Проводятся неограниченное число испытаний по схеме Бернулли с постоянной вероятностью успеха 𝑝. Найти вероятность того

		Высшая математика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16189
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

• Проводятся неограниченное число испытаний по схеме Бернулли с постоянной вероятностью успеха 𝑝. Найти вероятность того, что до момента наступления n-ого успеха будет ровно 𝑚 неудач.

Решение

Поскольку по условию опыт проводился до тех пор, пока не произошло 𝑛 успехов, то очевидно, что при последнем опыте произошел успех. Значит, до этого последнего опыта было 𝑛 − 1 успехов и 𝑚 неудач. Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна 𝑞 = 1 − 𝑝, то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле  где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая . Вероятность события 𝐴1 – до последнего опыта было 𝑛 − 1 успехов и 𝑚 неудач, равна:  Вероятность события 𝐴2 – при (𝑛 + 𝑚)-м испытании будет успех, равна: 𝑃(𝐴2 ) = 𝑝 По формуле умножения вероятностей, вероятность события 𝐴 – до момента наступления n-го успеха было ровно m неудач, равна:  Ответ: 𝑃(𝐴) = 𝐶𝑛+𝑚−1 𝑛−1 ∙ 𝑝 𝑛 ∙ (1 − 𝑝)