Издержки производства 𝐶(𝑥) (тыс. руб.) зависят от объема выпускаемой продукции 𝑥 (ед.) как 𝐶(𝑥) = 𝑥 3 − 120𝑥 2 + 270𝑥 + 200. Доход от реализации

		Экономика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №17076
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Издержки производства 𝐶(𝑥) (тыс. руб.) зависят от объема выпускаемой продукции 𝑥 (ед.) как 𝐶(𝑥) = 𝑥 3 − 120𝑥 2 + 270𝑥 + 200. Доход от реализации единицы продукции равен 150. Найти оптимальное для производства количество выпускаемой продукции. Вычислить при этом значении средние и предельные издержки производства.

Решение

Количество выпускаемой продукции будет оптимальным для данного производства, если оно приводит к наибольшему значению функцию прибыли.  Функция прибыли представляет собой разность между доходом и издержками производства, то есть 𝑃(𝑥) =  В данном случае: 𝑃(𝑥) =  Исследуем на экстремум функцию прибыли. Для этого найдем ее производную: 𝑃′(𝑥) = Приравняв производную к нулю, получим:  Решим данное квадратное уравнение через дискриминант: 𝐷 ≈ 79,5 Функцию прибыли имеет смысл рассматривать только при неотрицательных значениях переменной х – количества выпускаемой продукции. Поэтому будем определять наибольшее значение функции прибыли на промежутке [0; +∞). Критические точки разбивают область определения функции прибыли на три промежутка (Рис. 1). Определив знаки производной на каждом промежутке, делаем вывод о том, что 𝑥 = 79,5 является точкой максимума. Рис. 1  Таким образом, количество выпускаемой продукции для производства будет оптимальным, если оно составляет 79,5 единиц. При этом, прибыль будет равна 𝑃(79,5) = 246230 Функция средних издержек производства 𝐴𝐶(𝑥) определяется как отношение функции издержек к количеству выпускаемой продукции, то есть: 𝐴𝐶(𝑥) =  Средние издержки при 𝑥 = 79,5 будут равны 𝐴𝐶(𝑥) =  −2947 Предельные издержки производства 𝑀𝐶(𝑥) определяются как производная функции издержек, то есть 𝑀𝐶(𝑥) = Предельные издержки при 𝑥 = 79,5 равны 𝑀𝐶(𝑥) =150,75

Ответ: 𝑥 = 79,5; 𝐴𝐶(79,5) = −2947; 𝑀𝐶(79,5) = 150,75