Плотность распределения случайной величины 𝑋 имеет вид: 𝑓(𝑥) = { 0, 𝑥 ≤ 1 𝐴 𝑥 2 , 𝑥 > 1 Найти: а) коэффициент 𝐴; б) функцию распре

		Математический анализ
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16310
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Плотность распределения случайной величины 𝑋 имеет вид: 𝑓(𝑥) = { 0, 𝑥 ≤ 1 𝐴 𝑥 2 , 𝑥 > 1 Найти: а) коэффициент 𝐴; б) функцию распределения 𝐹(𝑥), построить графики 𝐹(𝑥) и 𝑓(𝑥); в) математическое ожидание 𝐸𝑋, дисперсию 𝐷𝑋 и медиану 𝑚𝑒𝑑(𝑋); г) вероятность попадания случайной величины 𝑋 в интервал (2;3); д) вероятность того, что при четырёх независимых испытаниях случайная величина 𝑋 ни разу не попадёт на отрезок [2;3].

Решение

а) Найдем коэффициент 𝐴 из условия:Тогда  откудаТогда заданная функция плотности распределения вероятностей случайной величины 𝑋 имеет вид: По свойствам функции распределения: Построим графики функции распределения 𝐹(𝑥) и плотности распределения 𝑓(𝑥) случайной величины. в) Найдем математическое ожидание 𝐸𝑋, дисперсию 𝐷𝑋 и медиану Полученный интеграл расходится, для заданного распределения математического ожидания (а, следовательно, дисперсии и среднего квадратического отклонения) не существует. Медианой является такое значение 𝑋, для которого плотность вероятности слева и справа равны 0,5. Найдем вероятность попадания случайной величины 𝑋 в интервал (2;3). Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал равна приращению функции распределения: 𝑃(2 < 𝑋 < 3) = 1 − 1 3 − 1 + 1 2 = 1 6 д) Найдем вероятность того, что при четырёх независимых испытаниях случайная величина 𝑋 ни разу не попадёт на отрезок [2;3]. Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна 𝑞 = 1 − 𝑝, то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле  где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая: . Вероятность события 𝐴 – при четырёх независимых испытаниях случайная величина 𝑋 ни разу не попадёт на отрезок [2;3], равна: