В премьер лиге чемпионата страны по футболу 16 команд, в сезоне они встречаются друг с другом 2 раза: на своем и чужом

		Математика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16011
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

В премьер лиге чемпионата страны по футболу 16 команд, в сезоне они встречаются друг с другом 2 раза: на своем и чужом поле. Сколько игр проводится в премьер лиге? Команды, занявшие 1,2,3 места, награждаются соответствующими медалями. Сколькими способами могут распределиться призеры? А команды, занявшие 2 последних места, покидают премьер лигу. Сколькими способами может сформироваться «клуб неудачников»? Сколькими способами могут распределиться места с 1-го по 16-е?

Решение

Первая, произвольно выбранная команда играет с 15 остальными командами, т.е. проводит 2 ∙ 15 игр. Вторая команда играет с 14 оставшимися командами (игра с первой командой уже учитывалась), т.е. проводит 2 ∙ 14 игр. Рассуждая аналогично, получим общее число игр: 

Размещениями из 𝑛 элементов по 𝑘 в каждом

называют такие соединения, в каждое из которых входит 𝑘 элементов, взятых из данных 𝑛 элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения. По формуле размещения без повторения получим общее количество 𝑁2 способов, которыми можно распределить 𝑘 = 3 медали между 𝑛 = 16 командами: 

Аналогично «клуб неудачников» сформируется 𝑁3 способами:

Общее число способов распределить места с 1-го по 16-е равно числу перестановок 16 элементов, которое определяется по формуле: 

Ответ: 𝑁1 = 240; 𝑁2 = 3360; 𝑁3 = 240; 𝑁4 = 2 ∙ 1013