим многоугольник всех внешних сил, откладывая их в определенном масштабе в порядке обхода фермы по часовой стрелке; в результате мы получим многоугольник (рис. 5.27, б). Конечно, этот многоугольник обязательно замкнут, так как ферма находится в равновесии. Мы теперь можем и не ставить на концах векторов стрелки —правило обхода областей по часовой стрелке однозначно определяет, где начало и конец вектора.

Далее воспользуемся способом вырезания узлов. Обойдем узел по часовой стрелке, начиная с известной силы Эта сила уже имеется в многоугольнике внешних сил, и остается построить две другие силы, действующие на узел т. е. силу и силу Для этого из точек и проводим прямые, параллельные стержням I и 2; точка их пересечения даст нам точку Сила оказалась направленной к узлу, значит, стержень 1 сжат, сила направлена от узла, следовательно, стержень 2 растянут.

Обращаясь к узлу обходим его также по часовой стрелке в порядке Используя уже найденные точки находим точку —конец силы и начало силы Для этого из с проводим прямую, параллельную стержню 4, а из — прямую, параллельную стержню 3; точка их пересечения и даст нам искомую точку

Продолжая такое построение дальше, для остальных узлов фермы мы получим фигуру (рис. 5.27, б), называемую взаимной диаграммой или диаграммой Максвелла — Кремоны. Каждому узлу фермы соответствует некоторый многоугольник диаграммы, стороны которого параллельны стержням, сходящимся в этом узле. Наоборот, каждой вершине диаграммы соответствует некоторая область плоскости фермы. Таким образом, любой вершине одной фигуры соответствует многоугольник другой фигуры; такие фигуры называются взаимными (отсюда и название диаграммы). Легко видеть, что эта фигура состоит из тех же многоугольников, которые ранее были построены на рис. 5.26, б. По принятому масштабу сил можно найти численное значение всех усилий в стержнях.

Таким образом, при построении взаимной диаграммы используется, по существу, тот же способ вырезания узлов, но здесь чертеж компактнее и не содержит повторений, в чем легко убедиться, сравнив чертежи на рис. 5.26 и 5.27.

Равновесие тела при наличии трения

Если два тела (рис. 6.1) взаимодействуют друг с другом, соприкасаясь в точке то всегда реакцию действующую, например, со стороны тела и приложенную к телу можно разложить на две составляющие: направленную по общей нормали к поверхности соприкасающихся тел в точке лежащую в касательной плоскости.

Равновесие тела при наличии трения скольжения

Составляющая называется нормальной реакцией, сила называется силой трения скольжения — она препятствует скольжению тела по телу В соответствии с аксиомой 4 (третьим законом Ньютона) на тело со стороны тела действует равная по модулю и противоположно направленная сила реакции. Ее составляющая, перпендикулярная касательной плоскости, называется силой нормального давления. Как было сказано выше, сила трения если соприкасающиеся поверхности идеально гладкие. В реальных условиях поверхности шероховаты и во многих случаях пренебречь силой трения нельзя.

Для выяснения основных свойств сил трения произведем опыт по схеме, представленной на рис. 6.2, а. К телу находящемуся на неподвижной плите присоединена перекинутая через блок нить, свободный конец которой снабжен опорной площадкой Если площадку постепенно нагружать, то с увеличением ее общего веса будет возрастать натяжение нити которое стремится сдвинуть тело вправо. Однако пока общая нагрузка не слишком велика, сила трения будет удерживать тело в покое. На рис. 6.2, б изображены действующие на тело силы, причем через обозначена сила тяжести, а через — нормальная реакция плиты

Если нагрузка недостаточна для нарушения покоя, справедливы следующие уравнения равновесия:

Отсюда следует, что Таким образом, пока тело находится в покое, сила трения остается равной силе натяжения нити Обозначим через силу трения в критический момент процесса нагружения, когда тело теряет равновесие и начинает скользить по плите Следовательно, если тело находится в равновесии, то

Максимальная сила трения зависит от свойств материалов, из которых сделаны тела, их состояния (например, от характера обработки поверхности), а также от величины нормального давления Как показывает опыт, максимальная сила трения приближенно пропорциональна нормальному давлению, т. е. имеет место равенство

Это соотношение носит название закона Амонтона — Кулона.

Безразмерный коэффициент называется коэффициентом трения скольжения. Как следует из опыта, его величина в широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей, но зависит от материала и степени шероховатости соприкасающихся поверхностей. Значения коэффициентов трения устанавливаются опытным путем и их можно найти в справочных таблицах.

Неравенство (6.3) можно теперь записать в виде

Случай строгого равенства в (6.5) отвечает максимальном) значению силы трения. Это значит, что силу трения можно вычислять по формуле только в тех случаях, когда заранее известно, что имеет место критический случай. Во всех же других случаях силу трения следует определять из уравнений равновесия.

Пример №19

Тяжелая плита веса длины опирается на идеально гладкую стенку и шероховатый пол (рис. 6.3, а). Определить, при каких углах наклона плиты возможно ее равновесие, если коэффициент трения плиты и пола равен Составим уравнение равновесия:

Кроме того, в соответствии с условием (6.5) должно быть

Решая уравнения, получим

Следовательно,

Последнее неравенство и содержит решение задачи, угла определяется из уравнения

Определим теперь критическое значение угла с учетом трения плиты о стенку, если соответствующий коэффициент трения равен также

Относящаяся к этому случаю силовая схема изображена на рис. 6.3, б. В общем случае система является статически неопределимой, так как содержит четыре неизвестные реакции, а мы располагаем только тремя уравнениями равновесия (при заданном угле нельзя найти силы трения и нормальные давления). Однако в критическом состоянии силы трения пропорциональны соответствующим нормальным давлениям, и это позволяет решить задачу. Для этого состояния имеем два уравнения для сил трения

и три уравнения равновесия

В этих пяти уравнениях содержатся четыре неизвестные реакции и неизвестное критическое значение угла Решая эту систему уравнений, находим

Подчеркнем, что последние четыре выражения относятся только к критическому состоянию, но если

то задача становится статически неопределимой (для ее решения необходимо привлечь какие-либо соображения, выходящие за рамки наших представлений о твердых телах).

Пример №20

На шероковатой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтальной плоскостью, находится тело весом (рис. 6.4, а). Тело удерживается на плоскости тросом весом которого можно пренебречь. Определить силу трения между телом и плоскостью и минимальное натяжение троса при двух значениях коэффициента трения:

На тело действуют четыре силы: активная сила тяжести сила трения нормальная составляющая реакции плоскости и реакция троса (рис. 6.4, б). Составим условия равновесия тела:

Отсюда найдем:

или, учитывая условия задачи,

Для первого случая будем иметь: При отсутствии троса получим Так как при этом условие не нарушается, то это означает, что при тело будет находиться в равновесии за счет одной силы трения

Пусть теперь Тогда должно выполняться условие При отсутствии троса это неравенство находится в противоречии с первым уравнением Это означает, что при отсутствии троса тело начало бы скользить вниз. Поэтому при сила трения достигает своего максимального значения, равного 3,46 кГ, а натяжение троса будет:

Итак,

Пример №21

К однородной прямоугольной призме веса находящейся на шероховатой горизонтальной плоскости, прислонена под углом однородная балка веса и длины (рис. 6.5, а). Коэффициент трения между балкой и плоскостью равен а между призмой и плоскостью Пренебрегая силами трения между балкой и призмой и поперечными размерами балки, определить: 1) условия равновесия всей системы; 2) условия, при которых призма останется в покое, а балка начнет двигаться; 3) условия, при которых конец балки останется в покое, а призма начнет скользить по плоскости влево или опрокидываться вокруг ребра

Расчленим систему и изобразим все силы (активные и реакции связей), действующие на призму (рис. о.5, б) и балку (рис. 6.5, в). На призму действуют сила тяжести сила давления балки на призму, равнодействующая сил нормального давления плоскости приложенная в некоторой точке и сила трения На балку действуют сила тяжести сила давления призмы на балку, нормальная составляющая реакции плоскости и сила трения Конечно, модули сил равны между собой (аксиома 4).

Будем считать вначале, что вся система находится в покое, и составим условия равновесия балки:

Из уравнений находим

Внеся значения в неравенство, получим условия равновесия балки:

Составим теперь условия равновесия призмы:

Из уравнений находим

Число нам неизвестно, но его можно найти из равенства или

отсюда

Так как точка приложения силы точка не может находиться левее точки или

что дает нам еще одно условие равновесия:

Это неравенство равносильно требованию, чтобы под действием силы призма не опрокинулась вокруг ребра (его можно получить из условия, чтобы момент силы относительно точки не превосходил по модулю момента силы относительно той же точки).

Потребуем теперь, чтобы, призма не скользила по плоскости, т. е. чтобы выполнялось неравенство

Имеем: Подставляя это в написанное выше неравенство, получаем

Таким образом, вся система будет находиться в покое, если угол удовлетворяет трем условиям:

Если будет нарушено только первое из этих неравенств, т. е. при

призма останется в покое, а балка начнет двигаться.

Если будет нарушено только второе условие (6.6), т. е. при

точка балки останется в покое, а призма начнет опрокидываться вокруг ребра

Наконец, если будет нарушено только третье условие (6.6), т. е. при точка балки снова останется в покое, но призма начнет скользить по плоскости влево.

Рассмотрим тело, находящееся на шероховатой поверхности. Будем считать, что в результате действия активных сил и сил реакции тело находится в предельном равновесии. На рис. 6.6, а показана предельная реакция и ее составляющие

(в положении, изображенном на этом рисунке, активные силы стремятся сдвинуть тело вправо, максимальная сила трения направлена влево). Угол между предельной реакцией и нормалью к поверхности называется углом трения. Найдем этот угол. Из рис. 6.6, а имеем

или, пользуясь выражением (6.4),

Из этой формулы видно, что вместо коэффициента трения можно задавать угол трения (в справочных таблицах приводятся обе величины).

В зависимости от действия активных сил направление предельной реакции может меняться. Геометрическое место всех возможных направлений предельной реакции образует коническую поверхность — конус трения (рис. 6.6, б). Если коэффициент трения во всех направлениях одинаков, то согласно формуле (6.7) конус трения будет круговым. В тех случаях, когда коэффициент трения зависит от направления возможного движения тела, конус трения не будет круговым.

Рассмотрим теперь случай, когда активные силы, действующие на тело, приводятся к одной равнодействующей составляющей угол с нормалью к поверхности (рис. 6.6, в). Такая сила оказывает двоякое действие: во-первых, ее нормальная составляющая определяет нормальную составляющую реакции поверхности и, следовательно, предельную силу трения а, во-вторых, ее касательная составляющая стремится эту силу преодолеть. Если увеличивать модуль силы то пропорционально будут возрастать обе составляющие. Отсюда можно заключить, что состояние покоя или движения тела не зависит от модуля силы и определяется только углом — чем меньше этот угол, тем меньше тенденция к нарушению равновесия.

Для аналитического решения задачи составим условия равновесия тела:

Из уравнений найдем и, подставляя их в неравенство, получим

или, учитывая (6.7), Следовательно, при равновесии тела

Это означает, что если равнодействующая активных сил находится внутри конуса трения, то увеличением ее модуля нельзя

нарушить равновесие тела; для того, чтобы тело начало движение необходимо (и достаточно), чтобы равнодействующая активных сил находилась вне конуса трения.

Пример №22

Найти условие, определяющее размер самотормдзящегося механизма, изображенного на рис. 6.7. Необходимо, чтобы приложенная к узлу сила не могла вызвать скольжения ползунов по вертикальным направляющим. Коэффициент трения расстояние между направляющими 2 м. Сила вызывает сжатие наклонных стержней, и последние передают на ползуны силы давления под некоторым углом к горизонтальной плоскости. Для того чтобы скольжение отсутствовало, ось каждого стержня должна располагаться внутри соответствующего конуса трения. А это имеет место при выполнении условия

Но поэтому

Рассмотрим теперь трение гибких тел. Пусть трос охватывает неподвижный круглый цилиндр. Требуется определить силу натяжения троса достаточную для уравновешивания силы приложенной ко второму концу троса, если между тросом и цилиндром имеется трение (рис. G.8 а).

Опыт показывает, что благодаря трению сила может быть во много раз меньше, чем сила Эта задача будет статически определена лишь в том случае (представляющем наибольший интерес), когда рассматривается критическое состояние и силы трения пропорциональны соответствующим нормальным давлениям. Речь идет о критическом состоянии, в котором сила уже способна вызвать скольжение троса по неподвижному цилиндру (по ходу часовой стрелки). Нормальное давление и сила трения непрерывно распределены по всей длине охвата Обозначим через значения этих сил, отнесенных к единице длины троса. Эти силы, конечно, являются функциями полярного угла определяющего положение элемента, т. е. Натяжение троса в любой его точке на цилиндре также является функцией т. е.

Выделим элемент троса длины На этот элемент действуют две реакции шкива: а также две силы натяжения, приложенные к рассматриваемому элементу в точках рассечения (рис. 6.8, б).

Пренебрегая весом троса, запишем условия равновесия выделенного элемента троса, спроектировав силы на направления нормали и касательной взятые в середине элемента:

При составлении этих уравнений мы воспользовались малостью угла и положили

Подставляя в уравнения равновесия вместо их значения

получаем

Первое из этих уравнений дает а так как то второе уравнение можно переписать в виде

или

Выполняя интегрирование в пределах от находим

Здесь —натяжение в сечении т. е. величина силы — натяжение в сечении т. е. величина силы Следовательно,

и, окончательно,

Эта формула (формула Эйлера) позволяет найти наименьшую силу способную уравновесить силу

Можно поставить обратный вопрос: при каком значении наступит скольжение троса против хода часовой стрелки, т. е. какая сила способна преодолеть сопротивление трения вместе с силой Для ответа на этот вопрос нет необходимости заново повторять все выкладки; они останутся прежними с тем единственным различием, что сила трения на рис. 6.8, б изменит свое направление. Поэтому в окончательном результате, изменяя знак при коэффициенте трения, получаем

Таким образом, если сила удовлетворяет неравенствам

то трос будет находиться в равновесии.

Пример №23

Найти угол охвата цилиндра тросом, необходимый для того, чтобы удержать силой груз весом если коэффициент трения

По формуле (6.8) имеем

т. е. несколько меньше двух полных охватов.

Пример №24

К концу троса подвешен груз весом угол охвата цилиндра тросом Найти силу, необходимую для подъема груза, если коэффициент трения

В данном случае нужно воспользоваться формулой (6.10)

Сопоставляя этот результат с полученным в задаче 6 5, заключаем, что трос будет находиться в состоянии равновесия, если При начинается движение в сторону силы а при — движение в сторону силы

Пример №25

При причаливании (швартовке) судна матрос удерживает его с помощью каната, накинутого в форме восьмерки на причальные тумбы (кнехты), причем один конец каната укреплен на судне, а второй конец каната находится в руках матроса (рис. 6.9). Считая, что угол охвата каждой тумбы равен определить, какое максимальное усилие судна может выдержать матрос, прикладывая силу при одной, двух и трех уложенных канатных восьмерках, если коэффициент трения между канатом и причальными тумбами равен 0,2.

При одной восьмерке общий угол охвата а при двух и трех восьмерках соответственно Применяя формулу (6.10), получаем

или, пользуясь таблицами показательных функций, находим (аналогично получены значения сил

Таким образом, при трех уложенных восьмерках за счет сил трения между канатом и причальными тумбами один матрос может удержать судно, развивающее усилие в 26,4 тонны, т. е. в 528 раз большее силы, прикладываемой матросом.

Равновесие тела при наличии трения качения

Рассмотрим цилиндр (каток), покоящийся на горизонтальной плоскости, когда на него действует горизонтальная активная сила кроме нее, действуют сила тяжести а также нормальная реакция и сила трения (рис. 6.10, а). Как показывает опыт, при достаточно малой величине силы цилиндр остается в покое. Но этот факт нельзя объяснить, если удовлетвориться введением сил, изображенных на рис. 6.10, а. Согласно этой схеме равновесие невозможно, так как главный момент всех сил, действующих на цилиндр отличен от нуля и одно из условий равновесия не выполняется.

Причина выявившегося несоответствия состоит в том, что в наших рассуждениях мы продолжаем пользоваться представлением об абсолютно твердом теле и предполагаем касание цилиндра с поверхностью происходящим по образующей. Для устранения отмеченного несоответствия теории с опытом необходимо отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела и учесть, что в действительности цилиндр и плоскость вблизи точки деформируются и существует некоторая площадь соприкосновения конечной ширины. Вследствие этого в ее правой части цилиндр прижимается сильнее, чем в левой, и полная реакция приложена правее точки (см. точку на рис. 6.10, б).

Полученная теперь схема действующих сил статически удовлетворительна, так как момент пары может уравновеситься моментом пары Считая деформацию малой, заменим эту систему сил системой, изображенной на рис. 6.7, в. В отличие от первой схемы (рис. 6.10, а), к цилиндру приложена пара сил с моментом

Этот момент называется моментом трения качения.

Составим уравнения равновесия цилиндра:

Первые два уравнения дают а из третьего уравнения можно найти Затем из (6.11) определяем расстояние

между точками

Как видно, с увеличением модуля активной силы растет расстояние Но это расстояние связано с площадью поверхности контакта и, следовательно, не может неограниченно увеличиваться. Это значит, что наступит такое состояние, когда увеличение силы приведет к нарушению равновесия. Обозначим максимально возможную величину буквой (см. рис. 6.10, б). Экспериментально установлено, что величина пропорциональна радиусу цилиндра и различна для разных материалов.

Следовательно, если имеет место равновесие, то выполняется условие

Величина называется коэффициентом трения качения; она имеет размерность длины.

Условие (6.14) можно также записать в виде

или, учитывая (6.12),

Очевидно, что максимальный момент трения качения пропорционален силе нормального давления.

В справочных таблицах приводится отношение коэффициента трения качения к радиусу цилиндра для различных материалов.

Пример №26

На наклонной плоскости находится цилиндр. Найти, при каких углах наклона плоскости к горизонту цилиндр будет находиться в равновесии, если —радиус цилиндра, —коэффициент трения скольжения — коэффициент трения качения (рис. 6.11).

Составим уравнения равновесия:

Кроме того, должны выполняться неравенства

Из первых трех уравнений мы можем определить подставив эти величины в последние два неравенства, получим

Эти неравенства должны удовлетворяться одновременно. В тех случаях, когда потеря равновесия происходит путем перехода к качению, так как сначала нарушится неравенство (6.17), если же то нарушится неравенство (6.16) и цилиндр начнет скользить.

Пространственная система сил

Ранее было установлено, что главный вектор системы сил, как угодно расположенных в пространстве,

не изменяется при перемене центра приведения. Главный же момент при этом изменяется и для нового центра приведения определяется формулой (см. формулу (4.14))

где — главные моменты относительно центров приведения Второе слагаемое в правой части формулы (7.2) представляет собой момент главного вектора, приложенного в центре приведения относительно нового центра приведения Умножим скалярно обе части равенства (7.2) на вектор

Так как вектор перпендикулярен вектору то их скалярное произведение равно нулю. Следовательно,

т. е. скалярное произведение главного вектора главный момент не зависит от центра приведения:

Таким образом, при перемене центра приведения не изменяются главный вектор и скалярное произведение главного вектора на главный момент. Говорят, что эти величины инвариантны относительно выбора центра приведения.

Статические инварианты. Динамический винт

Первым статическим инвариантом называется главный вектор В более узком смысле этого слова под первым инвариантом понимают квадрат модуля главного вектора

Вторым статическим инвариантом называется скалярное произведение главного вектора на главный момент:

Из второго инварианта вытекает простое геометрическое следствие. Действительно, запишем равенство (7.3) в следующем виде;

Если то

Каждое из этих произведений представляет проекцию главного момента на направление главного вектора. Следовательно, при перемене центра приведения проекция главного момента на направление главного вектора не изменяется. Заметим, что при это следствие можно принять за определение второго инварианта.

Так как проекция главного момента на направление главного вектора не изменяется при перемене центра приведения, то можно утверждать, что для центра приведения, в котором главный вектор и главный момент направлены по одной прямой, модуль главного момента будет минимальным. В этом случае модуль главного момента равен величине его проекции на направление главного вектора.

Очевидно, что проекция главного момента на направление главного вектора определяется равенством

или, принимая во внимание значения первого и второго инвариантов,

Совокупность силы и пары сил с моментом, коллинеарным силе, называется динамическим винтом или динамой. Так как плоскость действия пары перпендикулярна моменту пары, то динамический винт представляет собой совокупность силы и пары сил, действующей в плоскости, перпендикулярной силе. Различают правый и левый динамические винты. На рис. 7.1, а показан правый динамический винт, составленный из силы равной главному вектору системы, и пары сил с моментом равным главному моменту; на рис. 7.1, б показан левый винт, составленный из тех же элементов.

Может возникнуть вопрос, в каких случаях данную систему сил можно привести к динаме? На этот вопрос отвечает следующая теорема:

Если второй статический инвариант не равен нулю, то систему сил можно привести к динаме.

Пусть в произвольной точке (рис. 7.2, а) система приведена к силе, равной главному вектору и паре сил с моментом, равным главному моменту. Так как по условию теоремы то оба вектора, не равны нулю и не перпендикулярны между собой. Разложим главный момент на две составляющие: одну направим по главному вектору и другую направим перпендикулярно главному вектору (рис. 7.2, а). Составляющая представляет собой момент пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной вектору Выберем силы составляющие эту пару, равными по модулю главному вектору и приложим силу к центру приведения (рис. 7.2, б). Система сил как эквивалентная нулю, может быть отброшена (рис. 7.2, в). Так как момент — вектор свободный, то его можно перенести из точки в точку (рис. 7.2, г). Таким образом, заданная система сил приведена в точке к силе и к паре сил с моментом (рис. 7.2, г), расположенной в плоскости, перпендикулярной силе, т. е. мы получили динамический винт.

Из формулы (7.6) видно, что положительному второму инварианту отвечает правый динамический винт, а отрицательному второму инварианту — левый динамический винт.

Точка не единственная, где система сил приводится к динаме. В самом деле, силу можно переносить вдоль линии ее действия, момент же пары сил есть вектор свободный, следовательно, система сил может быть приведена к динаме во всех точках прямой, проходящей через точку и являющейся линией действия силы Эта прямая называется центральной осью системы сил. Найдем теперь уравнение центральной оси.

Пусть (рис. 7.3)— точка центральной оси. Тогда для этой точки главный вектор и главный момент должны быть колленеарны друг другу. На основании формулы (7.2) главный момент для точки можно записать в виде

Условие коллинеарности главного вектора и главного момента для точки записывается следующим образом:

где — параметр винта, имеющий размерность длины.

Таким образом,

Пусть — соответственно проекции главного вектора и главного момента на оси тогда

Пусть координаты какой-либо точки центральной оси будут следовательно,

Подставляя соответствующие выражения получим

Приравнивая коэффициенты при единичных векторах будем иметь

Следовательно,

Это и есть искомые уравнения центральной оси.

Частные случаи приведения пространственной системы сил

Если при приведении системы сил к динамическому винту главный момент динамы оказался равным нулю, а главный вектор отличен от нуля, то это означает, что система сил приведена к равнодействующей, причем центральная ось является линией действия этой равнодействующей.

Выясним, при каких условиях, относящихся к главному вектору и главному моменту это может быть. Поскольку главный момент динамы равен составляющей главного момента направленной по главному вектору, то рассматриваемый случай означает, что главный момент перпендикулярен главному вектору, т. е. Отсюда непосредственно вытекает, что если главный вектор не равен нулю, а второй инвариант равен пулю, .

то рассматриваемая система приводится к равнодействующей.

В частности, если для какого-либо центра приведения а то это означает, что система сил приведена к равнодействующей, проходящей через данный центр приведения; при этом условие (7.9) также будет выполнено.

Обобщим приведенную в главе теорему о моменте равнодействующей (теорему Вариньона) на случай пространственной системы сил.

Если пространственная система сил приводится к равнодействующей, то момент равнодействующей относительно произвольной точки равен геометрической сумме моментов всех сил относительно той же точки.

Пусть система сил имеет равнодействующую и точка лежит на линии действия этой равнодействующей. Если приводить заданную систему сил к этой точке, то получим, что главный момент равен нулю.

Возьмем какой-либо другой центр приведения тогда

С другой стороны, на основании формулы (4.14) имеем

так как Сравнивая выражения (7.10) и (7.11) и учитывая, что в данном случае получаем

Таким образом, теорема доказана.

Пусть при каком-либо выборе центра приведения Так как главный вектор не зависит от центра приведения, то он равен нулю и при любом другом выборе центра приведения. Поэтому главный момент тоже не меняется при перемене центра приведения, и, следовательно, в этом случае система сил приводится к паре сил с моментом, равным

Составим теперь таблицу всех возможных случаев приведения пространственной системы сил:

Если все силы находятся в одной плоскости, например, в плоскости то их проекции на ось и моменты относительно осей будут равны нулю. Следовательно;

Внося эти значения в формулу (7.5), найдем, что второй инвариант плоской системы сил равен нулю.

Тот же результат мы получим и для пространственной системы параллельных сил. Действительно, пусть все силы параллельны оси Тогда проекции их на оси и моменты относительно оси будут равны нулю. Отсюда

Пользуясь снова формулой (7.5), найдем

На основании доказанного можно утверждать, что плоская система сил и система параллельных сил в пространстве не приводятся к динамическому винту.

Пример №27

Систему двух сил направленных параллельно осям как указано на рис. 7.4, а (расстояние между точками приложения сил равно 1,3 м), требуется привести к дннаме, определив главный вектор и главный момент динамы. Найти углы составляемые центральной осью системы с координатными осями, а также уравнение центральной оси.

Возьмем за центр приведения начало координат Проекции главного вектора на оси координат будут

Модуль главного вектора

Направляющие косинусы главного вектора равны

Найдем проекции главного момента на оси координат: На рис. 7.4, б показано расположение главного вектора и главного момента для центра приведения

(Проекцию главного момента на направление главного вектора определим по формуле

Уравнение центральной оси (7.8) имеет вид

Отсюда следует, что центральная ось является линией пересечения плоскостей

На рис 7.4, в показано расположение этой оси

Пример №28

По ребрам куба со стороной действуют двенадцать равных по модулю сил, как показано на рис. 7.5, а. Привести систему к простейшему виду. За центр приведения возьмем начало координат и вычислим проекции главного вектора и главного момента на координатные оси. Имеем

где —общее значение модуля заданных сил.

По формулам (7.4) и (7.5) найдем значения статических инвариантов

Так как второй инвариант положителен, то система сил приводится к правому динамическому винту (главный вектор и момент направлены в одну сторону). Модель момента найдем по формуле (7.6):

Напишем уравнение центральной оси (7.8):

Отсюда видно, что центральная ось системы представляет линию пересечения плоскостей

Подставляя в эти уравнения сначала а затем найдем точки пересечения центральной оси с нижней и боковой гранями куба (рис. 7.5, б)

Таким образом, динамический винт, эквивалентный данной системе сил, состоит из силы модуль которой равен и пары сил с моментом коллинеарным силе и численно равным Центральная ось и составляющие динамического винта показаны на рис. 7.5, б.

Уравнения равновесия пространственной системы сил

Необходимые и достаточные условия равновесия пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, можно записать в виде трех уравнений проекций (4.16) и трех уравнений моментов (4.17):

Если тело полностью закреплено, то действующие на него силы находятся в равновесии и уравнения (7.13) и (7.14) служат для определения опорных реакций. Конечно, могут встретиться случаи, когда этих уравнений недостаточно для определения опорных реакций; такие статически неопределимые системы мы рассматривать не будем.

Для пространственной "системы параллельных сил уравнения равновесия принимают следующий вид:

Рассмотрим теперь случаи, когда тело закреплено лишь частично, т. е. связи, которые наложены на тело, не гарантируют равновесия тела. Можно указать четыре частных случая.

1. Твердое тело имеет одну неподвижную точку. Иначе говоря, оно прикреплено к неподвижной точке при помощи идеального сферического шарнира.

Поместим в эту точку (см. точку на рис. 7.6, а) начало неподвижной системы координат. Действие связи в точке заменим реакцией; так как она неизвестна по модулю и направлению, то мы ее представим в виде трех неизвестных составляющих направленных соответственно вдоль осей

Уравнения равновесия (7.13) и (7.14) в этом случае запишутся в таком виде: Последние три уравнения не содержат составляющих реакции, так как линия действия этой силы проходит через точку Следовательно, эти уравнения устанавливают зависимости между

активными силами, необходимые для равновесия тела, причем три первых уравнения могут быть использованы для определения составляющих реакции.

Таким образом, условием равновесия твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, является равенство нулю каждой из алгебраических сумм моментов всех активных сил системы относительно трех осей, пересекающихся в неподвижной точке тела.

2. Тело имеет две неподвижные точки. Это, например, будет иметь место, если оно прикреплено к двум неподвижным точкам при помощи шарниров (рис. 7.6, б).

Выберем начало координат в точке и направим ось вдоль линии, проходящей через точки Заменим действие связей реакциями, направив составляющие реакций вдоль координатных осей (рис. 7.G, б). Обозначим расстояние между точками через тогда уравнения равновесия (7.13) и (7.14) запишутся в следующем виде:

Последнее уравнение не содержит составляющих сил реакций и устанавливает связь между активными силами, необходимую для равновесия тела. Следовательно, условием равновесия твердого тела, имеющего две неподвижные тонки, является равенство нулю алгебраической суммы моментов всех активных сил, приложенных к телу, относительно оси, проходящей через неподвижные точки. Первые пять уравнений служат для определения неизвестных составляющих реакций

Заметим, что составляющие не могут быть определены в отдельности. Из третьего уравнения определяется только сумма и, следовательно, задача в отношении каждого из этих неизвестных для твердого тела является статически неопределимой. Однако, если в точке находится не сферический, а цилиндрический шарнир (т. е. подшипник), не препятствующий продольному скольжению тела вдоль оси вращения, то и задача становится статически определимой.

3. Тело имеет неподвижную ось вращения, вдоль которой оно может скользить без трения. Это значит, что в точках находятся цилиндрические шарниры (подшипники), причем составляющие их резекций вдоль оси вращения равны нулю.

Следовательно, уравнения равновесия примут вид:

Два из уравнений (7.18), а именно, третье и шестое, накладывают ограничения на систему активных сил, а остальные уравнения служат для определения реакций.

4. Тело опирается в трех точках на гладкую плоскость, причем точки опоры не лежат на одной прямой. Обозначим эти точки через и совместим с плоскостью координатную плоскость (рис. 7.7). Заменив действие связей вертикальными реакциями запишем условия равновесия (7.13) и (7.14) в таком виде:

Третье —пятое уравнения могут служить для определения неизвестных реакций, а первое, второе и шестое уравнения представляют собой условия, связывающие активные силы и необходимые для равновесия тела. Конечно, для равновесия тела необходимо выполнение условий так как в точках опоры могут возникнуть только реакции принятого выше направления.

Если тело опирается на горизонтальную плоскость более чем в трех точках, то задача становится статически неопределимой, так как при этом реакций будет столько, сколько точек, а уравнений для определения реакций остается по-прежнему только три.

Пример №29

Найти главный вектор и главный момент системы сил, изображенной на рис. 7.8, а; силы приложены к вершинам куба и направлены вдоль его ребер, причем Длина ребра куба равна

Проекции главного вектора находим по формулам (4.4):

Его модуль равен Направляющие косинусы будут

Главный вектор изображен на рис. 7.8, б.

Далее находим проекции главного момента по формулам (4.7):

а модуль главного момента по формуле ( 4.8)

Теперь определим направляющие косинусы главного момента:

Главный момент изображен на рис 7.8, в. Угол между векторами вычисляется по формуле (4.11)

Следовательно, угол между этими векторами равен

Пример №30

Жесткая конструкция, имеющая форму параллелепипеда прикреплена к основанию шаровым шарниром и тремя стержнями 1, 2 и 3. Определить реакцию шарнирной опоры и усилия в стержнях, если задана нагрузка в виде двух сил причем Весом конструкции пренебречь. Размеры указаны на чертеже (рис. 7.9. а).

Усилия в стержнях обозначим через реакцию шарнира представим в виде трех составляющих Соответствующая схема сил изображена на рис. 7.9, б. Выбрав координатную систему, как указано на чертеже, составим уравнения равновесия в следующем виде:

Число уравнений равно числу неизвестных, т. е. рассматриваемая задача

статически определимая. Решив полученную систему уравнений, найдем значения усилий

и составляющие реакции шарнира

Пример №31

Прямоугольная пластинка тремя ножками опирается на гладкий пол (рис. 7.10). Вес пластинки приложен в ее центре. Размеры указаны на рисунке. В точке с координатами к пластинке приложена вертикальная сила Определить область, внутри которой можно брать точки приложения силы чтобы пластинка не опрокинулась. Определить также, при каком соотношении между модулями сил вся поверхность пластинки будет безопасной.

Заменяя действие пола вертикальными реакциями составим уравнения равновесия. Так как все силы, действующие на пластинку, параллельны, то можно воспользоваться уравнениями (7.15):

Отсюда

Для того чтобы пластинка не опрокинулась, необходимо выполнение условий:

Границы искомой области найдем из условий:

Отсюда находим

На рис. 7.10, б искомая область, построенная при заштрихована. При вся поверхность пластинки будет безопасной.

Пример №32

Тонкий стержень весом которого можно пренебречь, шарнирно закреплен в точке и удерживается в горизонтальной плоскости нитями (рис. 7.11). Точка находится в середине стержня На стержень действует вертикальная сила приложенная в точке стержня. Дано: Найти натяжение нитей и

Стержень шарнирно укреплен в точке для определения натяжения нитей воспользуемся уравнениями моментов.

Заменяем действие нитей реакциями Так как имеется лишь две неизвестные величины, то составим уравнения моментов сил, действующих на стержень, только относительно осей

Отсюда следует:

Мы не составляем уравнения моментов относительно оси так как оно удовлетворится найденными значениями Это уравнение может служить для проверки решения задачи.

Определив силы можно найти и реакцию шарнира Для этого составим уравнения проекций, заменив действие шарнира реакциями

Следовательно,

Пример №33

Прямоугольная пластинка удерживается в горизонтальном положении при помощи петель в точках и однородного стержня имеющего шарниры в точках Стержень имеет длину и вес

Размеры пластинки указаны на рис. 7.12, a, Определить реакции в точках если сила тяжести действующая на пластинку, приложена в точке с координатами

В данном случае мы имеем дело с равновесием двух сочлененных тел: пластинки и стержня.

Рассмотрим каждое тело в отдельности. Заменяя связи в точках реакциями составим уравнения

равновесия пластинки (рис. 7.12, б):

Выбрав систему координат составим теперь уравнения равновесия для стержня. Освобождаясь от связей в точках и вводя реакции (рис- 7.12, в), получим следующие уравнения:

Мы не составляли уравнения моментов относительно оси так как оно будет содержать только неизвестную определяемую из уравнения

Так как

Решая полученные уравнения, найдем:

Как и следовало ожидать, мы не смогли определить реакции а нашли только их сумму.

Отметим, что если то, как легко проверить, реакции шарниров и будут направлены вдоль стержня

Пример №34

Однородная балка длины и веса опирается верхним концом на угол, образованный двумя вертикальными гладкими взаимно перпендикулярными плоскостями. Нижний конец балки находясь па горизонтальной шероховатой плоскости, упирается в прямолинейный выступ отстоящий от оси на расстоянии (рис. 7.13). Пренебрегая поперечными размерами балки, определить, при каком угле между балкой и горизонтальной плоскостью возможно равновесие, если коэффициент трения между концом балки и углом, .образованным горизонтальной плоскостью и выступом равен

Прежде чем перейти к составлению уравнений равновесия, введем вспомогательный угол (см. рис. 7.13). Легко видеть, что между углами и имеется простая связь. Действительно, отрезок по условию равен с другой стороны, из прямоугольного треугольника имеем а из треугольника найдем Таким образом, или

Перейдем к рассмотрению сил, действующих на балку. Прежде всего к пей приложена одна активная сила —сила тяжести кроме того, на балку действуют реакции гладких вертикальных стенок нормальные составляющие реакции угла, образованного выступом и горизонтальной плоскостью, и сила трения (она направлена влево, так как под действием силы тяжести конец балки стремится переместиться вправо).

При равновесии балки перечисленные силы должны удовлетворять уравнениям равновесия (7.13) и (7.14). Имеем:

Пользуясь этими уравнениями, легко найдем

(другие величины нас не интересуют).

Для того чтобы балка находилась в равновесии, сила трения должна удовлетворять условию — полная нормальная составляющая реакции угла, в который упирается конец балки Внося в это неравенство найденные значения для получим

или, возводя в квадрат и сокращая на

Из равенства (7.20) найдем

Внесем это значение для в предыдущее неравенство. Тогда после несложных преобразований получим

Таково условие, которому должен удовлетворять угол чтобы при заданных условиях балка находилась в равновесии. Как и следовало ожидать, при это условие совпадает с соответствующим неравенством, полученным при решении задачи 6.1 (стр. 97).

Центр параллельных сил и центр тяжести

В этой главе рассматриваются такие системы параллельных сил, которые приводятся к равнодействующей. Прежде всего нужно отметить, что условия приведения системы параллельных сил к равнодействующей сводятся к одному неравенству

Действительно, уже было показано, что второй инвариант системы параллельных сил тождественно равен нулю (стр. 114). Поэтому единственным условием приведения пространственной системы параллельных сил к равнодействующей является неравенство нулю главного вектора этой системы

Считая это условие выполненным, выясним, что происходит с равнодействующей при одновременном повороте линий действия данных параллельных сил на один и тот же угол, если точки приложения этих сил сохраняются неизменными и повороты линий действия сил происходят вокруг параллельных осей.

При этих условиях равнодействующая заданной системы сил также.одновременно поворачивается на тот же угол, причем поворот происходит вокруг некоторой фиксированной точки, которая называется центром параллельных сил. Перейдем к доказательству этого утверждения.

Центр параллельных сил

Предположим, что для рассматриваемой системы параллельных сил главный вектор не равен нулю, следовательно, данная система сил приводится к равнодействующей. Пусть точка есть какая-либо точка линии действия этой равнодействующей. Пусть теперь — радиус-вектор точки относительно выбранного полюса — радиус-вектор точки приложения силы (рис. 8.1).

Согласно теореме Вариньона сумма моментов всех сил системы относительно точки равна нулю:

так как точка лежит на линии действия равнодействующей. Полученное равенство можно переписать в следующей форме:

Введем теперь в рассмотрение единичный вектор параллельный линиям действия сил. Тогда любая сила может быть представлена в виде

где если направление силы и вектора совпадают, и если направлены противоположно друг другу. Очевидно, что при этом

Подставляя выражения (8.4) и (8.5) в соотношение (8.3), получим

откуда

Последнее равенство удовлетворяется при любом направлении сил (т. е. направлении единичного вектора только при условии, что первый множитель равен нулю:

В свою очередь это равенство имеет единственное решение относительно радиуса-вектора определяющего такую точку приложения равнодействующей, которая не меняет своего положения при повороте линий действия сил. Такой точкой и является центр параллельных сил, чем и доказывается его существование. Обозначив радиус-векТор центра параллельных сил через из равенства (8.7) получим Пусть — координаты центра параллельных сил, a — координаты точки приложения произвольной силы тогда координаты центра параллельных сил найдутся из формул:

Выражения

называются соответственно статическими моментами заданной системы сил относительно координатных плоскостей

Отметим, что если начало координат выбрано в центре параллельных сил, то

и статические моменты заданной системы сил равны нулю.

Центр тяжести

Тело произвольной формы, находящееся в поле сил тяжести, можно разбить сечениями, параллельными координатным плоскостям, на элементарные объемы (рис. 8.2). Если пренебречь размерами тела по сравнению с радиусом Земли, то силы тяжести, действующие на каждый элементарный объем, можно считать параллельными друг другу. Обозначим через объем элементарного параллелепипеда с центром в точке (см. рис. 8.2), а силу тяжести, действующую на этот элемент, — через Тогда средним удельным весом элемента объема называется отношение Стягивая параллелепипед в точку получим удельный вес в данной точке тела, как предел среднего удельного веса

Таким образом, удельный вес является функцией координат, т. е. Будем считать, что вместе с геометрическими характеристиками тела задан также и удельный вес в каждой точке тела.

Вернемся к разбиению тела на элементарные объемы. Если исключить объемы тех элементов, которые граничат с поверхностью тела, то можно получить ступенчатое тело, состоящее из совокупности параллелепипедов. Приложим к центру каждого параллелепипеда силу тяжести — удельный вес в точке тела, совпадающей с центром параллелепипеда. Для системы параллельных сил тяжести, образованной таким образом, можно найти центр параллельных сил Формула (8.11) определяет положение некоторой точки

Центром тяжести называется точка, являющаяся предельной для (точек при Другими словами, центром тяжести тела называется такая точка,-радиус-вектор которой определяется следующим пределом:

или, переходя к удельному весу,

При таком предельном переходе предполагается, что размеры всех параллелепипедов стремятся к нулю. Пределы знаменателей в формулах (8.12) и (8.13) равны весу тела

Поскольку пределы интегральных сумм в числителе и знаменателе формулы (8.13) представляют собой определенные интегралы, распространенные по объему тела, то можно представить в следующем виде:

Координаты центра тяжести определяются формулами:

Тело называется однородным, если В этом случае величина выносится в формулах (8.14) за знаки интегралов в числителе и знаменателе и сокращается. Знаменатели в формулах (8.14) после Сокращения их на равны объему тела Таким образом, получим

Центр тяжести однородного тела часто называют центром тяжести объема.

В ряде случаев тело можно считать тонкой пластиной или оболочкой (рис. 8.3, а).

Найдем центр тяжести однородной оболочки, предполагая, что вес элемента ее поверхности пропорционален площади этого элемента

и, следовательно, вес тела — площадь рассматриваемой части поверхности). Из определения центра тяжести в соответствии с формулами (8.15) получим при

Центр тяжести однородной оболочки называют центром тяжести поверхности.

Как следует из формул (8.16), определение координат центра тяжести поверхности связано с вычислением интегралов по поверхности.

Для плоской однородной пластины (рис. 8.3, б) получим

Наконец, рассмотрим криволинейный стержень —тело удлиненной формы, один из характерных размеров которого значительно больше двух других (рис. 8.4). Полагая, что вес элемента такого стержня, заключенного между двумя сечениями, нормальными к его оси, пропорционален длине дуги этой оси, получим

где — длина стержня.

Величину называют «погонным» весом. При сделанном предположении — величина постоянная. Тогда в соответствии с формулами (8.15) координаты центра тяжести однородного стержня имеют вид

Центр тяжести однородного криволинейного стержня называют центром тяжести линии.

Методы нахождения центра тяжести

Во многих случаях центр тяжести тела можно определить с помощью весьма простых методов. Мы рассмотрим некоторые из них.

Симметрия. Если тело однородно и имеет плоскость симметрии (рис. 8.5, а), то задача определения центра тяжести несколько

упрощается. Совместим с этой плоскостью симметрии координатную плоскость Тогда каждому элементу объема тела положение которого определяется координатами будет соответствовать элемент объема тела с координатами причем

Следовательно,

так как в сумме все члены попарно уничтожаются. Поэтому, если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости.

Пусть, далее, однородное тело имеет ось симметрии. Выберем эту ось за ось (рис. 8.5, б); тогда каждому элементу объема тела с координатами будет соответствовать элемент объема тела с координатами причем

Следовательно,

так как в суммах все члены попарно уничтожаются.

Таким образом, если однородное тело имеет ось симметрии, то его центр тяжести лежит на этой оси.

Аналогично можно показать, что если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела будет совпадать с этой точкой. Так, например, для пластинки, имеющей прямоугольную форму, центр тяжести лежит в центре прямоугольника.

Разбиение. Иногда представляется возможным разбить тело на такие части, для которых вес и положение центра тяжести заранее известны. Пусть — радиусы-векторы центра тяжести каждой части, а — веса соответствующих частей. У Из формулы (8.8) следует, что

где

Для однородной пластинки, например, из формулы (8.19) следует где —площади частей плоской фигуры; — координаты центров тяжести этих частей.

Пример №35

Способом разбиения найти координаты центра тяжести площади поперечного сечения неравнобокого угольника, размеры которого указаны на рис. 8.6.

Разобьем угольник на два прямоугольника, площади которых равны

На основании (8.20) формулы для координат центра тяжести угольника имеют вид

где — координаты центра тяжести первого прямоугольника, а -координаты центра тяжести второго прямоугольника. Очевидно, что

таким образом имеем:

Отрицательные веса. Этот способ применяют при нахождении центра тяжести тела, имеющего свободные (т. е. пустые) полости. Пусть дано тело, у которого имеется свободных полостей (рис. 8.7), причем — вес тела, — искомый радиус-вектор, определяющий положение центра тяжести этого тела.

Если бы тело не имело полостей, то его вес очевидно, равнялся бы сумме

где — веса частей тела, которыми мы мысленно заполняем полости.

Обозначим через —радиус-вектор, определяющий положение центра тяжести тела, не имеющего полостей, а через — радиусы-векторы, определяющие соответственно центры тяжести частей тела, заполняющих полости. На основании формулы (8.19) для тела, не имеющего полостей, можно записать

Находя из этой формулы радиус-вектор центра тяжести тела, имеющего полости, получим

Таким образом, при нахождении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять способ разбиения, но считать, что полости имеют отрицательные веса.

Пример №36

Найти центр тяжести однородной круглой пластинки радиуса у которой вырезано отверстие в виде прямоугольника со сторонами и (рис. 8.8), использовав способ отрицательных весов.

Пластинка симметрична относительно оси следовательно, Остается найти лишь одну координату

Согласно (8.21) будем иметь

где

Таким образом,

Центры тяжести простейших фигур

Центр тяжести треугольника. Воспользуемся способом разбиения и разделим треугольник (рис. 8.-9) на элементарные полоски, проведя линии, параллельные стороне треугольника. Каждую такую полоску можно принять за прямоугольник; центры тяжести этих прямоугольников находятся в их серединах, т. е. на медиане треугольника. Следовательно, центр тяжести треугольника должен лежать на этой же медиане

Разбивая теперь треугольник на элементарные полоски линиями, параллельными стороне заключаем, что центр тяжести треугольника должен быть расположен на медиане

Следовательно, центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан. Эта точка, как известно, делит каждую из медиан на отрезки в отношении т. е.

Центр тяжести трапеции. Аналогично предыдущему, разобьем трапецию (рис. 8.10) на элементарные полоски, параллельные основаниям и Центры тяжести полосок расположатся на прямой соединяющей середины оснований трапеции. Следовательно, и центр тяжести трапеции лежит на этой прямой. Для того чтобы найти его расстояние от нижнего основания, разобьем трапецию на

треугольники Для этих треугольников соответственно имеем

Используя формулу (8.20), получаем

Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу окружности радиуса с центральным углом Поместим начало координат в центре окружности и направим ось перпендикулярно хорде

Так как вследствие симметрии фигуры относительно оси центр тяжести будет лежать на этой оси , т.е. то остается найти только абсциссу центра тяжести для этого воспользуемся формулой (8.18). Согласно рис. 8.11, а имеем и, следовательно,

где —половина центрального угла в радианах.

В частности, для дуги полуокружности будем иметь

Центр тяжести кругового сектора. Для определения положения центра тяжести кругового сектора разобьем его на элементарные секторы, как показано на рис. 8.11,6. Каждый элементарный сектор можно принять за равнобедренный треугольник с высотой, равной Но высота в равнобедренном треугольнике является также и медианой; следовательно, центр тяжести каждого элементарного треугольника лежит на расстоянии от начала координат Соответственно геометрическим местом центров тяжести всех элементарных треугольников является дуга окружности радиуса

Это означает, что центр тяжести площади кругового сектора можно искать как центр тяжести материальной линии, по которой непрерывно и равномерно распределен вес этого сектора. Применив формулу (8.22), получим координату центра тяжести площади сектора

где —половина центрального угла в радианах. В частности, для сектора в виде полукруга получим

Пример №37

Пластинка, изображенная на рис. 8.12, получена из квадрата, сторона которого равна после того как из него была вырезана часть, составляющая четверть круга радиуса с центром в вершине квадрата. Определить центр тяжести пластинки.

Ось проведем по диагонали квадрата, взяв начало оси в вершине Так как ось является осью симметрии пластинки, то центр тяжести ее находится на этой оси. Площадь квадрата без выреза абсцисса его центра тяжести площадь вырезанной части абсцисса центра тяжести ее определяется формулой (8.23), в которой

Центр тяжести пластинки определим по формуле

или, подставляя соответствующие величины,

На рис. 8.12 показан центр тяжести пластинки. Приведем без вывода формулы, - определяющие положения центров тяжести некоторых простейших однородных тел. Поверхность шарового сегмента (рис. 8.13)

Пирамида и конус (рис. 8.14).

Центр тяжести находится на прямой, соединяющей вершину с центром тяжести площади основания, на расстоянии ее длины, считая от основания

Шаровой сектор (рис. 8.15).

где — радиус шара и — высота сферической части сектора.

Пример №38

Определить центр тяжести колонны, состоящей из однородного цилиндра веса высоты и радиуса на который установлена половина однородного шара веса и того же радиуса (рис. 8.16).

Разделим колонну на цилиндрическую и шаровую части.

Центр тяжести всей системы лежит на оси симметрии. Абсцисса центра тяжести цилиндра Расстояние от центра полушара до его центра тяжести найдем по формуле (8.27) при что дает Следовательно, Пользуясь равенством (8 19), найдем центр тяжести колонны

Кинематика

Кинематика — это раздел механики, изучающий математическое описание движения идеализированных тел например: материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальная жидкость, без рассмотрения причин движения (массы, сил и т. д.). Исходные понятия кинематики — пространство и время.

В этой лекции мы приступим к изучению движения материальных тел. Когда говорят о движении тела, то подразумевают под этим изменение его положения с течением времени по отношению к какому-либо другому телу. Это значит, что при изучении движения тела мы всегда должны указать, относительно какого другого тела рассматривается его движение. С телом, по отношению к которому изучается движение (тело отсчета), связывают систему координатных осей и часы. Эту совокупность тела отсчета и связанной с ним системой координатных осей (системы координат) и часов, как было уже сказано во введении, называют системой отсчета.

Так как в теоретической механике считается, что время, являясь непрерывно изменяющейся величиной, не зависит от движения тел и одинаково во всех точках пространства и всех системах отсчета, то, говоря о системе отсчета, можно ограничиться указанием только тела отсчета или системы координатных осей (системы координат), связанных с этим телом. В кинематике движение тел изучается с чисто геометрической точки зрения и связь между движением и движущими силами не рассматривается. В кинематике движение считается заданным, т. е. считаются заданными как функции времени параметры, определяющие положение тела по отношению к выбранной системе координат.

В кинематике безразлично, какое движение совершает выбранная система координат по отношению к каким-то иным телам, не входящим в рамки нашего рассмотрения. Однако всегда следует иметь в виду, что характер наблюдаемого движения существенно зависит от выбора тела (системы координат), относительно которого изучается движение. Так, .поршень автомобильного двигателя совершает относительно корпуса автомобиля прямолинейное колебательное движение, а относительно дороги, по которой движется автомобиль с постоянной,скоростью, поршень перемещается по синусоиде.

Если тело не перемещается по отношению к выбранной системе координат, то говорят, что оно находится в покое. Так как покой и движение тела мы рассматриваем лишь относительно выбранной системы координат, которая в свою очередь может перемещаться произвольным образом, то понятия «покой» и «движение» являются относительными понятиями. Однако в кинематике часто пользуются терминами «абсолютное движение», «абсолютная скорость» и т. п., имеющими, конечно, условный характер. В частности, если нет специальной оговорки, под выражением «неподвижная система координат» следует понимать систему осей, относительно которых рассматривается движение.

Кинематика точки

Рассматривая движение, мы связываем изменение положения тела (или точки) с течением времени (будем обозначать его через

При изучении движения всегда устанавливается начало отсчета времени (во многих задачах будем полагать Под промежутком времени понимают разность между значениями времени в какой-либо момент времени и момент времени

При движении тела все его точки в общем случае совершают различные движения, например, при качении колеса по прямому рельсу центр колеса движется по прямой линии, а точки обода движутся по циклоидам. Поэтому изучению движения тела, естественно, должно предшествовать изучение движения точки. Кроме того, некоторые практические задачи о движении тел могут быть решены непосредственно на основании изучения движения точки.

Непрерывную кривую, которую описывает точка при своем движении, называют траекторией точки. В задачах небесной механики траекторию именуют также орбитой. Если траектория точки является прямой линией, то движение точки называют прямолинейным. Если же траектория — кривая линия (не обязательно плоская), то движение точки называется криволинейным.

Мы сразу начнем с изучения криволинейного движения точки, так как прямолинейное движение представляет собой частный случай криволинейного. Приступая к изучению движения точки, мы должны сформулировать те задачи, которые решаются в кинематике. Исходя из того, что основными пространственно-временными (кинематическими) характеристиками движения точки являются ее положение, скорость и ускорение, мы можем сформулировать эти задачи следующим образом: найти способы задания движения и, исходя из них, найти методы определения скорости и ускорения.

Способы задания движения

Прежде всего определим, что значит задать движение.

Движение точки по отношению к избранной системе отсчета считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени. Следовательно, задать движение точки это значит указать способ, позволяющий в любой момент времени определить ее положение по отношению к выбранной системе отсчета.

Векторный способ. Положение точки в пространстве будет вполне- определено, если ее радиус-вектор проводимый из какого-либо заданного центра, известен как функция времени, т. е. Следует, однако, иметь в виду, что задать вектор как функцию времени значит уметь находить его модуль и направление в любой момент времени. Это можно сделать, если избрана какая-либо определенная система координат, т. е. задание радиуса-вектора как функции времени обязательно предполагает наличие системы координат, но в то же время не конкретизирует ее. Считая, что радиус-вектор задан, мы тем самым должны предполагать, что умеем определять его модуль и направление в избранной нами системе координат.

То обстоятельство, что введением радиуса-вектора, определяющего положение точки, мы не связываем себя с конкретной системой координат, позволяет широко использовать задание радиуса-вектора как функции времени для получения основных кинематических характеристик движения. Для решения же конкретных задач обычно переходят от векторного способа к координатному .и естественному способам задания движения.

Введем еще одно полезное для дальнейшего понятие о годографе вектора, рассматриваемого как функция скалярного аргумента (например, времени).

Годографом какого-либо вектора называют кривую, которую вычерчивает конец этого вектора (предполагается, что начало вектора находится все время в одной и той же точке) при изменении его аргумента.

Следовательно, годографом радиуса-вектора, определяющего положение точки, будет траектория точки.

Перейдем теперь к рассмотрению координатного и естественного способов задания движения.

Координатный способ. Положение точки по отношению к какой-либо системе координат полностью определяется координатами точки. Поэтому задание координат точки в виде известных функций времени дает возможность определить ее положение в любой момент времени. Способ задания движения, заключающийся в задании координат точки как известных функций времени, называется координатным способом задания движения и требует выбора конкретной системы координат. Этот выбор определяется содержанием решаемой задачи; конечно, предпочтительнее та система координат, использование которой наиболее целесообразно для данной задачи.

При рассмотрении движения в прямоугольной декартовой системе координат указанный способ заключается в задании координат точки (рис. 9.1) как известных функций времени, т. е.

Во многих случаях бывает предпочтительнее использовать цилиндрические или сферические координаты.

В цилиндрических координатах (рис. 9.1, а) положение точки определяется радиусом углом (азимут) и аппликатой

Следовательно, движение будет задано, если будут известными функциями времени

В сферических координатах (рис. 9.1, б) положение точки определяется полярным радиусом углом и углом (полюсный угол). Движение будет задано, если

— известные функции времени.

Формулы, связывающие цилиндрические и сферические координаты с декартовыми, соответственно будут -

При движении точки в плоскости иногда целесообразно использовать полярные координаты. В этом случае нужно задать в виде функций времени координаты (рис. 9.2):

Связь этих координат с декартовыми дается формулами

Уравнения (9.1) движения точки представляют одновременно и уравнения траектории в параметрической форме, где роль параметра играет время Если требуется определить уравнение траектории у в координатной форме, то нужно исключить каким-либо образом из этих уравнений время

Пример №39

Движение точки в плоскости (рис. 9.3) задано при помощи уравнений

и движение начинается в момент Найти уравнение траектории в координатной форме.

Из первого уравнения следует, что поэтому уравнение траектории будет

Это—уравнение параболы. Однако траекторией будет не вся парабола, а только часть, показанная на рис. 9.3 сплошной линией. Это следует из того обстоятельства, что от начального момента движения (когда координата будет увеличиваться (время положительно и непрерывно возрастает). Направление движения точки по траектории определяется из уравнений (9.4) и показано на рис. 9.3 стрелкой.

В рассмотренном примере исключение времени из уравнений движения было произведено путем нахождения времени из уравнения для и подстановки в уравнение для Такой прием не всегда удобен, поэтому исключение времени можно производить и другими способами.

Пример №40

Движение точки в плоскости задано уравнениями

Найти уравнение траектории в координатной форме. Уравнения

следует возвести в квадрат и сложить. Тогда получим уравнение траектории

Она представляет собой эллипс (рис. 9.4). Из уравнений (9.5) следует, что движение начнется в точке с координатами и будет происходить в направлении, указанном стрелкой (предполагается, что движение начинается в момент времени

Естественный способ. При естественном способе задания движения указываются траектория точки и закон ее движения по этой траектории.

Пусть точка движется по отношению к выбранной системе отсчета по заданной траектории (рис. 9.5), определяемой уравнениями

Пусть — какая-либо фиксированная точка на траектории. Выбрав направление положительного отсчета дуги по траектории, мы определим положение точки в любой момент времени, если будем знать, как изменяется дуга (см. рис. 9.5) со временем

Эта зависимость называется законом движения.

Кривая, построенная на плоскости выражающая зависимость называется графиком движения.

Если движение происходит в сторону возрастания дуги то дифференциал дуги *)

будет положительным, если же движение происходит в сторону убывания дуги, то дифференциал дуги будет отрицательным.

Отметим, что путь проходимый точкой, всегда будет возрастать и, следовательно, положителен, т. е.

Пример №41

Закон движения точки по траектории имеет вид

Построить и исследовать график движения.

Графиком движения будет кривая, изображенная на рис. 9.6. Из рассмотрения этого графика следует, что дуга увеличивается до значения при а затем начинает уменьшаться. Ход графика движения в области отрицательных а характеризует увеличение абсолютного значения дуги при движении точки от начала отсчета в сторону, противоположную положительному отсчету дуги.

На рис. 9.6 показана и кривая представляющая график функции — путь, пройденный точкой. До значения кривая совпадает с кривой для показана пунктиром.

Все рассмотренные способы задания движения взаимосвязаны. Пусть, например, движение задано координатным способом в виде (9.1). Очевидно, что при этом проекции радиуса-вектора (рис. 9.7) на оси координат равны координатам точки и, следовательно, можно записать

где —единичные векторы осей

Модуль найдется по формуле

а направление определится направляющими косинусами

Рассмотрим еще переход от координатного способа к естественному.

Пусть движение задано уравнениями (9.1). Исключая из этих уравнений время получим уравнения траектории (9.6). Найдем теперь закон движения

Дифференциал дуги может быть найден по формуле (рис. 9.8)

где — дифференциалы координат точки

Формулу для можно переписать в виде

Интегрируя это выражение в промежутке от (начало движения) до какого-либо момента времени получим закон движения

Знак «плюс» или «минус» перед интегралом ставится в зависимости от выбора направления положительного отсчета дуги; если движение точки начинается в сторону выбранного положительного отсчета дуги, то следует брать знак «плюс», в противном случае —знак «минус».

Понятие о производной вектора по скалярному аргументу

При рассмотрении задач кинематики и динамики мы встретимся с необходимостью вычисления производных векторов, имеющих различный физический смысл и являющихся функциями различных скалярных аргументов (времени, дуги и пр.). Поэтому в начале этой лекции мы определим понятие производной вектора по скалярному аргументу в общем виде, не придавая конкретного физического значения вектору и аргументу.

Пусть вектор задан в какой-либо системе координат как непрерывная функция скалярного аргумента

При изменении аргумента будут меняться как модуль вектора так и его направление. Конец вектора при изменении аргумента описывает кривую — годограф вектора (рис. 9.9). Пусть — некоторое фиксированное значение аргумента, а — его приращение. Тогда при значении аргумента вектор будет иметь другой модуль и другое направление, чем при значении аргумента, равном

Разность

называется приращением вектора

Предел oтношения

при если он существует, называется производной вектора по скалярному аргументу и обозначается через т. е.

Заметим, что вектор всегда направлен по секущей годографа вектора (рис. 9.9), а значит, и вектор направлен также по секущей. При секущая займет предельное положение, совпадающее с касательной к годографу вектора Следовательно, производная вектора по скалярному аргументу всегда направлена по касательной к годографу этого вектора.

Приведем без доказательства свойства производной вектора по скалярному аргументу:

1. Производная постоянного по величине и направлению вектора равна нулю.

2. Производная суммы векторов равна сумме производных, т. е.

3. Производные скалярного и векторного произведений векторов соответственно определяются выражениями:

Пусть вектор задан в неподвижной прямоугольной системе координат; тогда

где — проекции вектора на оси (рис. 9.9). Так как векторы постоянные, то

С другой стороны, вектор можно записать через его проекции следующим образом:

Сравнивая оба выражения, найдем проекции производной вектора на координатные оси

Эти равенства можно прочитать следующим образом: проекции производной вектора на неподвижные оси равны производным от соответствующих проекций вектора.

Модуль производной определяется из равенства

Если модуль вектора остается постоянным при изменении аргумента то годографом вектора будет кривая, расположенная на сфере радиуса Следовательно, производная направленная по касательной к годографу вектора будет в этом случае перпендикулярна вектору

Скорость точки

Перейдем теперь к определению понятия скорости точки и методам ее нахождения.

Пусть в момент времени положение точки определяется радиусом-вектором а в момент — радиусом-вектором Вектор

будем называть вектором перемещения точки за время (рис. 9.10).

Отношение вектора к промежутку времени называется средней скоростью точки за промежуток времени

Скоростью в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к который произошло это перемещение, времени стремится к нулю, т. е.

Размерность скорости будет

Единицами измерения могут быть м/сек, см/сек, км/час.

Из этого определения видно, что скорость точки равна производной радиуса-вектора точки по времени. На рис. 9.10 показаны средняя скорость и скорость точки Как следует из общей теории, скорость точки — этот вектор, направленный по касательной к траектории в сторону движения точки.

Скорость точки при координатном способе задания движения. Пусть движение точки задано в декартовой системе координат, принятой за неподвижную, т. е. пусть заданы координаты точки как функции времени

Согласно выражению (9.8) имеем

Так как единичные векторы выбранной системы координат постоянны, то на основании формулы (9.11) получаем

На рис. 9.11 показано разложение скорости на составляющие по осям координатной системы

Таким образом, проекции скорости на координатные оси будут

т. е. проекция скорости точки на координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей этой оси координаты.

Так как производную по времени мы условились обозначать точкой сверху, то полученные формулы можно переписать в виде

Модуль скорости является формулой

а направление скорости — направляющими косинусами

Если модуль скорости не изменяется с течением времени, то движение называется равномерным.

Пример №42

Движение точки задано уравнениями

Найти скорость точки.

В соответствии с выражениями (9 12) получим проекции скорости

Модуль скорости определится формулой (9.13):

Направление скорости найдем, используя формулы (9.14):

Из этих соотношений видно, что точка движется равномерно но направление скорости изменяется с течением времени.

Исследуем траекторию точки. Из первых двух уравнений движения найдем

Это —уравнение цилиндра радиуса ось которого совпадает с осью (рис. 9.12).

Опустим теперь из точки на плоскость перпендикуляр и обозначим угол между осью и прямой через Координаты точки будут

Сравнивая эти соотношения с уравнениями движения, найдем

Таким образом, угол изменяется пропорционально времени. Из этого следует, что прямая равномерно вращается, а точка в это время равномерно перемещается по образующей Следовательно, точка движется по винтовой линии. Уравнения винтовой линии в параметрической форме совпадают с уравнениями движения, а в координатной форме имеют вид

Рассмотрим теперь движение, заданное в полярных координатах, т. е. пусть даны как функции времени полярный радиус и угол определяющие положение точки.

Введем в рассмотрение единичные векторы: направленный по радиусу-вектору в сторону возрастания повернутый относительно на угол в сторону возрастания угла (рис. 9.13). Единичные векторы могут быть представлены через единичные векторы координатных осей:

В дальнейшем нам будут нужны выражения для производных по времени от единичных векторов

Дифференцируя по времени, получим

Аналогично

Радиус-вектор определяющий положение точки, может быть представлен в виде (рис. 9.13). При движении точки меняются как модуль, так и направление радиуса-вектора следовательно, и являются функциями времени. На основании равенства (9.11) имеем

Используя соотношение (9.15), будем иметь

Полученная формула дает разложение вектора скорости взаимно перпендикулярные составляющие: радиальную поперечную (Рис. 9.14).

Проекции скорости на радиальное и поперечное направления

называются соответственно радиальной и поперечной скоростями. Модуль скорости находится по формуле

Формулу (9.18) можно также получить, используя связь между декартовыми и полярными координатами,

Продифференцировав эти соотношения по времени и используя равенство (9.13), получим

Нахождение скорости при естественном способе задания движения. Пусть точка движется по какой-либо кривой (рис. 9.15). За промежуток времени точка переместится по кривой из положения в положение Дуга если движение точки происходит в сторону положительного отсчета дуги (рис. 9.15, а), и если движение происходит в противоположную сторону (рис. 9.15, б). На основании (9.11) имеем

Перепишем это равенство в виде

Так как предел отношения дуги к стягивающей ее хорде равен

по модулю единице, а предельное положение секущей совпадает с направлением касательной к кривой в точке то

где —единичный вектор касательной к кривой, направленный в сторону положительного отсчета дуги.

Действительно, если то вектор направлен в сторону (см. рис. 9.15, а), а при вектор направлен в сторону, противоположную (см. рис. 9.15, б). В обоих случаях этот вектор, а следовательно, и его предел направлены в сторону возрастания дуги (на рис. 9.15 положительное направление отсчета дуги а выбрано вправо от начала отсчета Принимая во внимание, что

имеем

Обозначая получим

Из формулы (9.20) следует, что Очевидно, что если движение происходит в сторону положительного отсчета дуги, и если движение происходит в противоположную сторону.

Так как проходимый точкой путь всегда положителен, то элемент пути

и, следовательно, модуль скорости можно определить по формуле

Пример №43

Если ось направить горизонтально, а ось вертикально вверх, то движение тяжелой точки (например, артиллерийского снаряда) у поверхности Земли в предположении, что сопротивление воздуха пропорционально скорости точки, будет описываться уравнениями

где —постоянные величины.

Найти модуль и направление скорости в начальный момент времени. Найти также наибольшую высоту подъема точки над уровнем ее начального положения, дальность по горизонтали от начального положения точки до ее наивысшего положения.

На основании (9.12) имеем

При a модуль скорости будет

Направление начальной скорости определим, найдя направляющие косинусы при

Следовательно, начальная скорость, равная по модулю направлена под углем к горизонту.

Так как точка траектории, где соответствует наибольшей высоте подъема движущейся точки, то из уравнения

мы определим момент времени достижения точкой наибольшей высоты. Имеем

отсюда

Подставляя найденное значение в выражение для получим искомую высоту (рис. 9.16)

Найдем теперь расстояние по горизонтали от начального положения точки до ее положения в наивысшей точке. Для этого подставим время в выражение для

Пример №44

Точка движется так, что ее радиус-вектор образует со скоростью постоянный угол. Определить уравнение траектории в полярных

координатах, если угол, образуемый скоростью с радиусом-вектором, равен (рис. 9 17).

Согласно формуле (9.17) проекции скорости на радиальное и поперечное направления будут

По условию задачи

Следовательно,

Отсюда

Интегрируя это уравнение и приняв при угол получим

Тогда Где —модуль радиуса-вектора в момент времени Таким образом, траектория представляет собой логарифмическую спираль.

Если угол то траектория будет прямолинейной—движение будет происходить вдоль радиуса-вектора. Если угол то движение будет происходить по окружности, так как

Ускорение точки

Предположим, что в момент времени скорость точки равна а в момент времени будет (рис. 9.18). Изменение вектора скорости за промежуток времени найдем как разность векторов если параллельно перенесем вектор в точку (рис. 9.18). Вектор

представляет собой приращение вектора скорости за промежуток времени

Отношение вектора к промежутку времени называется средним ускорением точки за промежуток времени

Ускорением точки в данный момент времени называется предел отношения приращения скорости к приращению времени при условии, что последнее стремится к нулю, т. е.

так как Можно также пользоваться следующей формой записи:

Следовательно, ускорение точки в данный момент времени равно первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной по времени от радиуса-вектора точки.

Годографом скорости называется кривая, которую вычерчивает конец вектора скорости при движении точки, если вектор скорости проводится из одной и той же точки (рис. 9.19).

Очевидно, что скорость точки, вычерчивающей годограф скорости, будет равна т. е. ускорению точки при ее движении по траектории. Размерность ускорения

Единицами измерения могут быть

Нахождение ускорения при координатном способе задания движения. Пусть движение точки задано в прямоугольной системе координат:

Так как вектор скорости точки можно представить в виде:

то на основание (9.21) будем иметь:

Пусть — проекции ускорения на координатные оси тогда т. е. проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей проекции скорости точки.

Выражения (9.22) на основании (9.12) можно переписать в виде

Следовательно, проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты.

Модуль ускорения определяется по формуле

Зная проекции ускорения и его модуль, легко находим направляющие косинусы вектора ускорения:

Найдем теперь ускорение в полярных координатах. Пусть координаты точки заданы как функции времени

Согласно (9.17) имеем

На основании (9.21) получим

но так как [см. (9.15) и (9.16)]

то

Отсюда находим проекции ускорения на радиальное и поперечное направления

Модуль и направление вектора ускорения определяются по формулам

Нахождение ускорения при естественном способе задания движения. Предварительно познакомимся с необходимыми сведениями из дифференциальной геометрии. Рассмотрим пространственную кривую. Пусть —единичный вектор касательной, проведенной в какой-либо точке этой кривой (рис. 9.20). Возьмем теперь на кривой точку близкую к точке и обозначим единичный вектор касательной в этой точке через Параллельно перенеся вектор в точку проведем плоскость через векторы приложенные в точке

При стремлении точки к точке эта плоскость в пределе займет определенное положение. Полученную таким образом плоскость называют соприкасающейся плоскостью в точке Отметим, что если рассматриваемая кривая плоская, то она целиком будет расположена в соприкасающейся плоскости.

Плоскость, проведенную через точку перпендикулярно касательной, называют нормальной плоскостью. Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей определяет главную нормаль к кривой в точке Плоскость, проведенную через точку перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью. На рис. 9.21 соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая плоскости обозначены соответственно цифрами и

Линия пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей определяет бинормаль к кривой.

Таким образом, в каждой точке кривой можно указать три взаимно-перпендикулярных направления: касательной, главной нормали и бинормали. Принимая эти направления за координатные оси, введем единичные векторы этих осей.

Единичный вектор касательной нами уже был введен. Единичный вектор направленный в сторону вогнутости кривой, будет единичным вектором главной нормали. Направление единичного вектора бинормали определим из требования, чтобы касательная, главная нормаль и бинормаль, направления которых определяются векторами образовывали правую систему осей. Полученный трехгранник, составленный из соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей, называется естественным трехгранником. Векторы являются единичными векторами осей естественного трехгранника (рис. 9.21).

Обозначим через величину угла между вектором проведенным в точке и вектором проведенным в точке близкой к точке Этот угол называется углом смежности (рис. 9.22, а).

Кривизной кривой в точке называют предел отношения угла смежности к абсолютному значению длины дуги т. е.

Радиусом кривизны кривой в точке называется величина, обратная кривизне

Заметим, что кривизна прямой равна нулю, а ее радиус кривизны равен бесконечности.. Кривизна окружности во всех ее точках одинакова и равна обратной величине радиуса радиус кривизны равен радиусу окружности

Если через точку кривой и две близкие к ней точки провести окружность, то при стремлении этих точек к в пределе получится окружность, которая называется кругом кривизны. Круг кривизны лежит в соприкасающейся плоскости. Радиус этого круга равен радиусу кривизны кривой в точке Центр круга кривизны лежит на главной нормали и называется центром кривизны *).

Вектор скорости согласно выражению (9.20) можно представить в виде

где — проекция скорости на направление На основании формулы (9.21) имеем

Определим величину и направление вектора

Пусть в момент времени точка находится в положении на траектории, а в момент времени положении Перенося вектор в точку найдем приращение вектора за промежуток времени (рис. 9.22, а)

Вектор при движении точки в сторону положительного отсчета дуги направлен в сторону вогнутости траектории (рис. 9.22, а), а при движении точки в сторону отрицательного отсчета дуги направлен в сторону выпуклости траектории (рис. 9.22, б). Найдем производную вектора

Вектор всегда направлен в сторону вогнутости траектории (см. рис. 9.22, а и б) и лежит в плоскости, проходящей через точку и векторы (плоскость Следовательно, вектор лежит в соприкасающейся плоскости, так как при плоскость совпадает с соприкасающейся плоскостью к траектории в точке

Дифференцируя тождество по получим

т. е. скалярное произведение на равно нулю, а это значит, что вектор перпендикулярен Таким образом, вектор лежит в соприкасающейся плоскости, направлен в сторону вогнутости траектории и перпендикулярен следовательно, он направлен по главной нормали к центру кривизны.

Определим теперь модуль вектора Из равнобедренного треугольника (см. рис. 9.22, а) найдем

или, используя равенства (9.27) и (9.28), получим

Учитывая, что есть единичный вектор главной нормали, будем иметь

Значит

и, следовательно,

так как

Из этой формулы следует, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости.

Составляющие ускорения по направлениям соответственно равны

Проекция ускорения на направление

называется касательным (тангенциальным) ускорением. Проекция ускорения на главную нормаль

называется нормальным ускорением. Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Модуль вектора ускорения равен

Касательное ускорение равно нулю при движении точки с постоянной по модулю скоростью и в моменты времени, в которые скорость достигает экстремальных значений.

Если одного знака, то модуль скорости точки возрастает и движение в этом случае называется ускоренным. Если же разных знаков, то модуль скорости точки убывает и движение будет замедленным. При модуль скорости остается постоянным — движение равномерное.

Нормальное ускорение равно нулю при прямолинейном движении в точках перегиба криволинейной траектории и в моменты времени, в которые скорость точки обращается в нуль.

Отметим, что для вычисления касательного ускорения можно использовать равенство

так как

Если движение точки задано координатным способом, то в случае задания движения в декартовых координатах будем иметь

для полярных координат получим

Частные случаи движения точки

Прямолинейное движение. Если траектория точки является прямой линией, то, направляя одну из координатных осей, например, ось вдоль этой прямой, мы полностью определим положение точки заданием ее абсциссы как функции времени, т. е.

Проекции скорости и ускорения на ось согласно формулам (9.12) и (9.23) будут

Модули скорости и ускорения соответственно равны

Если то движение точки происходит в сторону положительного направления оси Если при этом то движение ускоренное, если же то движение замедленное.

При точка движется в направлении, противоположном положительному направлению оси Если при этом то движение замедленное, если же то движение ускоренное.

В качестве примера рассмотрим прямолинейное движение, происходящее по закону

где —постоянные величины.

Движение точки по такому закону называют гармоническим. Величина равная максимальному отклонению точки от положения называется амплитудой колебаний; называется фазой и —начальной фазой колебаний.

Скорость и ускорение точки, совершающей гармоническое колебание, соответственно будут

Из формулы для следует, что ускорение точки всегда направлено к началу координат и по модулю пропорционально отклонению точки от начала координат.

С помощью закона движения и формулы для скорости нетрудно установить, что если для какого-либо момента времени координата а скорость то в момент времени при котором имеет место равенство

где —скорость точки и ее положение будут такими же, как и в момент

Значит, гармоническое движение будет периодическим *), т. е. через промежутки времени, равные

движение будет полностью повторяться.

Наименьший промежуток времени, по истечении которого движение повторяется, называется периодом колебаний. Очевидно, что период гармонических колебаний будет равен

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний и равно Если время измеряется в секундах, то частота измеряется в герцах. Величина называется круговой частотой. Круговая частота равна числу колебаний за единиц времени. График движения приведен на рис. 9.23.

Движение точки по окружности. При движении точки по окружности удобно задать ее движение в полярных координатах, так как при этом координата является постоянной величиной, равной радиусу окружности (рис. 9.24). Положение точки вполне определяется углом

Так как — постоянная величина, то проекция скорости на радиальное направление Поперечная проекция скорости равна

Модуль скорости будет

где

В соответствии с формулами (9.26) проекции ускорения на радиальное и поперечное направления определяются равенствами

Модуль ускорения равен

где

Если выбрать направление положительного отсчета дуги, проходимой точкой, как указано на рис. 9.24, то очевидно, что касательное ускорение точки будет равно а нормальное (это ускорение называют центростремительным ускорением) .

Заметим, что определяет угловую скорость вращения радиуса —соответствующее угловое ускорение.

Пример №45

Снаряд движется в вертикальной плоскости согласно уравнениям Определить скорость и ускорение снаряда в начальный момент времени, высоту траектории, дальность полета, а также радиус кривизны в начальной и наивысшей точках траектории. Ось направлена горизонтально, ось — вертикально вверх (рис. 9.25).

Траекторией снаряда, очевидно, будет парабола

Определим сначала скорость движения снаряда. Имеем

Следовательно,

В момент времени величина скорости Направление скорости определяется по формулам

При получим

т. е. скорость в начальный момент образует с осью угол Проекции ускорения на координатные оси будут

следовательно, модуль ускорения равен

и оно направлено по вертикали вниз (ускорение силы тяжести). Под высотой траектории понимается максимальное значение ординаты Очевидно, что принимает максимальное значение при т. е. когда

Находя отсюда и подставляя его в уравнение для получим

Дальность полета определяется из условия Из уравнения

найдем

Момент соответствует начальному положению снаряда. Подставляя в уравнение для найдем дальность полета

Максимальная дальность полета будет при и равна

Найдем теперь радиус кривизны траектории в начальной и наивысшей ее точках. Из формулы имеем

Таким образом, задача нахождения радиуса кривизны траектории сводится к нахождению скорости и проекции ускорения точки на нормаль. Согласно (9.33) имеем

Так как движение точки происходит все время в сторону возрастания дуги, и, следовательно,

При и, следовательно, радиус кривизны траектории в начальной точке равен

Для момента времени соответствующего наивысшей точке траектории, Поэтому Скорость точки в этот момент равна и радиус кривизны в наивысшей точке траектории будет

Отметим, что в данной задаче проекцию ускорения на нормаль в начальной н наивысшей точках траектории можно легко найти и простым проектированием (рис. 9.26).

Пример №46

Колесо радиуса катится без скольжения по горизонтальному рельсу. Скорость центра колеса постоянна и равна Найти уравнения движения точки лежащей на ободе колеса, ее траекторию, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории как функцию времени.

По условию, колесо катится без скольжения, следовательно, дуга равна отрезку при предположении, что в начальный момент времени точка находилась в точке (рис. 9.27).

Так как дуга

Координаты точки будут:

Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения траек. тории, которая представляет собой циклоиду.

Проекции скорости точки на оси равны

Модуль скорости равен

.

Заметим, что угол изменяется от нуля до и поэтому

Направляющие косинусы вектора скорости будут

Отсюда следует, что вектор скорости все время проходит через верхнюю точку колеса.

Проекции ускорения на оси равны

и, следовательно,

а так как

то вектор ускорения точки всегда проходит через центр колеса. Радиус кривизны траектории найдем из выражения

Так как то

Следовательно,

где длина отрезка от рассматриваемой точки колеса до его нижней точки.

Пример №47

Движение точки задано в полярных координатах уравнениями (рис. 9.28), где — постоянные величины.

Найти уравнение траектории, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки как функции ее радиуса

Исключая из уравнений время получим уравнение траектории

Это—уравнение логарифмической спирали.

Согласно формуле (9.17) радиальная и поперечная составляющие скорости соответственно будут

Следовательно, скорость точки равна

Согласно формулам (9.26) будем иметь

т. е. ускорение точки

Определим теперь радиус кривизны траектории. На основании (9.32) получим

Скорость нами уже определена. Найдем Согласно (9.33)

имеем

Таким образом.

Итак, радиус кривизны траектории будет

Пример №48

Радар установленный на берегу, непрерывно следит за движением судна определяя в каждый данный момент времени расстояние и угол между меридианом и направлением от радара на судно, а также скорости изменения этих величин. Пренебрегая кривизной земной поверхности, определить модуль скорости судна относительно Земли, его курс (угол между меридианам и скоростью и расстояние от радара до направления скорости (рис. 9.29).

Для решения задачи построим прямоугольную систему координат направив ось по касательной к меридиану на север, а ось по касательной к параллели па запад. Величины которые непрерывно измеряет радар, суть полярные координаты судна и их скорости. Поэтому модуль скорости судна будет (см. формулу (9.18))

Для определения курса (угла разложим вектор скорости судна на радиальную и поперечную составляющие. Имеем (см. »рис. 9.29):

(углы — соответственные при параллельных прямых a — внешний для треугольника Из треугольника найдем

или, учитывая значения проекций поперечной и радиальной составляющих скорости

Отсюда

Из треугольника найдем параметр

С помощью счетно-решающих устройств скорость судна его курс и параметр определяются по формулам (9.18), (9.35) и (9.36) или им эквивалентным непрерывно»

Если судно идет постоянным курсом т. е. движется по прямой линии то равенство (9.36) определяет уравнение траектории судна в полярных координатах. Покажем, что при это уравнение может быть получено из равенства (9.34). Действительно, умножая числитель я знаменатель правой части равенства (9.34) на получим

или

Интегрируя обе части этого равенства и учитывая, что по предположению получим

где —произвольная постоянная интегрирования. При —расстояние

от радара до судна будет равно т. е. Подставляя эти значения в (9.37), найдем

или

Внося это значение для в равенство (9.37), получаем

откуда следует равенство (9.36);

Пример №49

Угол между неподвижной осью и кривошипом изменяется по закону где —постоянное положительное число. С кривошипом в точке шарнирно соединен стержень проходящий все время через качающуюся муфту Найти уравнения движения точки стержня отстоящей от точки на расстоянии ее траекторию, скорость и ускорение, если (рис, 9,30, а).

Положение точки проще всего определяется полярными координатами: радиусом и полярным углом Так как треугольник равнобедренный, то сторона Из рис. 9.30, а имеем следовательно, уравнения движения точки будут:

Исключая отсюда время найдем уравнение траектории точки в полярных координатах:

(Для сравнения рекомендуем читателям самостоятельно найти уравнения движения и траекторию точки в декартовых координатах.)

На рис. 9.30, б показана траектория точки построенная по точкам *) для случая (при получается обычная кардиоида). Точка — начальная точка траектории, соответствующая моменту времени Направление движения точки показано стрелками. Отметим, что точка попадет в свое начальное положение не через один оборот кривошипа а через два оборота, когда угол изменится на а угол на радиана (это произойдет в момент времени

Найдем проекции скорости точки на радиальное и поперечное направления. Имеем

Теперь найдем модуль скорости точки

или, подставляя найденные значения для и произведя очевидные преобразования,

Для ускорения будем иметь:

Модуль ускорения

В начальной точке при

Через один оборот кривошипа точка попадет в положение (рис. 9.30, б) и ее скорость и ускорение будут соответственно равны

Криволинейные координаты

Положение точки в трехмерном пространстве, как известно, можно однозначно определить тремя числами. Так, например, в декартовой системе координат такими числами будут координаты точки, в цилиндрической и сферической системах координат такими числами соответственно будут . Очевидно, что можно ввести в рассмотрение и другие системы координат, в которых определен закон выбора трех чисел, однозначно определяющих положение любой точки. В этой лекции мы рассмотрим так называемые криволинейные координаты.

Предположим, что для однозначного определения положения любой точки нами установлен закон выбора трех чисел

тем самым нами введена в рассмотрение определенная система координат. Эти числа называются криволинейными координатами, а введенная система координат — криволинейной. Пусть радиус-вектор, определяющий положение точки заданной координатами проведен из произвольно выбранного полюса Этот радиус-вектор будет функцией координат

Проекции радиуса-вектора на оси декартовой системы координат также будут функциями т. е.

Возьмем какую-либо точку с координатами тогда уравнения

в которых переменной является только одна координата определяют кривую, проходящую через точку Эту кривую называют координатной линией, соответствующей изменению координаты Аналогично определяются координатные линии, соответствующие изменению

Касательные к координатным линиям, проведенные в точке в сторону возрастания соответствующих координат, называются координатными осями (рис. 9.31).

Координатными поверхностями называются поверхности, определяемые уравнениями (9.39) при изменении двух координат и при одной фиксированной координате. Так, например, поверхность определяется следующими уравнениями:

Касательные плоскости, проведенные в точке к координатным поверхностям, называются координатными плоскостями.

Определим теперь единичные векторы координатных осей. Рассмотрим движение точки по координатной линии, соответствующей изменению координаты Пусть в момент времени точка находится в положении (рис. 9.32). Вектор , вычисленный в точке направлен по касательной к координатной линии т. е. он направлен по координатной оси в сторону возрастания Так как

Таким образом, единичный вектор равен

Аналогично можно получить

где

Коэффициенты называются коэффициентами Ламе.

Мы будем рассматривать только ортогональные криволинейные координаты, т. е. такие, у которых координатные оси взаимно перпендикулярны. Условием ортогональности является

Скорость точки может быть найдена посредством дифференцирования соотношения (9.38)

но так как

то

Учитывая, что по предположению взаимно перпендикулярны, для модуля скорости имеем

Проекции скорости на координатные оси определяются выражениями

Проекция ускорения точки на координатную ось очевидно, будет равна

отсюда

Взяв частную производную от выражения (9.46) по получим

Так как производная зависит от координат то

Дифференцируя теперь обе части равенства (9.46) по получим

Сравнивая оба выражения, найдем

Подставляя полученные равенства (9.51) и (9.52) в формулу (9.50), имеем

Так как то

Аналогично

Теперь выражение для можно записать в следующей форме:

где находится по формуле (9.48). Аналогично получаем

Пример №50

Найти скорость и ускорение точки в цилиндрической системе координат . Координатные линии и координатные оси показаны на рис. 9.33. Так как

то согласно формулам (9.40) и (9.44)

Следовательно, в соответствии с формулами (9.48) и (9.49), получим

и

Для полярной системы координат

Имея в виду, что

найдем

Таким образом, по формулам (9.53), (9.54) и (9.55) получим fp = Р - Pf2.

Для полярной системы координат

Пример №51

Найти скорость и ускорение точки в сферической системе координат (рис. 9.34). Декартовы координаты связаны со сферическими зависимостями

Так как то согласно формуле (9.40) имеем

Вычисляя далее

и используя формулы (9.44), получим

Следовательно, проекции скорости на координатные оси сферической системы координат равны

и

Вычислив производные

найдем проекции ускорения на оси сферических координат:

Пример №52

Найти скорость и ускорение точки, движущейся равномерно по винтовой линии.

Так как в этом случае в цилиндрической системе координат

постоянны), то в силу формул (9.56) имеем

и, следовательно,

Используя формулы (9.57), получим

Так как Радиус кривизны

Пример №53

Точка движется по земной поверхности (принимаемой за сферу радиуса имея северную и восточную составляющие скорости соответственно равными Найти ускорение точки относительно Земли, не учитывая ее вращения. Составляющие считать известными функциями времени. Из условия задачи находим

В соответствии с формулами (9.55) получим

Основные движения твердого тела

При движении твердого тела отдельные его точки движутся в общем случае по различным траекториям и имеют в каждый момент времени различные скорости и ускорения. Вместе с тем имеются кинематические характеристики, одинаковые для всех точек твердого тела. Основными задачами кинематики твердого тела являются установление способа задания его движения и изучение кинематических характеристик, присущих телу, а также определение траекторий, скоростей и ускорений всех точек тела.

Задание движения твердого тела

Необходимо сначала уточнить понятие «задание движения твердого тела». Мы будем говорить, что движение твердого тела задано, если имеется способ определения положения любой его точки в любой момент времени по отношению к выбранной системе координат.

Может сначала показаться, что для задания движения твердого тела требуется задать движение каждой его точки, т. е. необходимо иметь бесконечное множество уравнений движения. На самом деле это не так, ибо перемещения отдельных точек связаны условием неизменяемости расстояний между ними.

Покажем, что положение твердого тела в общем случае вполне определяется заданием шести независимых параметров. Для этого возьмем в теле три не лежащие на одной прямой точки (рис. 10.1) с координатами

Так как расстояния между точками твердого тела не изменяются, то координаты точек должны удовлетворять трем

Уравнениям:

Следовательно, из девяти координат (10.1) независимых только шесть, остальные три определяются из уравнений (10.2). Если взять еще одну точку с координатами то эти координаты должны будут удовлетворять трем уравнениям вида (10.2), выражающим неизменность расстояния до ранее выбранных точек Таким образом, положение твердого тела относительно произвольно выбранной системы координат вполне определяется шестью независимыми параметрами.

Если твердое тело будет закреплено в какой-либо точке, то его положение будет определяться уже только тремя независимыми параметрами.

Число независимых параметров, задание которых однозначно определяет положение твердого тела в пространстве, называется числом степеней свободы твердого тела.

Заметим, что задание шести декартовых координат, например, не является наилучшим способом задания движения твердого тела. Как будет позднее выяснено, существуют более удобные параметры, определяющие положение тела в пространстве. В каждом отдельном случае мы будем стараться выбирать независимые параметры, определяющие движение твердого тела, исходя из соображений простоты и удобства решения основных задач кинематики.

Простейшие движения твердого тела

Поступательное движение твердого тела. Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается во все время движения параллельной своему первоначальному положению.

Пусть твердое тело движется поступательно относительно системы координат (рис. 10.2), — радиус-вектор точки — радиус-вектор точки — радиус-вектор, определяющий положение точки в подвижной системе координат жестко связанной с телом (на рис. 10.2 эта система не показана).

Так как рассматриваемое тело абсолютно твердое и его движение поступательное, то вектор при движении тела не меняет модуля и направления.

Из рассмотрения рис. 10.2 следует

Пусть в момент времени тело занимало положение а в момент времени — положение (рис. 10.2). Тогда будет вектором перемещения точки —вектором перемещения точки за промежуток времени

Во время движения вектор не изменяется, значит, отрезки равны и параллельны и, следовательно, фигура — параллелограмм.

Таким образом,

т. е. при поступательном движении абсолютно твердого тела перемещения всех его точек геометрически равны между собой.

Из равенства (10.3) и условия постоянства вектора также следует, что траектории точек тела, движущегося поступательно, одинаковы и получаются друг из друга параллельным смещением.

Продифференцировав выражение (10.3) по времени, получим

но так как и, следовательно,

или

т. е. при поступательном движении твердого тела скорости всех его точек в каждый момент времени равны между собой.

Дифференцируя полученное соотношение по времени, получим

или

т. е. ускорения всех точек тела в каждый момент времени равны между собой.

Таким образом, при поступательном движении твердого тела все его точки движутся одинаково, так как их перемещения, скорости и ускорения геометрически равны.

Следовательно, для определения движения твердого тела, движущегося поступательно, нет необходимости рассматривать движение всех точек тела, а достаточно рассмотреть движение одной точки тела, иначе говоря, поступательное движение твердого тела определяется движением одной точки этого тела, координаты которой должны быть заданы как функции времени.

Пользуясь понятием поступательного движения, докажем теорему о сложении скоростей точки, совершающей сложное движение *).

Предположим, что точка движется по отношению к системе координат которая жестко связана с телом, перемещающимся поступательно по отношению к неподвижной системе координат Положение точки относительно неподвижной системы координат определяется радиусом-вектором (рис. 10.3)

где — радиус-вектор начала подвижной системы координат, —радиус-вектор, определяющий положение точки в подвижной системе координат.

Дифференцируя это равенство по времени, получим

В этом равенстве есть скорость точки относительно неподвижной системы координат, которая называется скоростью точки в сложном движении или абсолютной скоростью и обозначается через

Первое слагаемое в правой части равенства скорость точки Так как система координат движется поступательно, то это одновременно будет скоростью той точки тела, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка Эта скорость называется переносной скоростью точки и обозначается

Выясним смысл производной Вектор определен в подвижной системе координат, следовательно,

где —координаты точки в системе координат a —единичные векторы этих осей.

Так как подвижная система координат перемещается поступательно, то —постоянные векторы и их производные по времени равны нулю, поэтому

Это равенство определяет скорость точки по отношению к подвижной системе координат и называется относительной скоростью точки Обозначим эту скорость через

Таким образом, имеем

Полученное равенство выражает теорему о сложении скоростей: скорость точки в сложном движении равна сумме переносной и относительной скоростей.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. При движении твердого тела с двумя неподвижными точками (рис. 10.4) все точки на прямой остаются неподвижными. Это следует из условия неизменяемости расстояний между точками твердого тела. Прямая называется осью вращения, а движение тела называется вращательным. Нетрудно видеть, что все точки тела описывают дуги окружностей с центрами в основаниях перпендикуляров, опущенных из этих точек на ось вращения.

Возьмем на оси вращения две точки и введем систему координат с началом в точке (рис. 10.5).

Так как положение точек нам известно, то положение тела будет полностью определено, если мы будем знать в любой момент времени положение какой-либо точки тела (не лежащей на оси вращения). Из трех координат этой точки независимой будет только одна, так как расстояния постоянны и координаты точки связаны двумя уравнениями:

Отсюда следует, что положение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется одним параметром.

Направим ось неподвижной системы координат по оси вращения тела. Введем подвижную систему координат жестко связанную с телом, ось которой так же направим по оси вращения (рис. 10.6). Положение тела будет полностью определено, если задан угол между неподвижной плоскостью и подвижной плоскостью (жестко связанной с телом) (рис. 10.6). Этот угол называется углом, поворота тела.

Для однозначного определения положения тела необходимо знать не только величину, но и направление отсчета угла Условимся считать положительным направлением отсчета направление против хода часовой стрелки, если смотреть с конца оси

Характер вращательного движения твердого тела целиком определяется заданием угла его поворота как функции времени. Главными кинематическими характеристиками вращательного движения тела в целом будут угловая скорость и угловое ускорение, к определению которых мы и перейдем.

Пусть в момент времени угол между неподвижной полуплоскостью и подвижной полуплоскостью равен в момент времени равен Это значит что за промежуток времени подвижная плоскость следовательно, и тело повернулись на угол

Отношение угла поворота к промежутку времени за который тело повернулось на этот угол, называется средней угловой скоростью тела за промежуток времени

Предел этого отношения при называется угловой скоростью тела в данный момент времени Введенная таким образом угловая скорость может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от закона изменения угла Абсолютное значение угловой скорости будем обозначать через

Если угол поворота измеряется в радианах, а время —в секундах, то единицей измерения угловой скорости будет

В технике часто при равномерном вращении тела пользуются числом оборотов в минуту. Зависимость между угловой скоростью и числом оборотов в минуту определяется по следующей формуле:

где — число оборотов в минуту.

Пусть теперь в момент времени угловая скорость вращения равна а в момент равна тогда за промежуток времени приращение угловой скорости будет равно

Средним угловым ускорением тела за промежуток времени будем называть отношение приращения угловой скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, т. е.

Предел этого отношения при называется угловым ускорением тела в данный момент времени

так как

Угловое ускорение, характеризующее изменение угловой скорости с течением времени, равно производной по времени от угловой скорости или второй производной по времени от угла поворота.

Единица измерения углового ускорения —

Весьма полезным для дальнейшего изучения кинематики твердого тела является введение в рассмотрение вектора угловой скорости и вектора углового ускорения.

Вектором угловой скорости твердого тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, мы будем называть вектор, модуль которого равен абсолютному значению производной угла поворота тела по времени, направленный вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки.

Учитывая ранее введенное определение направления положительного отсчета угла вектор угловой скорости можно определить по формуле

где —единичный вектор оси

Из этой формулы следует, что при направление вектора совпадает с направлением вектора а при вектор направлен в сторону, противоположную направлению вектора

Вектором углового ускорения будем называть вектор, равный производной по времени от вектора угловой скорости, т. е.

где Из формулы (10.8) следует, что вектор направлен, как и вектор вдоль оси вращения.

Величины представляют проекции векторов угловой скорости и углового ускорения на ось вращения.

Перейдем к нахождению скорости и ускорения любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Пусть единичные векторы координатных осей соответственно будут (рис. 10.7). Радиус-вектор произвольной точки можно представить в виде

где — координаты точки (постоянные величины). Скорость точки будет равна

Так как вектор неподвижен, то что же касается производных векторов то мы уже вычисляли их, рассматривая движение точки в полярной системе координат. Если обозначить то формулы (9.15) и (9.16) примут вид

Подставляя в формулу (10.10) эти производные и учитывая, что получим

Отсюда следует, что проекции вектора скорости точки на оси соответственно равны

Так как векторное произведение

имеет те же проекции на оси что и вектор скорости то имеем

иначе говоря, скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки. Из формулы (10.13) следует, что

т.е. модуль скорости любой точки твердого тела равен произведению модуля угловой скорости тела на расстояние от точки до оси вращения. Направлен же вектор скорости по касательной к окружности, по которой перемещается точка в сторону ее движения.

Взяв производную по времени от обеих частей равенства (10.13), получим

Но — угловое ускорение, а

— скорость точки

Тогда

Вектор направлен по касательной к траектории точки (к окружности радиуса т. е. параллельно скорости (так как вектор направлен по оси вращения (рис. 10.8)). Эта составляющая ускорения является касательным ускорением точки тела..В дальнейшем будем называть эту составляющую вращательным ускорением, т. е.

Это название связано с тем, что с такой составляющей ускорения мы встретимся при изучении более сложного движения тела, когда вектор уже не будет являться касательным ускорением точки

Численное значение вращательного ускорения равно

Вектор направлен в плоскости окружности радиуса от точки к точке т. е. направлен к оси вращения по нормали к траектории и является нормальным ускорением точки Этот вектор

направленный к оси вращения, будем называть осестремительным ускорением.

Так как вектор перпендикулярен вектору то численное значение осестремительного ускорения равно

Модуль полного ускорения точки будет

Угол образованный векторами полного и осестремительного ускорений, определяется из формулы

Пример №54

Стрелка гальванометра длиной движется по закону где —угол максимального отклонения стрелки от положения —период колебаний. Найти модуль и направление ускорения конца стрелки гальванометра в момент времени

Угловая скорость и угловое ускорение соответственно равны

Модуль вращательного ускорения будет

а модуль осестремительного ускорения

При

В момент угол т. е. стрелка доходит до своего крайнего положения. В этот момент времени скорость конца стрелки а ускорение будет равно модулю вращательного ускорения.

Плоское движение твердого тела

Движение твердого тела называется плоским, если все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Примером плоского движения тела может служить качение цилиндра по горизонтальной плоскости, при котором его основание остается все время параллельным плоскости (рис. 11.1).

Задание движения

Рассмотрим произвольное плоское движение твердого тела. Пусть все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных

плоскости (рис. 11.2). Из определения плоского движения и из свойств твердого тела (углы между любыми прямыми, фиксированными в твердом теле, сохраняются неизменными) следует, что любая прямая проведенная в теле перпендикулярно плоскости будет перемещаться поступательно, т. е. траектории, скорости и ускорения всех точек этой прямой будут одинаковы.

Таким образом, для определения движения тела необходимо знать движение лишь одной точки на каждой прямой, проведенной перпендикулярно плоскости Взяв точки в одной плоскости, параллельной плоскости мы можем утверждать, что плоское движение твердого тела вполне определяется движением плоской фигуры, полученной от пересечения тела любой плоскостью параллельной плоскости (см. рис. 11.2).

Итак, задание движения твердого тела сводится к заданию движения одного его сечения. Поэтому в дальнейшем будем изображать только плоскую фигуру— сечение тела и изучать движение точек этого сечения в его плоскости.

Пусть — Две точки плоской фигуры, находящейся в плоскости (рис. 11.3, а). Так как расстояние между этими точками остается неизменным

то из четырех координат независимых только три. Присоединение третьей точки не увеличивает числа независимых

координат, ибо две новые координаты должны удовлетворять двум равенствам, выражающим неизменность расстояний до ранее выбранных точек Таким образом, для описания плоского движения тела требуется знать три независимые координаты как функции времени.

Свяжем жестко с плоской фигурой систему координат Тогда положение системы а вместе с ней и положение плоской фигуры относительно системы координат будет вполне определено заданием координат точки и углом между осями — см. рис. 11.3, б (оси соответственно параллельны осям и перемещаются при движении фигуры поступательно). Следовательно, три функции времени

определяют положение плоской фигуры в любой момент времени. Равенства (11.1) называются уравнениями движения плоской фигуры или уравнениями плоского движения твердого тела.

Скорости точек тела при плоском движении

Найдем формулы, позволяющие при заданных .функциях (11.1) определить координаты любой точки плоской фигуры.

Пусть система координат является неподвижной системой, а система координат имеющая начало в произвольно выбранной точке плоской фигуры, движется поступательно. Систему координат жестко свяжем с плоской фигурой.

Радиус-вектор определяющий положение точки В относительно неподвижной системы координат (рис. 11.4), можно задать при помощи двух векторов: определяющего положение точки в системе отсчета и определяющего положение точки в системе отсчета

Зная координаты и точки и координаты точки в системе координат а также угол между осями можно определить координаты точки по формулам: Напомним, что координаты — постоянные величины. Продифференцировав по времени найдем проекции скорости точки на координатные оси: К этому же результату можно прийти, дифференцируя непосредственно тождество (11.2),

Заметим, что Что же касается то это есть скорость точки относительно подвижной системы координат т. е. относительная скорость. Введем для нее обозначение

Движение тела относительно системы координат представляет собой вращение тела вокруг оси направленной перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 11.4) на читателя. Таким образом,- скорость есть скорость точки при вращении тела вокруг оси Для определения этой скорости мы уже получили формулу

где— угловая скорость вращения фигуры вокруг точки (вокруг оси которую в дальнейшем будем называть полюсом. Формула (11.5) принимает теперь вид

т. е. скорость какой-либо точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости точки при вращении плоской фигуры вокруг полюса

Покажем, что угловая скорость вращения фигуры не зависит от выбора полюса. Пусть —две какие-нибудь точки плоской фигуры. Пусть полюсу соответствует угловая скорость а полюсу —угловая скорость Найдем скорость точки приняв за полюс точку

Приняв теперь за полюс точку найдем скорость точки

Сложив оба равенства, получим

Но вектор перпендикулярен плоскости фигуры, и, значит, полученное равенство может выполняться только при Таким образом, нет надобности в дальнейшем сохранять индекс полюса в обозначении вектора угловой скорости, т. е.

Формула (11.6) может быть записана теперь в виде

Если заметить, что

где

то из (11.7) после проектирования на оси координат можно получить уже ранее выписанные формулы (11. 4).

Так как то модуль скорости

ибо вектор перпендикулярен плоскости чертежа. Отметим, что вектор перпендикулярен также Направление вращения

плоской фигуры вокруг полюса зависит только от знака проекции угловой скорости на ось Так как то при вращение происходит против хода часовой стрелки и при —по ходу часовой стрелки.

На рис. 11.5, а и б показано, как, зная скорость точки можно найти скорость точки при

Из формулы (11.7) следует одна полезная теорема:

При плоском движении проекции скоростей двух точек тела на ось, проходящую через эти точки, равны между собой.

Выберем положительное направление для оси как указано на рис. 11.6. Воспользуемся далее формулой (11.7)

Проектируя это равенство на направление получим

Последнее слагаемое в этом соотношении равно нулю, так как вектор перпендикулярен и, следовательно,

Пример №55

Определить скорость ползуна кривошипно-шатуиного механизма, изображенного на рис. 11.7, если и известна угловая скорость кривошипа в момент времени, когда взаимно перпендикулярны. На основании доказанной теоремы

откуда

так как

Определения и теоремы этой лекции можно использовать для графического нахождения скоростей точек плоской фигуры.

План скоростей

Приступая к графическому нахождению скоростей точек плоской фигуры, будем считать заданными модуль и направление скорости одной точки и направление скорости другой точки.

Пусть, например, известны вектор скорости точки и направление скорости точки (рис. 11.8, а). Определим сначала модуль скорости точки , а затем векторы скоростей точек

Скорость точки определяется формулой (11.7)

Так как нам известны вектор и направления векторов (напомним, что вектор перпендикулярен отрезку то можно получить графическое решение уравнения (11.7). Для этого из произвольно выбранного

полюса (11.8, б) в произвольно выбранном масштабе отложим вектор

Если бы нам была известна скорость то, отложив от точки вектор мы получили бы точку и, очевидно, вектор был бы равен вектору скорости Но нам известно лишь направление вектора Поэтому поступим следующим образом- через точку проведем прямую, перпендикулярную отрезку Конец вектора должен лежать на этой прямой. Проведем теперь из полюса прямую, параллельную вектору скорости точки Пересечение этих прямых и определит точку причем вектор а вектор

Зная теперь векторы скоростей точек найдем скорость точки На основании формул

можно записать:

Проведем из точки прямую перпендикулярно отрезку (так как Конец вектора должен лежать на этой прямой. Из точки проведем прямую перпендикулярно отрезку Конец вектора лежит на этой прямой. Следовательно, точка пересечения прямых, проведенных нами из точек определит точку в соответствии с равенством (11.8) будем иметь

Соединяя точки прямой, получим

Для нахождения скорости точки следует использовать формулы

и провести аналогичные построения.

Фигура (рис. 11.8, б) представляет собой графическую картину распределения скоростей точек плоской фигуры называется планам скоростей. Точки называются вершинами, а точка — полюсом плана скоростей; векторы называются лучами и представляют собой скорости соответствующих точек. Векторы, соединяющие вершины плана скоростей т. е. векторы равны скоростям точек при вращении фигуры вокруг соответствующих полюсов.

Легко показать, что треугольник относительных скоростей на плане скоростей подобен соответствующему треугольнику плоской фигуры и повернут по отношению к нему на угол Так как то

а следовательно, треугольник подобен треугольнику и повернут по отношению к нему на угол

Построив план скоростей можно определить угловую скорость плоской фигуры. Так как и т.д., то, приняв во внимание принятый масштаб построения плана скоростей, угловую скорость найдем по формуле

Пример №56

Определить скорость точки механизма, изображенного на рис. 11.9, а, путем построения плана скоростей, если известно, что угловая скорость стержня равна

Скорость точки будет равна по модулю и направлена, как показано на рисунке. Направление скорости точки перпендикулярно стержню Для определения скорости точки мы сначала должны найти скорость точки принадлежащей как стержню так и стержню

Отложим от полюса вектор из точки проведем прямую, перпендикулярную стержню (рис. 11.9, б). Прямая, проведенная из точки параллельно направлению скорости точки пересечет прямую, проведенную из точки в точке и, следовательно, вектор будет равен Точку на плане скоростей получить путем нахождения точки пересечения прямых

линий, проведенных из точки перпендикулярно стержню и из точки перпендикулярно нельзя, так как эти линии сливаются. Поэтому для нахождения точки воспользуемся соотношениями (11.9):

Это значит, что точка делит отрезок в том же отношении, что и точка —отрезок Таким образом, находим точку Вектор

Теперь проведем из точки прямую, параллельную направлению скорости точки а из точки прямую, перпендикулярную стержню Пересечение этих прямых определит точку причем

Мгновенный центр скоростей. Центроиды

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Докажем теорему о существовании мгновенного центра скоростей: если угловая скорость плоской фигуры отлична от нуля, то мгновенный центр скоростей существует.

Пусть скорость произвольной точки плоской фигуры отлична от нуля (в противном случае точка была бы мгновенным центром скоростей).

По знаку угловой скорости определяем направление вращения плоской фигуры вокруг точки и в этом направлении откладываем от точки отрезок перпендикулярно скорости

На рис. 11.10 предполагается, что и поэтому отрезок повернут относительно против хода часовой стрелки.

Докажем, что скорость полученной точки равна нулю т. е. эта точка и есть мгновенный центр скоростей.

В соответствии с формулой (11.7) имеем

Так как скорость перпендикулярна то вектор параллелен Кроме того, в соответствии с правилом построения отрезка векторы имеют противоположные направления. Модуль скорости равен

Два вектора, равных по величине и противоположно направленных, в сумме равны нулю. Следовательно,

т. е. скорость точки равна нулю.

Выберем теперь за полюс точку Тогда скорость произвольной точки плоской фигуры найдется по формуле (рис. 11.11)

так как

Отсюда следует, что скорости точек тела при его плоском движении распределяются точно так же, как и при вращательном движении. Роль неподвижной оси играет мгновенная ось, проходящая через мгновенный центр скоростей перпендикулярно плоскости движения. Таким образом, скорости всех точек фигуры перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром скоростей а модули скоростей пропорцинальны расстояниям до мгновенного центра скоростей

Зная положение мгновенного центра скоростей, можно найти скорости всех точек плоской фигуры, если известна скорость какой-либо ее '.очки.

В самом деле, пусть известна, например, скорость точки тогда из равенства найдем и скорость любой точки будет Соединив конец вектора с точкой получим эпюру распределения скоростей вдоль отрезка (см. рис. 11.11).

Используя основные свойства мгновенного центра скоростей, можно определить его положение и в других случаях. На рис. 11.12, а показано, как находится эта точка, когда известны направления скоростей двух точек. Из точек восставлены перпендикуляры к Точка находится на их пересечении. Если скорости точек параллельны и то для определения мгновенного центра скоростей следует воспользоваться свойством пропорциональности модулей скоростей расстояниям точек до мгновенного центра скоростей. На рис. 11.12, б и в показано, как находится мгновенный центр в этих случаях. На рис. 11.12, г показан случай, когда параллельны, но не перпендикулярна отрезку Очевидно, что в этом случае прямые, перпендикулярные и пересекаются в бесконечности и мгновенного центра скоростей не существует. В самом деле на основании теоремы о проекциях скоростей имеем Отсюда Из формулы (11.7) следует что

при этом т. е. угловая скорость фигуры равна нулю Значит, в данный момент времени скорости всех точек плоской фигуры равны по модулю и направлению и, следовательно, точки, линейная скорость которой равна нулю, не существует.

При качении без скольжения одного тела по поверхности другого (рис. 11.12, д) мгновенный центр скоростей совпадает с точкой соприкосновения тел (так как при отсутствии скольжения скорость точки соприкосновения равна нулю).

Использование мгновенного центра скоростей очень часто упрощает решение задачи.

Пример №57

В двухползунковом кривошипном механизме кривошип вращается вокруг оси с постоянной угловой скоростью (рис. 11.13). Длины шатунов равны между собой При горизонтальном (Правом) положении кривошипа определить: 1) угловые скорости шатунов 2) скорость ползуна

В рассматриваемом механизме звенья совершают плоское движение. Определим положение мгновенных центров скоростей шатунов Восставляя перпендикуляры к направлениям скорости точки и скорости точки (точка движется по горизонтальной прямой), убеждаемся, что мгновенный центр скоростей шатуна в данный момент времени совпадает с точкой (рис. 11.13).

Модуль скорости точки как точки кривошипа равен с другой стороны, модуль скорости этой же точки как точки шатуна будет

где —угловая скорость шатуна

Следовательно, и

Модуль скорости точки шатуна равен

Направление вектора перпендикулярно

Так как скорости точек параллельны, то мгновенный центр скоростей шатуна лежит в бесконечности и угловая скорость шатуна равна нулю. Значит,

В отличие от чисто вращательного движения, при плоском движении мгновенный центр скоростей меняет, вообще говоря, свое положение на плоскости. Если наклеить на фигуру, совершающую плоское движение, лист бумаги и в каждый момент-времени прокалывать иглой мгновенный центр скоростей, то получатся две серии отметок: одна на неподвижной плоскости, другая на листе, связанном с фигурой.

Геометрическое место мгновенных центров скоростей, отмеченных на неподвижной плоскости, называется неподвижной центро-идой.

Геометрическое место мгновенных центров скоростей, отмеченных на плоскости, жестко связанной с фигурой, называется подвижной центроидой.

При качении цилиндра по горизонтальной плоскости (рис. 11.12; д) неподвижная центроида— горизонтальная прямая, а подвижная — окружность.

В каждый момент времени подвижная и неподвижная центроиды имеют общую точку касания—мгновенный центр скоростей т. е. точку, скорость которой равна нулю. Поэтому плоское движение можно представить, как качение без скольжения подвижной центроиды по неподвижной.

Пример №58

Определить центроиды подвижного звена антипараллелограмма у которого звено закреплено неподвижно,

Изобразим в точках скорости Перпендикуляры к ним пересекаются в точке (рис. 11.14) —мгновенном центре скоростей звена Треугольники равны по трем сторонам. Следовательно, и треугольник равнобедренный. Поэтому

Отсюда вытекает, что точка неподвижной плоскости , жестко связанной со звеном описывает эллипс с фокусами в а в подвижной плоскости, связанной со звеном —эллипс с фокусами в Первая кривая является неподвижной центроидой (она заштрихована), вторая —подвижной.

Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорений

Для определения ускорения точки плоской фигуры продифференцируем равенство (11.7) по времени:

В этом соотношении — соответственно ускорения точек —вектор углового ускорения. Вектор как и вектор направлен перпендикулярно плоскости фигуры и определяется формулой

Таким образом, ускорения точек связаны между собой соотношением

Два последних слагаемых в равенстве (11.11) определяют ускорение точки В при закрепленной точке Поэтому их сумма

дает ускорение точки во вращательном движении относительно системы координат

При изучении вращательного движения мы уже выяснили, как направлены составляющие вектора ускорения Легко еще раз убедиться, пользуясь правилом составления векторного произведения, что имеет направление, совпадающее с (от точки к полюсу), а перпендикулярно Сохраним за этими составляющими старые названия —■ осестремительного (или центростремительного) и вращательного ускорений, т. е.

Модули этих составляющих будут

На рис. 11.15 геометрически сложены три вектора и определено ускорение точки В при помощи формулы

Таким, образом, ускорение любой точки плоской фигуры геометрически складывается из ускорения полюса и осестремительного и вращательного ускорений во вращательном движении фигуры относительно полюса.

Заметим, что при решении задач, прежде чем устроить ускорение точки по формуле (11.13), необходимо вычислить угловую скорость тела, его угловое ускорение и выбрать полюс. За полюс выбирается обычно такая точка, ускорение которой легко находится из условия задачи. Иногда, зная, например, направление искомого ускорения точки, угловое ускорение можно определить по формуле (11.13).

Из (11.12) найдем угол, составленный вектором с направлением на полюс (рис. 11.15),

Отсюда видно, что этот угол, во-первых, не зависит от выбора полюса и, во-вторых, для всех точек при фиксированном времени одинаков.

Модуль ускорения точки при вращении фигуры вокруг полюса также находится из равенства (11.12)

Он зависит от расстояния точки до полюса.

Введем понятие мгновенного центра ускорений. Мгновенным центром ускорений называется точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю.

Для построения мгновенного центра ускорений будем предполагать, что нам известны ускорение одной из точек угловая скорость и угловое ускорение причем предполагается, что не равны нулю одновременно. Из точки отложим под углом к ускорению отрезок

При этом, если то угол откладывается против хода часовой стрелки (рис. 11.16), при противоположном знаке — по ходу часовой стрелки.

Убедимся в том, что ускорение точки равно нулю. Выбрав за полюс точку получим

Как мы уже отметили ранее, угол между ускорением точки относительно полюса и направлением на полюс не зависит от выбора полюса. Следовательно, составляет с направлением угол Такой же угол составляет и Поэтому векторы и параллельны (рис. 11.16). В ciftiy принятого правила отсчета угла ускорения будут всегда противоположно направлены. Остается теперь установить, что они равны по модулю. Вспоминая (11.14) и подставляя (11.15), получим

Отсюда следует:

Таким образом, мы доказали, что точка —мгновенный центр ускорений. Ускорение любой точки в данный момент времени теперь может быть определено так же, как и при вращении вокруг неподвижной оси:

(поскольку

Следует иметь в виду, что мгновенный центр ускорений и мгновенный центр скоростей,— вообще говоря, разные точки. В этом легко убедиться, рассмотрев простой пример. Допустим, диск катится по горизонтальной плоскости без скольжения (рис. 11.12, д) и скорость его центра постоянна. Как мы уже знаем, мгновенный центр скоростей находится в точке касания Так как вектор скорости точки постоянен, то ускорение центра диска равно нулю. Таким образом, мгновенный центр ускорений совпадает с центром диска, а мгновенный центр скоростей — с точкой касания.

План ускорений

В этой лекции мы рассмотрим методы графического определения ускорений точек плоской фигуры.

Пусть заданы скорости точек плоской фигуры (рис. 11.17) (построен план скоростей), ускорение точки и направление ускорения точки Определим ускорения точек плоской фигуры. На основании формулы (11.13) для данных точек фигуры можно записать

В этом уравнении вектор известен по модулю и направлению, вектор известен по направлению —направлен от точки к точке а его модуль определяется по формуле

Вектор направлен перпендикулярно а вектор —вдоль линии Поэтому уравнение (11.13) можно графически решить следующим образом.

Выбирая соответствующий масштаб, из произвольной точки (полюса построения) проводим вектор геометрически равный вектору К вектору прикладываем вектор геометрически равный вектору Через точку проводим прямую, перпендикулярную (параллельно вектору на этой прямой будет лежать конец вектора —последнего слагаемого векторной суммы, а следовательно, и конец вектора Для определения модуля вектора проведем из точки прямую, параллельную На этой прямой лежит конец вектора следовательно, конец вектора будет лежать в точке пересечения прямых, проведенных параллельно векторам из точек

Таким образом, мы построили векторы и

Для определения ускорения точки можем написать следующие два уравнения:

В первом уравнении нам известен вектор по модулю и направлению, вектор мы знаем по направлению (он направлен от точки к точке а модуль его определяется по формуле

Вектор известен только по направлению (он перпендикулярен Вектор не известен ни по модулю, ни по направлению. Поэтому первое уравнение графически решить нельзя. Точно так же нельзя решить и второе уравнение, так как в него входит искомый вектор и вектор неизвестный по модулю.

Из уравнений (11.16) следует

В этом уравнении вектор направлен от точки к точке модуль же вектора определится из равенства

Вектор перпендикулярен отрезку Таким образом, в уравнение (11.17) входят известные векторы и векторы известные по направлению. Следовательно, уравнение (11.17) можно решить графически.

К построенному вектору прикладываем вектор и через точку проводим прямую, перпендикулярную вектору Вдоль этой прямой будет направлен вектор следовательно, на этой прямой будет лежать конец вектора К построенному вектору прикладываем вектор и через точку перпендикулярно проводим прямую. Вдоль этой прямой будет направлен вектор следовательно, и на этой прямой будет лежать конец вектора

Так как конец вектора должен лежать на прямых, перпендикулярных векторам и то он лежит в точке их пересечения Таким образом, полученный вектор будет вектором ускорения точки Итак, мы определили графически ускорения точек Векторы выходящие из полюса будут векторами ускорений точек

Фигура (рис. 11.17, в), представляющая собой графическую картину распределения ускорений точек в плоской фигуре, называется планом ускорений.

На плане ускорений векторы суть ускорения точек обусловленные вращением фигуры вокруг соответствующих полюсов, причем

Построив план ускорений, легко показать, что фигура подобна фигуре и повернута по отношению к ней на угол определяется по формуле

Действительно, согласно формулам (П. 18) отрезки пропорциональны отрезкам поэтому Далее, так как то векторы составляют с отрезками угол

Если из плана скоростей мы можем определить угловую скорость плоской фигуры, то из плана ускорений можно определить угловое ускорение плоской фигуры. Действительно, так как

то

Следует заметить, что при всех вычислениях нужно принимать во внимание принятый масштаб построения планов скоростей и ускорений.

Пример №59

Определить ускорение точки механизма, изображенного на рис. 11.18, а.

План скоростей для этого механизма нами уже построен (рис. 11.9, б). Полное ускорение точки направлено к точке так как угловая скорость постоянна, а модуль ускорения точки равен Модуль и направление ускорения точки нам неизвестны. Определить ускорение точки можно, например, следующим образом. Согласно формуле (11.13) имеем

Вектор нам известен, вектор направлен от точки к точке а его модуль равен (величину берем из плана скоростей), вектор перпендикулярен отрезку

Из какой-либо произвольной точки (рис. 11.18,6) отложим вектор (в произвольно выбранном масштабе), к точке приложим вектор через точку проведем прямую, перпендикулярную отрезку (или вектору Очевидно, что конец вектора должен лежать на этой прямой.

Так как стержень вращается вокруг точки то можно представить вектор ускорения в следующем виде:

где -осестремительное ускорение точки относительно направленное к точке и равное по модулю (величина берется из плана скоростей), a — вращательное ускорение точки относительно направленное перпендикулярно Отложим теперь от точки векгор

а через точку проведем прямую, перпендикулярную стержню Конец вектора должен лежать на этой прямой. Следовательно, конец вектора находится в точке пересечения прямых, проведенных из точек т. е.

Построив вектор мы можем перейти к определению ускорения точки Заметим, что вектор Так как векторы образуют с направлением стержня один и тот же угол то векторы будут лежать на одной прямой. Для нахождения точки воспользуемся зависимостями (11.18). Из них следует, что

т. е. точка делит отрезок внешним образом на части, пропорциональные отрезкам, на которые точка делит отрезок Таким образом, построив точку находим, что

Ускорение точки определяется формулой

Вектор мы только что нашли, вектор направлен от точки к точке и по модулю равен а вектор перпендикулярен стержню Направление ускорения точки известно (точка совершает прямолинейное движение). Из точки отложим вектор (параллельно стержню Проведя теперь из точки прямую, перпендикулярную стержню найдем ее точку пересечения с прямой, проходящей через точку и параллельной направлению ускорения точки Эта точка пересечения и будет точкой и, следовательно,

Пример №60

В двойном кривошипно-шатунном механизме, изображенном на рис. 11.19, размеры звеньев следующие: Расстояние между ползунами Оси кривошипов расположены на одной прямой с направляющей ползунов Расстояние Определить угловую скорость ведомого кривошипа в момент,

когда кривошип перпендикулярен направляющей если угловая скорость кривошипа в этот момент равна Найдем расстояние Из рис. 11.19 следует:

Скорости точек оказались параллельными. Следовательно, на основании равенства проекций скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, их соединяющую, имеем

Заметим, что ползуны составляют одно тело и движутся поступательно, поэтому

Найдем мгновенный центр скоростей для шатуна Восставим перпендикуляры к скоростям точка их пересечения —мгновенный центр скоростей шатуна

Скорости точек относятся как их расстояния до мгновенного центра скоростей

Из следует (по условию

Отсюда получим

Искомая угловая скорость кривошипа равна

Пример №61

Стержень движется в вертикальной плоскости так, что его нижний конец скользит по горизонтальной прямой а сам стержень все время опирается в точке на выступ, высота которого равна (рис. 11.20).

Найти неподвижную и подвижную центроиды. Начало неподвижной системы координат возьмем в точке (у основания выступа), а ось направим по прямой Начало подвижной системы координат возьмем в нижнем конце стержня и ось направим вдоль стержня.

Так как скорость точки направлена горизонтально, а точки стержня, совпадающей сточкой — вдоль стержня, то мгновенный центр скоростей лежит в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек к направлениям скоростей этих точек.

Вводя в рассмотрение угол между стержнем и горизонтальной прямой, получим для координат мгновенного центра скоростей в неподвижной системе координат следующие выражения:

Исключая из этих уравнений угол получим уравнение неподвижной центроиды:

Это —уравнение параболы. На рис. 11.20 неподвижная центроида заштрихована. Координаты мгновенного центра скоростей в подвижной системе координат будут

Исключая из этих уравнений, получим уравнение подвижной центроиды

Подвижная центроида является кривой четвертого порядка.

Пример №62

Коромысло длиной 40 см, качаясь вокруг оси приводит в движение шатун длиной 80 см. Ползун скользит по направляющей составляющей с горизонтальной линией угол Найти ускорение ползуна и угловое ускорение шатуна в момент, когда угол (рис. 11.21), если в этот момент угловая скорость кривошипа равна а его угловое ускорение

Согласно формуле (11.13) имеем

Ускорение точки направлено к точке и равно

Осестремительиое ускорение направлено от точки к точке и равно

где —угловая скорость шатуна

Для определения угловой скорости найдем скорость точки и мгновенный центр скоростей шатуна который лежит в точке пересечения перпендикуляров к скоростям точек этого тела; следовательно, мгновенный центр скоростей звена находится в данный момент в точке (см. рис. 11.21) Треугольник — прямоугольный и равнобедренный:

Угловая скорость определится по формуле

Подставляя значение в формулу для получим

Вектор направлен вдоль прямой Вращательное ускорение направлено перпендикулярно

Выберем в указанном положении ползуна две взаимно перпендикулярные оси, одну ось направим вдоль а другую —перпендикулярно к ней; тогда, проектируя обе части исходного векторного равенства на выбранные оси, получим

Отсюда находим

Угловое ускорение шатуна определяется по формуле

Пример №63

Кривошип кривошипно-шатунного механизма (рис. 11.22) делает 3000 оборотов в минуту. Определить угловую скорость и угловое ускорение шатуна, скорость и ускорение поршня и средней точки шатуна, а также положения мгновенных центров скоростей и ускорений в моменты времени, когда

Определим искомые величины в момент, когда (см. рис. 11.22, а). Скорости параллельны, следовательно, угловая скорость шатуна

и

Из условий задачи следует, что

а ускорение точки равно

и направлено к точке

Обозначая через угловое ускорение шатуна положение мгновенного центра ускорений шатуна определим с помощью формул: но тогда Следовательно, мгновенный центр ускорений лежит на прямой, перпендикулярной ускорению точки и проходящей через эту точку. Одновременно мгновенный центр ускорений лежит на прямой, проведенной через точку перпендикулярно ускорению точки Так как ускорение точки направлено параллельно оси цилиндра (вдоль то мгновенный центр лежит в точке

Ускорение точки как точки, принадлежащей шатуну, равно

но так как то

Отсюда

тогда ускорение точки будет

a ускорение точки

Определим искомые величины во втором положении, когда (рис. 11.22, 6). Мгновенный центр скоростей шатуна будет находиться в точке Угловая скорость шатуна найдется из формулы

отсюда

Скорость точки равна нулю, а скорость точки будет равна

Для определения положения мгновенного центра ускорений необходимо найти угловое ускорение шатуна. Для этого воспользуемся формулой

В этом уравнении вектор направлен к точке вектор направлен от точки к точке и вектор направлен вдоль линии Так как вектор параллелен двум слагаемым векторам то вектор перпендикулярный вектору равен нулю. Но следовательно,

Зная ускорение точки угловую скорость и угловое ускорение шатуна можем найти положение мгновенного центра ускорений шатуна:

Точка лежит на продолжении прямой слева от точки Ускорение точки определится по формуле

где

Ускорение точки находится по формуле

где — расстояние от точки до мгновенного центра ускорений, равное 1,05 м.

Пример №64

Шестерня радиуса приводится в движение кривошипом вращающимся вокруг оси неподвижной шестерни радиуса по закону Определить ускорения точек и положение мгновенного центра ускорений (рис. 11.23).

Найдем сначала угловую скорость и угловое ускорение шестерни Кривошип вращается вокруг оси с угловой скоростью Поэтому скорость точки перпендикулярна кривошипу и равна по модулю

Так как точка принадлежит одновременно шестерне то ее скорость определяется равенством (точка является мгновенным центром скоростей)

где — угловая скорость шестерни Сравнивая оба выражения для найдем

Отсюда

Дифференцируя это соотношение по времени, найдем угловое ускорение шестерни

Осестремительиое ускорение точки как точки кривошипа направлено к и по модулю равно Вращательное ускорение точки перпендикулярно прямой и равно по модулю Таким образом,

На рис. 11.23 направление показано в предположении, что

Ускорения точек будем искать по формуле (11.13), приняв точку за полюс Для точки имеем

Ускорение точки уже найдено через составляющие Осестремительное ускорение точки относительно точки направлено к (см. рис. 11.23), модуль этого ускорения равен Подставляя значение будем иметь

Вращательное ускорение точки относительно точки перпендикулярно прямой и модуль этого ускорения равен или

Так как, по предположению, Поэтому вращательное ускорение будет иметь направление, указанное на рис. 11.23.

Проектируя обе части равенства (11.20) на оси (см. рис. 11.23) и принимая во внимание формулы (11.19), получим

Из этих выражений видно, что ускорение точки направлено к точке и равно по модулю

Для точки формула (11.13) примет вид

Вращательное ускорение точки относительно точки по модулю равно, конечно, его направление указано на рис. 11.23. Осестремительное ускорение точки направлено к и по модулю равно Проектируя последнее равенство на оси получим

Модуль ускорения точки равен

Аналогично находится ускорение точки Имеем

направление ускорений показано на рис. 11.23. Проектируя равенство

на оси получим

Отсюда

Расстояние от точки до мгновенного центра ускорений в соответствии с формулой (11.15) равно

Для определения угла между ускорением и отрезком воспользуемся формулой

Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. свободное твердое тело

Движение тела, имеющего одну неподвижную точку, называют иногда сферическим движением или вращением тела вокруг неподвижной точки. Первый термин объясняется тем, что все точки тела движутся по поверхностям сфер, общий центр которых совпадает с неподвижной точкой.

Задание движения. Углы Эйлера

В главе 10 мы установили, что твердое тело с одной закрепленной точкой имеет три степени свободы. Три параметра, определяющих положение такого тела относительно неподвижной системы координат (рис. 12.1), могут быть выбраны различными способами. В теоретической механике положение тела с одной неподвижной точкой, как правило, определяют при помощи углов Эйлера, которые вводятся следующим образом.

Свяжем жестко с телом подвижную систему координат выбрав начало координат в неподвижной точке (рис. 12.1). пересекается с неподвижной плоскостью вдоль прямой которая называется линией узлов. Угол, составляемый неподвижной осью с линией узлов, называется утлом прецессии и обозначается буквой Угол, составляемый линией узлов с подвижной осью носит название угла собственного вращения и обозначается буквой Угол между осями называется углом нутации и обозначается буквой Все углы отсчитываются соответственно от осей против хода часовой стрелки, как показано на рис. 12.1.

Покажем, что, зная три функции можно всегда найти положение системы координат а следовательно, и положение тела, скрепленного с ней. Действительно, откладывая от оси угол прецессии мы найдем линию узлов Проведем через точку плоскость, перпендикулярную линии узлов, и от оси (эта ось должна лежать в построенной плоскости) отложим угол нутации Таким образом, будет определено положительное направление оси Через точку проведем плоскость, перпендикулярную оси эта плоскость пройдет через линию узлов Отложим теперь в построенной плоскости от линии узлов угол собственного вращения и определим положительное направление оси Ось должна лежать в той же плоскости и составлять вместе с осями правую систему координат. Таким образом, углы полностью определяют положение осей подвижной системы.

Углы, определяющие положение тела, можно ввести и другим способом. Например, положение корабля относительно его центра тяжести С определяется корабельными углами, введенными А. Н. Крыловым. Ось жестко связанной с кораблем системы координат направляется от кормы к носу, ось — к левому борту, ось расположена в диаметральной плоскости корабля. В положении равновесия корабля оси системы координат совпадают с осями неизменного направления системы координат Угол между осью и линией образованной пересечением плоскостей (рис. 12.2), называется углом дифферента, угол между линией и осью называется углом рыскания. Угол между осью и линией пересечения плоскостей называется углом крена.

Распределение скоростей точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Мгновенная ось вращения. Мгновенная угловая скорость

Пусть твердое тело имеет одну неподвижную точку Свяжем жестко с телом систему координат (рис. 12.3). Система координат однозначно определяет положение рассматриваемого тела по отношению к неподвижной системе отсчета . Положение произвольной точки твердого тела определяется радиусом-вектором Если — координаты точки в подвижной системе координат, a —единичные векторы осей этой системы координат, то радиус-вектор можно представить в виде

Координаты точки в подвижной системе отсчета являются постоянными величинами, а единичные векторы будут функциями времени, так как система координат движется вместе с твердым телом.

Скорость точки определяется по формуле

поэтому, дифференцируя (12.1) по получим

Умножая обе части равенства (12.2) скалярно на получим

Так как векторы взаимно перпендикулярны, то

Дифференцируя эти равенства по времени, найдем две группы формул:

Выражения (12.3) при этом примут вид

Формулы (12.7) содержат три скалярные функции времени,

для которых введем обозначения:

Перепишем теперь формулы (12.7) в виде

Так как

то, в соответствии с выражением (12.9), имеем

Если теперь ввести вектор с проекциями

то скорость точки можно представить векторным произведением Итак, скорость точки тела, совершающего сферическое движение, определяется формулой

Геометрическое место точек, скорость которых равна нулю, определяется из уравнения

представляющего собой условие коллинеарности векторов Это векторное уравнение в системе координат можно записать в виде

Уравнения (12.12) определяют прямую линию, направляющие косинусы которой пропорциональны проекциям вектора В общем случае вектор и его проекции являются функциями времени, поэтому положение прямой (12.12) изменяется как относительно тела, так и относительно неподвижной системы координат

Прямая (12.12), в каждой точке которой скорости точек тела в данный момент равны нулю, называется мгновенной осью вращения. (Она также называется мгновенной осью скоростей.)

Введенный нами вектор направлен по мгновенной оси вращения.

Как уже было установлено, скорость любой точки тела определяется формулой (12.10), совпадающей по своей форме с выражением для скоростей точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью (см. формулу (10.13)). Следовательно, скорости точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, распределяются так, как если бы тело вращалось вокруг оси, совпадающей в данный момент с мгновенной осью вращения. В частности, модуль скорости точки в данный момент определяется равенством

где — расстояние от точки до мгновенной оси вращения. Скорость точки направлена перпендикулярно плоскости, проходящей через ее радиус-вектор и мгновенную ось вращений (рис. 12.4).

По аналогии с вращением тела вокруг неподвижной оси назовем в рассматриваемом нами случае сферического движения тела вектор вектором угловой скорости. При этом следует иметь в виду, что при вращении тела вокруг неподвижной оси вектор угловой скорости представляет собой вектор, всегда направленный по неподвижной оси вращения и характеризующий изменение во времени реального угла поворота тела. Для тела, имеющего одну неподвижную точку, выражение «угловая скорость» имеет условный характер, так как положение тела определяется не одним, а тремя углами и, следовательно, нет такого одного угла, скорость изменения которого представил бы введенный вектор Кроме того, этот вектор может меняться и по модулю и по направлению. Проекции этого вектора на координатные оси являются функциями умов Эйлера и их первых производных.

Отметим, что из формул (12.8) для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, например, вокруг оси можно получить

так как

Если известны направления скоростей двух точек тела, то мгновенную ось вращения можно найти графически. Как следует из картины распределения скоростей точек тела в данный момент времени, мгновенная ось вращения лежит в плоскости, перпендикулярной направлению скорости точки тела, и проходит через неподвижную точку тела. Следовательно, если через точки тела, направления скоростей которых известны, провести плоскости, перпендикулярные этим скоростям, то линия пересечения этих плоскостей и будет мгновенной осью вращения.

Мгновенную ось вращения можно определить и в том случае, когда известна одна точка тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Соединяя эту точку с неподвижной точкой тела, найдем мгновенную ось вращения.

К понятию о мгновенной оси вращения можно прийти и другим путем. Для этого сначала докажем теорему Эйлера—Даламбера:

Всякое перемещение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, можно заменить одним поворотом вокруг оси, проходящей через неподвижную точку.

Возьмем в теле две точки отстоящие от неподвижной точки на одинаковом расстоянии, но не лежащие с ней на одной прямой. Проведем через эти две точки сферу с центром в неподвижной точке (рис. 12.5). Пусть в момент времени положение тела определяется точками К моменту времени эти точки переместятся и займут положение

Для доказательства теоремы нам достаточно показать, что поворотом тела вокруг некоторой оси, проходящей через точку можно добиться совмещения точек с точками Соединим точки дугами больших кругов. Тогда так как в твердом теле расстояния между точками сохраняются. Соединим теперь также дугами больших кругов точки (рис. 12.5). Из середины дуг —точек — проведем сферические перпендикуляры—дуги больших кругов, плоскости которых перпендикулярны плоскостям кругов Эти сферические перпендикуляры пересекаются в точке на сфере (см. рис. 12.5).

Рассмотрим сферические треугольники (треугольники, составленные дугами больших кругов) В этих треугольниках дуга равна дуге и дуга равна дуге как наклонные дуги, имеющие равные проекции. Отсюда следует, что сферические треугольники равны (по трем сторонам) и, следовательно, при повороте вокруг их общей вершины треугольник совместится с треугольником При таком повороте остаются неподвижными две точки тела: точка и точка Таким образом, перемещение тела может быть осуществлено при помощи одного поворота вокруг оси

Ось называют осью конечного вращения, а угол называется углом конечного вращения.

Положение оси зависит от начального и конечного положений тела.

Зафиксируем начальный момент времени и рассмотрим близкий к нему момент времени Сравнивая положение тела в момент с его положением в момент мы всегда можем найти ось конечного вращения. Если теперь промежуток времени устремить к нулю, то ось конечного вращения будет менять положение, стремясь к своему предельному положению. Предельное положение оси конечного вращения при называется мгновенной осью вращения для момента времени

Для каждого промежутка времени с фиксированным начальным моментом времени можно определить угол конечного поворота Введем в рассмотрение вектор угла конечного поворота, равный по модулю и направленный по оси в сторону, откуда конечный поворот виден происходящим против хода часовой стрелки Средней угловой скоростью будем называть вектор, равный

Предел средней угловой скорости, когда промежуток времени

называется мгновенной угловой скоростью тела (рис. 12.6) *). Из этого определения следует, что вектор угловой скорости направлен по мгновенной оси вращения.

Положение точки тела в неподвижной системе координат определяется координатами а вектор имеет проекции Тогда, в соответствии с формулой (12.10), проекции скорости точки на неподвижные оси координат будут

Уравнение мгновенной оси вращения в неподвижной системе координат имеет вид

Геометрическое место мгновенных осей вращений, построенных в неподвижной системе координат, называется неподвижным аксоидом, а в подвижной системе координат — подвижным аксоидом.

Из уравнений (12.14) следует

Полученные уравнения дают уравнение неподвижного аксоида в параметрическом виде; параметром служит время Исключая из этих уравнений можно получить уравнение конической поверхности (неподвижного аксоида)

Аналогично, исключая время из уравнений

полученных из формул (12.12), найдем уравнение подвижного аксоида

Пример №65

Коническая шестерня (рис. 12.7) обкатывает неподвижную коническую шестерню Определить угловую скорость шестерни и неподвижный и подвижный аксоиды, если а скорость центра шестерни равна

Так как движение шестерни происходит без скольжения, то скорость ее точки равна нулю. Неподвижной точкой является точка пересечения осей шестерен. Следовательно, прямая является мгновенной осью вращения шестерни Геометрическое место мгновенных осей вращений, которое образуется при качении шестерни — конус с вершиной в точке основанием которого является неподвижная шестерня В системе же координат, связанной с подвижной шестерней наблюдатель, следящий за мгновенной осью вращения, заметит, что эта ось описывает боковую поверхность конуса, имеющего вершину в точке и основанием подвижную шестерню

Теперь перейдем к определению направления и модуля угловой скорости. В соответствии с формулой (12.10), скорость точки равна

Отсюда следует, что вектор направлен по мгновенной оси вращения от точки к точке Далее имеем

Ускорения точек тела, имеющего одну неподвижную точку

Введем прежде всего понятие углового ускорения. Угловым ускорением называется производная угловой скорости по времени, т.е

Из определения видно, что вектор углового ускорения можно рассматривать как скорость конца вектора (рис. 12.8). Угловое ускорение направлено по касательной к годографу вектора угловой скорости (рис. 12.8), поэтому его направление может быть каким угодно в зависимости от закона изменения вектора угловой скорости. Заметим попутно, что годограф вектора угловой скорости — кривая, лежащая на неподвижном аксоиде (рис. 12.8).

Перейдем теперь к определению ускорения произвольной точки тела. Исходя из определения ускорения и используя равенство (12.10), получим

Но

следовательно,

Таким образом, ускорение может быть представлено как сумма двух ускорений:

Ускорение называется вращательной составляющей ускорения. Модуль этого ускорения равен

где — расстояние от точки до вектора Направлено это ускорение перпендикулярно плоскости векторов в ту сторону, откуда кратчайший переход от вектора к вектору виден против хода часовой стрелки. Заметим, что вследствие несовпадения направлений угловой скорости и углового ускорения вращательная составляющая ускорения может быть направлена по отношению к направлению скорости под любым углом, оставаясь перпендикулярной вектору В этом существенное различие между вращением твердого тела вокруг неподвижной оси и движением тела, имеющего одну неподвижную точку.

Ускорение направлено по перпендикуляру к плоскости векторов т. е. по направлению вектора (рис. 12.9), имеющего начало в точке и конец в основании перпендикуляра, опущенного из точки на мгновенную ось вращения. Модуль векторного произведения равен

так как

Следовательно, можно записать

Это ускорение называется осестремительной составляющей ускорения. Итак, ускорение любой точки тела равно сумме вращательной и осестремительной составляющих ускорения

Пример №66

Найти скорость и ускорение точки конического катка, равномерно катящегося без скольжения по горизонтальной конической кольцевой опоре (рис. 12.10, а). Диаметр катка скорость центра катка и направлена перпендикулярно плоскости чертежа на читателя.

Прежде всего необходимо определить величину и направление угловой скорости и углового ускорения катка

При движении катка точка остается неподвижной. Скорость точки равна нулю (качение без скольжения), поэтому мгновенная ось вращения проходит по прямой Угловая скорость также направлена по от точки к точке Модуль угловой скорости можно определить из равенства

Из имеем тогда

Найдем скорость

Скорость перпендикулярна плоскости чертежа и направлена на читателя.

Конец вектора описывает окружность с центром в точке на вертикальной оси (рис. 12.10, б). Найдем теперь угловое ускорение Вектор определяется как скорость конца вектора следовательно, вектор направлен по касательной к окружности, описываемой вектором т. е. перпендикулярно плоскости чертежа на читателя. Найдем модуль Так как конец вектора движется по окружности, то имеем

Здесь —угловая скорость вращения плоскости в которой расположен вектор вокруг вертикальной оси

Отсюда имеем:

Перейдем к определению ускорения точки

Заметим, что Отсюда

Вектор ускорения направлен перпендикулярно лежит в плоскости и составляет с ускорением угол Тогда

Движение свободного твердого тела

Рассмотрим движение свободного твердого тела. Введем, кроме неподвижной системы координат еще подвижную систему координат перемещающуюся поступательно относительно осей и связанную с телом только в одной точке— точке и подвижную систему координат жестко связанную с телом (рис. 12.11). В подвижной системе координат тело имеет одну закрепленную в ней точку —точку следовательно, тело в этой системе координат участвует в движении. Для того чтобы задать положение тела в подвижной системе координат можно ввести три угла Эйлера а для определения положения относительно неподвижной системы координат нужно, кроме того, задать положение точки для чего потребуется знать еще три величины: Таким образом, положение свободного твердого тела определяется шестью независимыми параметрами:

Перейдем к определению скоростей точек свободного тела. Скорость произвольной точки равна производной от ее радиуса-вектора по времени. Пользуясь рис. 12.11, найдем

Следовательно, Заметим, что — скорость точки кроме того, вектор

представляет собой скорость точки относительно подвижной системы координат в которой тело имеет одну закрепленную точку. Следовательно, согласно формуле (12.10)

Таким образом, формулу (12.19) можно переписать в виде

Здесь —угловая скорость вращения тела относительно системы координат (Так же как и для плоского движения, можно показать, что угловая скорость не зависит от выбора полюса.)

Формулу (12.20) можно прочитать следующим образом: скорость любой точки свободного твердого тела геометрически складывается из скорости произвольно выбранного полюса и скорости этой точки во вращательном движении тела относительно полюса.

Пользуясь формулой (12.20), можно доказать следующую теорему:

Проекции скоростей двух точек свободного твердого тела на прямую, проходящую через эти точки, равны между собой.

Согласно равенству (12.20) имеем

но вектор перпендикулярен вектору следовательно, Определим ускорения точек свободного твердого тела. Для этого продифференцируем по времени равенство (12.20):

Замечая, что угловое ускорение тела в подвижной системе координат получим

Используя (12.17), можно записать

где — вектор, имеющий начало в точке а конец в основании перпендикуляра, опущенного из (рис. 12.12).

В окончательном виде ускорение точки свободного тела выражается следующим образом:

Два последних члена дают ускорение точки в ее движении вокруг полюса.

Таким образом, ускорение точки свободного тела равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки в ее движении вокруг полюса.

Пример №67

Точка твердого тела движется со скоростью по пространственной кривой. Определить угловою скорость естественного трехгранника траектории точки

Пусть — радиус-вектор любой точки неизменно связанной с естественным трехгранником (рис. 12.13). Так как производная определяет скорость точки во вращательном движении координатной системы относительно точки то будем иметь

где — угловая скорость естественного трехгранника. Положив затем получим

или. вводя в рассмотрение длину дуги и применяя очевидное тождество

Воспользуемся теперь формулами Френе, вывод которых можно найти в любом курсе дифференциальной геометрии:

В этих равенствах —радиус кривизны, а — кручение кривой в данной точке, определяемые формулами Заметим, что первая формула Френе была получена нами ранее при выводе формулы (9.30). Теперь последние две формулы (12.23) можно записать в следующем виде:

Умножая первое из этих равенств слева векторно на а вторсе — и учитывая при этом, что имеем

или *)

где — проекции угловой скорости на оси соответственно.

Вычитая из первого равенства второе, найдем

Отсюда и, пользуясь первым равенством (12.25), найдем искомую угловую скорость естественного трехгранника:

Таким образом, зная скорость движущейся точки радиус кривизны и кручение траектории, можно по формуле (12.26) определить угловую скорость естественного трехгранника. Заметим, что вектор лежит в спрямляющей плоскости

Сложное движение точки

В главе IX мы изучали основные характеристики движения точки по отношению к заданной системе отсчета (системе координат). Однако в некоторых случаях бывает целесообразно изучать движение точки одновременно по отношению к двум системам координат, одна из которых совершает заданное движение по отношению к другой (основной), принимаемой за неподвижную. Случай, когда подвижная система координат совершала поступательное движение, был нами частично рассмотрен (приведено доказательство теоремы о сложении скоростей).

Основные определения. Абсолютная и относительная производные от вектора

В этой главе рассматривается общий случай, когда движение подвижной системы координат может происходить по любому заданному закону.

Изучение движения точки по отношению к каждой из этих координатных систем производится методами, изложенными в главе IX. Нашей задачей является установление связи между основными характеристиками этих движений.

Будем называть сложным или «абсолютным» движением точки ее движение по отношению к системе координат, выбранной за основную. Движение точки по отношению к подвижной системе координат будем называть относительным.

Под переносным движением будем понимать движение подвижной системы координат относительно неподвижной.

Установление связи между сложным, относительным и переносным движениями позволит решать разнообразные задачи по определению кинематических характеристик сложного и составляющих движений.

В этой главе мы встретимся с необходимостью дифференцирования вектора, определенного в системе координат, которая может двигаться произвольным образом. В связи с этим мы введем понятия абсолютной и относительной производных вектора. Пусть даны основная система координат и подвижная система координат, которая совершает произвольное движение. Пусть какой-либо вектор определен в подвижной системе координат, т. е. проекции этого вектора на оси подвижной системы— заданные функции времени. Если —единичные векторы подвижной системы координат, то вектор может быть представлен в виде

Установим теперь правило нахождения производной в неподвижной системе координат (абсолютной производной) от этого вектора. Дифференцируя обе части равенства (13.1) по времени, будем иметь в виду, что векторы вследствие движения подвижной системы координат меняют свое направление, т. е. являются функциями времени.

Таким образом, абсолютная производная вектора по времени будет равна

Сумма первых трех слагаемых представляет собой производную от вектора в подвижной системе координат. В самом деле, если бы мы поставили задачей изучить изменение вектора только по отношению к подвижной системе координат, то мы учитывали бы при этом только изменение проекций вектора на оси этой системы координат. Движение же самой системы нас бы не интересовало.

Назовем сумму первых трех слагаемых в (13.2) относительной или локальной производной и обозначим ее через т. е.

Заменяя в формулах (9.11) и (12.10) радиус-вектор последовательно на получим

Поэтому сумма последних трех слагаемых

может быть представлена в виде

где — угловая скорость подвижной системы координат.

Следовательно,

Таким образом, абсолютная производная вектора равна сумме относительной производной этого вектора и векторного произведения угловой скорости подвижной системы координат на этот вектор.

Теорема о сложении скоростей

Выбирая систему координат за основную, предположим, что система координат движется по отношению к основной системе произвольным образом (рис. 13.1). Движение какой-либо точки может быть изучено как по отношению к основной, так и по. отношению к подвижной системам координат методами, изложенными ранее. В данной лекции мы поставим задачу о нахождении связи между скоростями точки по отношению к выбранным нами системам координат.

Скорость точки по отношению к основной системе координат называется абсолютной скоростью.

Скорость точки по отношению к подвижной системе координат называется относительной скоростью.

Важным понятием является о переносной скорости. Переносной скоростью точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка.

Остановимся на этом определении несколько подробнее. Рассматриваемая точка при своем движении относительно подвижного тела, с которым жестко связана подвижная система координат, проходит через разные точки этого тела, имеющие в общем случае отличные друг от друга скорости. Поэтому переносной скоростью точки в данный момент будет скорость именно той точки подвижного тела (подвижной системы координат), через которую в данный момент проходит движущаяся точка.

Если радиус-вектор определяет положение точки по отношению к системе координат радиус-вектор определяет положение начала системы координат

в системе а радиус-вектор определяет положение точки в системе координат то в соответствии с рис. 13.1 имеем

Пусть координаты точки в подвижной системе координат будут тогда

где — единичные векторы осей подвижной системы координат.

По определению абсолютная производная радиуса-вектора по времени будет абсолютной скоростью точки. Следовательно, дифференцируя равенство (13.6) по времени, найдем абсолютную скорость точки

Так как вектор определен в подвижной системе координат, то для нахождения абсолютной производной от него воспользуемся формулой (13.5):

где — угловая скорость подвижной системы координат, а

представляет собой относительную производную от по времени. Согласно определению это буде. относительная скорость точки, т. е.

Подставляя выражения (13.8) и (13.9) в соотношение (13.7), получим

где — скорость начала подвижной системы координат по отношению к основной.

Для определения переносной скорости точки закрепим ее в подвижной системе координат, т. е. положим в формуле (13.10) тогда получим

Таким образом, имеем

т. е. абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Для того чтобы найти абсолютное ускорение точки, т. е. ее ускорение по отношению к основной системе координат, продифференцируем формулу (13.10) по времени:

Абсолютную производную вектора относительной скорости найдем по формуле (13.5):

В этом соотношении есть относительная производная вектора по времени и, следовательно, представляет собой относительное ускорение т. е. ускорение точки по отношению к подвижной системе координат

Используя равенства (13.8), (13.9), (13.14) и (13.15), преобразуем формулу (13.13) к виду

где — ускорение начала подвижной системы координат, а — ее угловое ускорение.

Для того чтобы найти переносное ускорение (ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка!), закрепим точку в подвижной системе координат, т. е. положим В этом случае согласно формуле (13.16) будем иметь

т. е. переносное ускорение представляет собой ускорение точки свободного твердого тела, с которым жестко связана подвижная система координат. Таким образом, имеем

Ускорение, определяемое членом называется поворотным или кориолисовым ускорением и обозначается через т. е.

Итак, имеем

Эта формула выражает содержание теоремы Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений.

При использовании формулы (13.20) полезно иметь в виду, что переносное ускорение следует определять по правилам нахождения ускорения точек твердого тела. При нахождении относительного ускорения подвижную систему координат следует считать неподвижной и использовать правила, изложенные в главе IX. Остановимся несколько подробнее на кориолисовом ускорении

Модуль этого ускорения, очевидно, равен

Направление кориолисова ускорения определяется направлением

векторного произведения векторов т. е. кориолисово ускорение будет направлено перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы в ту сторону, откуда кратчайший переход от виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 13.2). Если векторы не лежат в одной плоскости, удобно бывает мысленно перенести вектор параллельно самому себе в начало вектора скорости и применить указанное выше правило.

Иногда нахождение кориолисова ускорения облегчается применением следующего правила Н. Е. Жуковского (рис. 13.3): проекцию относительной скорости на плоскость, перпендикулярную угловой скорости подвижной системы координат, равную следует умножить на и повернуть на угол вокруг

в направлении вращения. Вектор, равный по модулю и имеющий найденное направление, и будет кориолисовым ускорением.

На основании формулы (13.21) можно указать, что кориолисово ускорение равно нулю в следующих случаях:

1. это будет при поступательном перемещении подвижной системы координат;
2. угловая скорость подвижной системы параллельна относительной скорости
3. в момент времени, когда относительная скорость точки равна нулю.

Пример №68

Круговой спутник пролетает над экватором. Его скорость Плоскость орбиты наклонена к плоскости экватора под углом Определить скорость движения спутника, видимую с Земли на экваторе, и видимое направление движения полярного спутника Радиус Земли (рис. 13.4).

Скорость движения по орбите является абсолютной скоростью в системе координат, движущейся поступательно с началом в центре Земли. Земля в этой системе координат вращается с угловой скоростью

Отложим от оси касательной к экватору, вектор Он составляет с направлением на восток угол

Переносная скорость точки на экваторе равна скорости точки, участвующей во вращательном движении Земли. Следовательно, переносная скорость направлена по касательной к экватору на восток и равна по модулю

Зная абсолютную и переносную скорости точки, можно определить и относительную скорость. Для этого разложим вектор на две составляющие, из которых одна равна Определим проекции относительной скорости на оси (рис. 13.4):

Таким образом, угол составленный относительной скоростью с меридианом, определится из соотношения

а модуль относительной скорости —из равенства

Для полярного спутника и поэтому

Соответствующий угол Знак минус указывает на то, что при направлении абсолютного движения на север видимое с Земли направление скорости отклонено на северо-запад.

Модуль относительной скорости для полярного спутника мало отличается от модуля абсолютной скорости

Пример №69

Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его конец с постоянной угловой скоростью Ползун движется вдоль стержня от точки с постоянной относительной скоростью Определить величину и направление переносного, относительного и кориолисова ускорений ползуна в тот момент, когда (рис. 13.5, а).

Для того чтобы определить переносное ускорение, мысленно закрепим ползун на стержне. Переносным ускорением ползуна будет ускорение той точки стержня, в которой ползун закреплен. Так как стержень вращается с постоянной угловой скоростью то ускорение этой точки (переносное ускорение ползуна) будет направлено к точке и по модулю равно

Относительное движение ползуна равномерное и прямолинейное, поэтому его относительное ускорение равно нулю, т. е. Согласно формуле (13.19) кориолисово ускорение численно будет равно

так как векторы перпендикулярны. Направлено же кориолисово ускорение перпендикулярно стержню в сторону вращения стержня.

В рассматриваемом примере достаточно просто можно показать причину возникновения кориолисова ускорения. В самом деле, при нахождении переносного и относительного ускорений мы не учитывали следующих обстоятельств: во-первых, относительная скорость при вращении стержня меняет свое направление по отношению к неподвижной системе координат; во-вторых, переносная скорость ползуна меняет свою величину вследствие перемещения ползуна из точек стержня с меньшей скоростью в точки стержня с большей скоростью.

Учтем теперь эти обстоятельства.

Пусть в момент времени расстояние точки от точки равно а в момент оно составляет За промежуток времени стержень повернется на угол (рис. 13.5, б). Вектор относительной скорости повернется также на угол Приращение вектора за промежуток очевидно, равно

где — относительная скорость в момент

Из рассмотрения рис. 13.5, б следует, что для достаточно малых модуль вектора будет равен

Разделив обе части равенства на получим

Так как равнобедренный, то при вектор будет направлен перпендикулярно стержню в сторону его вращения.

В момент времени переносная скорость ползуна равна а в момент Приращение величины переносной скорости равно

или, поделив на получим

Вектор учитывающий изменение величины переносной скорости, будет, очевидно, направлен по переносной скорости, т. е. перпендикулярно стержню в сторону его вращения.

Складывая теперь получим

Это и есть кориолисово ускорение, найденное нами ранее при помощи формулы (13.19).

Итак, в рассматриваемом случае кориолисово ускорение появляется, во-первых, вследствие изменения направления относительной скорости по отношению к неподвижной системе координат за счет вращения подвижной системы координат, во-вторых, вследствие перемещения точки из-за относительного движения в сторону больших переносных скоростей.

Пример №70

По ободу диска радиуса вращающегося с постоянной угловой скоростью движется точка с постоянной по модулю относительной скоростью (рис. 13.6, а). Найти абсолютное ускорение точки

Так как диск вращается с постоянной угловой скоростью, то переносное ускорение будет равно

и направлено к центру диска. Относительное ускорение равно

и также направлено к центру диска.

Согласно формуле (13.21) модуль кориолисова ускорения

Направлено же кориолисово ускорение также к центру диска (при относительном движении точки, направленном в сторону, обратную вращению диска, ускорение Кориолиса направлено в противоположную сторону). Таким образом, абсолютное ускорение точки равно

Эту формулу можно получить и иначе. Абсолютная скорость точки равна по модулю

а так как траекторией является окружность, то

Появление кориолисова ускорения в этом примере связано с двумя причинами: изменением направления относительной скорости вследствие вращения диска (подвижной системы координат) и изменением' направления переносной скорости из-за относительного (по отношению к диску) перемещении точки.

Пусть система координат неподвижная, а система координат жестко связана с диском. За промежуток времени точка диска вследствие его вращения переместится в положение Точка же, движущаяся по диску за этот же промежуток времени, переместится в положение (рис. 13.6, б, в).

Приращение относительной скорости, обусловленное вращением диска, обозначим через Из рис. 13.6, б следует, что при достаточно малых

Направление вектора стремится к направлению соответствующего радиуса диска. Модуль же этого вектора стремится к

Приращение вектора переносной скорости, обусловленное относительным перемещением точки, будет равно (рис. 13.6, в)

Так как дуга равна то угол на который повернется переносная скорость из-за относительного перемещения, определится из выражения

Поэтому имеем:

Вектор при по направлению также будет стремиться совпасть с радиусом, а по величине приближается к

Итак, полное приращение вектора скорости, связанное с двумя указанными причинами, приводит к появлению ускорения, перпендикулярного относительной скорости, направленного к центру диска и равного по величине

т. е. к ускорению Кориолиса.

Пример №71

Диск вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр (рис. 13.7). По прямолинейному пазу движется ползун по закону расстояние от центра диска до паза Определить скорость и ускорение ползуна в момент, когда он достигнет середины паза

Абсолютная скорость ползуна определяется по формуле В рассматриваемой задаче подвижная система координат, относительно которой происходит движение ползуна жестко связывается с диском. Следовательно, переносной скоростью ползуна, когда он совпадает с точкой диска, будет скорость точки диска, т. е.

Вектор направлен перпендикулярно

Относительное движение точки является прямолинейным. Относительная скорость равна

Векторы направлены в одну сторону, следовательно, абсолютная скорость ползуна равна

Так как то момент прохождения ползуна через точку определится из соотношения откуда и, следовательно, при имеем

Абсолютное ускорение ползуна определяется формулой

Диск вращается с постоянной угловой скоростью, поэтому ускорение точки диска (в которой в момент находится ползун) равно

Вектор направлен к центру диска. Относительное ускорение, как ускорение точки в прямолинейном движении, будет

Вектор направлен вдоль прямой Так как вектор угловой скорости и вектор взаимно перпендикулярны, то кориолисово ускорение равно

и при

Направление вектора указано на рис. 13.7.

Абсолютное ускорение ползуна в момент равно

Пример №72

Равнобедренный прямоугольный треугольник вращается вокруг катета (рис. 13.8) с постоянным угловым ускорением начальная угловая скорость треугольника равна нулю. По гипотенузе треугольника от вершины к основанию движется точка по закону Определить абсолютное ускорение точки в момент

Подвижная система координат в рассматриваемой задаче жестко связывается с треугольником Пусть в рассматриваемый момент времени точка находится в положении, указанном на рис. 13.8. Так как угловое ускорение треугольника постоянно, то угловая скорость треугольника равна (начальная угловая скорость по условию задачи равна нулю).

Переносное ускорение, т. е. ускорение той точки гипотенузы, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка может быть разложено на вращательное и осестремительное. Модули этих ускорений равны

где имеем

Направление ускорений указано на рис. 13.8. Относительное движение точки прямолинейное. Так как

Ускорение Кориолиса определится по формуле

где -угловая скорость треугольника (переносная угловая скорость). Направление указано на рис. 13.8 ( перпендикулярно плоскости Модуль корнолисова ускорения равен

и при

Модуль абсолютного ускорения точки в момент равен

Пример №73

Определить проекции абсолютного ускорения точки движущейся по меридиану Земли на юг с постоянной по величине относительной скоростью (рис. 13.9), на оси системы координат (ось направлена по касательной к меридиану на север, ось — по касательной к параллели на запад, ось — по радиусу Земли).

Так как абсолютное ускорение точки определяется формулой

то его проекции на оси координат будут

Угловая скорость Земли постоянна, и, следовательно, переносное ускорение равно

где —радиус Земли, а —геоцентрическая широта той точки Земли, с которой в данный момент совпадает точка Направлено от точки к оси вращения Земли. Так как точка движется по меридиану с постоянной скоростью, то относительное ускорение точки будет по модулю равно

и направлено к центру Земли.

Кориолисово ускорение согласно (13.19) по модулю равно

и направлено в сторону, противоположную направлению оси Проектируя на оси координат, получим

Таким образом, имеем

Пример №74

Точка движется по поверхности Земли по произвольной траектории. Определить горизонтальную составляющую кориолисова ускорения точки, если ее скорость относительно Земли равна

Построим географически ориентированную систему координат направив ось по касательной к меридиану на север, ось по касательной к параллели на запад и ось по радиусу Земли вверх (рис. 13.10, а). Обозначим курс точки через (угол между относительной скоростью и направлением на север, т. е. осью (рис. 13.10, б)). Тогда проекции относительной скорости на оси будут

Проекции угловой скорости вращения Земли на те же оси определяются равенствами

где —широта места точки в данный момент (см. рис. 13.10, а).

Кориолисово ускорение найдем по формуле

Далее находим проекции кориолисова ускорения на горизонтальные оси

Определим модуль горизонтальной составляющей кориолисова ускорения

Из этого выражения видно, что модуль горизонтальной составляющей кориолисова ускорения зависит только от относительной скорости и широты места движения точки и не зависит от направления движения.

Покажем, что в северном полушарии горизонтальная составляющая кориолисова ускорения направлена всегда перпендикулярно влево от движения, т. е. влево от направления относительной скорости (в южном полушарии вправо). Действительно, составим проекцию горизонтальной составляющей кориолисова ускорения на направление относительной скорости Имеем (см. рис. 13.10, б)

или, подставляя найденные значения для

что и доказывает сделанное замечание.

Пример №75

Принимая поверхность Земли за сферу радиуса и считая, что движение точки относительно вращающейся Земли задано, определить скорость и ускорение точки относительно системы координат, движущейся поступательно и имеющей начало в центре Земли.

Пусть положение точки относительно Земли определяется долготой широтой и высотой над уровнем поверхности Земли. Введем в рассмотрение подвижную систему координат Ось направим по радиусу Земли так, чтобы она проходила через точку ось направим по касательной к меридиану на север, ось —по касательной к параллели на запад. Начало координат этой системы располагаем на земной поверхности (рис. 13.11). Единичными векторами осей соответственно будут

Эту задачу можно решить различными методами, в частности, с помощью теоремы о сложении ускорений. Однако мы воспользуемся не методом разложения движения на простейшие, а используем формулу, связывающую абсолютную производную вектора с относительной производной, так как в данном примере это приводит быстрее всего к цели.

Пусть система координат движется поступательно, а система координат жестко связана с Землей. Будем считать заданными проекции скорости точки относительно вращающейся Земли на оси системы координат Очевидно, что — проекции скорости на меридиан, параллель и вертикаль — соответственно равны

При движении точки и вращении Земли система координат совершает вращение вокруг оси с угловой скоростью и вокруг оси вращения Земли с угловой скоростью где —угловая скорости Земли (рис. 13.11). Следовательно, проекции угловой скорости системы координат

на ее оси будут

или, учитывая (13.22), получим

Эти формулы имеют самостоятельное значение в различных прикладных вопросах.

Радиус-вектор точки относительно центра Земли в системе координат представляется в следующем виде:

Абсолютная скорость точки (скорость по отношению к системе координат равна

где

Следовательно,

Принимая во внимание формулы (13.23), получаем Определив вектор в системе координат абсолютное ускорение точки найдем по формуле

где В соответствии с формулой (13.26) имеем

Так как

то, учитывая соотношения (13.23) и (13.25), найдем

Это и есть проекции абсолютного ускорения точки на оси системы координат

Сложное движение твердого тела

Постановка задачи:

Пусть твердое тело движется относительно подвижной системы координат а последняя в свою очередь перемещается относительно основной системы координат принимаемой за неподвижную. В этом случае говорят, что тело совершает сложное движение, которое состоит из двух составляющих движений.

Сложное движение может состоять из составляющих движений. В этом случае имеется систем координат и задается движений: движение тела относительно системы координат движение системы относительно системы и т. д., наконец, задается движение системы относительно основной системы Движение тела или движение какой-либо одной системы координат относительно другой в общем случае ничем не ограничено. Задача заключается в нахождении зависимости между основными характеристиками составляющих движений и сложного движения.

В главе XII было установлено, что движение свободного твердого тела можно представить как сложное движение, состоящее из совокупности сферического движения тела вокруг некоторого полюса и поступательного движения тела вместе с системой координат, связанной с полюсом. Таким образом, основными кинематическими характеристиками движения тела являются скорость и ускорение поступательного движения и угловые скорости и ускорения. Следовательно, задача изучения сложного движения тела, заключающаяся в нахождении зависимости между основными характеристиками составляющих движений и сложного движения, сводится к установлению связи между поступательными и угловыми скоростями и ускорениями составляющих движений. В настоящем курсе мы ограничимся лишь установлением связи между поступательными и угловыми скоростями.

Рассмотрение начнем с простейших случаев.

Сложение поступательных движений

Пусть — скорость поступательного движения тела относительно системы (рис. 14.1), a — скорость поступательного движения системы относительно неподвижной системы координат Тогда, чтобы найти абсолютную скорость какой-либо точки тела нужно применить теорему о сложении скоростей (глава 13):

В нашем случае следовательно,

Таким образом, у всех точек тела абсолютные скорости оказались одинаковыми, следовательно, при сложении поступательных движений твердого тела результирующее движение будет также поступательным и скорость результирующего движения равна сумме скоростей составляющих движений.

В случае поступательных движений, применяя последовательно формулу (14.1), можно показать, что результирующее движение также будет поступательным и его скорость будет равна сумме скоростей составляющих движений, т. е.

Возможен случай, когда скорости всех точек тела только в данный момент времени оказываются равными между собой. Этот случай называют мгновенно-поступательным движением. Однако следует иметь в виду, что ускорения точек при этом различны (см. случай а) в задаче 11.9).

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера

Пусть тело вращается в системе координат вокруг оси с угловой скоростью а система координат вращается вокруг оси неподвижной системы с угловой скоростью (рис. 14.2). Точка остается неподвижной, поэтому результирующее движение тела будет сферическим. Обозначим через угловую скорость этого движения. Наша задача состоит в том, чтобы найти угловую скорость абсолютного движения тела, зная угловые скорости составляющих вращений.

Найдем абсолютную скорость произвольной точки тела. Для этого в формулу (14.1) следует подставить

где — радиус-вектор точки тогда

С другой стороны, скорость той же точки в абсолютном движении будет равна

Сравнивая оба равенства, получим

Так как точка а следовательно, и ее радиус-вектор произвольны, то

Из формулы (14.3) следует, что совокупность двух вращений, происходящих вокруг пересекающихся осей, эквивалентна одному вращению, происходящему с мгновенной угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей составляющих вращений.

Замечание. В случае из (14.3) следует, что Следовательно, совокупность двух вращений вокруг одной и той же оси, происходящих с одинаковыми по модулю, но противоположно направленными угловыми скоростями, эквивалентна покою. Такую совокупность движений всегда можно присоединять к любому сложному движению тела.

Совокупность вращений вокруг пересекающихся в одной точке осей эквивалентна одному вращению с мгновенной угловой скоростью

Полученное правило сложения вращений вокруг пересекающихся осей позволит нам теперь выразить проекции мгновенной угловой скорости тела, имеющего одну неподвижную точку через углы Эйлера и их производные.

Напомним, что положение подвижной системы координат жестко связанной с телом, полностью определяется относительно неподвижной системы координат углами Эйлера (рис. 14.3). Тело участвует в трех вращениях: первое вращение, соответствующее изменению угла прецессии происходит вокруг неподвижной оси с угловой скоростью второе вращение, соответствующее изменению угла нутации происходит вокруг линии узлов с угловой скоростью где — единичный вектор линии узлов; наконец, третье вращение,

соответствующее изменению угла собственного вращения происходит вокруг оси с угловой скоростью Следовательно, абсолютная угловая скорость тела будет

Составим таблицу направляющих косинусов единичных векторов в системе подвижных осей

Поясним составление первой строки этой таблицы (вторая и третья строки непосредственно следуют из рис. 14.3, а). Разложим единичный вектор на две взаимно перпендикулярные составляющие, направив одну из них по оси (она равна см. рис. 14.3,6); тогда вторая составляющая, равная где — единичный вектор вспомогательной оси будет находиться в плоскости Следовательно,

Вспомогательная ось составляет с осями углы и

Проектируя единичный вектор на оси получим (напомним, что проекции единичных векторов равны соответствующим направляющим косинусам)

Эти выражения и составляют первую строку таблицы направляющих косинусов.

Проектируя теперь обе части равенства (14.4) на оси и учитывая таблицу косинусов, найдем проекции вектора угловой скорости тела на оси, жестко связанные с телом:

Полученные соотношения носят название кинематических уравнений Эйлера.

Модуль угловой скорости определяется равенством

Таблица направляющих косинусов между единичными векторами в системе неподвижных осей имеет вид

Для того чтобы получить последнюю строку, мы разложили вектор на две составляющие, направив одну из них по оси (она равна рис. 14.4); тогда вторая, равная где —единичный вектор новой вспомогательной оси будет находиться в плоскости

Третья строка второй таблицы получена проектированием этого равенства на оси Проектируя теперь обе части равенства (14.4) на оси и пользуясь второй таблицей направляющих косинусов, найдем ^проекции вектора угловой скорости на неподвижные оси координат:

Кинематические уравнения Эйлера (14.6) и (14.8) устанавливают связь между проекциями вектора угловой скорости на соответствующие оси, углами Эйлера и их первыми производными по времени.

Пример №76

Планетарный редуктор с коническими шестернями передает вращение вала на вал (рис. 14.5). Определить число оборотов в минуту вала и число оборотов в минуту в абсолютном и относительном вращении сателлитов, если дано:

Подвижная шестерня 3 вращается вокруг своей оси и вместе с.этой осью вращается вокруг оси мгновенная ось абсолютного движения шестерни 3 проходит через точку пересечения осей слагаемых вращений, т. е. через точку и точку (так как шестерня 1 неподвижна). Для определения числа оборотов абсолютного движения шестерни 3 и числа оборотов при относительном вращении ее вокруг своей оси воспользуемся формулой (14.3), которая в рассматриваемом случае принимает вид

где — абсолютная угловая скорость шестерни 3, — угловая скорость вала I, — относительная угловая скорость шестерни 3.

Из рассмотрения подобных треугольников (см. рис. 14.5) следует

где —число оборотов в минуту шестерни 3 в относительном движении, а —число оборотов в минуту вала Отсюда имеем

Абсолютная угловая скорость шестерни 3 равна

причем через обозначено число оборотов в минуту шестерни 3 в абсолютном движении.

В точке происходит зацепление шестерен 2 и 3, поэтому скорости точек шестерен 2 и 3, совпадающих с точкой равны между собой. Скорость точки шестерни 3 равна

следовательно

Но скорость точки шестерни 2 равна

Таким образом, учитывая, что получим

Пара вращений

Рассмотрим сложное движение, состоящее из двух вращений относительно параллельных осей (рис. 14.6).

Пусть угловые скорости относительного и переносного движений равны по модулю, но противоположно направлены Такая совокупность движений называется парой вращений.

Найдем абсолютную скорость какой-либо точки твердого тела:

В нашем случае

следовательно,

Векторы не зависят от положения точки поэтому из (14.9) вытекает, что скорости всех точек тела одинаковы. Этим свойством обладает только поступательное движение.

Из (14.9) следует, что

(14.10)

Векторное произведение называется моментом пары вращений. Таким образом, тело, участвующее в паре вращений, движется поступательно со скоростью, равной моменту пары вращений.

Легко видеть, что совокупность пар вращений эквивалентна одной паре, т. е. поступательному движению. Заметим, что любое мгновенно-поступательное движение можно представить как мгновенную пару вращений.

Пример №77

Велосипедист едет со скоростью 21 км/час, диаметр колес 700 мм, передаточное число равно трем. Определить, сколько оборотов в минуту делает педаль вокруг своей оси, если велосипед движется без свободного хода.

Педаль велосипеда в результирующем движении перемещается поступательно. Это поступательное движение образуется из поступательного движения вместе с велосипедом и поступательного движения педали относительно велосипеда (последнее движение будет поступательным потому, что велосипедист с1'упней своей ноги держит педаль все время параллельно поверхности дороги). Поступательное движение педали относительно велосипеда осуществляется ее вращением относительно своей оси и вращением вместе с осью вокруг оси шатуна. При таком движении педали ее угловая скорость при вращении вокруг своей оси будет равна и противоположно направлена ее угловой скорости при движении вокруг оси шатуна (пара вращений).

Так как велосипед движется без свободного хода, то движение колеса велосипеда зависит от движения шатуна. Определим число оборотов кривошипа вокруг своей оси из условия, что передаточное число равно трем. Обозначая через число оборотов колеса, а через —число оборотов кривошипа, будем иметь

Предполагая, что колесо катится по поверхности дороги без скольжения, найдем зависимость между скоростью велосипеда и числом оборотов колеса. Очевидно, это будет

где —радиус колеса. Таким образом,

Следовательно, число оборотов шатуна равно

и число оборотов педали

Сложение вращений вокруг параллельных осей

Из содержания предыдущих лекций видно, что введенные выше простейшие кинематические элементы — угловые скорости вращения тела (или системы координат) и скорости поступательных движений подчиняются тем же законам, что и силы и пары в статике. В самом деле, пары вращений или поступательные движения аналогичны парам сил.- Как и в статике, совокупность кинематических пар эквивалентна паре, момент которой (или скорость результирующего поступательного движения) равен сумме моментов слагаемых пар. Угловые скорости вращения вокруг осей, пересекающихся в одной точке, заменяются одной угловой скоростью так же, как и сходящаяся система сил в статике приводится к одной силе (равнодействующей). Аналогия между угловыми скоростями

составляющих вращений и силами этим не ограничивается. Мы сейчас установим, что сложение вращений вокруг параллельных осей совершенно аналогично сложению параллельных сил.

Предположим, что тело вращается с угловой скоростью вокруг оси относительно системы координат а последняя вращается с угловой скоростью вокруг оси относительно системы координат причем оси параллельны (рис. 14.7).

Тогда абсолютная скорость любой точки тела

Скорости точки расположены в плоскости, перпендикулярной осям следовательно, и абсолютная скорость точки лежит в плоскости, перпендикулярной этим осям. Так как точка произвольна, то это означает, что тело участвует в плоском движении. Найдем в плоскости мгновенный центр скоростей в случае, когда направлены в одну сторону (рис. 14.7, а).

Для точки лежащей на прямой коллинеарны, но направлены в разные стороны. Для того чтобы их геометрическая сумма была равна нулю, должно выполняться равенство

или Точка делит отрезок внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей составляющих вращений.

Перейдем теперь к сложению вращений, имеющих противоположные направления. Пусть Скорости в этом случае имеют противоположные направления в точках на прямой расположенных вне отрезка (рис. 14.7, б). Найдем точку в которой эти скорости равны:

или

Точка делит отрезок внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей. Такую точку всегда можно найти, если только

В каждом из рассмотренных случаев точка имеет скорость, равную нулю, т. е.

Найдем теперь скорость произвольной точки

Здесь — радиус-вектор точки относительно мгновенного центра скоростей Раскрывая скобки в правой части и используя равенство (14.13), получим

где

Отсюда следует, что совокупность двух вращений, происходящих вокруг параллельных осей, но не представляющих собой пары вращений, приводится к одному вращению, мгновенная ось которого делит внутренним или внешним образом расстояние между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей. Угловая скорость результирующего вращения равна геометрической сумме угловых скоростей составляющих движений.

Если угловые скорости направлены в одну сторону, то мгновенная ось вращения расположена между, осями и модуль результирующей угловой скорости В случае противоположно направленных вращений мгновенная ось расположена за осью, вокруг которой вращение происходит с большей угловой скоростью и Результирующая угловая скорость направлена в сторону большей из угловых скоростей.

Пример №78

В редукторе (рис. 14.8) водило делает а подвижные шестерни 2 и 3 вращаются вокруг своей оси относительно поводка в том же направлении с угловой скоростью, соответствующей Определить радиус неподвижного колеса 1 и число оборотов вала —радиус шестерни 4).

Подвижные шестерни 2 и 3 совершают сложное движение. Они вращаются вокруг оси относительно поводка и вместе с этой осью вокруг оси вала

Радиус неподвижного колеса 1 найдем из условия, что мгновенная ось абсолютного вращения шестерен 2 и 3, параллельная оси проходит через точку касания неподвижного колеса 1 и подвижной шестерни 2. На

основании соотношения (14.11) можем записать:

где —угловая скорость шестерен 2 и 3 при их вращении вокруг оси а —угловая скорость вала

Между угловой скоростью и числом оборотов в минуту существует зависимость вида

следовательно,

Абсолютная угловая скорость шестерен 2 и 3 при вращении вокруг мгновенной оси на .основании (14.14) равна

Характеризуя угловую скорость числом оборотов, получим

Для определения числа оборотов шестерни 4, а следовательно, и вала воспользуемся тем обстоятельством, что абсолютные скорости точек шестерен 3 и 4 в точке В их зацепления равны между собой (нет относительного проскальзывания):

где

Таким образом,

Пример №79

Сколько оборотов в минуту должен делать ведущий вал редуктора (рис. 14.9), чтобы ведомый вал совершал Первое колесо с внутренними зубьями неподвижно. Дано:

Подвижные шестерни 2 и 3 как одно целое совершают сложное движение. Они вращаются вокруг оси относительно поводка и вместе с ней вращаются вокруг оси

Мгновенная ось абсолютного вращения этих шестерен проходит через точку —точку зацепления подвижной шестерни 2 и неподвижной шестерни Эта ось параллельна оси Так как мгновенная ось абсолютного вращения шестерен 2 и 3 лежит вне осей слагаемых движений, то вращение этих шестерен вокруг оси происходит в сторону, противоположную направлению вращения вала

На основании формул (14.12) и (14.14) имеем

и

где —угловая скорость вращения шестерен 2 и 3 вокруг оси — абсолютная угловая скорость этих шестерен.

Из полученных соотношений следует

Скорости точек зацепления шестерен 3 и 4 равны, т. е. Отсюда следует:

или

Вал вращается в ту же сторону, что и вал

Сложение поступательных и вращательных движений

Первый случай. Рассмотрим сначала следующий случай сложного движения: тело движется поступательно с постоянной скоростью относительно системы координат а она в свою очередь вращается вокруг оси неподвижной системы координат с постоянной угловой скоростью параллельной скорости поступательного движения. Найдем абсолютную скорость некоторой точки тела (рис. 14.10):

Таким образом, абсолютная скорость точки может быть разложена на две составляющие: одну параллельную оси и другую перпендикулярную плоскости, проходящей через ось и точку

Отсюда следует, что точка движется по боковой поверхности кругового цилиндра с осью Касательная к винтовой траектории образует с плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, угол причем

где — радиус цилиндра (см. рис. 14.10).

Время одного оборота тела в винтовом движении

Любая точка тела переместится за это время параллельно оси на расстояние, равное

называемое шагом винта. Величина называется параметром винта.

Рассмотренное сложное движение тела называется кинематическим винтом.

Если скорость и угловая скорость переменны, то движение тела будет мгновенно винтовым движением. Естественно, что параметр винта в общем случае также будет переменным.

Второй случай. Скорость поступательного движения перпендикулярна угловой скорости вращательного движения. Мгновенное поступательное движение можно рассматривать как сложное движение — пару вращений. При этом момент пары вращений должен быть равен скорости данного поступательного движения. Плоскость пары вращений должна быть перпендикулярна —проведем ее через ось (рис. 14.11). Поступательное движение со скоростью относительно системы координат можно заменить вращением тела с угловой скоростью относительно некоторой новой системы и вращением этой новой системы относительно системы координат с угловой скоростью Для упрощения чертежа плоскость проведена перпендикулярно через ось Пусть одно из вращений, составляющих пару, имеет угловую скорость и происходит вокруг оси, совпадающей с тогда другое вращение имеет угловую скорость и происходит вокруг параллельной оси, проходящей через точку Для эквивалентности этой пары вращений данному поступательному движению тела достаточно, чтобы было выполнено условие

Если (см. рис. 14.11), то отсюда следует, что

Таким образом, совокупность поступательного и вращательного движений нами приведена к трем вращениям при этом два последних вращения эквивалентны покою, так как угловые скорости и равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Следовательно, результирующее движение эквивалентно только одному вращению вокруг мгновенной оси, проходящей через точку с угловой скоростью, равной угловой скорости заданного вращения.

Третий случай. Скорость поступательного движения направлена под углом к угловой скорости вращательного движения (рис. 14.12).

Этот случай легко приводится к первому. В самом деле, поступательное движение со скоростью можно сначала представить как совокупность двух поступательных движений со скоростями причем (рис. 14.12) и

Поступательное движение со скоростью (в соответствии со вторым случаем) можно заменить парой вращений Получилась система четырех движений при этом два последних движения эквивалентны покою, следовательно, остается мгновенно-винтовое движение

Если скорости постоянны, то движение будет винтовым. При этом ось винта отстоит от оси на расстоянии

Шаг винта равен

Общий случай сложения движений твердого тела

Продолжим установленную аналогию между угловыми скоростями и силами, приложенными к твердому телу,

еа также между скоростью поступательного движения и моментом пары сил. Эта аналогия объясняется тем, что угловая скорость тела и сила, приложенная к твердому телу, являются скользящими векторами. Можно показать (мы не будем останавливаться на доказательстве *)), что любая система скользящих векторов, независимо от их физической природы, эквивалентна одному скользящему вектору (главному вектору) и одной паре скользящих векторов, момент которой равен главному моменту.

Применительно к сложению движений твердого тела это означает следующее: если тело участвует одновременно в вращениях с угловыми скоростями поступательных движениях, скорости которых равны (моменты пар вращений), то вся система этих движений эквивалентна совокупности одного вращательного и одного поступательного движений. Угловая скорость результирующего вращения равна сумме (главному вектору) составляющих угловых скоростей

а скорость результирующего поступательного движения равна сумме (главному моменту) моментов угловых скоростей относительно центра приведения и скоростей поступательных движений (моментов пар вращения):

причем ось вращения проходит через выбранный центр приведения

На рис. 14.13 показаны результирующая угловая скорость вращательного движения (главный вектор) и результирующая скорость (главный момент) поступательного движения. Векторы можно рассматривать так же, как скорость полюса и угловую скорость вращения тела относительно полюса.

Покажем, что имеются два кинематических инварианта, аналогичных статическим инвариантам. Действительно, из равенства (14.15) следует, что главный вектор не зависит от выбора центра приведения и, следовательно, представляет собой первый кинематический инвариант. По существу, инвариантность главного вектора тождественна с ранее доказанным утверждением о независимости угловой скорости тела от выбора полюса. В более узком смысле под первым инвариантом будем понимать квадрат модуля главного вектора

Прежде чем перейти ко второму инварианту, заметим, что при переходе к новому центру приведения, например точке главный момент будет связан с главным моментом относительно старого полюса формулой (рис. 14.14)

Эту формулу можно получить непосредственно из равенства (14.16). Она также следует из того, что главный момент есть скорость точки твердого тела и определяется формулой (12.20). Умножим скалярно обе части равенства (14.18) на вектор

Так как вектор перпендикулярен вектору то их скалярное произведение равно нулю. Поэтому

т. е. скалярное произведение главного вектора на главный момент не зависит от центра приведения, иначе говоря, скалярное произведение скорости точки твердого тела на угловую скорость тела в каждый момент времени одинаково для всех точек тела.

Вторым кинематическим инвариантом называется скалярное произведение скорости любой точки тела на его угловую скорость

Запишем равенство (14.19) в следующей форме:

Если то

Каждое из этих произведений представляет проекцию главного момента относительно соответствующей точки (скорости соответствующей точки) на направление главного вектора (угловой скорости тела). Следовательно, если угловая скорость тела (главный вектор) не равна нулю, то проекция скорости точки тела (главного момента) на направление угловой скорости тела не зависит от выбора точки.

Покажем, что если второй кинематический инвариант не равен нулю, У то совокупность всех движений, в которых участвует тело, может быть сведена к мгновенному винтовому движению. Действительно, если то скорость любой точки тела и угловая скорость его отличны от нуля; кроме того, в этом случае угол между векторами не равен На стр. 264 было показано, что в этом случае имеется такая точка скорость которой параллельна угловой скорости тела (рис. 14.15). Для этой точки должно выполняться равенство

или, учитывая формулу (14.18),

где — некоторый скаляр, а —радиус-вектор точки в системе координат жестко связанной с телом; —скорость точки

Очевидно, что равенству (14.21) удовлетворяет радиус-вектор любой точки, лежащей на прямой проходящей через точку и параллельной вектору Следовательно, равенство (14.21) представляет векторное уравнение прямой линии, все точки которой в данный момент времени имеют скорости, параллельные угловой скорости Прямая называется мгновенной винтовой осью тела; совокупность угловой скорости тела и скорости любой точки мгновенной винтовой оси называется кинематическим винтом, а число в равенстве (14.21) — параметром кинематического винта. Происхождение этих названий очевидно: винтовое движение состоит из вращения вокруг некоторой оси и одновременного поступательного перемещения вдоль этой оси. Таким образом, в самом общем случае скорости точек твердого тела распределяются так, как если бы тело совершало мгновенно-винтовое движение.

Динамика

Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются причины изменения механического движения. В классической механике этими причинами являются силы. Динамика оперирует также такими понятиями, как масса, импульс, момент импульса, энергия.

Введение в динамику. Динамика материальной точки

Два предыдущих раздела курса механики— статика и кинематика—в сущности, мало связаны между собой. Каждому из них •соответствует свой особый круг понятий, задач и методов их решения. В статике рассматриваются задачи о равновесии, а также задачи об эквивалентных преобразованиях систем сил; при таких преобразованиях даже не ставится вопрос о том, какое движение тела вызывают приложенные силы. В кинематике изучается движение «само по себе», вне связи с теми силами, под действием которых оно происходит.

Изолированное рассмотрение двух указанных проблем вызывается чисто методическими соображениями построения курса механики и. строго говоря, не вытекает из существа задач механики. Дело в том, что между действующими силами и движением существует глубокая внутренняя связь, которая отмечается уже в самом определении понятия силы. Зта связь принимается во внимание в динамике, предметом которой является изучение движения с учетом действующих сил.

Среди практических задач механики лишь небольшое число допускает чисто статическое или чисто кинематическое исследование: в большинстве случаев необходимо полное, т. е. динамическое изучение тех или иных механических явлений. При этом используются установленные в статике способы приведения сил, а также разработанные в кинематике методы описания и изучения движения; поэтому статику и кинематику можно рассматривать как введение в динамику, хотя они имеют и самостоятельное значение.

При всем разнообразии динамических задач выделяют две их категории. К первой категории относятся задачи, в которых движение тела (или механической системы) является заданным, и требуется найти силы, под действием которых это движение происходит (первая задача). В другую категорию входят задачи противоположного характера: в них силы являются заданными, а движение — искомым (вторая задача). Эти задачи называются основными задачами динамики.

При формулировании основных законов динамики пользуются понятием материальной точки. Под материальной точкой понимают тело конечной массы, размерами и различием в движении отдельных точек которого по условиям задачи можно пренебречь. В дальнейшем будет показано, что поступательно движущееся тело можно рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.

Инерциальные системы отсчета. Основное уравнение динамики точки

В основании динамики лежат законы, впервые в наиболее полном и законченном виде сформулированные Исааком Ньютоном в книге «Математические начала натуральной философии» (1687 г.).

В качестве первого закона Ньютон принял принцип инерции, открытый Галилеем, который можно сформулировать следующим образом: изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения.

Под изолированной материальной точкой понимается материальная точка, которая не взаимодействует с другими телами или когда силы, действующие на точку, взаимно уравновешиваются.

Важнейшим обстоятельством при изучении движения тел относительно друг друга является выбор системы отсчета, что в свою очередь связано с принятым представлением о пространстве и времени. Естественно поставить вопрос: по отношению к какой же системе отсчета справедлив принцип инерции?

Ньютон, формулируя законы динамики, ввел в рассмотрение модель пространства и времени, которая предполагает наличие абсолютного неподвижного евклидова трехмерного пространства и абсолютного времени, т. е. времени, одинаково текущего для всех наблюдателей, где бы они ни находились и каково бы ни было их движение.

Исходя из этого представления о пространстве и времени,. Ньютон и предполагал возможность существования абсолютной, неподвижной системы отсчета (системы координат), не связанной с материальными телами; для такой системы отсчета он и считал справедливым принцип инерции.

Последующее развитие представлений о пространстве привело к полному отрицанию понятия абсолютного пространства. Поэтому понятия «покой», «постоянная скорость» и т. п. лишены объективного смысла: пользуясь этим термином, необходимо указать, в какой системе отсчета рассматривается движение. Но движение, происходящее с постоянной скоростью в одной системе отсчета, может представляться ускоренным в другой системе отсчета; поэтому принцип инерции не обладает универсальностью, хотя, как показывают наблюдения, в некоторых системах отсчета принцип инерции оказывается справедливым.

Введем определение: системы отсчета, в которых справедлив принцип инерции, называются инерциальными системами отсчета (инерциальными системами координат). Подчеркнем, что об инерциальности или неинерциальности той или иной системы отсчета можно судить только на основе опыта. В частности, установлено, что гелиоцентрическая система координат (т. е. система координат с началом в центре Солнца и осями, направленными на «неподвижные» звезды) весьма близка к инерциальной системе.

Следует, однако, иметь в виду, что гелиоцентрическая система отсчета может считаться инерциальной только для движений внутри Солнечной системы, ибо центр масс Солнечной системы движется по криволинейной траектории относительно центра нашей Галактики с относительной скоростью, примерно равной и ускорением порядка

Легко видеть, что система отсчета которая движется относительно инерциальной системы отсчета поступательно и начало которой имеет постоянную по модулю и направлению скорость, также является инерциальной. Это вытекает из того, что ускорение точки в системе не отличается от ускорения точки в системе В этом утверждении состоит принцип относительности Галилея.

Наоборот, в системах отсчета, движущихся относительно инерциальной системы отсчета не поступательно или не равномерно, принцип инерции не имеет места; такие системы называются неинерциальными. Если движение некоторой системы отсчета происходит с относительно малыми ускорениями относительно инерциальной системы отсчета, то при решении практических задач иногда можно пренебречь малой неинерциальностью (например, неьнерциальностью геоцентрической системы, связанной с Землей); при этом приближенно принимают, что принцип инерции выполняется и в такой системе отсчета.

Развитие физики привело к концу XIX и началу XX века к необходимости создания других моделей пространства и времени. Так, например, в специальной теории относительности, в которой рассматриваются только инерциальные системы отсчета, моделью пространства и времени является четырехмерное пространство-время, т. е. пространство и время уже не считаются независимыми друг от друга.

Еще более сложная модель пространства и .времени используется в общей теории относительности (теории тяготения), в которой рассматриваются неинерциальные системы отсчета. Эта модель уже предполагает зависимость пространства и времени от тяготеющих масс и полей.

Выводы как специальной, так и общей теории относительности при скоростях тел, значительно меньших скорости света, совпадают с выводами классической механики, а это значит, что классическая механика (механика Ньютона) является предельным случаем механики, основанной на принципах теории относительности.

Фундаментальное значение для всей динамики имеет следующий основной закон динамики (второй закон Ньютона): сила, действующая на материальную точку, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и имеет направление силы. В аналитической форме этот закон представляется в виде основного уравнения динамики

где —сила, действующая на материальную точку, —ее ускорение, —масса материальной точки, являющаяся мерой ее инертных свойств.

Из формулировки основного закона динамики вовсе не вытекает, что в динамике исследуются движения, происходящие только в инер-циальных системах. В главе VI мы будем рассматривать движение в неинерциальных системах, однако таких, движение которых относительно инерциальной системы задано; на языке кинематики задача сведется к выражению относительных ускорений через абсолютные ускорения.

Отметим, что равенство действия и противодействия двух материальных точек (третий закон Ньютона), о котором уже говорилось в начале курса статики, является общим законом всей механики и справедливо не только в задачах статики, но и в 'задачах динамики.

Приведем еще одно фундаментальное положение механики — закон независимости действия сил: если на материальную точку действует несколько сил, то ускорение точки складывается из тех ускорений, которые имела бы точка под действием каждой из этих сил в отдельности.

Это значит, что при действии на материальную точку сил каждая из которых сообщает точке соответственно ускорения ускорение материальной точки будет

На основании (1.1) можно записать

Складывая между собой эти равенства, получим

или, на основании закона независимости сил,

где — равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке.

Таким образом, движение материальной точки под действием сил будет таким же, как и при действии одной силы, равной их геометрической сумме (равнодействующей).

В принципе основные законы динамики играют роль постулатов, из которых как следствие вытекают все результаты, полученные ранее в статике, и даже некоторые из аксиом статики. '

В сжатом виде законы динамики можно сформулировать следующим образом:

1. Существует такая система отсчета, в которой материальная точка находится в покое или движется равномерно и прямолинейно, если на нее не действуют силы. Такая система отсчета называете инерциальной (иногда ее условно называют неподвижной).
2. В инерциальной системе отсчета вектор ускорения материальной тонки пропорционален вектору силы, действующей на эту точку.
3. Две материальные точки взаимодействуют друг с другом так, что силы их взаимодействия равны по величине, противоположны по направлению и имеют общую линию действия.
4. При действии на материальную точку нескольких сил ее ускорение равно сумме ускорений, которые имела бы точка при действии каждой силы в отдельности.

Отсюда следует, что систему сил, действующих на точку, можно заменить их равнодействующей.

Из основного уравнения динамики следует линейная зависимость между модулем силы и модулем ускорения

Эта зависимость дает возможность опытного определения массы материальной точки. Здесь имеются два подхода.

Массу некоторой материальной точки можно принять за единичную массу Тогда, измеряя ускорения, приобретаемые под действием одной и той же силы двумя различными материальными точками (одна из них единичной массы), получим из (1.2)

Следовательно, Масса установлена. Величина отношения ускорений определяет количество эталонных единиц массы, содержащихся в

При таком способе измерения массы сила выражается через единицы массы и единицы ускорения по формуле (1.2).

В международной системе единиц СИ эталоном массы служит 1 кг. Единицы длины и времени — 1 м и 1 сек.

Единица силы называется ньютоном. Из (1.2) следует

Заметим, что часто применяется и более мелкая единица силы — дина.

Аналогично вводится один килоньютон (кн), который равен 1000 ньютонов.

Рассмотрим теперь другую возможность использования основного закона динамики. Можно, как и в статике, назначить эталон силы. Для измерения сил могут, например, служить пружинные весы. За эталон силы часто принимают силу тяжести на поверхности Земли одного килограмма массы. Такую единицу называют килограммом, но, в отличие от килограмма —массы, записывают при помощи символа кГ. Здесь масса измеряется в производных единицах, имеющих размерность

Если оставить без изменения масштабы длин и времени, то получим техническую систему единиц. Единица массы называется в ней (техническая единица массы),

Ниже при решении задач мы будем пользоваться как международной (СИ), так и технической системой единиц. Разумеется, масштабы всех единиц в пределах той или другой системы будут выбираться, исходя из соображений удобства решения той или иной задачи.

Масса, определяемая из основного уравнения динамики (1.2), называется инертной массой.

Однако существует и другой путь измерения массы.

Из закона всемирного тяготения следует, что между двумя материальными точками массы отстоящими друг от друга на расстоянии возникают силы взаимодействия, определяемые формулой

где — гравитационная постоянная.

Закон всемирного тяготения открывает новую возможность измерения массы. Пусть, например, — масса Земли, — эталонная единичная масса, — измеряемая масса. Тогда из (1.4) можно получить два соотношения:

Предполагается, что обе массы помещены в одной и той же точке пространства.

Поделив одно из уравнений (1.5) на другое, получим

Если —радиус Земли, то очевидно, что — силы притяжения на поверхности Земли. Как будет выяснено в главе VI, эти силы мало отличаются от сил тяжести. Масса, вычисляемая по формуле (1.6), называется «тяжелой» массой.

Таким образом, отношение масс равно отношению сил притяжения.

Итак, масса одной и той же материальной точки может быть вычислена из двух совершенно различных опытов по формулам

Точные эксперименты, проведенные для проверки равенства инертной и тяжелой масс, показали совпадение этих величин. Они послужили отправной точкой для создания Эйнштейном теории тяготения.

В специальной теории относительности показывается, что масса тела зависит от его скорости:

где — так называемая масса покоя, — скорость тела, —скорость света. В классической механике рассматриваются движения тел, скорости которых значительно меньше скорости света. Поэтому, пренебрегая отношением по сравнению с единицей *), считают массу тела постоянной.

За метим, что если записать в обозначениях дифференциального исчисления второй закон Ньютона в том виде, как он его сформулировал, то основное уравнение динамики (1.1) примет вид

Эта форма основного уравнения динамики точки, ч отличие от уравнения (1.1), применима не только для тела постоянной массы, но и тел, масса которых зависит от скорости.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Положение материальной точки в инерциальной системе отсчета будем определять ее радиусом-вектором Сила действующая на точку, может зависеть от положения точки, т. е. от радиуса-вектора (например, сила тяготения), скорости точки (например, сила сопротивления) и времени Следовательно, в общем случае и основное уравнение динамики точки (1.1) можно записать в следующей форме:

Это равенство, представляющее физический закон, устанавливающий связь между массой точки, ее ускорением и действующей на точку силой, можно рассматривать одновременно как дифференциальное уравнение, в котором радиус-вектор является функцией, а время — аргументом. Это уравнение называется дифференциальным уравнением движения материальной точки в векторной форме.

Дифференциальное уравнение в векторной форме, естественно, эквивалентно трем скалярным уравнениям. В зависимости от выбора осей координат, на которые проектируется основное уравнение динамики (1.1), можно получить различные формы скалярных дифференциальных уравнений движения материальной точки.

Так, например, если спроектировать обе части уравнения (1.1) на неподвижные оси декартовых координат, то будем иметь

где —проекции ускорения точки на координатные оси, — проекции силы, действующей на точку, на те же оси.

Если пользоваться описанием движения в естественной форме, то нужно спроектировать основное уравнение динамики (1.1) на оси естественного трехгранника; в результате получим соотношения

где — проекции силы на касательную, главную нормаль и бинормаль. Вспоминая известные из кинематики выражения для проекций ускорения на те же направления, получим

где —радиус кривизны в текущей точке траектории. Из последнего уравнения следует, что сила под действием которой движется материальная точка, лежит в соприкасающейся к траектории точки плоскости.

В случае плоского движения точки, рассматриваемого в полярных координатах имеем

где — проекции силы на направление радиуса-вектора и перпендикулярное к нему направление (в сторону увеличения полярного угла

Мы ограничились наиболее употребительными случаями; аналогично можно получить записи дифференциальных уравнений движения материальной точки в других системах криволинейных координат (цилиндрической, сферической и т. д.).

Первая задача динамики

В практике возникают различные постановки динамических задач. Прежде всего остановимся на первой задаче, когда движение задано и необходимо найти силу, под действием которой происходит это движение.

"Эта задача решается следующим образом: закон движения подставляется в дифференциальные уравнения (1.7), (1.9) или (1.10) (в зависимости от способа задания движения) и с помощью дифференцирования соответствующих функций определяются проекции силы. Проследим за ходом решения на примерах.

Пример №80

Материальная точка массы движется в плоскости причем закон движения задан в виде

где —любые постоянные параметры. Найти силу, под действием которой происходит это движение.

В данном случае движение задано в декартовых координатах. Поэтому выражение координат из закона движения нужно подставить в дифференциальное уравнение (1.7). При этом находим

или, приняв во внимание закон движения, получим

Таким образом, сила, действующая на материальную точку, будет

где —единичные векторы осей Следовательно, материальная точка движется под действием силы притяжения к началу координат, пропорциональной расстоянию от начала координат до материальной точки, и постоянной силы, параллельной оси

Пример №81

Материальная точка массы движется по окружности радиуса с постоянной скоростью Найти силу, под действием которой происходит такое движение.

Здесь движение задано естественным способом; поэтому согласно (1.9) находим

т. е. заданное движение материальной точки происходит под действием силы, постоянной по модулю и направленной по радиусу к ее центру.

Пример №82

Материальная точка массы движется по гладкой плоскости. Ее полярные координаты изменяются по закону (рис. 1.1)

где — положительные постоянные. Определить силу, под действием которой происходит это движение. Так как

то согласно первому уравнению (1.10) получаем

т. е. составляющая силы, действующая на материальную точку вдоль радиуса, направлена к полюсу н ее модуль растет пропорционально Согласно второму уравнению (1.10) имеем

т. е. составляющая силы, действующая на материальную точку по перпендикуляру к радиусу, постоянна. Модуль силы, действующей на точку, определяется равенством

Вторая задача динамики

Для определенности изложения будем рассматривать движение в декартовой системе координат, опираясь на уравнения (1.7). Как уже отмечалось ранее, сила (и ее проекции), действующая на материальную точку, в общем случае может зависеть от положения точки, ее скорости и времени.

Приведем несколько примеров переменных сил. На упругой балке установлен (рис. 1.2, о) не вполне уравновешенный двигатель. При заданном режиме работы двигателя сила давления на конструкцию, обусловленная неуравновешенностью, является функцией времени; заметим, что эта сила принимается нами не зависящей от того, как под ее воздействием колеблется конструкция. В этих условиях на конструкцию действует сила заданная как явная функция времени (здесь мы не касаемся вопроса о том, каким образом указанная конструкция схематизируется в виде материальной точки). Обратимся к другому примеру.

С Земли произведен пуск космического корабля. После некоторого, сравнительно короткого промежутка времени двигатели выключаются и корабль продолжает движение под действием практически единственной силы —силы притяжения Земли (рис. 1.2,6); притяжение других небесных тел в начале движения пренебрежимо мало. Согласно закону всемирного тяготения эта сила не постоянна и постепенно убывает с увеличением расстояния корабля от Земли. Здесь сила притяжения зависит от положения корабля, т. е. определяется его координатами.

В качестве третьего примера рассмотрим силы, под действием которых происходит падение материальной точки в вязкой жидкости (рис. 1.2, в). На материальную точку действуют сила тяжести и сила сопротивления жидкости Как показывает опыт, сила зависит только от скорости падения, т.е. В начале процесса, когда скорость мала, эта сила также невелика, но с возрастанием скорости растет и сила сопротивления.

Таким образом, зависимости, определяющие изменение переменных сил, весьма разнообразны по своей природе; можно указать три простейших типа переменных сил:

• а) силы, заданные как явные функции времени и не зависящие от движения материальной точки;
• б) силы, зависящие от координат материальной точки;
• в) силы, зависящие от скорости материальной точки.

Но возможны случаи, когда сила, действующая на точку, может быть одновременно функцией от нескольких аргументов. Например, действующая на космический корабль сила аэродинамического сопротивления при его движении в атмосфере (при взлете или снижении) зависит и от положения корабля, и от его скорости, так как плотность атмосферы убывает с высотой над поверхностью Земли.

Чаще всего на материальную точку одновременно действует несколько сил .различных типов.

На рис. 1.3, а представлен пример, иллюстрирующий одновременное действие сил различной природы. Неуравновешенный двигатель установлен на массивном фундаменте который в свою очередь установлен на амортизаторах (на рисунке они схематично изображены одной пружиной и гидравлическими амортизаторами

В такой конструкции фундамент может иметь малые вертикальные поступательные перемещения (за счет деформации пружин), а при работе двигателя возникают колебания системы.

На фундамент действуют силы четырех типов. Во-первых, сила тяжести самого фундамента, обозначенная на рис. 1.3, б через

Во-вторых, сила действия двигателя на фундамент, обозначенная на рисунке через Эта сила, меняющаяся во времени заданным образом, представляет переменное динамическое давление на

фундамент, зависящее от величины неуравновешенных масс двигателя и угловой скорости вращения его ротора:

В-третьих, на фундамент действует реакция пружины, которая в любой момент времени определяется деформацией пружины (т. е. перемещением фундамента):

— вертикальное перемещение фундамента в данный момент).

Наконец, в-четвертых, на фундамент действуют реакции гидравлических амортизаторов Опыт показывает, что их реакции полностью определяются скоростью движения поршня в цилиндре амортизатора, т. е. скоростью самого фундамента:

При поступательном движении фундамента его можно рассматривать как материальную точку; дифференциальное уравнение движения этой точки (в проекции на ось которую будем считать направленной вниз) имеет вид

Для того чтобы найти движение фундамента, необходимо решить это дифференциальное уравнение.

Подобным же образом дело обстоит и в других задачах.. Следовательно, в общем случае вторая задача динамики приводит к необходимости решения системы трех дифференциальных уравнений:

в которые искомые функции входят вместе со своими первыми и вторыми производными по времени. Уравнения (1.16) представляют собой систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций и, как уже отмечалось, называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки.

Предположим, что нам удалось проинтегрировать систему уравнений (1.16) и получить общее решение

где — произвольные постоянные интегрирования. В каждую из функций (1.17) могут входить все шесть постоянных, так как в общем случае уравнения (1.16) не являются независимыми друг от друга.

Если теперь в соотношениях (1.17) постоянным интегрирования давать различные числовые значения, то можно получить совокупность различных решений. Это значит, что под действием одних и тех же сил, действующих на материальную точку, она может совершать различные движения.

Например, тело, отпущенное без начальной скорости, будет падать под действием силы тяжести вертикально вниз по прямой линии. Это же тело, брошенное под углом к горизонту, будет двигаться под действием той же силы тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем) по некоторой кривой.

Таким образом, задания одних сил, действующих на материальную точку, еще недостаточно для определения конкретного закона ее движения. Для того чтобы выбрать из многообразия решений (1.17) то, которое соответствует решаемой нами конкретной задаче, нужно задать еще начальные условия движения. Начальное состояние движения точки определяется ее положением и ее скоростью в начальный момент времени, т. е. радиусом-вектором и скоростью при

В декартовой системе координат нужно задать соответствующие проекции:

при:

Совокупность этих данных называется начальными условиями движения.

Для выбора значений шести постоянных интегрирования, входящих в общее решение (1.17) и соответствующих решаемой конкретной задаче, используются начальные условия движения (1.18). Это делается следующим образом: во-первых, требуем, чтобы при значения определяемые выражениями (1.17), равнялись соответственно во-вторых, продифференцировав по времени выражения (1.17):

требуем, чтобы при равнялись соответственно

Таким образом, мы получим шесть уравнений для определения постоянных интегрирования:

Решая эти уравнения относительно постоянных найдем

Подставляя найденные значения постоянных в общее решение (1.17), получим решение задачи, соответствующее данным начальным условиям:

В курсах математики доказывается, что при определенных условиях, накладываемых на правые части уравнений (1.16) (если задача механики поставлена правильно, то эти условия обычно выполняются), решение (1.21) единственное. Это значит, что при данных начальных условиях и данных силах движение точки полностью и единственным образом определено.

Следует заметить, что наибольшие затруднения обычно представляет первый этап — получение общего решения (1.17); после этого постоянные интегрирования определяются без особых трудностей.

Покажем на примере решение чем ограничимся тем случаем, действует постоянная сила.

Пример №83

Исследовать движение материальной точки массы под действием силы тяжести; сопротивлением атмосферы пренебречь (рис. 1.4).

Выберем систему координатных осей так, чтобы ее начало совпадало с начальным положением точки ось направим вертикально вверх, а оси —горизонтально. Ось направим так, чтобы начальная скорость была расположена в плоскости Из рассмотрения рис. 1.4 следует, что проекции действующей на точку силы тяжести на оси координат равны

Следовательно, дифференциальные уравнения движения (1.16) чае будут иметь вид

или, после сокращения на

Интегрируя эти уравнения получим общее решение

Для определения постоянных интегрирования необходимо указать начальное состояние движения точки, т. е. ввести соответствующие начальные условия. Пусть начальная скорость составляет с осью угол Тогда в силу выбора координатной системы будем иметь следующие начальные условия;

при

В соответствии с (1.23) имеем

Используя теперь начальные условия, найдем постоянные интегрирования

Подставляя эти значения в общее решение (1-23), получим уравнения движения материальной точки, брошенной под углом к горизонту:

Из этих уравнений следует, что движение точки под действием силы тяжести происходит в вертикальной плоскости Траекторией точки будет парабола:

Таким образом, задача решена Дальнейшее исследование траектории (1 26) позволит определить дальность бросания и наибольшую высоту подъема После этого можно поставить задачу об оптимальных условиях бросания, например, выяснить, при каком угле достигается максимальная дальность (если считать значение заданным).

Прямолинейное движение материальной точки

Выясним, при каких условиях материальная точка совершает прямолинейное движение.

Пусть материальная точка движется по прямой линии, которую мы примем за ось тогда во все время движения будет Следовательно, на основании уравнений (1.16) должны тождественно выполняться равенства

т. е. если точка совершает прямолинейное движение, то сила, под действием которой происходит это движение, должна иметь линию действия, совпадающую с прямой, вдоль которой движется точка.

Однако необходимое условие (1.27) прямолинейного движения не является достаточным. Например, при движении точки под действием силы тяжести проекции силы на координатные оси, лежащие в горизонтальной плоскости, равны нулю, а точка движется не по прямой, а по параболе.

Для того чтобы материальная точка двигалась по прямой линии, необходимо и достаточно, чтобы действующая на нее сила была все время параллельна начальной скорости точки. Если же начальная скорость равна нулю, то движение будет происходить по прямой, параллельной направлению силы.

В самом деле, если направить координатные оси так, чтобы ось х была направлена по начальной скорости точки, а начало координат было совмещено с начальным положением точки, то условия (1 27) будут соблюдены и, следовательно

откуда

и

Имеем начальные условия- при тогда

т. е. траектория движения точки —прямая линия —ось Таким образом, показана и достаточность условий прямолинейности движения.

Ниже рассматриваются некоторые задачи о прямолинейном движении материальной точки, причем во всех случаях координатную ось мы будем совмещать с прямой, вдоль которой происходит движение. В таких задачах вектор действующей на точку силы полностью определяется его единственной проекцией

Рассмотрим несколько случаев прямолинейного движения материальной точки, в которых можно заранее указать методы интегрирования дифференциальных уравнений движения, каждый из случаев относится к определенному характеру действующей силы.

1. Прямолинейное движение материальной точки под действием силы, зависящей только от времени. Дифференциальное уравнение движения в этом случае имеет вид

откуда

Интегрируя, получим

где под понимается первообразная функция. Интегрируя далее, будем иметь

2. Прямолинейное движение материальной точки под действием силы, зависящей только от положения точки. В этом случае дифференциальное уравнение движения будет

Вводя получим

и, следовательно, дифференциальное уравнение примет вид

После интегрирования найдем

откуда

или, переходя к проекции скорости,

Интегрируя это уравнение, будем иметь

Вводя обозначение

получим

Решая это уравнение относительно найдем зависимость от времени и постоянных интегрирования:

Таким образом, задача решается при помощи двух квадратур.

3. Прямолинейное движение точки под действием силы, зависящей только от скорости точки. Дифференциальное уравнение движения

с помощью замены преобразуется к виду

Интегрируя это уравнение, получим

Если ввести обозначение

то последнее равенство примет вид

или

Решая это уравнение относительно будем иметь

откуда

Если уравнение нельзя решить относительно то поступим следующим образом: вводя преобразование

перепишем дифференциальное уравнение (1.33) в виде

откуда

Из этого уравнения находим

и после интегрирования будем иметь

откуда и определим как функцию времени

Пример №84

На покоящуюся материальную точку массы в момент времени начинает действовать сила, проекция которой на ось выражается зависимостью Найти закон движения и сравнить решение со случаем, когда указанная проекция изменяется по закону

Совмещая начало оси с начальным положением точки, получим дифференциальное уравнение движения в виде (1.29):

Согласно (1.30) записываем

т. е.

Подчиняя решение начальным условиям:

находим

Следовательно, материальная точка движется вдоль оси по закону

Из графика функции изображенного на рис. 1.5, а, видно, что точка постепенно удаляется от начального положения, совершая колебания около режима постоянной скорости.

Если на материальную точку действует косинусоидальная сила, то дифференциальное уравнение движения (1.29) будет

и в соответствии с (1.30) общее решение имеет вид

Из предыдущих начальных условий находим

поэтому закон движения выражается при помощи соотношения

На рис. 1.5, б изображен график этой функции; движение носит колебательный характер, причем точка не удаляется от начального положения дальше чем на

Мы получили на первый взгляд неожиданный результат. В обоих случаях на точку действовала периодическая сила, изменяющаяся по гармоническому закону; начальные условия также совпадали, однако отклонения точки от начального положения имеют различный характер. В первом случае наблюдается систематическое удаление точки от ее начального положения, во втором — удаления нет, движение имеет периодический характер.

С формально математической точки зрения ничего удивительного здесь нет. Периодичность изменения ускорения (второй производной от координаты) вовсе не влечет за собой периодичности изменения скорости (первой производной) и тем более самой координаты. Применительно к разобранному примеру можно привести следующие физические соображения. В первом случае сила, а значит, и ускорение меняются по синусоидальному закону Это значит, что в течение полупериода ускорение было положительно и точка набирала скорость. Затем направление силы и, следовательно, ускорение изменялись и скорость начинала убывать, так что к концу периода она достигла нуля. Таким образом, проекция скорости была все время одного знака Отсюда ясно, что координата за это время могла только возрастать и к началу следующего цикла изменения силы она получила конечное приращение. Такое же приращение отклонения произойдет за второй и последующие периоды.

Во втором же случае к концу первого полупериода проекция скорости окажется равной нулю, в течение последующего полупериода она окажется отрицательной и, изменяясь по синусоидальному закону, в конце периода станет равной нулю. Такая знакопеременность скорости приводит к периодичности отклонения

Пример №85

На материальную точку массы действует сила отталкивания пропорциональная координате и равная

где —коэффициент пропорциональности. Найти движение точки, если в начальный момент

Дифференциальное уравнение имеет вид

Уравнение движения имеет ту же форму, что и (1.31), однако здесь целесообразнее воспользоваться не общим приемом, а учесть то обстоятельство, что дифференциальное уравнение является линейным. Перенесем все члены этого уравнения в левую часть и разделим его на массу

Согласно общей теории линейных однородных дифференциальных уравнений будем искать решение в форме

Отсюда

Внесем эти значения для в дифференциальное уравнение и сократим его на в результате чего получим характеристическое уравнение

где

Решая характеристическое уравнение, найдем

Так как оба корня оказались вещественными, то общее решение дифференциального уравнения будет

Где — произвольные постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий движения. Имеем

Подставив в эти выражения для значения получим

Отсюда

Подставим эти значения для в выражение для

где гиперболический синус определен равенством

Полученное решение удовлетворяет выбранным начальным условиям (при Если начальные условия будут при то точка будет двигаться по закону

гиперболический) косинусу. График этой функции изображен на рис. 1.6 сплошной линией.

При относительно больших значениях времени второй член становится пренебрежимо малым и можно принять

(см. штриховую линию на рис. 1.6).

Заметим, что это приближенное решение не удовлетворяет начальным условиям.

Пример №86

Считая, что при прямолинейном движении корабля возникает сила сопротивления, пропорциональная квадрату его скорости, определить путь, который пройдет корабль после остановки двигателей за время, в течение которого скорость корабля уменьшится в два раза.

Обозначим через массу корабля и через его скорость в момент остановки двигателей. На корабль действуют три силы: сила тяжести архимедова сила и сила сопротивления причем где —постоянный коэффициент жидкостного сопротивления. Первые две силы вертикальны, а сила сопротивления горизонтальна и направлена в сторону, противоположную скорости корабля (рис, 1,7).

Напишем основное уравнение динамики (1,1) для рассматриваемого примера:

В проекции на горизонтальную ось получим

Перепишем это уравнение в виде

После интегрирования получим

Условимся отсчитывать время с момента остановки двигателей корабля, Тогда при и, следовательно,

Выражение (1.35) теперь может быть записано в виде

Так как то

И, следовательно,

Постоянную найдем из условия: т. е.

Отсюда от и равенство (1.37) принимает вид

Подставив сюда соотношение

получаемое из формулы (1.36), окончательно имеем

Полагая найдем путь, который пройдет корабль за время, в течение которого его скорость уменьшится вдвое:

Пример №87

Точка массы m падает на Землю из состояния покоя под действием постоянной силы тяжести. Найти скорость и закон движения точки, если сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости где — постоянная).

Дифференциальное уравнение движения имеет вид

т. е. соответствует форме (1.33).

Последуем указанному выше пути решения и обозначим Это позволит привести уравнение движения к уравнению первого порядка

или

После интегрирования получим

Так как движение начинается из состояния покоя, то Следовательно, имеем

откуда

Из этой формулы следует, что при т. е. скорость падения стремится к определенному пределу.

Перейдем теперь к нахождению закона движения. Так как то

или

отсюда

При следовательно, Таким образом, имеем

Даже при сравнительно небольших значениях времени поэтому, пренебрегая слагаемым получим приближенно

т. е. движение по истечении некоторого промежутка времени становится практически равномерным.

Как и в предыдущем примере, это решение вследствие своей приближенности не удовлетворяет начальным условиям; это можно понять, рассматривая рис.1.8, где графически представлены точное и приближенное решения.

Пример №88

Материальная точка начинает движение в вязкой жидкости с горизонтальной скоростью, равной по модулю Движение начинается из точки координатами (рис. 1.9). На точку действуют сила тяжести и сила сопротивления жидкости, пропорциональная скорости — коэффициент пропорциональности). Найти закон движения точки.

В качестве координатной плоскости примем вертикальную плоскость, проходящую через направление начальной скорости точки; ось направим вертикально вверх.

Силы, действующие на точку, равны

Дифференциальные уравнения движения имеют вид

или

Система уравнений движения распадается на три линейных уравнения, общие решения которых будут

Так как то при начальных условиях:

при

получим

и тогда

Отсюда следует, что движение точки будет происходить в вертикальной плоскости.

Для получения закона движения при отсутствии сопротивления среды следует устремить к нулю; тогда получим

Прямолинейные колебания материальной точки

Среди различных сил, которые могут действовать на материальную точку, особое место занимают восстанавливающие силы, т. е. силы, стремящиеся вернуть точку в положение равновесия. Такие силы зависят от отклонения точки от положения равновесия и направлены к положению равновесия.

Как мы увидим ниже, восстанавливающие силы придают движению материальной точки колебательный характер. Природа этих сил весьма разнообразна. Три случая показаны на рис. 2.1.

В первом случае (рис. 2.1, а) восстанавливающая сила обусловлена упругими свойствами пружины и возникает вследствие деформации пружины. Во втором случае (рис. 2.1, б) при вертикальных отклонениях плавающего понтона от положения равновесия возникает дополнительная (архимедова) сила, также направленная против отклонения и играющая роль восстанавливающей силы. В третьем случае (рис. 2.1, в) имеется в виду материальная точка, находящаяся в прямолинейном сквозном канале, который проходит внутри Земли. Если тело отклонено от положения равновесия, возникает составляющая силы притяжения, направленная к положению равновесия.

Однако, кроме восстанавливающих сил, в подобных случаях одновременно действуют, как правило, также силы сопротивления зависящие от скорости движения; таково в схеме рис. 2.1, а трение между телом и горизонтальной поверхностью, в схеме рис. 2.1, б — зависящее от скорости сопротивление воды, в схеме рис. 2.1, в —сопротивление воздуха и трение скольжения. Наконец, возможно, что к материальной точке приложена возмущающая сила, т. е. сила, являющаяся заданной функцией времени.

Настоящая глава посвящена систематическому исследованию всех вариантов сочетания указанных сил в случае прямолинейного движения материальной точки. Хотя эта задача представляет практический интерес и сама по себе, но еще более важно, что ее решение можно почти без всяких изменений использовать для многих других случаев колебаний.

Дело в том, что различные по своему физическому содержанию колебательные явления описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, поэтому выводы, полученные при изучении колебательного движения в какой-либо одной области, могут быть использованы и в других областях.

Наиболее просты для исследования те случаи колебательных движений, когда восстанавливающая сила пропорциональна отклонению точки от положения равновесия, а сила сопротивления пропорциональна скорости точки. Соответственно проекции восстанавливающей силы и силы сопротивления на ось имеют вид

В этих случаях дифференциальные уравнения движения линейны, соответственно такие колебания также называются линейными *).

В зависимости от того, какая комбинация сил действует на материальную точку, колебательное движение приобретает те или иные типичные особенности. В следующей таблице дана сводка различных изучаемых в дальнейшем типов линейных колебаний:

Возможны и более сложные случаи, когда сила зависит одновременно от координаты и времени и не может быть представлена в виде суммы а также когда сила зависит от координаты и скорости причем силу нельзя представить как сумму Эти случаи здесь не рассматриваются.

Свободные колебания

Рассматриваемая задача характеризуется тем, что на материальную точку действует только восстанавливающая сила в линейных задачах ее модуль пропорционален отклонению точки от положения равновесия. Проекция восстанавливающей силы на ось равна

где — коэффициент пропорциональности, а дифференциальное уравнение движения точки имеет вид

Положив получим

Таким образом, движение материальной точки под действием восстанавливающей силы описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения имеет вид

Так как его корни —чисто мнимые числа:

то общим решением диффереициальиого уравнения (2.2) будет

где — постоянные интегрирования.

Для большего удобства анализа этого решения введем новые постоянные интегрирования положив

Это можно сделать, так как из этих соотношений постоянные определяются через с помощью формул

Тогда

или

Постоянные (или постоянные определяются заданными начальными условиями — начальным положением и начальной скоростью движущейся точки.

Таким образом, под действием восстанавливающей силы материальная точка совершает движение по синусоидальному закону, т. е. гармоническое колебательное движение. Такие колебания называются свободными колебаниями.

Из уравнения (2.4) видно, что наибольшее отклонение материальной точки от положения равновесия (амплитуда колебаний) равно

Аргумент называется фазой колебаний, а величина —начальной фазой.

Величина называется угловой частотой колебаний и определяет число колебаний, совершаемых точкой за секунд. В дальнейшем величину для краткости будем называть просто частотой. Частота колебаний не зависит от начальных условий и определяется только параметрами системы (величинами По этому признаку частоту свободных колебаний называют также собственной частотой.

Для определения амплитуды и начальной фазы колебаний воспользуемся начальными условиями, которые должны быть заданы (в противном случае колебательный процесс не полностью определен). Пусть в начальный момент известны начальное положение материальной точки и начальная скорость

Тогда, подставив в уравнение движения (2.4) и в выражение для скорости

получим для определения два уравнения:

Отсюда находим

и поэтому закон движения точки определяется следующим уравнением:

График свободных колебаний материальной точки представлен на рис. 2.2; здесь отмечены начальное отклонение амплитуда колебаний а также промежуток времени в течение которого происходит одно полное колебание. Этот наименьший промежуток времени, по истечении которого движение точки полностью повторяется, называется периодом колебаний. Зависимость между периодом колебаний и частотой определится из условия периодичности движения:

откуда

или

Таким образом, период колебаний, так же как и частота, не зависит от начальных условий. Это свойство колебаний называется изохронностью. Как видно из (2.8), период и частота колебаний определяются величиной колеблющейся массы и коэффициентом пропорциональности с, причем с увеличением массы и уменьшением коэффициента с период колебаний увеличивается.

Пример №89

Груз массы подвешен на пружине, массой которой можно-пренебречь (рис. 2.3). На колеблющийся груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости создаваемая пружиной. Составить дифференциальное уравнение движения.

Отметим на рис. 2.3 три положения: —положение нижнего конца пружины в ее недеформированном состоянии —длина пружины в неинформированном состоянии), —положение равновесия груза, висящего на пружине, —текущее положение груза при его движении. Обозначим расстояние через (статическая деформация пружины) и направим ось вертикально вниз, выбрав начало отсчета в положении равновесия груза (точка

По закону Гука при относительно небольших перемещениях модуль силы упругости пропорционален деформации пружины. В нашем случае деформация пружины равна поэтому где —коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом жесткости пружины. Очевидно, что коэффициент жесткости численно равен силе, которую нужно приложить к концу пружины, чтобы деформировать ее на единицу длины. Проекция силы на ось равна — Дифференциальное уравнение движения груза имеет вид

Если груз находится в равновесии, то сила тяжести уравновешивается силой упругости, которая в положении равновесия равна (так как в этом случае Следовательно,

Принимая это во внимание, приведем дифференциальное уравнение движения груза к виду

или

где

Полученное дифференциальное уравнение совпадает с уравнением (2.2). Поэтому груз, подвешенный к пружине, совершает гармонические колебания с частотой

Если начало координат взять в точке или в верхнем неподвижном конце пружины, то дифференциальное уравнение движения усложнится. Так, если начало координат выбрано в точке и уравнение движения груза примет вид

или

Если начало координат выбрать в неподвижном конце пружины, то — длина пружины в недеформированном состоянии, Дифференциальное уравнение движения груза

после упрощения приводится к форме

Таким образом, рациональным выбором начала отсчета можно упростить форму дифференциального уравнения движения и, следовательно, его решение,

Пример №90

На понтон (рис. 2.1, б) действует его вес и архимедова выталкивающая сила Исследовать вертикальную качку понтона.

В состоянии равновесия вес понтона уравновешивается архимедовой силой Если это состояние по какой-либо причине нарушается и понтон дополнительно погрузится в воду, то согласно закону Архимеда выталкивающая сила возрастет, т. е. получит приращение, направленное вверх- Понятно, что при любых отклонениях понтона от положения равновесия приращение силы будет направлено против отклонения. Если понтон прямостенный (в первом приближении это можно принять), то приращение архимедовой силы пропорционально отклонению и определяется соотношением

где — удельный вес воды, — площадь, ограниченная ватерлинией (площадь сечения понтона горизонтальной плоскостью на уровне поверхности воды). Действительно, произведение определяет дополнительно вытесненный объем воды, так что произведение равно «потере веса» по закону Архимеда, т. е. приращению модуля силы

Допустим, что после нарушения состояния равновесия понтон будет предоставлен самому себе. В любой момент последующего движения на понтон действуют две силы: сила тяжести (направленная вниз) и архимедова сила (направленная вверх). Дифференциальное уравнение движения в проекции на ось имеет вид

Учитывая, что найдем

т. е.

Полученное дифференциальное уравнение совпадает с подробно исследованным уравнением (2.2). Поэтому, независимо от начальных условий, можно сразу найти период (2.8) вертикальной качки понтона:

Пусть, например, площадь ватерлинии понтона равна и его вес составляет Тогда находим

Приведенное решение грубо приближенное, гак как выталкивающая сила определялась по закону Архимеда, справедливому лишь для условий покоя. В данном случае следовало бы рассмотреть более сложные явления гидродинамического характера, связанные с движением воды при качке. Как показывают более подробные исследования, эти дополнительные обстоятельства можно учесть, условно добавляя некоторую массу воды («присоединенную массу») к массе понтона.

В заключение рассмотрим еще одну задачу.

Пример №91

Для определения коэффициента сухого трения может быть использована установка, изображенная на рис. 2.4. Она состоит из двух валов, вращающихся с одинаковыми угловыми скоростями в разные стороны, на которые кладется пластина. При совпадении центра тяжести пластины с серединой расстояния между осями (точкой пластина находится в равновесии под действием равных и противоположно направленных сил трения Исследовать движение пластины, если в начальный момент ее равновесие было нарушено.

Если каким-либо способом нарушить состояние равновесия пластины, то она придет в движение в горизонтальной плоскости. Вследствие смещения центра тяжести давления на диски окажутся неодинаковыми. Соответственно нарушится равенство сил трения, причем равнодействующая сил трения окажется направленной к точке т. е. в сторону положения равновесия, и будет восстанавливающей силой. Благодаря действию этой силы возникает процесс свободных колебаний, период которых зависит от свойств трения между пластиной и валами. Это позволяет по опытным значениям периода колебаний определить коэффициент трения

Для вывода соответствующей формулы составим дифференциальное уравнение горизонтальных колебаний пластины. Вдоль оси действуют сила трения, приложенная в точке равная и направленная вправо, и сила трения, приложенная в точке равная и направленная влево. Если центр тяжести пластины смещен от положения равновесия на величину то где —вес пластины, — расстояние между осями валов *). Дифференциальное уравнение движения пластины имеет вид

Положив получим

отсюда сразу следует, что период колебаний равен

Разрешая последнее уравнение относительно получим окончательную формулу

Определив из опыта период колебаний и зная расстояние между осями колес найдем отсюда коэффициент трения скольжения.

Свободные колебания при линейно-вязком сопротивлении

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки под действием линейной восстанавливающей силы и линейной силы сопротивления. Совместим начало координат с положением равновесия точки. Проекция восстанавливающей силы на ось равна — Так как сила сопротивления всегда направлена в сторону, противоположную направлению скорости точки, то проекция силы сопротивления на ось равна — — коэффициент пропорциональности, характеризующий сопротивление среды (рис. 2.5).

Таким образом, дифференциальное уравнение движения точки запишется следующим образом:

Вводя обозначения получим

Это —линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение имеет вид и его корни равны

Характер движения точки существенно зависит от соотношения величин

Если (случай малого сопротивления), то корни характеристического уравнения комплексно сопряженные. Если (случай большого сопротивления), то корни вещественные. Рассмотрим подробно каждый из этих случаев.

1. Случай малого сопротивления Корни характеристического уравнения будут

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид

где —постоянные интегрирования.

Для большей наглядности введем новые постоянные при помощи формул

Тогда получим

Из этого уравнения видно, что т. е. движение является затухающим. Это затухающее движение носит колебательный характер, так как, приближаясь (при к состоянию равновесия, система будет проходить через это состояние бесконечное число раз в моменты времени, равные

где (рис. 2.6).

Движение, описываемое формулой (2.13), не является периодическим, так как с течением времени последовательные максимальные отклонения точки от положения равновесия уменьшаются.

Важно, что максимальные отклонения точки от положения равновесия хотя и уменьшаются с течением времени, но промежуток времени между двумя любыми последующими отклонениями (например, в сторону положительного направления оси есть постоянная величина, равная Эту величину условно называют периодом затухающих колебаний.

Рассмотрим подробнее график движения (см. рис. 2.6). На этом рисунке кривые являются границами области, внутри которой располагается график движения.

Вычислим моменты времени, соответствующие максимальным отклонениям точки от положения равновесия. С этой целью найдем скорость точки

и приравняем ее нулю. Будем иметь

Отсюда следует, что если (наименьший корень полученного уравнения) соответствует первому максимальному отклонению в положительном направлении оси то последующие максимальные отклонения в положительном направлении оси будут достигаться в следующие моменты времени:

где

Из этой формулы видно, что при вязком трении период затухающих колебаний больше периода незатухающих колебаний, равного Максимальные отклонения соответствующие моментам времени

равны

при этом учтено, что

где

Из формул для видно, что отношение последующего максимального отклонения вдоль положительного направления оси к предыдущему постоянно и равно

Таким образом, амплитуды затухающих колебаний при вязком сопротивлении убывают в геометрической прогрессии. Величина (знаменатель геометрической прогрессии) называется декрементом колебаний (или фактором затуханий), а модуль натурального логарифма этой величины

называется логарифмическим декрементом колебаний *).

Заметим, что если является положительным корнем уравнения то моменты времени, в которые график движения касается кривой будут:

Декремент колебаний можно определить как отношение отклонения при к отклонению при

Для определения постоянных интегрирования используем начальные условия: при

Подставляя эти условия в уравнения (2.13) и (2.14), получим уравнения для определения постоянных

откуда

2. Граничный случай Корни характеристического уравнения в этом случае будут вещественными и кратными:

и, следовательно, общее решение уравнения движения (2.11) имеет вид

где — постоянные интегрирования. Принимая во внимание, что

получим при начальных условиях: при следующие уравнения для определения постоянных интегрирования

Отсюда

Таким образом, для заданных начальных условий уравнение движения точки запишется в виде

Из этой зависимости следует, что в рассматриваемом случае движение точки уже не носит колебательного характера, но остается затухающим движением, так как

Такое движение называется апериодическим. Для построения графиков этого движения найдем момент времени, соответствующий максимальному отклонению точки от положения равновесия, и момент времени прохождения точки через положение равновесия.

Приравнивая производную по времени от нулю:

имеем

Из условия получим

Для имеем и график движения имеет вид, показанный на рис. 2.7, а.

Если будет т. е. экстремальных точек нет и график движения имеет вид, показанный на рис. 2.7, б; при получаем, что Это значит, что точка, получив начальную скорость, пройдет в дальнейшем движении положение равновесия (при и при достигнет положения, соответствующего максимальному отклонению точки от положения равновесия. Далее точка будет асимптотически приближаться к положению равновесия. График движения для этого случая показан на рис. 2.7, в.

Отметим, что при характер графиков не изменится.

3. Случай большого сопротивления В этом случае корни характеристического уравнения

являются действительными и отрицательными. Общее решение уравнения движения (2.11) имеет вид

Так как

то при начальных условиях: уравнения для определения постоянных интегрирования будут

Найдя отсюда

и подставив эти в выражение (2.20), получим

Это уравнение описывает апериодическое затухающее движение при так как отрицательны).

Продифференцировав выражение (2.21) по времени и приравняв полученный результат нулю, получим значение соответствующее максимальному отклонению точки от положения равновесия:

Принимая во внимание, что —это выражение можно переписать в виде

Очевидно, что будет больше нуля для тех значений для которых

Момент времени в который координата определяемая формулой (2.21), обращается в нуль, найдем по формуле

Отсюда следует, что будет больше нуля при

Виды графиков движения для рассматриваемого случая представлены соответственно

для на рис. 2.7, а;

Пример №92

При наблюдении колебаний груза весом 3 кГ по виброграмме *) было установлено, что «огибающая» графика затухающих колебаний имеет вид графика показательной функции (экспоненты), причем за один период амплитуда колебаний уменьшается вдвое. По той же виброграмме определено, что период колебаний равен 0,3 сек. Определить коэффициент жесткости пружины и коэффициент силы вязкого сопротивления.

Для решения задачи используем следующие соотношения:

Подставив в эти формулы числовые данные, получим

Решая эти уравнения относительно находим

Пример №93

Пользуясь данными предыдущей задачи, определить, во сколько раз следует уменьшить массу груза, чтобы свободное движение системы стало апериодическим.

Пусть — новая масса, тогда, вводя обозначение будем иметь

Условия задачи будут удовлетворены, если т. е.

Используя данные предыдущей задачи, получим, что массу следует уменьшить в

Пример №94

Материальная точка совершает затухающие колебания под действием линейной восстанавливающей силы и силы сопротивления, пропорциональной первой степени скорости, причем постоянная составляет одну десятую от частоты незатухающих колебаний Определить разность между периодами затухающих и незатухающих колебаний, а также во сколько раз уменьшится амплитуда затухающих колебаний через восемь полных колебаний.

Составим отношение периодов колебаний

Так как по условию задачи число мало, то, пользуясь хорошо известной приближенной формулой справедливой при малых значениях и любых получим с достаточно хорошей точностью

Отсюда

Следовательно, период затухающих колебаний превышает период незатухающих колебаний всего на 0,005 = 0,5% (по условию задачи

Рассмотрим теперь ряд последовательных амплитуд затухающих колебаний: Так как эти амплитуды убывают по закону геометрической прогрессии, то

где —декремент колебаний, определяемый формулой (2.16). Отсюда

Заменив период затухающих колебаний на его приближенное значение получим

Внеся сюда найдем

Таким образом, при относительно небольшом значении сил сопротивления период затухающих колебаний мало отличается от периода незатухающих колебаний, но колебания гасятся весьма интенсивно —через восемь колебаний амплитуда уменьшается в 152 раза, т. е. колебания практически прекращаются.

Свободные колебания при трении скольжения

Для простоты рассуждений рассмотрим движение прикрепленного к пружине тела весом по шероховатой горизонтальной плоскости. Совместим начало координат с точкой, соответствующей положению тела при недеформированном состоянии пружины (рис. 2.8).

Дифференциальное уравнение движения тела имеет вид

где — проекция на ось силы, действующей на точку со стороны пружины —коэффициент жесткости пружины), —проекция на ось силы сухого трения. Сила сухого трения направлена в сторону, противоположную направлению скорости тела, и по модулю равна — коэффициент трения.

Таким образом, окончательно дифференциальное уравнение движения тела распадается на два знакомых нам линейных уравнения: или

где по-прежнему

Допустим, что груз смещен от исходного положения вправо на расстояние и затем свободно, без начальной скорости, отпущен. Тогда движение начнется при следующих условиях:

Предполагается, что в указанном смещенном положении восстанавливающая сила больше силы трения, т. е. При нарушении этого условия движение не начнется. Для интегрирования уравнения (2.22) введем новую переменную

Тогда

Общее решение этого уравнения имеет вид

т. е.

где —постоянные интегрирования. Для их определения воспользуемся приведенными начальными условиями, тогда получим

Следовательно, груз будет двигаться по закону:

Однако это справедливо лишь до тех пор, пока скорость

остается отрицательной, т. е. до момента

При этом значение соответствующее крайнему левому положению, равно

Амплитуда первого отклонения влево определяется равенством

В рассмотренном интервале времени тело совершит половину колебательного цикла относительно среднего положения

Дальнейшее (обратное) движение возможно, если

Допустим, что это условие соблюдается; тогда начнется движение вправо прн новых начальных условиях

Дифференциальное уравнение движения на этом участке имеет вид

Решение дифференциального уравнения (2.27) при указанных начальных условиях запишется следующим образом:

В конце второго участка движения откуда следует, что промежуток времени, в течение которого происходит движение во втором этапе, равен

Подставляя значение в уравнение (2.28), получим наибольшее отклонение в конце второго этапа:

Если при этом то вновь начнется движение влево. Здесь нужно снова обратиться к дифференциальному уравнению (2.22) и решать его при следующих начальных условиях:

Понятно, что при этом вновь приходим к уравнениям (2.24) —(2.26), в которых следует заменить на Легко заметить, что на каждый полупериод максимальное отклонение тела от начала координат уменьшается на величину, равную причем длительность каждого полупериода равна

Имея в виду сказанное, можно записать следующую последовательность максимальных отклонений через каждый полупериод:

Складывая почленно все равенства, найдем

Таким образом, при сухом трении последовательные амплитуды колебаний убывают по закону арифметической прогрессии, разность которой равна период затухающих колебаний при сухом трении равен периоду незатухающих колебаний Напомним, что при вязком трении амплитуды колебаний убывают по геометрической прогрессии, а период затухающих колебаний больше периода незатухающих колебаний.

Колебания будут происходить до тех пор, пока сила упругости в одном из крайних положений не сделается меньше силы трения

или

Пользуясь выражением для получим

Это неравенство может служить . для определения числа полуколебаний до или начального отклонения по известному числу полукоколебаний груза

На рис. 2.9 построен график колебаний. Параллельно оси времени проведены две прямые: Около верхней прямой располагаются косинусоиды, соответствующие движению влево (нечетные полупериоды), а около нижней прямой —косинусоиды, соответствующие движению

вправо (четные полупериоды). Если какой-либо полупериод заканчивается в полосе, расположенной между двумя прямыми, то движение прекращается; эта полоса называется зоной застоя. «Огибающие» графика движения имеют вид наклонных прямых.

Пример №95

В системе, изображенной на рис. 2.8, коэффициент жесткости пружины с = 2 кГ/см, вес груза 3 кГ и коэффициент сухого трения Какому условию должно удовлетворять начальное отклонение груза, чтобы до полной остановки он совершил не более 10 полных колебаний?

По условию задачи должно выполняться неравенство

где —число полу периодов. Подставляя сюда

получаем

Вынужденные колебания

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки под действием восстанавливающей силы и внешней возмущающей силы. Возмущающая сила может быть произвольной функцией времени, однако мы ограничимся простейшим, но практически весьма важным случаем, когда сила изменяется по гармоническому закону. Пусть проекция возмущающей силы на ось равна где —амплитуда и - частота возмущающей силы, —начальная фаза. Тогда дифференциальное уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид

или

где

Решив дифференциальное уравнение (2.29), мы определим закон движения материальной точки. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (2.29) равно сумме решений: частного решения уравнения (2.29) и общего решения однородного уравнения

Общее решение последнего уравнения мы уже знаем:

где — постоянные интегрирования. Если то частное решение уравнения (2.29) будем искать в виде

где —неизвестная постоянная. Для ее определения подставим выражения в уравнение (2.29):

или

Для тождественного выполнения этого равенства должно быть

Частное решение имеет вид

Следовательно, общее решение уравнения (2.29) запишется в форме

Постоянные не зависят от начальных условий. Таким образом, искомое движение материальной точки является суммой гармонических колебаний, происходящих с собственной частотой и гармонических колебаний, происходящих с частотой возмущающей силы Подробно исследуем второе слагаемое в (2.31), описывающее чисто вынужденные колебания и не зависящее от начальных условий.

Амплитуда чисто вынужденных колебаний равна

Перепишем решение (2.30), используя формулу (2.32):

Из полученных соотношений следует, что при фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой возмущающей силы; при вынужденные колебания сдвинуты по фазе от возмущающей силы на

Проследим зависимость амплитуды вынужденных колебаний от отношения частот Для этого преобразуем выражение амплитуды вынужденных колебаний

где — величина статического отклонения точки от положения равновесия при действии силы, равной максимальному значению возмущающей силы. Обозначим

Величина представляет собой коэффициент динамичности; он показывает, во сколько раз амплитуда колебаний превосходит статическое отклонение. Из графика (рис. 2.10) видно, что при коэффициент динамичности резко возрастет.

Вернемся теперь к общему решению (2.31). Записав его в виде

определим постоянные интегрирования, если при

Подставив начальные условия в уравнение (2.34) и в выражение для скорости движения

получим

Подставляя в соотношение (2.34), будем иметь

Такая запись решения позволяет установить, что даже при нулевых начальных условиях точка будет совершать колебания, происходящие с собственной частотой; они определяются членом причем амплитуда этих колебаний не зависит от начальных условий.

При частоте близкой к собственной частоте благодаря сложению двух колебаний близкой частоты, одинаковой амплитуды и противоположных по фазе, наступает своеобразное явление, называемое биением.

Пусть тогда выражение (2.35) при примет вид (приближенно полагаем

или График этого движения представлен на рис. 2.11.

Показанные здесь биения представляют собой колебания, происходящие с частотой возмущающей силы, причем амплитуда этих колебаний медленно меняется, следуя также периодическому закону. Рассмотрим теперь случай, когда собственная частота совпадает с частотой возмущающей силы, т. е. Частное решение уравнения (2.29) в этом случае нужно искать в виде

Подставив выражение (2.37) в дифференциальное уравнение (2.29), получим

Введя обозначение перепишем это соотношение в виде

Это равенство будет тождественно удовлетворено, если

Отсюда

и, следовательно,

Общее решение имеет вид

При начальных условиях имеем*)

На рис. 2.12 показан график функции Как видно, при происходит неограниченное возрастание амплитуды колебаний, причем рост амплитуды линеен во времени. Это явление носит название резонанса.

Пример №96

Груз веса прикреплен к нижнему концу вертикально расположенной пружины, жесткость которой равна а длина в ненапряженном состоянии Верхний конец пружины перемещают по закону в вертикальном направлении (рис. 2.13).

Определить вынужденные колебания груза приняв Выберем начало координат в точке и проведем ось вертикально вниз. Если — длина пружины в ненапряженном состоянии, то удлинение пружины равно и, следовательно, сила, действующая на груз со стороны пружины, равна

Дифференциальное уравнение движения имеет вид

или

где Введем новую переменную согласно равенству

тогда дифференциальное уравнение движения преобразуется к следующей форме:

Введение новой переменной равносильно переносу начала координат в положение равновесия груза. Вынужденные колебания груза определяются формулой (2.30):

Подставляя сюда числовые значения параметров, получим

Так как то

В этом случае амплитуда колебаний груза (4 см) вдвое больше амплитуды колебаний точки подвеса пружины. Заметим, что груз колеблется около среднего положения, удаленного от верхнего конца пружины на 40 см\ этому положению соответствует состояние равновесия груза.

Вынужденные колебания при наличии вязкого сопротивления

Рассмотрим движение материальной точки вдоль оси под действием линейной восстанавливающей силы, вязкой силы сопротивления и возмущающей силы, проекция которой на ось равна

Дифференциальное уравнение движения имеет вид

Положив получим

Решение дифференциального уравнения (2.39) складывается из двух решений: общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения уравнения (2.39).

Как показано, при решение однородного уравнения записывается в виде

где — постоянные интегрирования, a

Частное решение уравнения (2.39) будем искать в виде

где — неопределенные постоянные величины. Таким образом, мы предполагаем, что частное решение описывает колебания постоянной амплитуды, происходящие с частотой возмущающей силы.

Находя

и подставляя значения в уравнение (2.39), получив

Положив и воспользовавшись соотношением

для определения будем иметь следующие уравнения:

откуда

Подставив найденные значения в частное решение, получим

где

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (2.39) имеет следующий вид:

Для определения закона движения материальной точки нужно найти постоянные Пользуясь начальными условиями: получим значения постоянных

где —амплитуда вынужденных колебаний.

Подставив значения в уравнение (2.43), найдем закон движения материальной точки в рассматриваемом случае:

Следовательно, движение материальной точки складывается: из свободных затухающих колебаний (первое слагаемое), обусловленных начальными условиями; из затухающих колебаний (второе слагаемое), имеющих собственную частоту, но вызванных действием вынуждающей силы, и чисто вынужденных колебаний (третье слагаемое). Так как первые два движения с течением времени затухают, то основным колебанием, определяющим характер движения материальной точки, является чисто вынужденное колебание с амплитудой и частотой Следует заметить, что при наличии сопротивления вынужденные колебания сдвинуты по фазе относительно возмущающей силы на

Вводя обозначения перепишем формулу (2.41) в виде

где представляет собой статическое перемещение, вызываемое постоянной силой

Введем в рассмотрение коэффициент динамичности

который характеризует динамический эффект, вызываемый вынуждающей силой.

Исследуем зависимость коэффициента динамичности от — отношения частот вынуждающей силы и собственных колебаний в среде без сопротивления, а также от коэффициента характеризующего сопротивление среды. Очевидно, что, найдя зависимость коэффициента динамичности от мы тем самым определим и зависимость от них амплитуды вынужденных колебаний.

Найдем экстремум функции

Для этого приравняем нулю производную

Корнями этого уравнения будут

Так как то корень должен быть отброшен. Найдем вторую производную от

Для при

и, следовательно, функция у имеет минимум, а коэффициент динамичности —максимум. Других действительных корней при этих значениях уравнение (2.47) не имеет.

Если то для Это значит, что при этом имеет минимум. Для корня же

т. е. при коэффициент динамичности имеет максимум.

Заметим, что всегда и, только когда (среда без сопротивления), Ранее было показано, что при и решение (2.40) не имеет смысла и его нужно искать в виде (2.37).

Максимальное значение коэффициента динамичности найдем, подставив в формулу (2.45):

На рис. 2.14 показаны кривые, определяющие зависимость коэффициента динамичности от Каждой из кривых соответствует определенное значение Пунктирная линия проходит через точки максимума.

Из рассмотрения этого рисунка следует, что амплитуда вынужденных колебаний при достаточно большом и достаточно малом по сравнению с очень мало зависит от сопротивления среды. При близких к влияние сопротивления на амплитуду вынужденных колебаний весьма существенно.

При амплитуда вынужденных колебаний асимптотически стремится к нулю. Это значит, что при большой частоте возмущающей силы по сравнению с собственной частотой амплитуда вынужденных колебаний весьма мала.

На рис. 2.15 представлена зависимость сдвига фазы вынужденных колебаний относительно возмущающей силы в зависимости от Отметим, что при сдвиг фазы равен при любом значении Резонансом при колебаниях в среде с сопротивлением называют вынужденные колебания при т.е. при что отвечает примерно максимальному значению амплитуды вынужденных колебаний.

Пример №97

Под двигатель (рис. 2.16) требуется подвести фундамент. Нбобходимо определить такую толщину кладки чтобы коэффициент динамичности не превышал единицы для всех частот вынужденных колебаний, передаваемых от двигателя фундаменту. Сопротивление грунта можно схематизировать как реакцию упругих сил и вязких сил вызванных внутренними силами сопротивления. Отнесенные к единице площади фундамента, коэффициенты жесткости и вязкости соответственно равны и Плотность фундамента

Введем систему координат выбрав ее начало в положении равновесия центра тяжести фундамента.

Обозначим через площадь основания и представим проекцию вынуждающей силы на ось в виде Тогда уравнение движения

в проекции на ось дает

Здесь мы воспользовались очевидными равенствами

где —статическая осадка фундамента.

Приведем уравнение движения к нормальному виду. Для этого разделим его на и воспользуемся равенством

Сравнивая с уравнением (2.39), найдем

Следовательно, безразмерный коэффициент вязкости равен

Коэффициент динамичности при всех частотах не будет превосходить единицы, если потребовать, чтобы кривая не имела максимума при Следовательно, должно выполняться неравенство или

Отсюда получим толщину кладки

Подставляя в это неравенство данные числовые значения параметров, получим

Электродинамические аналогии. Понятие об исследовании колебаний материальных систем с помощью электронных аналоговых машин

Колебательные процессы, происходящие в различных физических системах, описываются часто одинаковыми математическими уравнениями. Это обстоятельство дает возможность установить аналогию между системами различной физической природы. Наиболее полно эта аналогия установлена между механическими и электрическими системами. Рассмотрим механическую систему с одной степенью свободы, движение которой описывается следующим дифференциальным уравнением:

Здесь — координата, —масса точки, — коэффициент сопротивления среды, — коэффициент жесткости пружины, - возмущающая сила. Символически систему, отвечающую уравнению (2.50), изображают обычно схемой, показанной на рис. 2.17.

Рассмотрим теперь электрический контур, в котором индуктивность омическое сопротивление конденсатор емкостью и внешний источник энергии э. д. с. соединены последовательно (рис. 2.18). Согласно второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений на отдельных участках цепи равна разности потенциалов на концах зажимов, т. е. э. д. с. источника энергии. Падение напряжения от индуктивности равно где — сила тока, падение напряжения от омического сопротивления равно а падение напряжения в конденсаторе определяется равенством где — заряд конденсатора. Следовательно, по второму закону Кирхгофа будем иметь

или, учитывая, что

Сравнивая с уравнением (2.50), видим, что колебания механической системы с одной степенью свободы и изменение заряда в электрической цепи описываются с точностью до обозначений совершенно одинаковыми дифференциальными уравнениями. Следовательно, между этими системами можно провести аналогию, сопоставив заряд с координатой индуктивность с массой омическое сопротивление с коэффициентом сопротивления среды, величину, обратную емкости с коэффициентом жесткости и электродвижущую силу с возмущающей силой

Для электрического контура с параллельно соединенными элементами (рис. 2.19) на основании первого закона Кирхгофа будем иметь (складываются токи)

где —напряжение.

Дифференцируя по времени, получим

Здесь мы имеем другую систему аналогий, в которой координате соответствует напряжение массе соответствует емкость конденсатора, коэффициенту сопротивления среды

отвечает проводимость коэффициенту жесткости пружины — величина, обратная индуктивности и возмущающей силе — скорость изменения тока

Сведем результаты в таблицу электродинамических аналогий.

Для того чтобы электродинамическими аналогиями можно было пользоваться без употребления переходных коэффициентов, достаточно выразить все величины в международной системе единиц СИ.

Пользуясь электродинамической аналогией можно для каждой механической системы построить соответствующую электрическую цепь, уравнения которой будут с точностью до обозначений совпадать с уравнениями движения механической системы. Электрическая цепь, в отличие от механической системы, компактна; кроме того, процессы, происходящие в ней, хорошо наблюдаются на осциллографе. Эти соображения лежат в основе конструкции электронных аналоговых (моделирующих) машин *).

Аналоговые машины имеют набор смонтированных быстро настраиваемых элементов индуктивностей, емкостей, сопротивлений или других элементов, создающих аналогичный эффект. Соединяя эти элементы в соответствующие цепи, можно определить все параметры, характеризующие движение механической системы, для которой собранная цепь является аналогом. В частности, весьма просто определяются частоты собственных колебаний системы. Для этого достаточно включить в цепь э. д. с. и увеличивать частоту до тех пор, пока не наступит резонанс.

Соответствующая частота— собственная частота системы. Эта работа не требует высокой квалификации (сложность работы на собранной схеме примерно та же, что и сложность настройки радиоприемника) и может быть выполнена за сравнительно короткий промежуток времени с относительно большой точностью.

С помощью электронных аналоговых машин можно решать нелинейные задачи, когда линеаризация дифференциальных уравнений движения по каким-либо причинам недопустима, а также задачи, приводящие к линейным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами. В заключение отметим, что в современных аналоговых машинах устанавливается, как правило, не электродинамическая, а электроматематическая аналогия, когда математическим операциям сложения, умножения, дифференцирования, интегрирования и т. п. отвечает соответствующий электрический элемент. Такие машины более универсальны.

Общие теоремы динамики точки

При интегрировании дифференциальных уравнений движения в конкретных задачах эти уравнения подвергаются различным однотипным преобразованиям, зависящим от характера действующих сил. Поэтому целесообразно проделать такие преобразования в общем виде. Общие теоремы динамики точки и представляют собой цреобразования дифференциальных уравнений движения, причем в различных теоремах выделены и связаны между собой те или иные характеристики движений. В результате получаются удобные зависимости, широко используемые для решения конкретных задач динамики.

Теорема об изменении количества движения материальной точки

Заметим, что в основном уравнении динамики

масса материальной точки — величина постоянная и что

Это позволяет переписать уравнение (3.1) в виде

откуда следует, что

Вектор равный произведению массы точки на ее скорость, называется количеством движения материальной точки.

Произведение силы на элементарный промежуток времени ее действия, т. е. называемся элементарным импульсом силы.

Уравнение (3.2) выражает теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме:

• элементарное изменение количества движения материальной точки равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке.

Рассмотрим теперь движение материальной точки на конечном промежутке времени. Пусть в момент скорость точки

равна а в момент равна Тогда, интегрируя уравнение (3.2), можно записать

Интеграл, входящий в правую часть этого соотношения, называется импульсом силы за промежуток времени Таким образом,

изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно импульсу силы, приложенной в точке, за тот же промежуток времени.

Если воспользоваться декартовой системой координат, то будем иметь

где —координаты точки, — компоненты ее скорости, — проекции силы, a —единичные векторы осей координат. Тогда, проектируя векторное равенство (3.3) на оси декартовой системы координат, получим три скалярных соотношения:

Здесь, как и ранее, — проекции скорости материальной точки на оси координат в момент времени — те же проекции в момент — проекции силы

Как отмечалось, в общем случае может быть функцией координат точки, ее скорости и времени, т. е.

и, следовательно, проекции силы также являются функциями этих величин:

Поэтому для фактического вычисления интегралов, стоящих в правых частях уравнений (3.4), нужно знать координаты материальной точки как функции времени. Но определение и как функций времени и есть то, к чему мы стремимся, решая вторую задачу динамики. Если эти функции откуда-либо известны, то отпадает необходимость пользоваться уравнениями (3.4). Таким образом, в общем случае теорема об изменении количества движения новых возможностей для решения задачи не открывает.

Однако, если сила является функцией только времени, интегралы в правых частях уравнений (3.4) могут быть вычислены и можно получить первые интегралы уравнений движения

где

— проекции импульса силы на оси координат.

Дальнейшее интегрирование также не представляет принципиальных трудностей:

Здесь — начальные значения координат в момент времени

Если сила постоянна, т. е. — постоянные величины), то

и

В частном случае при будем иметь

и

т. е. материальная точка совершает равнопеременное прямолинейное движение вдоль оси

Пример №98

Определить промежуток времени необходимый для того, чтобы материальная точка веса движущаяся по горизонтальной прямой под действием постоянной силы увеличила свою начальную скорость в раз.

Примем прямую, вдоль которой движется точка, за ось тогда на основании (3.6) имеем

откуда

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки

Вновь вернемся к основному уравнению динамики (3.1) и умножим его векторно слева на радиус-вектор точки определяющий положение материальной точки относительно какой-либо точки которую будем называть центром:

Принимая во внимание, что преобразуем левую часть этого уравнения следующим образом:

Ho и векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Поэтому и уравнение (3.8) можно записать в виде

Вектор называется моментом количества движения материальной точки относительно центра (точки

Вектор нам известен из курса статики и представляет собой момент силы, приложенной к точке, относительно центра.

Таким образом,

Это уравнение выражает собой теорему об изменении момента количества движения материальной точки:

производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какого-либо центра равна моменту силы, приложенной к точке, относительно того же центра.

Векторное уравнение (3.10) эквивалентно трем скалярным равенствам.

Принимая точку за начало системы координат и записывая векторные произведения в виде определителей третьего порядка, вместо (3.10) получаем

откуда

Полученный результат можно сформулировать следующим образом: производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какой-либо оси равна моменту силы, приложенной к точке, относительно той же самой оси.

Как видно из уравнений (3.11), при их интегрировании необходимо вычисление интегралов от правых частей. Однако вычисление этих интегралов возможно только тогда, когда известны как функции времени, но тогда отпадает вообще надобность в применении равенств (3.11).

Тем не менее существуют случаи, когда теорема об изменении момента количества движения дает возможность эффективно решать задачи динамики.

К ним относится прежде всего случай действия центральной силы. Этим термином мы будем пользоваться применительно к любой силе, линия действия которой проходит через некоторую фиксированную точку пространства*) (полюс). Так, например, при изучении движения Земли в Солнечной системе на Землю действует сила притяжения Солнца, все время направленная к центру Солнца.

Изучим действие центральной силы. Момент силы относительно точки, через которую проходит линия действия, тождественно равен нулю. Следовательно, согласно равенству (3.10) момент количества движения материальной точки относительно полюса является постоянной величиной:

Таким образом, мы получим сразу три первых интеграла движения:

На основании этих результатов можно сделать некоторые общие выводы о характере движения материальной точки.

Для этой цели введем понятие секторной скорости. Секторная скорость вводится как вектор, характеризующий быстроту изменения площади поверхности, описываемой радиусом-вектором.

Пусть в момент времени материальная точка находится в точке траектории, а в момент времени —в точке (рис. 3.1). Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения радиуса-вектора на вектор перемещения т. е.

Разделив обе части этого соотношения на и переходя к пределу при получим

так как — скорость точки в момент времени

Формула (3.14) определяет модуль секторной скорости. Заметим, что величина секторной скорости может быть вычислена как площадь треугольника, построенного на векторах и За направление вектора секторной скорости примем направление векторного произведения радиуса-вектора на скорость точки. Тогда вектор секторной скорости равен

т. е. секторная скорость равна половине векторного произведения радиуса-вектора точки на ее скорость.

Сравнивая (3.15) с основным выражением для можем написать интеграл (3.12) в следующей форме:

Следовательно, в случае действия центральной силы секторная скорость точки есть постоянная величина, т. е. радиус-вектор точки описывает равные площади в любые одинаковые промежутки времени. Этот результат называется законом площадей. Но, кроме того, из (3.16) следует, что траектория точки является плоской кривой. В самом деле, вектор сохраняет постоянное направление в пространстве, поэтому на основании формулы (3.15) можно утверждать, что вектор будет все время расположен в плоскости, перпендикулярной к вектору т. е. траектория точки лежит в этой плоскости *).

Предположим, что движение происходит в плоскости и положение точки определяется полярными координатами Тогда и формула (3.15) может быть записана в виде

где —единичный вектор, перпендикулярный к плоскости, в которой происходит движение.

Если вектор является постоянной величиной, то его проекция на направление, определяемое направлением вектора также постоянная величина, т. е.

где —постоянная величина.

Соотношение (3.18) называется законом площадей. Это соотношение может быть получено и другим путем. Если плоскость, в которой расположена траектория, будет плоскостью то вместо векторного равенства (3.16) можно записать

или

где —постоянная величина.

Так как в полярных координатах

то, принимая во внимание, что

получим

Пример №99

Траектория наиболее удаленной от Солнца планеты Плутон имеет вид эллипса, причем расстояние от Солнца до Плутона меняется от км (рис. 3.2). Определить отношение между максимальной и минимальной скоростью Плутона.

Секторные скорости точки, движущейся по эллипсу, в моменты прохождения через положения максимального и минимального удаления одинаковы:

Следовательно, искомое отношение составляет

т.е.

Пример №100

Шарик, привязанный к нерастяжимой нити, скользит по гладкой горизонтальной плоскости; другой конец нити втягивают с постоянной скоростью и в отверстие, сделанное на плоскости. Определить движение шарика, если известно, что в начальный момент нить расположена по прямой, расстояние между шариком и отверстием равно а проекция начальной скорости шарика на перпендикуляр к направлению нити равно (рис. 3.3).

На шарик действует сила, направленная вдоль нити. Так как эта сила центральная, то момент количества движения шарика относительно точки является постоянной величиной и справедливо соотношение (3.18).

Постоянную с найдем из начальных условий: при Подставляя эти выражения в (3.18), находим

Таким образом, для всего последующего процесса движения имеем

По условию задачи скорость, с которой втягивается нить, равна откуда следует, что Приняв во внимание начальные условия, после интегрирования получим

Тогда уравнение для определения примет вид

Интегрируя и имея в виду, что находим

Чтобы построить траекторию шарика, исключим из уравнений для время тогда получим величину радиуса-вектора в функции полярного угла

Траектория шарика представляет собой свертывающуюся спираль. С приближением шарика к началу координат угол растет все быстрее и быстрее, т. е. скорость вращения радиуса-вектора возрастает. При эта скорость стремится к бесконечности.

Работа силы. Мощность

Перейдем к понятию работы, с помощью которой мы получим еще одну общую теорему динамики материальной точки.

В элементарном курсе физики понятие работы вводится следующим образом. Пусть материальная точка движется по прямой линии — некоторая постоянная по модулю и направлению сила, приложенная к точке Будем считать, что точка движется в одном направлении от положения до положения Обозначим наименьший угол между силой и скоростью точки через (рис. 3.4). Тогда работой постоянной силы на прямолинейном отрезке называют произведение модуля силы на величину перемещения и на косинус угла между ними

Конечно, это равенство можно записать в форме скалярного произведения

где — вектор перемещения точки.

Напомним, что единицей измерения работы в системе СИ является джоуль (1 дж=1 нм), а в технической системе —1 кГм. (1 кГмт 9,81 дж).

Приведенное определение работы силы применимо только в том случае, если сила постоянна по модулю и направлению, а точка приложения силы перемещается прямолинейно.

Перейдем к общему определению работы силы, считая, что сила может изменяться по модулю и направлению, а точка приложения силы перемещается по любой криволинейной траектории (рис. 3.5, а). Разобьем отрезок кривой произвольных, но малых участков, обозначив длину участка с номером через Не внося больших погрешностей в вычисление, можно считать каждый участок прямолинейным отрезком и что при перемещении точки вдоль этого участка сила остается постоянной по модулю и направлению. Тогда

согласно формуле (3.19), работа силы на участке будет приближенно равна а на всем пути от — сумме работ на отдельных участках

Точное значение работы получим, переходя к пределу, при условии, что число участков неограниченно возрастает, а длина каждого участка неограниченно убывает:

Такой предел называется криволинейным интегралом первого рода по дуге и обозначается следующим образом *):

Для того чтобы, пользуясь формулой (3.21), вычислить работу силы, нужно выразить произведение как функцию длины дуги В подавляющем большинстве случаев это очень трудно выполнить, поэтому обычно пользуются криволинейным интегралом второго рода. Для того чтобы сделать этот переход, введем в рассмотрение элементарную работу силы (это понятие имеет самостоятельное значение, и мы будем неоднократно пользоваться им).

Под элементарной работой силы понимается выражение, стоящее под знаком интеграла (3.21):

В кинематике было показано, что дифференциал пути равен модулю дифференциала радиуса-вектора т. е. Следовательно, элементарную работу силы можно представить следующим образом:

или, через скалярное произведение векторов

Теперь, сравнивая выражения (3.23) и (3.20), можно определить элементарную работу силы как работу ее на прямолинейном перемещении при условии, что величина и направление силы на этом перемещении не меняются. Напомним, что Это означает, что вектор совпадает по направлению с вектором скорости точки (рис. 3.5, б).

Запишем выражение (3.23) через проекции векторов, входящих в скалярное произведение:

Даже в тех случаях, когда сила зависит только от положения точки т. е. от координат точки правая часть этого равенства не представляет, как правило, полный дифференциал некоторой функции координат Поэтому в обозначение элементарной работы после буквы ставится наверху знак «штрих» *) (рассмотрен особый класс сил, для которых правая часть равенства равна полному дифференциалу функции координат).

Все три выражения (3.22), (3.23) и (3.24) для элементарной работы силы эквивалентны. Поэтому, пользуясь равенствами (3.21), (3.22) и (3.24), получим другую формулу для вычисления работы силы на отрезке дуги

Правая часть этого равенства называется криволинейным интегралом второго рода (все функции вычисляются на кривой а дифференциалы координат связаны между собой через ее уравнение).

Если сила зависит только от положения точки, т. е. от координат точки приложения силы, то работа вычисляется непосредственно по формуле (3.25) и при этом совершенно не нужно знать закон движения точки по кривой. Если же сила зависит не только от координат точки приложения, но и от ее скорости и от времени то для вычисления работы силы нужно знать уравнения движения точки

Отсюда

Подставив в формулу (3.25) вместо координат точки их значения из (3.26), вместо проекций скорости производные по времени от этйх величин и вместо дифференциалов координат их значения из (3.27), мы сведем криволинейный интеграл (3.25) к обычному определенному интегралу

где — моменты времени, в которые точка проходит положения соответственно (см. рис. 3.5, а).

Пусть теперь на материальную точку действует несколько сил Легко доказать (читатель без труда сделает это самостоятельно), что работа равнодействующей сил, приложенных к материальной точке, на некотором перемещении равна сумме работ составляющих сил на том же перемещении

Прежде чем перейти к примерам, рассмотрим один частный случай, когда действующая на точку сила сохраняет постоянное направление и модуль Вычислим работу такой силы при перемещении точки по некоторой траектории от положения до положения (рис. 3.6, а). Для этого воспользуемся формулой (3.21), учтя, что Имеем

Вынесем постоянный множитель за знак интеграла и примем во внимание, что при движении точки радиус-вектор меняется от (см. рис. 3.6, а). Тогда последовательно получим

или, учитывая, что

где — угол между неизменным направлением силы и вектором перемещения

Так как последнее равенство совпадает с (3.19), то это означает, что при постоянной силе формулу (3.19) можно применять при перемещении точки по любому криволинейному пути, если только под понимать кратчайшее расстояние между начальным и конечным положениями точки приложения силы.

Применим полученный вывод к вычислению работы силы тяжести Сила тяжести направлена вертикально вниз; произведение равно по модулю вертикальному перемещению точки (рис. 3.6, б). Поэтому

т. е. работа силы тяжести равна произведению модуля этой силы на вертикальное перемещение точки, взятому со знаком «плюс», если точка опускается, и со знаком «минус», если точка поднимается. Формулой (3.29) для вычисления работы силы тяжести мы будем неоднократно пользоваться в дальнейшем.

Рассмотрим две задачи на непосредственное применение полученных ранее формул.

Пример №101

Проекции силы определены равенствами

где —некоторое положительное число, а — координаты точки приложения силы Определить работу силы при движении точки приложения ее от начала координат до точки с координатами в трех случаях: !) точка приложения силы перемешается от по кратчайшему'пути; 2) точка приложения силы перемещается сначала по оси а затем по прямой, параллельной оси 3) точка приложения силы перемещается сначала по оси а затем по прямой, параллельной оси (рис. 3.7).

Прежде всего заметим, что сила перпендикулярна к радиусу-вектору точки приложения силы. Для того чтобы доказать это, достаточно составить скалярное произведение векторов Имеем

Так как скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны *). Отсюда следует, что при движении точки по первому пути от до по прямой работа силы будет равна нулю. Покажем это аналитически, пользуясь формулой (3.25). Для этого напишем прежде всего уравнение прямой

где — угловой коэффициент. Отсюда

Применим теперь формулу (3.25), учтя при этом заданные проекции сил, уравнение прямой и значение Последовательно получим

Во втором случае разобьем весь путь интегрирования на два участка: от (см. рис. 3.7). На первом участке от и на втором участке от Имеем

В третьем случае разобьем весь путь интегрирования тоже на два участка: от (см. рис. 3.7). На участке от на втором участке от Имеем

Итак, работа рассматриваемой силы на первом пути равна нулю, на втором пути и на третьем пути — Этот пример наглядно показывает, что в общем случае работа силы зависит не только от начального и конечного положений точки приложения силы, но также и от пути, по которому эта точка перемещается. Отметим еще, что во всех трех случаях данного примера для вычисления работы силы не нужно знать закона движения точки, ее массу и скорость.

Пример №102

Вычислить работу силы сопротивления, действующей на корабль, за время, в течение которого скорость корабля после остановки двигателей уменьшится вдвое (см. задачу 1.7).

Так как сила сопротивления направлена в сторону, противоположную движению корабля, то угол Пользуясь формулой (3.21) и значением

модуля силы получим

где — значение времени, при котором скорость корабля уменьшилась вдвое.

Для дальнейших вычислений нужно знать закон движения корабля. Воспользуемся результатами задачи 1.7 (стр. 31). При решении этой задачи была установлена следующая зависимость скорости корабля от времени (см. равенство (1-36)):

Подставив это выражение для скорости в последнее равенство, будем иметь

После интегрирования получим выражение для работы как функции времени

Пользуясь выражением для скорости, найдем

Теперь равенство (3 30) приводится к виду

Для того чтобы найти работу силы за время, в течение которого скорость уменьшится вдвое, нужно в последнем равенстве положить Получим

В отличие от предыдущей задачи, здесь работа силы зависит от массы и скорости тела.

Формула (3.31), полученная здесь путем анализа конкретной задачи, является общей для любых сил, действующих на материальную точку.

Остановимся теперь кратко на понятии мощности силы. В элементарном курсе физики мощность определяется как количество работы, производимой в единицу времени. Это определение применимо, конечно, только в том случае, если в равные промежутки времени сила производит равные работы. Нам остается распространить это определение на общий случай, когда работа производится не равномерно.

Вычислим работу силы от некоторой фиксированной точки до точки (см. рис. 3.5а)

При движении точки работа силы будет с течением времени меняться. Для того чтобы получить работу как явную функцию времени достаточно воспользоваться формулой (3.28), заменив в ней фиксированный верхний предел интегрирования на переменный предел

Теперь мощность силы легко определяется как скорость изменения работы:

где рассматривается как функция времени

Легко видеть, что полный дифференциал работы, выраженной как функция времени по формуле (3.32), равен элементарной работе силы Действительно, если рассматривать работу как функцию времени то, пользуясь формулой (3.32), найдем

что совпадает с выражением (3.24) для элементарной работы. Таким образом, имеем

или, пользуясь равенством (3.23),

В этих равенствах предполагается, что правые части выражены с помощью соотношений (3.26) и (3.27) через время Теперь мощность силы можно записать следующим образом:

или

т. е. мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки приложения силы.

Теперь под знак интеграла в формулу (3.28) можно внести мощность:

Если изменение работы происходит равномерно, т. е. мощность постоянна, то и тогда

В этом случае, как уже отмечалось, мощность равна количеству работы, производимой в единицу времени.

Единицей измерения мощности в системе СИ является ватт (1 вт = 1 дж/сек), а в технической системе — В технике применяются также более крупные единицы мощности: 1 кет — 1 ООО вт и так называемая лошадиная сила (1 л. с.—

Теорема об изменении кинетической энергии

Найдем связь между работой сил, приложенных к материальной точке, и изменением скорости точки. Для этого воспользуемся основным уравнением динамики

где —равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке. Умножим обе части этого равенства скалярно на дифференциал радиуса-вектора

В правой части стоит элементарная работа равнодействующей всех сил, приложенных к материальной точке; левую часть можно представить в следующей форме:

при этом учтено, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля Теперь равенство (3.39) примет вид

Половина произведения массы точки на квадрат ее скорости называется кинетической энергией материальной точки

Уравнение (3.40) дает дифференциальную связь между кинетической энергией и элементарной работой: полный дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе всех действующих на эту точку сил.

Будем рассматривать все члены, входящие в равенство (3.40), как функции времени Тогда, учитывая соотношения (3.33), (3.34) и деля обе части равенства (3.40) на получим

т. е. полная производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна суммарной мощности всех действующих на точку сил.

Пусть теперь материальная точка перемещается по кривой от положения до положения (см. рис. 3.5, а). Обозначим через скорость точки в положениях и соответственно и проинтегрируем обе части равенства (3.40)-по кривой

Правая часть этого равенства равна работе силы на пути при вычислении левой части следует иметь в виду», что криволинейный интеграл от полного дифференциала некоторой функции равен самой функции. Таким образом, будем иметь

т. е. изменение кинетической энергии материальной точки при переходе ее из начального в конечное (текущее) положение равно сумме, работ на этом перемещении всех сил, приложенных к точке.

С помощью только что доказанной теоремы об изменении кинетической энергии можно решать следующие две основные задачи. В первой определяется скорость материальной точки в конце или начале движения. Решение этой задачи с помощью равенства (3.43) имеет смысл, конечно, только в том случае, если работу всех сил, приложенных к материальной точке, можно вычислить, не зная закона движения, т. е. не интегрируя уравнения движения. К задачам второго типа относится вычисление работы силы по заданной скорости. Использование формулы (3.43) для решения задач такого рода особенно полезно в тех случаях», когда трудности, связанные с определением закона движения и вычислением интеграла (3.28), сравнительно велики (см. задачи 3.12 и 3.13) или когда неизвестна аналитическая зависимость силы (см. задачу 10.4).

Силовое поле. Потенциальная энергия

В этой лекции рассматриваются позиционные силы, которые зависят только от положения материальной точки в пространстве.

Будем называть силовым полем область (часть пространства), в каждой точке которой на помещенную в ней материальную точку действует сила, однозначно определенная по величине и направлению в любой момент времени. Таким образом, в силовом поле должна быть известна одна векторная функция зависящая от радиуса-вектора точки и времени

или три скалярные функции — проекции силы

где —координаты точки.

Силовое поле называется нестационарным, если сила зависит явно от времени и стационарным, если сила не зависит от времени явно. В дальнейшем будем рассматривать только стационарные силовые поля, когда сила зависит только от положения точки, т. е. от ее радиуса-вектора

а ее проекции являются функциями координат точки

Отметим два общих свойства таких полей:

1. Работа сил стационарного поля зависит в общем случае от начального и конечного положений и траектории, но не зависит от закона движения материальной точки по траектории.

2. Имеет место равенство

где — работа сил стационарного поля при движении материальной точки от —работа сил поля при движении точки по той же траектории в обратном направлении от

Первое свойство следует непосредственно из формулы (3.25), а второе —из формулы (3.21) (модуль и направление силы в каждой точке траектории не зависят от направления движения и времени а угол между скоростью и силой при изменении направления движения перейдет в Заметим, что для нестационарных силовых полей эти свойства не имеют места.

Рассмотрим какое-нибудь стационарное поле и вычислим работу сил поля при перемещении материальной точки из положения в положение по двум различным траекториям (рис. 3.8). Работу сил поля при движении по первой траектории обозначим через а работу сил поля при движении по второй траектории обозначим через В общем случае эти работы не равны между собой:

(см. задачу 3.4).

Среди стационарных силовых полей важное место занимают поля, работа сил которых не зависит от траектории (пути) движения материальной точки и определяется только положением начальной и конечной точек пути. Такие силовые поля называются потенциальными (консервативными). Согласно определению' для потенциальных сил работа не зависит от пути и, следовательно, для них имеет место равенство

где —любые пути, по которым материальная точка может перейти от — общее значение работы.

Пусть точка с координатами является точкой в области заданного потенциального силового поля. Выберем в этом же силовом рис 3g поле произвольную точку зафиксируем ее положение и назовем нулевой точкой. При движении материальной точки от положения до нулевой точки работа сил потенциального поля будет зависеть только от положения точки т.е. от ее координат так как положение точки неизменно, а работа сил потенциального поля не зависит от пути. Следовательно, работа сил потенциального поля при движении материальной точки от точки поля до точки является некоторой функцией координат точки Эта функция называется потенциальной энергией и обозначается греческой буквой По определению

при этом предполагается, что функция однозначна и непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно.

Из приведенного определения потенциальной энергии вытекает, что нулевая точка —это точка, в которой потенциальная энергия условно принимается равной нулю.

Покажем, что потенциальная энергия определяется с точностью до аддитивной постоянной.

Действительно, выберем вместо точки другую нулевую точку —точку и обозначим соответствующую потенциальную энергию через По определению будем иметь

Так как работа сил потенциального поля не зависит от пути, то выберем путь от так, чтобы он проходил через точку (рис. 3.9). Разбивая весь путь от на два участка: от получим

Первое слагаемое равно потенциальной энергии при старой нулевой точке а второе слагаемое постоянно (не зависит от координат точки Обозначая это слагаемое через получим

что и доказывает сделанное замечание.

Предположим, что потенциальная энергия силового поля известна, т. е. известно значение функции в каждой точке области существования силового поля. Найдем, чему равна работа сил

потенциального поля при переходе материальной точки из положения в положение Для вычисления работы выберем путь от точки до точки проходящим через точку (рис. 3.10). Разбивая путь на два участка получим

По определению где — потенциальная энергия в точке — потенциальная энергия в точке следовательно,

т. е. работа сил потенциального поля при перемещении материальной тонки равна разности потенциальных энергий в начальной и конечной точках пути.

Силовое поле задается обычно проекциями силы на оси координат, т. е. функциями (3.44).

Для того чтобы решить вопрос о том, является ли это данное силовое-поле потенциальным, докажем предварительную теорему: Для того чтобы силовое поле (3.44) было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая непрерывная-однозначная функция координат называемая потенциальной энергией поля, частные производные от которой удовлетворяют равенствам

Докажем сначала необходимость этих условий. Предположим, что силовое поле является потенциальным, т. е. работа от пути не зависит.

Вычислим работу сил поля на перемещении точки из положения с координатами в положение с координатами (рис. 3.11), выбрав за путь прямолинейный отрезок,, соединяющий точки (он параллелен оси Пользуясь формулами (3.48) и (3.25), получим

Так как при выбранном пути координаты не меняются, то и полученное выражение примет вид

По теореме о среднем

где число удовлетворяет условию Следовательно после деления на будем иметь

Переходя к пределу при найдем

Аналогично получаются и два других равенства (3.49).

Перейдем к доказательству достаточности условий (3.49). Предположим, что условия (3.49) выполнены.

Используя условия (3.24) и (3.49), получим

Так как потенциальная энергия зависит только от координат точки, то выражение, стоящее в скобках, равно полному дифференциалу следовательно,

Пусть точка переместилась из положения в положение тогда

что совпадает с формулой (3.48). Это доказывает достаточность условий (3.49) (работа зависит только от значений потенциальной энергии в точках и не зависит от пути).

Условие (3.49) часто берут в качестве определения потенциального поля. Тогда из соотношения (3.51) вытекает независимость работы от пути.

Перейдем теперь к решению поставленной задачи: как, зная только проекции силы (3.49), определить, является ли силовое поле потенциальным. Продифференцируем первое равенство (3.49) частным образом по а второе по Имеем

Так как смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования, то из равенства правых частей следует равенство и левых частей; иначе говоря, если поле потенциально, то проекции сил должны удовлетворять условию (два других равенства получены аналогичным методом)

Справедливо обратное утверждение (мы не будем останавливаться на доказательстве его): если условие (3.52) выполнено, то силовое поле потенциально.

При решении задач на исследование силовых полей вначале по условию (3.52) проверяют, является ли заданное поле потенциальным, а затем, если окажется, что условие (3.52) выполнено, то определяют потенциальную энергию поля, пользуясь определением (3.47): потенциальная энергия в данной точке равна работе сил поля на перемещении от точки до нулевой точки, в которой потенциальная энергия условно принимается равной нулю. Так как путь интегрирования не имеет значения, то его выбирают обычно так, чтобы все вычисления свести к минимуму.

Проиллюстрируем сказанное двумя простыми задачами чисто методического' характера.

Пример №103

Проверить является ли силовое поле

потенциальным.

Воспользуемся первым равенством (3.52). Имеем Так как первое равенство условия (3.52) не выполнено, то заданное поле не потенциально (в задаче 3.4 непосредственными вычислениями было показано, что работа такой силы зависит от пути движения и, следовательно, сила не потенциальна).

Пример №104

Проверить, потенциально ли силовое поле

и если оно потенциально, то найти потенциальную энергию поля. Так как

то условие (3.52) выполнено и заданное поле потенциально.

Для определения потенциальной энергии поля нулевую точку выберем в начале координат, а путь интегрирования построим следующим образом: из точки с координатами будем двигаться сначала параллельно оси до точки расположенной в плоскости затем из точки —параллельно оси до точки находящейся на оси а затем по оси от точки до начала координат (рис. 3.12). Пользуясь определением (3.47), последовательно получим

На первом пути меняется от до 0; на втором пути меняется от у до 0; на третьем участке меняется от х до 0. Имеем

(в третьем интеграле так как Интегрируя и учитывая, что во-втором интеграле получим

Легко проверить, что если вычислить от этой потенциальной энергии частные производные по затем по то получим заданные проекции сил с обратным знаком, что соответствует равенствам (3 49).

Наряду с потенциальной энергией многие авторы вводят в рассмотрение силовую функцию которая отличается от потенциальной энергии только знаком, т. е.

Условия потенциальности силового поля (3.49) в этом случае имеют вид

Потенциальное силовое поле допускает удобную и наглядную геометрическую интерпретацию.

Геометрическое место точек, в которых потенциальная энергия сохраняет постоянное значение, т. е. образует поверхность, которая называется эквипотенциальной поверхностью. Через каждую точку потенциального поля можно провести только одну такую поверхность (рис. 3.13).

Ясно, что работа сил поля при перемещении материальной точки из начального положения в конечное, когда оба эти положения находятся на одной и той же эквипотенциальной поверхности, равна нулю, так как

Эквипотенциальные поверхности обладают еще одним интересным свойством. Допустим, что материальная точка перемещается вдоль произвольной кривой на эквипотенциальной поверхности,

и пусть закон движения точки Тогда для любого момента времени должно «выполняться равенство

Продифференцируем обе части этого тождества по

Согласно (3.49) будем иметь

или

Следовательно, в любой момент времени действующая на точку сила перпендикулярна к скорости точки. Но вектор лежит в касательной плоскости к эквипотенциальной поверхности, поэтому сила нормальна к эквипотенциальной поверхности (см. рис. 3.13).

Введем понятие силовой линии как кривой, в каждой точке которой касательная коллинеарна с силой данного силового поля. Очевидно, что уравнение такой линии может быть записано так:

Уравнения (3.53) выражают условия пропорциональности проекций двух векторов: силы и дифференциала радиуса-вектора силовой линии (этот вектор всегда направлен по касательной линии).

Из уравнений (3.53) следует система двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями

Через каждую точку силового поля проходит одна и только одна силовая линия, являющаяся решением системы (3.54), кроме особых точек— состояний равновесия, где

Из определения силовых линий следует, что они пересекают все эквипотенциальные поверхности ортогонально (см. рис. 3.13).

В заключение остановимся на понятии градлента силового поля. Если задана какая-либо скалярная функция то вектор образуемый по формуле

называется градиентом функции Обычно пользуются таким обозначением:

Выражение для силы

в случае потенциального поля с помощью (3.49) можно преобразовать к виду

Таким образом, в потенциальном поле силу можно рассматривать как взятый с обратным знаком градиент функции

Покажем, как вычисляется потенциальная энергия для некоторых часто встречающихся силовых полей.

1. Потенциальная энергия поля силы тяжести. Совмещая плоскость с какой-либо горизонтальной плоскостью (рис. 3.14), для проекций силы тяжести будем иметь

Можно проверить, что условия (3.51) выполняются. Элементарная работа равна

Следовательно, работа силы тяжести при перемещении материальной точки из точки в какую-либо точку равна согласно (3.25)

Но так как потенциальная энергия в точке поля равна работе, которую совершает сила при перемещении точки из положения в положение то

Эквипотенциальные поверхности образуют семейство горизонтальных плоскостей, а силовым» линиями являются прямые, параллельные оси

2. Потенциальная энергия поля центральных сил. Центральной силой будем называть силу, которая в любой точке пространства направлена по прямой, проходящей через некоторую точку поля (центр), причем модуль силы зависит только от расстояния точки до центра.

Если этот центр выбрать за начало координат, то для центральной силы можно написать

где (знак « + » для силы отталкивания, а знак « —» для силы притяжения).

Проверим, выполняется ли условие (3.52). Так как

и, кроме того,

то

Следовательно,

Остальные равенства (3.52) также выполняются.

Для вычисления потенциальной энергии найдем работу центральной силы при перемещении точки из некоторого произвольного положения в фиксированное положение Элементарная работа имеет вид

Тогда потенциальная энергия будет равна

Здесь эквипотенциальные поверхности —сферы с центром в начале координат, а силовые линии образуют пучок прямых, выходящих из начала координат.

В частности, центральной силой является гравитационная сила. Согласно закону всемирного тяготения

где — постоянная тяготения, — массы притягивающихся материальных точек, а —расстояние между ними.

Примем за точку бесконечно удаленную точку; тогда, применяя (3.58), получим

3. Потенциальная энергия восстанавливающей силы пружины.

Примем за фиксированную точку в которой потенциальная энергия равна нулю, положение конца недеформированной пружины (положение самой пружины не играет роли). Пусть длина пружины в недеформировапном состоянии равна а в положении равна (рис. 3.15). Тогда величина входящая в равенства (3.57) и (3.58), имеет вид При упругая сила пружины является по отношению к центру (точке крепления) отталкивающей, при — притягивающей.

Подставляя Fr(r) в (3.58), получим

или

Здесь — модуль приращения длины пружины.

Из формул (3.51) и (3.60) следует, что работа восстанавливающей силы пружины при перемещении конца пружины из положения равна

Здесь — деформации, соответствующие начальной и конечной точкам пути.

Интеграл энергии

Понятие о рассеивании полной механической энергии

Предположим, что все силы, действующие на материальную точку, потенциальны. Тогда элементарная работа сил, приложенных к точке, будет и равенство (3.40) принимает вид

Интегрируя обе части этого равенства, найдем

где — постоянная интегрирования (она называется постоянной энергии).

Равенсво (3.62) называется интегралом энергии. Интеграл энергии показывает, что при движении точки в потенциальном поле сил сумма кинетической и потенциальной энергий (полная механическая энергия) есть величина постоянная (закон сохранения механической энергии).

Равенству (3.62) можно придать и такой вид:

где —значения кинетической и потенциальной энергий в положениях соответственно.

Интеграл энергии (3.62) справедлив при условии, что все силы, действующие на материальную точку, потенциальны. Если хотя бы одна из сил не потенциальна, то равенство (3.62) будет нарушено. Рассмотрим, какое влияние оказывают силы сопротивления (они, как правило, имеются всегда) на полную механическую энергию. Итак, будем считать, что на материальную точку действуют потенциальные силы (их потенциальная энергия равна и силы сопротивления Относительно последних мы не будем делать никаких ограничений: они могут быть постоянны по модулю (сухое трение), пропорциональны любой степени скорости (вязкое трение) или любым иным образом зависеть от скорости точки, ее положения и времени Единственное предположение (оно для сил сопротивления естественно) состоит в том, что сила сопротивления всегда направлена противоположно скорости точки (рис. 3.16).

Элементарная работа потенциальной силы равна — а элементарная работа силы сопротивления будет Равенство (3.40) принимает вид

Перегруппируем члены, разделим обе части равенства на и учтем, что

Угол между силой сопротивления и скоростью равен 180°; скалярное произведение Следовательно,

Так как производная по времени отрицательна, то полная механическая энергия под действием сил сопротивления убывает или рассеивается, переходя, конечно, в другие формы энергии, например в тепловую.

Модуль мощности силы сопротивления может служить мерой убывания полной механической энергии. Если модуль силы сопротивления равен (линейно-вязкое сопротивление), то Величина называется диссипативной функцией Релея, удвоенная величина которой в данном случае служит мерой рассеивания (диссипации) энергии.

Пример №105

Какова длина разбега самолета, вес которого тяга, развиваемая двигателем, общая сила сопротивления взлетная скорость

Применим теорему об изменении кинетической энергии

Полагая начальную скорость получим

Пример №106

Самолет, вес которого совершает посадку, имея вертикальную скорость снижения Подъемная сила при посадке жесткость амортизационной системы Сопротивление в амортизационных стойках шасси при прямом ходе постоянно и равно Определить наибольшую осадку самолета, считая, что за время срабатывания стойки горизонтальная скорость остается неизменной (рис. 3.17).

Применим теорему об изменении кинетической энергии. В начальный момент вертикальная составляющая скорости в конечный момент Работу восстанавливающей силы пружины определим по формуле (3.61). Полагая получим для работы всех сил (силы тяжести силы сопротивления подъемной силы и силы упругости амортизаторов)

Величина полной начальной скорости равна величина скорости в конце процесса сжатия амортизационной системы равна Поэтому приращение кинетической энергии составляет

По теореме об изменении кинетической энергии имеем

откуда

Для крайнего нижнего положения следует перед корнем взять знак сплюс». Тогда, после подстановки численных значений, найдем

Пример №107

На какую высоту над поверхностью Земли поднимется ракета, запущенная в вертикальном направлении с поверхности Земли, если ее начальная скорость равна Какую начальную скорость надо сообщить ракете, чтобы она неограниченно удалялась от Земли? Сопротивлением атмосферы пренебречь. Радиус Земли (рис, 3.18).

Применим закон сохранения механической энергии, имея в виду, что конечная скорость ракеты а потенциальная энергия силы тяготения определяется по формуле (3.59):

Здесь — масса ракеты, — масса Земли, — гравитационная постоянная. От двух последних постоянных можно избавиться, заметив, что при (т.е. на поверхности Земли) сила притяжения приближенно равна силе тяжести

откуда Тогда

Разрешая уравнение относительно получим

Теперь нетрудно ответить на второй вопрос. Согласно условию задачи должно быть и, следовательно,

Пример №108

С какой скоростью должна быть запущена с поверхности Земли ракета, чтобы она могла достигнуть той точки между Землей и Луной (рис. 3.19), где силы притяжения Земли и Луны равны. Расстояние между центрами Луны и Земли а отношение их масс равно 1/80. Радиус Земли

В точке должно выполняться равенство

Потенциальная энергия силы притяжения Луны Применим закон сохранения механической энергии (полагая, что в точке скорость ракеты равна нулю)

Используя равенство получим

Пример №109

Сани спускаются с горы. Начиная с точки (рис. 3.20), их притормаживают силой таким образом, что до конца спуска (точки скорость саней остается постоянной. Определить работу, совершаемую силой если вес саней а высота горы

В отличие от предыдущих задач, здесь наряду с потенциальной силой — силой тяжести — действует непотенциальная сила На основании теоремы об изменении кинетической энергии имеем

Так как начальная и конечная скорости саней одинаковы, то

Для работы силы тяжести имеем

откуда Найдем эту работу путем непосредственного вычисление. Так как скорость саней постоянна, то сумма проекций сил на направление скорости равна нулю, т. е. и, следовательно,

где можно определить из равенства

Вычислим мощность силы торможения:

Здесь мы приняли во внимание, что сила торможения и скорость имеют противоположные направления. Работа силы торможения за время спуска саней выражается следующим образом:

Пример №110

Материальная точка совершает прямолинейные затухающие колебания под действием линейной восстанавливающей силы, создаваемой пружиной жесткости и силы сопротивления, пропорциональной первой степени скорости Определить работу силы сопротивления за одно полное колебание материальной точки, а также максимальную работу этой силы при неограниченной продолжительности колебаний.

В момент времени, когда материальная точка достигает максимального отклонения, скорость ее равна нулю. Поэтому, применяя теорему об изменении кинетической энергии для перемещения от начального до последующего максимального отклонения, получим

где — работа упругой силы пружины, а — работа силы сопротивления. Так как деформация пружины при максимальных отклонениях материальной точки равна соответствующей амплитуде, то согласно формуле (3.60) будем иметь

где — начальная, a — последующая амплитуды.

Следовательно, работа силы сопротивления за один период будет равна

Если выразить последующую амплитуду через предыдущую с помощью фактора затухания по формуле (2.16), то последнее равенство примет вид

где

причем —масса точки) — период затухающих колебаний. За полных колебаний работа силы сопротивления будет равна

или, учитывая, что

Так как то при будем иметь

Такова максимальная работа, которую совершат силы сопротивления при неограниченной продолжительности колебаний.

Работу силы сопротивления можно, конечно, вычислить и путем непосредственного применения формулы (3.25). Для этого нужно воспользоваться решением (2.13) дифференциального уравнения затухающих колебаний материальной точки:

Отсюда нужно найти а затем После чего работа силы сопротивления определится путем вычисления интеграла

Этот путь непосредственного вычисления работы по общим формулам требует, очевидно, значительно большей затраты труда, чем применение теоремы об изменении кинетической энергии.

Движение материальной точки в центральном силовом поле

Выше были установлены свойства движения точки в поле центральной силы. Напомним эти свойства.

Во-первых, траектория движения точки — плоская кривая. Центр, через который всегда проходит линия действия силы, лежит в плоскости траектории. Удобно описывать движение такой материальной точки в полярной системе координат с полюсом в центре силового поля. Полярную ось направим пока произвольно. Тогда положение точки в плоскости ее движения будет определяться полярными координатами Для центральной, силы имеем выражение

где — проекция силы на радиус-вектор точки.

Во-вторых, имеет место закон площадей (секторная скорость остается постоянной). В полярных координатах соблюдается равенство (3.18):

Дифференциальное уравнение траектории точки, движущейся в центральном поле сил

Перейдем к составлению дифференциального уравнения движения материальной точки в центральном поле.

Воспользовавшись найденным в кинематике (том I, глава IX) выражением для радиального ускорения точки запишем общее уравнение динамики

в проекции на радиус-вектор

В соответствии с интегралом площадей (4.2) уравнение (4.3) может быть переписано в виде

Для определения траектории движения в полярных координатах перейдем в этом уравнении от независимой переменной к полярному углу

В силу интеграла площадей (4.2) имеем

Продифференцируем это выражение по времени и вновь воспользуемся интегралом площадей (4.2):

Приняв во внимание соотношение (4.5), перепишем этот результат в виде

Подставляя это выражение в уравнение (4.4), получим

Вводя теперь новую искомую функцию будем иметь

Полученное соотношение (4.8) и есть дифференциальное уравнение траектории материальной точки, движущейся под действием центральной силы (уравнение Бинэ).

Наиболее важным случаем центральной силы является гравитационная сила планеты или любого другого небесного тела.

Ньютоновская сила притяжения планеты, принимаемой за шар с радиальным распределением плотности, действующая на материальную точку, находящуюся вне пределов шара, равна

где — гравитационная постоянная, — масса материальной точки, — масса планеты, —расстояние точки от центра планеты.

Можно избавиться от произведения если известна сила притяжения на поверхности планеты, т. е. при Для Земли эта сила притяжения равна где —ускорение свободного падения тела относительно невращающейся Земли. Аналогично определяется и для других планет.

Таким образом, при из равенства (4.9) получим

после чего (4.9) принимает вид

Следовательно, в данном случае

При движении точки вне пределов земной атмосферы, но в достаточной близости к ее поверхности, можно пренебречь действием гравитационных сил со стороны других небесных тел и считать, что на точку действует только сила (4.10). В этом случае дифференциальное уравнение траектории (4.8) примет вид

где

Виды траекторий. Круговая и параболическая скорости

Исследуем решение основного дифференциального уравнения (4.11). Общее решение этого уравнения можно представить в следующей форме:

где —постоянные интегрирования. Вспоминая, что перепишем уравнение (4.12) в виде

где — постоянная величина.

Уравнение (4.13) определяет траекторию материальной точки, движущейся под действием ньютоновской силы притяжения.

Для упрощения анализа введем новую переменную Очевидно, что теперь угол будет отсчитываться не от первоначально взятого фиксированного направления, а от некоторого нового направления повернутого относительно первого на угол (рис. 4.1). Конечно, вид траектории от такой формальной замены переменных не может измениться.

Теперь уравнение (4.13) примет вид

Таким образом, вид траектории определяется единственным образом через постоянные Несколько дальше будет показано, как определить эти постоянные по начальным условиям.

Из курса аналитической геометрии известно, что кривые (4.14) представляет собой конические сечения *). Тип траектории определяется значением величины называемой эксцентриситетом конического сечения.

В дальнейшем примем, что это соответствует выбору положительного направления полярной оси ) от центра на ближайшую к точку траектории, называемую перицентром (для земных спутников —перигеем).

Если то знаменатель в правой части (4.14) никогда не обращается в нуль, следовательно, кривая второго порядка не имеет бесконечно удаленных точек. Это может быть только эллипс. В частном случае, когда получаем т. е. эллипс превращается в окружность.

Если то появляются бесконечно удаленные точки при двух значениях угла полученных из уравнения

т. е. при

Таким свойством обладает только гипербола.

Наконец, при знаменатель обращается в нуль при

Кривой второго порядка, имеющей бесконечно удаленную точку только при одном значении полярного угла является парабола.

На рис. 4.2 изображены возможные траектории при и одинаковом для всех траекторий расстоянии от центра до перицентра. Это расстояние в соответствии с уравнением (4.14) равно

Установив, что тип траектории определяется значением эксцентриситета найдем зависимость эксцентриситета от начальных условий.

Сначала сделаем это, отнеся начальные условия к тому моменту времени, когда точка пересекает ось (см. рис. 4.1), т. е. при

В соответствии с формулой (4.14) имеем

Следовательно, при полярный радиус достигает экстремума Это значит, что при и любом скорость точки перпендикулярна к радиусу-вектору определяющему положение точки.

Имея в виду, что и поперечная скорость перепишем интеграл площадей в виде

Пусть теперь Для этих начальных условий в соответствии с уравнением (4.14) будет Отсюда находим

Так как для рассматриваемых начальных условий то и, учитывая, что получим

Это соотношение является основным и позволяет найти интервалы, скоростей, которым соответствуют те или иные виды траекторий. Эллиптические траектории определяются неравенством

В частности, если то траекторией будет окружность; при этом начальная скорость имеет значение

и называется круговой скоростью. Круговая скорость, вычисленная из условий движения вблизи Земли называется первой космической скоростью:

Параболической траектории соответствует значение т. е. по формуле (4.16) скорость

Найденное значение скорости называется параболической скоростью. Если начальная скорость задана-вблизи Земли» то параболическая скорость

называется второй космической скоростью.

При сообщении такой начальной скорости точка неограниченно удалялась бы от Земли.

Гиперболические траектории характеризуются неравенством которому соответствуют начальные скорости

Определение параметров околоземной траектории по начальным условиям

Найдем теперь зависимость эксцентриситета от начальных условий в случае, когда материальная точка в некоторый момент времени начинает движение из точки вне пределов атмосферы (рис. 4.3).

Пусть материальная точка в некоторый момент времени начинает движение из точки вне пределов атмосферы только под действием силы притяжения Земли (рис. 4.3).

Определим параметры траектории если известны: — расстояние от центра Земли до точки —величина скорости

материальной точки в положении —угол наклона вектора скорости к местному горизонту, т. е. к плоскости, перпендикулярной к радиусу-вектору точки

Найдя параметры траектории, мы затем легко определим начальный полярный угол (см. рис. 4.3) и тем самым узнаем пока не известное направление оси

Так как в точке скорость то согласно формуле (4.2) секторная скорость равна

Подставляя это выражение в формулу для получим где — круговая скорость в точке

Из формулы (4.14) следует, что

После дифференцирования этого выражения по времени получим

Принимая во внимание равенства (радиальная скорость), перепишем полученное выражение в виде

Для рассматриваемых начальных условий (рис. 4.4) выражения (4.19) и (4.20) с учетом формул

(4.17) и (4.18) примут вид

Отсюда находим

Зная параметры траектории можно найти из формулы (4.19) начальный полярный угол т. е. положение полярной оси

Иногда удобно ввести дополнительный угол (см. рис. 4.3), для которого

Таким образом, траектория точки полностью определяется тремя параметрами и формула (4.14) может быть записана в виде

Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть

Отсюда имеем

и, следовательно,

Это значит, что может быть только при При этом т. е. орбита будет окружностью, а необходимая начальная скорость равна

Для параболической траектории

что выполняется при

и любом угле Начальная скорость необходимая для движения по параболической траектории, равна

Траектории искусственных спутников Земли

Пусть рассматривается движение материальной точки из положения В этом положении точка расположена на высоте над земной поверхностью и обладает начальной скоростью направленной под углом к местному горизонту.

Как установлено, при траектория материальной точки есть эллипс, один из фокусов которого находится в центре Земли.

Из уравнения траектории (4.14) видно, что максимальное расстояние материальной точки от центра Земли достигается при

и равно

Соответствующая точка траектории называется апогеем. Минимальное расстояние точки от центра Земли достигается в перигее и равно

Таким образом, максимальное расстояние точки от поверхности Земли составляет

а минимальное расстояние равняется

В зависимости от конкретных значений траектории могут оказаться пересекающимися либо не пересекающимися с поверхностью Земли. Найдем, при каком значении и фиксированном значении угла траектории не будут пересекать поверхность Земли, т. е. могут быть траекториями искусственных спутников Земли.

Для траектории, не пересекающей поверхности Земли, должно выполняться неравенство

т. е. согласно (4.28)

Принимая во внимание (4.22), получаем

или, так как

После небольших преобразований и подстановки найдем

Для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы

где

Из соотношения (4.30) получаем значение при котором траектории точки не будут пересекать поверхность Земли:

где

Отметим, что при это условие имеет смысл только при и принимает вид

Определим величины большой и малой полуосей эллипса (4.14). Величина большой полуоси

или, учитывая соотношение (4.22),

Из формулы (4.32) следует, что величина большой полуоси не зависит от угла и определяется только величиной начальной скорости Найдем теперь расстояние между фокусами эллипса 2с:

Отсюда, кстати, видно, что эксцентриситет Малая полуось эллипса связана простым соотношением с величинами

Изучим характер изменения траекторий спутников в зависимости от при Для простоты положим- что Из (4.20) тогда следует

Имея в виду, что при согласно (4-23) и, кроме того, получим

Прежде всего остановимся на случае, когда из (4.36) имеем

Следовательно, и положительное на-правление полярной оси совпадает с направлением (рис. 4.5). Напомним, что мы условились считать Это эквивалентно выбору положительного направления полярной оси от притягивающего центра через перигей.

На рис. 4.5 показаны три траектории спутников при различных значениях начальной скорости Это семейство эллипсов с общим фокусом в точке О и перигеем в

Обратимся теперь к случаю При этом и в соответствии с (4.36)

т. е. Следовательно, направление на перигей противоположно Точка становится апогеем, и семейство эллипсов имеет вид, изображенный на рис. 4.6.

Уравнения эллипсов (4.14) при принимают вид

Перигейное расстояние находится из (4.37) при Заметив, что при а при получим

Полагая в последней формуле найдем

Аналогично, при определим апогейное расстояние

Большая полуось эллипса определяется по формуле (4.32), а малая из (4.34); при этом Найдем теперь период обращения спутника по эллиптической орбите. Исходя из интеграла площадей, имеем

где —площадь, описываемая радиусом-вектором точки за время — секторная скорость.

За время полного оборота спутника радиус-вектор опишет полную площадь эллипса Следовательно, должно выполняться равенство

Вспомним, что согласно (4.18) и (4.34)

Теперь получим

Таким образом, для двух спутников, движущихся по различным эллиптическим орбитам с большими полуосями и периодами обращения и имеем

Отсюда выводится известное соотношение

Эга формула справедлива не только для задач о движении спутников Земли, но и вообще для -случаев движения материальной точки по эллиптической орбите вокруг любого притягивающего центра. Применительно к Солнечной системе эту формулу установил путем обработки наблюдений И. Кеплер (третий закон Кеплера).

Определение времени полета по эллиптической орбите (уравнение Кеплера)

Пусть движение спутника происходит по эллипсу с полуосями (рис. 4.7). Опишем из центра эллипса окружность радиусом, равным большой полуоси. Через точку на эллипсе проведем линию, перпендикулярную к линии апсид (оси Пусть точка пересечения этого перпендикуляра с окружностью будет Угол между отрезком и линией апсид называется эксцентрической аномалией. Найдем связь между углами (истинной аномалией). Из рассмотрения рис. 4.7 следует, что

где —половина фокусного расстояния. Подставляя в это выражение (см. формулу (4.14))

будем иметь

Так как то

Отсюда следует, что

Если теперь в уравнении траектории (4.14) заменить угол с помощью выражения (4.41) на угол то получим

Для дальнейшего нам необходимо определить еще и По свойству эллипса имеем (см. рис. 4.7)

В соответствии с рис. 4.7 получим

и, следовательно,

Используя выражение (4.42), будем иметь

Перейдем теперь к определению времени полета спутника. Для этого воспользуемся интегралом площадей (4.2):

так как В соответствии с формулой (4.42) получим

На основании зависимости (4.41) имеем

Отсюда, учтя соотношение (4.43), получим

Следовательно, выражение (4.44) может быть переписано в виде

или

где —момент времени прохождения через перигей,

После интегрирования найдем

Полученное уравнение носит название уравнения Кеплера. Уравнение Кеплера устанавливает связь между эксцентрической аномалией и временем движения точки.

Для того чтобы определить положение точки в данный момент времени, следует по уравнению Кеплера определить угол соответствующий данному моменту времени, затем по найденному . используя формулы (4.41) и (4.42), определить

Решению уравнения Кеплера посвящено много работ. Изложение способов его приближенного решения можно найти в курсах небесной механики.

В качестве примера применения уравнения Кеплера определим период обращения точки по эллиптической орбите.

Так как момент времени прохождения через перигей, то при где —период обращения, Из уравнения Кеплера получаем

Отсюда

Так как

В заключение этой лекции найдем выражения для проекций скорости и ускорения точки на радиальное и поперечное направления при ее движении по эллиптической траектории через эксцентрическую аномалию.

Так как то в соответствии с формулой (4.42) имеем

Ранее было найдено

а из уравнения (4.45) следует, что

Отсюда

Таким образом

Модуль скорости будет

Косинус угла между вектором скорости и радиусом-вектором материальной точки равен

Для получения проекций ускорения на радиальную и поперечную оси используем равенства

где Отсюда

Модуль ускорения равен

так как

Траектории, пересекающие земную поверхность

В этой лекции мы ограничимся рассмотрением только тех эллиптических траекторий которые пересекают земную поверхность.

Условием пересечения траектории с земной поверхностью является неравенство

Это условие будет выполнено, если

где

Следовательно, если то все траектории (эллипсы) пересекут земную поверхность.

Если же то земную поверхность пересекут только те траектории для которых начальная скорость удовлетворяет неравенству Рассмотрим траекторию, которая изображена на рис. 4.8. Найдем угол (см. рис. 4.8) между прямой и большой осью эллипса. Для апогея следовательно, значит,

Так как в точке выполняется равенство

то

Таким образом, учитывая, что имеем

или

Выразим длину дуги окружности радиуса проходящей через точки и через величину и угол В силу симметрии эллипса относительно его большой оси имеем

Принимая во внимание формулу (4.48), получим

Длина дуги определяется формулой

При эту величину будем считать дальностью полета на пассивном участке траектории (см. рис. 4.8).

Исследуем характер зависимости угла от угла при различных фиксированных т. е.

Запишем формулу (4.48) в виде

При формула (4.51) принимает вид

и, следовательно,

При имеем

т. е.

Найдем теперь значение угла при котором имеет максимальное значение при данном фиксированном Введя в формуле (4.51) замену получим

Продифференцировав это выражение по найдем

Приравняв нулю числитель правой части этого равенства, получим уравнение для определения того значения при котором имеет максимальное значение:

Отсюда

Следовательно, имеет экстремум только при Формулу для определения максимального значения найдем, подставив результат (4.53) в выражение (4.52):

Определив из выражения (4.53) и подставив это в формулу (4.54), получим

Отсюда

Из этой зависимости вытекает, что угол будет максимальным при заданном если

На рис. 4.9 построены зависимости при различных значениях Пунктиром показана линия максимумов (4.55). Предполагая, что (т. е. задано, определим угол для получения необходимого угла при условии пересечения траекторией земной поверхности.

Рассмотрим сначала случай По формуле находим угол (заметим, что при угол близок к нулю). Из рассмотрения рис. 4.10 видно, что при заданный угол может быть достигнут при двух значениях угла

Если обе траектории пересекут земную поверхность только при (см. условие (4.46))

Если то траектория, полученная при пересечет земную

При обе траектории пересекут земную поверхность,

Этот же заданный угол может быть достигнут при

но уже при т. е. при меньшей начальной скорости (см. рис. 4.10). Значение при котором заданное значение достигается при

найдем, используя формулу (4.53):

Отсюда следует- что начальная скорость должна быть равна

Формулы (4.57) и (4.58) дают возможность по заданному углу найти угол и минимальную начальную скорость обеспечивающие получение этого угла

Пусть В этом случае заданное может быть достигнуто только при одном значении угла (см-рис. 4.10). При этом, если то траектория пересечет земную поверхность при любом Если же то пересечение-произойдет только при выполнении условия (4.46).

Пример №111

Спутник движется по круговой орбите на высоте oт поверхности Земли. Какую дополнительную скорость нужно сообщить спутнику, чтобы он перешел на параболическую орбиту?

Спутник, двигаясь по окружности вокруг Земли на высоте , имеет круговую скорость, равную

Для того чтобы спутник перешел на параболическую орбиту, он должен приобрести параболическую скорость, соответствующую высоте т. е,

Следовательно, спутнику нужно сообщить дополнительную скорость, равную

Пусть радиус Земли тогда

Пример №112

На какой высоте следует запустить спутник по круговой орбите, чтобы период обращения его равнялся периоду обращения Земли вокруг своей оси (24 часам) *).

Из формулы для периода обращения (4.39) следует, что

Так как орбита круговая, то

Подставляя находим

Пример №113

Найти начальную скорость, необходимую для того, чтобы траектория спутника представляла собой эллипс с заданным отношением между максимальным и минимальным расстоянием от центра Земли. Принять, что во т. е. в начальный момент спутник находится на главной фокальной оси (линии апсид).

При решении будем различать два случая: 1) начальная скорость больше круговой скорости, т. е. начальная точка является перигеем орбиты; 2) начальная скорость меньше круговой скорости, т. е. начальная точка является апогеем орбиты.

В первом случае, когда обозначим

где —заданное число. Пользуясь формулой (4.37), имеем

отсюда

Так как где то искомая начальная скорость равна

Большая и малая полуоси соответственно равняются

На рис. 4.5 возле каждого эллипса указаны соответствующие значения

Во втором случае, когда удобно обозначить

причем является заданным числом, меньшим единицы. Пользуясь формулой (4.37), найдем, что

и выражается формулой

Отсюда находим

При этом, если то эллипсы не пересекают поверхность Земли (см. рис. 4.6); если же то эллипсы пересекаются с поверхностью Земли (такие траектории могут быть использованы для так называемых суборбитальных полетов). Соответствующие эллипсы изображены на рис. 4.11 при.

Пример №114

Спутник, движущийся по круговой орбите радиуса переводят на круговую орбиту радиуса

Для этого сначала переводят спутник с круговой орбиты на эллиптическую орбиту, апогей которой расположен на расстоянии от центра Земли (рис. 4.12); а затем, сообщив дополнительную скорость, переводят на круговую орбиту Определить величины дополнительных скоростей, которые следует сообщить спутнику на орбите и в апогее переходного эллипса, чтобы выполнить предполагаемый переход с орбиты на орбиту При движении по орбите спутник имеет скорость

Для перевода спутника на эллиптическую орбиту, расстояние апогея которой от центра Земли равно его скорость должна быть увеличена. Величина необходимой скорости была найдена в задаче 4.3 и равна

Следовательно, добавочная скорость, которую нужно сообщить спутнику, будет

Скорость спутника в апогее эллипса найдем из интеграла площадей

Отсюда

Так как на орбите круговая скорость спутника должна быть равна

то величина дополнительной скорости, которую следует сообщить спутнику для перехода на орбиту будет равна

Суммарное увеличение скорости спутника при переходе с орбиты на орбиту определяется соотношением

Несвободное движение

В первой главе при формулировке основных задач динамики точки мы исходили из предположения, что на движение точки не наложено никаких ограничений, т. е. все ее три координаты могут меняться любым образом. Надлежащим выбором закона изменения силы и начальных условий можно заставить материальную точку двигаться по любой траектории. Примером может служить движение управляемого космического корабля.

В подобных случаях материальная точка называется свободной, а ее движение — свободным движением.

В других случаях на движение могут быть наложены те или иные ограничения. Рассмотрим, например, материальную точку, находящуюся на конце нерастяжимого стержня длины другой конец которого с помощью шарнира закреплен в неподвижной точке (рис. 5.1).

При любых силах, приложенных к материальной точке, она совершает движение по поверхности сферы, радиус которой равен длине стержня. Координаты точки не будут независимыми, так как он» должны удовлетворять уравнению сферы

Из этого уравнения одна из координат, например координата может быть выражена через остальные две:

Скорость точки всегда располагается в касательной плоскости, проведенной к сфере в точке, где находится в данный момент материальная точка.

Таким образом, в рассматриваемом примере начальные условия не могут быть выбраны произвольно, так как координаты начального положения должны удовлетворять уравнению (5.1), а начальная скорость должна быть расположена в касательной плоскости, проведенной к сфере в точке начального положения материальной точки.

Итак, существуют случаи движения материальной точки, когда некоторые ограничения вынуждают точку совершать движение по строго фиксированной поверхности (в рассматриваемом примере таким ограничением является стержень). Можно привести примеры, когда ограничения принуждают материальную точку двигаться по строго определенной линии (например, кольцо, насаженное на изогнутую проволоку, будет двигаться только вдоль проволоки). Ограничения также вынуждают материальную точку двигаться лишь в некоторой части пространства. Во всех этих случаях независимо от действующих сил координаты точки определенным образом связаны между собой и выбор начальных условий не может быть произвольным.

Будем называть материальную точку несвободной, если вследствие тех или иных ограничений она при действии на нее любых сил совершает движение по строго фиксированной линии, поверхности или находится все время в строго фиксированной части пространства. Движение такой точки называется несвободным, движением.

Ограничения, благодаря которым материальная точка вынуждена совершать несвободное движение, называются связями; это понятие уже встречалось в курсе статики.

При изучении несвободного движения пользуются также знакомым из курса статики принципом освобождаемости, который заключается в следующем, при рассмотрении несвободного движения следует действие связей на материальную точку заменить реакциями этих связей и рассматривать материальную точку как свободную, но находящуюся под действием как сил активных, так и реакций связей. Если обозначить через равнодействующую всех активных сил, приложенных к точке, а через —равнодействующую всех реакций связей, то основное уравнение динамики примет вид

Следует иметь в виду, что реакция связи неизвестна и может возникнуть задача об определении этой силы.

В проекциях на оси системы координат в соответствии с уравнением (5.3) получим

Эти уравнения позволяют решать задачи, когда заданы движение и активные силы и требуется определить реакции, а также когда заданы активные силы и требуется определить закон движения и реакции.

Уравнения связей. Классификация связей

Независимо от фактической реализации тех или иных связей, наложенных на материальную точку, они могут быть заданы аналитически. Уравнения линии или поверхности, по которым совершает движение точка, называются уравнениями связи. Если точка принуждена оставаться в некоторой области пространства, то связь аналитически задается в виде неравенств.

Если материальная точка движется по линии, то уравнения связи имеют вид

где —уравнения тех поверхностей, линией пересечения которых является траектория точки. В случае плоского движения по заданной кривой уравнение связи можно записать в форме Например, в кривошипно шатунном механизме (рис. 5.2) точка шатуна движется по окружности радиуса, равного длине кривошипа. Уравнение связи получает вид

Ползун движется по прямой, и для него уравнение связи имеет вид Неизменность расстояния между выражается уравнением

При движении точки по поверхности уравнением связи является уравнение этой поверхности

Уравнение сферы (5.1) в рассмотренном выше примере и является уравнением связи. Заметим, что если в этом примере вместо стержня взята гибкая нерастяжимая нить, то точка получит возможность совершать движение не только по поверхности, но и внутри сферы радиуса, равного длине нити. Вместо уравнения связь в этом случае аналитически задается неравенством

Следовательно, если'какая-либо поверхность, определяемая уравнением ограничивает область движения точки, то вместо уравнения связи следует взять одно из неравенств:

или

Перейдем теперь к классификации связей. Если связь со временем не меняется, т. е. время явно в уравнение связи не входит, то связь называется стационарной (склерономной). Таковы, например, связи, удовлетворяющие условиям (5.4), (5.5) и (5.7).

Если же связь изменяется во времени заданным образом, то уравнение связи содержит явно время Такие связи называются нестационарными (реономными).

Например, если длина стержня на рис. 5.1 будет изменяться по какому-либо заданному закону, в частности, пусть то уравнение связи будет иметь вид

Следовательно, в общем случае при изменении связей во времени они могут быть заданы следующим образом: при движении точки по поверхности

при движении точки по кривой

при движении точки в ограниченной области

Связь называется удерживающей, если уравнение связи имеет вид равенства, как, например, уравнения (5.4). Это означает, что при любых условиях точка движется по заданной поверхности или кривой. Связи, которые задаются с помощью неравенств, например, в виде (5.7) или (5.10), называются неудерживающими.

Примером неудерживающей связи служит связь, определяемая неравенством (5.6). Следовательно, связь является неудерживающей, если точка может покидать ее в какую-либо одну сторону.

Наконец, введем еще понятие об идеальной связи. При движении точки по поверхности или по кривой реакция связи может быть разложена на нормальную и касательную составляющие. Касательная составляющая реакции представляет собой силу трения. Очевидно, что чем более гладкой будет поверхность или кривая, тем меньше будет касательная составляющая реакции. Если поверхность или кривая абсолютно гладкие, то реакция будет направлена по нормали.

Для точки идеальными связями будем называть связи без трения, реакции которых не имеют касательных составляющих *).

Движение точки по гладкой неподвижной поверхности

Для изучения движения материальной точки по поверхности используем уравнение (5.3).

В проекциях на оси системы координат имеем

Эти три уравнения содержат шесть неизвестных: три координаты точки и три неизвестные проекции реакции. Но, как мы видели, координаты точки должны также удовлетворять уравнению поверхности, по которой движется точка. Это дает четвертое уравнение

Конечно, четырех уравнений для определения шести неизвестных недостаточно. Для получения двух недостающих уравнений используем условие идеальности связи.

Так как поверхность, по которой движется точка, идеально гладкая, то реакция направлена по нормали к поверхности. Градиент

представляет собой вектор, который также направлен по нормали к поверхности.

Условие коллинеарности реакции и дает недостающие два уравнения:

Таким образом, уравнения (5.11) —(5.13) в принципе дают возможность решить задачу о движении точки по гладкой неподвижной поверхности. Из уравнений (5.11) и (5.13) можно исключить реакции связей. Для этого обозначим равные Отношения (5.13) через т. е.

Тогда

и уравнения (5.11) теперь примут такой вид:

Присоединяя к этим уравнениям уравнения связи (5.12), получаем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными После отыскания этих неизвестных по формулам (5.14) можно определить проекции реакции. Модуль реакции равен

Реакция определяется выражением

Уравнения (5.15) называются уравнениями Лагранжа первого рода.

Пример №115

Рассмотрим движение тяжелой материальной точки массы ко внутренней поверхности цилиндра радиуса ось цилиндра горизонтальна (рис. 5.3). Совместив начало координат с какой-либо точкой оси цилиндра, направим ось вертикально вниз, ось — горизонтально по радиусу цилиндра, а ось —по оси цилиндра.

Примем, что в начальный момент положение точки определяется координатами Положим также, что начальная скорость направлена параллельно оси цилиндра и равна Это значит, что в начальный момент

На материальную точку действуют сила тяжести и реакция направленная по радиусу. Уравнение связи (цилиндрической поверхности) имеет вид

Подставим в уравнения (5.15). В результате получим

Из третьего уравнения системы (5.17) после интегрирования и использования начальных условий получим

т. е. расстояние от начальной плоскости растет пропорционально времени.

Умножая первое уравнение системы (5.17) на второе уравнение —на и вычитая из первого уравнения второе, найдем

Умножая теперь первое уравнение системы (5.17) на и складывая его со вторым уравнением, умноженным на будем иметь

Перейдем к цилиндрическим координатам

Так как

то уравнения (5.17) и (5.18) примут вид

или

и

Записав уравнение (5.19) в виде

после интегрирования получим

Так как следовательно,

Из этого уравнения видно, что при выбранных начальных условиях движение будет происходить в области, где Подставляя выражение (5.21) в уравнение (5.20), будем иметь

В соответствии с формулами (5.14) получаем

Модуль реакции равен

Реакция равна нулю при Максимальное значение реакции будет при и равно

Для определения закона изменения угла нужно проинтегрировать уравнение (5.19).

Движение точки по гладкой неподвижной кривой

При движении материальной точки по кривой уравнения связей имеют вид

где —уравнения поверхностей, линия пересечения которых является траекторией точки (рис. 5.4). В этом случае в уравнении (5.3) реакцию следует рассматривать как сумму реакций, т. е.

где —реакции, заменяющие действие соответственно первой и второй связи, уравнения которых имеют вид (5.22). Поэтому дифференциальные уравнения движения запишутся в виде

Эти уравнения содержат девять неизвестных: три координаты и шесть проекций реакций.

Присоединяя к уравнениям (5.24) два уравнения связи (5.22) и условия идеальностей связей

и

получим девять уравнений с девятью неизвестными. Из этих уравнений можно исключить проекции реакций. Для этого отношения в выражениях (5.25) и (5.26) соответственно обозначим через и получим

Следовательно, уравнения (5.24) примут следующий вид

Система (5.29) совместно с уравнениями связи (5.22) образует систему пяти уравнений с пятью неизвестными

Реакции определяются формулами

Модули этих реакций равны

Пример №116

По проволоке, имеющей форму параболы, движется колечко; уравнения связи (параболы) имеют вид (рис. 5.5)

Найти реакцию связи при нулевых начальных условиях. Подставляя

в уравнения (5.29), получим

Из второго уравнения связи имеем и, следовательно, Умножая теперь второе уравнение на и складывая его с первым уравнением, получим

Так как согласно уравнениям (5.32) то

Подставим полученное выражение в уравнение (5,34):

Заменив

найдем

Это уравнение в полных дифференциалах, и его решение имеет вид

где —постоянная интегрирования.

При нулевых начальных условиях получаем, что и, следовательно,

или

Продифференцировав выражение (5.35) по времени, найдем

откуда

Учитывая, что получим

Тогда на основании второго уравнения системы (5.33) имеем

Конечно, это же выражение можно получить и из первого уравнения системы (5.33). На основании формул (5.27) можно выразить проекции реакций через абсциссу колечка:

Найдем скорость колечка в зависимости от его абсциссы. Так как и учитывая, что имеем

или, принимая во внимание равенство (5.35),

Этот результат можно было получить и сразу, применяя теорему об изменении кинетической энергии. Действительно, так как работа реакции, направленной по нормали к кривой, равна нулю, то

и

Рассмотренный пример показывает, что нахождение реакций с помощью уравнений Лагранжа первого рода (уравнений (5.29)) приводит к громоздким выкладкам. Поэтому этот метод и не нашел широкого практического применения.

Естественные уравнения движения. Математический маятник

При изучении несвободного движения материальной точки по неподвижной кривой иногда удобно использовать уравнение (5.3) в проекциях на оси естественного трехгранника. Эти уравнения имеют вид

Подставляя сюда проекции ускорения

получим

Уравнения (5.36) называются естественными уравнениями движения. Из третьего уравнения следует, что бинормальная составляющая реакции определяется статически через бинормальную составляющую активной силы и от закона движения точки не зависит.

При заданных активных силах и известных уравнениях связи уравнения (5.36) позволяют определить закон движения точки и реакции связей. Заметим, что между проекциями реакции обычно существует простая связь.

При движении точки по шероховатой кривой проекция представляет собой силу трения скольжения. Модуль силы трения скольжения равен

где — коэффициент трения скольжения.

Сила трения скольжения всегда направлена противоположно скорости, следовательно,

Если движение происходит по идеально гладкой кривой, то и естественные уравнения движения принимают вид

Отметим, что в этом случае первое уравнение служит для определения закона движения, а второе и третье —для определения реакции связи.

При движении точки по плоской, неподвижной шероховатой кривой уравнения (5.36) запишутся в виде

Для примера, рассмотренного в предыдущей лекции, второе уравнение системы (5.38) можно записать следующим образом (см. рис. 5.5):

где —угол, образуемый касательной к параболе с осью

Исходя из уравнения параболы

имеем

Отсюда

Из курса высшей математики известно, что радиус кривизны кривой находится по формуле

Учитывая соотношение (5.39), получим

Так как то

Следовательно,

Применим теперь уравнения (5.38) для изучения движения математического маятника.

Математическим маятником называется материальная точка, движущаяся под действием силы тяжести по гладкой окружности, расположенной в вертикальной плоскости. Практически это можно, например, осуществить, подвесив материальную точку к невесомой нерастяжимой нити, другой конец которой закреплен. При этом начальная скорость подвешенной точки должна располагаться в вертикальной плоскости перпендикулярно к радиусу.

Положение точки будем определять углом образованным нитью с вертикалью (рис. 5.6). Если — масса точки, то действующая на точку сила тяжести равна Пусть длина нити равна

Так как

то уравнения (5.37) будут иметь вид

при этом учтено, что реакция направлена вдоль нити и, следовательно,

Перепишем эти уравнения в следующей форме:

Уравнение (5.41) служит для определения закона движения маятника, а уравнение (5.42) —для определения реакции нити.

Пусть в начальный момент нить отклонена от вертикали на угол и отпущена с начальной угловой скоростью Определим реакцию в зависимости от угла а также и закон движения точки

Согласно уравнению (5.42) для определения в зависимости от угла нужно выразить величину через этот угол.

Представив в уравнении (5.41) в виде

получим

Вспоминая, что при можем записать так:

откуда

Подставляя этот результат в уравнение (5.42), получим

Пусть — начальная скорость точки; тогда

В частности, формула (5.44) позволяет найти угол при котором для заданных начальных условий связь перестает быть удерживающей (нить сомнется). Это произойдет, если

Отсюда следует, что

Если потребовать, чтобы связь была удерживающей вплоть до значения то начальная скорость должна равняться

при этом маятник будет совершать круговое движение. В частности, при получим

Если начальная скорость равна нулю, то и формула (5.43) примет вид

Следовательно, во все время движения должны выполняться неравенства

Перейдем к определению закона движения маятника. Вводя обозначение перепишем уравнение (5.41) в виде

Рассмотрим сначала случай малых отклонений, когда можно принять

В этом случае дифференциальное уравнение движения

совпадает по форме с дифференциальным уравнением свободных линейных колебаний.

Следовательно, угол меняется по гармоническому закону

Период малых колебаний маятника равен

т. е. при малых углах отклонения период не зависит от начального отклонения (колебания маятника изохронны).

Теперь найдем период колебаний маятника при любых углах отклонения Рассмотрим случай, когда колебания начинаются вследствие начального отклонения причем начальная скорость равна нулю. Из уравнения (5.43) следует

При возрастании угла здесь должен быть взят знак «плюс», а при обратном движении —знак «минус».

При указанных начальных условиях движение начинается от значения в сторону уменьшения угла В течение первого полупериода скорость отрицательна и в последнем выражении должен быть взят знак «минус». Если длительность полупериода обозначить через то из выражения для скорости следует равенство

отсюда находим При обратном движении, т. е. при изменении угла от значения — до значения скорость и, значит,

где время движения.

Отсюда

Период колебаний равен

Входящий сюда интеграл не относится к числу элементарных. Преобразуем его следующим образом. Так как

то

Введем новую переменную

Тогда

и, следовательно, Интеграл называется полным эллиптическим интегралом первого рода. Значения этого интеграла зависят только от начального угла и могут быть найдены в таблицах специальных функций.

Приближенное значение при достаточно малых значениях можно найти путем разложения подынтегрального выражения в ряд

Ограничиваясь двумя написанными членами, получим

и, следовательно,

Если можно принять то

Формулы (5.46) и (5.48) для периода колебаний различаются множителем Значение этой поправки зависит от начального угла и приведено в следующей таблице:

Рассмотрим задачу о движении точки по шероховатой кривой.

Пример №117

Лыжник спускается с горы, причем его траекторию можно принять за окружность радиуса (рис. 5.7). Коэффициент трения скольжения равен Определить скорость лыжника в точке если в начальной точке его скорость равнялась нулю.

Так как в данном примере нормальная реакция то уравнения (5.38) будут иметь вид

Для исключения реакции умножим второе уравнение на и сложим с первым уравнением:

Учитывая, что имеем

но так как

то

Уравнение (5.50) представляет собой неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно Общее решение однородного уравнения

имеет вид

где —постоянная интегрирования.

Частное решение уравнения (5.50) будем разыскивать в виде

где —неопределенные коэффициенты. Для их определения подставим выражение (5.52) в дифференциальное уравнение (5.50); тогда получим

Для тождественного удовлетворения этого равенства необходимо, чтобы коэффициенты при в обеих частях равенства выли соответственно равны друг другу. Это позволяет получить два уравнения относительно неизвестных

Отсюда

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

Складывая решения (5.51) и (5.53), получим общее решение дифференциального уравнения (5.50):

По условию задачи следовательно,

Отсюда находим постоянную

Подставляя полученное выражение в формулу (5.54) и учитывая, что окончательно получаем следующую зависимость от угла

Нормальная составляющая реакции равна

В последний момент рассматриваемого интервала движения, т, е. при получим

Если трением пренебречь и принять то по формулам (5.57) и (5.58) найдем

Теорема об изменении кинетической энергии для несвободного движения

Пользуясь принципом освобождаемости, запишем соотношение (3.4G) длп случая несвободного движения в виде

где — реакция связи.

Результат (5.59) формулируется следующим образом: элементарное изменение кинетической энергии при несвободном движений равно элементарной работе как активных сил, так и реакции связи.

Но при наличии идеальной стационарной связи работа реакции на перемещении точки равна нулю и теорема об изменении кинетической энергии для несвободного движения имеет тот же вид, что и для свободного движения.

Если же связь идеальная, но нестационарная, то вектор перемещения dr может быть не перпендикулярен к реакции В этом случае реакция направлена перпендикулярно к вектору относительной скорости. Поэтому при нестационарных связях работу реакции следует учитывать.

Пример №118

Тяжелое кольцо веса — может скользить без трения по дуге окружности радиуса расположенной в вертикальной плоскости. К кольцу привязана упругая нить проходящая через гладкое неподвижное кольцо и закрепленная в точке

Дано, что натяжение нити равно нулю, когда кольцо находится в точке а коэффициент жесткости нити равен (рис. 5.8).

В начальный момент кольцо находится в точке и имеет скорость, равную нулю. Определить давление производимое кольцом на окружность. На кольцо действуют сила сила натяжения нити и реакция Выразим модуль силы через угол (см. рис. 5.8). По условию задачи — удлинение упругой нити). Так как то

Следовательно,

Второе уравнение системы (5.36) в данном случае имеет вид

т. е.

Используем теорему об изменении кинетической энергии для нахождения скорости принимая во внимание, что начальная скорость кольца

где — соответственно работа сил По условию задачи связь стационарная и идеальная, следовательно, Для определения заметим, что

Значит,

Далее находим

где — удлинения нити при положении кольца в точках

По условию задачи длина нити в нерастянутом положении равна следовательно,

Поэтому

С помощью выражений (5.62) и (5.63) преобразуем соотношение (5.61) к виду

Подставляя найденное значение в выражение (5.60), найдем нормальную реакцию

и, следовательно, так как

Метод кинетостатики для точки (принцип Даламбера)

Наряду с рассмотренными методами изучения несвободного движения точки удобным для решения первой задачи динамики несвободной точки является метод кинетостатики. Особенно удобен этот способ, когда требуется определить реакцию связи при заданных законе движения точки и активных силах.

Содержание этого метода заключается в следующем. Перепишем уравнение (5.3) в виде

Введя обозначение

получим

Вектор равный по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленный противоположно вектору ускорения, называется силой инерции.

Равенство (5.66) представляет собой уравнение движения материальной точки,-записанное в форме условия равновесия сил. В этом и заключается существо метода кинетостатики.

На основании уравнения (5.66) можно утверждать, что в каждый момент движения сумма активной силы, реакции связей и силы инерции равна нулю. При этом следует иметь в виду, что к материальной точке приложены только силы т. е. активная сила и реакция. Сила же инерции к точке не приложена.'Поэтому на уравнение (5.66) нельзя смотреть как на условие равновесия активной силы, реакции и силы инерции.

Метод кинетостатики является лишь формальным приемом сведения уравнения динамики к уравнению статики, однако при решении практических задач такой прием может обладать рядом достоинств.

Реакция связи в соответствии с уравнением (5.66) равна

Задачи на применение метода кинетостатики

Пример №119

Самолет, двигаясь в вертикальной плоскости, выходит из пикирующего полета на горизонтальный полет по окружности радиуса (рис. 5.9). Скорость самолета в момент выхода на горизонтальный полет максимальна и равна Определить, каким должен быть радиус чтобы реакция связи, действующая на летчика, была в раз больше нормального веса летчика (число называется перегрузкой).

На летчика, находящегося в самолете, действует сила притяжения к Земле и реакция Нормальное ускорение самолета (и летчика) равно и направлено к центру окружности. Сила инерции, равная направлена по радиусу окружности в сторону, противоположною нормальному ускорению.

Запишем уравнение (5.66) в проекции на вертикаль самолета:

По условию задачи следовательно,

Отсюда находим

Если например то

В этом случае давление тела летчика на сиденье в пять раз больше его нормального веса и летчик будет чувствовать себя так, как если бы его вес возрос в пять раз.

Любопытен другой частный случай, относящийся к условиям, имитирующим ощущение невесомости. Для этого нужно, чтобы реакция сиденья равнялась нулю; при этом давление летчика на сиденье также равно нулю. Здесь следует принять и тогда по полученной выше формуле найдем

Знак «минус» означает, что траектория полета должна иметь выпуклость сверху, как это показано на рис. 5.9, б.

Пример №120

Летчик на самолете выполняет правильный вираж со скоростью Угол крена равен Определить радиус виража

Правильным виражом называется полет самолета без скольжения по дуге окружности в горизонтальной плоскости с неизменным углом крена.

Будем рассматривать самолет как материальную точку, к которой приложены следующие силы: сила притяжения к Земле подъемная сила сила тяги и сила лобового сопротивления (рис. 5.10). Согласно (5.66) будем иметь

Ускорение центра тяжести самолета а модуль силы инерции

В проекциях на оси координат уравнение (5.67) дает Из последнего уравнения следует, что при выполнении правильного виража т. е. сила тяги уравновешивается силой лобового сопротивления. Из второго уравнения можно найти, что сила притяжения к Земле уравновешивается вертикальной составляющей подъемной силы;

Из первого уравнения определяется радиус виража

Если будет нарушено какое-нибудь из равенств (5.68), то правильный вираж станет неосуществимым (возникает скольжение, а также снижение или подъем самолета). Следует иметь в виду, что данному углу крена соответствует определенная скорость полета (она определяет подъемную силу).

Пример №121

Шарнирно-стержневая система (рис. 511) вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью Стержни считать невесомыми и имеющими длину каждый. Определить усилия в стержнях, если в точке находится сосредоточенная масса и угол

Ускорение массы равно и направлено по горизонтали к оси вращения. Соответственно сила инерции равна и направлена по горизонтали от оси вращения. Обозначая через усилия в стержнях, напишем уравнение (5.60):

В проекциях на оси получим

Решив эту систему, найдем

Заметим, что при малых значениях угловой скорости усилие отрицательно, т. е. нижний стержень сжат (силой тяжести). При усилие равно нулю, а при больших значениях оно положительно.

Явление невесомости

В этой лекции рассматривается явление, которое по установившейся традиции, хотя и не вполне точно, называется невесомостью.

Предположим, что платформа движется по вертикали с заданным ускорением причем на платформе установлены пружинные весы, на которых лежит груз Стрелка весов фиксирует силу, с которой груз давит на весы (рис. 5.12). Когда платформа находится в покое (или движется равномерно), стрелка весов устанавливается против деления шкалы, соответствующего весу груза В дальнейшем это показание пружинных весов будем называть истинным весом. Выясним, какое давление оказывает груз на весы, если платформа движется вниз с ускорением

На груз действуют две силы: сила тяжести и реакция (рис. 5.13) со стороны чашки весов. Уравнение движения груза имеет вид

или, в проекции на вертикальную ось (положительное направление— вниз),

Следовательно, величина реакции весов равна

Такую же величину имеет направленное вниз давление которое тело оказывает на весы.

Понятно, что деформация пружины под действием силы окажется меньше, чем в состоянии покоя. Стрелка весов остановится против деления шкалы, на котором мы прочтем новый «вес» груза; он окажется равным Его отношение к истинному весу составляет — коэффициент перегрузки). Конечно, сила притяжения тела к Земле не изменилась, так как гравитационное поле Земли не зависит от того, движется ли груз или находится в покое. Изменились лишь силы взаимодействия между грузом и чашкой весов

Продолжим опыт далее и будем увеличивать ускорение При этом реакция, как это видно из (5.70), уменьшается. Наконец, при она станет равной нулю и стрелка весов установится на нулевом делении шкалы. Взаимодействие между грузом и чашкой весов исчезает. Говорят, что наступила «невесомость».

Если ускорение превзойдет значение то груз оторвется от весов и будет свободно падать. Платформа, опускающаяся с большим ускорением, будет удаляться от падающего груза. Если же груз связан с весами, то платформа будет увлекать его вниз, причем перегрузка станет отрицательной и сила действия груза на весы окажется направленной вверх.

Вернемся к состоянию видимой невесомости, когда перегрузка равна нулю. Это состояние приводит к непривычным ощущениям у человека, находящегося в лифте, в космическом корабле или самолете. Он действительно перестает чувствовать вес своего тела.

Для того чтобы объяснить смысл этого явления, разберемся в причине ощущения веса (или весомости), к которому привыкает человек в обычных земных условиях.

В обычных условиях между отдельными частями человеческого тела существуют силы взаимодействия. Рассмотрим, например, силы, действующие на голень стоящего на полу человека (рис. 5.14).

На голень, кроме силы тяжести действует реакция приложенная в коленном суставе, и реакция пола (речь идет о весьма схематичном представлении действительных сил).

Силы уравновешены. Аналогичная картина распределения усилий может быть изображена и для всех других мысленно выделенных частей тела.

Таким образом, массовые силы (силы тяжести) и поверхностные силы (реакция пола), приложенные к сложной системе материальных точек — человеческому телу, вызывают появление многочисленных внутренних сил.

Именно появление этих внутренних сил (натяжение мышц, реакции суставов, давление на нервные окончания вестибулярного аппарата и т. п.) вызывает у человека ощущение весомости. Человек привыкает к ощущению всей этой совокупности сил.

Предположим теперь, что человек опускается вниз с ускорением Как было установлено выше, при этом исчезает реакция со стороны опоры, т. е.

Следовательно, уравнение движения голени примет вид

Отсюда получим Рассматривая уравнения движения других мысленно выделенных частей человеческого тела, придем к аналогичному результату: исчезают внутренние силы взаимодействия между отдельными частями тела. Исчезает и ощущение весомости. В этих условиях теряют смысл привычные понятия «верх» и «низ».

Оттолкнувшись от опоры, человек приобретает дополнительную скорость и движется до тех пор, пока не натолкнется на преграду.

Конечно, внутренние силы могут возникнуть и в таких условиях. Однако их происхождение на этот раз не связано с тяготением. Человек может, например, взять в руки эспандер и растягивать его обеими руками. При этом обязательно возникнут внутренние силы —силы натяжения многочисленных мышц, которые будут возрастать по мере растяжения пружины эспандера.

На каплю воды (рис. 5.15) продолжают действовать силы поверхностного молекулярного натяжения, и они не дадут ей разрушиться. Эти внутренние силы вызовает появление давления в капле, т. е. опять возникнут силы взаимодействия между отдельными материальными точками механической системы.

Перейдем теперь к выяснению более общих условий, при которых возможно появление невесомости. Для этого определим, пользуясь полученным уже представлением, более точно понятие невесомости.

Представим себе, что тело (рис. 5.16) движется поступательно с ускорением относительно инерциальной системы координат в поле массовых сил, т. е. сил, действующих на все точки тела. Обозначим через равнодействующую этих массовых сил, действующих на точки тела.

Выделим в теле произвольный объем массы На этот объем будет действовать две силы: внешняя сила и равнодействующая всех внутренних сил

Определим состояние невесомости следующим образом: тело находится в невесомости, если равнодействующая всех внутренних сил, приложенных к любому элементу, выделенному в теле, равна нулю.

Найдем, каким условиям должны удовлетворять силы чтобы тело находилось в состоянии невесомости.

Напишем уравнения движения для всего тела и для выделенной части тела массы массу всего тела примем равной

Используя условие невесомости из (5.72) получим

Условие (5.73) должно выполняться для любой массы в выделенной в теле. Это условие является также и достаточным. Используя условие (5.73), получаем из уравнения (5.72)

Этими замечательными качествами как раз и обладают силы гравитации. Они пропорциональны массам тех тел, на которые действуют, и если тела достаточно малых размеров, то направления сил можно считать для всех точек одинаковыми.

Таким образом, тело будет находиться в состоянии невесомости, если равнодействуюищая всех внутренних сил, обусловленных наличием сил гравитации, приложенных к любому элементу, выделенному в теле, равна нулю.

Напомним, что равнодействующая внутренних сил, обусловленных наличием других причин (не силами гравитации), может быть при этом и ие равна нулю.

При полете стабилизированного космического аппарата с выключенным двигателем и вне пределов атмосферы его экипаж находится в условиях, близких к невесомости. Условие (5.73), если пренебречь размерами тел, для него выполняется, так как единственные активные силы, действующие на аппарат и его экипаж, — гравитационные. Разумеется, это условие соблюдается только при

поступательном движении аппарата (иначе ускорения всех точек нельзя считать одинаковыми и условие (5.73) оказывается несправедливым).

Предположим теперь, что включен реактивный двигатель, развивающий силу тяги (рис. 5.17). Тогда к космическому кораблю, кроме силы тяготения приложена еще сила В то же время активные силы, действующие на тело не изменились. Нарушено условие невесомости (5.73).

При включении двигателей все тела, не закрепленные в кабине, переместятся в сторону, противоположную вектору тяги. Опять возникнет ощущение «весомости», хотя при этом сила тяготения может и не действовать.

Такое же явление возникает и при торможении аппарата в атмосфере. Сила сопротивления (рис.5.18) действует только на аппарат и приложена к его поверхности. К человеку, находящемуся в кабине, она не приложена, поэтому нарушается условие невесомости — космонавта отбрасывает в сторону, противоположную т. е. в направлении вектора скорости (рис. 5.18).

Следует отметить, что на участке торможения реакция может достигать значительной величины. Ее можно определить, исходя из обычного уравнения движения (5.72), если только пренебречь силой тяготения которая мала по сравнению с Из (5.72) имеем

Отношение к весу (перегрузка) здесь окажется равным

Перегрузки нередко достигают величин порядка

В предыдущей главе было показано, что при маневре самолета в вертикальной плоскости может быть достигнута нулевая перегрузка или невесомость. Для этого должен быть осуществлен маневр типа «горки» с радиусом кривизны траектории в верхней точке, определяемым по формуле

Например, при радиус кривизны должен быть равен 4,08 км.

В окрестности этой точки условие невесомости строго не будет соблюдаться, тем не менее состояние человека окажется близким к невесомости Такой имитацией явления невесомости пользуются при тренировках летчиков-космонавтов.

Совершенно аналогичное явление может наступить и в земных условиях —при движении автомобиля по мосту. В средней точке моста при соответствующей скорости

определяемой в зависимости от кривизны пролета по формуле (5.74), наступит мгновенное состояние невесомости.

Состояние, довольно близкое к невесомости, испытывает парашютист при свободном падении с большой высоты с нераскрытым парашютом. Пока сопротивление атмосферы мало (в начальный период и на большой высоте), ускорение падения близко к и поэтому состояние парашютиста мало отличается от невесомости.

Более длительное состояние невесомости можно получить при помощи так называемого «баллистического броска» самолета. Для этого самолет должен выдерживать строго скорость и траекторию полета тела, брошенного под углом к горизонту в пустоте.

Динамика относительного движения материальной точки

В предыдущих главах мы опирались на основное уравнение динамики точки (второй закон Ньютона), которое справедливо только в инерциальных системах отсчета. Напомним, что инер-циальной называется такая система отсчета, в которой справедлив принцип инерции (первый закон Ньютона). Во многих случаях задачи динамики сводятся к исследованию движения в той или иной неинерциальной системе. В сущности, неинерциальной является и привычная для нас система отсчета, связанная с Землей. Впрочем, только весьма тонкие опыты (например, наблюдения за отклонением падающих тел к востоку, за вращением плоскости качания маятника) могут обнаружить неинерциальность геоцентрической системы отсчета. В большинстве приложений систему координат, жестко связанную с Землей, можно считать инерциальной.

Значительно заметнее проявляется неинерциальность систем отсчета, связанных с ускоренно движущимися техническими объектами—от ускоренно поднимающегося лифта до искусственного спутника или космического корабля, совершающего взлет с Земли. Если связать систему отсчета с кораблем, автомобилем или самолетом, движущимися по криволинейным путям или тем более с ротором быстроходной турбины, то неинерциальность окажется столь значительной, что основное уравнение динамики окажется неверным. Значит, окажутся неверными и многочисленные следствия из этого уравнения, доказанные в предыдущих главах.

Переносная и кориолисова силы инерции

Настоящая глава посвящена изучению движения материальной точки в неинерциальных системах отсчета Ниже будет дан метод составления уравнений движения материальной точки е неинерциальной системе отсчета. В этом, собственно, и состоит основная задача, которую предстоит решить.

Главная идея, которая положена в основу вывода соответствующих динамических уравнений, связана с задачей чисто кинематического характера, которую мы рассматривали в кинематике:

по заданному относительному движению точки и при известном движении подвижной системы координат определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки. Мы воспользуемся этими результатами для того, чтобы научиться составлять уравнения

движения материальной точки в неинерциальных системах отсчета.

Предположим, что известны силы, которые действуют на материальную точку, а также задано движение подвижной системы координат относительно некоторой инерциальной системы (в дальнейшем будем называть ее неподвижной системой).

Поставим своей задачей найти относительное движение точки, т. е. движение в не иерциальной системе отсчета.

Напомним, что задать движение подвижной системы координат можно при помощи трех координат ее начала (рис. 6.1): и трех углов Эйлера:

В неподвижной системе справедливо основное уравнение динамики

Здесь, как и выше, — равнодействующая всех активных сил, —равнодействующая реакций связей, — масса материальной точки, —ее ускорение.

Используем теперь теорему Кориолиса и выразим абсолютное ускорение через относительное, переносное и кориолисово:

Подставляя (6.2) в (6.1), получим

Перенося часть членов в правую часть, придем к векторному уравнению

Отсюда ясно, что произведение массы материальной точки на ее относительное ускорение не равно сумме равнодействующей всех активных сил, действующих на нее, и равнодействующей реакций связей.

Последние два вектора в правой части уравнения (6.3) должен ввести наблюдатель, находящийся в неинерциальной системе отсчета, для того, чтобы в этой системе отсчета основное уравнение динамики сохранило форму второго закона Ньютона.

Векторы называются «силами инерции». Первый называется переносной силой инерции, второй — кориолисовой силой инерции.

Будем в дальнейшем пользоваться обозначениями

где — угловая скорость переносного движения.

Таким образом, уравнение (6.3) приобретает привычную форму основного уравнения динамики (второго закона Ньютона):

Мы получили следующее правило:

Для того чтобы составить дифференциальное уравнение движения материальной точки в неинерциальной системе координат в форме второго закона Ньютона, необходимо к действующим на точку активным силам и реакциям связей присоединить переносную и кориолисову силы инерции.

В неинерциальной системе координат силы инерции проявляют себя как обычные силы, с которыми мы имеем дело в инерциаль-ной системе отсчета. Переносная и кориолисова силы инерции вызывают относительное ускорение, они могут деформировать тело и даже разрушать его, они совершают работу и т. п. Вместе с тем необходимо помнить, что, в отличие от обычных сил, например силы тяготения, величина и направление которых зависят только от характера взаимодействия тел и не зависят от выбора неинерциальной системы отсчета, переносная и кориолисова силы инерции определяются выбором неинерциальной системы координат.

Кроме того, мы не можем указать внутри Солнечной системы, с которой связана гелиоцентрическая инерциальная система, тела, в результате взаимодействия с которыми возникают силы инерции.

В общей теории относительности согласно принципу эквивалентности, выдвинутому А. Эйнштейном, природа сил тяготения и массовых сил инерции в относительном движении тождественна.

Остановимся на способах определения сил инерции и напомним правила вычисления соответствующих ускорений.

Для того чтобы найти переносное ускорение, необходимо знать движение подвижной системы координат. Формула для определения переносного ускорения имеет вид

Здесь —угловая скорость и угловое ускорение подвижной системы координат, —ускорение ее начала и —радиус-вектор точки в подвижной системе координат (см. рис. 6.1).

Во всех случаях вычисления переносного ускорения и переносной силы инерции полезно представлять переносное ускорение как абсолютное ускорение точки, закрепленной в подвижной системе координат.

Для определения кориолисова ускорения каждый раз необходимо перемножать два вектора (рис-6.2) так как

При составлении уравнении движения материальной точки относительно поступательно движущихся систем отсчета следует иметь в виду, что кориолисовы силы инерции отсутствуют а переносные силы инерции не зависят от положения, занимаемого точкой в подвижной системе отсчета.

Пример №122

Точка неподвижна в неподвижной системе отсчета (рис 6.3) и находится на расстоянии от ее начала. Система координат вращается равномерно против хода часовой стрелки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости рисунка, с угловой скоростью Составить уравнение движения точки в подвижной (вращающейся) системе координат

Так как точка неподвижна, то ее абсолютная скорость равна нулю. Переносная скорость Таким образом,

Следовательно, в относительном движении точка движется по окружности с центром в но (в направлении, противоположном вращению подвижной системы координат. Для наблюдателя она будет двигаться по ходу часовой стрелки В соответствии с этим изобразим вектор относительной скорости (см. рис. 6 3)

Переносное ускорение найдем, закрепив мысленно точку в подвижной

системе координат. Тогда точка будет вынуждена участвовать во вращательном движении подвижной системы. Поскольку вращение равномерное, то вращательное ускорение равно нулю и остается только осестремительное ускорение, равное по величине

Оно направлено к точке

Переносная сила инерции направлена в противоположную сторону (от центра), ее часто называют центробежной силой инерции. Величина этой силы

Перейдем теперь к определению кориолисовой силы инерции. Вектор угловой скорости вращения системы направлен перпендикулярно к плоскости рисунка на читателя. Следовательно, векторное произведение направлено в ту же сторону, что и переносная сила инерции. Однако кориолисова сила инерции противоположна по направлению и поэтому направлена к центру Величина кориолисовой силы инерции определяется из равенства

Таким образом, кориолисова сила инерции оказалась противоположной переносной силе инерции. Равнодействующая этих сил направлена к центру и равна по величине Уравнение относительного движения принимает вид

Пример №123

Трубка, изогнутая по окружности радиуса равномерно вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси (рис. 6.4). Внутри трубки находится материальная точка массы Пренебрегая трением, составить дифференциальное уравнение движения материальной точки в трубке и определить характер этого движения, если в начальный момент точка находясь на одной горизонтали с центром трубки, была отпущена без начальной скорости.

Свяжем с трубкой координатные оси выбрав начало координат на оси вращения трубки в ее центре. Ось проведем горизонтально так, чтобы она пересекла трубку, ось построим перпендикулярно к трубке (на рис. 6.4 ось не показана —она направлена на читателя), а ось совместим с осью вращения. Положение точки будем определять углом (см. рис. 6.4).

Выбранная система координат является неинерциальной системой отсчета, поэтому движение точки относительно трубки следует написать в виде уравнения (6.5). Так как на точку действуют сила тяжести и нормальная реакция трубки то уравнение движения будет

При равномерном вращении трубки переносное ускорение точки состоит только из одной осестремителыюй составляющей, модуль которой равен Следовательно, переносная сила инерции численно равная направлена перпендикулярно к оси вращения от нее (см. рис. 6.4). Так как относительная скорость то кориолисово ускорение

направлено параллельно оси Следовательно, и кориолисова сила инерции

направлена параллельно оси в сторону, противоположную направлению Нормальную реакцию разложим на две составляющие: одну направим по главной нормали к относительной траектории от а вторую —перпендикулярно плоскости трубки (на рис. 6.4 силы не показаны).

Уравнение движения теперь можно записать в виде

Запишем это уравнение движения в проекциях на направление учитывая, что проекция относительного ускорения точки на касательную равна а проекции на векторов равны нулю:

или, после деления на

Это и есть дифференциальное уравнение движения точки внутри вращающейся трубки. Заметив, что

получим

После интегрирования имеем

По условию задачи Значит, и

Значения угла при которых скорость точки обращается в нуль, получим из условия

Рассмотрим два случая.

1. Угловая скорость вращения трубки мала и удовлетворяет условию

В этом случае и только второй множитель может обратиться в нуль:

Отсюда

(индекс «два» временно пропускаем).

Корень соответствует начальному положению точки

Из выражения (6.7) найдем

Это означает, что при точка будет совершать во вращающейся трубке колебания от одной до другой горизонтали.

2.Угловая скорость трубки удовлетворяет условию

В этом случае уравнение (6.8) имеет три корня:

Согласно уравнению (6.7) будем иметь

Следовательно, при точка совершает во вращающейся трубке колебания только в первой четверти от

Пример №124

Балка равномерно вращается с- угловой скоростью в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси Одновременно по балке движется с постоянной относительной скоростью ползун массы (рис. 6:5). Определить: 1) изгибающий момент относительно оси вращения, действующий на балку; 2) закон изменения движущей силы обеспечивающей равномерное движение ползуна по балке, если коэффициент трения между ними равен

Построим систему координат жестко связанную с балкой: ось направим по балке, ось — горизонтально, перпендикулярно оси ось — по вертикальной оси вращения вниз.

На ползун действуют движущая сила сила тяжести сила трения нормальная реакция балки Эту нормальную реакцию балки разложим на вертикальную и горизонтальную составляющие.

Основное уравнение динамики относительного движения (6.5) в нашем случае имеет вид

По условию задачи ползун движется равномерно по прямолинейной балке следовательно,

Действие кориолисовой силы инерции передается на балку, в результате чего создается изгибающий момент относительно вертикальной оси модуль которого равен где —расстояние от оси вращения до ползуна (см. рис. 6.5). Модуль кориолисова ускорения равен следовательно, модуль изгибающего момента относительно оси вращения будет

где — начальное расстояние ползуна от оси вращения.

Перейдем к определению силы Для этого запишем полученное ранее уравнение в проекциях на оси координат Имеем (см. рис. 6,5)

Из второго и третьего уравнений найдем

Найдем полную нормальную реакцию балки и силу трения:

Модуль переносной силы инерции при равномерном вращении балки определяется равенством

Учитывая полученные значения для силы трения и переносной силы инерции, найдем '

По такому закону должна изменяться движущая сила чтобы в сделанных предположениях ползун равномерно двигался по вращающейся балке

Условия относительного покоя

Из основного уравнения (6.5), в частности, вытекают условия относительного покоя. В этом случае относительная скорость и относительное ускорение точки равны нулю следовательно, и кориолисова сила инерции обращается в нуль (так как Уравнение относительного покоя приобретает вид

Если выполняется условие равновесия (6.9), то отсюда вовсе не следует, что после придания материальной точке начальной скорости точка будет двигаться равномерно и прямолинейно, как это имеет место в инерциальных системах. Дело в том, что при сообщении точке относительной скорости, во-первых, появляется кориолисово ускорение и, во-вторых, может измениться переносное ускорение (оно зависит от положения точки в подвижной системе отсчета) и, следовательно, изменится переносная сила инерции.

Из уравнения (6.5) можно вывести еще одно следствие. Найдем такие системы координат, в которых выполняется первый закон Ньютона. Для этого достаточно потребовать, чтобы при отсутствии сил точка двигалась равномерно и прямолинейно. Из (6.5) следует, что

Отсюда ясно, что условие (6.10) будет выполняться, если переносная сила инерции в любой точке равна нулю:

Действительно, в этом случае подвижная система отсчета должна двигаться поступательно равномерно и прямолинейно, но тогда ее угловая скорость равна нулю и кориолисова сила инерции также обращается в нуль. Уравнение (6.10) выполняется.

Другими словами, для того чтобы подвижная система координат была инерциальной, достаточно, чтобы ее начало двигалось с постоянной скоростью, а угловая скорость системы все время равнялась нулю:

В этом случае всегда равны нулю обе силы инерции и основное уравнение (6.5) приобретает вид

Следовательно, в этом случае соблюдается и второй закон Ньютона.

Таким образом, если существует хотя бы одна система отсчета, в которой выполняются законы Ньютона, то существует бесчисленное множество таких систем. Все они движутся друг относительно друга поступательно равномерно и прямолинейно.

Применение уравнений относительного движения и покоя

1. Вращающийся космический аппарат. Создание искусственного поля тяготения. Космонавты недалекого будущего, находясь в продолжительном межпланетном полете, будут испытывать известные трудности физиологического характера, в частности, из-за явления невесомости. Имеются проекты космических кораблей, в которых предполагается использовать вращение вокруг центра масс всего аппарата или его кольцевой кабины для создания искусственного поля тяготения (рис. 6.6).

Определим, с какой угловой скоростью должна вращаться кольцевая кабина, наружный радиус которой чтобы имитировать силу земного тяготения.

Предполагаем, что аппарат вращается с угловой скоростью относительно оси некоторой инерциальной системы координат и летит с выключенными двигателями.

Тогда во вращающейся кабине на человека, находящегося в относительном покое, действует сила реакции опоры Кроме того, необходимо согласно уравнению (6.9) приложить переносную силу инерции Получим уравнение равновесия

Здесь —центробежная сила инерции. Если пренебречь размерами человека по сравнению с радиусом то

Реакция опоры должна быть направлена к оси вращения.

Отсюда ясно, что человека будет прижимать к наружной боковой стенке корабля. Эта стенка станет для него «полом». Величина реакции на основании выражений (6.11) и (6.12) равна

Потребуем, чтобы эта величина была равна весу в земных условиях:

Отсюда найдем угловую скорость вращения

Пусть, например, наружный радиус кольца тогда

Таким образом, один полный оборот будет совершаться примерно за девять секунд.

2. Измерение ускорений движущихся тел. Для управления движением ракеты на активном участке, самолета, подводной лодки и т. п. необходимо знать положение и скорость какой-либо точки аппарата, а также угловые координаты аппарата. По вектору ускорения некоторой точки аппарата можно путем интегрирования найти скорость, а затем и координаты этой точки.

Рассмотрим принцип действия простейшего измерителя ускорений — акселерометра (рис. 6.7).

Допустим, что аппарат поднимается вертикально вверх. Тогда на груз укрепленный на пружине, ось которой (ось чувствительности) совпадает с направлением движения аппарата, действуют две силы: я сила тяжести и сила упругости пружины Если аппарат поднимается равномерно, то эти силы взаимно уравновешиваются и стрелка акселерометра устанавливается на делении указывая вес груза

При ускоренном движении, когда ускорение направлено вверх, в уравнение относительного покоя необходимо включить еще переносную силу инерции Тогда уравнение равновесия согласно (6.9) примет вид

В проекции на вертикаль это дает

Стрелка установится против соответствующего деления, измеряя силу Величина называется кажущимся ускорением. Шкалу можно градуировать не в масштабе сил, а в масштабе ускорений, так как кажущееся ускорение пропорционально силе, действующей на пружину:

Отсюда ясно, что при непрерывном измерении можно определить из (6.13) ускорение аппарата относительно Земли

Теперь, чтобы получить текущее значение скорости, нужно проинтегрировать сигнал начиная с момента начала движения:

Эта операция может выполняться электронным прибором. С помощью второго такого прибора интегрируется скорость и определяется координата точки крепления акселерометра:

Для получения трех координат аппарата, очевидно, необходимо иметь три акселерометра. Их можно расположить по трем взаимно перпендикулярным осям. Измеряя кажущееся ускорение по каждой из осей, определяют затем проекции скорости и координаты движущегося аппарата.

Следует, однако, заметить, что при повороте тела на ось чувствительности акселерометра проектируется только часть ускорения Для определения проекций этого вектора необходимо знать угловые координаты (например, углы Эйлера) аппарата. Такую информацию могут дать другие бортовые приборы — гироскопы.

3. Размыв берегов рек. Замечено, что в северном полушарии правые берега рек обрывистые, а левые пологие. Это явление может быть объяснено следующим образом (правило Бэра).

На некоторый объем воды, заключенный между двумя сечениями реки, текущей с юга на север (рис. 6.8), действуют три силы: сила тяжести реакция дна реакция берега Для записи уравнения динамики в неинерциальной геоцентрической системе координат, которая равномерно вращается с угловой скоростью (один оборот в сутки), необходимо ввести в уравнение переносную и кориолисову силы инерции. Тогда согласно (6.5) получим уравнение движения

Переносное ускорение направлено к оси вращения Земли. Следовательно, переносная сила инерции направлена в противоположную сторону. Кориолисово ускорение находится по правилу векторного произведения и поэтому направлено по параллели на запад. Кориоли-сова сила инерции направлена в противоположную сторону — на восток.

Если спроектировать (6.15) на направленную на запад касательную к параллели, то получим

Здесь мы воспользовались тем, что относительное ускорение расположено в плоскости меридиана. Оно направлено при равномерном течении к центру Земли.

Из (6.16) получим (см. рис. 6.8)

где —геоцентрическая широта места (угол между радиусом и экваториальной плоскостью).

Итак, реакция берега направлена налево, если смотреть по течению реки. Значит, сила давления воды на берег по третьему закону Ньютона должна быть направлена противоположно, т. е. она действует на правый берег реки.

Заметим, что это правило справедливо для всех рек, текущих в северном полушарии. Это объясняется тем, что в северном полушарии при любом движении точки по поверхности Земли горизонтальная составляющая кориолисова ускорения всегда направлена влево от относительной скорости (см. том I, задачу 13.7).

В южном полушарии размываются левые берега рек. Формулу (6.17) можно привести к виду

где — расстояние между сечениями реки, — вес выделенного объема воды. Величина называется секундным сбросом реки. Величину назовем погонным давлением. Тогда

Для реки со сбросом на широте

Если правый берег считать отвесным с подводной частью глубиной в 10 м, то на каждый квадратный метр будет действовать сила

В результате длительного воздействия таких сравнительно небольших сил берег с течением времени размывается. Река «наступает» на правый берег, оставляя слева по течению низменные луга, а справа крутые обрывы.

4. Уклонение линии отвеса от направления радиуса Земли. Рассмотрим силы, действующие на материальную точку подвешенную на нити (рис. 6.9). Будем предполагать, что точка находится в покое относительно Земли.

Обозначим силу тяготения через причем — гравитационное ускорение), переносную силу инерции, обусловленную вращением Земли, через и силу натяжения нити через Тогда условием равновесия точки будет векторное равенство (6.9). В нашем случае

На рис. 6.9 геоцентрическая широта обозначена через Угол между линией отвеса и экваториальной плоскостью называется географической широтой. Из чертежа ясно, что угол между радиусом Земли и линией отвеса связан соотношением

Спроектируем (6.18) на направление нити и на перпендикуляр к этому направлению:

Пренебрегая малой величиной по сравнению с геоцентрической широтой из первого уравнения получим

где —радиус географической параллели.

Силу, равную по модулю и направленную противоположно натяжению называют силой тяжести и обозначают через Из этого определения следует, что сила тяжести равна геометрической сумме силы притяжения и силы инерции переносного движения, вызванной вращением Земли.

Из равенства (6.19) можно найти ускорение силы тяжести на поверхности Земли

Таким образом, — переменная величина, зависящая от широты места.

Наименьшее значение она имеет на экваторе:

Из второго уравнения можно найти угол отклонения у отвесной линии от радиуса Земли, т. е. разность между географической и геоцентрической широтами:

Например, на широте Ленинграда

Максимальное отклонение наблюдается на широте

Переносной силой инерции, вызванной вращением Земли, объясняется также и сжатие Земли. Земля имеет форму геоида, т. е. тела, ограниченного поверхностью, в каждой точке которой потенциальная энергия силы тяжести (равнодействующая силы притяжения и силы инерции переносного движения Земли при ее вращении вокруг своей оси) имеет постоянную величину. Такой поверхностью будет поверхность океанов и морей в равновесном положении. Поверхность геоида заменяют обычно эллипсоидом вращения, сжатие которого по данным измерений равно

Как правило, сжатием Земли пренебрегают и считают, что сила тяжести направлена вдоль радиуса к центру Земли.

5. Маятник Фуко. В 1851 году Фуко продемонстрировал в Пантеоне опыт с маятником, подвешенным на длинной нити. Плоскость качания маятника медленно вращалась в направлении, противоположном вращению Земли.

Для объяснения эффекта Фуко воспользуемся уравнениями относительного движения в системе координат, связанной с Землей. Направим ось по линии отвеса в данной точке Земли вверх, ось перпендекулярно к оси на восток и ось - по мередиану на север.

Проекции угловой скорости Земли на оси прямоугольной системы координат выражаются через географическую широту места (рис. 6.10):

Уравнение движения маятника имеет вид

Здесь —реакция нити, —сила притяжения Земли, — кориолисова сила инерции, — переносная сила инерции.

Выше было показано, что сила притяжения складываясь с переносной силой инерции дает силу тяжести направленную параллельно линии отвеса, т. е. параллельно оси

Введем цилиндрическую систему координат (рис. 6.11) и будем определять положение маятника при помощи трех координат: . В положении равновесия маятник находится в начале координат.

Спроектируем на оси угловую скорость вращения Земли

Проекции линейной скорости будут

Поэтому кориолисова сила инерции принимает вид

Реакция нити имеет проекции на оси цилиндрической системы, определяемые равенствами

Запишем теперь уравнение (6.20) в проекциях на оси При этом воспользуемся тем, что сумма направлена по оси и, следовательно, проекции ее на равны нулю. Используя (6.21), получим

Заметим, что ускорения на оси цилиндрической системы координат будут

Уравнения (6.23) содержат три неизвестные функции выражается через Интегрирование этой системы в общем виде оказывается довольно сложным. Поэтому мы ограничимся приближенным интегрированием. При отклонениях маятника по вертикали, малых по сравнению с его длиной можно считать

Тогда из второго уравнения получим

или

Отсюда следует первый интеграл (интеграл площадей)

Предположим, что в какой-нибудь момент времени маятник проходил через начало координат; тогда Следовательно,

Отсюда видно, что плоскость качания маятника вращается в сторону, противоположную вращению Земли, но с меньшей угловой скоростью.

6. Отклонение падающих тел к востоку. При падении материальной точки вблизи поверхности Земли на нее действует сила тяготения Присоединяя к ней переносную и кориолисову силы инерции, напишем дифференциальное уравнение относительного движения для свободной материальной точки

Сумму переносной силы инерции | и силы тяготения можно заменить силой тяжести и тогда Вектор скорости свободно падающего тела близок к вертикали места. Поэтому кориолисова сила инерции почти перпендикулярна к плоскости меридиана (рис. 6.12) и направлена на восток. Спроектируем последнее уравнение на ось направленную по вертикали вверх, ось направленную на восток, и ось направленную на север:

Здесь —географическая широта места, — ускорение силы тяжести на широте

Интегрирование системы проведем сначала для Полагая, что в начальный момент времени получим

Найдем теперь поправки к этому приближенному решению, полагая

После подстановки в (6.24) получим

Отсюда при нулевых начальных условиях имеем

При падении с высоты время падения связано с равенством

Полное отклонение на восток получим, подставляя в (6.25) время

Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении

Все общие теоремы динамики точки сохраняют свою форму и в относительном движении. Не надо только забывать присоединять в разряд действующих на точку сил переносную и кориолисову силы инерции. Некоторое исключение составляет теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении. Покажем, что при ее использовании нет необходимости учитывать кориолисову силу инерции.

Уравнение движения имеет вид

Умножим левую и правую части (6.26) скалярно на относительную скорость

Последнее слагаемое равно нулю, так как вектор перпендикулярен к векторному произведению

Отсюда получим

где — мощность активных сил, сил реакции и переносной силы инерции. Знак относительного дифференцирования теперь опущен, так как дифференцируется скалярная функция времени.

Обозначив кинетическую энергию относительного движения через т. е,

перепишем (6.27):

Интегрируя по времени (6.28) от некоторого начального момента времени до текущего получим

Но интеграл, стоящий справа, — работа всех сил при перемещении точки из начального положения в конечное. Таким образом,

Изменение кинетической энергии в относительном движении равно сумме работ всех действующих сил и переносной силы инерции. В некоторых случаях переносные силы инерции могут быть консервативны (поле однородных сил инерции, поле центробежных сил).

Доставка груза на стационарный спутник. Спутник, движущийся по круговой экваториальной орбите в направлении вращения Земли с периодом, равным одним суткам, называется стационарным (рис 6.13). Такой спутник «висит» над экваториальной точкой Земли. Он может быть использован для решения задач глобальной связи, а также удобен в качестве межпланетной станции.

Ранее был найден радиус орбиты стационарного спутника. Оказалось, что Если теперь из вычесть радиус Земли, то получим высоту орбиты над поверхностью Земли

Решим следующую задачу.

Пример №125

Какую работу необходимо затратить, чтобы доставить груз с поверхности Земли

на стационарный спутник, полагая, что движение ракеты с грузом происходит в экваториальной плоскости? .

Свяжем с Землей и спутником вращающуюся систему координат. К грузу следует приложить силу тяготения силу инерции переносного ускорения и силу тяги Будем считать, что в начальный и конечный моменты относительная скорость равна нулю. Тогда на основании теоремы об изменении кинетической энергии в относительном движении можно записать

где — работа силы тяготения, она отрицательна, и —работа центробежной силы инерции — положительная величина. Отсюда работа силы тяги

Для гравитационных сил потенциальная энергия была вычислена ранее:

Найдем потенциальную энергию центробежной силы инерции. В условиях задачи (спутник «висит» над Землей, ракета движется в экваториальной плоскости) имеем

Эти силы центральные, поэтому их поле консервативно.

Примем в качестве фиксированной точки для вычисления потенциальной энергии центр Земли, тогда, по определению потенциальной энергии,

Отсюда работа силы тяги окажется равной

Заметим, что

следовательно,

Для подъема одного килограмма груза потребуется затратить работу

Общие теоремы динамики материальной системы

В первой части курса динамики мы изучали законы движения одной материальной точки, находящейся под действием приложенных к ней сил. В практике чаще встречаются более сложные случаи, когда движение одной материальной точки или одного тела нельзя изучать изолированно от движения других материальных точек (тел). Так, например, движение Луны относительно Земли существенным образом зависит от движения Земли относительно Солнца, вращение коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания зависит от движения его поршней и т. п. Эти и многочисленные другие примеры заставляют нас перейти от изучения движения одной материальной точки к изучению движения материальных систем.

Материальная система. Центр масс

В механике под материальной системой понимают совокупность материальных точек, движения которых взаимосвязаны. Твердое тело рассматривается как неизменяемая материальная система с распределенной по объему массой. Эта модель представляет, конечно, некоторую идеализацию твердого тела, так как при этом не учитываются расстояния между молекулами или кристаллами тела. Однако эти расстояния настолько малы по сравнению с размерами самого тела, что предположение о сплошном распределении массы не вносит сколько-нибудь заметных погрешностей в вычисления.

Массой материальной системы называется сумма масс всех точек, входящих в систему:

где — масса материальной точки с номером —число всех точек системы.

Центром масс или центром инерции материальной системы называется геометрическая точка, радиус-вектор которой определяется равенством т. е. точка с декартовыми координатами В этих формулах — соответственно радиус-вектор и координаты материальной точки.

При непрерывном распределении массы суммы, стоящие в правых частях формул (7.2) и (7.3), переходят в соответствующие интегралы.

Легко видеть, что центр масс твердого тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, совпадает с его центром тяжести. Действительно, умножим числитель и знаменатель правой части формулы (7.2) на модуль ускорения силы тяжести

Учитывая, что произведение равно весу тела, a — весу материальной точки, получим

что совпадает с выражением для радиуса-вектора центра тяжести твердого тела (том I, глава VIII).

В динамике следует говорить о центре масс материальной системы, а не о центре тяжести. При определении центра масс материальной системы можно пользоваться методами, установленными в статике для определения центра тяжести (метод симметрии, метод расчленения, метод отрицательных масс и т. п.). Необходимо отметить, что положение центра масс твердого тела не меняется относительно точек тела. Если же система состоит из перемещающихся друг относительно друга материальных точек, то положение центра масс системы относительно ее точек может изменяться.

Внешние и внутренние силы

В курсе статики мы делили все силы, приложенные к твердому телу или к системе тел, на активные силы и реакции связей, понимая под первыми силы, не зависящие от связей. Там же было показано, что силы можно разделить и на две другие группы, а именно на внешние и внутренние.

Напомним еще раз определения внешних и внутренних сил. Силы, действующие на точки системы, называются внешними, если они вызваны действием тел, не входящих в систему. Силы, вызванные взаимодействием точек, входящих в систему, называются внутренними. Обозначаются внешние силы верхним индексом «е», а внутренние — верхним индексом (oт начальных букв французских слов exterieur — внешний и interieur — внутренний):

— внешняя сила, — внутренняя сила.

Для иллюстрации введенных понятий рассмотрим силы, приложенные к движущемуся прямолинейно по горизонтальной дороге автомобилю (рис. 7.1). Прежде всего на автомобиль действует сила тяжести Эта сила внешняя, так как она вызвана действием Земли—тела, не входящего в рассматриваемую материальную систему (автомобиль). Она одновременно является и активной, так как не зависит от связей. К активным внешним силам относится также аэродинамическая сила сопротивления воздуха эта сила непосредственно не зависит от связен и вызвана сопротивлением окружающей среды. Применим теперь принцип освобождаемости и заменим действие связи (дороги) ее реакциями Первые две силы представляют равнодействующие нормальных составляющих реакций дороги к передним и задним колесам, а силы — равнодействующие сил трения, вызванных вращением ведомых и ведущих колес (см. раздел Статика, стр. 95). Силы —внешние, так как они обусловлены действием дороги, которая в систему не входит. Таким образом, к автомобилю приложены шесть внешних сил:

Сила давления газов на поршни двигателя, силы давления поршней на шатуны и шатунов на кривошипы коленчатого вала, силы трения на осях колес и т. п. — это все внутренние силы системы.

Отметим, что в некоторых случаях внешние силы появляются за счет действия внутренних сил. Так, например, внешняя сила трения скольжения между задними колесами автомобиля и дорогой (см. рис. 7.1) не может возникнуть без внутренних сил, передающих вращающий момент на ведущие колеса. Точно так же внешние силы трения и между подошвами ботинок и полом не могут возникнуть без внутренних мускульных усилий человека (на рис. 7.2 показаны все внешние силы, действующие на идущего вправо человека)/ Если выключить двигатель автомобиля или если человек не будет создавать мускульных усилий, то соответствующие внешние силы трения обратятся в нуль.

Рассмотрим еще один пример. Если пренебречь силами притяжения звезд, то нашу Солнечную систему можно рассматривать как изолированную механическую систему, на которую не действуют никакие внешние силы. Силы притяжения между отдельными телами всей Солнечной системы являются активными внутренними силами.

Свойства внутренних сил

Из третьего закона Ньютона следует, что внутренние силы входят попарно, причем, если точка действует на точку с силой а точка действует на точку с силой то эти силы равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис. 7.3):

Из этого следуют два свойства внутренних сил системы.

Первое свойство. Геометрическая сумма всех внутренних сил системы (главный вектор внутренних сил) равна нулю:

где — равнодействующая внутренних сил, приложенных к точке с номером

Второе свойство. Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил относительно произвольной точки пространства (главный момент внутренних сил) равна нулю.

Для системы, состоящей из двух точек и с силами взаимодействия (см. рис. 7.3), это свойство очевидно. Действительно, так как а плечи относительно точки у обеих сил равны, то моменты этих сил численно равны, но направлены в противоположные стороны. Доказательство первого и второго свойств для любого количества внутренних сил следует теперь из того, что они входят в систему попарно.

Равенство нулю главного вектора и главного момента внутренних сил материальной системы не означает, что эти силы уравновешены. Это объясняется тем, что внутренние силы приложены к разным материальным точкам, которые в общем случае могут перемещаться друг относительно друга. Хорошим примером, иллюстрирующим сделанное замечание, может служить Солнечная система, планеты которой и их спутники совершают весьма сложные движения под действием одних внутренних сил.

Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек

Рассмотрим систему, состоящую из га материальных точек. Применим принцип освобождаемости и заменим связи их реакциями. Обозначим через равнодействующие всех внешних и внутренних сил, приложенных к материальной точке. Тогда каждую точку можно рассматривать как свободную, движущуюся под действием сил Применим к каждой точке второй закон Ньютона:

или, в проекциях на неподвижные оси декартовых координат,

Векторные уравнения (7.7) или эквивалентные им скалярные уравнения (7.8) представляют дифференциальные уравнения движения материальных точек всей системы. Число дифференциальных уравнений в векторной форме равно а число дифференциальных уравнений в координатной форме равно Следовательно, общее решение зависит от произвольных скалярных постоянных. Конечно, если все точки движутся параллельно одной плоскости или одной прямой, то число дифференциальных уравнений (7.8) в первом случае будет равно а во втором

Проиллюстрируем методы составления дифференциальных уравнений (7.8) на элементарном примере.

Пример №126

Два тела веса связаны между собой тросом, перекинутым через блок (рис. 7.4.) Пренебрегая рис. 7.4 силами трения, а также массой троса и блока, определить закон движения грузов и натяжения троса.

Система состоит из двух материальных точек (оба тела перемещаются поступательно), движущихся параллельно одной прямой. Следовательно, мы будем иметь два дифференциальных уравнения движения в проекциях на ось Предположим, что правый груз движется с ускорением вниз; тогда левый груз будет двигаться вверх с ускорением Мысленно освободимся от связи (троса) и заменим ее реакциями Считая теперь оба тела свободными, составим дифференциальные уравнения движения в проекции на ось

Учтем теперь, что (так как силами трения, а также массой троса и блока пренебрегаем; строго последнее равенство будет доказано в примере); тогда получим

Решая эти уравнения относительно ускорения и натяжения троса, найдем

Из этого решения видно, что правый груз движется равноускоренно вниз, если и вверх, если При оба груза находятся в покое или движутся равномерно (это зависит от начальных условий). Отметим, что натяжение троса при не равно весу соответствующего груза.

Задача двух тел

В качестве второго примера на составление дифференциальных уравнений движения материальной системы рассмотрим следующую задачу. Две свободные материальные точки с массами соответственно движутся под действием сил ньютоновского притяжения. Определить закон движения системы.

В небесной механике и теории движения искусственных спутников Земли эта задача является одной из основных (она называется задачей двух тел). В главе IV решалась аналогичная задача в предположении, что тело, обладающее большей массой, неподвижно (в теории движения больших планет —это Солнце, в теории движения искусственных спутников — небесное тело, вокруг которого движется искусственный спутник).

Введем инерциальную систему отсчета и обозначим через радиусы-векторы соответствующих точек, а через — радиус-вектор точки относительно Из рис. 7.5 видно, что

По закону всемирного тяготения имеем

где —гравитационная постоянная.

Направление силы определяется единичным вектором а силы —единичным вектором — (обе силы направлены по одной прямой в противоположные стороны).

Дифференциальные уравнения движения в векторной форме (7.7) для рассматриваемой системы будут таковы:

где вектор определен равенством (7.9), а Умножим первое уравнение (7.11) на а второе на и после этого вычтем почленно из второго уравнения первое:

или, сокращая на и преобразовывая левую часть,

Учтем теперь равенство (7.9):

Из этого уравнения видно, что материальная точка движется относительно точки как относительно неподвижного центра, масса которого равна не Следовательно, пренебрежение движением точки большей массы вносит в расчеты погрешность, относительная величина которой определяется равенством

Если —масса искусственного спутника, а —масса Земли, то относительную погрешность е можно только вычислить, но не измерить (так как мы не располагаем столь чувствительными приборами). Если же — масса планеты, а — масса Солнца, то эта ошибка для Земли равна 0,000003, а для Юпитера (самой большой планеты Солнечной системы) —0,001.

Перейдем теперь к исследованию движения двух тел относительно их центра масс. Для этого прежде всего покажем, что центр масс рассматриваемой системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно. Действительно, сложив почленно оба уравнения (7.11), получим

или, интегрируя,

где — произвольный постоянный вектор (скалярный множитель введен для удобства).

Воспользуемся формулой (7.2) и найдем радиус-вектор центра масс системы

Дифференцируя по времени, получим скорость центра масс

Сравнивая с первым интегралом уравнения (7.13), найдем

Пусть при Тогда последнее равенство примет вид

т. е. центр масс находится в покое (если в начальный момент или движется равномерно и прямолинейно (если в начальный момент

Очевидно, что центр масс рассматриваемых точек находится на прямой, соединяющей эти точки (рис. 7.6). Будем теперь откладывать радиусы-векторы точек от точки . Тогда дифференциальные уравнения движения (7.11) примут вид

Центр масс делит расстояние между точками на части, обратно пропорциональные массам:

Составим из этой пропорции две производные пропорции

Отсюда

Внесем эти равенства в дифференциальные уравнения движения (7.14):

Из этих уравнений видно, что движение каждой точки относительно их центра масс происходит как движение вокруг неподвижного притягивающего центра с массой для первой точки и —для второй. При соответствующих начальных условиях обе точки движутся по эллипсам, имеющим общий фокус совпадающий с центром масс системы (рис. 7.7). В частности, траектория планеты представляет эллипс, фокус которого совпадает не с центром Солнца, а с центром масс системы

Солнце — планета (влиянием других небесных тел пренебрегаем). Эта точка отстоит от центра Солнца на небольшом расстоянии, которым в первом приближении можно пренебречь.

На первый взгляд может показаться, что изучение движения материальной системы можно свести к составлению и анализу дифференциальных уравнений (7.7) или (7.8). В принципе эта точка зрения справедлива, но практически реализовать такой путь исследования удается только для систем, состоящих из небольшого числа материальных точек (свободных или имеющих сравнительно простые связи, как это имело место в рассмотренных примерах). Сложность использования дифференциальных уравнений движения (7.7) или (7.8) состоит прежде всего в том, что, как правило, мы не знаем аналитического выражения внутренних сил и реакций связей.

В теоретической механике разработаны методы, которые позволяют обойти основные трудности, возникающие при использовании дифференциальных уравнений движения материальной системы в форме (7.7) и (7.8). С этой целью прежде всего вводятся некоторые векторные и скалярные величины, характеризующие в какой-то степени движение всей материальной системы (так называемые меры движения). К ним относятся вектор количества и вектор момента количеств движения, а также кинетическая энергия материальной системы. Зная характер изменения этих величин, можно составить частичное, а иногда и полное представление о движении материальной системы.

Теорема об изменении количества движения материальной системы

В конце предыдущей главы было отмечено, что о движении материальной системы можно составить частичное, а иногда и полное, представление по характеру изменения некоторых векторных или скалярных величин, называемых мерами движения. В качестве первой такой меры мы рассмотрим вектор количества движения материальной системы.

Количество движения материальной системы

Количеством движения материальной точки называется, как известно, векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость т. е. вектор Количеством движения материальной системы называется вектор равный сумме количеств движения (главный вектор количеств движения) точек, входящих в систему:

Так как где — радиус-вектор точки, проведенный из начала инерциальной системы отсчета, то равенство (8.1) можно преобразовать следующим образом (массы точек постоянны):

Пользуясь выражением (7.2), сумму, стоящую под знаком производной, заменим произведением — масса всей системы, а — радиус-вектор центра масс:

или

Производная есть скорость центра масс системы. Окончательно имеем

т. е. количество движения материальной системы равно массе всей системы, умноженной на скорость ее центра инерции.

Равенство (8.2) можно прочитать также следующим образом: количество движения материальной системы равно количеству движения ее центра масс, если сосредоточить в нем массу всей системы.

Пример №127

Однородный полый цилиндр массы катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью (конечно, это скорость центра цилиндра; рис. 8.1). Определить количество движения цилиндра.

Количества движения отдельных точек цилиндра имеют различные направления. Их главный вектор (количество движения всего цилиндра) совпадает по направлению со скоростью центра масс цилиндра, а его модуль определяется равенством

Вектор количества движения может быть задан своими проекциями, выражения для которых непосредственно следуют из формул (8.1) и (8.2) и теоремы о проекции суммы векторов:

Кроме инерциальной системы отсчета построим поступательно перемещающуюся систему координат начало которой совпадает с центром масс (рис. 8.2). Теперь движение каждой материальной точки можно рассматривать как сложное движение: переносное вместе с осями и движение относительно этих осей. Поэтому количество движения можно представить как сумму количеств переносного и относительного движения

Так как в относительном движении (центр масс системы совпадает с началом координат подвижной системы отсчета то согласно формуле (8.2) и, следовательно,

Таким образом, количество движения материальной системы характеризует ее поступательное движение вместе с центром масс.

Теорема об изменении количества движения материальной системы

Теорема. Производная по времени вектора количества движения системы материальных точек равна главному вектору всех внешних сил, действующих на систему.

Для доказательства теоремы перепишем дифференциальные уравнения движения (7.7) материальной системы в следующей форме:

и сложим почленно все уравнения:

Первая сумма, стоящая в правой части равенства, равна главному вектору всех внешних сил, а последняя сумма по первому свойству внутренних сил равна нулю (см. формулу (7.5)). После преобразовании левой части получим

или, учитывая равенство (8.1),

что доказывает теорему.

В проекциях на неподвижные оси декартовых координат векторное равенство (8.5) эквивалентно трем скалярным:

Из этой теоремы вытекает несколько следствий.

1. Внутренние силы непосредственно не влияют на изменение количества движения материальной системы (они могут оказать косвенное влияние через внешние силы;).
2. Если главный вектор всех внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то вектор количества движения материальной системы остается постоянным по величине и направлению.

Действительно, по условию Тогда из равенства (8.5) будем иметь

Отсюда

где —начальное значение вектора

3. Если проекция глазного вектора всех внешних сил, приложенных к системе, на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция количества движения материальной системы на эту ось остается постоянной.

Пусть проекция главного вектора всех внешних сил на ось равна нулю: Тогда из первого равенства (8.6) будем иметь

Отсюда

где - начальное значение проекции

Первые интегралы (8.7) и (8.8), определяющие второе и третье следствия, называются законами сохранения количества движения материальной системы.

Пользуясь введенным ранее понятием импульса силы, преобразуем равенство (8.5). Для этого умножим обе части на и проинтегрируем в пределах от

или

Обозначим количество движения материальной системы в момент времени через а в момент — через и воспользуемся выражением (3.3) для импульса силы. Тогда окончательно получим

где — главный вектор импульсов всех внешних сил.

Таким образом, приходим к теореме об изменении количества движения материальной системы в интегральной форме (теорема импульсов) изменение количества движения материальной системы за промежуток времени равно главному вектору импульсов всех внешних сил, приложенных к системе, за тот же промежуток времени.

Векторное уравнение (8.9) эквивалентно трем скалярным равенствам в проекциях на оси инерциальной системы координат:

В этих формулах — проекции главного вектора импульсов всех внешних сил на оси координат, a и значения проекций количества движения материальной системы в момент времени

Теорема импульсов широко применяется в теории удара.

Теорема о движении центра масс

Внесем в равенство (8.5) выражение для количества движения материальной системы (8.2):

или, учитывая, что масса системы постоянна, получим

Это равен тво по виду совпадает со вторым законом Ньютона, записанным для точки с массой и ускорением к которой приложена сила Равенство (8.11) представляет математическую запись теоремы о движении центра масс: центр масс материальной системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Напомним, что — главный вектор всех внешних сил, приложенных к системе.

Векторное равенство (8.11) эквивалентно трем скалярным:

Здесь предполагается, что оси декартовых координат неподвижны.

Необходимо помнить, что центр масс представляет геометрическую точку (см. рис. 8.1). Кроме того, внешние силы фактически приложены не к центру масс, а к точкам системы. Вместе с тем эта геометрическая точка при движении системы перемещается по закону, определенному приведенной теоремой.

Из этой теоремы вытекает несколько следствий.

1. Одними внутренними силами нельзя изменить характер движения центра масс системы. Внутренние силы могут оказать косвенное влияние на движение центра масс только через внешние силы.
2. Если главный вектор всех внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то центр масс материальной системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

Действительно, если то из равенства (8.11) будем иметь

Сокращая на и интегрируя, получим

где — начальная скорость центра масс.

3. Если проекция главного вектора всех внешних сил системы на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось не изменяется

В самом деле, если то из первого уравнения (8.12) найдем

Отсюда

4. Пара сил, приложенная к твердому телу, не может изменить движение его центра масс (она может вызвать только вращение тела).

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие закон движения центра масс.

Пример 1. Движение с помощью сил трения. На человека, стоящего на горизонтальном полу, действуют две внешние силы: сила тяжести и нормальная реакция пола Для движения в горизонтальном направлении (перемещения центра масс человека) этих сил недостаточно. В начале движения при перемещении одной ноги вперед за счет мускульных усилий вторая нога стремится переместиться назад, так как центр масс человека должен остаться в покое. В результате этого между подошвой второй ноги и полом возникает сила трения, направленная вперед (см. рис. 7.2). Эта сила трения является движущей для человека. Если пол будет абсолютно гладким, то одними мускульными усилиями человек не сможет перемещаться.

Точно так же движение автомобиля по горизонтальной дороге осуществляется с помощью внешних сил трения скольжения, которые возникают между полотном дороги и ведущими колесами автомобиля (см. рис. 7.1). Эти внешние силы трения возникают за счет внутренних сил, создающих вращающий момент на оси ведущих колес, и наличия шероховатой связи (дороги). Если полотно дороги достаточно гладкое (например, при гололеде), то даже при большом вращающем моменте, создаваемом внутренними силами, автомобиль не сможет начать движение.

Спортсмен, опускаясь на парашюте, может управлять движением центра масс своего тела, в частности, при известном опыте он может приземлиться в «заданном круге. Осуществляется это управление за счет изменения внешних сил сопротивления воздуха. Это достигается подтягиванием с помощью мускульных усилий (внутренних сил) строп парашюта.

Пример 2. Движение тел Солнечной системы в неподвижной системе координат. Пренебрегая притяжением далеких звезд, нашу Солнечную систему можно считать изолированной, т. е. считать, что на тела Солнечной системы действуют только внутренние силы. По второму следствию теоремы о движении центра масс центр масс Солнечной системы, расположенный вблизи центра Солнца, находится в покое или двигается прямолинейно и равномерно. Наблюдения показывают, что он перемещается со скоростью 20 км/сек к некоторой точке небесной сферы, расположенной вблизи звезды Беги и называемой апексом. Таким образом, движение планет Солнечной системы является сложным: их траектории относительно системы отсчета, связанной с центром масс Солнечной системы,— эллипсы (если пренебречь силами взаимного тяготения планет), а траектории относительно далеких звезд — пространственнее эллиптические спирали.

Пример 3. Движение искусственного спутника Земли при выходе из его кабины космонавта. Пусть центр масс всей системы (искусственного спутника Земли вместе с находящимися в нем космонавтами) движется под действием сил тяготения Земли по некоторой траектории (рис. 8.3, положение При выходе космонавта из кабины спутника их общий центр масс будет перемещаться с той же скоростью и по той же траектории (так как внешние силы не изменились), но спутник и космонавт разойдутся по разные стороны от нее (см. рис. 8.3, положение Когда космонавт возвратится в кабину спутника, последний перейдет на прежнюю траекторию (положение Конечно, эти явления будут происходить только в том случае, если космонавт не пользуется микрореактивными двигателями.

Теорема Эйлера

Дифференциальная форма теоремы об изменении количества движения материальной системы имеет важные и интересные приложения в механике сплошной среды. Рассмотрим одно, самое простое, но очень интересное приложение *).

Пусть некоторая сплошная среда (жидкость, газ) движется внутри трубы переменного сечения. Выделим часть трубы объемом (рис. 8.4). Будем считать, что этот объем ограничен боковой поверхностью трубы и двумя ее поперечными сечениями причем означают одновременно и площади поперечных сечений (см. рис. 8.4). Обозначим через средние скорости частиц среды, протекающих соответственно через сечения и некоторое среднее сечение Тогда в единицу времени через сечение будет протекать масса жидкости, равная а через сечения —массы где — плотность среды в соответствующих сечениях.

Будем считать, что движение среды установившееся. Это означает, что скорости отдельных частиц среды и ее плотность в каждом сечении не изменяются с течением времени В этом предположении (оно является основным) через каждое сечение в единицу времени будут протекать равные количества массы среды, т. е.

где через обозначена секундная масса —масса среды, протекающей через любое сечение трубы в единицу времени. Размерность секундной массы в системе СИ равна а в технической системе —

Перейдем теперь к вычислению изменения количества движения среды, заполняющей объем Пусть в момент времени рассматриваемая среда занимала объем заключенный между сечениями а в момент времени эта же масса среды занимает объем, ограниченный сечениями (см. рис. 8.4). Тогда изменение количества движения рассматриваемой массы среды произойдет только за счет потери количества движения в объеме между сечениями и возрастания количества движения в объеме между сечениями

Так как при установившемся движении в единицу времени через сечения проходят одинаковые массы, равные то за время через эти сечения пройдут массы Их количества движения будут а изменение количества движения рассматриваемой массы среды за то же время определится равенством

Отсюда

В этом равенстве произведения называются секундными количествами движения среды в сечениях

Внешние силы, действующие на среду, можно разбить на две категории:

1. силы массовые, или объемные, т. е. такие, которые действуют на каждую частицу рассматриваемой среды независимо от того, находятся ли эти частицы внутри выделенного объема или на его поверхности;
2. силы поверхностные — силы, действующие только на частицы, лежащие на поверхности объема.

К массовым силам относятся прежде всего силы тяжести. Поверхностные силы — это силы давления стенок на среду, силы трения выделенного объема среды о стенки и т. п.

Обозначим через главный вектор всех внешних объемных сил, а через — главный вектор всех внешних поверхностных сил. Тогда, применяя к рассматриваемой массе среды теорему об изменении количества движения материальной системы в ее дифференциальной форме (8.5), получим

или, пользуясь соотношением (8.16) и перенося все члены в одну сторону,

Это равенство представляет математическую запись теоремы Эйлера, которую можно прочитать следующим образом: сумма главных векторов объемных и поверхностных сил, а также секундных количеств движения среды, протекающей через два поперечных сечения трубы, равна нулю, если векторы секундных количеств движения направить внутрь выделенного сечениями объема.

В проекциях на неподвижные оси декартовых координат векторное равенство (8.17) дает

Пример №128

На корме находящейся в покое баржи установлен автомобиль. В некоторый момент времени автомобиль начал перемещаться по палубе, направляясь к носу баржи. Пренебрегая сопротивлением воды движению баржи, определить ее скорость в зависимости от скорости автомобиля и относительно баржи (учет сил сопротивления будет дан в следующей задаче 8.3). Масса баржи равна а масса автомобиля

Рассмотрим систему, состоящую из баржи и автомобиля. В условии задачи внешними силами, действующими на систему, будут вертикальные силы тяжести и архимедова сила (рис. 8.5). Проекция этих сил на горизонтальную ось равна нулю, и, следовательно, проекция количества движения всей системы на эту ось сохраняет постоянное значение, равное начальному:

Количество движения баржи равно miv, а количество движения автомобиля (при вычислении нужно иметь в виду, что количество движения определяется для абсолютных скоростей). Считая, что баржа движется в сторону, противоположную автомобилю (см. рис. 8.5), найдем проекцию количества движения всей системы на ось

Будем отсчитывать время с начала движения автомобиля. Тогда при Внося эти значения для в выражение для получим

Учитывая, что проекция на ось количества движения системы не меняется, будем иметь

Отсюда найдем скорость движения баржи как функцию скорости автомобиля

Так как полученное выражение для скорости положительно, то сделанное предположение о том, что баржа движется в сторону, противоположную движению автомобиля, является верным.

Из формулы (8.20) видно, что в условиях задачи (отсутствие сил сопротивления) скорость баржи прямо пропорциональна относительной скорости автомобиля В частности, в момент остановки автомобиля остановится и баржа. При отсутствии сил сопротивления эта остановка баржи должна произойти в результате динамического эффекта, вызванного взаимодействием внутренних сил между баржей и автомобилем. Заметим, что за все время движения количество движения системы не изменяется, а происходит перераспределение скоростей тел, входящих в систему.

В заключение этого примера отметим, что сделанное предположение отсутствии сил сопротивления движению несущего тс.-.а (баржи) является, конечно, идеализированным и на практике, за исключением аналогичной ситуации в космосе, оно не оправдано. Поэтому формула (8.20) справедлива только при сделанных предположениях и в реальных земных условиях она дает весьма приближенное решение, которым не всегда можно пользоваться. В частности, вывод, что баржа остановится одновременно с прекращением движения автомобиля, не подтверждается наблюдениями — после остановки автомобиля баржа, изменив предварительно направление движения на противоположное, будет продолжать движение в сторону перемещения автомобиля. Это явление, вызываемое взаимодействием внутренних сил системы с внешними силами сопротивления, будет разобрано в следующей задаче.

Пример №129

В условиях предыдущей задачи определить скорость движения баржи, считая, что при ее движении возникает сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости, а автомобиль перемещается относительно баржи по закону, график которого изображен на рис. 8.6, б (в начальном промежутке времени автомобиль движется равноускоренно, затем в промежутке равномерно и, наконец, на третьем этапе равноэамедленно).

В отличие от предыдущей задачи, теперь, кроме внешних вертикальных сил тяжести и архимедовой силы приложенных к системе, на баржу действует еще одна внешняя сила —сила сопротивления где — коэффициент пропорциональности. Эта сила направлена в сторону, противоположную скорости баржи (рис. 8.6, а). Проекция количества движения системы на ось была определена в предыдущей задаче —см. формулу (8.19):

Внося это выражение для в первое уравнение (8.6) и учитывая значение силы сопротивления получим

или

В этом уравнении коэффициент и функция определены равенствами

Учитывая, что автомобиль движется относительно баржи сначала равноускоренно затем равномерно и, наконец, равнозамедленно получим

где положительное число пропорционально ускорению автомобиля на первом интервале времени его движения:

(значение и угла видно на рис. 8.6, б). Для простоты мы считаем, что время разгона автомобиля равно времени его торможения

Поэтому на третьем этапе

Для первого промежутка времени уравнение движения (8.21) согласно (8.22) примет вид

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами решается очень легко и его общее решение можно записать в следующей форме:

(читателю полезно самостоятельно получить это решение).

Произвольную постоянную интегрирования найдем из начальных условий: в начале движения при скорость баржи Подставим эти значения для в общее решение (8.26):

Отсюда Внеся это значение для в (8.26), получим скорость баржи на первом интервале времени

В конце этого промежутка времени скорость баржи будет

На участке равномерного движения автомобиля дифференциальное уравнение (8.21) на основании равенства (8.22) примет вид

Общее решение этого уравнения запишем в следующей форме *):

Постоянную интегрирования найдем из условия: при После подстановки получим Следовательно, на втором интервале времени скорость баржи изменяется по закону

где определено равенством (8.28).

В конце этого периода скорость баржи будет

На третьем интервале времени (участок торможения автомобиля) дифференциальное уравнение (8.21) принимает вид

Его общее решение запишем в следующей форме:

Произвольную постоянную найдем из условия: при После подстановки получим

Следовательно, на третьем интервале времени скорость баржи изменяется по закону

Скорость баржи в конце этого периода (при остановке автомобиля) будет

Внесем в это равенство значение из (8.31), затем учтем значение из (8.28) и примем во внимание равенство (8.24). После элементарных преобразований получим

Из этого выражения видно, что Это означает, что на участке торможения автомобиля баржа изменяет направление движения на противоположное и начинает двигаться в сторону движения автомобиля, причем в момент остановки автомобиля баржа не останавливается, а продолжает движение, Момент времени когда баржа изменяет направление движения, можно найти. из равенства (8.32), положив в нем

Отсюда

Перейдем к определению закона изменения скорости баржи после остановки автомобиля Уравнение (8.21) при принимает вид

В общем решении этого уравнения

произвольную постоянную интегрирования найдем из условия: при Следовательно, и скорость баржи будет изменяться по закону

На рис. 8.7 по равенствам (8.27), (8.30), (8.32) и (8.34) построен график закона изменения скорости баржи (на графике учтено, что за положительное направление движения баржи принято направление, противоположное направлению движения автомобиля).

Рассмотрим теперь случай, когда промежуток времени очень мал и его практически можно считать равным нулю (автомобиль за пренебрежимо малый промежуток времени набирает скорость и так же быстро останавливается— рис. 8.8, а).

Воспользуемся равенством (8.28) и подставим в него значение из (8.23)

При имеется неопределенность вида 0:0. Для раскрытия ее воспользуемся правилом Лопиталя:

Таким образом, при будем иметь

После набора автомобилем этой скорости баржа будет двигаться по закону (8.30), если положить в нем

Скорость баржи перед началом торможения автомобиля определяется равенством

Скорость движения баржи в конце торможения автомобиля найдем из равенства (8.33) при

где определены равенствами (8.35) и (8.37).

График скорости баржи при показан на рис. 8.8,6.

Явления, описанные в этом примере, читатель может наблюдать самостоятельно; при переходе человека с кормы лодки к ее носовой части (или наоборот) лодка сначала начнет двигаться в сторону кормы, а затем при остановке человека движение лодки будет происходить в обратном направлении.

В заключение этого примера отметим, что качественная сторона закона изменения скорости движения не зависит от сделанных предположений Читатель может убедиться в этом самостоятельно, разобрав для примера случай, когда сила сопротивления воды пропорциональна не первой, а второй степени скорости движения баржи — коэффициент пропорциональности).

Пример №130

Груз веса скользит вниз по наклонной эстакаде, свободно лежащей на земле. Вес эстакады коэффициент трения скольжения между грузом и эстакадой угол наклона При каких условиях эстакада остается неподвижной?

Эстакада будет находиться в покое до тех пор, пока сила трения между землей и эстакадой не достигнет своего предельного значения, равного где —коэффициент трения покоя, а —сила нормального давления. Для определения силы трения и нормального давления рассмотрим систему, состоящую из груза и эстакады. На эту систему действуют следующие внешние силы: сила тяжести груза сила тяжести эстакады нормальная реакция земли и сила трения между землей и эстакадой (рис. 8.9, а).

Обозначим скорость движения груза через Очевидно, что скорость направлена параллельно наклонной плоскости и поэтому проекции количества движения груза, а следовательно, и всей системы (количество движения эстакады равно нулю, так как она находится в покое) на координатные оси будут (рис. 8.9, а)

Применим теперь теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме и равенства (8.6). Пользуясь выражениями для и с помощью рис. 8.9, а получим

Отсюда найдем силу нормального давления

Эстакада будет находиться в покое, если сила трения не превышает своего предельного значения т. е. при

Из полученных соотношений найдем

или

Для полного решения задачи необходимо определить ускорение Для этого рассмотрим движете одного груза (рис. 8.9, б). На груз действуют сила тяжести нормальная составляющая реакции наклонной плоскости и сила трения по модулю равная Составим дифференциальные уравнения движения груза в проекциях на оси

Из второго уравнения найдем следовательно, Внесем это выражение для в первое уравнение и определим из него ускорение груза:

После подстановки в неравенство, определяющее получим

Этому условию должен удовлетворять — коэффициент трения покоя между землей и эстакадой, чтобы последняя не пришла в движение. В условиях примера найдем

В главе XVI мы решим эту задачу другим методом.

Пример №131

Электромотор прикреплен с помощью четырех болтов к горизонтальному основанию. В результате затяжки каждый болт создает вертикальное давление Коэффициент трения покоя между мотором и основанием Определить величину бокового давления на болты, если ротор электромотора, имея небольшой эксцентриситет равномерно вращается с угловой скоростью Вес статора вес ротора (рис. 8.10).

При вращении ротора центр тяжести его (точка будет описывать окружность, радиус которой равен эксцентриситету В результате этого корпус электромотора будет стремиться совершать горизонтальные колебания. Этому

стремлению препятствуют болты и сила трения между электромотором и основанием (фундаментом).

Обозначим через силу трения между основанием и статором мотора, через —суммарную горизонтальную составляющую силы давления болтов на статор мотора и через — равнодействующую сил Так как последние направлены всегда в одну сторону, то

Нужно иметь в виду следующее: если сила трения по модулю меньше своего предельного значения где — величина нормального давления, то корпус мотора будет удерживаться в покое только за счет сил трения. В этом случае Как только сила трения достигнет своего предельного значения, в работу вступят болты, причем модуль силы можно будет определить из последнего равенства

Таким образом, имеем

Рассмотрим теперь систему, состоящую из статора и ротора. Количество движения статора равно нулю (он неподвижен), а количество движения ротора

равно — где — скорость его центра тяжести Модуль скорости точки равен а проекции вектора на оси будут (рис. 8.10)

Следовательно, проекции количества движения всей системы равны Внешними силами для системы будут: сила тяжести статора сила тяжести ротора четыре силы затяжки болтов (их равнодействующую обозначим через нормальная составляющая реакции основания сила трения и боковые составляющие давления болтов Воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы в дифференциальной форме и применим уравнения (8.6). Пользуясь полученными выражениями для с помощью рис. 8.10 получим (рассматриваем первый полуоборот, в течение которого сила будет направлена влево)

или, выполняя дифференцирование и умножая первое уравнение на

.Найдем из второго уравнения силу нормального давления

Будем считать, что всегда положительно, и введем в рассмотрение функцию

Отметим, что входящая в это выражение предельная сила трения покоя является величиной переменной (так как изменяется). Учитывая соотношение (8.38), найдем

Преобразуем функцию

Воспользуемся равенством

в котором —угол трения. Функцию можно привести теперь к виду

Максимальное значение функции достигается при

Если это выражение неположительно, то при любом значении угла функция В этом случае сила трения не превосходит своего предельного значения и болты не оказывают давления на мотор Это имеет место при условии

Если же неравенство (8.41) будет иметь обратный смысл, то при некотором функция обратится в нуль. Угол поворота легко находится из уравнения или, после очевидных преобразований,

С момента времени функция начнет возрастать и сделается положительной — наименьший корень уравнения (8.42)). С этого же момента Болты начнут оказывать давление на мотор, равное

При угле определяемом уравнением

функция опять сделается равной нулю, давление болтов прекратится и мотор снова будет удерживаться одной силой трения. При характер распределения сил будет повторяться в обратном порядке,

В данном примере

Условие (8.41) не выполняется и, следовательно, одной силы трения недостаточно для удержания в горизонтальном положении мотора. Значение угла найдем из уравнения (8.42):

Таким образом, при мотор удерживается одной силой трения. Начиная с момента времени в работу вступают болты, действие которых прекращается в момент времени угол определяется равенством (8.43):

В промежутке суммарная сила давления болтов найдется из равенств (8.39) и (8.40):

При сила снова обращается в нуль. График проекции силы на ось изображен на рис. 8.11.

Максимальное давление, приходящееся на один болт (сила давления мотора на болты равна по модулю и направлена в сторону, противоположную равно 5,75 кГ, а при отсутствии трения оно составляет 15,75 кГ. Следовательно, сила трения снимает в данной системе две трети всей нагрузки на болты л существенно облегчает условия их работы.

При большом эксцентриситете сила давления меняющая свое направление с каждом полуоборотом ротора (в нашем примере 3000 раз в минуту), может достигнуть величины, прн которой болты будут сломаны.

Если увеличить затяжку болтов, т. е. увеличить силу то можно создать такое нормальное давление при котором мотор будет удерживаться в горизонтальном положении одной силой трения и болты не будут испытывать горизонтальных давлений. Критическое значение для силы найдем из неравенства (8.41):

В рассматриваемом примере будем иметь Следовательно, каждый болт нужно затянуть с силой 42,5 кГ (напомним, что — суммарная сила затяжки всех четырех болтов), т. е. затяжку болтов нужно увеличить в 3,4 раза.

Пример №132

Горизонтальный участок трубопровода земснаряда имеет изогнутое под углом колено. Определить динамическое давление пульпы на изогнутую часть трубопровода, если его диаметр равен 60 см, удельный вес пульпы и скорость ее течения

Рассмотрим изогнутую часть трубопровода и обозначим через площади поперечных сечений его в начале и конце изгиба, а через и —векторы соответствующих скоростей пульпы (рис. 8.12, а). Ось направим вдоль оси симметрии изогнутой части трубопровода, а ось — перпендикулярно к ней. По условию задачи модули а векторы составляют с осью углы, равные Силы тяжести направлены вертикально, и их проекции на оси и равны нулю (на рис. 8.12, а показан вид сверху). Обозначим через и проекции главного вектора сил давления стенок трубопровода на пульпу и составим первые два уравнения (8.18):

Отсюда находим

Таким образом, главный вектор поверхности сил направлен по оси (это очевидно из соображений симметрии). Сила добавочного динамического давления на трубопровод равна по модулю и направлена в противоположную сторону (рис. 8.12, б):

По определению имеем (см. формулу (8.15))

Плотность пульпы связана с ее удельным весом равенством

а площадь поперечного сечения трубопровода

Внося выражения для в равенство (8.44), получим

После подстановки численных значений

найдем динамическое давление пульпы на трубопровод:

Теорема об изменении момента количеств движения материальной системы

В предыдущей главе было показано, что, исследуя вектор количества движения материальной системы, можно составить представление о ее поступательном движении. Вращательное движение материальной системы характеризуется другой векторной величиной, а именно — моментом количеств движения. В этой главе мы рассмотрим способы вычисления этой величины и ее связи с другими динамическими характеристиками системы, с помощью которых можно составить частичное, а иногда и полное описание вращательных движений материальной системы.

Момент количеств движения материальной системы

Момент количества движения одной материальной точки определяется равенством Моментом количеств движения материальной системы относительно центра называется сумма моментов (главный момент) количеств движения всех материальных точек, входящих в систему, относительно тога же центра:

В этом равенстве — радиус-вектор материальной точки с началом в центре — масса и скорость этой точки. Если материальная система представляет непрерывно распределенную материальную среду, заполняющую некоторый объем, то сумма, конечно, переходит в соответствующий интеграл.

Как всякий вектор, момент количеств движения может быть задан своими проекциями. В частности, равенство (9.1) в проекциях на оси системы координат записывается следующим образом:

где — координаты точки

По этим формулам можно определить проекции (моменты количеств движения материальной системы относительно координатных осей), а следовательно, и сам вектор

Момент количеств движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. В этом примере нас интересует не момент количеств движения твердого тела как вектор, а только одна его проекция на ось вращения тела.

Пусть твердое тело вращается с угловой скоростью вокруг неподвижной оси (рис. 9.1). Выделим в теле элемент объема с массой и будем рассматривать его как материальную точку. При вращении тела вокруг неподвижной оси элемент объема будет двигаться по окружности с центром в точке и радиусом, равным расстоянию от точки до оси вращения. Проекция скорости элемента объема на касательную к окружности равна а проекция количества движения на ту же ось будет Так как плечо вектора относительно оси вращения равно то момент количества движения элемента объема относительно оси равен Для всего тела будем иметь

где интегрирование распространено на массу всего тела.

Проекция угловой скорости одинакова для всех точек тела, и, следовательно, ее можно вынести за знак интеграла:

Получившийся интеграл зависит только от характера распределения массы в теле и не зависит от его кинематического состояния

Он называется моментом инерции тела относительно оси и обозначается символом (момент инерции тела представляет меру его инерции во вращательном движении):

В этих обозначениях будем иметь

т. е. момент количеств движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на проекцию угловой скорости тела на ту же ось.

Краткие сведения о моментах инерции

Теории моментов инерции будет посвящена специальная глава XII. Здесь же мы весьма кратко остановимся на основных определениях и сообщим некоторые формулы, не останавливаясь на их выводах.

Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется произведение массы этой точки на квадрат ее расстояния до оси, т. е. величина Моментом инерции материальной системы относительно оси называется сумма моментов инерции всех точек системы относительно той же оси.

Так, например, момент инерции материальной системы относительно оси равен

где — расстояние от точки с номером до оси

При непрерывном распределении массы сумма переходит в интеграл (9.3).

По определению момент инерции представляет существенно положительную величину. В нуль момент инерции может обратиться только в одном частном случае, когда все точки системы расположены на оси, относительно которой вычисляется момент инерции.

Размерность момента инерции в системе СИ равна а в технической системе —

Для примера определим момент инерции однородного тонкого стержня массы и длины относительно оси , проходящей перпендикулярно к стержню через его конец (рис. 9.2).

Направим ось вдоль стержня и выделим на нем элемент длины Расстояние от этого элемента до оси равно масса единицы длины стержня равна а масса выделенного элемента Внесем эти значения для и в выражение (9.3) и учтем, что переменная интегрирования изменяется от 0 до Тогда

или, интегрируя,

Таково значение момента инерции однородного тонкого стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно к стержню через его конец.

Момент инерции однородного тонкого стержня длины и массы относительно оси проходящей перпендикулярно к стержню через его центр тяжести С, будет равен

Не останавливаясь на выводе, заметим, что момент инерции однородного кругового цилиндра массы и радиуса относительно оси цилиндра (рис. 9.3) определяется формулой

Это выражение для момента инерции не зависит от высоты цилиндра и поэтому оно справедливо и для однородного кругового диска.

Очень часто вводят радиус инерции тела относительно оси, понимая под ним расстояние от оси до точки, в которой нужно сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции точки относительно данной оси равнялся моменту инерции тела относительно той же оси. По определению имеем

Здесь —масса материальной системы, — ее момент инерции относительно данной оси, —радиус инерции системы относительно этой же оси.

Теорема об изменении момента количеств движения материальной системы

Рассмотрим материальную систему, состоящую из материальных точек. Мысленно освободимся от связей, заменим их действие реакциями и разобьем все силы (включая реакции связей) на внешние и внутренние Тогда все точки системы можно считать свободными и к каждой из них применима теорема об изменении момента количества движения (см. (3.10)):

Складывая почленно, получим

В левой части равенства вынесем знак производной за знак суммы; в правой части равенства первая сумма равна главному моменту всех внешних сил относительно центра а вторая сумма, на основании второго свойства внутренних сил, равна нулю (см. формулу (7.6)). Имеем

или, учитывая выражение (9.1),

Это уравнение представляет математическую запись теоремы об изменении момента количеств движения материальной системы: полная производная по времени вектора момента количеств движения материальной системы, вычисленного относительно неподвижного центра, равна главному моменту всех внешних сил относительно того же центра.

В проекциях на неподвижные оси декартовых координат, начало которых совпадает с центром векторное равенство (9.9) эквивалентно трем скалярным:

Из этой теоремы вытекает несколько следствий.

1. Внутренние силы непосредственно не влияют на изменение момента количеств движения материальной системы (они могут оказать косвенное влияние через внешние силы) .

2.Если главный момент всех внешних сил относительно некоторого неподвижного центра равен нулю, то момент количеств

движения материальной системы относительно того же центра не изменяется по модулю и направлению.

Действительно, если то равенство (9.9) принимает вид

отсюда

где — начальное значение вектора

3. Если главный момент всех внешних сил относительно некоторой неподвижной оси (например, оси равен нулю, то момент количеств движения материальной системы относительно этой оси не изменяется в процессе движения.

Если то согласно первому равенству (9.10) будем иметь

отсюда

Первые интегралы (9.11) и (9.12), определяющие второе иг третье следствия, называются законами сохранения момента количеств движения материальной системы.

Теорема об изменении момента количеств движения материальной системы имеет очень интересные и практически важные приложения. В этой лекции мы рассмотрим примеры и задачи, иллюстрирующие применение теоремы и ее следствия, причем некоторые из них имеют самостоятельное значение.

1. Плоскость Лапласа. Солнечная система является изолированной (если пренебречь влиянием других звезд), и ее движение определяется только внутренними силами притяжения. Так как внешние силы отсутствуют, то пол на основании второго следствия момент количеств движения всей Солнечной системы сохраняет постоянное направление относительно далеких «неподвижных»-звезд. Поэтому сохраняет неизменное положение и плоскость перпендикулярная к вектору (рис. 9.4). Эта плоскость (ее называют плоскостью Лапласа) имеет большое значение в астрономии, так как относительно нее ориентируют орбиты планет.

2. Скамейка Н. Е. Жуковского. Для демонстрации теоремы об изменении момента количеств движения материальной системы и ее следствий Н. Е. Жуковский построил прибор, состоящий из горизонтальной платформы, которая может вращаться вокруг вертикальной оси с пренебрежимо малым трением. Мы опишем два опыта, хорошо иллюстрирующих теорему.

а) В примере 1 было показано, что при отсутствии внешних сил человек не может изменить положения своего центра тяжести. Покажем, что, находясь в аналогичных условиях, человек может повернуться. Предположим, что человек стоит на скамейке Н. Е. Жуковского и держит над головой колесо или какой-нибудь другой предмет, который может вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 9.5).

Будем считать, что вся система, состоящая из человека, платформы и колеса, сначала находилась в покое; затем внутренними силами колесо раскручивается ( это можно сделать например второй рукой). Так как моменты всех внешних сил относительно вертикальной оси вращения равны нулю ( силы

тяжести параллельны оси вращения, а линии действия реакций опор платформы пересекают ее), то момент количеств движения всей системы относительно этой оси должен сохранять постоянное значение, равное начальному:

где — моменты количеств движения относительно оси колеса и человека с платформой.

Равенство (9.13) должно сохраняться все время. Поэтому, если одно из слагаемых, например положительно, то второе слагаемое отрицательно. Это означает, что при вращении колеса в одном направлении человек вместе с платформой будет вращаться в обратном направлении. Если, повернув колесо на некоторый угол, затем прекратить его вращение, то платформа с человеком, повернувшись в обратном направлении на некоторый другой угол, также прекратит свое вращение.

Будет показано, как используется этот метод космонавтами для поворота и ориентации при свободном полете в космосе.

б) Второй опыт, хорошо демонстрируемый на скамейке Жуковского, состоит в следующем. Человек стоит на платформе, держа в руках гантели. Его раскручивают, после чего вращение происходит по инерции. Моменты внешних сил, действующих на систему «человек — платформа», относительно вертикальной оси вращения равны нулю. Поэтому момент количеств движения системы относительно этой оси сохраняет постоянное значение. Предположим, что человек, держа руки с гантелями по швам, вращается с угловой скоростью (рис. 9.6, а). Обозначим момент инерции всей системы в этом положении через Тогда согласно формуле (9.4) будем иметь Если человек, расставив руки с гантелями, будет держать их на уровне плеч (рис. 9.6, б), то момент инерции всей системы относительно оси вращения увеличится (увеличатся расстояния от гантелей до оси Обозначим новый момент инерции через и новую угловую скорость через Согласно той же формуле (9.4) в новом положении Так как момент количеств движения относительно оси вращения не изменяется, то

Из этого равенства следует, что Таким образом, человек, поднимая руки до уровня плеч, уменьшает свою угловую скорость, а при опускании рук увеличивает ее.

Пример №133

Тележка поворотного подъемного крана движется с постоянной по модулю скоростью и относительно стрелы крана. Мотор, вращающий кран, создает относительно оси вращения крана постоянный момент Определить угловую скорость вращения крана в зависимости от расстояния тележки до оси если вес тележки вместе с грузом равен а момент инерции крана (без тележки и груза) относительно оси вращения равен Вращение крана начинается в момент времени, когда тележка находилась на расстоянии от оси (рис. 9.7).

Рассмотрим систему, состоящую из вращающейся части крана и тележки с грузом. Для решения задачи применим теорему об изменении момента количеств движения системы относительно неподвижной оси вращения крана (см. третье уравнение (9.10)):

На рассматриваемую систему действуют следующие внешние силы и моменты: сила тяжести тележки с грузом сила тяжести крана вращающий момент и реакции опор крана (на рис. 9.7 показаны их составляющие). Моменты относительно оси сил тяжести и реакций опор равны нулю (силы параллельны оси а линии действия реакций пересекают ее). Поэтому

Перейдем теперь к определению момента количеств движения системы относительно оси вращения крана. Система состоит из двух движущихся тел: вращающегося крана и тележки с грузом (тележка и груз движутся одинаково, и их можно рассматривать как одно тело). Следовательно,

где — моменты количеств движения относительно оси крана и тележки соответственно.

Кран представляет собой твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Поэтому согласно формуле (9.4)

Тележка участвует в сложном движении Ее относительная скорость равна а модуль переносной скорости равен — расстояние от тележки до оси вращения (размерами тележки пренебрегаем). Абсолютная скорость тележки

а количество ее движения

Следовательно,

где — моменты количеств относительного и переносного движений тележки относительно оси

Так как вектор пересекает ось то Вектор количества переносного движения находится в горизонтальной плоскости и перпендикулярен к оси Поэтому

или, учитывая, что

Внося найденные значения для в (9.16), найдем

Подставив выражения (9.15) и (9.17) в равенство (9.14), получим дифференциальное уравнение движения рассматриваемой системы

В этом уравнении величина s является переменной, причем где — проекция относительной скорости и тележки на ось стрелы если тележка удаляется от оси вращения крана, и в противном случае). Так как по условию задачи — величина постоянная, то

Интегрируя уравнение (9.18), получим

В начальный момент по условию задачи Поэтому из формулы (9.19) следует, что Заменим в равенстве (9.19) время через расстояние и найдем

Угловая скорость может быть выражена также как функция времени:

В частности, при неподвижной тележке

Из соотношений (9 20) и (9 21) видно, что знак совпадает со знаком Это означает, что направление вращения крана всегда совпадает с направлением вращающего момента — факт физически очевидный.

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси обеспечивается специальным» приспособлениями (подшипниками и подпятниками). Освободимся мысленно от связей и, заменив их соответствующими реакциями, будем в дальнейшем считать вращающееся тело свободным. Обозначим через момент инерции этого тела относительно оси вращения и через —проекцию его угловой скорости на ту же ось. Тогда момент количеств движения твердого тела относительно оси вращения будет равен (см. формулу (9.4))

Внося это выражение в третье равенство (9.10), получим дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

При вычислении главного момента всех внешних сил, приложенных к твердому телу, относительно оси вращения нужно учитывать, что реакции идеальных (без трения) опор в уравнение 9.22) не войдут, так как линии их действия пересекают ось вращения и, следовательно, их моменты относительно этой оси равны нулю. Если же опоры создают моменты трения, то последние необходимо учитывать.

Сравним дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси с дифференциальным уравнением прямолинейного поступательного движения твердого тела

Сравнивая уравнения (9.22) и (9.23), видим, что между ними можно провести глубокую аналогию: линейной скорости поступательного движения тела соответствует его угловая скорость при вращении вокруг неподвижной оси (в уравнениях рассматриваются соответствующие проекции скоростей); силам, вызывающим поступательное движение тела, соответствуют моменты сил, вызывающих его вращение; массе тела в уравнении (9.23) соответствует момент инерции в уравнении (9.22). Так как масса тела представляет меру его инерции в поступательном движении, то из сделанного сопоставления следует, что момент инерции тела представляет меру его инерции во вращательном движении.

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси (9.22) полезно сопоставить с формулировкой второго закона Ньютона: произведение массы точки на ее ускорение равно сумме всех сил, приложенных к точке. Аналогично можно прочитать и уравнение (9.22): произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил, приложенных к телу.

Пример №134

К ротору электромотора приложен вращающий момент изменяющийся по закону — некоторые положительные постоянные, характеризующие двигатель (постоянная называется крутизной характеристики мотора), а — угловая скорость ротора. Определить закон изменения угловой скорости в период разгона ротора, если его момент инерции относительно оси вращения равен

Совместим положительное направление оси вращения с направлением вращающего момента Тогда (направление вектора угловой скорости в период разгона ротора совпадает, конечно, с направлением вращающего момента).

Силы трения учтены постоянными поэтому сумма моментов всех внешних сил, приложенных к ротору, будет равна Дифференциальное уравнение вращения твердого тела (9.22) в данном случае принимает вид

Для определения закона изменения угловой скорости от времени нужно решить это дифференциальное уравнение. Для этого разделим переменные

и проинтегрируем обе части равенства

В начале разгона при Подставляя это условие в полученный первый интеграл, найдем постоянную интегрирования

Внесем это значение для в последнее равенство

Группируя члены с логарифмами, получим

Отсюда

и, следовательно, Это равенство и определяет закон изменения угловой скорости. С ростом времени второй член в скобках стремится к нулю. Поэтому угловая скорость ротора, монотонно увеличиваясь, стремится к своему предельному значению, соответствующему установившемуся режиму:

Процесс разгона двигателя называется переходным процессом (его график показан на рис. 9.8). Переходный процесс считается для большинства электродвигателей законченным, когда угловая скорость достигнет 0,95 своего предельного значения. Продолжительность переходного процесса легко определить, пользуясь

При время Следовательно,

Момент инерции ротора и крутизну характеристики двигателя подбирают из условия, чтобы время переходного процесса находилось в заданных пределах (для электроприводов большинства механизмов не превышает 2 — 3 секунд).

Момент количеств движения системы, участвующей в сложном движении

Во многих случаях движение материальной системы относительно инерциальных осей рационально представить как сложное и разложить его на простейшие движения. При этом очень часто удается упростить вычисление момента количеств движения.

Введем подвижные координатные оси перемещающиеся поступательно относительно инерциальных осей начало отсчета подвижных осей совместим с центром масс С материальной системы (рис. 9.9). Будем рассматривать движение материальной системы как относительно неподвижных осей так и относительно поступательно перемещающихся

осей Пусть — одна из точек материальной системы. Введем обозначения: — масса точки — ее радиус-вектор, проведенный из начала неподвижных осей, — радиус-вектор той же точки, проведенный из начала подвижных осей, — радиус-вектор начала подвижных осей (т. е. центра масс) в системе Очевидно, что

Из кинематики известно, что скорость точки относительно неподвижных осей складывается из переносной к относительной скоростей:

Учитывая, что подвижные оси перемещаются поступательно, будем иметь

Следовательно,

Момент количеств абсолютного движения материальной системы относительно неподвижного центра равен

Аналогичным образом определяется момент количеств относительного движения материальной системы относительно начала подвижных осей (абсолютная скорость заменяется относительной скоростью абсолютный радиус-вектор точки ее радиусом-вектором в подвижной системе координат):

Установим два тождества, которым должны удовлетворять радиусы-векторы и относительные скорости Положение центра масс системы в осях определяется равенством (см. формулу (7.2))

Так как начало подвижной системы координат совпадает с центром масс, то следовательно,

Дифференцируя это соотношение по времени и принимая во внимание, что получим

Таким образом, движение любой материальной системы в поступательно перемещающихся осях, начало которых совпадает с центром масс системы, удовлетворяет тождествам (9.33) и (9.34).

Преобразуем теперь выражение для момента количеств абсолютного движения Для этого внесем в формулу (9.31) значения из равенств (9.29) и (9.30):

Раскроем в правой части скобки и разобьем все выражение на четыре суммы:

Учтем следующие обстоятельства; а) множители не зависят от индекса суммирования и их можно вынести за знак суммы; б) скалярный множитель можно отнести к любому векторному множителю; в) последняя сумма в правой части в соответствии с (9.32) равна На этом основании выражение для можно представить в виде

Согласно тождествам (9.33) и (9.34) второе и третье слагаемые равны нулю, а где — масса всей системы. Следовательно,

или

Это равенство можно прочитать следующим образом: момент количеств абсолютного движения относительно неподвижного центра равен сумме момента относительно того же центра количества движения центра масс системы, в предположении, что в нем сосредоточена вся ее масса, и момента относительно центра масс количеств относительного движения системы, причем последнее движение рассматривается по отношению к поступательно перемещающимся координатным осям, начало которых совпадает с центром масс системы.

В проекциях на неподвижные оси координат векторное равенство (9.36) эквивалентно трем скалярным:

Пример №135

Эпициклический механизм состоит из неподвижной шестерни кривошипа и сателлита (рис. 9.10). Кривошип массы вращается с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через центр шестерни радиусом Считая сателлит однородным диском массы и радиуса а кривошип однородным тонким стержнем длины определить момент количеств движения механизма относительно неподвижной оси вращения кривошипа.

Построим две системы координат: неподвижную и поступательно перемешающуюся систему начало которой совпадает с центром тяжести сателлита координатные оси направлены на читателя. Так как шестерня неподвижна, то момент количеств движения эпициклического механизма относительно неподвижной оси будет

где моменты количеств движения относительно оси кривошипа и сателлита соответственно.

Кривошип представляет твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси На основании формулы (9.4) имеем

где проекция угловой скорости кривошипа на ось —его момент инерции относительно той же оси. Для однородного тонкого стержня согласно формуле (9.5)

Следовательно,

Подвижная шестерня участвует в сложном движении. Поэтому для вычисления момента количеств движения сателлита относительно оси

воспользуемся третьей формулой (9.37):

Построим в центре тяжести шестерни вектор количества движения (см- Рис- 9.10). Плечо вектора относительно оси равно Следовательно,

Движение шерстени относительно осей представляет вращение вокруг оси Поэтому согласно формуле (9.4)

В этом равенстве — момент инерции относительно оси шестерни (см. формулу (9-7)) и ее угловая скорость.

Внося в выражение для получим

Для полного решения задачи нам осталось вычислить модуль скорости центра тяжести шестерни и ее угловую скорость

Точка принадлежит одновременно и кривошипу Поэтому

Мгновенный центр скоростей шестерни совпадает с точкой касания обеих шестерней. Скорость точки как точки шестерни определяется равенством

Сравнивая оба выражения для скорости точки найдем

Подставим значения для в выражение для и сгруппируем члены:

Теперь найдем момент количеств движения всего механизма относительно оси

Это выражение можно записать в форме (9.4):

где величина

называется приведенным к оси моментом инерции механизма.

Заметим, что приведение момента инерции механизма к одной и той же оси можно производить различными методами. В данном примере это приведение выполнено при вычислении момента количеств движения системы.

Теорема об изменении момента количеств «относительного движения материальной системы

Доказанная теорема относилась к абсолютному движению, т. е. к движению материальной системы относительно инерциальных осей. Кроме того, предполагалось, что точка, относительно которой вычислялся момент количеств движения, неподвижна. Эти ограничения вносят известные неудобства при изучении вращательных движений тел, не имеющих неподвижных точек -(самолеты, корабли, ракеты, приборы, установленные на них и т. п.). В этой лекции мы рассмотрим, какой вид принимает теорема об изменении момента количеств движения для относительного движения.

Будем изучать движение материальной системы относительно подвижных осей перемещающихся поступательно относительно инерциальных осей Напомним, что все законы динамики, установленные для материальной точки, движущейся в инерциальной системе отсчета, остаются справедливыми для ее относительного движения, если только к силам, действующим на точку, присоединить переносную и кориолисову сильгиперции (см. главу VI).

Подвижные оси перемещаются по условию поступательно. Поэтому ускорения Кориолиса и соответствующие. Силы инерции, равны нулю. Кроме того, при поступательном движении подвижных осей переносные ускорения всех точек одинаковы и равны ускорению

Следовательно,переносная сила инерции точки определяется равенством

где — масса точки.

На рис. 9.11 показаны координатные оси и ускорение полюса точка материальной системы, к внешней и внутренней силам которой присоединена переносная сила инерции —

Теперь координатные оси можно считать неподвижными. В применении к теореме об изменении момента количеств движения это означает, что в равенстве (9.9) момент количеств абсолютного движения вычисленный относительно неподвижной точки, нужно заменить на момент количеств относительного движения вычисленный относительно начала подвижных осей; и к моментам внешних сил нужно присоединить моменты переносных сил инерции всех точек системы:

Согласно (9.40) имеем (см. рис. 9.11)

Скалярный множитель отнесем к вектору а общий множитель— вынесем за знак суммы:

В соответствии с формулой (7.2) сумма, стоящая в скобках, равна где — масса всей системы, а — радиус-вектор центра масс в подвижной системе координат. Следовательно,

Произведение — назовем переносной силой инерции центра масс, в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы. (При поступательном движении осей переносное ускорение центра масс равно ускорению полюса Будем считать, что сила инерции — приложена в центре масс. Тогда произведение представляет собой момент силы — относительно подвижного центра

Учитывая введенные обозначения, равенству (9.41) можно придать следующий вид:

Это уравнение представляет математическую запись в векторной форме теоремы об изменении момента количеств относительного движения. В проекциях на поступательно перемещающиеся оси Дает следующие три скалярных уравнения:

В частном, но весьма важном случае, когда начало поступательно перемещающихся осей совмещено с центром масс материальной системы, уравнение (9.43) существенно упрощается. Действительно, в этом случае

и уравнение (9.13) принимает вид

В проекциях на поступательно перемещающиеся оси будем иметь

Сравним уравнение (9.9) с уравнениями (9.43) и (9.45). В первом из них при вычислении момента количеств движения учитываются абсолютные скорости точек материальной системы и за центр выбирается неподвижная точка. В уравнениях (9.43) и (9.45) при вычислении момента количеств движения учитываются скорости точек материальной системы относительно поступательно перемещающихся осей (или и за

центр выбирается начало подвижной системы координат.

В правой части уравнения (9.43) к моментам внешних сил нужно присоединить момент относительно подвижного центра переносной силы инерции —

Отметим, что если за полюс выбрать центр масс, то теорема об изменении момента количеств относительного движения (уравнение (9.45)) по своей форме полностью совпадает с аналогичной теоремой об изменении момента количеств абсолютного движения (уравнение (9.9)).

Остановимся подробнее на уравнении (9.45). Так как оно по своей форме в точности совпадает с уравнением (9.9), то движение материальной системы относительно ее центра масс происходит так же,как если бы последний был неподвижен. Все следствия теоремы моментов количеств движения относительно неподвижной

точки остаются справедливыми и для момента количеств движения относительно центра масс. В частности, если сумма моментов всех внешних сил относительно центра масс равна нулю, то момент количеств движения сохраняет постоянную величину и направление; если сумма моментов всех внешних сил относительно оси, проходящей через центр масс и перемещающейся поступательно, равна нулю, то момент количеств движения относительно этой оси сохраняет свое первоначальное значение.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих доказанные теоремы.

