Первый игрок бросает три, а второй 2 одинаковых монеты. Выигрывает и получает все 5 монет тот, у которого выпадает

		Математический анализ
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16284
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Первый игрок бросает три, а второй 2 одинаковых монеты. Выигрывает и получает все 5 монет тот, у которого выпадает большее число гербов. В случае ничьей игра повторяется для получения определенного результата. Каково математическое ожидание выигрыша для каждого из игроков?

Решение

Составим законы распределения случайных величин: 𝑋 – числа гербов, выпавших при одном броске у первого игрока, 𝑌 – числа гербов, выпавших при одном броске у второго игрока. Случайная величина 𝑋 может принимать значения: . Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна , то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле  где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая  Аналогично получим:  По найденным законам распределения определим вероятность события 𝐴1 выигрыша первого игрока в одной игре, вероятность события 𝐴3 ничьи и вероятность события 𝐴2 выигрыша второго игрока в одной игре.  Первый игрок победит при первом броске с вероятностью:  В случае ничьи (с вероятностью 5 16 ), он снова может выиграть с вероятностью  Аналогично рассуждая, получим:  Тогда вероятность события 𝐴 – выигрыш первого игрока равна (по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии):