В двух первых пунктах (п.а и б) вычислить 𝑃𝑛 (𝑘) − вероятность наступления события 𝐴 ровно 𝑘 раз в серии из 𝑛 независимых испытаний

		Алгебра
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16224
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

В двух первых пунктах (п.а и б) вычислить 𝑃𝑛 (𝑘) − вероятность наступления события 𝐴 ровно 𝑘 раз в серии из 𝑛 независимых испытаний, если 𝑝 − вероятность наступления этого события в одном испытании; в третьем пункте (п.в) при тех же условиях найти 𝑃𝑛 (𝑘1, 𝑘2 ) − вероятность наступления события не менее 𝑘1 раз и не более 𝑘2 раз. а) 𝑝 = 0,25; 𝑘 = 75; 𝑛 = 300 б) 𝑝 = 0,4; 𝑘 = 1; 𝑛 = 5 в) 𝑝 = 0,55; 𝑘1 = 130; 𝑘2 = 200; 𝑛 = 400

Решение

Применим локальную теорему Лапласа. Если производится 𝑛 независимых испытаний (𝑛 − велико), и вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и равна 𝑝, то вероятность того, что в 𝑛 независимых испытаниях событие А наступит 𝑚 раз, определяется по формуле , В данном случае  Вероятность события 𝐴1 − при 300 испытаниях событие 𝐴 произойдет ровно 75 раз, равна:  б) Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна 𝑞 = 1 − 𝑝, то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле  где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая . Вероятность события 𝐴2 – при 5 испытаниях событие 𝐴 произойдет ровно 1 раз, равна:  в) Применим интегральную теорему Лапласа. Если вероятность 𝑝 наступления события 𝐴 в каждом из 𝑛 независимых испытаний постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что в 𝑛 независимых испытаниях событие 𝐴 наступит не менее чем 𝑚1 раз и не более чем 𝑚2 раза, определяется по формуле: где Ф(𝑥) – функция Лапласа . В данном случае  Вероятность события 𝐴3 − при 400 испытаниях событие 𝐴 произойдет не менее 130 раз и не более 200 раз, равна:  Ответ: