Плотность распределения вероятностей случайной величины 𝑋 имеет вид 𝑝(𝑥) = 𝛾𝑒 𝑎𝑥 2+𝑏𝑥+𝑐 Найдите параметр 𝛾, функцию

		Математический анализ
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16306
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Плотность распределения вероятностей случайной величины 𝑋 имеет вид 𝑝(𝑥) = 𝛾𝑒 𝑎𝑥 2+𝑏𝑥+𝑐 Найдите параметр 𝛾, функцию распределения случайной величины 𝑋, вероятность выполнения неравенства 𝑥1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥2, математическое ожидание 𝑀(𝑋), дисперсию 𝐷(𝑋), среднее квадратическое отклонение 𝜎(𝑋), начальные и центральные моменты 1-го и 2-го порядков. Постройте графики плотности и функции распределения. Постройте график плотности 𝑝(𝑥) и изобразите на нем найденную вероятность 𝑃(𝑥1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥2 ). 𝑎 = −2; 𝑏 = − 4 3 ; 𝑐 = 0; 𝑥1 = − 1 3 ; 𝑥2 = 2 3

Решение

При  запишем выражение для  Вид заданной функции 𝑝(𝑥) распределения вероятностей случайной величины 𝑋 напоминает плотность распределения вероятности нормально распределенной случайной величины  Преобразуем заданную функцию  Тогда параметр 𝑎 нормального распределения равен:  Параметр 𝜎 найдем из уравнения:  Тогда параметр заданного распределения 𝛾 равен:  Тогда заданная функция 𝑝(𝑥) распределения вероятностей случайной величины 𝑋 имеет вид: Функция распределения 𝐹(𝑥) имеет вид  где Ф(𝑥) – функция Лапласа. Для нормального закона распределения случайной величины вероятность попадания в заданный интервал равна:  Тогда  Математическое ожидание 𝑀(𝑋) случайной величины 𝑋 равно параметру 𝑎 нормального закона распределения:  Дисперсия 𝐷(𝑋) равна квадрату среднего квадратического отклонения 𝜎:  Среднее квадратическое отклонение 𝜎(𝑋) определено выше:  Начальный момент первого порядка равен:  Начальный момент второго порядка равен:  Центральный момент первого порядка нормального распределения равен:  Центральный момент второго порядка нормального распределения равен:  Построим графики плотности и функции распределения. Построим график плотности 𝑝(𝑥) и изобразим на нем найденную вероятность Вероятность попадания случайной величины 𝑋 в интервал  геометрически равна площади 𝑆 криволинейной трапеции, построенной на интервале  оси абсцисс и ограниченной сверху кривой 𝑝(𝑥).