Степень с целым показателем с примерами решения

Содержание:

Степень с целым показателем — это степень, показателем которой является любое целое число и эти целые числа могут быть, положительными и отрицательными.

Определение и основные свойства степени с целым показателем

Для любого действительного числа

Для любого действительного числа полагаем

Свойства действий над степенями с целыми показателями

Свойства действий над степенями с целыми показателями сформулированы в следующей теореме.

Теорема 1.

Для любых значений и при любых целых и верны равенства:

Сформулируем также теорему о возведении в степень обеих частей неравенства.

Теорема 2.

Пусть и — неотрицательные числа, — натуральное число. Тогда:

1. если то
2. если то

Доказательство:

Проведем доказательство методом от противного.

Допустим, что неравенство неверное. Тогда верно одно из двух соотношений: или .

Если , то . Это противоречит условию.

Если , то согласно первой части этой теоремы . Опять получили противоречие с условием.

Значит,

Пример №1

Сравнить числа и 9.

Решение:

Поскольку и верно неравенство , т. е. , то по теореме 2 будет верным и неравенство , т. е. .

Ответ: .

Пример №2

Известно, что . Верно ли неравенство ?

Решение:

Если , то из верного неравенства следует, что верно и неравенство .

Если , то гарантировать, что, когда верно неравенство , будет верным и неравенство , нельзя. Например, неравенство верное, а неравенство неверное.

Следствие:

Пусть и — числа одного знака, — натуральное число. Тогда, если , то .

Доказательство:

Проведем его методом от противного. Допустим, что , например .

Если и — положительные числа, то согласно теореме 2 верно неравенство . Получили противоречие с условием. Значит, . Если и — отрицательные числа, то и — положительные числа, и если , то, как только что было доказано, , а значит,

И Заметим, что при использовании этого следствия необходимо проверять совпадение знаков и при четном , а при нечетном такой необходимости нет.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №3

Верно ли, что , если:

а) ; б)?

Решение:

а) Верно, если и — числа одного знака, и неверно, если они разных знаков. Например, — верное числовое равенство, но равенство — неверное.

б) Поскольку число и его нечетная степень всегда имеют один и тот же знак, то из того, что — верное числовое равенство, следует равенство чисел и .

Пример №4

Выполнить действия:

а) ; б) .

Решение:

а ).

б) .