Заданы плотности равномерно распределенных независимых случайных величин 𝑋 и 𝑌: 𝑓1 (𝑥) = 1 в интервале (0; 1), вне этого интервала

		Математический анализ
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16309
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Заданы плотности равномерно распределенных независимых случайных величин 𝑋 и 𝑌: 𝑓1 (𝑥) = 1 в интервале (0; 1), вне этого интервала 𝑓1 (𝑥) = 0; 𝑓2 (𝑦) = 1 в интервале (0; 1), вне этого интервала 𝑓2 (𝑦) = 0. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины 𝑍 = 𝑋 + 𝑌. Построить график плотности распределения 𝑔(𝑧).

Решение

Пусть 𝑋 и 𝑌 – независимые случайные величины, подчиненные равномерному закону распределения на интервалах (0; 1). Тогда случайные величины 𝑋 и 𝑌 можно считать координатами точки, брошенной наудачу в квадрат, изображенный на рисунке. Тогда функция распределения равна площади области внутри квадрата под прямой Эта область – треугольник (при 0 < 𝑡 < 1) либо пятиугольник (при 1 < 𝑡 < 2). При 0 < 𝑡 < 1 площадь треугольника равна: При 1 < 𝑡 < 2 площадь пятиугольника равна: Получим функцию распределения: Плотность распределения: Построим график плотности распределения 𝑔(𝑡):