Проводится серия из 12 испытаний, каждое из которых состоит в подбрасывании двух игральных костей.

		Высшая математика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16189
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

• Проводится серия из 12 испытаний, каждое из которых состоит в подбрасывании двух игральных костей. 1) Найти вероятность того, что 2 раза выпадут одинаковые цифры на обеих костях. 2) Найти наиболее вероятное число тех испытаний, в которых на обеих костях выпадут одинаковые цифры.

Решение

По классическому определению вероятности, вероятность события 𝐴 равна 𝑃(𝐴) = 𝑚 𝑛 где 𝑚 – число благоприятных исходов, 𝑛 – общее число исходов. Две игральные кости могут выпасть следующими вариантами: {1;1}, {1;2}, {1;3}, {1;4}, {1;5}, {1;6} {2;1}, {2;2}, {2;3}, {2;4}, {2;5}, {2;6} {3;1}, {3;2}, {3;3}, {3;4}, {3;5}, {3;6} {4;1}, {4;2}, {4;3}, {4;4}, {4;5}, {4;6} {5;1}, {5;2}, {5;3}, {5;4}, {5;5}, {5;6} {6;1}, {6;2}, {6;3}, {6;4}, {6;5}, {6;6} Общее число 𝑛 таких выпадений равно: 𝑛 = 6 ∙ 6 = 36 Выберем пары с одинаковыми значениями: {1;1}, {2;2}, {3;3}, {4;4}, {5;5}, {6;6} 𝑚 = 6 Вероятность события 𝐴 – выпадут одинаковые цифры на обеих костях, равна: 𝑃(𝐴) = 6 36 = 1 6 1) Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна 𝑞 = 1 − 𝑝, то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле  где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая 𝑛 = 12; 𝑚 = 2; 𝑝 = 1 6 ; 𝑞 = 1 − 1 6 = 5 6 . Вероятность события 𝐵 – 2 раза выпадут одинаковые цифры на обеих костях, равна:  2) Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна 𝑞 = 1 − 𝑝, то число успехов 𝑚0, при котором достигается наибольшая из возможных вероятностей, определяется как целое число на промежутке по формуле:  Для данного случая:  Исходя из того, что 𝑚0 целое число, наивероятнейшее число тех испытаний, в которых на обеих костях выпадут одинаковые цифры 2. Ответ: 𝑃(𝐵) = 0,2961; 𝑚₀ = 2