Найти вероятность того, что событие 𝐴 наступит не менее 𝑚1 раз, но не более 𝑚2 раза в 𝑛 независимых испытаниях. Вероятность

		Математический анализ
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16306
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Найти вероятность того, что событие 𝐴 наступит не менее 𝑚1 раз, но не более 𝑚2 раза в 𝑛 независимых испытаниях. Вероятность наступления события 𝐴 в отдельно взятом испытании равна вероятности того, что непрерывная случайная величина 𝜉 попадет в интервал (𝛼; 𝛽). Плотность распределения вероятностей случайной величины 𝜉 имеет вид 𝑓(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑒 𝑎𝑥 2+𝑏𝑥+𝑐 . Найти неизвестный параметр 𝑘 и функцию распределения случайной величины 𝜉. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение этой случайной величины. Построить график плотности распределения случайной величины 𝜉. 𝑚1 = 4; 𝑚2 = 6; 𝑛 = 7; 𝛼 = −5,4; 𝛽 = −4; 𝑎 = − 1 32 ; 𝑏 = − 5 16 ; 𝑐 = 6

Решение

По заданным значениям 𝑎, 𝑏 и 𝑐 составим функцию  Вид заданной функции 𝑓(𝑥) распределения вероятностей случайной величины 𝑋 напоминает плотность распределения вероятности нормально распределенной случайной величины  Преобразуем заданную функцию  Тогда параметр 𝑚 нормального распределения равен:  Параметр 𝜎 найдем из уравнения:  Тогда параметр заданного распределения 𝑘 равен:  Тогда заданная функция 𝑓(𝑥) распределения вероятностей случайной величины 𝑋 имеет вид:  Функция распределения 𝐹(𝑥) имеет вид:  где Ф(𝑥) – функция Лапласа. Для нормального закона распределения случайной величины вероятность попадания в заданный интервал равна: Тогда  Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна , то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле  где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Основное событие 𝐵 − событие 𝐴 наступит не менее  раз, но не более раза в  независимых испытаниях. Для данного случая  Тогда  Математическое ожидание 𝑀(𝜉) случайной величины 𝑋 равно параметру 𝑚 нормального закона распределения:  Дисперсия 𝐷(𝜉) равна квадрату среднего квадратического отклонения 𝜎:  Среднеквадратическое отклонение:  Построим график плотности распределения 𝑓(𝑥) случайной величины 𝜉.