В студенческой группе наудачу выбирают 5 студентов и узнают у них месяц рождения. Рассматриваются события: А = {никакие

		Математика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16082
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

В студенческой группе наудачу выбирают 5 студентов и узнают у них месяц рождения. Рассматриваются события: А = {никакие два студента не родились в одном или соседних месяцах года}; В = {все студенты родились в первом полугодии}; C = {все студенты родились в разные месяцы}. Что необходимо сделать: 1). Выбрать соответствующее множество в качестве пространства элементарных исходов рассматриваемого испытания и с помощью его элементов описать А, В, С. 2). Проверить попарную несовместимость событий А, В, С. 3). Проверить, образуют ли события А, В, С полную группу событий. 4). Используя классическое или геометрическое определение вероятности, найти вероятности событий А, В, С. 5). Используя теоремы сложения и умножения найти Р(А+В), Р(А+ВС), Р(А+В+С), Р(НЕА+НЕВ). 6). Проверить попарную и взаимную независимость событий А, В, С.

Решение:

1). Выберем соответствующее множество в качестве пространства элементарных исходов рассматриваемого испытания. Обозначим месяц рождения студента порядковым номером от 1 до 12. Поскольку каждый из 5 студентов может родится в любом месяце, то пространство элементарных исходов Ω имеет вид По формуле размещения с повторением общее число вариантов дней рождений: Опишем события А, В, С. А = {никакие два студента не родились в одном или соседних месяцах года}; В = {все студенты родились в первом полугодии}; C = {все студенты родились в разные месяцы}. Для события А выберем сперва номера 5 месяцев, которые не стоят рядом: Всего получили 31 множество. Для каждого из них число перестановок без повторений равно: Тогда общее число вариантов рождений для события А равно:  Перечислять их все нерационально, они получатся всеми комбинациями вышеперечисленных 31 множествами. Для события В необходимо взять часть пространства элементарных исходов в которых участвуют месяцы от 1 до 6: По формуле размещения с повторением общее число вариантов дней рождений: Для события C необходимо взять часть пространства элементарных исходов в которых месяцы от 1 до 12 не повторяются: По формуле размещения без повторений общее число вариантов дней рождений:  2). Проверим попарную несовместимость событий А, В, С. 2.1 События А и В: А = {никакие два студента не родились в одном или соседних месяцах года}; В = {все студенты родились в первом полугодии}. Событие А занимает минимум 9 месяцев, если считать, что некоторый студент родился условно в первом месяце, то пятый минимум в девятом (1, 3, 5, 7,9). Поскольку 9 месяцев не укладываются в пол года, то события А и В не могут произойти одновременно и они несовместимы. 2.2 События А и С: А = {никакие два студента не родились в одном или соседних месяцах года}; С = {все студенты родились в разные месяцы}. Эти события не являются несовместимыми, например месяцы рождения (1, 3, 5, 7,9) удовлетворяют обоим событиям. 2.2 События В и С: В = {все студенты родились в первом полугодии}. С = {все студенты родились в разные месяцы}. Эти события не являются несовместимыми, например месяцы рождения (1, 2, 3, 4,5) удовлетворяют обоим событиям. 3). Проверим, образуют ли события А, В, С полную группу событий. А = {никакие два студента не родились в одном или соседних месяцах года}; В = {все студенты родились в первом полугодии}; C = {все студенты родились в разные месяцы}. Эти события, очевидно, не образуют полную группу событий, поскольку есть элементарные исходы, не входящие ни в одно из заданных событий, например (12, 12, 12, 12,12). 4). Используя классическое определение вероятности, найдем вероятности событий А, В, С. По классическому определению вероятности, вероятность события А равна где m – число благоприятных исходов, n – общее число исходов. Тогда для заданных событий: 5). Используя теоремы сложения и умножения найдем Р(А+В), Р(А+ВС), Р(А+В+С), Р(НЕА+НЕВ). Поскольку  то По формулам сложения и умножения вероятностей для независимых событий: События В и С совместны (они пересекаются). Вероятность их одновременного появления равна вероятности события 𝐵𝐶={все студенты родились в первом полугодии в разные месяцы}; По формуле размещения без повторений общее число вариантов дней рождений:  Тогда По формулам сложения и умножения вероятностей для зависимых событий: 6). Проверим попарную и взаимную независимость событий А, В, С. А = {никакие два студента не родились в одном или соседних месяцах года}; В = {все студенты родились в первом полугодии}; C = {все студенты родились в разные месяцы}. Два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. При определении нескольких (более двух) событий различают попарную и взаимную независимость. События A₁, A₂,..., A_n называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы, и взаимно независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от наступления какой угодно комбинации остальных. События А и В несовместимы, а значит не могут быть независимыми (если произошло событие А, то событие В произойти не может). События В и С пересекаются, а значит не могут быть независимыми (если произошло событие С= {все студенты родились в разные месяцы} и это месяцы второго полугодия, то событие В произойти не может). События В и С пересекаются, а значит не могут быть независимыми (если произошло событие С= {все студенты родились в разные месяцы} и эти месяцы идут подряд, то событие В произойти не может). События А, В и С не являются попарно независимыми поскольку вероятность наступления любого из них зависит от наступления какой угодно комбинации остальных. (если произойдет А, то не произойдет В; если произойдет В, то не произойдет А; если произойдет В{все студенты родились в первом полугодии}(в одном месяце), то не произойдет С.