Производственная функция Кобба-Дугласа 𝑧 = 𝐴 ∗ 𝑥 𝛼 ∗ 𝑦 1−𝛼 выражает зависимость объема выпущенной продукции z от объема основных фондов х

		Экономика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №17076
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Производственная функция Кобба-Дугласа 𝑧 = 𝐴 ∗ 𝑥 𝛼 ∗ 𝑦 1−𝛼 выражает зависимость объема выпущенной продукции z от объема основных фондов х и затрат труда у (в стоимостном выражении), А>0, 0<α<1. Требуется:

1. Найти максимальный выпуск продукции при бюджетном ограничении х+у=С.

2. Вычислить предельную фондоотдачу и предельную производительность труда в точке максимального выпуска. Как изменится максимальный объем выпускаемой продукции при малых изменениях найденных объема основных фондов и затрат труда. А=2.02, α=0.40, С=4.5.

Решение

1. Для того чтобы найти максимальный выпуск продукции, необходимо решить задачу нахождения условного максимума функции двух переменных 𝑧(𝑥, 𝑦) =  По условию 𝑦 = 4.5 − 𝑥 тогда 𝑧(𝑥) = 0.6 Найдем критические точки этой функции 𝑧′(𝑥) = 0.4 𝑧 ′ (𝑥) = 0 при 𝑥 = 1.8 При переходе аргумента х слева направо через критическую точку 𝑥 = 1.8 производная 𝑧 ′ (𝑥) меняет знак с “+” на “–”. Поэтому в точке 𝑥 = 1.8 функция z (x) имеет максимум. Тогда 𝑦 =  2.7 Максимальный выпуск продукции при бюджетном ограничении х+у=4,5 равен: 𝑧𝑚𝑎𝑥 =  4.64

2. Предельная фондоотдача равна 𝜕𝑧 𝜕𝑥  1.12 Предельная производительность труда равна 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 0.84 Изменение значения объема выпускаемой продукции при малых изменениях объема основных фондов и затрат труда, приблизительно выражается полным дифференциалом 𝑑𝑧 =  Подставляя найденные значения частных производных, получим 𝑑𝑧 =