Случайная величина 𝑋 задана плотностью вероятностей: 𝑓(𝑥) = { 0 𝑥 ≤ 1, 𝑥 > 2 𝐴 ∙ 𝑥 − 0,5 1 < 𝑥 ≤ 2 Определить: а) параметр

		Математический анализ
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16310
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Случайная величина 𝑋 задана плотностью вероятностей: 𝑓(𝑥) = { 0 𝑥 ≤ 1, 𝑥 > 2 𝐴 ∙ 𝑥 − 0,5 1 < 𝑥 ≤ 2 Определить: а) параметр 𝐴; б) функцию распределения 𝐹(𝑥); в) 𝑀𝑜, 𝑀𝑒, 𝑀𝑋, 𝐷𝑋, 𝜎(𝑋); г) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях с.в. 𝑋 попадет ровно два раза в интервал (0,5; 1,5). Построить графики функций 𝑓(𝑥), 𝐹(𝑥).

Решение

а) Значение параметра 𝐴 находим из условия:Тогда  откуда 𝐴 = 1 Тогда заданная функция 𝑓(𝑥) распределения вероятностей случайной величины 𝑋 имеет вид:  б) По свойствам функции распределения: При  При  Тогда функция распределения имеет вид: в) Модой непрерывного распределения является такое значение 𝑋, которое соответствует максимуму функции плотности распределения. Поскольку функция плотности вероятности максимальна при 𝑥 = 2 мода 𝑀𝑜 = 2. Медианой является такое значение 𝑋, для которого плотность вероятности слева и справа равны 0,5. Решим данное квадратное уравнение через дискриминант: Поскольку распределение задано на интервале  Математическое ожидание случайной величины 𝑋 равно:  Дисперсия:  Среднее квадратическое отклонение 𝜎(𝑋) равно г) Определим вероятность того, что в одном испытании с.в. 𝑋 попадет в интервал (0,5; 1,5). Вероятность попадания случайной величины 𝑋 в интервал (0,5; 1,5) равна приращению функции распределения на этом интервале:  Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна 𝑞 = 1 − 𝑝, то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Тогда . Вероятность события 𝐴 – в четырех независимых испытаниях с.в. 𝑋 попадет ровно два раза в интервал (0,5; 1,5), равна: Построим графики функций