На некотором участке дороги проведены измерения скорости автомобилей, км/ч. Результаты измерения даны в таблице: 41 41 29 25 41 43 42 34 41 30 23 48 50

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16412
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

На некотором участке дороги проведены измерения скорости автомобилей, км/ч. Результаты измерения даны в таблице:

1. Постройте статистический ряд. 2. Вычислите относительные частоты и накопленные относительные частоты. 3. Представьте графически статистический ряд в виде полигона или гистограммы. 4. Постройте график накопленных относительных частот. 5. Запишите эмпирическую функцию распределения. 6. Вычислите точечные оценки параметров закона распределения: 1) выборочное среднее; 2) выборочную дисперсию (смещённую и несмещённую); 3) выборочное среднее квадратическое отклонение (смещённое и несмещённое); 4) выборочную моду; 5) выборочную медиану. 7. Найдите доверительный интервал для неизвестного математического ожидания при условии, что дисперсия неизвестна и доверительная вероятность задается формулой 𝛾 = 0,9 + 0,01𝑖 , где 𝑖 – последняя цифра шифра зачётной книжки.

Решение

Сгруппируем выборку и запишем статистические ряды абсолютных и относительных частот. Построим вариационный ряд – выборку в порядке возрастания: Найдем размах выборки  Число интервалов 𝑁, на которые следует разбить интервал значений признака, найдём по формуле Стерджесса: объём выборки, то есть число единиц наблюдения. В нашем примере. Получим:  Рассчитаем шаг (длину частичного интервала) ℎ по формуле: Округление шага производится, как правило, в большую сторону. Таким образом, принимаем За начало первого интервала принимаем такое значение из интервала  чтобы середина полученного интервала оказалась удобным для расчетов числом. В данном случае за нижнюю границу интервала возьмём 22. В результате получим следующие границы интервалов:  Подсчитаем частоту каждого интервала, то есть число вариант, попавших в этот интервал. Варианты, совпадающие с границами частичных интервалов, включают в правый интервал. Относительные частоты 𝑚∗ определим по формуле: Номер интервала Интервал Середина интервала Частота 𝑚 Относительная частота 𝑚∗ Накопление  Представим графически статистический ряд в виде гистограммы относительных частот. 4. Построим график накопленных относительных частот. 5. Составим эмпирическую функцию распределения. Эмпирическая функция распределения выглядит следующим образом . Вычислим точечные оценки параметров законов распределения: 1) выборочное среднее; 2) выборочную смещённую 𝐷в (неисправленную) дисперсию и выборочную несмещённую 𝑆 2 (исправленную) дисперсию;  3) выборочное неисправленное 𝜎в среднее квадратическое отклонение и выборочные исправленное 𝑆 среднее квадратическое отклонение; 4) выборочную моду (значение, соответствующее наибольшей частоте);  5) выборочную медиану (серединный элемент, стоящий на 30-ом месте). Найдем доверительный интервал для неизвестного математического ожидания при условии, что дисперсия неизвестна, если доверительная вероятность Тогда по таблице значений 𝑡𝛾,𝑛 находим:Тогда