Издержки производства 𝐶(𝑥) (тыс. руб.) зависят от объема выпускаемой продукции 𝑥 (ед.) как 𝐶(𝑥) = 𝑥 3 − 55,5𝑥 2 + 480𝑥 + 300. Доход от реализации

		Экономика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №17076
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Издержки производства 𝐶(𝑥) (тыс. руб.) зависят от объема выпускаемой продукции 𝑥 (ед.) как 𝐶(𝑥) = 𝑥 3 − 55,5𝑥 2 + 480𝑥 + 300. Доход от реализации единицы продукции равен 270. Найти оптимальное для производства количество выпускаемой продукции. Вычислить при этом значении средние и предельные издержки производства.

Решение

Количество выпускаемой продукции будет оптимальным для данного производства, если оно приводит к наибольшему значению функцию прибыли. Функция прибыли представляет собой разность между доходом и издержками производства, то есть 𝑃(𝑥) =  В данном случае: 𝑃(𝑥) = Исследуем на экстремум функцию прибыли. Для этого найдем ее производную: 𝑃′(𝑥) = Приравняв производную к нулю, получим:  = 0 Решим данное квадратное уравнение через дискриминант: 𝐷 =35 Функцию прибыли имеет смысл рассматривать только при неотрицательных значениях переменной х – количества выпускаемой продукции. Поэтому будем определять наибольшее значение функции прибыли на промежутке [0; +∞). Критические точки разбивают область определения функции прибыли на три промежутка (Рис. 1). Определив знаки производной на каждом промежутке, делаем вывод о том, что 𝑥 = 35 является точкой максимума. Рис. 1 Таким образом, количество выпускаемой продукции для производства будет оптимальным, если оно составляет 35 единиц. При этом, прибыль будет равна 𝑃(35) =17462,5 Функция средних издержек производства 𝐴𝐶(𝑥) определяется как отношение функции издержек к количеству выпускаемой продукции, то есть: 𝐴𝐶(𝑥) = Средние издержки при 𝑥 = 35 будут равны 𝐴𝐶(𝑥) =  −229 Предельные издержки производства 𝑀𝐶(𝑥) определяются как производная функции издержек, то есть 𝑀𝐶(𝑥) =  Предельные издержки при 𝑥 = 35 равны 𝑀𝐶(𝑥) 270