Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 𝑝 = 0,75. Найти вероятность того

		Алгебра
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16224
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 𝑝 = 0,75. Найти вероятность того, что при 10-ти выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз. Результат, полученный при применении локальной теоремы Лапласа, сравнить с результатом, полученным по формуле Бернулли. Объяснить результат сравнения.

Решение

Применим локальную теорему Лапласа. Если производится 𝑛 независимых испытаний (𝑛 − велико), и вероятность наступления события 𝐴 в каждом испытании постоянна и равна 𝑝, то вероятность того, что в 𝑛 независимых испытаниях событие 𝐴 наступит 𝑚 раз, определяется по формуле  В данном случае: Вероятность события 𝐴1 − при 10-ти выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз, равна: Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна 𝑞 = 1 − 𝑝, то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая  Вероятность события 𝐴2 − при 10-ти выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз, равна:  Для упрощения вычислений применяют локальную теорему Лапласа, которая даёт близкий к формуле Бернулли результат при большом количестве испытаний и не требуют больших вычислений. Разница в результатах  объясняется малым числом испытаний (рекомендуемое минимальное количество испытаний – примерно 50-100) и вероятностью 𝑝 = 0,75 (локальная теорема Лапласа работает тем лучше, чем вероятность ближе к 0,5). Ответ: