Задана функция плотности 𝑓(𝑥) непрерывной случайной величины 𝑋. Найти: 1) функцию распределения 𝐹(𝑥)

		Математический анализ
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16310
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Задана функция плотности 𝑓(𝑥) непрерывной случайной величины 𝑋. Найти: 1) функцию распределения 𝐹(𝑥) вычислив сначала неопределенные коэффициенты, построить графики 𝑓(𝑥) и 𝐹(𝑥); 2) вероятность того, что заданная случайная величина находится в интервале (𝑎; 𝑏); 3) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины 𝑋; 4) моду, медиану, асимметрию и эксцесс заданной случайной величины. 1) 𝑓(𝑥) = 𝐴 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 , если 𝑥 ∈ (−∞; +∞) 2) 𝑋 ∈ (0; 1)

Решение

1) функцию распределения 𝐹(𝑥) вычислив сначала неопределенные коэффициенты, построить графики 𝑓(𝑥) и 𝐹(𝑥); Найдем коэффициент 𝐴 из условия нормировки:  Найдем отдельно неопределенный интеграл: Применим замену тогда  Тогда  Заданная плотность вероятности принимает вид:если 𝑥 ∈ (−∞; +∞) По свойствам функции распределения:  Функция распределения вероятности имеет вид:Построим графики 𝑓(𝑥) и 𝐹(𝑥). 2) Вероятность того, что заданная случайная величина находится в интервале (0; 1) равна приращению функции распределения на этом интервале:  Найдем математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины 𝑋. Поскольку функция плотности распределения 𝑓(𝑥) четная, то она симметрична относительно вертикальной оси 𝑂𝑦 и математическое ожидание равно нулю. 𝑀(𝑋) = 0 Решение следующего интеграла опустим, ввиду его громоздкости и приведем только ответ:  Дисперсия:  Среднее квадратическое отклонение 𝜎(𝑋) равно  Определим моду, медиану, асимметрию и эксцесс заданной случайной величины. Поскольку функция плотности распределения 𝑓(𝑥) четная, то она симметрична относительно вертикальной оси 𝑂𝑦 и мода, медиана и асимметрия равны нулю. Центральный момент четвертого порядка: Эксцесс равен: