Из партии, содержащей 12 изделий, среди которых 8 – высшего сорта, для контроля последовательно выбирают наугад 6 изделий

		Высшая математика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16189
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

• Из партии, содержащей 12 изделий, среди которых 8 – высшего сорта, для контроля последовательно выбирают наугад 6 изделий. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно 5 высшего сорта при условии, что выборка производится: 1) с возвращением (выбранное изделие после проверки возвращается обратно в партию); 2) без возвращения (выбранное изделие в партию не возвращается).

Решение

1) Пусть выборка производится с возвращением (выбранное изделие после проверки возвращается обратно в партию). По классическому определению вероятности, вероятность события 𝐵 равна 𝑃(𝐵) = 𝑚 𝑛 где 𝑚 – число благоприятных исходов, 𝑛 – общее число исходов. По условию в партии 𝑛 = 12 изделий, 𝑚 = 8 из них высшего сорта. Тогда вероятность события 𝐵 – извлечение изделия высшего сорта, постоянна и равна 𝑃(𝐵) = 8 12 = 2 3 Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна 𝑞 = 1 − 𝑝, то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая  Вероятность события 𝐴1 – среди выбранных изделий окажется ровно 5 высшего сорта, равна: 2) Пусть выборка производится без возвращения (выбранное изделие в партию не возвращается). Число возможных способов выбрать 6 изделий из 12 по формуле сочетаний равно 𝐶12 6 . Благоприятствующими являются случаи, когда из общего числа 8 изделий высшего сорта взяли 5 (это можно сделать 𝐶8 5 способами), и из общего числа 4 изделий не высшего сорта взяли 1 (число способов 𝐶4 1 ). Вероятность события 𝐴2 – среди выбранных изделий окажется ровно 5 высшего сорта, равна: Ответ: 𝑃(𝐴1 ) = 0,2634; 𝑃(𝐴2 ) = 0,2424