Найти математическое ожидание 𝐸𝜉 и функцию распределения 𝐹𝜉 (𝑥), если плотность распределения 𝑓𝜉 (𝑥) имеет вид

		Математический анализ
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16306
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Найти математическое ожидание 𝐸𝜉 и функцию распределения 𝐹𝜉 (𝑥), если плотность распределения 𝑓𝜉 (𝑥) имеет вид: 𝑓𝜉 (𝑥) = { 1 2 𝑒 𝑥−3 если 𝑥 ≤ 3 1 2 𝑒 3−𝑥 если 𝑥 ≥ 3 Нарисовать график функции 𝐹𝜉 (𝑥). Проверить, что она является функцией распределения. Найти функцию распределения с.в. – 𝜉.

Решение

Математическое ожидание 𝐸𝜉:  По формуле интегрирования по частям  получим:  Тогда  По свойствам функции распределения:  Тогда  Нарисуем график функции 𝐹𝜉 (𝑥). Проверим, что  является функцией распределения, проверив свойства 𝐹𝜉 (𝑥). Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку  По заданному уравнению функции 𝐹(𝑥) это свойство выполняется.  Свойство 2. 𝐹(𝑥) − неубывающая функция, т. е. . На заданной области определения  функция возрастает при всех 𝑥. Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу то: l) . В общем случае:  Для заданной функции это проверено в п.1. Свойство 4. Функция распределения в любой точке непрерывна слева: Заданная функция определена на каждом из промежутков и может иметь точки разрыва только в точке В точке 𝑥 Сама функция  на заданной области определения  в любой точке непрерывна слева:  Найдем функцию распределения с.в. – 𝜉. Поскольку плотность распределения  симметрична относительно вертикальной прямой , то плотность распределения  будет симметрична относительно вертикальной прямой . Плотность распределения  имеет вид:  Ответ: