Системы линейных уравнений с двумя переменными с примерами решения

Содержание:

Системы линейных уравнений с двумя переменными

• В этом параграфе вы познакомитесь с уравнениями с двумя переменными и их системами. Изучите некоторые методы их решения.
• Вы узнаете, что уравнение с двумя переменными может служить математической моделью реальной ситуации.
• Овладеете новым эффективным методом решения текстовых задач.

Уравнения с двумя переменными

Рассмотрим несколько примеров реальных ситуаций.

Пример:

Расстояние между Киевом и Харьковом равно 450 км. Из Киева в Харьков со скоростью

Построим математическую модель этой ситуации.

Путь, пройденный вторым автомобилем до встречи, равен км. Поскольку первый автомобиль находился в пути на 1 ч дольше второго, то он до встречи проехал км.

Имеем:

Это равенство с двумя переменными является математической моделью вышеописанной реальной ситуации.

Рассмотрим еще несколько примеров ситуаций, математическими моделями которых служат равенства с двумя переменными.

Пример:

Площадь квадрата со стороной 10 см равна сумме площадей двух других квадратов.

Если длины сторон этих квадратов обозначить см и см, то получим равенство

Пример:

Дан прямоугольный треугольник.

Если градусные меры его острых углов обозначить и , то можно записать

Пример:

Дан прямоугольник, площадь которого равна 12 см². Обозначим длины его сторон см и см. Тогда

Пример:

Купили 5 ручек и 7 тетрадей. За всю покупку заплатили 19 руб.

Если одна ручка стоит руб., а одна тетрадь — руб., то

Как видим, все полученные в примерах 1-5 равенства

содержат по две переменные и . Такие равенства называют уравнениями с двумя переменными.

Если, например, в уравнение вместо и подставить числа 2 и 6, то получим верное равенство В этом случае говорят, что пара значений переменных удовлетворяет данному уравнению или что эта пара является решением этого уравнения.

Определение. Пару значений переменных, обращающую уравнение в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.

Так, для уравнения каждая из пар чисел

является его решением, а, например, пара его решением не является.

Обратим внимание на то, что данное определение похоже на определение корня уравнения с одной переменной. В связи с этим распространена ошибка: называть каждое число пары или саму пару, являющуюся решением, корнем уравнения с двумя переменными.

Тот факт, что пара является решением уравнения, принято записывать так: является решением уравнения. В скобках на первом месте пишут значение переменной , а на втором — значение переменной .

Используя такое обозначение, можно, например, записать, что каждая из пар чисел является решением уравнения

Три указанные пары далеко не исчерпывают все решения этого уравнения. Если вместо переменной подставлять в уравнение любые ее значения, то будем получать линейные уравнения с одной переменной, корнями которых будут соответственные значения переменной . Понятно, что так можно получить бесконечно много пар чисел, являющихся решениями уравнения

Уравнение с двумя переменными не обязательно имеет бесконечно много решений. Например, уравнение имеет только одно решение — пару чисел (0; 0), поскольку а уравнение вообще решений не имеет.

Заметим, что мы решили каждое из уравнений и но при этом уравнение нами не решено.

Решить уравнение с двумя переменными — это значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.

Свойства уравнений с двумя переменными запомнить легко: они аналогичны свойствам уравнений с одной переменной, которые вы изучали в б классе.

• Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, имеющее те же решения, что и данное.
• Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, имеющее те же решения, что и данное.
• Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, имеющее те же решения, что и данное.

Рассмотрим уравнение Преобразуем его, используя свойства уравнений. Имеем:

Поскольку то левая часть уравнения обращается в нуль только при одновременном выполнении условий: Отсюда пара чисел (1; -1) — единственное решение данного уравнения.

Изучая какой-то объект, мы стремимся не только описать его свойства, но и составить о нем наглядное представление. График функции — характерный тому пример. Поскольку решением уравнения с двумя переменными является пара чисел, например то совершенно естественно изобразить это решение в виде точки на координатной плоскости. Если изобразить все решения уравнения, то получим график уравнения.

Определение. Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения.

Например, графиком уравнения является единственная точка М( 1; -1) (рис. 43).

На рисунке 44 изображен график функции Поскольку формула, задающая линейную функцию, является уравнением с двумя переменными, то также можно сказать, что на рисунке 44 изображен график уравнения

Подчеркнем, что если какая-то фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия:

1) все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику;

2) координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, которая является решением данного уравнения.

Семейства графиков уравнений очень разнообразны. Изучая курс алгебры, вы будете знакомиться с их представителями. Например, в 8 классе вы узнаете, что графиком рассмотренного в начале пункта уравнения является фигура, изображенная на рисунке 45. Она называется гиперболой. А в 9 классе вы сможете доказать, что графиком уравнения является окружность (рис. 46).

Пример:

Постройте график уравнения

Запишем данное уравнение в виде

Следовательно, решениями данного уравнение являются все пары чисел вида где — произвольное число, и все пары чисел вида где — произвольное число.

Все точки, координаты которых имеют вид где — произвольное число, образуют ось абсцисс.

Все точки, координаты которых имеют вид где — произвольное число, образуют прямую, проходящую через точку (-3; О) параллельно оси ординат.

Следовательно, графиком данного уравнения является пара прямых, изображенных на рисунке 47.

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида где — переменные, — некоторые числа.

Уравнения знакомые вам по предыдущему пункту, являются линейными. Вот еще примеры линейных уравнений:

Выясним, какая фигура является графиком линейного уравнения. Для этого рассмотрим три случая.

СЛУЧАЙ 1

Рассмотрим линейное уравнение где Это уравнение можно преобразовать так:

Поскольку то запишем

Введем обозначения: Теперь можно записать

Мы получили формулу, задающую линейную функцию. Следовательно, графиком уравнения где является прямая.

Пример:

Постройте график уравнения

Решение:

Мы уже знаем, что графиком этого уравнения является прямая. Поэтому достаточно определить координаты двух любых ее точек. Имеем: если то если то Теперь через точки и проведем прямую (рис. 50).

Эта прямая и является искомым графиком.

СЛУЧАЙ 2

Пусть есть линейное уравнение в котором Получаем Построение графика уравнения такого вида рассмотрим на примере.

Пример:

Постройте график уравнения

Решение:

Легко найти несколько решений этого уравнения. Вот, например, четыре его решения: Ясно, что любая пара чисел вида (2; ), где — произвольное число, является решением. Следовательно, искомый график содержит все точки, у которых абсцисса равна 2, а ордината — любое число. Все эти точки принадлежат прямой, перпендикулярной оси абсцисс и проходящей через точку (2; 0) (рис. 51).

При этом координаты любой точки этой прямой — пара чисел, являющаяся решением данного уравнения. А значит, указанная прямая и является искомым графиком.

Рассуждая аналогично, можно показать, что графиком уравнения где является прямая, перпендикулярная оси абсцисс.

Теперь можно сделать такой вывод: в каждом из двух случаев: — графиком уравнения является прямая.

Часто, например, вместо предложения «дано уравнение » говорят «дана прямая ».

СЛУЧАЙ 3

Пусть в линейном уравнении Имеем

Если то это уравнение не имеет решений, а следовательно, на координатной плоскости не существует точек, которые могли бы служить графиком уравнения.

Если то уравнение принимает вид:

Любая пара чисел является его решением. Значит, в этом случае график уравнения — вся координатная плоскость. Следующая таблица подытоживает материал, рассмотренный в этом пункте.

Пример:

Выразите из уравнения переменную через переменную и найдите каких-нибудь два решения этого уравнения.

Решение:

Имеем:

Придавая переменной произвольные значения и вычисляя по полученной формуле соответственное значение , можем найти сколько угодно решений данного уравнения

Например,

Пример:

Постройте график уравнения

Решение:

Запишем данное уравнение в виде Отсюда получаем уравнение Его решения — пары чисел вида где — произвольное число. Графиком этого уравнения является прямая, проходящая через точку (-2; 0) и перпендикулярная оси абсцисс (рис. 52).

Пример:

Составьте линейное уравнение с двумя переменными, графиком которого является прямая, проходящая через начало координат и точку

Решение:

Так как график искомого уравнения проходит через точки и имеющие разные абсциссы, то он является невертикальной прямой. Тогда уравнение этой прямой можно записать в виде где — некоторые числа.

Из того, что график проходит через начало координат, следует, что Так как график проходит через точку то откуда

Значит, искомое уравнение имеет вид или

Ответ:

Как строили мост между геометрией и алгеброй

Идея координат зародилась очень давно. Ведь уже в древности люди изучали Землю, наблюдали звезды, а по результатам своих исследований составляли карты, схемы.

Во II в. до н. э. древнегреческий ученый Гиппарх впервые использовал идею координат для определения местоположения объектов на поверхности Земли.

Лишь в XIV в. французский ученый Никола Орем (около 1323—1392) впервые применил в математике идею Гиппарха: он разбил плоскость на клетки (как разбит ваш тетрадный листок) и стал задавать положение точек широтой и долготой.

Однако огромные возможности применения этой идеи были раскрыты только в XVII в. в работах выдающихся французских математиков Пьера Ферма (1601 — 1665) и Рене Декарта (1596— 1650). В своих трудах эти ученые показали, как благодаря системе координат можно переходить от точек к числам, от линий к уравнениям, от геометрии к алгебре.

Несмотря на то, что П. Ферма опубликовал свое сочинение годом раньше, чем Р. Декарт, ту систему координат, которой мы сегодня пользуемся, называют декартовой. Это связано с тем, что Р. Декарт в своей работе «Рассуждения о методе» изобрел новую удобную буквенную символику, которой с небольшими изменениями мы пользуемся и сегодня. Вслед за ним мы обозначаем переменные последними буквами латинского алфавита а коэффициенты — первыми: Привычные нам обозначения степеней и т. п. также ввел Р. Декарт.

Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Легко проверить, что пара чисел является решением как уравнения так и уравнения В таких случаях говорят, что пара чисел — общее решение указанных уравнений.

На рисунке 59 изображены графики уравнений Они пересекаются в точке Эта точка принадлежит каждому из графиков. Следовательно, пара чисел является общим решением данных уравнений.

Если поставлена задача найти стороны прямоугольника, площадь которого равна 12 см², а периметр 14 см, то понятно, что надо найти общее решение уравнений и где см и см — длины соседних сторон.

Если требуется найти все общие решения нескольких уравнений, то говорят, что нужно решить систему уравнений.

Систему уравнений записывают с помощью фигурной скобки.

Так, запись

является математической моделью задачи о поиске сторон прямоугольника, площадь которого равна 12 см², а периметр 14 см.

Система

— это математическая модель задачи о поиске координат общих точек двух прямых (рис. 59).

Оба уравнения этой системы являются линейными. Поэтому эту систему называют системой двух линейных уравнений с двумя переменными.

Определение. Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую каждое уравнение в верное равенство.

Из примера, приведенного в начале пункта, следует, что пара чисел является решением системы

Однако это совершенно не означает, что данная система решена.

Определение. Решить систему уравнений — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Пара чисел не исчерпывает всех решений последней системы. Например, пара чисел — тоже решение. Эту систему, как и систему, полученную в задаче о прямоугольнике, вы научитесь решать в 9 классе. А вот систему

мы можем решить уже сейчас. Очевидно, что первое уравнение этой системы решений не имеет, а значит, не существует и общего решения уравнений, входящих в систему. Отсюда следует вывод: система решений не имеет.

Также можно считать решенной систему

Действительно, графики уравнений системы пересекаются в точке (рис. 59). Ее координаты являются решением каждого уравнения системы, а значит, и самой системы. Других общих точек графики уравнений не имеют, а следовательно, не имеет других решений и сама система. Вывод: пара чисел (1; 3) — единственное решение системы.

Описанный метод решения системы уравнений называют графическим. Его суть состоит в следующем:

• построить на одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;
• найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;
• полученные пары чисел и будут искомыми решениями. Не всякую систему уравнений выгодно решать графически. Например, если пара чисел является решением какой-то системы, то понятно, что установить этот факт графически крайне сложно. А потому графический метод обычно применяют в тех случаях, когда решение достаточно найти приближенно. А то, что пара чисел (1; 3) является решением системы подтверждает непосредственная подстановка этой пары в каждое из уравнений системы, то есть проверка.

Графический метод эффективен в тех случаях, когда требуется определить количество решений системы. Например, на рисунке 60 изображены графики некоторых функций Эти графики имеют три общие точки. Это позволяет нам утверждать, что система имеет три решения.

Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнений, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости:

• если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение;
• если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений;
• если прямые параллельны, то система решений не имеет. Случай, когда система имеет единственное решение, мы уже рассмотрели. Теперь обратимся к примерам, которые иллюстрируют две другие возможности.

Так, если в системе

обе части первого уравнения умножить на 2, то решения этого уравнения, а значит, и всей системы не изменятся.

Имеем:

Очевидно, что решения этой системы совпадают с решениями уравнения Но это уравнение имеет бесконечно много решений, а следовательно, и рассматриваемая система имеет бесконечно много решений. Приведем пример системы, которая не имеет решений:

Действительно, умножим обе части первого уравнения системы на 3. Получим:

Понятно, что не существует такой пары значений и , при которых выражение одновременно принимает значения и 6, и 7.

Подчеркнем, что именно графический метод нам подсказал, что не существует системы линейных уравнений, имеющей, например, ровно 2, или ровно 3, или ровно 100 и т. п. решений?

Решение систем линейных уравнений методом подстановки

Если математикам встречается новая задача, то, как правило, они пытаются ее решение свести к уже известной задаче.

Покажем, как решение системы линейных уравнений с двумя переменными можно свести к решению линейного уравнения с одной переменной. А последняя задача вам хорошо знакома.

Решим систему уравнений

Из первого уравнения выразим переменную через переменную . Имеем:

Подставим во второе уравнение системы вместо переменной выражение Получим систему

Эта и исходная системы имеют одни и те же решения. Примем здесь этот факт без обоснований. Вы можете рассмотреть доказательство этого факта на занятиях математического кружка.

Второе уравнение последней системы является уравнением с одной переменной. Решим его:

Подставим найденное значение переменной в уравнение Получим:

Пара чисел — искомое решение.

Описанный здесь способ решения системы называют методом подстановки.

Итак, чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, нужно:

1. выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;
2. подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;
3. решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
4. подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;
5. вычислить значение другой переменной;
6. записать ответ.

Эту последовательность действий, состоящую из шести шагов, можно назвать алгоритмом решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки.

Решение систем линейных уравнений методом сложения

Рассмотрим еще один способ, позволяющий свести решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными к решению линейного уравнения с одной переменной.

Решим систему уравнений

Поскольку в этой системе коэффициенты при переменной — противоположные числа, то уравнение с одной переменной можно получить, сложив почленно левые и правые части уравнений системы. Запишем:

Подставим найденное значение переменной в любое из уравнений системы, например, в первое. Получим:

Итак, решением системы является пара чисел

Описанный способ решения системы называют методом сложения.

Этот метод, как и любой другой математический метод, нуждается в обосновании его законности. Примем без доказательства, что метод сложения дает верные результаты. Вы можете рассмотреть доказательство этого факта на занятии математического кружка.

Решим еще одну систему:

Если мы сложим почленно левые и правые части уравнений системы, то вновь получим уравнение с двумя переменными. Данная система еще «не готова» к применению метода сложения.

Умножим обе части первого уравнения на -3. Получим систему, решения которой совпадают с решениями исходной системы:

Для такой системы метод сложения уже является эффективным:

Подставим найденное значение в первое уравнение исходной системы. Имеем:

Пара чисел (4; -1) — искомое решение.

Рассмотрим систему, в которой сразу два уравнения нужно подготовить к применению метода сложения:

Чтобы исключить переменную , умножим обе части первого уравнения на число 5, а второго — на число -8 и применим метод сложения:

Подставив найденное значение в первое уравнение данной системы, получим:

Следовательно, пара чисел (-1; 2) — решение данной системы.

Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так:

1. подобрав «выгодные» множители, преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2. сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге;
3. решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
4. подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
5. вычислить значение другой переменной;
6. записать ответ.

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Рассмотрим задачи, в которых системы двух линейных уравнений с двумя переменными используют как математические модели реальных ситуаций.

Пример:

На пошив одного платья и 4 юбок пошло 9 м ткани, а на пошив 3 таких же платьев и 8 таких же юбок — 21 м ткани. Сколько ткани требуется для пошива одного платья и одной юбки отдельно?

Решение:

Пусть на одно платье идет м ткани, а на одну юбку — м. Тогда на одно платье и 4 юбки идет м ткани, что по условию составляет 9 м. Следовательно,

На 3 платья и 8 юбок требуется м ткани, или 21 м. Значит,

Имеем систему уравнений:

Решив эту систему, получаем: Следовательно, на пошив одного платья пойдет 3 м ткани, а одной юбки — 1,5 м. Ответ: 3 м, 1,5 м.

Пример:

Из города А в город В, расстояние между которыми 264 км, выехал мотоциклист. Через 2 ч после этого навстречу ему из города В выехал велосипедист, который встретился с мотоциклистом через 1 ч после своего выезда. Найдите скорость каждого из них, если за 2 ч мотоциклист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист за 5 ч.

Решение:

Пусть скорость мотоциклиста равна км/ч, а велосипедиста — км/ч. До встречи мотоциклист двигался 3 ч и проехал км, а велосипедист — соответственно 1 ч и км. Всего они проехали 264 км. Тогда

Велосипедист за 5 ч проезжает км, а мотоциклист за 2 ч — км, что на 40 км больше, чем км. Тогда

Получили систему уравнений:

решением которой является пара чисел

Следовательно, скорость мотоциклиста равна 80 км/ч, а велосипедиста — 24 км/ч.

Ответ: 80 км/ч, 24 км/ч.

Пример:

Стол и стул стоили вместе 680 руб. После того как стол подешевел на 20 %, а стул подорожал на 10 %, они стали стоить вместе 580 руб. Найдите первоначальную цену стола и первоначальную цену стула.

Решение:

Пусть первоначальная цена стола составляла руб., а стула — руб. Тогда по условию

Новая цена стола составляет 80 % первоначальной и равна руб. Новая цена стула составляет 110% первоначальной и равна руб. Тогда

Получили систему уравнений:

Решением этой системы является пара

Следовательно, первоначальная цена стола была 560 руб., а стула — 120 руб.

Ответ: 560 руб., 120 руб.

Пример:

Сколько граммов 3 % -ного и сколько граммов 8 % -ного растворов соли надо взять, чтобы получить 500 г 4 %-ного раствора?

Решение:

Пусть первого раствора надо взять г, а второго — г. Тогда по условию

В 3 % -ном растворе содержится 0,03 г соли, а в 8 % -ном — 0,08 г соли. В 500 г 4 %-ного раствора содержится 500-0,04 = 20 (г) соли. Следовательно,

Составим систему уравнений:

решив которую, получим

Значит, надо взять 400 г 3 %-ного раствора и 100 г 8 %-ного раствора.

Ответ: 400 г, 100 г.

Пример:

У Петра были купюры по 5 руб. и по 20 руб. Он говорит, что купил велосипед за 255 руб., отдав за него 20 купюр, а Василий говорит, что такого быть не может. Кто прав?

Решение:

Пусть было купюр по 5 руб. и купюр по 20 руб. Тогда

Решением этой системы является пара в которой , что не соответствует смыслу задачи, так как количество купюр может быть только натуральным числом.

Ответ: прав Василий.

---7 класс

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Существует немало задач, решая которые, получают уравнения, содержащие не одну, а несколько переменных.

В данном разделе мы выясним, что такое линейное уравнение с двумя переменными и его решение, что такое система двух линейных уравнений с двумя переменными и ее решение, каковы основные способы решения систем линейных уравнений с двумя переменными.

— система двух линейных уравнений с двумя переменными;

— решение этой системы уравнений.

Уравнения с двумя переменными

Вы уже умеете решать линейные уравнения с одной переменной и уравнения, приводимые к линейным. Напомним, что линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида — некоторые числа, а — переменная.

Рассмотрим пример, который приводит к уравнению с двумя переменными.

Пусть известно, что сумма некоторых двух чисел равна 8. Если одно из чисел обозначить через , а второе — через , то получим уравнение

которое содержит две переменные: и . Такое уравнение называют уравнением с двумя переменными.

Уравнения

также являются уравнениями с двумя переменными. Первые два из этих уравнений являются уравнениями вида — числа. Такие уравнения называют линейными уравнениями с двумя переменными.

Определение:

Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида — переменные, — некоторые числа (коэффициенты уравнения).

Решения уравнения с двумя переменными

Рассмотрим уравнение При это уравнение превращается в верное числовое равенство 2 + 6=8. Говорят, что пара значений переменных является решением уравнения

Определение:

Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений переменных, при которых уравнение превращается в верное числовое равенство.

Решениями уравнения являются и такие пары чисел:

Сокращенно эти решения записывают так: (4; 4); (4,5; 3,5); (10;-2). В этих записях на первом месте пишут значение переменной , а на втором — значение переменной . Это связано с тем, что переменную условно считают первой переменной, а переменную — второй.

Чтобы найти решение уравнения с двумя переменными, можно подставить в уравнение любое значение одной переменной и, решив полученное уравнение с одной переменной, найти соответствующее значение другой переменной. Для примера найдем несколько решений уравнения

Мы нашли два решения (7; 1) и (-3; 11). Выбирая другие значения переменной , получим другие решения уравнения. Уравнение имеет бесконечно много решений.

Искать решения уравнений с двумя переменными можно иным способом, который обусловливается свойствами уравнений.

Свойства уравнений с двумя переменными

Свойства уравнений с двумя переменными такие же, как и уравнений с одной переменной, а именно:

1. В любой части уравнения можно выполнить тождественные преобразования выражений (раскрыть скобки, привести подобные слагаемые).
2. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
3. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Рассмотрим уравнение

Используя свойства уравнений, выразим из этого уравнения одну переменную через другую, например, через . Для этого перенесем слагаемое в правую часть, изменив его знак на противоположный:

Разделим обе части полученного уравнения на 2:

Используя формулу можно найти сколько угодно решений данного уравнения. Для этого достаточно взять любое значение и вычислить соответствующее значение . Пары некоторых соответствующих значений и представим в виде таблицы.

Пары чисел каждого столбика — решения уравнения

Примеры решения упражнений:

Пример №161

Найти все значения коэффициента при которых одним из решений уравнения является пара чисел (-1; 2).

Решение:

Если пара чисел (-1; 2) является решением уравнения , то должно выполняться равенство Решим полученное уравнение с переменной

Ответ.

График линейного уравнения с двумя переменными

Рассмотрим уравнение

Решениями этого уравнения являются, например, пары чисел (0;-1) и (2; 2). Этим решениям на координатной плоскости соответствуют точки с координатами (0;-1) и (2; 2). Если на координатной плоскости отметим все точки, координаты которых являются решениями уравнения то получим график этого уравнения.

График уравнения с двумя переменными образуют все точки координатной плоскости, координаты которых являются решениями данного уравнения.

Чтобы выяснить, что является графиком уравнения выразим из него переменную через переменную:

Формулой задается линейная функция, графиком которой является прямая. Если то если то Проведем через точки (0; -1) и (2; 2) прямую (рис. 38), получим график функции . Эта прямая является и графиком уравнения

Вообще, графиком уравнения в котором хотя бы один из коэффициентов или не равен нулю, является прямая.

Чтобы построить график такого уравнения, можно: 1) выразить переменную через переменную (если это возможно) и построить график соответствующей линейной функции или 2) найти два решения уравнения, отметить на координатной плоскости точки, соответствующие этим решениям, и провести через них прямую.

На рисунках 39 и 40 изображены графики линейных уравнений, в которых один из коэффициентов при переменных равен 0:

Графиком уравнения является график функции , то есть прямая, параллельная оси и проходящая через точку (0; 2).

Решениями уравнения являются все пары чисел в которых а — любое число. Точки координатной плоскости, соответствующие таким решениям, образуют прямую, параллельную оси и проходящая через точку (3; 0).

Для тех, кто хочет знать больше

Уравнение в котором имеет вид Если то любая пара чисел является решением этого уравнения, а его графиком является вся координатная плоскость. Если то уравнение не имеет решении и его график не содержит ни одной точки.

Примеры решения упражнений:

Пример №162

Построить график уравнения

Решение:

Сначала найдем два решения уравнения.

Пусть тогда: — решение.

Пусть тогда: — решение.

Решения уравнения можно представлять в виде таблицы.

На координатной плоскости отмечаем точки (0; 2) и (2; -3) и проводим через них прямую. Эта прямая является искомым графиком.

Пример №163

Построить график уравнения

Решение:

Данное уравнение содержит одну переменную . Если нужно построить график такого уравнения, то считают, что оно является линейным уравнением с двумя переменными и , в котором коэффициент при переменной равен 0, то есть Графиком уравнения является прямая параллельная оси и проходящая, например, через точку (0; -1,5).

Системы линейных уравнений с двумя переменными и их решении

Рассмотрим задачу.

В 7-А и 7-Б классах вместе 56 учеников, причем в 7-А классе на 4 ученика больше, чем в 7-Б. Сколько учеников в каждом классе?

Для решения задачи обозначим количество учеников 7-А класса через , а количество учеников 7-Б класса — через . По условию задачи, в 7-А и 7-Б классах вместе 56 учеников, то есть В 7-А классе на 4 ученика больше, чем в 7-Б, поэтому разность равна 4: Имеем два линейных уравнения с двумя переменными:

И в первом, и во втором уравнениях переменные обозначают одни и те же величины — количество учеников 7-А и 7-Б классов. Поэтому нужно найти такие значения переменных, которые обращают в верное числовое равенство и первое, и второе уравнения, то есть нужно найти общие решения этих уравнений.

Если нужно найти общие решения двух уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему уравнений.

Систему уравнений записывают с помощью фигурной скобки. Систему линейных уравнений с двумя переменными, составленную по условию нашей задачи, записывают гак:

Общим решением обеих уравнений этой системы является пара значений переменных поскольку равенства 30 + 26 = 56 и 30 - 26 = 4 являются верными. Эту пару чисел называют решением системы уравнений.

Определение

Решением системы двух уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, при которых каедое уравнение сисгемы превращается в верное числовое равенство.

Решить систему уравнений — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Решение систем линейных уравнений графическим способом

Решим систему уравнений

Построим в одной системе координат графики обоих уравнений системы. На рисунке 44 прямая АВ — график уравнения а прямая CD — график уравнения Координаты любой точки прямой АВ являются решением первого уравнения системы, а координаты любой точки прямой CD являются решением второго уравнения. Любая общая точка этих прямых имеет координаты, которые являются решением как первого, так и второго уравнений, то есть являются решением системы. Поскольку прямые АВ и CD пересекаются в единственной точке М(-2; 1), то система уравнений имеет единственное решение Это решение можно записывать и в виде пары (-2; 1).

Способ решения систем линейных уравнений, который мы только что использовали, называют графическим.

Чтобы решить систему линейных уравнений графическим способом, нужно построить графики уравнений системы в одной системе координат и найти координаты общих точек этих графиков.

Если в каждом из уравнений системы хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, то графиками таких уравнений являются прямые. Поскольку прямые могут пересекаться, совпадать или быть параллельными, то такие системы уравнений могут иметь одно решение, бесконечно много решений или не иметь решений.

• Заказать решение задач по высшей математике

Примеры решения упражнений:

Пример №164

Решить графически систему уравнений

Решение:

Построим графики обоих уравнений системы.

Графики пересекаются в единственной точке — точке М(3; 2). Следовательно, система уравнений имеет единственное решение (3; 2).

Примечание. Чтобы не ошибиться, определяя по графикам координаты точки М, следует проверить, действительно ли найденные координаты являются решением системы. Проверим: если то и — верные равенства. Пара (3; 2) является решением системы уравнений.

Пример №165

Сколько решений имеет система уравнений

Решение:

Построим графики уравнений системы.

Графики совпадают. Система уравнений имеет бесконечно много решений.

Пример №166

Сколько решений имеет система уравнений

Решение:

Построим графики уравнений системы.

Графиками уравнений являются параллельные прямые (поскольку ). Система уравнений решения не имеет.

Решение систем линейных уравнений способом подстановки

Рассмотрим верное равенство 7 + 2 = 9. Если в этом равенстве число 2 заменить числовым выражением 2(3 - 2), значение которого равно 2, то получим верное равенство 7 + 2(3 - 2) = 9. Наоборот, если в верном равенстве 7 + 2(3 - 2) = 9 выражение 2(3 - 2) заменить его значением 2, то получим верное равенство 7 + 2 = 9.

На этих свойствах числовых равенств базируется решение систем линейных уравнений способом подстановки. Рассмотрим пример.

Пусть нужно решить систему уравнений

Из первого уравнения системы выразим переменную через переменную :

Подставим во второе уравнение системы вместо выражение

Получим систему

Системы (1) и (2) имеют одни и те же решения (доказательство в рубрике «Для тех, кто хочет знать больше»). Второе уравнение системы (2) имеет только одну переменную . Решим его:

В первое уравнение системы (2) подставим вместо число 2 и найдем соответствующее значение :

Пара чисел (2; -1) — решение системы (2), а также и системы (1).

Способ, использованный при решении системы (1), называют способом подстановки.

Чтобы решить систему линейных уравнений способом подстановки, нужно:

1. выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2. подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3. решить полученное уравнение с одной переменной;

Для тех, кто хочет знать больше

Докажем, что системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.

Пусть пара чисел — любое решение системы (1). Тогда верными являются числовые равенства а поэтому и равенство Заменим в равенстве число выражением получим верное равенство Поскольку равенства являются верными, то пара чисел является решением системы (2). Мы показали, что любое решение системы (1) является решением системы (2).

Наоборот, пусть пара чисел — любое решение системы (2). Тогда верными являются числовые равенства Заменим в равенстве выражение числом получим верное равенство Из равенства следует, что Поскольку равенства и являются верными, то пара чисел является решением системы (1). Мы показали, что любое решение системы (2) является решением системы (1).

Таким образом, системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Следовательно, решая систему уравнений (1), мы заменили ее равносильной системой (2).

Примеры решения упражнений:

Пример №167

Решить систему уравнений

Решение:

Выразим из первого уравнения переменную через переменную :

Подставим во второе уравнение системы вместо выражение решим полученное уравнение:

Найдем соответствующее значение переменной :

Ответ. (-2; -3).

Пример №168

При каких значениях коэффициента система уравнений не имеет решения?

Решение:

Выразим из второго уравнения переменную через переменную :

Подставив в первое уравнение системы вместо выражение получим уравнение:

Далее получаем:

Последнее уравнение не имеет корней только в случае, если коэффициент при равен нулю: При этом значении система уравнений не имеет решения.

Ответ.

Пример №169

Графиком функции является прямая, проходящая через точки Задать эту функцию формулой.

Решение:

Прямая является графиком линейной функции. Пусть искомая линейная функция задается формулой где — пока что неизвестные числа. Поскольку график функции проходит через точки то должны выполняться два равенства

Решив систему уравнений найдем: Следовательно, функция задается формулой

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Рассмотрим два верных равенства:

Сложим почленно эти равенства: левую часть с левой и правую с правой:

Снова получили верное равенство. Это свойство верных числовых равенств лежит в основе способа решения систем уравнений, который называют способом сложения.

Рассмотрим пример:

Пусть нужно решить систему уравнений

Сложим почленно левые и правые части уравнений:

Заменим одно из уравнений системы (1), например, первое, уравнением Получим систему

Системы (1) и (2) имеют одни и те же решения (доказательство в рубрике «Для тех, кто хочет знать больше»). Решим систему (2). Из первого уравнения находим: . Подставив это значение во второе уравнение, получим:

Пара чисел (5; 3) — решение системы (2), а также и системы (1). Решая систему (1), мы воспользовались тем, что в уравнениях коэффициенты при переменной являются противоположными числами и после почленного сложения уравнений получили уравнение с одной переменной .

Решим еще одну систему уравнений

В этой системе уравнений коэффициенты при переменной и коэффициенты при переменной не являются противоположными числами. Однако, умножив обе части первого уравнения на 2, а второго — на -3, получим систему

в которой коэффициенты при — противоположные числа. Сложив почленно уравнения последней системы, получим:

Подставив значение в первое уравнение системы (3), находим:

Следовательно, решением системы (3) является пара чисел (-4; 6).

Чтобы решить систему линейных уравнении способом сложения, нужно:

1. умножить обе части уравнений системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обеих уравнениях системы стали противоположными числами;
2. сложить почленно левые и правые части уравнений;
3. решить полученное уравнение с одной переменной;
4. найти соответствующее значение другой переменной.

Для тех, кто хочет знать больше

Докажем, что системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.

Пусть пара чисел — любое решение системы (1), тогда верными являются числовые равенства Сложив эти равенства, получим верное равенство Поскольку равенства верны, то пара чисел является решением системы (2). Мы показали, что любое решение системы (1) является решением системы (2).

Наоборот, пусть пара чисел — любое решение системы (2), тогда верными являются числовые равенства Вычтем из первого равенства второе. Получим верное равенство Поскольку равенства и верны, то пара чисел является решением системы (1). Мы показали, что любое решение системы (2) является решением системы (1).

Таким образом, системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.

Примеры решения упражнений:

Пример №170

Решить способом сложения систему уравнений

Решение:

Умножим обе части первого уравнения системы на -2. Получим систему

Почленно сложив уравнения последней системы, получим:

Подставим в первое уравнение системы вместо число 3 и решим полученное уравнение:

Ответ. (-2;3)

Решение задач с помощью систем уравнений

Вы уже решали задачи с помощью уравнений с одной переменной. Решим задачу, составив систему уравнений.

Задача:

Скорость моторной лодки по течению реки 24 км/ч, а против течения — 19 км/ч. Каковы скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки?

Решение:

Пусть скорость лодки в стоячей воде км/ч, а скорость течения реки — км/ч. Скорость лодки по течению реки (24 км/ч) равна сумме ее скорости в стоячей воде и скорости течения реки, поэтому получаем уравнение

Скорость лодки против течения реки (19 км/ч) равна разности скорости лодки в стоячей воде и скорости течения реки, поэтому

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти такие значения и , которые удовлетворяли бы и первое, и второе уравнения, то есть которые удовлетворяли бы системе этих уравнений:

Решив систему, получим:

Ответ. Скорость лодки в стоячей воде 21,5 км/ч; скорость течения реки 2,5 км/ч.

Эту задачу можно было бы решить, составив уравнение с одной переменной. Однако для составления такого уравнения пришлось бы провести более сложные рассуждения.

Чтобы решить задачу с помощью систем уравнений, поступают так:

1. обозначают некоторые две неизвестные величины буквами;
2. используя условие задачи, составляют два уравнения с выбранными неизвестными;
3. записывают систему этих уравнений и решают ее;
4. отвечают на поставленные в задаче вопросы.

Примеры решения упражнений:

Пример №171

Если открыть кран теплой воды на 7 мин, а потом кран холодной — на 3 мин, то в ванную нальется 54 л воды. Если же открыть кран теплой воды на 8 мин, а потом кран холодной — на 6 мин, то в ванную нальется 72 л воды. Сколько литров воды наливается в ванную через каждый кран за минуту?

Решение:

Пусть за 1 мин через первый кран (теплой воды) наливается л воды, а через второй кран (холодной воды) — л. Тогда за 7 мин через первый кран нальется л воды, а через второй кран за 3 мин — л. В результате, по условию задачи, в ванной будет 54 л воды. Получаем уравнение:

Во втором случае за 8 мин через первый кран нальетсял воды, а через второй кран за 6 мин — л. что, по условию задачи, равно 72 л воды. Имеем второе уравнение:

Получили систему уравнений

Решим эту систему способом сложения:

Из первого уравнения системы находим :

Ответ. 6 л; 4 л.

Интересно знать

В книге «Геометрия», вышедшей в 1637 году, известный французский математик Рене Декарт (1596-1650) предложил новый метод математических исследований — метод координат. Суть этого метода в том, что каждой геометрической фигуре на координатной плоскости ставят в соответствие уравнение или неравенство, которые удовлетворяют координаты каждой точки фигуры и только они. Так, каждой прямой ставят в соответствие уравнение этой прямой вида Если, например, нужно доказать, что некоторые две прямые являются параллельными, то достаточно записать уравнения обеих прямых и доказать, что система этих уравнений не имеет решения. Как видим, геометрическая задача благодаря методу координат сводится к алгебраической задаче. Такое нововведение Декарта дало начало новой геометрии, которую сейчас называют аналитической геометрией.

Рене Декарт родился в департаменте Турень (Франция) в семье дворян. После получения образования служил офицером в армии Мориса Оранского, принимал участие в Тридцатилетней войне. Завершив военную службу, Декарт поехал в Голландию, где написал большую часть своих научных трудов и завоевал славу великого ученого.

Декарт сделал ряд открытии, которые стали поворотными пунктами во всей математике. Он ввел понятия переменной величины и функции, прямоугольной системы координат, которую мы на его честь называем еще прямоугольной декартовой системой координат.

С уравнениями с несколькими переменными связана одна из самых известных математических теорем, о которой длительное время ведутся разговоры и в среде, далекой от математики. Речь идет о Великой теореме Ферма. Эта теорема утверждает, что уравнение с тремя переменными вида не имеет решении в целых числах, если показатель степени

Как выяснилось, в этом простом, на первый взгляд, математическом утверждении скрыта чрезвычайная сложность. Причина же огромного ажиотажа, разгоревшегося вокруг теоремы Пьера Ферма, такова.

В 1636 году в книге Диофанта Александрийского (III в.) «Арифметика», которую Ферма часто перечитывал, делая пометки на ее широких полях, и которую сохранил для потомков его сын, была сделана запись, что он, Ферма, имеет доказательство теоремы, но оно слишком большое, чтобы его можно было разместить на полях.

С этого времени начался поиск доказательства, поскольку в других материалах Ферма его так и не обнаружили.

Кто только не пробовал доказать теорему. Практически каждый математик считал своим долгом заняться Великой теоремой, но усилия были тщетными. За доказательство брались и самые известные математики XVII-XX веков. Эйлер доказал теорему для степеней Лежандр — для Дирихле — для В общем же виде теорема оставалась недоказанной.

В начале XX в. (1907) зажиточный немецкий любитель математики Вольфекель завещал сто тысяч марок тому, кто предложит полное доказательство теоремы Ферма. Через некоторое время появились доказательства для показателя степени потом для Многим математикам казалось, что они нашли доказательство, но потом в этих «доказательствах» находили ошибки.

Были и попытки опровергнуть Великую теорему путем поиска хотя бы одного решения уравнения при Но даже перебор целых чисел с использованием компьютеров не давал результата — при каких бы значениях теорему не проверяли, она всегда оказывалась верной.

Только в 1995 году английскому профессору математики из Принстонского университета (США) Эндрю Уайлсу удалось доказать Великую теорему. Доказательство было напечатано в одном из ведущих математических журналов и заняло весь номер — более ста листов.

Таким образом, только в конце XX в. весь мир признал, что на 360 году своей жизни Великая теорема Ферма, которая на самом деле все это время была гипотезой, стала-таки доказанной теоремой.

К своему триумфу Уайлс шел более тридцати лет. О теореме Ферма случайно узнал в десятилетнем возрасте, и с тех пор заветная мечта доказать ее не оставляла Эндрю ни на минуту. К счастью, у него хватило здравого смысла, чтобы не пойти путем тысяч упрямых энтузиастов, которые настойчиво старались решить проблему элементарными средствами. Только через двадцать лет, имея уже докторскую степень и занимая должность профессора математики в Принстоне, Уайлс решил отложить все дела и заняться осуществлением своей мечты. Ему удалось доказать Великую теорему Ферма и тем самым решить самую популярную математическую головоломку последних веков.

Отечественные математики

Феофан Прокопович — один из известнейших мыслителей конца XVII - начала XVIII в., профессор и ректор Киево-Могилянской академии, общественный и церковный деятель. Философ и математик, поэт и публицист, он оставил после себя большое количество работ. Писал на латыни, на украинском, русском, польском языках, делал переводы книг и комментировал их.

Феофан Прокопович был одним из наиболее образованных людей своего времени. Его библиотека насчитывала около 30 тысяч книг, написанных на разных языках.

Родился Феофан Прокопович в Киеве 7 июня 1681 года в семье купца. Он рано потерял родителей, и его опекуном стал дядя по матери, ректор Киево-Могилянской академии Феофан Прокопович. Дядя отдал своего семилетнего племянника в начальную школу при Киево-Братском монастыре, а через три года — в Киево-Могилянскую академию. Во время учебы юноша был одним из лучших учеников, не раз побеждал в научных диспутах.

Стремясь углубить свои знания, семнадцатилетний Феофан Прокопович отправился в лрадиционное для того времени научное путешествие. Два года находился во Львове, читал студентам лекции по поэтике и риторике. После этого поехал в Рим, где поступил в коллегию св. Афанасия.

В 1702 году Феофан Прокопович возвращается в Украину. С 1704 года он преподает философию в Киево-Могилянской академии. Его любимым предметом была математика. Поэтому в курс философии он включил два математических курса — арифметику и геометрию, написав оригинальные учебники по этим предметам.

В 1707 году Феофана Прокоповича избирают заместителем ректора, с 1711 по 1715 год он был ректором Киево-Могилянской академии. В 1715 году по приказу царя Феофан Прокопович отправился в Петербург, где принимал участие в создании Петербургского университета и Российской академии наук.

Самым весомым математическим трудом Феофана Прокоповича является курс лекций по математике, теоретические сведения в котором на то время были самыми полными в царской России.

Почетное место в истории математики занимает наш соотечественник Михаил Остроградский. Он был членом Туринской, Петербургской, Римской, Американской и Французской Академий Наук. Слава его была настолько велика, что родители, желая поощрить своих детей к обучению, убеждали их словами: «Учись, и будешь, как Остроградский».

Михаил Остроградский родился в 1801 году в Полтавской губернии в семье помещика. Уже в детские годы он проявлял удивительную любознательность, и наблюдательность, но учился в Полтавской гимназии, куда его отдали в девять лет, посредственно по всем предметам. Михаил мечтал о карьере военного и очень обрадовался, когда отец решил забрать его из гимназии и устроить в один из гвардейских полков. В последний момент по совету одного из родственников, который заметил большие способности мальчика, было решено продолжить учебу. В шестнадцать лет Остроградский стал студентом Харьковского университета.

В 1818 году Остроградский сдал экзамены за курс университета, а в 1820 году — экзамены на звание кандидата наук. Но университетские власти, считая Остроградского «неблагонадежным», отказались присудить ему ученую степень и даже лишили диплома об окончании университета.

И все же Остроградский стал известным ученым, академиком. Неудача только разожгла в нем желание упорно работать. Он едет в Париж и там посещает лекции Коши, Лапласа, Пуассона и других выдающихся математиков. Общение с французскими учеными, изучение их работ приводит Остроградского к собственным открытиям. Его работы публикуются в журнале Парижской Академии наук. Слухи о больших успехах Остроградского дошли и на родину.

В 1828 году Остроградский вернулся в царскую Россию. В Петербурге он преподавал математику в Главном педагогическом институте, Морском кадетском корпусе и в Михайловском артиллерийском училище.

Михаил Остроградский написал много математических работ, среди которых есть работы по алгебре и теории чисел, он является автором нескольких учебников, а теоремы и формулы Остроградского изучают студенты математических специальностей всех университетов мира.

Дмитрий Граве родился в 1863 году в городе Кириллове около Вологды (Россия), окончил физико-математический факультет Петербургского университета (1885).

Будучи студентом, Дмитрий Граве занимался научной работой, был инициатором издания журнала «Записки физико-математического кружка Петербургского университета», где были напечатаны его первые работы.

После защиты магистерской роботы в 1889 году Граве становится приват-доцентом Петербургского университета.

В 1897 году Дмитрий Граве защитил докторскую диссертацию и переехал в Украину. Сначала он работал профессором Харьковского университета и Харьковского технологического института.

В 1902 году профессор Граве возглавил кафедру чистой математики Киевского университета, где и продолжалась почти вся eго научно-педагогическая деятельность.

В 1905-1915 годах Дмитрий Граве разработал несколько учебных курсов, относящиеся в основном к алгебре и теории чисел, наиболее весомыми из которых являются «Элементарный курс теории чисел» и «Элементы высшей алгебры». Он развил на математическом отделении Киевского университета семинарскую форму занятий со студентами.

В конце 1933 года был организован Институт математики Академии наук УССР, первым директором которого стал Граве.

Большой заслугой Дмитрия Граве является создание первой всемирно признанной алгебраической школы.

Работы Михаила Кравчука, которых он написал более 180, относятся к разным разделам математики, в частности к алгебре и теории чисел. Введенные им специальные многочлены сейчас известны математикам как многочлены Кравчука. Он является автором важных работ по истории математики, многих учебников для высшей и средней школ. Много сил, энергии, таланта отдал Михаил Кравчук образованию, сделал важный вклад в развитие украинской математической терминологии.

Михаил Кравчук родился 30 сентября 1892 года в селе Човницы (теперь Волынская область) в семье землемера.

В 1910 году золотой медалист Луцкой гимназии становится студентом физико-математического факультета Киевского университета им. св. Владимира.

В 1915-1917 годах Кравчук выезжает в Москву на специальные студии, где сдает магистерские экзамены. В 1918 году его избирают приват-доцентом Киевского университета.

В 1924 году Михаил Кравчук защищает докторскую диссертацию. На протяжении 1927-1938 гг. работает в высших учебных заведениях Киева. Со времени образования в Киеве Института математики (1933 г.) и до начата 1938 года возглавляет в нем отдел математической статистики.

Михаил Кравчук был организатором первой математической олимпиады школьников (1935 г.).

В сентябре 1938 года Кравчук был арестован сталинским режимом, его обвинили в украинском буржуазном национализме. Приговор — тюремное заключение сроком на 20 лет. Далее — Магадан, где в марте 1942 года Михаил Кравчук и умер.