В результате выборочного обследования 100 торговых предприятий области из 500 по схеме собственно случайной бесповторной выборки

		Математическая статистика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16472
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

В результате выборочного обследования 100 торговых предприятий области из 500 по схеме собственно случайной бесповторной выборки получено следующее распределение снижения затрат на доставку товаров в процентах к предыдущему году: Процент снижения затрат 4 – 6 6 – 8 8 – 10 10 – 12 12 – 14 14 – 16 Число торг. предприятий 6 20 31 24 13 6 Найти: а) границы, в которых с вероятностью 0,907 будет находиться средний процент снижения затрат на доставку товаров на всех 500 предприятиях; б) вероятность того, что доля всех торговых предприятий, затраты которых на доставку продуктов снижены не менее, чем на 10%, отличаются от доли таких предприятий в выборке не более чем на 0,04 (по абсолютной величине); в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего процента снижения затрат (см. п. а) можно гарантировать с вероятностью 0,9876? В результате выборочного обследования 100 предприятий региона из 500 по схеме собственно случайной бесповторной выборки получено следующее распределение снижения затрат на производство продукции в процентах к предыдущему году: Процент снижения затрат (%) 4 – 6 6 – 8 8 – 10 10 – 12 12 – 14 14 – 16 Итого Число предприятий 6 20 31 24 13 6 100 Найти: а) границы, в которых с вероятностью 0,907 будет находиться средний процент снижения затрат на всех 500 предприятиях; б) вероятность того, что доля всех предприятий, затраты которых снижены не менее, чем на 10%, отличаются от доли таких предприятий в выборке не более чем на 0,04 (по абсолютной величине); в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего процента снижения затрат (см. п. а) можно гарантировать с вероятностью 0,9876?

Решение

Найдем выборочное среднее  Выборочная дисперсия: Выборочное среднеквадратичное отклонение  а) Применительно к выборочному методу из теоремы Чебышева следует, что с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии генеральной совокупности разность между выборочной средней и генеральной средней будет сколь угодно мала:  где 𝑋 − средняя по совокупности выбранных единиц; 𝑋̅ – средняя по генеральной совокупности; 𝜎ген – среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности. Средняя ошибка выборки 𝜇 = 𝜎ген √𝑛 . Согласно центральной предельной теореме Ляпунова, выборочные распределения статистик (при 𝑛 ≥ 30) будут иметь нормальное распределение независимо от того, какое распределение имеет генеральная совокупность, следовательно: где Ф0 (𝑡) – функция Лапласа. Для собственно случайного бесповторного отбора для выборочной средней: где 𝜎 2 − выброчная дисперсия, 𝑛 – объем выборки, 𝑁 – объем генеральной совокупности. По таблице функции Лапласа находим 𝑡:  Определим пределы генеральной средней по формуле:  б) При заданных условиях  Выборочная доля торговых предприятий, затраты которых на доставку продуктов снижены не менее, чем на 10%, равна: Вероятность того, что доля 𝑤 отклонения от вероятности 𝑝 меньше любого положительного ∆, равна:  где Ф(𝑥) – функция Лапласа. Для собственно случайного бесповторного отбора для доли: