Производственная функция Кобба-Дугласа 𝑧 = 𝐴 ∗ 𝑥 𝛼 ∗ 𝑦 1−𝛼 выражает зависимость объема выпущенной продукции z от объема основных фондов

		Экономика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №17076
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Производственная функция Кобба-Дугласа 𝑧 = 𝐴 ∗ 𝑥 𝛼 ∗ 𝑦 1−𝛼 выражает зависимость объема выпущенной продукции z от объема основных фондов х и затрат труда у (в стоимостном выражении), А>0, 0<α<1. Требуется: 1. Найти максимальный выпуск продукции при бюджетном ограничении х+у=С. 2. Вычислить предельную фондоотдачу и предельную производительность труда в точке максимального выпуска. Как изменится максимальный объем выпускаемой продукции при малых изменениях найденных объема основных фондов и затрат труда. А=3.01, α=0.43, С=5.5.

Решение

1. Для того чтобы найти максимальный выпуск продукции, необходимо решить задачу нахождения условного максимума функции двух переменных 𝑧(𝑥, 𝑦) =  По условию 𝑦 = 5.5 − 𝑥 тогда 𝑧(𝑥) = 0.57 Найдем критические точки этой функции 𝑧′(𝑥) = 0.43 𝑧 ′ (𝑥) = 0 при 𝑥 = 2.365 При переходе аргумента х слева направо через критическую точку 𝑥 = 2.365 производная 𝑧 ′ (𝑥) меняет знак с “+” на “–”. Поэтому в точке 𝑥 = 2.365 функция z (x) имеет максимум. Тогда 𝑦 = 3.135 Максимальный выпуск продукции при бюджетном ограничении х+у=5,5 равен: 𝑧𝑚𝑎𝑥 = 8.36

2. Предельная фондоотдача равна 𝜕𝑧 𝜕𝑥 =  1.52 Предельная производительность труда равна 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 1.52 Изменение значения объема выпускаемой продукции при малых изменениях объема основных фондов и затрат труда, приблизительно выражается полным дифференциалом 𝑑𝑧 = Подставляя найденные значения частных производных, получим 𝑑𝑧 =