Пример 1. Поворот космонавта. Предположим, что космонавт вышел из космического корабля и совершает свободный полет. Будем считать, что космонавт отделился от корабля без вращения и что силы тяготения небесных тел (например, Земли), действующие на космонавта, сводятся к одной равнодействующей проходящей через его центр масс Тогда момент сил тяготения относительно центра масс будет равен нулю и, следовательно, момент количеств движения относительно точки сохраняет постоянную величину и направление. Возникает вопрос: может ли космонавт без применения реактивных микродвигателей повернуться в нужном направлении?

Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним первый опыт на скамейке Жуковского, в котором поворот человека достигался поворотом колеса (или руки). Так как движение материальной системы относительно центра масс происходит по тем же законам, что и относительно неподвижной точки, то любая прямая, проходящая через центр масс космонавта и перемещающаяся поступательно, играет ту же роль, что и ось скамейки Жуковского. Поэтому поворотом руки космонавт может повернуть свое тело в противоположном направлении.

Пример 2. Изменение угловой скорости спортсмена. Рассмотрим вращение спортсмена, совершающего прыжок с вышки в воду. Во время прыжка на спортсмена действует одна внешняя сила (сопротивлением воздуха пренебрегаем)— сила тяжести. Эта сила приложена к центру масс спортсмена и, следовательно, она не создает момента относительно точки . Поэтому момент количеств движения спортсмена относительно горизонтальной оси проходящей через его центр масс перпендикулярно к плоскости движения, остается без изменения:

Движение спортсмена относительно поступательно перемещающейся оси представляет собой вращение вокруг этой оси. Тогда согласно формуле (9.4)

где — момент инерции относительно горизонтальной оси — угловая скорость спортсмена (направление оси выберем так, чтобы В начале прыжка спортсмен, отталкиваясь от трамплина, сообщает телу угловую скорость имея момент инерции Затем в процессе прыжка он группируется (складывается), уменьшая тем самым момент инерции - Учитывая, что получим

Так как т. е. в середине прыжка, когда спортсмен группируется, его угловая скорость увеличивается.

Перед входом в воду спортсмен снова выпрямляется, увеличивая момент инерции и уменьшая тем самым свою угловую скорость.

Весь процесс изменения угловой скорости спортсмена за счет изменения его момента инерции совпадает со вторым опытом на скамейке Жуковского. Роль оси скамейки играет горизонтальная ось проходящая через центр масс спортсмена.

Пример 3. Методы стабилизации вращения космического аппарата. В силу различных случайных причин космический аппарат при отделении от последней ступени ракеты получает небольшую угловую скорость Для выполнения различных работ (фотографирования Земли и небесных тел, изменения орбиты, стыковки с другим космическим аппаратом, торможения перед посадкой и т. п.) космический аппарат необходимо надлежащим образом ориентировать, для чего прежде всего необходимо прекратить его вращение.

Рассмотрим два метода, с помощью которых можно остановить вращательное движение аппарата.

а) Первый метод основан на введении реактивного момента Предположим, что космический аппарат вращается вокруг оси проходящей через его центр масс и перемещающейся поступательно относительно инерциальных осей координат. Два параллельно расположенных сопла реактивного микродвигателя устанавливаются на некотором расстоянии друг от друга (на рис. 9.12 ось направлена на читателя, а сопла находятся в плоскости рисунка). При отделении продуктов сгорания создается момент (см. главу XI), управляя которым можно сначала остановить вращение космического аппарата, а затем повернуть его таким образом, чтобы ось жестко связанная с ним, приняла нужное направление (например, была бы направлена по вектору -скорости центра масс или на какое-нибудь небесное тело).

Так как вращение космического аппарата может происходить вокруг любой оси, то он должен иметь три пары таких реактивных двигателей, расположенных в трех взаимно перпендикулярных плоскостях.

б) Второй метод основан на применении вращающихся масс. Пусть по прежнему космический аппарат вращается с угловой скоростью вокруг поступательно перемещающейся оси проходящей через центр масс аппарата Будем считать, что силы притяжения, действующие на космический аппарат, приводятся к одной равнодействующей проходящей через точку

Тогда момент внешних сил (сил притяжения) относительно центра будет равен нулю.

Поместим внутри космического аппарата небольшой маховичок Для простоты будем считать, что жестко связанная с аппаратом ось вращения маховичка совмещена с осью (рис. 9.13).

Рассмотрим систему, состоящую из маховичка и космического аппарата (без маховичка). Так как сумма моментов всех внешних сил, относительно поступательно перемещающейся оси равна нулю, то момент количеств движения всей системы относительно этой оси сохраняет постоянное значение. Поэтому, если заставить вращаться маховичок в ту же сторону, что и космический аппарат,- вращение последнего начнет тормозиться.

Остановимся на этом явлении несколько подробнее.

Система состоит из двух тел, вращающихся вокруг поступательно перемещающейся оси Момент количеств движения всей системы относительно оси будет равен сумме моментов количеств движения относительно этой же оси космического аппарата и маховичка В соответствии с формулой (9.4) будем иметь

где — моменты инерции относительно оси космического аппарата (без маховичка и маховичка соответственно, — угловая скорость космического аппарата относительно системы осей перемещающихся поступательно в инерциальной системе отсчета, и —угловая скорость маховичка относительно космического аппарата; при этом предполагаем, что оба тела вращаются в одну сторону,

Так как то

Здесь —начальные значения

Будем отсчитывать время с момента запуска маховичка. Тогда Решим теперь полученное уравнение относительно

Положив найдем

Таким образом, для того чтобы остановить вращение космического аппарата маховичку Г необходимо сообщить угловую скорость определяемую равенством (9 49), причем вращение маховичка должно происходить в ту же сторону, что и вращение космического аппарата (знаки со и й0 одинаковы). Отметим, что торможение космического корабля происходит не за счет сил трения, а путем использования динамического эффекта, при котором осуществляется перераспределение угловых скоростей тел, входящих в систему. Конечно, так же как и в первом методе, на космическом аппарате нужно установить три маховичка, оси вращения которых должны быть взаимно перпендикулярны.

Первый способ стабилизации, в отличие от второго, требует одновременной затраты энергии. В этом состоит основное его преимущество.

Покажем, что с помощью маховичков космический аппарат можно повернуть на заданный угол.

Предположим, что до запуска маховичка Г космический аппарат не вращался Тогда равенство (9.47) примет вид

или

Здесь — угол поворота космического аппарата, отсчитываемый в поступательно перемещающейся системе отсчета а —угол поворота маховичка относительно аппарата. '

Интегрируя последнее равенство, получим

где —начальные значения углов Отсюда

т. е. для того, чтобы повернуть космический аппарат на угол нужно повернуть маховичок в противоположную сторону на угол

Пример №136

Для поворота космического аппарата используется электродвигатель—маховик, уравнение вращения которого на движущемся аппарате имеет вид

где — относительная угловая скорость ротора электродвигателя (маховика), —его постоянная времени*), —управляющее воздействие, принимающее значения

Определить продолжительность разгона когда и торможения маховика, если первоначально невращающнйся космический аппарат при неподвижном маховике требуется повернуть на заданный угол и остановить. Ось вращения маховика проходит через центр масс космического аппарата; движение считать плоским. Моменты инерции маховика и аппарата относительно общей оси вращения соответственно равны

Интегрируя уравнение (9.50) при (период разгона) и начальных условиях: получим (см. решение уравнения (8.25))

В конце разгона угловая скорость маховика будет равна

Интегрируя уравнение (9.50) при (период торможения) и учитывая, что получим (см, решение (8.32))

В конце торможения маховик останавливается. Внося в равенство (9.53) найдем

В условиях задачи космический аппарат и маховик должны вращаться в разные стороны, поэтому из уравнения моментов будем иметь

при этом учтено, что в начальный момент — угловая скорость космического аппарата). Полагая найдем

или

где — заданный угол поворота аппарата.

Разобьем промежуток интегрирования на два промежутка: и В первом промежутке определяется равенством (9.51), а во .втором — равенством (9.53). Следовательно, равенство (9.55) принимает вид

или, после интегрирования,

Пользуясь (9.52) и (9.54), найдем из последнего равенства

где

Внесем значение из (9.56) в равенство (9.52) и полученное значение для подставим в (9.54). Тогда после сокращения на получим

отсюда

Решим это квадратное уравнение относительно Имеем

(перед радикалом взят знак «минус», так как

Последнее равенство преобразуем к следующему виду:

или, умножая и деля на сопряженное выражение,

Логарифмируя это равенство, найдем затем из (9.56) получим

Эти равенства определяют время, в течение которого электродвигатель —маховик должен работать в режиме разгона и режиме торможения для того, чтобы повернуть космический аппарат на заданный угол

Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

Как известно, кинетической энергией одной материальной точки называется половина произведения массы т точки на квадрат ее скорости. Кинетической энергией материальной системы называется сумма кинетических энергий всех точек, входящих в систему. Обозначается кинетическая энергия символом По определению имеем

Стоящие в этом выражении скорости точек материальной системы определяются относительно инерциальной системы отсчета.

Кинетическая энергия материальной системы и способы ее вычисления

Во многих случаях движение материальной системы относительно инерциальных осей целесообразно представить как сложное и разложить его на простейшие движения. При этом очень часто удается упростить вычисление кинетической энергии системы.

Введем подвижные координатные оси перемещающиеся поступательно относительно инерциальных осей Будем

рассматривать движение материальной системы как относительно неподвижных осей так и относительно поступательно перемещающихся осей Пусть — одна из точек материальной системы массы Введем обозначения: — радиус-вектор точки проведенный из начала неподвижных осей, — радиус-вектор той же точки, проведенный из начала подвижных осей, —радиус-вектор начала подвижных осей в системе (рис. 10.1).

В соответствии с формулой (9.30)

где —скорость точки — скорость начала подвижных осей, — скорость точки относительно поступательно перемещающихся осей

Под кинетической энергией относительного движения будем понимать выражение

получающееся из (10.1) заменой абсолютной скорости точки ее относительной скоростью

Учтем теперь, что скалярный квадрат любого вектора равен квадрату его модуля, т. е. Поэтому выражение (10.1) для кинетической энергии можно записать следующим образом:

или, пользуясь равенством (10.2),

Возведем скобку в квадрат и разобьем сумму на три части:

Последняя сумма равна кинетической энергии относительного движения; в первой и второй суммах множители не зависят от индекса суммирования и их можно вынести за знаки сумм:

Выражение равно массе всей системы — скорость центра масс относительно поступательно перемещающихся осей Докажем последнее утверждение.

В соответствии с формулой (7.2) имеем

где — относительный радиус-вектор центра масс.

Дифференцируя по времени, получим

или

что и доказывает справедливость сделанного замечания.

На этом основании последнее выражение для кинетической энергии можно привести к следующему виду:

Если начало подвижных осей совпадает с центром масс системы, то В этом случае последнее равенство упрощается:

Словами его можно прочитать следующим образом (теорема Кенигау. кинетическая энергия материальной системы в ее абсолютном движении складывается из кинетической энергии центра масс, в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы, и кинетической энергии системы в ее движении относительно поступательно перемещающихся в инерциальном пространстве вместе с центром масс осей

Кинетическая энергия твердого тела

Очень часто материальная система представляет твердое тело или' совокупность твердых тел. В связи с этим нужно уметь определять кинетическую энергию твердого тела при различных видах его движения.

Так как твердое тело рассматривается как непрерывно распределенная масса, то все суммы, входящие в выражения для кинетической энергии, материальной системы, переходят в интегралы, а масса отдельной точки заменяется дифференциалом

Поэтому для твердого тела формула (10.1) примет вид

где интегрирование производится по массе всего тела.

1. Кинетическая энергия твердого тела, движущегося поступательно. При поступательном движении твердого тела скорости всех его точек одинаковы (рис. 10.2). Вынося в формуле (10.6) за знак интеграла, получим

или, учитывая, что где — масса всего тела,

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела, движущегося поступательно, равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости.

Формула (10.7) применима также для случая, когда скорости всех точек материальной системы равны между собой по модулю. Например, по такой формуле можно вычислить кинетическую энергию ремня, участвующего в передаче вращения от одного шкива к другому.

2. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Модуль скорости любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен где —модуль угловой скорости твердого тела, а — расстояние от точки до оси вращения (рис. 10.3). Подставляя в формулу (10.6) значение скорости точки получим

или, вынося за знак интеграла (угловая скорость одинакова для всех точек тела и от переменной интегрирования не зависит),

Полученный интеграл согласно формуле (9.3) представляет момент инерции тела относительно оси вращения. Следовательно,

т. е. кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.

3. Кинетическая энергия твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. При сферическом движении твердого тела модуль скорости любой его точки определяется равенством (рис. 10.4)

где —угловая скорость тела, а расстояние от точки тела до его мгновенной оси вращения. Сравнивая с предыдущим случаем, когда получим выражение для кинетической энергии твердого тела при его сферическом движении

где —момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения.

Заметим, что, несмотря на внешнее сходство формул (10.8) и (10.9), между ними имеется и существенное различие. Положение оси вращения неизменно относительно тела, поэтому момент инерции в формуле (10.8) с течением времени не меняется. Положение мгновенной оси вращения в общем случае меняется относительно тела, вследствие чего момент инерции в формуле (10.9) есть величина переменная.

4. Кинетическая энергия твердого тела, движущегося произвольным образом. Пусть твердое тело движется произвольным образом относительно инерциальных осей. Введем поступательно перемещающуюся систему координат начало которой совместим с центром масс тела, и воспользуемся теоремой Кенига (формула (10.5)):

Движение тела относительно поступательно перемещающихся осей представляет собой вращение с угловой скоростью (рис. 10.5). Поэтому кинетическая энергия относительного движения определится формулой (10.9):

где —момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс и совпадающей с вектором угловой скорости

Подставляя значение в выражение для получим

Это равенство представляет математическую запись теоремы Кенига для свободного твердого тела, которую можно прочитать следующим образом: кинетическая энергия твердого тела складывается из кинетической энергии поступательного движения вместе с центром масс и кинетической энергии в его движении относительно центра масс.

В общем случае момент инерции представляет переменную величину.

5. Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении. При плоском движении твердого тела вектор угловой скорости всегда перпендикулярен к плоскости движения, совпадая с поступательно перемещающейся координатной осью (на рис. 10.6 оси не показаны).

Заменив в моменте инерции формулы (10.10) нижний индекс получим выражение для кинетической энергии твердого тела в случае плоского движения:

Ось не меняет своего положения относительно тела, и, следовательно, момент инерции не меняется с течением времени. Это обстоятельство существенно упрощает все вычисления.

Прежде чем перейти к примерам,'сделаем два замечания.

а) При вычислении кинетической энергии твердого тела, движущегося произвольным образом или участвующего в плоском движении, формулы (10.10) и (10.11) не всегда являются самыми простыми. Иногда удобнее пользоваться более общей формулой (10.4).

б) Если материальная система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия будет равна сумме кинетических энергий всех тел, входящих в систему (это непосредственно вытекает из определения):

Рассмотрим примеры на вычисление кинетической энергии материальной системы.

Пример №137

Каток массы лежит на горизонтальной плоскости. Каток обмотан тросом, перекинутым через блок Б радиуса К свободному концу троса прикреплен груз Г массы При опускании груза со скоростью трос, разматываясь, приводит в качение без скольжения каток (рис. 10.7). Определить кинетическую энергию системы, если момент инерции блока относительно оси вращения равен каток считать однородным круглым цилиндром, массой троса пренебречь*

Система состоит из трех тел: катка блока и груза Поэтому ее кинетическая энергия будет равна

где —кинетические энергии катка, блока и груза соответственно. Груз движется поступательно. Его кинетическая энергия согласно формуле (10.7) будет равна

Блок вращается вокруг неподвижной оси. Согласно формуле (10.8) его кинетическая энергия

где — угловая скорость блока.

Скорость точки касания блока с тросом равна скорости груза Следовательно, Отсюда и

Каток участвует в плоском движении. Кинетическую энергию катка найдем по теореме Кеиига (см. формулу (10.11)):

где — скорость центра катка, —угловая скорость катка, — его момент инерции относительно оси (иа рис. 10.7 ось направлена на читателя).

Скорость верхней точки катка равна Точка касания катка с горизонтальной плоскостью является, мгновенным центром скоростей. Поэтому

Угловую скорость найдем из равенства

где — радиус катка. Отсюда

Момент инерции катка относительно его оси определяется формулой

Внося значения в выражение для после очевидных преобразований получим

Теперь находим кинетическую энергию всей системы:

или где величина

называется приведенной массой системы.

Рассмотрим задачу на применение формулы (10.4).

Пример №138

Твердое тело массы вращается вокруг горизонтальной оси (ось перпендикулярна к плоскости рис. 10.8); момент инерции тела относительно оси вращения равен Определить кинетическую энергию тела, если ось подвеса перемещается горизонтально со скоростью (эта скорость может быть переменной).

Построим неподвижные оси и подвижные оси Движение тела относительно осей представляет вращение вокруг оси- Обозначив через угол между осью и прямой где — центр тяжести тела, найдем кинетическую энергию в относительном движении

Модуль скорости точки относительно осей равен (считаем направление скорости показано на рис. 10.8. Скалярное произведение векторов будет Пользуясь формулой (10.4), найдем кинетическую энергию тела

Применение теоремы Кенига потребовало бы больших выкладок, так как нужно было бы определить абсолютную скорость точки и перейти от момента инерции относительно оси к заданному моменту инерции относительно оси

Работа сил, приложенных к материальной системе

В дальнейшем нам нужно будет вычислять суммарную работу внешних и внутренних сил, приложенных к материальной системе. При этом возникает ряд особенностей, на которых полезно остановиться подробнее.

Предположим, что при своем движении материальная система перешла из одного положения, которое она занимала в момент времени в другое положение, соответствующее моменту времени Обозначим Через полную работу, которую совершают при этом перемещении системы все приложенные к ней силы, причем работы внешних и внутренних сил будем обозначать соответственно через так что

Если через обозначить работу, которую совершают внешние и внутренние силы, приложенные к точке системы, при переходе ее из первого положения во второе, то по определению будем иметь

1. Работа сил тяжести. Если материальная система находится в однородном поле тяжести, то на каждую ее точку массой действует внешняя сила элементарная работа которой равна Направим ось вертикально вверх.

Тогда проекции силы будут равны и

Найдем теперь сумму элементарных работ всех сил тяжести, приложенных к системе:

или, учитывая третье равенство (7.3), будем иметь

где —масса всей системы, a — аппликата ее центра тяжести.

Полная работа сил тяжести при переходе системы из первого положения во второе определится равенством

или

В этом равенстве — значения аппликаты центра тяжести системы в ее конечном и начальном положениях, а — вес всей системы.

Таким образом, полная работа сил тяжести системы равна весу всей системы, умноженному на вертикальное перемещение ее центра тяжести.

2. Работа внутренних сил твердого тела. Докажем, что сумма работ всех внутренних сил абсолютно твердого тела на любом его перемещении равна нулю.

Пусть — внутренние силы взаимодействия точек твердого тела (рис. 10.9). По третьему закону Ньютона они равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны:

Составим сумму мощностей этих сил:

где —скорости точек соответственно.

Примем точку за полюс. Тогда согласно известной формуле кинематики

где — угловая скорость тела. Внося это значение для скорости точки в последнее равенство, получим

Скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов равно нулю (так как вектор перпендикулярен к вектору коллинеарному с силой Поэтому

причем полную мощность можно распространить, конечно, на все внутренние силы твердого тела (они входят попарно).

Так как сумма мощностей внутренних сил твердого тела равна нулю, то будет равна нулю и сумма работ этих сил:

что доказывает сделанное утверждение.

Аналогично можно доказать (мы не будем останавливаться на этом), что сумма работ внутренних сил абсолютно гибкой и нерастяжимой нити равна нулю.

3. Работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси. Пусть сила приложена к некоторой точке тела, отстоящей от неподвижной оси вращения на расстоянии Точка приложения силы описывает при движении тела окружность радиуса Разложим силу по осям естественного трехгранника и обозначим ее составляющие через (рис. 10.10). Работа составляющих сил равна нулю, так как эти силы перпендикулярны к перемещению точки их приложения. Следовательно, работа силы равна работе ее касательной составляющей Для элементарной работы будем иметь

где — дифференциал дуговой координаты точки приложения силы, a — дифференциал угла поворота тела.

Учитывая, что произведение равно моменту силы относительно оси вращения тела, получим

т. е. элементарная работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна моменту этой силы относительно оси вращения, умноженному на дифференциал угла поворота тела.

Работа силы на конечном угле поворота определится равенством

где —начальное и конечное значения угла определяющего положение тела (если момент зависит не только от угла поворота но также от угловой скорости и времени то нужно перейти к новой переменной интегрирования).

Если момент внешней силы не изменяется во время движения тела, т. е. то

Деля обе части равенства (10.20) на получим, выражение для мощности силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси:

4. Работа потенциальных сил. Понятие потенциальных, или консервативных, сил, действующих на систему материальных точек, вводится как естественное обобщение понятия потенциальной силы для одной материальной точки.

Позиционные силы, зависящие только от положения системы, называются потенциальными, если работа их на перемещении системы из начального положения в конечное положение не зависит от пути, по которому происходит это перемещение.

Потенциальная энергия определяется как работа всех сил при переходе системы из данного положения в положение, условно принимаемое за нулевое (положение, при котором

где символически обозначают положения системы в данном и нулевом положениях.

Так же как и для одной точки, легко показать, что работа потенциальных сил при перемещении системы из одного положения в другое определяется равенством

где —значения потенциальной энергии системы в ее начальном и конечном положениях.

Потенциальная энергия зависит от координат материальных точек, составляющих систему, т. е.

Предполагается, что функция однозначна и непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно.

Легко показывается, что частные производные от потенциальной энергии, взятые с обратным знаком, равны соответствующим проекциям сил:

Часто можно найти потенциальную энергию отдельных сил, входящих в систему. В этом случае потенциальная энергия системы будет равна сумме потенциальных энергий:

Наконец, во многих случаях полезно разделить потенциальную энергию на энергию внутренних и внешних сил. Общая потенциальная энергия будет равна их сумме:

Так же как и для одной точки, рационально иногда пользоваться силовой функцией которая отличается от потенциальной энергии только знаком:

5. Работа внутренних сил трения скольжения сочлененных тел.

В различных устройствах между движущимися телами возникают силы трения скольжения, и силы приложены к обоим трущимся телам. Вычислим полную работу внутренних сил трения сочлененных тел.

Предположим, что тело движется поступательно со скоростью а тело скользит по нему с относительной скоростью (рис. 10.11). Между этими телами возникают силы трения и работу которых нужно определить.

При указанном на рис. 10.11 направлении относительной скорости сила трения будет приложена к телу а сила трения —к телу Конечно,

Мощность этих сил будет равна

при этом учтено, что абсолютная скорость тела равна (направление скорости тела не имеет значения).

Принимая во внимание равенство (10.29), получим

Сила трения приложенная к телу направлена всегда в сторону, противоположную относительной скорости Следовательно, угол между векторами равен и их скалярное произведение будет равно Таким образом,

т. е. полная мощность внутренних сил трения скольжения двух сочлененных тел равна взятому со знаком минус произведению модуля силы трения на модуль относительной скорости.

Из равенства (10.30) найдем сумму элементарных работ внутренних сил трения

где — элементарное относительное перемещение.

Аналогично доказывается, что для вращающихся сочлененных тел (рис. 10.12) полная мощность и элементарная работа всех внутренних сил трения определяются равенствами

где —модуль момента сил трения относительно оси вращения, — модуль относительной угловой скорости и — элементарное относительное угловое перемещение тела

Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

Рассмотрев методы вычисления работы сил, приложенных к материальной системе, и ее кинетической энергии, перейдем к установлению зависимостей, связывающих эти величины. Для этого освободимся мысленно от связей, заменив их соответствующими реакциями. Обозначим через равнодействующие всех внешних и внутренних сил, приложенных к материальной точке системы. Рассмотрим два момента времени: начальный и текущий (или конечный) Пусть модуль скорости точки в момент времени равняется а в момент времени Тогда для каждой точки материальной системы будет справедлива теорема об изменении кинетической энергии:

где — работа сил на действительном перемещении точки .

Складывая почленно все равенства, получим

или, учитывая выражение для кинетической энергии (10.1),

где — начальное значение кинетической энергии, а — работа всех внешних и внутренних сил системы.

Равенство (10.34) представляет математическую запись теоремы об изменении кинетической энергии материальной системы: изменение кинетической энергии материальной системы при переходе ее из начального в текущее (конечное) положение равно сумме работ на этом перемещении всех внешних и внутренних сил, приложенных к точкам системы.

Продифференцируем равенство (10.34) по времени:

Учитывая, что производная от работы по времени равна мощности силы получим

Это уравнение представляет собой аналитическую запись теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме: полная производная кинетической энергии по времени равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе.

Необходимо подчеркнуть, что в правую часть равенства (10.34) входит работа (в равенство (10.35)— мощность) всех внутренних и внешних сил, приложенных к системе. Рассмотрим несколько простых примеров. При движении автомобиля, оснащенного двигателем внутреннего сгорания, движущей силой является сила трения между ведущими колесами и полотном шоссе (см. рис. 7.1). Без этой силы движение автомобиля осуществить нельзя.

Однако сила трения при отсутствии проскальзывания колес работу не производит (так как эта сила приложена в мгновенном центре скоростей ведущего колеса, элементарное перемещение которого равно нулю). Полезную работу при перемещении автомобиля производят внутренние силы давления газов, образовавшиеся при сгорании горючей смеси.

Точно так же при движении человека по горизонтальному полу или при его подъеме по лестнице движущими силами являются силы трения между полом и подошвами ног человека или реакции ступеней лестницы. Однако полезную работу производят не эти внешние силы, а внутренние мускульные усилия человека.

Прежде чем перейти к задачам, отметим два класса сил, которые не нужно учитывать при применении теоремы об изменении кинетической энергии системы (так как их работа равна нулю):

1. реакции связей без трения;
2. внутренние силы абсолютно твердого тела и абсолютно гибкой и нерастяжимой нити.

С помощью теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме определяют:

скорости точек материальной системы (в тех случаях, когда, зная перемещение системы, можно вычислить работу всех приложенных к ней сил);

работу одной из сил, приложенных к системе (когда по условию задачи скорости точек материальной системы известны или их можно определить другими методами).

Дифференциальная форма теоремы об изменении кинетической энергии системы применяется для составления дифференциальных уравнений движения, а также для определения ускорений (линейных или угловых).

Мы начнем с задачи, иллюстрирующей метод определения скоростей.

Пример №139

В системе, груз под действием силы тяжести опускается из состояния покоя вниз. Определить скорость груза при опускании его на высоту Трением качения катка и трением на оси блока пренебречь.

Рассмотрим внешние силы, действующие на систему. На груз действует сила тяжести на блок действуют сила тяжести и реакция опоры (на рис. 10.13 показаны ее составляющие на каток действуют сила тяжести и реакция горизонтальной плоскости, которая разложена на нормальную составляющую и силу трения (без силы трения каток не катился бы, а скользил). Внутренние силы учитывать не нужно, так как согласно сумма их работ равна нулю.

Применим теорему о конечном изменении кинетической энергии материальной системы:

Воспользуемся выражением для кинетической энергии рассматриваемой системы (10.13):

где приведенная масса определяется равенством (10.14):

Движение начинается из состояния покоя, поэтому Перейдем к вычислению работ сил, приложенных к системе. Работа сил равна нулю, так как точка их приложения неподвижна. Работа силы тяжести катка равна нулю, так как эта сила перпендикулярна к перемещению точки ее приложения Работа нормальной реакции и силы трения равна нулю, так как эти силы приложены в мгновенном центре скоростей катка элементарное перемещение которого Таким образом, осталась одна сила тяжести груза работа которой равна Итак,

Внося выражения для в уравнение энергии и учитывая, что получим

.

Отсюда находим скорость груза в зависимости от высоты

Простота решения задачи объясняется прежде всего тем, что все элементы, входящие в уравнение (10.34) (работа сил и кинетическая энергия системы), вычисляются без интегрирования дифференциальных уравнений. •

Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда с помощью теоремы о конечном изменении кинетической энергии материальной системы вычисляется работа сил.

Пример №140

Космический аппарат вращается вокруг оси проходящей через его центр масс и перемещающейся поступательно относительно инерциальной системы координат. Определить работу, которую необходимо затратить, чтобы с помощью вращающегося маховичка прекратить вращение космического аппарата (см. рис. 9.13). Угловая скорость вращения космического аппарата до запуска маховичка равнялась его момент инерции (без маховичка) относительно оси вращения равен маховик вращается относительно оси его момент инерции относительно этой оси равен .

Маховичок вращается под действием внутренних сил для системы «космический аппарат —маховичок». Характер этих сил нам неизвестен, поэтому вычислить их работу непосредственно мы не можем. Так как работа сил входит в уравнение (10.34), которое при принимает вид

то будет естественно воспользоваться им для определения искомой величины.

Внутренние силы, под действием которых вращается маховичок Г, не изменяют движение центра масс С системы, поэтому при вычислении кинетической энергии достаточно учесть только ее вращательное движение.

Система состоит из двух тел, вращающихся вокруг оси Ее кинетическая энергия определяется равенством

Здесь первое слагаемое — кинетическая энергия аппарата, второе —кинетическая энергия маховичка, — угловая скорость аппарата относительно инерциальной системы координат, —угловая скорость маховичка относительно аппарата. В начальный момент до запуска маховичка Поэтому

В момент прекращения вращения космического аппарата Следовательно, для этого момента времени

Внося эти выражения в получим

где —искомая работа внутренних сил системы.

Для полного решения задачи необходимо знать величину угловой скорости которую нужно сообщить маховичку, чтобы остановить вращение космического аппарата. Для этого достаточно воспользоваться теоремой об изменении момента количеств движения относительно оси . Воспользуемся полученной там формулой (9.49):

После подстановки значения и элементарных преобразований найдем

Такую работу должны совершить внутренние силы системы, приводящие во вращательное движение маховичок, чтобы прекратить вращение космического аппарата (конечно, здесь учтена только полезная работа).

Отметим, что применение теоремы об изменении кинетической энергии позволило вычислить работу внутренних сил, несмотря на то, что нам не известна их аналитическая структура.

В заключение этой лекции рассмотрим задачу на составление дифференциального уравнения движения материальной системы с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.

Пример №141

Груз весом поднимается с помощью электрической лебедки (рис. 10.14). Барабан приводится во вращение электромотором, который создает вращающий момент изменяющийся по закону

где —положительные постоянные, характеризующие мотор, а — угловая скорость барабана.

Моменты инерции блока В и барабана Б относительно их осей вращения соответственно равны радиус блока равен, радиус барабана Определить закон движения груза и натяжение троса. В начальный момент система находилась в покое; массой троса пренебречь.

Для того чтобы определить характер движения груза, нужно прежде всего составить дифференциальное уравнение движения всей системы. Конечно, для этого можно расчленить систему, мысленно разрезав трос, ввести силы натяжения троса и затем составить три дифференциальных уравнения движения: одно для вращения барабана, второе для вращения блока и третье для прямолинейного движения груза. Все уравнения нужно решать совместно, причем прежде всего необходимо исключить силы натяжения троса. Такой метод решения задачи требует хотя и не сложных, но утомительных преобразований.

Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы в дифференциальной форме

представляет большие удобства, так как в это уравнение не войдут силы натяжения троса (сумма работ, а следовательно, и мощностей реакций троса и других внутренних сил равна нулю).

Воспользуемся этим уравнением. Кинетическая энергия рассматриваемой системы

где —кинетические энергии барабана, блока и груза соответственно.

Барабан и блок вращаются вокруг неподвижных осей, поэтому согласно формуле (10.8)

где — угловая скорость блока. Очевидно, что следовательно,

Груз движется прямолинейно и поступательно со скоростью его кинетическая энергия

Подставляя значения в выражение для кинетической энергии системы, получим

где приведенный к оси вращения барабана момент инерции системы определяется равенством

Перейдем к вычислению мощностей. Мощность сил тяжести барабана и блока, а также реакций их опор равна нулю, так как точки приложения этих сил неподвижны. Мощность силы тяжести груза будет

Мощность сил, создающих вращающий момент вычислим по формуле (10.23):

Таким образом,

Подставляя значения в уравнение и учитывая, что в данном примере получим

или, сокращая на

Это дифференциальное уравнение движения системы отличается от рассмотренного ранее уравнения (9.24) только значением входящих в него постоянных. Поэтому воспользуемся решением (9.26) уравнения (9.24), сделав в нем соответствующие замены:

Груз будет подниматься со скоростью

По прошествии некоторого промежутка времени член сделается ничтожно малым и движение груза будет происходить практически с постоянной скоростью

Перейдем к вычислению сил натяжения троса на участке груз —блок. Мысленно разрежем трос и заменим его действие реакцией Теперь груз движется под действием силы тяжести и натяжения троса (рис. 10.15, а). Груз движется вверх с ускорением Состарим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось направленную вертикально вверх.

Имеем

Отсюда

Вычислим производную скорости по времени

и подставим ее в выражение для

Для вычисления силы натяжения троса на участке барабан — блок мысленно разрежем трос в двух местах (на участке барабан —блок и на участке блок — груз), заменив его реакциями (рис. 10.15,6). Составим дифференциальное уравнение вращения блока вокруг неподвижной оси

Учитывая, что получим

Имеем

Пользуясь выражением для найдем натяжение троса на участке барабан — блок

С течением времени множитель станет достаточно малым и в установившемся режиме

Закон сохранения полной механической энергии материальной системы

Из теоремы об изменении кинетической энергии материальной системы вытекает закон сохранения полной механической энергии.

Предположим, что все силы (внешние и внутренние), действующие на систему, консервативны. Пусть система под действием

этих сил перешла из начального в некоторое текущее положение. Обозначим значение кинетической энергии системы в начальном положении через а в рассматриваемом через Применим к этой системе теорему о конечном изменении кинетической энергии:

Так как по условию силы, действующие на систему, консервативны, то будет справедливо равенство (10.25):

где — значения потенциальной энергии в начальном и текущем положениях.

Тогда будем иметь первый интеграл

или

где постоянная

равна начальному значению полной механической энергии (напомним, что полной механической энергией называется сумма потенциальной и кинетической энергий).

Уравнение (10.36) называется интегралом энергии и оно выражает закон сохранения полной механической энергии системы: если система движется под действием одних консервативных сил, то сумма кинетической и потенциальной энергий сохраняет постоянное значение. Интеграл энергии (10.36) и некоторые его обобщения имеют большое значение в теории устойчивости движения *).

Рассмотрим пример на применение интеграла энергии.

Пример №142

Однородный тонкий стержень длиной движется в вертикальной плоскости, скользя своим концом по гладкой горизонтальной прямой (рис. 10.16). Определить угловую скорость движения стержня, если в начальный момент она равнялась и стержень составлял с горизонтом угол

Освободимся мысленно от связи (гладкой горизонтальной плоскости) и заменим ее реакцией Теперь можно считать стержень свободным, находящимся под действием двух вертикально направленных сил: силы тяжести стержня и реакции Работа реакции равна нулю, а сила тяжести —консервативная сила. Поэтому будет справедлив интеграл энергии (10.36):

Выбрав за нулевое положение горизонтальную плоскость, по которой движется точка стержня, найдем потенциальную энергию силы тяжести

где — ордината центра тяжести стержня.

Имеем (см. рис. 10.16)

следовательно,

Кинетическую энергию стержня найдем, пользуясь теоремой Кенига для плоского движения твердого тела (см. формулу (10.11)):

Здесь — скорость центра масс стержня, а — его момент инерции относительно оси, проходящей через точку перпендикулярно плоскости движения.

Согласно формуле (9.6) Кроме того, где —абсцисса центра масс стержня. Так как Внося эти значения для в выражение для кинетической энергии, получим

или

Учитывая полученные выражения для найдем интеграл энергии для рассматриваемой системы

где —постоянная энергии, которую можно найти из начальных условий:

при

здесь — начальное значение проекции скорости центра масс стержня на ось (эта величина по условию задачи не задана).

Внося начальные условия в интеграл энергии, получим

После подстановки найденного значения в интеграл энергии, приведем последний к виду

Покажем, что проекция скорости центра масс стержня остается постоянной во время движения. Действительно, сумма проекций всех внешних сил на неподвижную ось равна нулю. Поэтому согласно третьему следствию теоремы о движении центра масс (см. формулу (8.14))

т. е.

Тогда последнее выражение для интеграла энергии упрощается и принимает вид

Отсюда найдем угловую скорость стержня

В момент падения на горизонтальную плоскость угловая скорость стержня будет

Любопытно отметить, что угловая скорость стержня не зависит от начальной скорости его центра масс (если бы горизонтальная плоскость была не абсолютно гладкой, то это было бы несправедливо).

В заключение этой лекции сделаем одно замечание.

Интеграл энергии в форме (10.36) имеет место для систем, движение которых определяется только консервативными силами. Если, помимо консервативных сил, система подвержена действию сил сопротивления, то происходит убывание полной механической энергии; если же материальная система соединена с источником энергии (например, двигателем), то полная механическая энергия возрастает.

Теорема об изменении кинетической энергии относительного движения

Если движение материальной системы рассматривается в системе координат перемещающейся по данному закону относительно инерциальной системы отсчета, то в правую часть уравнения энергии (10.34) необходимо ввести работу переносных и кориолисовых сил инерции, а в левую часть должна входить кинетическая энергия относительного движения системы. Тогда вместо уравнения (10.34) получим

где — работа переносных и кориолисовых сил инерции. Но в соответствии с результатами работа кориолисовых сил инерции равна нулю. Поэтому уравнение- энергии примет вид

Если подвижные оси координат перемещаются поступательно относительно инерциальной системы отсчета, то последнюю сумму в (10.37) можно упростить. Действительно, в этом случае переносные ускорения всех точек будут одинаковы и равны ускорению начала подвижных осей О, т. е. Имеем (для поступательно движущихся осей

Так как ускорение полюса от индекса суммирования не зависит, то его можно вынести за знак суммы:

Из формулы (7.2) следует где — масса всей системы, а — радиус-вектор ее центра масс в подвижной системе координат. Поэтому

При переходе системы из начального положения в текущее положение сумма работ переносных сил инерции будет равна

где символом обозначена работа переносной силы инерции центра масс, в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы.

Уравнение (10.37) можно записать теперь в следующей форме:

В этом равенстве кинетическая энергия и работа всех сил, включая переносную силу инерции центра масс, вычисляются для движения системы относительно подвижных осей перемещающихся поступательно относительно инерциальной системы отсчета.

В дифференциальной форме уравнение (10.38) принимает вид

где — относительная скорость центра масс.

Если т. е. ускорение полюса постоянно по модулю и направлению, то сила инерции переносного ускорения центра масс будет консервативна с потенциальной энергией

Если, кроме того, силы, приложенные к системе, тоже потенциальны, то будем иметь интеграл энергии

где — потенциальная энергия всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе.

Пример №143

К потолку железнодорожного вагона подвешен физический маятник (твердое тело, имеющее горизонтальную ось вращения, вокруг которой

оно колеблется под действием силы тяжести). В начальный момент маятник удерживался в положении, при котором прямая была горизонтальна (см. рис. 10.17; —ось вращения, —центр масс маятника). Затем маятник был отпущен без начальной скорости. Определить угловую скорость маятника в момент прохождения его центра масс через вертикаль, если масса маятника равна его момент инерции относительно оси вращения равен а железнодорожный вагон движется прямолинейно с постоянным ускорением

Пусть ось укреплена на движущемся вагоне (на рис. 10.17 вагон не показан). Направим подвижную ось горизонтально в сторону ускорения вагона а подвижную ось вертикально вниз. Мысленно будем считать вагон неподвижным, введя одновременно переносную силу инерции центра масс маятника - Кинетическая энергия относительного движения маятника вычисляется по формуле (10.8) как кинетическая энергия твердого тела,, вращающегося вокруг оси

В начальный момент прямая была горизонтальна, в конечный момент—, вертикальна. Работа силы тяжести на заданном перемещении будет равна а работа силы инерции (знак если в начальный момент центр

масс находился на положительной части оси и знак в противоположном случае). Поэтому

отсюда найдем угловую скорость маятника в момент прохождения им вертикали

Для рассматриваемой системы имеет место интеграл энергии (10.41). Примем положение маятника, при котором прямая горизонтальна и ордината точки положительна, за нулевое. Тогда при перемещении маятника из данного положения в нулевое работа сил будет

Следовательно, интеграл энергии (10.41) примет вид

или

где

Динамика тела переменной массы

В теоретической механике, как правило, рассматривается движение материальных систем и твердых тел, масса которых предполагается постоянной. Однако можно привести большое количество примеров, когда при движении тела его масса вследствие присоединения или отделения от него материальных частиц значительно изменяется. Например, на активном участке движения ракеты от нее отделяются продукты сгорания топлива, составляющего значительную часть исходной массы заправленной ракеты на старте. Решение задачи о движении ракеты как о движении тела постоянной массы в этом случае будет неверным.

В связи с этим возникает проблема разработки методов решения задач на движение тел с переменной массой, т. е. задач механики тела переменной массы *).

Понятие тела переменной массы

Перейдем теперь к определению понятия «тела переменной массы».

Будем считать массу материальных точек, из которых состоит тело, постоянной. Исходя из этого, под телом переменной массы будем понимать тело, масса которого изменяется вследствие процесса отделения от него или присоединения к нему материальных точек.

Это значит, что точки, изменяющие массу тела, не возникают и не исчезают, а лишь вводятся в рассмотрение или исключаются из него.

Введенное определение тела переменной массы позволяет; рассматривать механику тела переменной массы как один из разделов механики системы материальных точек, так как все исследования движения такого тела можно выполнить методами классической механики.

В дальнейшем рассматривается только тот случай, когда весьма малы как масса каждой отделяющейся или присоединяющейся точки, так и время между последовательными отделениями или присоединениями точек. Это предположение делает возможным такую предельную идеализацию процесса изменения массы, при которой последняя может быть принята непрерывной и дифференцируемой функцией времени.

Хотя при мгновенном изменении массы тела на величину массы отделяющейся или присоединяющейся частицы скорость тела меняется скачкообразно, величина этого изменения также будет убывать с убыванием массы этой точки и в пределе скорость тела можно считать также непрерывной и дифференцируемой функцией времени.

Пусть масса тела в начальный момент времени равна Обозначим через массу отделившихся частиц к моменту времени и через — массу присоединившихся к телу частиц к этому же моменту времени При непрерывном присоединении и отделении частиц от тела функции будут возрастающими положительными и при

Таким образом, массу тела в момент времени можно определить по формуле

Если то происходит только процесс присоединения частиц; если — только процесс отделения.

Уравнение движения точки переменной массы

Рассмотрим простейший случай, когда тело движется поступательно и, следовательно, его можно принять за материальную точку. Предположим также, что происходит процесс только отделения.

Пусть масса тела в момент времени равна а скорость равна Количество движения тела в этот момент времени равно

Так как рассматривается случай отделения частиц, то масса тела будет уменьшаться. Следовательно, изменение массы за промежуток времени определится равенством

Предположим, что к моменту времени отделившаяся

от тела частица массы приобрела скорость Скорость же тела переменной массы к моменту времени обозначим через

Количество движения тела и отделившейся частицы в момент времени будет

Согласно теореме об изменении количества движения имеем

где — равнодействующая всех сил, приложенных к телу. Перепишем это выражение, используя формулы (11.2) и (11.3):

Отсюда получаем

или

где — ускорение точки, — относительная скорость отделяющейся частицы, —скорость отделяющейся частицы в момент времени

Вектор

называется реактивной силой.

Уравнение (11-4) получено, независимо друг от друга, различными авторами. Обычно это уравнение называют уравнением Мещерского, так как его работа *) оказала наибольшее влияние на развитие механики тела переменной массы.

Количество движения тела переменной массы

Рассмотрим общий случай и не будем считать тело переменной массы материальной точкой. Кроме того, будем считать, что частицы не только отделяются, но и присоединяются к телу.

Переменная масса тела в момент времени определяется равенством (11.1).

Согласно формуле (8.2) количество движения любой системы материальных точек постоянной массы, а следовательно, и твердого тела вычисляется по формуле

где — масса материальной системы, a —скорость центра масс этой системы.

Рассмотрим теперь тело переменной массы. Благодаря процессу присоединения и отделения частиц в теле происходит перераспределение масс и поэтому центр масс тела может не оставаться в какой-либо фиксированной точке тела. Он будет совершать сложное движение: будет двигаться со всем телом (переносное движение) и будет перемещаться по отношению к телу (относительное движение). Так например, по мере выгорания топлива центр масс ракеты перемещается относительно ее корпуса.

Итак, абсолютную скорость центра масс можно представить формулой

где переносная скорость центра масс тела, т. е. скорость той точки тела, с которой в данный момент совпадает центр масс, a — скорость центра масс по отношению к телу, т. е. по отношению к системе координат, жестко связанной с телом.

Рассмотрим наряду с телом переменной массы тело постоянной массы и предположим, что в момент времени массы точек, их расположение и скорости для обоих тел одинаковы. Тогда количество движения определится равенством

где — число точек, составляющих тело, — масса точки, a — ее скорость. Так как, по предположению, массы и скорости точек обоих тел одинаковы, то количества движения этих тел также будут равны.

Поэтому количество движения тела переменной массы будет определяться формулой (8.2), но вместо скорости следует поставить так как для тела переменной массы это и есть скорость той точки тела, с которой совпадает в данный момент времени центр масс тела. Следовательно, количество движения тела переменной массы будет равно

Эта формула, конечно, верна и для тела постоянной массы, так как для этого случая Если тело движется поступательно, то — скорость тела, и, следовательно, количество движения определится формулой

Теорема об изменении количества движения тела переменной массы

Для системы материальных точек постоянной массы теорема об изменении количества движения (см. формулу (8.5)) имеет вид

где — количество движения, —главный вектор всех внешних сил. Эту формулу можно записать в виде

Рассмотрим теперь тело переменной массы. Предположим, что в процессе движения этого тела к нему присоединяются и одновременно отделяются от него частицы. Одновременно с этим телом рассмотрим систему постоянной массы, причем предположим, что в момент времени обе эти системы совпадают, т. е. массы и скорости точек этих систем одинаковы.

Следовательно, количества движения тел переменной и постоянной масс в момент времени будут равны

где — количество движения тела переменной массы.

Пусть к моменту времени от тела отделятся частицы с общей массой, равной и присоединятся частицы с общей массой, равной Тогда в момент времени масса тела будет равна

Если обозначить через количество движения в момент времени всех частиц, отделившихся за время а через — количество движения в момент времени всех частиц, присоединившихся за время то количество движения системы постоянной массы в момент времени будет равно

где — количество движения тела переменной массы в момент времени

Обозначим через скорость в момент времени центра масс отделившихся частиц, а через — скорость в тот же момент времени центра масс присоединившихся частиц; тогда на основании формулы (118), получим

Используя эти выражения, перепишем равенство (11.13) в виде

Подставляя теперь это выражение в формулу (11.10) и учитывая равенство (11.11), получим

или

откуда

где —скорости центров масс соответственно отделяющихся и присоединяющихся частиц в момент времени

Соотношение (11.14) и представляет собой математическую запись теоремы об изменении количества движения тела переменной массы.

Для случая только одного отделения частиц тела

и, следовательно,

Тогда уравнение (11.14) примет вид

Для случая только присоединения частиц

уравнение (11-14) будет

Для случая равенства секундного расхода и секундного прироста масс

и

В заключение этой лекции отметим, что вывод теоремы об изменении количества движения тела переменной массы нами получен в предположении, что отделившиеся частицы сразу же после отделения прекращают свое взаимодействие с точками тела переменной массы,. а влияние присоединившихся частиц начинается только с момента их присоединения к телу.

Уравнение Мещерского

Пусть тело переменной массы движется поступательно, тогда согласно формуле (11.8) имеем

Дифференцируя это соотношение по времени, получим

Так как согласно соотношению (11.1)

a то

Подставляя это выражение в уравнение (11.14), будем иметь

Это уравнение получено И. В. Мещерским и носит его имя. Вектор

называется реактивной силой.

В дальнейшем будем рассматривать только случай отделения частиц, имеющий наибольший технический интерес. Для него уравнение (11.19) сводится к виду

Так как — уесть относительная скорость отделяющихся частиц, а

то предыдущее уравнение движения можно записать следующим образом:

где определяется формулой (11.5). Так как при отделении частиц то реактивная сила направлена в сторону, противоположную направлению скорости

Задача Циолковского

Рассмотрим движение ракеты, запущенной с поверхности Земли вертикально вверх (рис. 11-1). Будем предполагать, что ракета движется поступательно. Движение ракеты будем рассматривать в системе координат с началом в точке пуска, ось которой направлена вертикально вверх.

В проекции на ось уравнение (11.21) будет

так как направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси Здесь представляет собой результирующую силу земного притяжения и силу аэродинамического сопротивления атмосферы. Реактивная сила

будет направлена в сторону положительного направления оси так как

Как уже было сказано, при доказательстве теоремы об изменении количества движения предполагалось, что отделившиеся частицы между собой и телом не взаимодействуют. Но в действительности в отбрасываемой газовой струе частицы взаимодействуют Друг с другом и с ракетой.

Кроме того, «на ракету действует сила атмосферного давления, зависящая от высоты над поверхностью Земли. Эта сила не входит в состав силы аэродинамического сопротивления и не зависит от скорости ракеты

Пусть —-площадь выходного сечения сопла, — давление в газовом потоке на срезе сопла, а — статическое атмосферное давление. Тогда сила, обусловленная давлением газового потока и статическим давлением атмосферы, будет

Прибавляя эту силу к реактивной силе, получим тягу двигателя

При движении в пустоте и тяга будет

Это соотношение записывают в виде

где

Величина называется эффективной скоростью истечения

Таким образом, при решении задачи о движении ракеты нужно вместо уравнения (11 .22) взять следующее:

Решение этого уравнения в общем виде представляет значительные трудности из-за сложности .закона изменения аэродинамического сопротивления, входящего в и находится за рамками курса теоретической механики.

При отсутствии атмосферы это уравнение примет вид

где представляет собой силу тяготения.

Если пренебречь силой притяжения Земли и сопротивлением атмосферы, то уравнение (11.23) упрощается:

Поставленную таким образом задачу впервые решил К. Э. Циолковский.

Предположим, что масса ракеты является непрерывной функцией времени, а эффективная скорость истечения постоянна Отметим, что — стартовая масса ракеты.

Перепишем уравнение движения ракеты в виде

Интегрируя это уравнение, получим

где —произвольная постоянная интегрирования.

По условию, при тогда

и, следовательно,

Итак, скорость ракеты в момент времени равна

Эта формула называется формулой Циолковского.

Пусть к моменту времени произошло полное сгорание топлива в ракете. Скорость ракеты в этот момент времени будет

где — масса ракеты без топлива.

Введем в рассмотрение число Циолковского

тогда формула для скорости ракеты в момент сгорания всего топлива примет вид

Эта формула также называется формулой Циолковского.

Из рассмотрения формулы (11.24) следует, что скорость ракеты в момент, когда весь запас топлива будет израсходован, пропорциональна эффективной скорости истечения газов и натуральному логарифму от числа Циолковского.

Формула Циолковского (11.24) указывает на два возможных пути увеличения скорости ракеты к моменту сгорания топлива. Первый путь —это увеличение эффективной скорости истечения газов, второй путь — увеличение числа Циолковского.

В настоящее время для используемых в ракетах химических топлив эффективная скорость истечения газов и несколько выше. Получение химических топлив, позволяющих получить более высокую эффективную скорость истечения газов, связано с большими трудностями. Увеличение числа также представляет трудную техническую задачу.

Найдем, каким должно быть чтобы ракета к моменту сгорания топлива при получила первую космическую скорость

При рассмотрении этой задачи, запуская ракету с Земли, нужно иметь в виду, что вследствие земного тяготения, сопротивления атмосферы, затрат на осуществление программного движения ракеты фактическая скорость ракеты после сгорания топлива будет меньше скорости, даваемой формулой (11.24). По некоторым данным потери в скорости составляют 10 — 15%. Поэтому определение числа проведем, исходя из необходимости получения скорости

Согласно формуле (11.24) найдем

Это значит, что т. е. стартовая масса ракеты должна быть в 42,5 раза больше массы ракеты без топлива. Иначе говоря, вес топлива должен составлять примерно 98% от стартового веса ракеты. Для современных ракет число Циолковского значительно меньше 42,5.

Как следует из приведенного расчета, получение космических скоростей с помощью одноступенчатой ракеты в настоящее время

вряд ли возможно. Для этих целей используются многоступенчатые ракеты.

Формула Циолковского для многоступенчатой ракеты

На рис. 11.2 приведена примерная схема многоступенчатой ракеты. Многоступенчатая ракета состоит из нескольких ступеней и полезного груза.

После израсходования топлива в ступени она отделяется от остальной конструкции.

Введем понятие субракеты. Под субракетой понимается совокупность работающей ступени, всех неработающих ступеней и полезного груза, причем для данной субракеты все неработающие ступени и полезный груз являются «полезным грузом», т. е. каждая субракета рассчитывается как одноступенчатая ракета. На рис. 11.2 указана нумерация ступеней и субракет.

Применяя формулу Циолковского (11.24) к каждой субракете, получим:

после полной отработки первой ступени скорость второй субракеты

где — эффективная скорость истечения в первой ступени, — число Циолковского для первой субракеты;

после отработки второй ступени скорость третьей субракеты

где — эффективная скорость истечения во второй ступени, —число Циолковского для второй субракеты;

наконец, после отработки ступени скорость полезного груза

где — эффективная скорость истечения из ступени, — число Циолковского для субракеты.

Если приближенно считать, что для всех ступеней относительная скорость истечения одинакова:

то согласно формуле (11.22) будем иметь

где

Для упрощения выкладок положим, что у всех субракет числа Циолковского также одинаковы:

тогда формула (11.26) примет вид

Отсюда видно, что конечная скорость полезного груза пропорциональна числу ступеней (конечно, при условии, что одинаковы).

Найдем число которое должна иметь каждая ракета для достижения полезным грузом скорости

При (одноступенчатая ракета)

при (двухступенчатая ракета)

при (трехступенчатая ракета)

Из этих данных видно, что при реальных числах Циолковского космических скоростей можно достигнуть, применяя только многоступенчатые ракеты.

Пример №144

Ракета движется в однородном поле сил тяжести вертикально вверх с постоянным ускорением (см. рис. 11.1). Сопротивлением атмосферы пренебрегаем. Эффективную скорость истечения газов считаем постоянной. Определить: 1) закон изменения массы ракеты; 2) время за которое массаракеты уменьшится вдвое. Определить также закон изменения массы при отсутствии поля тяготения.

В рассматриваемой задаче —ускорение силы тяжести), иен этому уравнение (11.23) имеет вид

Разделяя в этом уравнении переменные, получим

Интегрируя и принимая во внимание, что стартовая масса ракеты будем иметь

откуда

Для момента времени T по условию задачи

и, следовательно.

Если ракета движется вне поля тяготения, то и

Пример №145

Ракета движется вертикально вверх в однородном поле тяжести. Эффективная скорость истечения газов постоянна. Изменение массы ракеты происходит по закону

— постоянные величины).

К моменту времени топливо сгорает. Определить, при каком значении ракета достигает максимальной высоты подъема *).

Уравнение движения ракеты (11.23) для рассматриваемого случая имеет вид

или

где

Интегрируя, получим

где — начальная скорость ракеты. Считая, что при найдем

Полученное выражение описывает движение ракеты при работающем двигателе.

Пусть масса ракеты после сгорания топлива равна тогда момент времени сгорания найдется из условия

откуда

где —число Циолковского).

Скорость ракеты в момент времени определится из формулы (11.29):

К этому моменту времени высота подъема ракеты согласно уравнению (11.30) будет равна

Начиная с момента времени ракета будет двигаться только под действием силы притяжения Земли. Высота, на которую поднимется ракета после момента времени равна

Таким образом, полная высота подъема ракеты будет

Найдем теперь максимальную высоту подъема, считая функцией Применяя обычный способ отыскания максимума функции, т. е. находя производную от и приравнивая ее нулю, мы определим значение при котором достигается максимальная высота подъема. Эта максимальная высота равна

и достигается при т. е. при мгновенном сгорании топлива. .Мгновенное сгорание топлива влечет за собой бесконечно большое ускорение ракеты в начале движения, и, следовательно, полученное условие максимального подъема ракеты практически невыполнимо и недопустимо.

При постепенном сгорании топлива ускорение ракеты будет конечным, но при этом неизбежен проигрыш в достигаемой высоте. Коэффициент называется коэффициентом перегрузки (давление любого груза в ракете на свою опору точно в раз превосходит величину силы притяжения груза к Земле) *).

Зададимся каким-либо фиксированным значением коэффициента перегрузки Тогда При этом значении высота подъема ракеты будет.

При

Следовательно,

Из этой формулы (формулы Космодемьянского) следует, что уменьшение коэффициента перегрузки влечет за собой уменьшение максимальной высоты подъема ракеты. При она будет на 25% меньше, чем

Пример №146

Ракета движется вертикально вверх с постоянной скоростью «о (см. рис. 11.1); Эффективная скорость истечения газов постоянна. Сила притяжения к Земле обратно пропорциональна квадрату расстояния от ракеты до центра Земли. Сопротивлением атмосферы пренебречь. Определить закон изменения массы ракеты.

Так как для рассматриваемой задачи

то уравнение (11.23) будет иметь вид

По условию задачи скорость ракеты постоянна, т. е.

откуда

При следовательно, и

Подставляя это выражение в соотношение (11.31), получим

Интегрирование дает

Так как при то

Подставляя это значение в предыдущее равенство, найдем после очевидных преобразований за коп изменения массы ракеты

Пример №147

Ракета движется в поле земного тяготения вертикально вверх так, что ее масса изменяется по закону — постоянные величины. Эффективная скорость истечения газов постоянна. Начальная скорость равна нулю Пренебрегая сопротивлением атмосферы, определить скорость ракеты как функцию где —высота подъема ракеты над поверхностью Земли (см. рис. 11.1).

По условию уравнение движения ракеты (11.23) имеет вид

Так как то после подстановки получим

Принимая во внимание, что и умножая обе части полученного уравнения на будем иметь

Интегрируя уравнение

получим

отсюда найдем закон изменения скорости ракеты от высоты ее подъема

или

Кстати вы всегда можете заказать решение задач по теоретической механике.

Учебник онлайн:

1. Аксиомы и теоремы статики
2. Система сходящихся сил
3. Моменты силы относительно точки и оси
4. Теория пар сил
5. Приведение системы сил к простейшей системе
6. Условия равновесия системы сил
7. Плоская система сил
8. Трение
9. Пространственная система сил
10. Центр тяжести
11. Кинематика точки
12. Плоское движение твердого тела
13. Мгновенный центр скоростей
14. Мгновенный центр ускорений
15. Мгновенный центр вращения
16. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки
17. Сложное движение точки
18. Сложение движение твердого тела
19. Кинематика сплошной среды
20. Аксиомы классической механики
21. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
22. Две основные задачи динамики точки
23. Прямолинейное движение точки
24. Криволинейное движение материальной точки
25. Движение несвободной материальной точки
26. Относительное движение материальной точки
27. Геометрия масс
28. Свойства внутренних сил системы
29. Дифференциальное уравнение движения системы
30. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс
31. Теорема об изменении кинетического момента
32. Теорема об изменении кинетической энергии
33. Потенциальное силовое поле
34. Закон сохранения механической энергии
35. Принцип Даламбера
36. Динамические реакции при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси
37. Векторное исчисление
38. Виды связей
39. Параллельные силы
40. Произвольная плоская система сил
41. Равновесие системы, состоящей из нескольких тел
42. Графостатика в теоретической механике
43. Расчет ферм
44. Пространственная система сходящихся сил
45. Момент силы относительно точки и относительно оси
46. Теория пар, не лежащих в одной плоскости
47. Произвольная пространственная система сил
48. Центр параллельных сил и центр тяжести
49. Поступательное движение твердого тела
50. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
51. Сферическое движение твердого тела
52. Плоско-параллельное движение твердого тела
53. Движение твердого тела, имеющего неподвижную точку
54. Движение твердого тела
55. Сложение движений точки
56. Сложение движений твердого тела в теоретической механике - формулы и определения с примерами
57. Динамика материальной точки
58. Движение материальной точки
59. Аналитическая статика
60. Теорема о движении центра инерции
61. Теорема количества движения
62. Теорема моментов количества движения
63. Теорема кинетической энергии
64. Условие равновесия системы сходящихся сил в геометрической форме
65. Условия равновесия системы сходящихся сил в аналитической форме
66. Приведение двух параллельных сил к равнодействующей
67. Пара сил в теоретической механике
68. Приведение системы сил к данной точке
69. Система сил на плоскости
70. Естественный и векторный способы определения движения точки
71. Координатный способ определения движения точки
72. Касательное и нормальное ускорения точки
73. Основные законы динамики
74. Колебания материальной точки
75. Количество движения
76. Момент количества движения
77. Мощность и работа силы
78. Потенциальная энергия
79. Обобщенные координаты системы
80. Сложение двух сил
81. Разложение силы на две составляющие
82. Определение равнодействующей сходящихся сил
83. Равновесие сходящихся сил
84. Равновесие трех непараллельных сил
85. Сочлененные системы
86. Равновесие пространственной системы сходящихся сил
87. Определение положения центра тяжести тела
88. Равномерное прямолинейное движение точки
89. Равномерное криволинейное движение точки
90. Равнопеременное движение точки
91. Неравномерное движение точки по любой траектории
92. Определение траектории, скорости и ускорения точки
93. Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории
94. Равномерное вращательное движение
95. Равнопеременное вращательное движение
96. Неравномерное вращательное движение
97. Плоскопараллельное движение тела
98. Определение передаточных отношений различных передач
99. Задачи на поступательное движение тела
100. Задачи на вращательное движение тела
101. Равновесие тяжелой рамы
102. Расчет составной конструкции
103. Момент силы относительно оси
104. Равновесие вала
105. Определение усилий в стержнях, поддерживающих плиту
106. Тело на сферической и стержневых опорах
107. Приведение системы сил к простейшему виду
108. Плоское движение тела
109. Принцип виртуальных перемещений