Проводятся неограниченное число испытаний по схеме Бернулли с постоянной вероятностью успеха 𝑝. Найти

		Высшая математика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16189
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

• Проводятся неограниченное число испытаний по схеме Бернулли с постоянной вероятностью успеха 𝑝. Найти вероятность того, что первый успех произойдет после n-го испытания.

Решение

Поскольку по условию испытания производятся до первого успеха и первый успех произойдет после n-го испытания, значит, до этого успеха было 𝑛 испытаний и все они были неудачными. Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна 𝑞 = 1 − 𝑝, то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле 𝑃𝑛 (𝑚) = 𝐶𝑛 𝑚 ∙ 𝑝 𝑚 ∙ 𝑞 𝑛−𝑚 где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая 𝑛 = 𝑛; 𝑚 = 𝑛; 𝑝 = 𝑝; 𝑞 = 1 − 𝑝. Вероятность события 𝐴1 – при 𝑛 испытаниях произошло 𝑛 неудач (т.е. 0 удачных исходов), равна:   при (𝑛 + 1)-м испытании будет успех, равна: 𝑃(𝐴2 ) = 𝑝 По формуле умножения вероятностей, вероятность события 𝐴 – первый успех произойдет после n-го испытания, равна: Ответ: 𝑃(𝐴) = (1 − 𝑝) 𝑛