Вероятность того, что пассажир метрополитена пройдет через автоматический турникет, равна 𝑝. 𝑀 − число пассажиров

		Высшая математика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16189
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

• Вероятность того, что пассажир метрополитена пройдет через автоматический турникет, равна 𝑝. 𝑀 − число пассажиров, прошедших через турникет, а 𝑛 − общее число прошедших пассажиров. Найти вероятность событий: 𝑀 = 𝑚; 𝑀 < 𝑚; 𝑀 ≥ 𝑚; 𝑚1 ≤ 𝑀 ≤ 𝑚2; 𝑚1 < 𝑀 < 𝑚2; 𝑀 ≥ 1; 𝑀 < 𝑛. а) 𝑝 = 0,7; 𝑛 = 10; 𝑚 = 7; 𝑚1 = 5; 𝑚2 = 8 б) 𝑝 = 0,7; 𝑛 = 500; 𝑚 = 152; 𝑚1 = 134; 𝑚2 = 169

Решение

а) Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна 𝑞 = 1 − 𝑝, то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле  где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Найдем вероятности искомых событий. Для всех событий 𝑛 Вероятность события A – число пассажиров, прошедших через турникет равно 7, равна:  2) 𝑀 < 𝑚 Вероятность события B – число пассажиров, прошедших через турникет меньше 7, равна: Вероятность события C – число пассажиров, прошедших через турникет больше или равно 7, равна:  Вероятность события D – число пассажиров, прошедших через турникет больше или равно 5 и меньше или равно 8, равна:  Вероятность события E – число пассажиров, прошедших через турникет больше 5 и меньше 8, равна:  1 Вероятность события F – число пассажиров, прошедших через турникет больше или равно 1, равна: Вероятность события G – число пассажиров, прошедших через турникет меньше 10, равна:  б) Локальная теорема Лапласа. Если производится 𝑛 независимых испытаний (𝑛 — велико), и вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и равна 𝑝, то вероятность того, что в 𝑛 независимых испытаниях событие А наступит 𝑚 раз, определяется по формуле , Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность 𝑝 наступления события 𝐴 в каждом из 𝑛 независимых испытаний постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что в 𝑛 независимых испытаниях событие 𝐴 наступит не менее чем 𝑚1 раз и не более чем 𝑚2 раза, определяется по формуле: 𝑃𝑛 (𝑚1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑚2 ) ≈ Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1) где . Найдем вероятности искомых событий. Для всех событий  Вероятность события A – число пассажиров, прошедших через турникет равно 152, равна: 𝑃(𝐴) = 𝑃500(152) = 1 √500 ∙ 0,7 ∙ 0,3 ∙ 𝜑 ( 152 − 500 ∙ 0,7 √500 ∙ 0,7 ∙ 0,3 ) = = 1 √105 ∙ 𝜑(−19,3) = 0 √105 = 0 2) 𝑀 < 𝑚 Вероятность события B – число пассажиров, прошедших через турникет меньше 152, равна: Вероятность события C – число пассажиров, прошедших через турникет больше или равно 152, равна:  Вероятность события D – число пассажиров, прошедших через турникет больше или равно 134 и меньше или равно 169, равна: Вероятность события E – число пассажиров, прошедших через турникет больше 134 и меньше 169, равна:  Вероятность события F – число пассажиров, прошедших через турникет больше или равно 1, равна:  Вероятность события G – число пассажиров, прошедших через турникет меньше 500, равна:  0,5 + 0,5 = 1