Железнодорожный состав состоит из 𝑡 вагонов, каждый из которых с вероятностью 𝑝0 имеет дефект. Все вагоны осматривают

		Высшая математика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16189
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

• Железнодорожный состав состоит из 𝑡 вагонов, каждый из которых с вероятностью 𝑝0 имеет дефект. Все вагоны осматривают независимо друг от друга 2 осмотрщика, первый из них обнаруживает дефект (если он есть) с вероятностью 𝑝1, а второй – с вероятностью 𝑝2. Если ни в одном из вагонов не обнаружено дефекта, состав отправляется в рейс. Найти вероятность события 𝐴 = {в рейс идет состав, в котором хотя бы один дефектный вагон}.

Решение

Основное событие 𝐴 = {в рейс идет состав, в котором хотя бы один дефектный вагон}. Определим сперва вероятность противоположного события 𝐴̅= {в рейс идет состав, в котором нет дефектных вагонов}. Обозначим событие 𝐵 – вагон признан не имеющим дефекта. Гипотезы: 𝐻1 − вагон имеет дефект; 𝐻2 − вагон не имеет дефект. Вероятности гипотез (по условию): 𝑃(𝐻1 ) = 𝑝0 𝑃(𝐻2 ) = 1 − 𝑝0 Найдем условные вероятности. Дефектный вагон будет признан не имеющим дефекта только в случае, если оба осмотрщика не заметят дефект: 𝑃𝐻1 (𝐵) = (1 − 𝑝1 )(1 − 𝑝2 ) Вагон, не имеющий дефектов, по условию, будет признан не имеющим дефекта: 𝑃𝐻2 (𝐵) = 1 Вероятность события 𝐵 по формуле полной вероятности равна:  Вероятность того, что выпущенный в рейс вагон действительно не имеет дефекта, по формуле Байеса равна: Обозначим событие 𝐶 – все 𝑡 вагонов признаны не имеющим дефекта и действительно его не имеют. Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна 𝑞 = 1 − 𝑝, то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле 𝑃𝑛 (𝑚) = 𝐶𝑛 𝑚 ∙ 𝑝 𝑚 ∙ 𝑞 𝑛−𝑚 где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая получим:  Ответ: 𝑃(𝐴) = 1 − ( 1−𝑝0 1−𝑝0 (𝑝1+𝑝2−𝑝1𝑝2 ) )