В техническом устройстве 𝑛 независимо работающих элементов, каждый из которых за время 𝑇 отказывает

		Алгебра
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16243
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

В техническом устройстве 𝑛 независимо работающих элементов, каждый из которых за время 𝑇 отказывает с вероятностью 𝑝. Требуется: 1) Построить ряд и функцию распределения числа отказавших элементов, если 𝑛 = 4, а 𝑝 = 0,2. Вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой величины. 2) Оценить вероятность того, что при 𝑛 = 200, а 𝑝 = 0,015 откажет ровно 5 элементов.

Решение

1) Случайная величина 𝑋 − число отказавших элементов, может принимать значения  Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна , то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле  где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая  Ряд распределения имеет вид: Функция распределения выглядит следующим образом  Математическое ожидание 𝑀(𝑋) равно:  Дисперсия 𝐷(𝑋) равна:  2) Оценим вероятность того, что при 𝑛 = 200, а 𝑝 = 0,015 откажет ровно 5 элементов. Применим формулу Пуассона. Если производится достаточно большое число испытаний (𝑛 – велико), в каждом из которых вероятность наступления события А постоянна, но мала, то вероятность того, что в 𝑛 испытаниях событие А наступит 𝑚 раз, определяется приближенно формулой  В данном случае . Тогда вероятность события 𝐴 − при , равна: