Случайные величины 𝑍1 и 𝑍2 имеют стандартные нормальные распределения и независимы. Случайная величина 𝑋 = 6𝑍1 + 8𝑍2 + 3. Найти математическое

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16373
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Случайные величины 𝑍1 и 𝑍2 имеют стандартные нормальные распределения и независимы. Случайная величина 𝑋 = 6𝑍1 + 8𝑍2 + 3. Найти математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что 𝑋 > 14, квантиль уровня 0,8.

Решение

Для стандартного нормального распределения  Тогда математические ожидания 𝑀 и дисперсии 𝐷 случайных величин 𝑍1 и 𝑍2 равны:  По свойствам математического ожидания:  По свойствам дисперсии:  Случайная величина 𝑋 имеет нормальное распределение . Для нормального закона распределения случайной величины вероятность попадания в заданный интервал равна: – функция Лапласа, 𝑚 – математическое ожидание; 𝜎 – среднее квадратическое отклонение. При  получим вероятность попадания случайной величины 𝑋 в заданный интервал: Квантилью  случайной величины 𝑋, имеющей функцию распределение 𝐹(𝑥), называется решение уравнения  Функция распределения вероятности 𝐹(𝑥) нормально распределенной случайной величины имеет вид: ) где Ф(𝑥) – функция Лапласа. При  получим  Тогда  По таблице Лапласа находим:  тогда