Случайная величина 𝑋 имеет плотность распределения 𝑓(𝑥), случайная величина 𝑌 = 𝜑(𝑋). Найти закон

		Математический анализ
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16306
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Случайная величина 𝑋 имеет плотность распределения 𝑓(𝑥), случайная величина 𝑌 = 𝜑(𝑋). Найти закон распределения случайной величины 𝑌, ее математическое ожидание и дисперсию. Случайная величина 𝑋 равномерно распределена не промежутке [𝑎; 𝑏]. 𝑎 = − 𝜋 2 ; 𝑏 = 𝜋 2 ; 𝜑(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥

Решение

По условию функция плотности распределения вероятностей 𝑓(𝑥) имеет вид:  Определим параметр 𝐴 из условия:  Тогда  откуда  Плотность вероятности имеет вид:  Построим график случайной величины  на интервале . Определим диапазон значений 𝑌:  В зависимости от числа 𝑘 обратных функций выделим следующие интервалы для 𝑌:  На интервалах  обратные функции не существуют, следовательно, . В интервале  одна обратная функция следовательно, Таким образом, плотность вероятности величины 𝑌 равна  По свойствам функции распределения: Тогда функция распределения имеет вид:  Математическое ожидание случайной величины 𝑌 равно: Найдем отдельно неопределенный интеграл: Воспользуемся заменой  Тогда  Дисперсия: