Задание №3. Из 80 изделий, среди которых имеется 15 нестандартных, выбраны случайным образом 8 изделий

		Алгебра
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16224
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Задание №3. Из 80 изделий, среди которых имеется 15 нестандартных, выбраны случайным образом 8 изделий для проверки их качества. Определить вероятность того, что среди выбранных 8 изделий окажется не более 2 нестандартных изделий, используя классическое определение вероятности, формулу Бернулли и локальную формулу Муавра-Лапласа.

Решение

Основное событие 𝐴 – среди выбранных 8 изделий окажется не более 2 нестандартных изделий. а) По классическому определению вероятности, вероятность события 𝐴 равна  где 𝑚 – число благоприятных исходов, 𝑛 – общее число исходов. Число возможных способов выбрать 8 изделий из 80 по формуле сочетаний равно 𝐶80 8 . Благоприятствующими являются случаи, когда из общего числа 15 нестандартных изделий выбрали 2 и из общего числа 65 годных изделий выбрали 6 (это можно сделать 𝐶15 2 способами и 𝐶65 6 способами соответственно), или когда из общего числа 15 нестандартных изделий выбрали 1 и из общего числа 65 годных изделий выбрали 7 (это можно сделать 𝐶15 1 способами и 𝐶65 7 способами соответственно), или когда из общего числа 65 годных изделий выбрали 8 (это можно сделать 𝐶65 8 способами). Вероятность события 𝐴 равна:  б) Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна 𝑞 = 1 − 𝑝, то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле  где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая  Вероятность события 𝐴 равна:  в) Применим локальную теорему Лапласа. Если производится 𝑛 независимых испытаний (𝑛 − велико), и вероятность наступления события 𝐴 в каждом испытании постоянна и равна 𝑝, то вероятность того, что в 𝑛 независимых испытаниях событие 𝐴 наступит 𝑚 раз, определяется по формуле, где  В данном случае  Тогда вероятность события 𝐴 равна:  Ответ: