Результаты измерений некоторой физической величины представлены в таблице: 𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 𝑎𝑖 ; 𝑏𝑖 𝑎1; 𝑏1 𝑎2; 𝑏2 𝑎3; 𝑏3 𝑎4; 𝑏4 𝑎5; 𝑏5 𝑎6; 𝑏6 𝑎7; 𝑏7 𝑎8; 𝑏8

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16394
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Результаты измерений некоторой физической величины представлены в таблице: 𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 𝑎𝑖 ; 𝑏𝑖 𝑎1; 𝑏1 𝑎2; 𝑏2 𝑎3; 𝑏3 𝑎4; 𝑏4 𝑎5; 𝑏5 𝑎6; 𝑏6 𝑎7; 𝑏7 𝑎8; 𝑏8 𝑚𝑖 4 7 13 21 + (𝑚 + 𝑛) 30 − (𝑚 + 𝑛) 16 6 3 где 𝑖 – номер интервала, 𝑎𝑖 ; 𝑏𝑖 – границы интервала, 𝑎𝑖 = 𝑚 − 𝑛 + 2,5(𝑖 − 1); 𝑏𝑖 = 𝑚 − 𝑛 + 2,5𝑖, 𝑚𝑖 – частота. 2.1.1. Найти функцию распределения выборки 𝐹𝑛 ∗ (𝑥) и построить ее график. 2.1.2. Построить гистограмму относительных частот. 2.1.3. Найти числовые характеристики выборки: выборочное среднее 𝑥̅ и исправленную выборочную дисперсию 𝑆̅2 . 2.1.4. Используя функцию Лапласа, построить доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности  С помощью критерия 𝜒 2 (Пирсона) проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости 𝛼 = 0,05.

Решение

Для 𝑚 = 1 и 𝑛 = 4 получим ряд распределения:  Найдем функцию распределения выборки 𝐹𝑛 ∗ (𝑥) и построим ее график. Общее число значений Относительную частоту 𝑓𝑖 и середину 𝑥𝑖 для каждого интервала вычислим по формулам  Эмпирическая функция распределения выглядит следующим образом  Построим гистограмму относительных частот. 2.1.3. Найдем числовые характеристики выборки: выборочное среднее 𝑥̅ и исправленную выборочную дисперсию  Используя функцию Лапласа, построим доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности . Доверительный интервал для математического ожидания a нормально распределенной случайной величины равен:  где 𝑡 – такое значение аргумента функции Лапласа, при котором Исправленное среднее квадратическое отклонение равно: По таблице функции Лапласа находим 𝑡 из равенства: Получаем 𝑡 = 1,81, и искомый доверительный интервал имеет вид:  С помощью критерия 𝜒 2 (Пирсона) проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости 𝛼 = 0,05. Вероятность попадания случайной величины в каждый интервал равна приращению функции распределения: Теоретические частоты определим по формуле  и вычислим значения  Результаты запишем в таблицу Интервал  Здесь объединены первые два и последние два интервала, чтобы выполнялось условие . В итоге получили 𝑚 = 6 интервалов, число степеней свободы для 𝜒 2 распределения равно . Получили . По таблице при уровне значимости 𝛼 = 0,05 находим Так как  то нет основания отвергать гипотезу о нормальном распределении.