Случайная величина 𝜉 задана плотностью распределения: 𝑝𝜉 (𝑥) = { 0 при 𝑥 < 0 𝑎𝑥 + 1 3 при 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 0 при 𝑥 > 2 Найти коэффициент 𝑎, 𝑀𝜉 , 𝐷𝜉 , 𝜎𝜉 , 𝑃{𝜉 = 1,5}, 𝑃{𝜉 > 𝑀𝜉 }

		Математический анализ
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16309
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Случайная величина 𝜉 задана плотностью распределения:

Найти коэффициент 𝑎, 𝑀𝜉 , 𝐷𝜉 , 𝜎𝜉 , 𝑃{𝜉 = 1,5}, 𝑃{𝜉 > 𝑀𝜉 }, 𝑃{𝜉 < 1}, 𝑃{1 < 𝜉 ≤ 3}. Постройте графики функции 𝐹𝜉 (𝑥), 𝑝𝜉 (𝑥). Каков геометрический и вероятностный смысл

Решение

Коэффициент 𝑎 находим из условия: Тогда откуда Тогда заданная функция распределения вероятностей случайной величины 𝜉 имеет вид: Математическое ожидание случайной величины 𝜉 равно: Дисперсия: Среднее квадратическое отклонение 𝜎(𝑋) равно: Вероятности следующих событий найдем по свойствам функции распределения. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-то конкретное значение равна нулю. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [𝑎; 𝑏] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от 𝑎 до 𝑏. Построим графики функции 𝐹𝜉 (𝑥), 𝑝𝜉 (𝑥). По свойствам функции распределения: Геометрический смысл: Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (𝛼, 𝛽) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции плотности распределения 𝑝𝜉 (𝑥) и прямыми 𝑥 = 𝛼, 𝑥 = 𝛽 и 𝑦 = 0. Геометрический смысл это площадь области, заштрихованной на рисунке. Вероятностный смысл: Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (𝑥; 𝑥 + ∆𝑥), приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно ∆𝑥) произведению плотности вероятности в точке 𝑥 на длину интервала ∆𝑥. Вероятностный смысл численно равен вероятности попадания случайной величины 𝜉 на интервал (−1; 1).