Задание №3. Из 100 изделий, среди которых имеется 20 нестандартных, выбраны случайным образом 10 изделий

		Алгебра
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16224
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Задание №3. Из 100 изделий, среди которых имеется 20 нестандартных, выбраны случайным образом 10 изделий для проверки их качества. Определить вероятность того, что среди выбранных 10 изделий окажется ровно 3 нестандартных изделия, используя классическое определение вероятности, формулу Бернулли и локальную формулу Муавра-Лапласа.

Решение

Основное событие 𝐴 – среди выбранных 10 изделий окажется ровно 3 нестандартных изделия. а) По классическому определению вероятности: 𝑃(𝐴) = 𝑚 𝑛 где 𝑚 – число благоприятных исходов, 𝑛 – общее число исходов. Общее число возможных способов выбрать 10 изделий из 100 равно 𝐶100 10 (по формуле сочетаний). Благоприятствующими являются случаи, когда из общего числа 20 нестандартных изделий выбрали 3 и из общего числа 80 стандартных изделий выбрали 7 (число способов 𝐶20 3 и 𝐶80 7 соответственно). Тогда:  б) Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна 𝑞 = 1 − 𝑝, то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле  где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая . Вероятность события 𝐴 равна:  в) Применим локальную теорему Лапласа. Если производится 𝑛 независимых испытаний (𝑛 − велико), и вероятность наступления события 𝐴 в каждом испытании постоянна и равна 𝑝, то вероятность того, что в 𝑛 независимых испытаниях событие 𝐴 наступит 𝑚 раз, определяется по формуле:  В данном случае  Тогда вероятность события 𝐴 равна:  Ответ: