Издержки фирмы, производящей товары двух видов в количествах 𝑥 и 𝑦 соответственно, заданы функцией 𝐶(𝑥; 𝑦) = 3𝑥 2 + 5𝑦 2 + 250. Цены этих товаров

		Экономика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №17076
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Издержки фирмы, производящей товары двух видов в количествах 𝑥 и 𝑦 соответственно, заданы функцией 𝐶(𝑥; 𝑦) = 3𝑥 2 + 5𝑦 2 + 250. Цены этих товаров на рынке 𝑝1 (𝑥) = 60, 𝑝2 (𝑦) = 80. Определите, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль и чему она равна.

Решение

Стоимость всего товара равна: 𝑃 =  Затраты на производство этих товаров составляют: 𝐶(𝑥; 𝑦) =  Следовательно, функция прибыли имеет вид: П(𝑥, 𝑦) =  Исследуем функцию прибыли на экстремум. Найдем стационарные точки, решив систему уравнений: П𝑥 ′ (𝑥, 𝑦) = 0 П𝑦 ′ (𝑥, 𝑦) = 0 Найдем частные производные заданной функции. П𝑥 ′ (𝑥, 𝑦) =  Решим систему  𝑥 = 10 𝑦 = 8 Получили стационарную точку 𝐴(10; 8). Проверим достаточное условие экстремума. Найдем частные производные второго порядка: 𝐴 = П𝑥𝑥 ′′ (𝑥, 𝑦) =  −10 Для точки 𝐴(10; 8) ∆=  60 Так как и ∆> 0 и 𝐴 = −6 < 0, то 𝐴(10; 8) − точка максимума.𝑧𝑚𝑎𝑥 = 370