Системы случайных величин - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Системы случайных величин или случайные векторы:

При изучении случайных явлений в зависимости от их сложности приходится использовать два, три и большее число случайных величин.

Например, 1) попадание снаряда в цель определяется не одной, а двумя случайными величинами: абсциссой и ординатой точки попадания, 2) случайное отклонение точки разрыва снаряда при дистанционной стрельбе определяется комплексом трех случайных величин: тремя координатами этой точки.

Определение 57. Совместное рассмотрение двух или нескольких случайных величин приводит к системе случайных величин или к случайному вектору.

(X, Y) - двумерный случайный вектор или система двух СВ.

Изучать систему - значит изучать сами случайные величины, ее составляющие; связи и зависимости между ними.

Геометрическая интерпретация системы: 1) систему двух случайных величин (X, У) рассматривают как случайную точку на плоскости (Охх) или как случайный вектор с составляющими X, У; 2) систему трех случайных величин (X, У, Z) рассматривают как случайную точку на плоскости (Оxyz) или как случайный вектор с составляющими X, У; Z и т.д.

В зависимости от типа случайных величин, образующих систему, могут быть дискретные, непрерывные и смешанные системы.

Определение 58. Двумерный случайный вектор (X, У) называется вектором дискретного типа (СВДТ), если множество его возможных значений не более, чем счетно.

Определение 59. (первое определение) Двумерный случайный вектор (X, У) называется вектором непрерывного типа (СВНТ), если множество его возможных значений непрерывно заполняет некоторую область плоскости (Оху)-

Определение 60. Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.

Законы распределения СВДТ и СВНТ

Таблица распределения - закон распределения СВДТ:

Рассмотрим двумерный случайный вектор (X, У), где X и У - дискретные случайные величины с возможными значениями

Пример:

Из цифр 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 наудачу отбирают две цифры. Х - число четных цифр в выборке, Y - число нечетных. Описать закон распределения.

Решение.

X (четные) - 2, 4, 6, 8; Y ( нечетные) - 1, 3, 9. Следовательно, возможные значения X :  (нет четных цифр), (одна цифра четная), (обе цифры четные); возможные значения Y :  (нет нечетных цифр), (одна цифра нечетная), (обе цифры нечетные). Найдем вероятности.

(0 четных, 0 нечетных) = 0, не выбираем ни одной цифры, а по условию выбираем две цифры. Аналогично, (выбираем всего одну цифру либо нечетную, либо четную), (выбираем три цифры вместо двух по условию), (выбираем четыре цифры вместо двух по условию).

 — (обе цифры нечетные),

— (одна четная, одна нечетная),

— (обе цифры четные).

Таблица распределения имеет вид:

Проверка: 

Пример:

Дана таблица распределения случайного вектора (X, Y). Получить ряды распределения для Х и Y отдельно.

Решение.

, (складываем по строкам), следовательно, 

Проверка: 

, (складываем по столбцам), следовательно, 

Проверка: 

Функция распределения - закон распределения СВДТ и СВНТ

Функция распределения - универсальный закон распределения случайных векторов как дискретного, так и непрерывного типа.

Определение 61. Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов F(x,y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств: X < х, Y < у, т.е. 

Геометрически F(x,y) представляет вероятность попадания случайной точки (X,Y) в левый нижний бесконечный квадрант плоскости с вершиной в точке (х,у).

 - для СВДТ

Свойства F(x;y).

1. Условие согласованности:

Пояснение. Отодвигая одну из границ квадранта в бесконечность, получаем полуплоскость, вероятность попадания в которую есть функция распределения одной случайной величины.

2. 

Пояснение. Квадрант обращается во всю координатную плоскость, попадание случайной точки в которую есть достоверное событие.

3. 

Пояснение. Отодвигая ту или иную границу квадранта в (), убеждаемся, что вероятность случайной точки попасть в квадрант равна нулю.

4. F(x, у) - неубывающая функция по каждому аргументу.

5. Вероятность попадания случайной точки (X, У) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле:

Определение 62. (второе определение) Двумерный случайный вектор называется случайным вектором непрерывного типа (СВНТ), если его функция распределения непрерывна на всей плоскости и существует неотрицательная и интегрируемая по Риману в бесконечных пределах по х, у функция , называемая плотностью распределения СВНТ.

Пример №1

Найти функцию распределения, если случайный вектор задан таблицей распределения:

Решение.

Случайный вектор дискретного типа, следовательно, 

Плотность распределения (Для СВНТ)

Определение 63. (первое определение) Плотностью распределения системы двух непрерывных случайных величин называется предел отношения вероятности попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник к площади прямоугольника, когда оба его размера стремятся к нулю:

Распишем интервальную вероятность с помощью функции распределения:

Правая часть равенства - определение смешанной производной функции двух переменных F(x, у), отсюда следует

Определение 64. (второе определение) Плотностью распределения системы двух непрерывных случайных величин называется смешанная частная производная от функции распределения системы:

Отсюда, 

Геометрически  можно изобразить некоторой поверхностью, которую называют поверхностью распределения.

Вероятность попадания случайной точки в некоторую область D плоскости (Oxy) находится по формуле:

Геометрически вероятность попадания случайной точки в область D плоскости (Oxy) изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного поверхностью распределения и опирающегося на эту область.

Свойства плотности

1.  - неотрицательная функция, т.е. 

2. Условие нормировки: 

Пример №2

Дана плотность распределения непрерывного вектора

Найти: 1) коэффициент а, 2) функцию распределения F(x, у), 3) вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами в точках O(0,0), A(0,1),

Решение.

1) Для вычисления коэффициента а применим условие нормировки:

2) По определению 

3) Вероятность попадания в прямоугольник.

1 способ: 

2 способ (по 5 свойству):

Пример №3

Дана плотность распределения непрерывного вектора  Найти вероятность того, что случайная точка принадлежит треугольнику с вершинами в точках O(0,0), A(1,2), B(0,1).

Решение.

Плотность распределения задана в квадрате. Область пересечения квадрата с заданным треугольником заштрихованный треугольник, ограниченный снизу прямой сверху - прямой , причем, , следовательно, 

Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему

Пусть известна плотность распределения случайного вектора. Согласно свойству 1 (условие согласованности) для функции распределения , можем записать, что,

Отсюда, дифференцированием первого равенства по х, а второго по у, получим, что плотности распределения одной из величин равны интегралу от плотности распределения системы в бесконечных пределах по аргументу, соответствующему другой случайной величине:

Ставится вопрос, как по известным законам распределения отдельных величин, входящих в систему, найти закон распределения системы. В общем случае эта задача не разрешима, но, с другой стороны, закон распределения системы должен содержать все сведения о величинах, входящих в систему, в том числе и сведения о том, как они связаны между собой.

Определение 65. Случайные величины X и Y, входящие в систему, называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае, они называются зависимыми.

Теорема. Для того, чтобы дискретные случайные величины X и Y , входящие в систему, были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

Для того, чтобы непрерывные случайные величины X и Y , входящие в систему, были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

Пример №4

Дана плотность распределения непрерывного вектора:

Зависимы или независимы случайные величины, входящие в систему?

Решение.

Представим плотность в виде произведения:

, следовательно, по теореме, X и Y - независимые величины.

Пример №5

Дано распределение дискретных независимых случайных величин Х и Y:

Записать закон распределения случайного вектора (Х + Y).

Решение.

Найдем возможные значения случайного вектора (Х+ Y): 1 + 3 = 4, 2 + 3 =5, 1+5 = 6, 2 + 5 = 7.

Найдем их вероятности, пользуясь условием независимости:

Следовательно, ряд распределения случайного вектора (Х + Y) имеет вид:

Замечание. Одним из наиболее простых распределений системы двух непрерывных величин является равномерное распределение.

Определение 66. Система двух непрерывных случайных величин имеет равномерное распределение в области D плоскости (Оху), если плотность распределения в точках области D постоянна и равна нулю в остальных точках плоскости:

В силу свойства 2 плотности имеем, что , где  - площадь области D. Тогда вероятность попадания случайной точки в некоторую область плоскости (Охy) находится по формуле:

Определение 67. Пусть Х и Y независимые величины, распределенные по нормальному закону, их плотности распределения имеет вид:

Следовательно, плотность распределения системы (Х,Y) на основании теоремы умножения плотностей распределения для случая независимых величин получим в виде

Если X и Y зависимы между собой, то закон распределения системы не может быть выражен через законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему, что привело к введению условных законов распределения.

Определение 68. Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина, входящая в систему, приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

Обозначим G (х,у) - множество возможных значений случайного вектора (X, Y).

Рассмотрим СВДТ.

Условный закон распределения случайной компоненты X при условии, что Y приняла определенное значение у называется совокупность возможных значений и соответствующих этим значениям условных вероятностей определяемых равенством:

Рассмотрим CBHT.

Условный закон распределения случайной компоненты X при условии, что Y приняла определенное значение у :

Теорема (умножения законов распределения):

Условие нормировки: 

Условие независимости Х от Y:

Числовые характеристики системы

Определение 69. Начальным моментом порядка случайного вектора (X,Y) называется математическое ожидание произведения -ой степени Х на         s-ую степень Y:

Математическое ожидание дискретных случайных величин Х и Y, входящих в систему:

определяют координаты точки, называемой центром рассеивания системы на плоскости.

Определение 70. Центральным моментом порядка случайного вектора (Х,Y) называется математическое ожидание произведения -ой и s-ой степеней соответствующих центрированных величин:

Дисперсия случайных величин X и Y, входящих в систему - характеристика рассеивания случайной точки в направлении осей (ох) и (оу):

Дисперсия дискретных случайных величин Х и Y, входящих в систему:

Дисперсия непрерывных случайных величин Х и Y, входящих в систему:

Замечание. Для краткого описания условных законов распределения используются различные характеристики, наиболее важной из которых является математическое ожидание:

Определение 71. Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины X при условии, что Y принимает одно из своих возможных значений , называется сумма произведений возможных значений Х на их условные вероятности:

Для непрерывной случайной величины X:

Аналогично, вводится понятие условного мат. ожидания для СВ Y.

Пример №6

По некоторой цели производится два выстрела. Вероятность попадания при одном выстреле равна р. Рассмотрим две случайные величины: X - число попаданий в цель, Y - число промахов. Составить таблицу распределения, записать функцию распределения системы F(x,y) и найти числовые характеристики

Решение.

Случайный вектор дискретного типа, следовательно, 

Пояснение: 

Ковариация, корреляция и линии регрессии

Особую роль при исследовании системы играет второй смешанный центральный момент.

Определение 72. Второй смешанный центральный момент называется корреляционным или моментом связи или ковариацией:

Теория корреляции решает две задачи: 1) установление формы связи между случайными величинами, 2) определение тесноты и силы этой связи.

, помимо рассеивания, характеризует взаимное влияние случайных величин X и Y, входящих в систему. Для оценки степени влияния используется не сам момент, а безразмерное соотношение, которое называется нормированной ковариацией или коэффициентом корреляции:

 - коэффициент корреляции двух случайных компонент X и Y случайного вектора.

(Иногда его обозначают как ).

Средние квадратические отклонения случайных величин X и Y равны

Определение 17. X и Y называются некоррелированными случайными величинами, если их коэффициент корреляции , и коррелированными, если отличен от нуля.

Свойства коэффициента корреляции

Свойства коэффициента корреляции :

1. Если X и Y - независимые СВ, то (X и Y некоррелированные случайные величины). Обратное утверждение неверно, так как X и Y могут быть зависимыми, но при этом

2. 

3. В случае говорят о положительной корреляции X и Y , что означает: при возрастании одной из них другая тоже имеет тенденцию в среднем возрастать. Например, вес и рост человека.

4. В случае говорят об отрицательной корреляции X и Y , что означает: при возрастании одной из них другая имеет тенденцию в среднем убывать. Например, время, потраченное на подготовку прибора к работе и количество неисправностей, обнаруженных при его работе.

Взаимная связь двух случайных величин, помимо , может быть описана с помощью линий регрессии. Действительно, хотя при каждом значении Х = х величина У остается случайной величиной, допускающей рассеивание своих значений, однако зависимость Y от X сказывается часто в изменении средних размеров Y при переходе от одного значения х к другому. С изменением х будет изменяться и Это означает, что можно рассматривать функцию областью определения которой является множество возможных значений случайной величины X. Эта функция носит название регрессии Y и X.

Аналогично, зависимость Х от Y описывает функция

- уравнения регрессии

Линии, определенные этими уравнениями, называются кривыми или линиями регрессии. (Вводятся лишь для непрерывных СВ, для ДСВ линии будут состоять из точек.)

Если обе линии регрессии - прямые, то корреляционную зависимость называют линейной (линейная корреляция). Для нормально распределенного случайного вектора (X,Y) уравнения регрессии линейные:

Связь коэффициента корреляции и линий регрессии

1) Если , то линии регрессии наклонены вправо.

2) Если , то линии регрессии наклонены влево.

3) Если , то линии регрессии проходят параллельно осям координат.

4) Если, , то линии регрессии сливаются в одну линию, а случайные величины X и Y связаны между собой линейной функциональной зависимостью , причем знак коэффициента корреляции () или () берется в зависимости от знака (+ или -) коэффициента а, который называется коэффициентом регрессии.

Часто пишут уравнение в виде: и называют его уравнением парной регрессии, где коэффициент регрессии

Определение 73. Ковариационной матрицей случайного вектора называется симметрическая действительная матрица, элемент которой представляет собой ковариации соответствующих пар компонент: 

Определение 74. Корреляционной матрицей случайного вектора называется нормированная ковариационная матрица 

Пример №7

Дано уравнение парной регрессии Выберите правильный коэффициент корреляции:

Решение.

Из рассмотрения исключаем так как по 2 свойству Коэффициент регрессии а = 2, т.е. со знаком «+», следовательно,

Замечание. Можно было знак  определить с помощью следующего рассуждения: возьмем два возрастающие значения х: , тогда , т.е. с возрастанием х возрастает у, отсюда, , следовательно,

Пример №8

Дано уравнение парной регрессии Найти .

Решение.

Из формулы выразим . Получим .

Свойства математического ожидания и дисперсии

1. X, Y как зависимые, так и независимые случайные величины, тогда

2. 

Если X, Y - некоррелированные, то

Если X, Y- независимые, то

3. 

Если X, Y- некоррелированные, то

4. Если X, Y-независимые, то 

Пример №9

Даны законы распределения случайных величин X, Y:

Найти

Решение.

.